奈米碳管軸方向機械性質

3.2.1 單壁奈米碳管(SWCNT)MD 模型

本研究利用分子動力學探討單壁奈米碳管的機械性質。參考有關單壁 奈米碳管的研究文獻中，其模擬之單壁碳管均為單根單壁碳管，而軸方向 又可分為週期性排列、非週期性排列兩種[4, 13-21]，本研究在單壁碳管均 引用軸方向週期性排列之單根碳管，並研究各種不同原子結構列之碳管 (如；zigzag、armchair)以及管徑下之材料模數，首先將單壁碳管依力場分為 兩種模型。

(A) 單壁奈米碳管考慮鍵結勢能，不考慮原子間的非鍵結勢能。

在分子動力學模擬(Molecular dynamics)中，以模型 A 分析單層奈米碳 管僅考慮共價鍵結力，角度鍵結力、扭轉鍵結力及反轉鍵結力，且不加入 凡得瓦力之勢能，在分子動力學模擬中之模擬室(simulation box)為週期性邊

界條件，其 Z 方向鍵結為連續性的週期性邊界，單壁奈米碳管模擬室如圖 3.4，各不同管徑 D 之碳管以及碳原子數目則列於表 3.1。其中 3.4Å 為單壁 奈米碳管厚度，W、θ、L 分別為模擬室截面邊長、兩邊長夾角以及碳管長 度。

(B) 單壁奈米碳管考慮鍵結勢能，並考慮原子間的非鍵結勢能。

模型 B 在原子以及模擬室結構上與模型 A 相同，而勢能方面除了考慮 共價鍵結力，角度鍵結力、扭轉鍵結力及反轉鍵結力之外，加入非鍵結之 凡得瓦勢能。因為只考慮單根碳管，所以碳原子在計算凡得瓦力時，其截 斷半徑(cutoff)只能包含碳管本身所連接的原子，所以須注意模擬室截面積 尺寸是否符合此目的，碳原子的截斷半徑為 10Å，單壁奈米碳管厚度為 3.4Å。

3.2.2 單壁奈米碳管軸方向機械性質

分子動力學可以利用上述兩種模型(A)、(B)來得到單壁奈米碳管的軸向 楊氏模數。將模擬室施以單軸應力，經過數值計算求得軸方向之應變，再 利用應力-應變關係得到平面方向之楊氏模數。

在模擬過程中，須分為兩個步驟：

(1) 首先將模擬室設定為目標壓力 0 kbar、目標溫度 0K 之狀態，利用 NST 系綜進行平衡，模擬步數為200000 步，每一步階時間為 0.001ps，總模擬平

衡的時間為200ps，給定數值方法[27]中自定參數τT ⁼¹、τP ⁼²⁰，確定碳管 結構產生新的平衡狀態之模擬室，如圖 3.5 為模型(A)單壁奈米碳管(5,0)在 模擬過程中(a)能量變化圖、(b)溫度變化圖、(c)X 方向壓力變化圖、(d)Y 方 向壓力變化圖、(e)Z 方向壓力變化圖。

(2) 經過未受力平衡之後，接著將上一步驟所產生新的模擬室狀態當作初始 狀態，同樣利用NST 系綜再施以應力模擬而達到平衡收斂，產生新的受力 平衡狀態。之後將碳管設定目標溫度為0K 之狀態，模擬步數為 200000 步，

每一步階時間為 0.001ps，總模擬平衡的時間為 200ps，給定數值方法中自 定參數

τ

_T =1_、

τ

_P =20，在拉伸方向(3 方向)對模擬室施以應力 σBox，最後 確認新的模擬室狀態達到平衡收斂，如圖3.6。由於奈米碳管本身所受之應 力與模擬室上不同，故須經過比例換算，始可得到碳管所受實際應力。

Dt A

_Box

Box

SWCNT

π

σ = σ

(3.3)

其中，σSWCNT 為單壁碳管所受實際應力，σBox為模擬室所受外部應力，而 D

為碳管直徑，t為碳管壁厚(3.4Å)，碳管實際面積計算方法引用參考文獻 Li [19]之算法。經過 MD 對內部原子平衡後，可得到模擬室在拉伸方向(Z 方 向)之應變。

B B

L Δ L

11

=

ε

(3.4)

其中 LB為模擬室碳管長度，利用應力-應變關係，即可求得單壁奈米碳管之 楊氏模數。

ε

11

σ

_SWCNT

E =

(3.5)

浦松比的計算方面，由單壁碳管的每顆原子對於中心軸的平均半徑變化 量，計算出橫向方向之應變，與拉伸方向之應變之比值，即可得到浦松比。

SWCNT SWCNT

R Δ R

22

=

ε

(3.6)

11 12

ε

22

υ = − ε

(3.7)

其中，RSWCNT 為單壁碳管所有原子對於中心軸的半徑平均值，圖 3.7 為原

子排列結構不同時單壁碳管對於管徑大小改變之楊氏模數的結果。

3.2.3 雙壁奈米碳管 MD 模型

在本章節中，探討在不同原子結構排列下的雙壁碳管之楊氏模數，再 與單壁奈米碳管結果做討論。首先利用3.2.1 章節之單壁奈米碳管模型，(5,0) 與(14,0) 組 成 鋸 齒 形 (zigzag) 雙 壁 奈 米 碳 管 ； (3,3) 與 (8,8) 組 成 扶 手 椅 形 (armchair)排列雙壁奈米碳管，在此兩組雙壁奈米碳管的模擬室上施以應

力，而得到楊氏模數並與單壁碳管加以比較。而模擬室以及碳管結構則同 樣列於表3.1 中。勢能方面，則考慮共價鍵結力，角度鍵結力、扭轉鍵結力 及反轉鍵結力以及非鍵結之凡得瓦勢能，截斷半徑為 10Å，單壁奈米碳管 厚度為3.4Å，碳管層與層間距大約為 3.4Å。在分子動力學模擬中之模擬室 為週期性邊界條件，且 3 方向鍵結為連續性的週期性邊界，其模擬室截面 積尺寸較大，如圖3.8，目的同樣是為了使原子之凡得瓦力截斷半徑只與自 己本身的碳管做計算。雙壁奈米碳管模型的 W、θ、L 分別為模擬室 (simulation box)截面邊長、兩邊長夾角以及碳管長度。

3.2.4 雙壁奈米碳管軸方向機械性質

將雙壁奈米碳管之模擬室施以單軸應力，經過數值計算求得剪應變，

再利用應力-應變關係得到平面方向之楊氏模數。在利用分子動力學分析模 擬材料模數時，必須分為兩個步驟：首先將模擬室設定為目標壓力0 kbar、

目標溫度0K 之狀態，利用 NST 系綜進行平衡，模擬步數為 200000 步，每 一步階時間為 0.001ps，總模擬平衡的時間為 200ps，給定數值方法中自定 參數τ_T =1、τ_P =20，確定單壁碳管結構產生新的平衡狀態之模擬室，圖3.9 為雙壁奈米碳管(5,0) (14,0)在模擬過程中(a)能量變化圖、(b)溫度變化圖、

(c)X 方向壓力變化圖、(d)Y 方向壓力變化圖、(e)Z 方向壓力變化圖。經過 未受力平衡之後，接著將上一步驟所產生新的模擬室狀態當作初始狀態，

將碳管設定目標溫度為 0K 之狀態，利用 NST 系綜進行平衡，同樣地，模

擬步數為200000 步，每一步階時間為 0.001ps，總模擬平衡的時間為 200ps，

給定數值方法中自定參數

τ

_T =1_、

τ

_P

= 20

，在拉伸方向(Z 方向)對模擬室 施以應力 σBox，最後確認新的模擬室狀態達到平衡收斂，如圖 3.10 為雙壁 奈米碳管(5,0) (14,0)在模擬過程中(a)能量變化圖、(b)溫度變化圖、(c)X 方 向壓力變化圖、(d)Y 方向壓力變化圖、(e)Z 方向壓力變化圖。由於奈米碳 管本身所受之應力與模擬室上不同，故須經過比例換算，始可得到石墨所 受實際應力。

MWCNT Box Box MWCNT

A σ A

σ

= (3.8)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + − −

×

= ² 1.7)² ( 2

) 7 . 2 1

( ^{o i}

MWCNT

D

A π D

(3.9)

其中，

σ

MWCNT _{為石墨所受實際應力，}

σ

_Box為模擬室所受外部應力，ABox

為模擬室截面面積，AMWCNT 為雙壁奈米碳管截面面積，此面積計算方法引 用自參考文獻Li [23]之算法，Di為內管碳管直徑，Do為外管碳管直徑，^t為 碳管壁厚(3.4Å)，如圖 3.8。經過 MD 對內部原子平衡後，可得到模擬室在 拉伸方向(3 方向)之應變。

B B

L Δ L

11

=

ε

(3.10)

其中 LB為模擬室長度，利用應力-應變關係，即可求得雙壁奈米碳管之楊氏 模數。

ε

11

σ

_MWCNT

E =

(3.11)

浦松比則利用奈米碳管直徑變化量，計算內外管各自的橫方向之應變，模 擬室內部計算出橫向方向之應變，與拉伸方向之應變之比值，即可得到內 外管各自的浦松比。

out in

out in

R R

/ 22 /

= Δ

ε

(3.12)

11 12 ε22

υ =−ε (3.13)

在文檔中 探討石墨板與奈米碳管之機械性質 (頁 56-62)