國小五年級數學領域數與量能力指標之電腦適性測驗編製及動畫補救教學應用

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國立台中教育大學教育測驗統計研究所教學碩士論文

指導教授：郭伯臣博士

國小五年級數學領域數與量能力指標之

電腦適性測驗編製及動畫補救教學應用

研究生：楊維中撰

中華民國九十五年八月

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摘要

本研究旨在建立一套以國小五年級數學領域能力指標5n01~5n07 為評量內容的電腦適性診斷測驗系統，同時輔以專家知識結構之電腦補救教學動畫系統，除了診斷出學生能力指標的學習成效外，還可以讓學生進行自我學習，以此模式反覆練習達臻嫻熟之境地。本研究首先分析課程內容，建立能力指標知識結構，並依此結構命題，然後進行紙筆診斷測驗，並於完成後，再依據試題順序理論和語意結構理論，建立電腦適性診斷測驗施測流程，進行電腦適性診斷測驗及評估電腦補救教學之成效。本研究發現： (1)適性測驗施測的平均施測題數是 16.5 題，平均可以節省10.5題。 (2)經過電腦化補救教學後，學生的平均分數有進步，達到顯著差異。所以，本研究所提出之適性診斷測驗和補救教學系統，確實可達到「因材施測」與「因材施教」的效果。關鍵字：數與量、電腦適性診斷測驗、補救教學、試題順序理論、語意結構理論

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Abstract

This study aims to establish a system which can facilitate Mathematics instruction at elementary schools. This system is composed of Computerized Adaptive Diagnostic Test system and adaptive remedial instruction system. The former is based on the structure of competence indicators of Mathematics 5n01~5n07 in Nine-Year Compulsory Curriculum, and the latter is on experts' knowledge structure. After students taking the test, the unpracticed competence indicators were diagnosed individually, and those correspondent remedial instruction Flash animators were presented to facilitate their learning.

The focus of this study is on the competence indicators of Mathematics 5n01~5n07 in Nine-Year Compulsory Curriculum. After analyzing the contents of textbooks, the structures of competence indicators were constructed, and items were designed according them.

Ordering theory and semantic structure analysis are used to decide the students' knowledge structure and those parameters used in the item bank for Computerized Adaptive Diagnostic Test system.

Findings of this research are briefly outlined as follows:

1. The number of items tested by individuals in the Computerized Adaptive Diagnostic Test system is 16.5 averagely. This system can save 10.5 items averagely, and the test-taking time is also reduced simultaneously.

2. The progress of students is significant after the adaptive remedial instruction. Therefore, the two systems ─ Computerized Adaptive Diagnostic Test system and adaptive remedial instruction system, proposed in this research can promote significant effect on testing students’ individual ability and meeting students’ individual needs.

Keywords: computerized adaptive diagnostic test, remedial instruction, ordering theory, semantic structure.

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目錄

第一章緒論 ... 1 第一節　　研究動機 ... 1 第二節　　研究目的 ... 2 第三節　　名詞定義 ... 2 第四節　　研究限制 ... 4 第二章　　文獻探討 ... 5 第一節　　「數與量」能力指標內容分析 ... 5 第二節　　以試題結構為基礎之電腦診斷測驗... 16 第三節　　電腦補救教學的模式 ... 20 第三章　　研究方法... 23 第一節　　研究流程 ... 23 第二節　　研究對象 ... 24 第三節　　研究步驟 ... 24 第四節　　研究工具 ... 27 第四章　　研究結果 ... 29 第一節　　電腦適性診斷測驗題庫之建置 ... 29 第二節　　電腦適性診斷測驗 ... 36

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第三節　　補救教學之成效 ... 42 第四節　　學生在數與量能力指標方面的學習成效 ... 48 第五章　　結論與建議 ... 51 第一節　　結論 ... 51 第二節　　建議 ... 52 參考文獻 ... 53 附錄一：數學領域五年級數與量診斷測驗試題 ... 55 附錄二：補救教學大綱 ... 63 附錄三：專家名冊 ... 71

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圖目錄

圖 2-1 指標間結構（多點記分結構）與指標內結構（二元記分結構）19 圖 3-1 研究流程圖 ... 23 圖 4-1 能力指標 5-n-01 專家知識結構圖 ... 29 圖 4-2 能力指標 5-n-02 專家知識結構圖 ... 30 圖 4-3 能力指標 5-n-03 專家知識結構圖 ... 30 圖 4-4 能力指標 5-n-04 專家知識結構圖 ... 30 圖 4-5 能力指標 5-n-05 專家知識結構圖 ... 31 圖 4-6 能力指標 5-n-06 專家知識結構圖 ... 31 圖 4-7 能力指標 5-n-07 專家知識結構圖 ... 32 圖 4-8 能力指標 5-n-01 學生知識結構圖 ... 36 圖 4-9 能力指標 5-n-02 學生知識結構圖 ... 37 圖 4-10 能力指標 5-n-03 學生知識結構圖 ... 37 圖 4-11 能力指標 5-n-04 學生知識結構圖 ... 38 圖 4-12 能力指標 5-n-05 學生知識結構圖 ... 38 圖 4-13 能力指標 5-n-06 學生知識結構圖 ... 39 圖 4-14 能力指標 5-n-07 學生知識結構圖 ... 39 圖 4-15 數與量能力指標間之結構 ... 41

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圖 4-16 能力指標 5-n-06-1 畫面一 ... 42 圖 4-17 能力指標 5-n-06-1 畫面二 ... 43 圖 4-18 能力指標 5n06-1 畫面三 ... 43 圖 4-19 能力指標 5n06-1 畫面四 ... 44 圖 4-20 能力指標 5n06-1 畫面五 ... 44 圖 4-21 能力指標 5n06-1 畫面六 ... 45

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表目錄

表 2-1 試題 j 與試題 k 之聯合與邊際機率 ... 16 表 4-1 試題分析表 ... 33 表 4-2 數與量能力指標學習成效 ... 35 表 4-3 指標間順序係數矩陣 ... 40 表 4-4 指標間順序矩陣 ... 40 表 4-5 電腦適性診斷測驗成績 ... 41 表 4-6 補救教學適性前測、後測成對樣本檢定表 ... 45 表 4-7 高分組前、後測成績成對樣本檢定表 ... 46 表 4-8 中分組前、後測成績成對樣本檢定表 ... 46 表 4-9 低分組前、後測成績成對樣本檢定表 ... 46 表 4-10 能力指標通過率成對樣本檢定表 ... 48 表 4-11 成績相同未通過能力指標不同之學生作答紀錄 ... 50

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第一章緒論

第一節研究動機

教學評量所提供的回饋訊息，可以幫助教師明瞭學生的學習類型及學習困難所在，進而採取適當的補救措施，學生也可以因此更了解自己的學習情況及努力方向，然而國小教師平時課務繁忙，所謂的評量常常只是用來評定學生成績，無暇分析每一位學生的評量結果，喪失了教學評量的主要意義。九年一貫課程實施以來，教師更需多花許多時間分析教材內容與能力指標之間的關係，並設計適合的評量試卷來了解教學後學生是否已經達到九年一貫課程的能力指標，根據評量結果，來進行補教教學。如何讓教師能夠有效且快速的將學生的迷失概念找出來，即時的補救，避免錯過學習的關鍵期是一重要課題。目前九年一貫課程共分成七大學習領域，數學獨立為一個學習領域且分成五大學習主軸：數與量、圖形與空間、代數、統計與機率、連結等，再依年級不同細分成各項能力指標。本研究希望以五年級數學科數與量學習主軸為例，找尋出一套能夠減輕教師負擔，節省時間又能提高學習效率，達成九年一貫課程學習目標的解決之道。電腦化適性測驗具有題庫易於編修與管理、施測介面可具聲光效果，較接近真實情境、即時閱卷，立即提供老師及學生施測結果等優勢，測驗時可以依據每位學生不同作答狀態，給予不同試題數及試題序，能節省施測題數、縮短測驗時間，符合「因材施測」的原則。（郭伯臣，2004）

一般而言，電腦化適性測驗（computerized adaptive testing，簡稱 CAT）可分為二大類：一類是以試題反應理論（item response theory, IRT）為基礎(Wainer, 2000)，另一類則是以知識或試題結構為基礎（Brown & Burton, 1978; Wenger, 1987;VanLehn, 1988; Appleby, Samuels, Treasure -Jones, 1997; Chang, Liu & Chen,

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1998)。以試題反應理論為基礎的電腦化適性測驗，施測後，受試者成績為一「能力值」(ability) 或「量尺分數」(scale score)，較適合用於教育資源分配情境，例如：基本學力測驗、大學入學測驗等。若使用該分數來診斷學生錯誤概念，並不十分恰當，因為學生的錯誤類型相對於量尺分數並不具順序性或呈現線性排列，即並非所有學生皆會隨著分數增加，先出現錯誤類型1，而後出現錯誤類型 2，因此很難將錯誤類型與分數進行對應。郭伯臣（2003，2004）的國科會專題研究「國小數學科電腦化適性診斷測驗 (I)(II)」，主要目的在嘗試建立以知識及試題結構為基礎，發展具有診斷學生錯誤概念的電腦化適性測驗，此一適性測驗系統異於其它電腦測驗系統之處為：一、根據學生學習後之知識（試題）結構設計適性施測流程，可依不同受試者的作答情形而給予適當的試題，藉此節省大量的試題、縮短測驗時間，並可對學生的剖面圖得到精確的估計。二、根據學生的作答情形診斷出學生在數學科學習上的困難問題，對學生進行有利於電腦補救教學之分類，並即時進行補救教學。黃碧雲（2005）在「以能力指標結構為基礎的電腦適性測驗編製及動畫補救教學之應用─以國小數學領域四年級能力指標代數、統計與機率為例」中指出國小四年級學生在代數、統計與機率能力的電腦適性測驗有節省試題的效果，經過電腦動畫補救教學後，學生的平均分數有明顯的進步，達到顯著差異，但因限於時間與能力有限，希望未來可建立數學領域一至九年級能力指標題庫，擴大應用層面，增加系統的實用性。因此，研究者擬根據九年一貫課程的「五年級數與量」能力指標5n01~5n07 建立題庫及電腦輔助教學（Computer-Assisted Instruction; CAI)，使用郭伯臣教授所建置的電腦化適性測驗系統，以評估學生的學習成就，並根據測驗結果，診斷學生之學習困難，以進行補救教學。

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第二節研究目的

基於上述研究動機，本研究的主要目的有下列四點：一、建置五年級數學領域數與量能力指標5n01~5n07 的電腦化適性測驗及適性補救教學模組。二、驗證電腦適性診斷測驗是否能達成節省施測題數與達到預定之預測精準度。三、使用所建立的電腦適性測驗評估國小五年級學生在數與量能力指標 5n01~5n07 的學習成效。四、檢驗電腦適性補救教學是否具有成效。

第三節名詞定義

一、專家知識結構 專家知識結構是由學科專家根據學理以及經驗，分析施測範圍內所需具備的概念，再根據學生的學習歷程、概念發展順序及其概念間上下位關係整理而成的結構關係。 二、電腦化適性診斷測驗

本研究所指的電腦化適性診斷測驗（Computerized Adaptive Diagnostic Testing）是以知識結構為基礎的電腦適性測驗，與傳統電腦化測驗有很大的不同。首先進行施測時，它是選取最上位概念的題目予以作答，若受試者作答正確，則預測其通曉下位概念。若受試者答錯，則下一題將選取其答錯題目的下位概念的題目。透過這樣的選題方式，快速而精確的進行適性診斷，找出學生的學習困難，進行補救教學。

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三、電腦適性補救教學 補救教學是指當學生學習遇到問題時，依其個別需求，施予適當的課業輔導，以彌補正規教學之不足。在電腦的環境下，利用聲光影音等的活潑互動方式，輔助使用者在特定領域上進行學習，謂之電腦輔助教學（Computer-Assisted Instruction;CAI）。本研究中，結合補救教學及電腦輔助教學成為電腦化補救教學。

第四節研究限制

一、研究範圍： 數學領域五年級能力指標分為數與量、幾何、代數與統計，共計35 個指標，因範圍太大，因此共有5 位研究者共同完成，本研究範圍只限於數與量能力指標 5n01~5n07。 二、研究樣本： 本研究為考慮試卷蒐集及電腦施測的完整性和便利性，紙筆測驗的研究對象直接由研究團隊服務的學校，選取11 班為研究樣本；電腦施測研究對象由研究者服務的學校（台中市），選取七班為研究樣本。由於研究對象的限制，因此研究結果不宜做過度的推論。 三、研究工具： 為了使電腦閱卷計分正確和快速，紙筆測驗試題和電腦施測試題採選擇題的方式出題。另外，因時間因素，電腦適性診斷測驗需要求受試者於五年級能力指標學習完後，進行施測，否則即失去其研究意義。

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第二章文獻探討

第一節「數與量」能力指標內容分析

一、能力指標細目詮釋 九年一貫數學科五年級數與量能力指標5n01~5n07 的詮釋(教育部，2003)，分述如下： (一) 5n01 能在具體情境中，解決三步驟問題 本細目為檢查細目，可與5-n-02 結合，不必另立單元教學。 (二) 5n02 能熟練整數四則混合計算 這是小學對於整數四則混合計算的總結細目，學童應能熟練整數四則運算的性質，來簡化計算。此時數量範圍要配合年級逐漸加大。 (三) 5n03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數 (1) 以 1-n-07（幾個一數），2-n-08（九九乘法），3-n-04(除法)為前置經驗，理解因數、倍數的概念。 (2) 用列表的方式，尋找兩數的公因數與公倍數。學童應知道兩整數的乘積 一定是此兩數的公倍數。 (四) 5n04 能用約分、擴分處理等值分數的換算 在4-n-08 的前置經驗中，僅強調等值分數概念的認識。在本細目教學時，可由具體情境，解釋約分與擴分的意義，然後即應運用因數與倍數來理解約分與擴分，並做等值分數的換算。 (五) 5n05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減 (1) 本細目在小學應以簡單異分母為教學重點，所謂「簡單」係指兩分母滿足以下情況之一（a）分母均為一位數；（b）一分母為另一分母的倍數；（c）乘以 2、3、4、5 就可以找到兩分母之公倍數（例如兩分母為 12

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與18）。 (2) 通分是利用約分或擴分，將兩異分母的分數，變成兩同分母之等值分數 後，再來做兩同分母分數的比較與加減。 (3) 由於本細目只作通分概念的認識，並不要求化成最簡分數（參見 6-n-02）。所以此時學童在做通分時，可能只是做最簡單的分母相乘，但 教師應鼓勵學童盡量將答案約分為較簡單的分數。 (4) 注意學童經常發生的錯誤類型：分母與分子各自相加減。例：當比較 5 12， 3 7 的大小時，由通分分別為 35 12 7× 及 36 12 7× 。因此，發現不需算出 12 7× 就可得出 3 7 > 5 12。 (六) 5n06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵 (1) 先回顧用測量來理解除法的操作方式（3-n-04 中平分線段的例題）。 (2) 例：給定一條長繩長度為 35 公分，以一段長度為 4 公分的木條去測量並標記（想成要將長繩剪成4 公分長的短繩）。由整數計算知 35 除以 4 得到8（段），但還剩下 3 公分。3 公分的長度，相當於 4 公分的 3 4，因此可將剩下的 3 公分的繩子，記成 3 4 段。於是可以將整個測量結果，記成 35 ÷ 4＝8＋3 4（段）或8 3 4（段）。用假分數與帶分數的互換，檢查這個等式的意義（注意到在測量情境中，真分數、假分數與帶分數結合的方式）。 (七) 5n07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題 (1) 分數計算的課題，不管是從形式練習面著手，還是從情境說明著手，學童都需要經常練習，兩者俱進，才會熟練。本細目在教學上應先處理帶分數乘以整數的問題，再處理整數乘以分數的情況，最後處理被乘數為

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一般分數的情形。理解「分數乘以分數」的方式很多，底下只是一些方法的範例，並不表示教師必須全部教完。 (2) 在乘數為分數的教學中，最要注意的錯誤類型，是學童認為「乘積一定比被乘數大」，對於這個基於整數計算經驗的錯誤類推，教師需細心處 理。最好在最容易理解的「乘數為單位分數」的情況下，就要開始處理。 (3) 乘數為分數的教學宜先從單位分數開始。3-n-09 中談一數的「幾分之一」是本細目的前置經驗，但不完全相同。「分數倍」的理解比較抽象，可讓 學童從已經熟練的直覺與運算上，認識其合理性。 (4) 例：1 個披薩 300 元，2 個披薩 600 元等，將幾個轉成幾倍來列式，再問「如果兩個人平分1 個披薩（即各吃1 2個披薩），應該各付多少錢？如果三個人各吃1 3個披薩呢？如果五個人各吃 1 5個披薩呢？」讓學童理解 ×1 2、× 1 3、× 1 5，其實就是二等分（除以2、「的二分之一」、「的一半」）、三等分（除以3、「的三分之一」）、五等分（除以 5，「的五分之一」）。在 此例要小心「元」這個單位不能再分，因此被乘數必須能被整除。 (5) 與上例類似的連續量例子：從測量情境的分數「整數相除」意涵入手，假設作為測量單位的木條長5 公分，那麼測量結果，1 段就是 5 公分，2 段就是10 公分，因此「段」也可以作為倍數來理解，這時問1 2段應該是多長，顯然就應該是5÷2＝5 2 公分。如此也可以得到一樣的結果。 (6) 例：由長方形的面積公式入手（只處理乘數是單位分數，參見 4-n-15）。由於邊長是連續量，很適合用在分數與小數的教學，但要注意4-n-15 的面積公式邊長都是整數。先固定面積公式中的「長」，例如10 公分，看出當「寬」為1 與1 3的差別是，後者的總面積是前者總面積（10×1＝10）

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的三等分，因此應該是10×1 3＝ 10 3 ，以此類推。 (7) 以上處理單位分數倍的方式，可以建立×1 2就是÷2，× 1 3就是÷3 的概念。接著，討論乘數分子不為 1 的情況如3 2倍的情況，先在上述類似具體情境中（面積中可能要用到等積異形），理解這其實就是÷2 ×3 或×3 ÷2；或者用測量模型，則×3 2相當於×1 1 2（亦即1 段加半段）。並可由此得到一般分數倍的計算方式： 5×3 2＝5×3÷2＝ 5 3 2 × ＝15 2 。接著，再說明 5 4× 3 2＝ 5 4×3÷2＝ 5 3 4 × ÷2＝5 3 4 2 × × ＝ 15 8 。 (8) 如果要一次完成分數乘以分數，也可以深入探討長方形面積公式。例如要處理長為 3 2公分，寬為 5 4公分的長方形，則可將長方形分割成 15 個長為1 2公分，寬為 1 4公分的小長方形，再將小長方形與邊長 1 公分的正方形比較，知道其面積是1 8平方公分，因此總面積為 1 8×15＝ 15 8 平方公分。 二、因數與倍數 八十二年國民小學數學科課程標準教材綱要數與計算部份，在五年級要求出現因數、公因數的認識，倍數、公倍數的認識。（謝堅，1997） (一)因數問題：從數的情境進入因數的意義，對學生而言，會出現很大的不適應，因為數的本身相當抽象，而學生的測量運思尚未發展完全，所以在課程安排上宜先由情境問題進入，探討因數的意義，待學生累積足夠的經驗後，再正式引入因數的意義。

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因數的課程是使用除法的觀點，由總量為問題的起點，探討可能組成的單位量，來處理因數的啟蒙問題，為了讓學童在各種情境問題中，都能掌握總量可以由哪些單位量組成的意義，可以透過下列三種問題情境，幫助學童逐步形成因數的概念：在方陣排列問題中，探討給定總量的方陣之可能排法，例如先給定一個總量（以 12 個全等的小正方形塊為例），要求學童將小正方形排成長方形（不可排成中空的長方形），希望在全班的合作下，窮盡所有的排法，讓學童經驗給定總量的方陣可以有不同的排法；在包含除及等分除的情境問題中，給定總量，要求學童回答可能的等分組方式，例如透過問題「有18 個小朋友，全部分組做實驗，分出的組，每一組的人數都要一樣多，一組可以有多少個小朋友，分分看？」，幫助學童掌握總量可以由哪些單位量組成的意義；在倍的問題情境中，給定總數，要求學童解決可能組成單位量的數值問題，例如透過問題「幾包鉛筆合起來有16 支，每一包鉛筆的枝數都一樣多，一包有多少枝鉛筆？」，幫助學童掌握哪些單位量可以組成總量的意義。同時亦透過限制使用除法算式來記錄解決前述問題解題過程的方式，希望學生在各種情境問題中，都能掌握總量可以由哪些單位量組成的意義，並形成以總量為起點，使用除法算式記錄解題過程的共識，不希望學生以部分的觀點，透過合成的方式來看問題，例如：1、2、3、4、 6、12 都可以累積成 12，而希望學生由全體的觀點，透過分解的方式來看問題，例如：12 可以 1、2、3、4、6、12 為單位量來組成。當學生在各種情境問題中，都能掌握總量可以由哪些單位量組成的意義，並能使用除法算式來記錄解題的過程，逐步形成因數的概念後，開始透過學生所熟悉的方陣排列問題：「24 個小朋友排成的長方形隊伍中，每一排的人數都要一樣多，而且要全部排完，一排可以排幾個小朋友？」，要求學生討論要怎麼分，並限制使用有除號的算式把做法記下來，接著脫離量的情境，要求學生看著記錄，說出24 除以多少時，可以剛好分完，沒有剩下，並透過「24 除以 2，剛好

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分完，沒有剩下，並且24 和 2 都是整數，所以 2 是 24 的因數」的討論方式，引入因數的意義。 (二)因數和倍數的關係：在數學上，是以除法原理（若有a、b 兩個正整數，則必可找到 q、r 兩個非負整數，滿足a＝b×q＋r 的關係，且 b＞r ≧ 0）為基礎，透過判斷 a 是否能整除b（餘數是否為 0）的方式，引入因數與倍數的定義：「設 a、b 是兩個正整數，若a＝b×q＋r，其中 q 是正整數且 r＝0，則稱 b 是 a 的因數，或稱 a 是 b 的倍數」（在國小數學中，因數與倍數的討論，以正整數為範圍）。因數問題是指定一個正整數，找出以哪些正整數為單位量，可以用乘法性地合成這個指定的正整數，例如：探討6 的因數時，一個 6 是 6；二個 3 是 6；三個 2 是 6；六個 1 是 6，因此 6、3、2、1 皆是可以乘法性地合成 6 的單位量，稱之為 6 的因數。相反地，倍數問題是指定一個正整數做為單位量，詢問由此單位量可以乘法性地生成哪些正整數，例如：探討6 的倍數時，以 6 為單位量可以產生 6、12、18、....，這些以6 為單位量所生成的正整數，稱之為 6 的倍數。因此，因數問題是向內探討組成一個正整數的單位量；而倍數問題是向外探討以一個正整數為單位量，可以生成哪些正整數，這是兩個相反方向的問題探討。在數學上，大都直接透過因數的意義來引入倍數（若 b 是 a 的因數，就等同於a 是 b 的倍數），這是因為成人已發展出測量運思，可以彈性地互換單位量與單位數的角色，並已瞭解乘法、除法互為逆運算的關係，因此成人可以掌握因數與倍數的相對關係，明白a 是 b 的因數時，b 就是 a 的倍數的意義。但是對測量運思尚未發展完全的學童而言，並不易掌握因數與倍數的相對關係，因此在課程安排上不採用此方式來引入倍數，而分別從不同的角度引入因數與倍數的意義：在給定總數並尋找可能的單位量數值問題中，討論因數的意義，而在乘數未知算式填充題情境下，討論積數是否為被乘數的倍數，來介紹倍數的意義。

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為了幫助學童能察覺因數、倍數間的相對關係，並經驗數概念的乘法性結構，可透過下列活動，逐漸培養學童測量運思的發展：(1)透過判斷一個整數是否為其因數的整數倍的方式，讓學童察覺此整數為其所有因數的倍數；(2)透過先求出某數所有的因數，再判斷該數是否為其所有因數的倍數的方式，幫助學童察覺一數是其所有因數的公倍數；(3)透過解決兩數相乘問題，幫助學童察覺兩數相乘的積數為兩數的公倍數，並希望學童能不經過計算的過程，就直接能判斷兩數相乘的積數為兩數的公倍數。 (三)倍數問題：在倍數的意義引入方面，使用和因數不同的方法，因為因數概念相當抽象，學生也較少接觸類似的問題，因此先在情境問題中討論可能組成的單位量，待學生累積足夠經驗後，才引入因數的意義。而現階段的學生已有許多倍的問題之解題經驗，也經常使用倍的語言，有足夠的經驗，可以直接引入倍數的意義，因此可透過乘數未知的乘法算式填充題「2×（）＝10」，先要求學童解題，再經由語言的轉換，2 的 5 倍是 10，所以 10 是 2 的 5 倍，引入倍數的意義：「10 是 2 的5 倍，而且 2、5、10 都是整數，所以說 10 是 2 的倍數」，當學生有能力與方法判斷某數是否為另一數的倍數時，以某一正整數為起點，使用乘以整數倍的方式，求出該正整數在某一數量範圍內的所有倍數。在數學上，如果 a 是 b 的倍數（b 是 a 的因數），則 a、b 要滿足下列三個條件：(1)a、b 都是整數；(2)b≠0；(3)存在一個整數 q，滿足 a＝b×q。利用這個定義可以清楚的分辨「0 是否為 2 的倍數？」、「2 是否為 0.2 的倍數？」、「0 是否為偶數？」、「0.2 是否為偶數？」等問題，這些都是常在因數與倍數課程教學時，經常會在教室裡被提出的問題，而國小階段討論倍數問題時，不宜包含 0，因為 0 相當抽象，而且在日常生活中，不容易找到例子讓學生了解，任何正整數都可以當做單位量來組成0，也就是說，學生不容易接受 0 是任意正整數的

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倍數，所以，在國小階段討論「甲是乙的倍數」時，指的是甲、乙兩個正整數，滿足甲數除以乙數的商數也是正整數，且餘數為0 的關係，和日常生活中所談論的「甲是乙的幾倍」不同，日常生活中所指的幾倍是數量上的多少倍，甲或乙並不一定要是整數，兩者間也不一定要滿足整數倍的關係。 (四)公因數問題：利用探討兩個量是否有共同組成的單位量的方式，引入公因數的啟蒙問題：甲、乙兩個量（例如12 與 18），以 1、2、3、4、6、12 為單位量，都可以組成 12，而以 1、2、3、6、9、18 為單位量，都可以組成 18，其中 1、2、3、6 既是組成12 的單位量，又是組成 18 的單位量，所以利用 12 與 18 都可以由 1、2、 3、6 這些單位量組成的方式，來引入公因數的初步概念。而與因數問題相同，在課程安排上也透過三種問題情境，幫助學童逐步形成公因數的概念：(1)在方陣排列問題中，探討兩個方陣的可能連接方式：例如要求學童分別找出 12 個女生及18 個男生所有可能的方陣排列方式，在要求將兩個呈方陣排列的隊伍接起來，能夠排成一個大方陣的限制下，討論男生與女生每排的人數要一樣（相同的單位量），才能將隊伍接起來，讓學童經驗兩方陣可以有不同的接法；(2)透過包含除及等分除的情境問題，先要求學童分別找出兩相異量各自的可能等分組的方式，再透過比較各自的等分組方式，解決等分組的可能數值問題；(3)在倍的問題情境下，給定兩總量，透過比較各自可能的單位量數值，找出相同單位量的可能數值。希望學童在各種情境問題中，都能解決兩總量可以有哪些相同單位量的問題，來為形成公因數的概念舖路。當學童在不同問題情境下，累積許多解決兩總量可以有哪些相同單位量的活動經驗，以及在數的情境下，討論因數問題的活動經驗後，可直接在數的情境下引入公因數的意義，要求學童先分別列出兩數（以40 與 20 為例）的因數，再透過討論其中某因數（以 4 為例）是否為兩數共同因數的方式，引入公因數的意

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義（4 是 40 的因數，也是 20 的因數，所以 4 是 40 和 20 的公因數）。課程安排上要限制學童在開始學習公因數意義時，使用先窮盡兩數量各自可能由哪些單位量組成，再尋找都能組成兩數量的共同單位量的方式解題，經驗公因數是兩數量共同因數的意義，等學童能掌握公因數的意義後，再接受其他的解題策略，例如使用嘗試錯誤的解題策略，分別判斷兩數量是否都能由某單位量組成。 (五)公倍數問題：以探討一個指定正整數有哪些因數為基礎，來探討兩個正整數有哪些共同因數的問題，這些共同的因數稱為公因數。同樣地，以探討一個指定正整數有哪些倍數為基礎，可以探討兩個正整數有哪些共同的倍數的問題，這些共同的倍數稱為公倍數。當學童已有求出某數在某一數量範圍內的所有倍數，以及求取兩數公因數的經驗後，應該也能夠掌握公倍數的意義。課程上在數的情境下，要求學童分別求出兩數（例如 3 與 4）在某一數量範圍內的倍數，透過兩數各自的倍數的比較活動，引入公倍數的意義：「12 是 3 的倍數，12 也是 4 的倍數，所以 12 是 3 和 4 的公倍數」。 三、擴分與約分 針對擴分、約分教材概念，蔡昆穎(2003)提到擴分是指一個分數，用同一個不等於零的數同時去乘以分子和分母，其分數的值不變。擴分的方法，可以先經由實物（如圓形圖形）的等分割方式，如 2 1 、 4 2 、 8 4 ，讓兒童比較之間是否一樣大。再引入算式部分，如： 2 1 ＝ 4 2 ＝ 8 4 。

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約分是擴分的逆算，約分是指一個分數，用同一個比1 大的公因數同時去除以分子和分母，其分數的值不變。當一個分數的分子和分母不能再約分時，此分數稱為最簡分數。約分的方法因必須具備因數與公因數的概念，所以，教師可以先復習此方面的教材。因數問題是討論一個正整數，可以由哪幾個正整數為單位量，經由乘法的方式來合成。如：12 有哪些因數時，1 個 12 是 12、2 個 6 是 12、 3 個 4 是 12、4 個 3 是 12、6 個 2 是 12、12 個 1 是 12，所以 12、6、4、3、2、1 都是12 的因數。因數的求法，可以先經由排列的方式來嘗試，要求兒童要剛好分完而且每一排要一樣多。如12 個小正方形的紙片，可以排成怎樣的長方形，引導兒童應用各種的排列方式，找出所有可能的長方形，以建立因數的初步概念。進一步的，使用除法（包含除與等分除）解決剛好分完的情況，再用有除號的算式記錄問題。從剛好可以分完的數字中，建立因數的概念。在教學中教師宜引導兒童思考，使用何種方式（如：具體排列、等分除、包含除、乘法……等）可以正確而且沒有遺漏（如由小至大）的找到所有的因數。公因數則是兩個（或以上）正整數之間的關係，如果一個數同時是兩個正整數的共同因數，則稱此數為它們的公因數。公因數的求法與因數的求法相似，當兒童找出個別正整數的所有因數時，教師引導兒童去發現它們之間有什麼關係，從兒童找到了有許多因數是相同的之後。教師再進一步與兒童討論，建立公因數的瞭解與求法。約分的方法，亦可先經由實際圖形的比較，再引入算式部分。由於約分是以分子與分母的共同因數進行逐次的約分活動。兒童對於因數的尋找會因能力而異，只要能使用正確的公因數進行約分活動即可，不宜強調一定要用最大公因數來約分，並引入最簡分數的概念。通分是指二個以上的分數，運用擴分或約分的方法，將不同分母的分數，變成相同分母的分數。即把異分母分數經由擴分或約分後變成相同分母的過程，稱

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為通分。通分因涉及到二個以上的分數，在運用擴分或約分的方法，將不同分母的分數，變成相同分母的分數中。如果是必須將分母擴大，則必須使用擴分的概念。此時，學生必須具備倍數與公倍數的概念。所以，教師應審察學生概念，適時複習倍數方面的教材。倍數問題是討論一個正整數，可以由這個正整數為單位量，經由乘法的方式來產生哪些正整數。如12 有哪些倍數時，1 個 12 是 12、2 個 12 是 24、3 個 12 是 36、4 個12 是 48……。所以，12、24、36、48……都是 12 的倍數。倍數的求法，可以使用逐一乘以正整數的方式來計算，要求兒童算出在某一範圍的所有倍數。或是經由乘法的算式填充題方式，如：2×12＝24，24 是 2 和 12 的倍數。也可以透過因數與公因數單元的經驗，引導兒童發現倍數的求法。與公因數相似的，公倍數也是兩個（或以上）正整數之間的關係，如果一個數同時是兩個（或以上）正整數的共同倍數，則稱此數為它們的公倍數。公倍數的求法與倍數的求法相似，當兒童找出個別正整數的一些倍數時，教師引導兒童去發現它們之間有什麼關係，如果兒童找到了有許多倍數是相同的，教師再進一步與兒童討論，建立公倍數的瞭解與求法。運用公倍數與最小公倍數，再進行通分的學習。在通分的過程中，學生對於共同分母的決定如無法立即判斷，可以引導使用計算最小公倍數的方式，來決定分母的大小。通分的過程如果是必須將分母縮小，則必須使用約分的概念。此時的約分是指將二個以上的分數分別約分至相同分母。

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第二節以試題結構為基礎之電腦診斷測驗

一、專家知識結構 由具有數學科專業知識的專家，分析教材概念，運用「概念構圖」的理論，繪成知識結構概念層次圖，用以於分析學生產生學習障礙時，是哪一個知識概念讓學生出現了錯誤迷思。 二、試題順序結構理論與試題關聯結構分析法

Airasian & Bart (1973）的「順序理論」(ordering theory, OT）及 Takaya (1991) 的「試題關聯結構法」(item relationship structure analysis, IRS)是常用來定義試題間結構的方法。茲將此二理論敘述於下：令X表示一個包含 n 個二元試題成績隨機變數的隨機向量，每一位受試者作 答 n 題後X可表示成( ,X X₁ ₂, ,X_n)，試題 j 跟 k 的聯合與邊際機率可以如表 2-1 所示。表2-1 試題 j 與試題 k 之聯合與邊際機率 試題 k 1 = k X X_k =0 Total 1 j X = P X( j=1,Xk=1) P X( j=1,Xk=0) P X( j=1) 0 j X = P X( _j=0,X_k=1) P X( j=0,Xk =0) P X( j=0) 試題 j Total P X( _k=1) P X( _k =0) 1 在順序理論OT 中，令 * ₌ ( ₌0, ₌1) k j jk PX X ε 表違反試題 j 為試題 k 之下位試題之

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機率，當ε* <ε jk 時，其中ε為一閾值（threshold)，常設定介於 0.02 及 0.04 間（0.02≤ε ≤0.04），則設定試題 j 為試題 k 之下位試題，記錄成Xj →Xk。 Takeya(1991）發現經由 OT 所得之受試者試題結構與試題間之相關係數有些情況會產生矛盾，故提出試題關聯結構分析法，希望透過另一種測量試題順序結構之係數 * jk r 來定義試題到試題 k 之間的順序關係，以修正 OT 之不足，r_jk*的定義為： ) 1 ( ) 0 ( ) 1 , 0 ( 1 * = = = = − = k j k j jk X P X P X X P r 若r_jk* ≥r，則設定試題 j 為試題 k 之下位試題，記錄為X_j →X_k，其中r為一閾值(threshold)，常設定為 0.5。在 OT 及 IRS 中，若Xj →Xk且Xk →Xj，則兩者的關係可以表示成Xj ↔Xk，而且這樣表示試題 j 與試題 k 是等價的。 三、以 OT 為基礎的電腦適性化測驗 早期前述方法主要常用於比較使用不同教學法或教材版本，是否造成學生知識結構不同，何政翰(2004)以專家知識結構及前述兩種方法建立學生知識結構，做為電腦適性測驗選題策略並評估所建立結構之成效，得到以下結論：（一）使用專家知識結構之電腦適性測驗演算法預測精確度較難控制，使用學生試題結構之電腦適性測驗演算法，由於可藉由閾值控制結構，因此可獲得較令人滿意預測精確度。（二）以OT 結構為基礎的電腦適性化測驗系統是相當具有潛力且有效率的評量模式

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四、多點記分試題順序結構理論 本研究以能力指標為基礎設計電腦適性測驗，每一個能力指標內包含許多概念，每一概念可用一個題目來表示學生概念之有無，運用OT 理論可以容易的建立每一個能力指標內的學生知識結構，但如何結合各個指標間的學習上下位順序，就必須運用多點記分試題順序結構理論了。「態度問題關聯結構分析法」原稱「語意結構（Semantic structure）分析法」，簡稱SS 分析法，是日本心理計量學者竹谷誠於 1987 年所倡（Makoto & Takeya， 1999；胡豐榮，2001），此法利用圖形理論（Graph theory），將態度尺度資料分析出潛在之階層結構，然後再利用該階層結構來解釋態度資料間之關聯。進行語意結構分析時，上位問題的平均評分高於下位問題，此種記分方式有別於前述之試題順序結構。竹谷誠將常見之選項數相等之非類別態度尺度資料，依記分方式之不同分為兩種，劉湘川（2003）稱之為「等級記分資料」、「對稱記分資料」，竹谷誠分別提出了前二者專有之「問題關聯順序係數」，惟兩種記分資料間，不能互相通用，且只適用於所有問題選項數均相等時。劉湘川（2003）針對「等級記分資料」及「對稱記分資料」提出「一階廣義問題關聯順序係數」公式，不論選項數相等與否、亦不論是否為等級記分、對稱記分或其混合型記分資料，均一體適用。劉湘川、楊志良（2003）提出較靈敏有效不會高估之「改進一級廣義問題關聯順序係數」，劉湘川、簡茂發（2004）提出具同等功能且訊息量更多之「s 級廣義問題關聯順序係數」。本研究運用上述之方法可以建立各個指標間的關聯順序再加上以OT 理論來建立指標內概念結構，結合成本研究中之學生知識結構，如圖2-1

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圖2-1 指標間結構（多點記分結構）與指標內結構（二元記分結構）圖2-1 中當學生完成能力指標 1 內的試題結構並計算出得分後，根據預先設立之通過閾值來判斷學生是否具有能力指標1 之能力，若有則代表此學生亦具有其他指標之能力，測驗到此結束；若無則必須再施測能力指標 2 及能力指標 3 內之試題，同樣的能力指標 2 及能力指標 3 亦有預設之通過閾值來判斷學生能力之有無，以此類推來達到節省試題之目的。因此，本研究將以 OT 理論及多點計分順序理論為基礎所建立之學生知識結構作為電腦化適性診斷測驗之選題策略，以期能達到減少試題及高預測精準度之研究目的。能力指標1 能力指標3 能力指標2 能力指標4

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第三節電腦補救教學的模式

目前國內常見的補救教學方式大部分為傳統整班的補救教學法、同儕教學法、個別處方教學法(individually prescribed instruction)等，近年來由於電腦技術突飛猛進，電腦輔助教學(Computer Assisted Instruction,簡稱 CAI)也被用來作為提供低成就學生之補救教學法之一。 CAI 是指運用電腦之交談式或互動式的功能來引介教材，以提供個別或個別化之一種教學環境而言。國內學者饒達欽(1990)給 CAI 下了如此定義：藉由電腦程式的規劃使得學習內容有序顯示，學習者並可隨機控制學習進度及內容的過程，即稱之CAI。一般而言，電腦輔助教學，大約有下列五種的表達型態（洪榮昭、劉明洲， 1996），每一種都有其特色，在編寫 CAI 的軟體時，可依實際需要，採單一種或多種混合，讓此軟體更豐富。一、自我學習或教導式其作法為系統地將教學內容設計為可讀性的教材，直接或間接地搬進(設計程式)電腦中，讓學生從中學習以達成教學目標。並且依照學生學習能力、程度的不同，透過電腦的操作功能，對學生解釋不同知識的內涵，以增加學習的成效。其基本元素乃對一觀念做說明，而後立即測驗其認知能力，藉此兩者有秩序的交替，提供學習者進行學習。此外，為避免其抗拒學習的心態，在教材的編寫上亦應有立即適當的反應。必須在學生學習時隨時提供線索，以引導或協助學習者解決無法進行的步驟。二、練習式練習式通常使用在學生已接受過某單元課程，欲藉多次練習以熟悉該觀念或技能的教學方式。亦即在電腦呈現一個問題，由學生提供答案，答對給予獎勵(正增強)，答錯則給予懲罰(負面增強)，過程持續循環，直到精熟為止。就結構本身

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言，練習法CAI 比較符合較低層次學習的需要，如信號及生字記憶的學習，就是要透過反覆的刺激及練習，來加強學習效果的保留。練習式CAI 與教導式 CAI 的不同，在於前者著重於舊知識的增強，後者則重視新知識的傳授。三、模擬式此種CAI，乃在電腦呈現一個模擬真實社會的假想情境，由學生操弄該情境中的某些變因，並觀察操弄的結果，以修正自己的行為，從而學習解決問題的能力。其優點便是將抽象化的知識轉化成具體經驗的學習方式，更能獲致有效學習。模擬式CAI 的功能是用來教導「操作性知識」，其與教導式 CAI 的不同，乃在教導式CAI 乃強調「敘述性知識」，並著重觀念的獲得。四、教學遊戲式遊戲本身亦是一種重要的學習模式，也最能引起學習者動機。遊戲式CAI 所呈現的情境，通常跳脫真實世界，並且須與自己或他人競爭。然如果一昧尋求感官的刺激，而忽略其教育目標，則不具教學意義了。五、問題解決式問題解決式CAI 是指學生利用已有的數據，在電腦求得所需的答案。在學校課程的應用範圍，多為數學、理化等科目。學生於使用此CAI 時，通常必須具撰寫電腦程式的邏輯概念，並對該問題的知識及變數已有深入的了解。另外，隨著電腦科技的發展及程式語言使用之不同，CAI 也有不同的發展。一、傳統電腦輔助教學基於行為主義的學習理論，強調反覆練習及回饋機制。將教材編序性的呈現，讓使用者反覆練習，並對學習者的反應給予適當回饋。二、智慧型電腦輔助教學結合電腦科學、心理學、教育與訓練，在CAI 設計上涉及人性因素及自動化作用，包含專家系統、自然語言的了解及機器人的因素。其目的乃應用人工智慧的相關技術來發展高度個別化的教學軟體，讓CAI 具了解教學內容、教學對

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象、何時教及如何教的智慧。三、多媒體電腦輔助教學利用電腦將文字、圖片、動畫、聲音、影像等各種不同媒體整合成為教材內容，來進行教學的工作。其目的乃在使學習者與教學系統間促成更佳的溝通。四、網路化電腦輔助教學將CAI 課程設計架設於網路上，利用網路多點連結方式及即時互動設計之特性，建構出一個共同學習的社群，可以彌補上述CAI 中互動性不足之缺點，因此乃為目前之趨勢。由上可知，電腦可以給予學生立即性的正向回饋有助於加強學生的學習動機，並且經由回饋可以提昇學生對於數學科的自我概念。所以，老師可以設計數學遊戲或活動，並適時的提供低成就兒童自我概念上的輔導，以及利用多媒體的電腦輔助教學設計引起學生學習的動機，降低其對數學的恐懼感。由此看來，目前國小補救教學因人力、時間、學生學習風格差異等因素，使得補救教學的成效限制，正可以利用電腦輔助教學的優點來彌補目前學校補救教學之不足。

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第三章研究方法

第一節研究流程

根據研究目的設計研究流程如圖3-1：確立研究目的文獻探討及分析建立能力指標 5n01~5n07 專家知識結構學科專家審查知識結構根據專家知識結構設計補救教學模組根據專家知識結構編製測驗試題學科專家分析試題編製紙筆測驗試卷紙筆測驗施測建立學生知識結構學生知識結構及試題輸入電腦題庫系統電腦系統整合實施電腦施測(前測) 實施電腦補救教學實施電腦施測(後測) 資料分析整理撰寫研究論文不通過通過通過不通過

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第二節研究對象

本研究對象的選取方式如下： 一、預試樣本 紙筆診斷測驗選取對象為九十三學年度六年級學生，包括台中市建平國小 1 個班級，台中市健行國小1 個班級，彰化縣洛津國小 1 個班級，彰化縣伸仁國小 2 個班級，南投縣北投國小 2 個班級，雲林縣立仁國小 2 個班級，雲林縣尖山國小 1 個班級，台南市學東國小 1 個班級，有效樣本共計 306 人，施測時間為 93 年10~11 月。 二、電腦化適性測驗施測樣本 電腦化適性測驗施測的選取對象為已接受九年一貫數學能力指標中數與量教學的國小五年級學生，台中市健行國小7 個班級，有效樣本共計 160 人，施測時間為95 年 5 月。

第三節研究步驟

一、建置能力指標 5n01~5n07 專家知識結構 依教育部（2003）所訂的九年一貫數學領域五年級數與量能力指標，參考相關文獻資料，並根據知識結構編製原則，分析能力指標內所包含的學習概念，原則上每一概念可用一題測驗題來決定學生概念之有無，並訂出各相關概念間在學生學習上的上下位次序關係，建立知識結構草案。之後，邀請有編製電腦化適性診斷測驗經驗的國小教師（附錄三)，根據知識結構檢核表，建立五年級數與量能力指標的專家知識結構圖。五年級數與量有19 個能力指標，本研究只採用前 7 個指標5n01~5n07，共分析出 27 個概念，其他能力指標由本研究團隊另兩位成員負責分析研究，並與其他兩位成員共五位合力完成五年級所有能力指標之研究。

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二、編製紙筆測驗及進行施測 建立專家知識結構後，依此結構編製紙筆測驗之試題。根據命題程序，每一個節點編製兩題副本試題，並邀請上述國小教師，根據電腦化適性診斷測驗之命題檢核表檢核試題，本研究有7 個指標，27 個概念，共計 54 題試題。能力指標試題化後，將試題編製成試卷，以進行紙筆診斷測驗。本測驗結合五位共同以五年級數學科能力指標的研究者，將數學領域五年級全部的能力指標試題，編製成 18 份試卷，每份試卷為 23 或 24 題，請九十三學年度六年級學生進行測驗，受試者需在二個月內全部施測完。 三、建立電腦適性測驗及補救教學系統 將紙筆診斷測驗的結果利用順序理論（OT）找出每一個能力指標內相關概念的上下位關係及利用多點記分試題順序結構理論透過Matlab 分析軟體，找出各個能力指標間的上下位結構，完成學生知識結構以作為電腦適性化測驗系統之選題策略依據。依紙筆測驗資料分析結果，檢討與適度修改試題，並將試題輸入電腦適性測驗之題庫中，再依專家知識結構與紙筆測驗結果，由研究者自編九年一貫數學領域數與量能力指標的補救教學教材腳本與動畫，利用FLASH MX 2004 編製各概念之電腦適性補救教學模組。結合學生知識結構、試題及補救教學模組，完成建置五年級數學領域數與量能力指標的電腦化適性診斷測驗及補救教學系統。 四、施行電腦適性診斷測驗(前測) 為達成研究目的，本研究利用「電腦適性化測驗系統」（郭伯臣、何政翰，2004），將紙筆診斷測驗轉換成線上診斷測驗之後，來探討是否可以用最短的時間測出學生的能力，將進行下列實驗來檢驗，每個實驗將抽樣7 個班級，作為實驗對象，詳細步驟說明如下：

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實驗步驟： (一)、系統使用說明（10 分鐘） (二)、線上診斷測驗（30 分鐘）為達到此一目的，步驟二的電腦測驗其試題呈現次序，首先會依照適性測驗施測流程，進行施測，當每位學生作答完畢後，再將原紙筆測驗中未於前述適性測驗中出現之試題進行施測，亦即所有學生將會作答原紙筆測驗中所有試題，如此方可計算其適性診斷測驗結果之成功預測率，獲得電腦化、適性化後真正能節省試題數。 五、施行補救教學及進行電腦適性診斷測驗(後測) 為達成研究目的，以電腦適性補救教學模組進行實驗補救教學的實驗，根據學生前測電腦分析的錯誤概念進行補救教學，補救教學完再一次進行電腦化適性測驗，以證明補救教學是有效的。詳細步驟說明如下：實驗步驟： (一)、電腦補救教學（20 分鐘） (二)、電腦適性化測驗（30 分鐘）本實驗主要目的在於利用前後測的結果，來檢驗「線上適性補救教學」是否具有成效。如結果是正向的，則未來本系統使用者將可以減少評量時間，改善學習成效。 六、分析能力指標的學習成效 為達成目的，利用電腦適性化測驗系統結果，分析學生在各能力指標之通過率，以評估國小五年級學童在數與量能力指標方面的學習成效。

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第四節研究工具

一、五年級能力指標數與量的紙筆診斷測驗 建立能力指標專家知識結構，再依據能力指標專家知識結構編製診斷測驗之試題。試題內容如附錄一。 二、建立學生試題結構的軟體 (一)、能力指標內的試題結構：以 OT 訂出適當的閾值，分析二元記分的學生試題順序結構。 (二)、能力指標間的結構：以林文質（2005）之多點記分試題結構為基礎的電腦適性測驗演算法，透過Mathlab 軟體分析能力指標間的結構。 三、動畫補救教學 補救教學依據專家知識結構及參考相關資料，並與指導教授討論後利用 Macromedia Flash MX 2004 製作完成，再邀請有編製電腦化適性診斷測驗經驗的八位國小教師進行專家效度的檢定，皆認為本工具可達到學習目標與補救教學之成效，故本研究認為此工具之專家效度良好。 四、電腦化適性診斷測驗 將學生知識結構、施測試題、補救教學模組輸入電腦化適性診斷測驗系統（郭伯臣等，2004），完成五年級數學領域數與量能力指標的電腦化適性診斷測驗及補救教學系統。

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第四章研究結果

本章將根據前述的研究動機、目的及研究步驟流程，呈現本研究的結果。

第一節電腦適性診斷測驗題庫之建置

本研究分析每一個能力指標並建立能完全解釋其意義之專家知識結構，依據專家知識結構的節點編製試題，來達到將能力指標試題化的目的，經過紙筆測驗結果分析，再將適當的試題輸入電腦，完成電腦適性測驗題庫，以下詳述題庫建置方法： 一、五年級數學領域數與量能力指標 5n01~5n07 的專家知識結構 依據「電腦化適性診斷測驗之研究」（陳怡如等，2004），參考能力指標相關文獻資料，並根據知識結構編製原則，訂出各相關概念間的上下位次序關係，並邀請有編製電腦化適性診斷測驗經驗的國小教師，根據知識結構檢核表檢核，建立五年級數與量能力指標5n01~5n07 的專家知識結構圖，其結構如下： (一) 5-n-01 能在具體情境中，解決三步驟問題。圖4-1 能力指標 5-n-01 專家知識結構圖 1 ＋－×應用問題 2 ＋－÷應用問題 3 －×÷應用問題 4 ＋×÷應用問題

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(二) 5-n-02 能熟練整數四則混合計算。圖4-2 能力指標 5-n-02 專家知識結構圖 (三) 5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。圖4-3 能力指標 5-n-03 專家知識結構圖 (四) 5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。圖4-4 能力指標 5-n-04 專家知識結構圖利用先乘再除等於先除再乘的性質計算利用連除兩數等於除以此兩數之積的性質計算利用乘法結合律的性質計算利用乘法對加法的分配律的性質計算 1 有括號時，括號內的運算先進行 2 先乘除後加減 1-1 找出倍數 1 找出公倍數 2 找出公因數 2-1 找出因數 1-1 約分 2-1 擴分 1 約分的應用 2 擴分的應用

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(五) 5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。圖4-5 能力指標 5-n-05 專家知識結構圖 (六) 5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。圖4-6 能力指標 5-n-06 專家知識結構圖 1-1，2-1-1 通分 2-1 異分母分數比較 1 異分母分數相加 2 異分母分數相減 1-1 理解分數之「整數相除」的意涵 1-2 假分數換成帶分數 1 在測量情境中，依自訂單位長度，將總長以單位長度計量

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(七) 5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。圖4-7 能力指標 5-n-07 專家知識結構圖專家知識結構的用途，在於編製診斷測驗之試題及設計補救教學。 二、編製診斷測驗之試題 建立知識結構後，依此結構編製診斷測驗之試題。每一個節點編製兩題試題，並邀請上述國小教師檢核試題。五年級數與量5n01~5n07 共 7 個能力指標， 27 個節點，共計 54 題試題（如附錄一）。 1-2-1 分數乘以分數 1-2-1-1 整數乘以分數 1-2 帶分數乘以分數 1 帶分數乘分數的應用 1-1-1 乘數為單位分數的意義 1-1 乘數為分數的意義

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三、紙筆診斷測驗 能力指標試題化後，將試題編製成試卷，以進行紙筆診斷測驗。施測對象為九十三學年度六年級學生，有效樣本共計306 名學生，依其測驗結果分析如下： (一) 試題分析 各試題分析結果如下：表4-1 試題分析表節點編號題號通過率刪除此題後之 α 係數點二系列相關 1 0.6585 0.9171 0.3888 5-n-1~1 2 0.7157 0.9175 0.3413 1 0.5915 0.9187 0.234 5-n-1~2 2 0.6176 0.9168 0.423 1 0.6503 0.9186 0.2339 5-n-1~3 2 0.7288 0.9173 0.3709 1 0.8203 0.9162 0.5019 5-n-1~4 2 0.8105 0.917 0.4012 1 0.8856 0.9165 0.4973 5-n-2~1 2 0.8889 0.9167 0.4682 1 0.817 0.9163 0.4946 5-n-2~2 2 0.7386 0.9166 0.4473 1 0.683 0.9175 0.3503 5-n-3~1 2 0.5882 0.9171 0.3891 1 0.7582 0.9179 0.2994 5-n-3~2 2 0.6863 0.9179 0.3048 1 0.781 0.917 0.4009 5-n-3~1-1 2 0.7843 0.9159 0.5353 1 0.8529 0.9165 0.4768 5-n-3~2-1 2 0.8758 0.9167 0.4601 1 0.7124 0.9159 0.5191 5-n-4~1 2 0.6307 0.9165 0.4567 1 0.8235 0.916 0.5332 5-n-4~2 2 0.7484 0.9152 0.5998

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表4-1 試題分析表(續) 1 0.781 0.9159 0.537 5-n-4~1-1 2 0.8072 0.9151 0.634 1 0.7745 0.9171 0.3898 5-n-4~2-1 2 0.8399 0.9162 0.5124 1 0.7614 0.9168 0.4266 5-n-5~1 2 0.6993 0.9152 0.5984 1 0.6536 0.9163 0.4792 5-n-5~2 2 0.5752 0.9163 0.4699 1 0.8529 0.9164 0.4975 5-n-5~1-1,2-1-1 2 0.7974 0.9161 0.5072 1 0.7026 0.9172 0.3748 5-n-5~2-1 2 0.5392 0.9171 0.3945 1 0.7059 0.9168 0.4246 5-n-6~1 2 0.6111 0.9173 0.3708 1 0.6667 0.9176 0.334 5-n-6~1-1 2 0.6601 0.9183 0.2699 1 0.8268 0.9171 0.3911 5-n-6~1-2 2 0.7876 0.9167 0.4369 1 0.3562 0.9185 0.2478 5-n-7~1 2 0.4183 0.9183 0.2759 1 0.7484 0.9167 0.4335 5-n-7~1-1 2 0.6928 0.9175 0.3515 1 0.3366 0.9185 0.2393 5-n-7~1-2 2 0.2484 0.9188 0.1909 1 0.7059 0.9168 0.4194 5-n-7~1-1-1 2 0.719 0.9167 0.4385 1 0.8725 0.9173 0.3641 5-n-7~1-2-1 2 0.8954 0.9172 0.401 1 0.3399 0.9184 0.2572 5-n-7~1-2-1-1 2 0.2386 0.9193 0.1331 標準化α 係數：0.9220 α 係數：0.9184

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紙筆診斷測驗答題狀況的內部一致性α 係數為0.9184，是信度可接受的試題。試題的難度（通過率）值介於0.24~0.90，點二系列相關係數介於0.1331~0.634。表示此份試題可以作為正式施測試題。 (二) 學生在數與量能力指標 5n01~5n07 的表現程度 依紙筆診斷測驗資料統計學生在數與量能力指標之表現程度如下：表4-2 數與量能力指標學習成效能力指標 5n01 5n02 5n03 5n04 5n05 5n06 5n07 通過率 0.6679 0.8325 0.7512 0.7647 0.6977 0.7097 0.5477 由表4-2 得知，學生在能力指標5n01~5n06通過率皆超過66%，唯有5n07 只有55%，顯示能力指標 5n07 在學生學習上有一定的難度。

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第二節電腦適性診斷測驗

欲建立電腦適性診斷測驗，其中很重要的一部分是適性測驗的選題策略，本研究根據專家知識結構所建立的試卷，分析紙筆測驗施測結果，找出學生之試題結構。並分為指標內及指標間的試題結構，以學生之知識結構作為適性測驗選題依據，分析的結果如下： 一、指標內的結構 依據學生的作答資料，以OT 理論分析出學生指標內的試題結構，閾值定為 0.08，結果如下： (一) 5-n-01 能在具體情境中，解決三步驟問題。圖4-8 能力指標 5n01 學生知識結構 1 ＋－×應用問題 2 ＋－÷應用問題 3 －×÷應用問題 4 ＋×÷應用問題

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(二) 5-n-02 能熟練整數四則混合計算。圖4-9 能力指標 5n02 學生知識結構 (三) 5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。圖4-10 能力指標 5n03 學生知識結構 1 有括號時，括號內的運算先進行 2 先乘除後加減 1-1 找出倍數 1 找出公倍數 2 找出公因數 2-1 找出因數

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(四) 5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。圖4-11 能力指標 5n04 學生知識結構 (五) 5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。圖4-12 能力指標 5n05 學生知識結構 1-1，2-1-1 通分 2-1 異分母分數比較 1 異分母分數相加 2 異分母分數相減 1-1 約分 2-1 擴分 1 約分的應用 2 擴分的應用

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(六) 5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。圖4-13 能力指標 5n06 學生知識結構 (七) 5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。圖4-14 能力指標 5n07 學生知識結構 1-2-1 分數乘以分數 1-2-1-1 整數乘以分數 1-2 帶分數乘以分數 1 帶分數乘分數的應用 1-1-1 乘數為單位分數的意義 1-1 乘數為分數的意義 1-1 理解分數之「整數相除」的意涵 1-2 假分數換成帶分數 1 在測量情境中，依自訂單位長度，將總長以單位長度計量

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二、指標間的結構 利用matlab 軟體，計算出數與量能力各指標間的關係係數，所訂的閾值是 0.045，因為 0.045 最能表示能力指標間的上下位關係。其分析結果如下： (一) 指標間順序係數矩陣表4-3 指標間順序係數矩陣 5n01 5n02 5n03 5n04 5n05 5n06 5n07 5n01 0 0.19935 0.13807 0.14542 0.10948 0.1152 0.045615 5n02 0.034722 0 0.048611 0.048611 0.033905 0.041939 0.017974 5n03 0.054739 0.1299 0 0.083333 0.064134 0.070125 0.022876 5n04 0.048611 0.11642 0.069853 0 0.048203 0.063725 0.022467 5n05 0.079657 0.16871 0.11765 0.1152 0 0.097495 0.04439 5n06 0.073393 0.16476 0.11166 0.11874 0.085512 0 0.037854 5n07 0.16585 0.30283 0.22644 0.23952 0.19444 0.19989 0 (二) 指標間順序矩陣表4-4 指標間順序矩陣 5n01 5n02 5n03 5n04 5n05 5n06 5n07 5n01 1 0 0 0 0 0 0 5n02 1 1 0 0 1 1 1 5n03 0 0 1 0 0 0 1 5n04 0 0 0 1 0 0 1 5n05 0 0 0 0 1 0 1 5n06 0 0 0 0 0 1 1 5n07 0 0 0 0 0 0 1

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(三) 數與量 5n01~5n07 指標間的結構依據表4-4，數與量指標間的結構分析如圖 4-15。圖4-15 數與量能力指標間之結構 三、電腦適性診斷測驗結果分析 本實驗主要目的在於驗證紙筆測驗轉換成電腦化測驗之後，是否能達到節省試題的功能。為達到此一目的，測驗時試題呈現之次序，首先會依照適性測驗施測流程施測，當每位學生作答完畢後，再將原紙筆測驗中未於前述適性測驗中出現之試題進行施測，亦即所有學生將會作答原紙筆測驗中所有試題，如此方可計算其適性診斷測驗結果之成功預測率，獲得電腦化、適性化後真正能節省試題數。本實驗共有7 個班級進行線上施測，有效樣本為 160 位學生，施測結果分析如下：表4-5 電腦適性診斷測驗成績整份試題數平均施測題數推估平均分數完整作答平均分數 27 16.5 80.2 76.5 根據適性測驗施測流程可以預測推估出來的分數會比完整作答分數高，實際施測後，使用適性測驗的推估的平均分數是80.2 分；真實的（完成所有試題）平 5n01 5n04 5n02 5n03 5n06 5n05 5n07

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均分數是76.5 分，推估與實際分數相差 3.7 分，換算成題數約等於 1 題，也就是說適性測驗可以有高達96.3％的預測率。整份測驗題數總共27 題，進行適性測驗的平均施測題數是 16.5 題，平均可以節省10.5 題。

第三節補救教學之成效

一、補救教學模組 根據專家知識結構，並參考九年一貫數學領域能力指標分年細目（教育部， 2003）說明，編製補救教學內容腳本（如附錄二），並用Macromedia Flash MX 2004 製作電腦適性診斷測驗之電腦補救模組教學，一個概念製作一個動畫補救教學。以下摘錄能力指標5n06-1 的動畫補救教學畫面：圖4-16 能力指標 5n06-1 畫面一

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圖4-17 能力指標 5n06-1 畫面二

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圖4-19 能力指標 5n06-1 畫面四

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圖4-21 能力指標 5n06-1 畫面六 二、電腦化補救教學結果 本實驗主要目的在於利用前、後測的結果，來檢驗「電腦化補救教學」是否具有成效。如結果是正向的，則未來本系統將可以減少評量時間，改善學習成效。本實驗共有7 個班級進行線上施測，有效樣本為 160 位學生，本研究採相依樣本 t 檢定，顯著水準（α 值）設定為0.05，對立假設為後測平均成績不等於前測平均成績，進行雙尾檢定，得到如下結果：表4-6 補救教學適性前測、後測成對樣本檢定表 t 檢定：成對母體平均數差異檢定測驗平均數變異數觀察值個數自由度 t 統計 p 值（雙尾）前測 80.23 191.03 160 159 後測 85.63 188.36 160 159 7.88 4.12°10-13

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就前、後測成績進行成對樣本檢定來比較前、後測成績是否有顯著性差異，結果顯示前、後測成績有顯著性差異，前測的平均分數為80.2 分，後測的平均分數為85.6 分，可以很明顯看出經過電腦化補救教學後，學生的平均分數有很大的進步。接下來再將施測學生前測成績前27％當作高分組，前測成績後 27％當作低分組，其餘為中分組，來比較高分組學生、中分組學生和低分組學生在前、後測是否有顯著性差異，資料如表4-7、表 4-8、表 4-9 所示：表4-7 高分組前、後測成績成對樣本檢定表表4-8 中分組前、後測成績成對樣本檢定表表4-9 低分組前、後測成績成對樣本檢定表 t 檢定：成對母體平均數差異檢定測驗平均數變異數觀察值個數自由度 t 統計 p 值（雙尾）前測 95.50 7.33 38 37 後測 96.24 21.38 38 37 1.00 0.32 t 檢定：成對母體平均數差異檢定測驗平均數變異數觀察值個數自由度 t 統計 p 值（雙尾）前測 81.79 28.83 86 85 後測 87.66 63.52 86 85 7.20 1.78°10-10 t 檢定：成對母體平均數差異檢定測驗平均數變異數觀察值個數自由度 t 統計 p 值（雙尾）前測 60.39 126.02 36 35 後測 69.58 281.68 36 35 4.63 4.89°10-5

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高分組學生前測平均95.5 分，後測平均 96.2 分，由表 4-7 可以知道高分組學生在前、後測成績並未達到顯著差異，原因是高分組前後測都已接近滿分；由表4-8 可以知道中分組學生在前、後測成績達到顯著差異，中分組學生前測平均 81.8 分，後測平均 87.7 分，可以看出經過電腦化補救教學後，中分組學生的平均分數有很大的進步。由表 4-9 可以知道低分組學生在前、後測成績達到顯著差異。低分組學生前測平均60.4 分，後測平均 69.6 分，可以看出經過電腦化補救教學後，低分組學生的平均分數有很大的進步。因此不論就全體受試學生、中分組學生或是低分組學生，都可以看出經過電腦化補救教學之後，學生成績有明顯的進步，這說明了電腦化補救教學確有顯著功效，由此可知本系統已達到能力指標補救教學之預期目標。

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第四節學生在數與量能力指標方面的學習成效

本研究的目的之一在評估學生數與量能力指標 5n01~5n07 的學習成效，依適性測驗施測成績分析如下：表4-10 能力指標通過率成對樣本檢定表 t 檢定：成對母體平均數差異檢定能力指標 5n01 5n02 5n03 5n04 測驗前測後測前測後測前測後測前測後測平均數 0.753 0.816 0.969 0.944 0.853 0.914 0.936 0.945 變異數 0.057 0.051 0.018 0.031 0.041 0.031 0.025 0.023 觀察值個數 160 160 160 160 自由度 ₁₅₉ 159 159 159 t 統計 2.532 -1.465 4.110 0.801 P 值(雙尾) 0.012 0.145 6.300°10-5_0.424 t 檢定：成對母體平均數差異檢定能力指標 5n05 5n06 5n07 測驗前測後測前測後測前測後測平均數 0.844 0.870 0.864 0.900 0.601 0.746 變異數 0.071 0.054 0.054 0.047 0.046 0.049 觀察值個數 160 160 160 自由度 159 159 159 t 統計 1.266 2.203 9.230 P 值(雙尾) 0.207 0.029 4.650°10-17 以通過率而言，學生在指標5n02（能熟練整數四則混合計算）以及指標 5n04

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（能用約分、擴分處理等值分數的換算）的表現最佳，通過率皆達 0.93 以上，因為這兩個能力指標的概念，對學生而言是較簡單的。指標5n07（能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題）經過補救教學後，成績雖有進步，但通過率僅達0.75，分析其原因，指標 5n07 在目前的九年一貫暫行綱要數學教材是安排在六年級上學期的課程裡，因此，學生在5n07 這個能力指標的表現較差。在補救教學方面，指標5n02 後測的通過率是降低的，分析其原因，是因為在前測時，大部分施測的學生皆達到系統設定的通過率（0.7），因此並未做補救教學；再加上由紙筆測驗得知，後測的難度是較高的，因此，成績呈現退步的情形。在樣本檢定比較前、後測通過率是否有顯著性差異，結果顯示5n02、5n04 和5n05 未達顯著差異，其餘皆達顯著差異。另外由受試者的反應組型中發現，雖然是得到一樣的分數，但是答錯的題目不同，未通過的能力指標也不同，如表 4-11 所示，因此系統會給予不同的補救教學，這是傳統紙筆測驗所不可能達到的效果，也是本系統的一大優勢。

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表4-11 成績相同未通過能力指標不同之學生作答紀錄學生代號成績未通過的能力指標 5230 5n05 5n07 5702 5n01 5n06 5n07 5630 5n01 5n05 5n07 5626 5n01 5n03 5n07 5726 5n01 5n03 5n06 5n07 5407 67 5n01 5n03 5n04 5n07 5229 5n05 5n06 5n07 5310 5n01 5n06 5n07 5412 5n01 5n07 5419 5n01 5n05 5n06 5n07 5514 5n01 5n03 5n07 5620 5n01 5n05 5n07 5712 74 5n01 5n03 5n07 5102 5n01 5n06 5n07 5108 5n01 5n07 5122 5n06 5n07 5319 5n07 5409 5n01 5n02 5426 5n01 5n06 5n07 5511 5n07 5614 5n01 5n06 5n07 5616 5n01 5n07 5704 81 5n01 5n07

國小五年級數學領域數與量能力指標之電腦適性測驗編製及動畫補救教學應用

國立台中教育大學教育測驗統計研究所教學碩士論文

指導教授：郭伯臣 博士