第二章 文獻探討
第一節 「數與量」能力指標內容分析
一、能力指標細目詮釋
九年一貫數學科五年級數與量能力指標5n01~5n07 的詮釋(教育部，2003)，
分述如下：
(一) 5n01 能在具體情境中，解決三步驟問題
本細目為檢查細目，可與5-n-02 結合，不必另立單元教學。
(二) 5n02 能熟練整數四則混合計算
這是小學對於整數四則混合計算的總結細目，學童應能熟練整數四則運算的 性質，來簡化計算。此時數量範圍要配合年級逐漸加大。
(三) 5n03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數
(1) 以 1-n-07（幾個一數），2-n-08（九九乘法），3-n-04(除法)為前置經驗，
理解因數、倍數的概念。
(2) 用列表的方式，尋找兩數的公因數與公倍數。學童應知道兩整數的乘積 一定是此兩數的公倍數。
(四) 5n04 能用約分、擴分處理等值分數的換算
在4-n-08 的前置經驗中，僅強調等值分數概念的認識。在本細目教學時，可 由具體情境，解釋約分與擴分的意義，然後即應運用因數與倍數來理解約分 與擴分，並做等值分數的換算。
(五) 5n05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減
(1) 本細目在小學應以簡單異分母為教學重點，所謂「簡單」係指兩分母滿 足以下情況之一（a）分母均為一位數；（b）一分母為另一分母的倍數；
（c）乘以 2、3、4、5 就可以找到兩分母之公倍數（例如兩分母為 12
與18）。
一般分數的情形。理解「分數乘以分數」的方式很多，底下只是一些方 法的範例，並不表示教師必須全部教完。
(2) 在乘數為分數的教學中，最要注意的錯誤類型，是學童認為「乘積一定 比被乘數大」，對於這個基於整數計算經驗的錯誤類推，教師需細心處 理。最好在最容易理解的「乘數為單位分數」的情況下，就要開始處理。
(3) 乘數為分數的教學宜先從單位分數開始。3-n-09 中談一數的「幾分之一」
是本細目的前置經驗，但不完全相同。「分數倍」的理解比較抽象，可讓 學童從已經熟練的直覺與運算上，認識其合理性。
(4) 例：1 個披薩 300 元，2 個披薩 600 元等，將幾個轉成幾倍來列式，再問
「如果兩個人平分1 個披薩（即各吃1
2個披薩），應該各付多少錢？如果 三個人各吃1
3個披薩呢？如果五個人各吃1
5個披薩呢？」讓學童理解
×1 2、×1
3、×1
5，其實就是二等分（除以2、「的二分之一」、「的一半」）、
三等分（除以3、「的三分之一」）、五等分（除以 5，「的五分之一」）。在 此例要小心「元」這個單位不能再分，因此被乘數必須能被整除。
(5) 與上例類似的連續量例子：從測量情境的分數「整數相除」意涵入手，
假設作為測量單位的木條長5 公分，那麼測量結果，1 段就是 5 公分，2 段就是10 公分，因此「段」也可以作為倍數來理解，這時問1
2段應該是 多長，顯然就應該是5÷2＝5
2 公分。如此也可以得到一樣的結果。
(6) 例：由長方形的面積公式入手（只處理乘數是單位分數，參見 4-n-15）。
由於邊長是連續量，很適合用在分數與小數的教學，但要注意4-n-15 的 面積公式邊長都是整數。先固定面積公式中的「長」，例如10 公分，看 出當「寬」為1 與1
3的差別是，後者的總面積是前者總面積（10×1＝10）
的三等分，因此應該是10×1
因數的課程是使用除法的觀點，由總量為問題的起點，探討可能組成的單位 量，來處理因數的啟蒙問題，為了讓學童在各種情境問題中，都能掌握總量可以 由哪些單位量組成的意義，可以透過下列三種問題情境，幫助學童逐步形成因數 的概念： 在方陣排列問題中，探討給定總量的方陣之可能排法，例如先給定一 個總量（以 12 個全等的小正方形塊為例），要求學童將小正方形排成長方形（不 可排成中空的長方形），希望在全班的合作下，窮盡所有的排法，讓學童經驗給 定總量的方陣可以有不同的排法； 在包含除及等分除的情境問題中，給定總 量，要求學童回答可能的等分組方式，例如透過問題「有18 個小朋友，全部分 組做實驗，分出的組，每一組的人數都要一樣多，一組可以有多少個小朋友，分 分看？」，幫助學童掌握總量可以由哪些單位量組成的意義；在倍的問題情境中，
給定總數，要求學童解決可能組成單位量的數值問題，例如透過問題「幾包鉛筆 合起來有16 支，每一包鉛筆的枝數都一樣多，一包有多少枝鉛筆？」，幫助學 童掌握哪些單位量可以組成總量的意義。同時亦透過限制使用除法算式來記錄解 決前述問題解題過程的方式，希望學生在各種情境問題中，都能掌握總量可以由 哪些單位量組成的意義，並形成以總量為起點，使用除法算式記錄解題過程的共 識，不希望學生以部分的觀點，透過合成的方式來看問題，例如：1、2、3、4、
6、12 都可以累積成 12，而希望學生由全體的觀點，透過分解的方式來看問題，
例如：12 可以 1、2、3、4、6、12 為單位量來組成。
當學生在各種情境問題中，都能掌握總量可以由哪些單位量組成的意義，並 能使用除法算式來記錄解題的過程，逐步形成因數的概念後，開始透過學生所熟 悉的方陣排列問題：「24 個小朋友排成的長方形隊伍中，每一排的人數都要一 樣多，而且要全部排完，一排可以排幾個小朋友？」，要求學生討論要怎麼分，
並限制使用有除號的算式把做法記下來，接著脫離量的情境，要求學生看著記 錄，說出24 除以多少時，可以剛好分完，沒有剩下，並透過「24 除以 2，剛好
分完，沒有剩下，並且24 和 2 都是整數，所以 2 是 24 的因數」的討論方式，
引入因數的意義。
(二)因數和倍數的關係：
在數學上，是以除法原理（若有a、b 兩個正整數，則必可找到 q、r 兩個非 負整數，滿足a＝b×q＋r 的關係，且 b＞r ≧ 0）為基礎，透過判斷 a 是否能整 除b（餘數是否為 0）的方式，引入因數與倍數的定義：「設 a、b 是兩個正整數，
若a＝b×q＋r，其中 q 是正整數且 r＝0，則稱 b 是 a 的因數，或稱 a 是 b 的倍 數」（在國小數學中，因數與倍數的討論，以正整數為範圍）。因數問題是指定 一個正整數，找出以哪些正整數為單位量，可以用乘法性地合成這個指定的正整 數，例如：探討6 的因數時，一個 6 是 6；二個 3 是 6；三個 2 是 6；六個 1 是 6，因此 6、3、2、1 皆是可以乘法性地合成 6 的單位量，稱之為 6 的因數。相 反地，倍數問題是指定一個正整數做為單位量，詢問由此單位量可以乘法性地生 成哪些正整數，例如：探討6 的倍數時，以 6 為單位量可以產生 6、12、18、....，
這些以6 為單位量所生成的正整數，稱之為 6 的倍數。因此，因數問題是向內 探討組成一個正整數的單位量；而倍數問題是向外探討以一個正整數為單位量，
可以生成哪些正整數，這是兩個相反方向的問題探討。
在數學上，大都直接透過因數的意義來引入倍數（若 b 是 a 的因數，就等同 於a 是 b 的倍數），這是因為成人已發展出測量運思，可以彈性地互換單位量 與單位數的角色，並已瞭解乘法、除法互為逆運算的關係，因此成人可以掌握因 數與倍數的相對關係，明白a 是 b 的因數時，b 就是 a 的倍數的意義。但是對 測量運思尚未發展完全的學童而言，並不易掌握因數與倍數的相對關係，因此在 課程安排上不採用此方式來引入倍數，而分別從不同的角度引入因數與倍數的意 義：在給定總數並尋找可能的單位量數值問題中，討論因數的意義，而在乘數未 知算式填充題情境下，討論積數是否為被乘數的倍數，來介紹倍數的意義。
為了幫助學童能察覺因數、倍數間的相對關係，並經驗數概念的乘法性結構，
可透過下列活動，逐漸培養學童測量運思的發展：(1)透過判斷一個整數是否為其 因數的整數倍的方式，讓學童察覺此整數為其所有因數的倍數；(2)透過先求出某 數所有的因數，再判斷該數是否為其所有因數的倍數的方式，幫助學童察覺一數 是其所有因數的公倍數；(3)透過解決兩數相乘問題，幫助學童察覺兩數相乘的積 數為兩數的公倍數，並希望學童能不經過計算的過程，就直接能判斷兩數相乘的 積數為兩數的公倍數。
(三)倍數問題：
在倍數的意義引入方面，使用和因數不同的方法，因為因數概念相當抽象，
學生也較少接觸類似的問題，因此先在情境問題中討論可能組成的單位量，待學 生累積足夠經驗後，才引入因數的意義。而現階段的學生已有許多倍的問題之解 題經驗，也經常使用倍的語言，有足夠的經驗，可以直接引入倍數的意義，因此 可透過乘數未知的乘法算式填充題「2×（）＝10」，先要求學童解題，再經由語 言的轉換，2 的 5 倍是 10，所以 10 是 2 的 5 倍，引入倍數的意義：「10 是 2 的5 倍，而且 2、5、10 都是整數，所以說 10 是 2 的倍數」，當學生有能力與 方法判斷某數是否為另一數的倍數時，以某一正整數為起點，使用乘以整數倍的 方式，求出該正整數在某一數量範圍內的所有倍數。
在數學上，如果 a 是 b 的倍數（b 是 a 的因數），則 a、b 要滿足下列三個 條件：(1)a、b 都是整數；(2)b≠0；(3)存在一個整數 q，滿足 a＝b×q。利用這個 定義可以清楚的分辨「0 是否為 2 的倍數？」、「2 是否為 0.2 的倍數？」、「0 是否為偶數？」、「0.2 是否為偶數？」等問題，這些都是常在因數與倍數課程 教學時，經常會在教室裡被提出的問題，而國小階段討論倍數問題時，不宜包含 0，因為 0 相當抽象，而且在日常生活中，不容易找到例子讓學生了解，任何正 整數都可以當做單位量來組成0，也就是說，學生不容易接受 0 是任意正整數的
倍數，所以，在國小階段討論「甲是乙的倍數」時，指的是甲、乙兩個正整數，
滿足甲數除以乙數的商數也是正整數，且餘數為0 的關係，和日常生活中所談論 的「甲是乙的幾倍」不同，日常生活中所指的幾倍是數量上的多少倍，甲或乙並 不一定要是整數，兩者間也不一定要滿足整數倍的關係。
(四)公因數問題：
利用探討兩個量是否有共同組成的單位量的方式，引入公因數的啟蒙問題：
利用探討兩個量是否有共同組成的單位量的方式，引入公因數的啟蒙問題：