DEA 模式簡介

資料包絡分析法的起源最早可追溯至 Farrell（1957）的研究，其研究 依據柏瑞圖最佳境界（Pareto optimality）的觀點，在規模報酬固定的假設 下，評估了美國各州之農業效率。其所評估出來之效率值是在客觀環境下 對受評單位最有利之結果，此分析法在使用上極具彈性，可以將專家、決 策者之主觀意識融入評估之中，使得一方面可客觀評估各單位之績效，一 方面又可主觀的引導各決策單位依決策者所強調的方向邁進。其理論有三 個主要的基本假設：

1. 生產邊界是由最有效率的受評單位所構成，相對無效率的受評單位 則落在此邊界外。

2. 固定規模報酬（Constant Returns to Scale，CRTS）。

3. 生產邊界凸向原點（Convex），且每一點的斜率皆不為正。

在Farrell 之後，1978 年 Charnes, Cooper & Rhodes 三位學者將 Farrell

「單一產出/單一投入」的理論推展至「多種投入/多種產出」的狀況，並將 Farrell 的模式予以簡化成數學比例之線性規劃模式，自此正式定名為資料 包絡分析法（Data Envelopment Analysis，DEA），而其所討論固定規模報酬 之情形，稱之為CCR 模式。1984 年 Banker et al.將 CCR 模式擴展使用至規 模報酬可變動（Variable Returns to Scale，VRS）之情形， 稱之為 BCC 模 式。

以資料包絡分析法在推估生產邊界時，可以採用兩個面向進行，一為 投入導向（Input-orientated），另一為產出導向（Output-orientated）。投入導 向是以投入的角度探討效率，在相同產出水準下，比較投入資源之使用情

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形：產出導向則是在相同投入水準下，比較產出之達成狀況。若固定規模 報酬之生產函數是成立的，則投入導向與產出導向的技術效率應是相同 的；但若是在變動規模報酬的生產函數下，投入導向與產出導向的技術效 率值，應是不相同的。上述兩種導向模型，應採取何種較為適當，一般須 視廠商可否自由調整其生產要素而定，若廠商可自由調整其生產要素時，

則應當採用投入導向來進行分析；反之，則採用產出導向進行評估。

一、CCR 模式

（Input-based efficiency）。投入導向之 CCR 模式假設受評單位 j (j=1,...,n)使 用第i (i=1,...,m)項投入量為 Xij，其第r (r=1,...,s)項產出量為 Yrj，則單位k

Charnes 等（1979）稱之為非阿基米德數（Non-archimedean small number），

在實際應用上常設為10^-4或 10^-6，代表任一因子均不可忽略不計。

由 於 （3.1 ） 式 的 目 標 函 數 為 分 數 線 性 規 劃 （ Fractional linear programming）型式，除了運算不意外，且有無限解的可能，因此將（3.1）

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式經由固定分母之值予以轉換成線性規劃（Linear programming）之模式，

也就是將分母設限為1，形成投入導向（Input based）之原問題（Primal），

（3.1）式同於（3.2）式： 不必要的計算，利用對偶（Duality）之概念求解，將模型改為為（3.3）式：

【投入導向CCR 模型】

代表的是受評單位之效率值，因此其最佳解一定是正值。

由（3.3）式計算單位 k 之效率時，λ^*_j ≠0所對應之DMU，構成單位 k 之參考集合（Reference set），是單位 k 在計算效率時之參考對象，因此無 效 率之單位若欲達到最適境界之效率目標，需做以下之調整：

（Output-based efficiency），產出導向之 CCR 模型如下：

Min

∑

50

*

52 者更多改善效率的資訊。Banker et al.（1984）以生產可能集合的四個公理 和Shephard 的距離函數導出能夠衡量技術效率（Technical Efficiency，TE）

及規模效率（Scale Efficiency，SE）之 BCC 模式，此模式亦可由投入與產 出導向兩個面向進行探討。

s.t 1 負值）時，所對應生產前緣之線段為規模報酬遞增（Increasing Returns to Scale，IRS）；當u0＝0 時，所對應生產前緣之線段屬固定規模報酬（Constant Returns to Scale，CRS）；當－u0為負值（亦即u0 為正值）時，所對應生產 前緣之線段為規模報酬遞減（Decreasing Returns to Scale，DRS），而位在任 兩個區域的交界點，因可歸類同時於兩種類型之規模報酬，因此交界點會 產生多解的現象。以此反推任一受評單位在停估其效率值時，不能單純以 u0之正負來斷定其所屬之規模報酬，尚須作進一步之分析。

以CCR 模式評估之效率稱為生產效率（Productive efficiency），BCC 模 式所評估之效率則稱為技術效率（Technical efficiency），以 CCR 評估之效 率將小於以BCC 模式評估之效率，兩者之差異乃因規模報酬之假設不同所 造成，因此 CCR 模式所評估之生產效率 BCC 模式所評估之技術效率等於 規模效率（Scale efficiency），換言之，生產效率等於技術效率與規模效率之 乘積。

同樣為了計算上的簡便且能夠提供更多的參考資訊，因此將（3.10）式 依對偶性轉換成（3.11）式：

54

Min

∑

56

根據對偶性將（3.14）式轉換成（3.15）式：

Max ^⎟⎠

三、修正的資料包絡分析法（Modified DEA Model；MDEA）—超效率模式

（一）超效率值之估計

在評估各受評單位之效率時，不論是採用 CCR 模式或是 BCC 模式，

有時會發生不只一個受評單位之效率值為1，而使得資料包絡分析法產生判 定力不足的問題，導致排名上的困難，若情形嚴重，更會造成對參考集合 和績效評估的錯判。有鑑於此，Andersen and Petersen（1993）提出修正的 資料包絡法，以固定規模報酬的投入導向為基礎，衡量受評單位之效率值，

其方法是將有效率之受評單位分別從資料集合中剔除，以其餘之受評單位 為基礎，來計算剔除受評單位之效率，將效率前緣尚有效率之受評單位加 以排序，因此可能有超效率值（效率值1）的情形出現。

以投入導向的 CCR 模型為例，若有 j=1,...,n 個受評單位，其中有 k 個 受評單位效率值為1。根據 Andersen and Petersen（1993）提出之修正的資 料包絡分析法（超效率模式），要衡量這k 個有效率受評單位之效率值，是

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θ無正負限制

若將 Andersen and Petersen（1993）以固定規模報酬的投入導向為基礎 之理論，改寫為變動規模報酬之模型，及稱為投入導向之Super BCC 模型 單位加以排名。以C 點為例，Andersen and Petersen（1993）所提出的超效 率模式是先將C 點剔除於資料集合外，此時 C 點所面對之新的效率前緣變 成ABD，則 C 點之效率變為 OC’ / OC，因為 OC’ > OC，故 C 點之效率值 大於1，不過此時不再適合稱為效率值，而只能稱為效率指標。

圖3-2 修正的資料包絡分析法（超效率模式）說明圖 資料來源：Andersen and Petersen（1993）

（二）超效率排名

對於多個原始效率值同為1 的受評單位之排名，學者提出較為嚴謹之 定義與準則，根據Charnes et al.（1986）及 Seiford and Thrall（1990）將效 率決策單位分為三個子集合：

1. F：弱效率決策單位（Weakly efficient DMUs）之集合 2. E’：效率決策單位（Efficient DMUs）之集合

3. E：強效率決策單位之集合

上述三個分類等級依效率由高至低排名為：強效率決策單位Æ效率決 策單位Æ弱效率決策單位，亦即決策單位的效率 E > E’ > F 來看，若一決策 單位屬強效率集合，表示該決策單位為效率邊界（Efficiency surface）上的 極端點（Extreme points）；若一決策單位屬於弱效率集合，表示該決策單位

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為效率邊界所延伸之邊界點（Boundary points on the extended portion of the efficiency surface），且可表示為強效率決策單位之線性組合；若一效率決策 單位非效率邊界之極端點或效率邊界所延伸之邊界點（the rest of the boundary points on the efficiency surface），則該決策單位屬於效率決策單位 集合。依上述分類法則，可對原始效率值為 1 之多個效率決策單位作效率 排名分類，以下舉實際數據例子說明之。

假設有 A、B、C、G 五個決策單位，其皆為單一投入及單一產出，而 相關投入產出資料如表3-6 所示：

表3-6 舉例說明—MDEA 模型效率決策單位之分類

DMU 投入 產出

A 2 2

B 3 5

C 5 9

D 7 11

E 7 9

F 3 2

將表3-6 繪成投入產出圖，如圖 3-3：

圖3-3 舉例說明—MDEA 模型效率決策單位之分類

若利用投入導向的原始 BCC 模型估計效率值，則圖 3-3 中各 DMU 之 效率值皆為1，亦即其皆為效率之決策單位。若依照上述之分類準則來看，

由於A 決策單位與 B 決策單位有相同的投入，但 A 決策單位的產出較少，

因此A 決策單位在效率邊界的延伸部分，故 A 決策單位屬於弱效率決策單 位之集合 F；而 B、D、G 三個決策單位為效率邊界之頂點，因此 B、D、

G 三個決策單位屬於強效率決策單位之集合 E；最後，C 決策單位不是在效 率邊界延伸的部分，也非效率邊界之頂點，因此 C 決策單位屬於效率決策 單位之集合E，並且 C 決策單位可表示成 B、D、G 三個決策單位之線性組 合。故此五個DMU 之效率排名為：B、D、G、C、A。結合超效率排名準 則及MDEA 模型可知：當利用 MDEA 模型估計決策單位的超效率值時，屬 強效率集合之決策單位其超效率值會大於1，而屬弱效率集合之決策單位其 效率值等於 1，因此 MDEA 模型可分辨出決策單位屬弱效率集合或強效率 集合。

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（三）MDEA 模型之問題

雖然MDEA模型可解決原始DEA模型效率值同為1的問題，但Thrall

（1996）卻發現MDEA模型在規模報酬變動的情形下，會有無法估計

（Infeasible）的問題發生。假設有A、B、C、D、E、F六個決策單位，其投 入產出資料如表3-7：

表3-7 舉例說明—MDEA 模型無法估計之情形

DMU 投入 產出

A 2 2

B 3 5

C 5 9

D 7 11

E 7 9

F 3 2

將表3-7 繪成投入產出圖，如圖 3-4 所示：

圖3-4 舉例說明—MDEA 模型效率決策單位之分類

上圖中，在規模報酬變動下，原始的DEA 模型可分辨 A、B、C、D 為 效率決策單位（效率值皆為 1），E 及 F 為無效率之決策單位（效率值小於 1）。而利用 MDEA 模型可進一步估計 A、B、C、D 的超效率值，其中 B、

C 二決策單位可順利估計出大於 1 的超效率值，但 A、D 則有無法估計的問 題，原因如下：

1. 在投入導向的 MDEA 模型中，若將 D 點排除，則新的效率邊界為ABCE， 由於C、E 有相同的產出，因此CE為一水平線段。當CE為一水平線段，

則 D 點無法藉由增加投入以投射在新的效率邊界上，亦即 D 點可等比 例無限的增加其投入但仍維持效率，因此 D 點的超效率值無窮大，無 法估計。

2. 在產出導向的 MDEA 模型中，若將 A 點排除，則新的效率邊界為

FBCD，由於F、B 有相同的投入，因此FB為一垂直線段。當FB為一垂 直線段，則 A 點無法藉由減少產出以投射在新的效率邊界上，亦即 A 點可等比例無限的減少其產出但仍維持效率，因此A 點的 超效率值無 法估計。

上述例子說明了MDEA 模型可能發生無法估計的問題，因此對所有決

上述例子說明了MDEA 模型可能發生無法估計的問題，因此對所有決