第三節 第三節
第三節 體積和容積概念及其相關研究 體積和容積概念及其相關研究 體積和容積概念及其相關研究 體積和容積概念及其相關研究
壹壹
壹壹、、、、體積和容積概念體積和容積概念體積和容積概念 體積和容積概念
現行92年課綱國小數學教材之體積與容積是有垂直關聯的，體積是容 積的先備基礎之一，容積是體積的後續概念之一，其相關概念之階層表現 與連結關係由圖2-3-1可知。而Linda，Margaret & Olwen(1984)將體積的意 義細分為四種不同層面，更清楚闡述了體積與容積的教材脈絡：
1. 外體積(external volume)—視覺上覺知到的實心或空心物件空間的大 小，也是一般所認知的體積概念。
2. 內體積(internal volume)—係指空心物件的內部容積。鍾靜、朱建正、林 素微及魯炳寰(2003)的研究也指出容積為一具有確定長度、寬度與高度 之空間周界內的空間大小，通常此空間具有容納物質可以隨時存取的功 能。
3. 排他性體積(displace volume)—以排出的液量表示原物件的體積大小。
排他性體積與國小容量教材之不規則物體體積相關，即利用排容原理可 知，不規則物體體積與上升的水量或溢出的水量之體積相同。
4. 液積與容量(liquid volume)—譚寧君(1996)指出液體所佔有空間的量即 液積，容器的最大裝載量則是容積。
根據鍾靜、朱建正、林素微、魯炳寰(2003)的研究指出體積、容積及容 量的關聯性在於探討容量前先需測量容器內液量的多寡，如果以容器內部 空間大小(體積大小)來描述容積，則體積、容積及容量三者即有了連結。
貳貳 詮釋整理如表2-3-1、表2-3-2：
表2-3-1 容積教材相關分年細目與核心概念表
表2-3-2 體積教材相關分年細目與核心概念表 分年
細目 細目內容 核心概念
4-n-17
能利用間接比較或以個 別單位實測的方法比較 不同體積的大小，並認識 體積單位「立方公分」。
※體積的認識
※認識體積單位1立方公分
※用數量一定、形狀及大小相同的積 木堆疊長方體、正方體或指定形體
5-n-17
能認識體積單位「立方公 尺」，及「立方公分」、
「立方公尺」間的關係，
並做相關計算。
※認識體積單位1立方公尺
※理解1立方公尺＝1000000立方公 分及其換算。
5-n-18
能理解長方體和正方體 體積的體積公式。
※理解與應用長(正)方體體積公式＝
長×寬×(邊長×邊長×邊)
※理解長(正)方體表面積的計算方法
※簡單複合形體體積 6-n-13 能理解簡單直柱體的體
積為底面積與高的乘積。
※理解與應用直柱體的體積公式＝
底面積×高
※一般形體組成的複合形體體積 由表2-3-1、2-3-2可知，體積與容積的核心概念在四年級以前並無連 結，至分年細目5-n-19始將體積與容積一起進行討論，當探討容量前先需 測量容器內液量的多寡，如果以容器內部空間體積大小來描述容積，則體 積、容積及容量三者即有了連結，因此，如何整合容量、容積和體積間的 關係是教學上需要注意之處。
二、98年南一版數學第十冊教科書體積和容積教材分析
98 年南一版數學第十冊教科書體積和容積教學單元係屬五大主題軸 之「量與實測」的範疇，五年級學生對體積和容積已有先備經驗，研究者 茲將本單元教材地位分析整理如圖 2-3-1。培養與建立學生對體積和容積的 量感是基本而重要的，因此透過實務的操弄經驗，從中察覺與歸納經驗，
而將思考從具體層面提升至形式思考，建立量感及形成概念是教學與學習 之重要路徑。從體積和容積教材地位圖，可清楚掌握體積和容積的教材脈絡，
本單元教學與學習之重點如下：
1. 體積、容積與容量的關係。
※理解1立方公尺＝1000000 立方公分及其換算。
圖 2-3-1 體積和容積教材地位圖
三三
三三、、、、迷思概念迷思概念迷思概念 迷思概念
體積的意義可分為四個層面：外體積、內體積、排他性體積及液積與容 量，必須有外體積的先備基礎，方能學習內體積、排他性體積及液積與容 量等後續概念，其中林仁得、謝祥宏與陳文典(1993)研究指出排他性體積 及液積難度較高。學生學習體積和容積的過程所產生的迷失概念茲整理如 下：
1. 學生在外體積的迷思概念主要是對體積未能完全的了解(沈佑霖，2003) 和表面積公式與體積公式混淆使用(許嵐婷，2003)。
2. 體積和容積度量單位的換算錯誤(徐存姮，2003)，1立方公尺與1公秉等 度量單位與學生日常生活經驗較無關聯性，缺乏實際測量的經驗，量感 的形成較為困難，因此雖可理解1立方公尺或1公秉等度量單位的事實知 識，然在進行1立方公分、1立方公尺或1公秉等度量單位之複名數換算 的程序知識時常會產生困難。
3. 體積與容量的關係未能完全了解(莊金和，2007)。
4. 將不規則物體完全沉入水中，上升或溢出的水量即是不規則物體體積之 關係的應用上常會發生困難(林仁得、謝詳宏、陳文典，1993；莊金和，
2007)。水量多寡的測量是用容量單位標示，而不規則物體體積大小的 測量是用體積單位描述，因此在簡單情境，學生對體積及液積關係的概 念知識是可理解，如杯子裡有170毫公升的水，放入一顆石頭，石頭完 全沉入水中，水位由170毫公升上升至250毫公升，上升的水量有多少？
石頭的體積為多少？但於較複雜情境，學生對體積及液積關係的程序知 識之應用上即會發生困難，如有一個長方體玻璃缸，裡面長15公分、寬 12公分，裝水高度10公分，放入石頭完全沉入後，水位上升到14公分，
石頭的體積是多少？
第四節 第四節
第四節 第四節 S-P 表原理及其相關研究 表原理及其相關研究 表原理及其相關研究 表原理及其相關研究
壹壹
壹壹、、、、S-P 表表表表的意義的意義的意義的意義
一般情況下，當學生進行成就測驗時，研究者通常先關心的是試題編 擬的信度與效度，個別學生的測驗成績，或學生整體平均分數，或整體成 績分配情形，或依成績高低及對學生的了解來判斷學習成效的良窳。上述 的統計卻無法凸顯個別學生的學習成效，也無法表現出測驗成績相同，但 作答反應組型不同的現象之問題。
而日本學者佐藤隆博(Takahiro Sato)1971 年所提出之 S-P 表
(student-problem chart)，又稱為學生問題表。余民寧(2002)指出 S-P 表係依 據每位受試者與每一試題的作答反應資料，分析產生四個指標化的數據：
學生注意係數、試題注意係數，及整份評量試題的差異係數和同質性係 數，從而了解學生的學習成效，也可作為精進教學能力、提升命題品質以 及輔導學生的參考。
而S-P表是一種無母數統計方法，適合進行以樣本數少的評量資料(試 題數約在20至30題)之分析與診斷。本研究的教學實驗後的成就測驗題數共 20題，研究對象全部52人，適合應用S-P表進行分析。再者，林原宏(2009) 指出S-P表分析關注的是學生在測驗上的「作答反應組型」，透過上述四個 指標化數據，進行診斷或解讀學生在測驗上的反應組型是否為不尋常或異 常的一種測驗分析方法，故應用S-P表分析有助於研究者達成研究目地，解 決上述問題。
貳 貳 貳
貳、、、、S-P表表表表分析分析分析過程分析過程過程過程
S-P表是分析學生在測驗上的作答反應組型的資料矩陣，其S-P表計算 公式和S-P表分析過程茲說明如下：
一、S-P表計算公式(引自林原宏，2009)：
假設有每某一資料矩陣，共有N
(
i=1,2,⋅⋅⋅.,N)
位學生和M(
i=1,2,⋅⋅⋅,M)
的二元計分試題，令矩陣Y
( )
yij N M表2-4-1 15位學生在10題二元計分試題的原始資料表 學生 試題
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總分 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 9 2 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 8 3 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 3 4 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 5 5 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 9 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 7 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 4 8 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 9 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 8 10 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 8 11 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 7 12 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 9 13 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 4 14 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 8 15 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 7 總分 13 13 9 14 7 10 9 9 9 8 101 註：作答資料以二元計分方式記錄，1表示答對，0表示未作答或答錯。
(二) 依得分高低及試題答對人數將原表重新排列。
呂秋文(1987)指出在依學生總得分高低由上而下排序時，如有總分相 同，則將總分相同的學生所有未答對試題之答對學生人數相加總，依其值 排序，依值之低到高由上而下排序，例如：11與15學生的得分皆為7分，
而這二位學生所有未答對試題之答對學生人數相加總，分別為9+9+8=26與 9+14+8=41，故由上而下排序為11、15；若總分相同，所有未答對試題之 答對學生人數相加總的值也相同，此時，排序不拘，故依總分由上而下的 排序亦即學生能力高至低的排序，如表2-4-2。
在依試題答對人數總分由左至右排序時，如有總分相同的情形，則將 總分相同的試題所有未答對試題的學生之總分相加總，依其值排序，依值 之低到高由左至右排序，例如：第1題與第2題的試題答對人數為13，而這 二題所有未答對試題的學生之總分相加總，分別為8+4=12與5+2=7，故由
左至右排序為2、1；若總分相同，所有未答對試題的學生之總分相加總之 值也相同，此時，排序不拘，故依總分由左至右的排序亦即試題難度低至 高的排序，如表2-4-3。。
表 2-4-2 依學生總分由上而下遞減排序的列表 學生 試題
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總分 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 12 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 9
5 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 9 9 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 8 14 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 8 10 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 8 2 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 8 11 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 7 15 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 7 4 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 5 13 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 4 7 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 4 3 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 3 8 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 總分 13 13 9 14 7 10 9 9 9 8 101
表 2-4-3 依試題總分由左而又遞減排序的列表
表2-4-4 完成出S曲線和P曲線的S-P表 學生 試題
4 2 1 6 9 7 8 3 10 5 總分 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 12 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 9
5 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 9 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 9 9 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 8 14 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 8 10 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 8 2 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 8 11 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 7 15 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 7 4 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 5 13 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 4 7 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 4 3 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 3 8 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 總分 14 13 13 10 9 9 9 9 8 7 101 註：粗線為 S 曲線；虛線為 P 曲線。
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叁叁、、、、S-P表的分析與應用表的分析與應用表的分析與應用表的分析與應用
S-P表曲線可判讀出資料是「不尋常或異常反應組型」或是「完美量尺 的反應組型」，而S-P表分析係依據受試者與其試題的作答反應產生標準化 的數據，當學生注意係數和試題注意係數之值愈高的話，表示該學生或該 試題愈需要被注意。其中，根據陳騰祥(1986)指出學生注意係數之值通常 均為正數，其值愈大則表示學生的反應組型偏向不尋常，此時，加以注意 或分析原因是必要的。
本研究中，研究者關注的是學生的學習成效，故學習成效的診斷極為 重要。根據學生的注意係數和學生的得分百分比進行分析，以前者為橫 軸，後者為縱軸，產生學生診斷分析圖，將學生的學習成效分為A類型、
A'類型、B類型、B'類型、C類型及C'類型，此六種學習類型特性如圖2-4-1(余
民寧，2002；林原宏，2009)。研究者可借助來診斷學生的學習成效與學 習類型，說明測驗資料分析的結果。
肆 肆 肆
肆、、、、S-P 表相關的實證研究表相關的實證研究表相關的實證研究表相關的實證研究
肆、、、、S-P 表相關的實證研究表相關的實證研究表相關的實證研究表相關的實證研究