代數算板及其在代數教學上的應用
代數算板及其在代數
教學上的應用
林保平副教授
。臺北市立教育大學數學資訊教育學系退休摘要
代數教學時，學生的練習及計算通常使用分數或整數，小數出現時，通常也只是有限 小數，無法處理或呈現無限小數的數值。由於電算器或電腦通常以小數呈現，常因小數的有 效位數產生精確的問題。例如，以 l 位小數呈現時，1.3
+1. 1=2 .4'但若1.3及1.1是由1.3 4及 1.1 3 因四捨五入進位而得，則1.3+1. 1 則可能是由1. 47 四捨五入而得 2.5 '因此1.3+
1.
1
=2.5 就 十分容易造成誤解，這在提供數值計算的程式中(例如Geormeters' Sketchpad) 是常發生的 問題。在處理除法相關問題時，也十分容易產生無限小數(如3x = 1 ，兩邊同除以 3) ，不以 分數處理，無法繼續運算。本文介紹作者製作發展的數學算板中的一個模組→弋數算板。代 數算板除能作分數的四則運算外，尚可針對代數教學需要，運用分數計算的功能，建立可依 序呈現的分數係數的一元一次或二次方程式及不等式、二元一次及三元一次聯立方程式、二 次函數求最大及最小值...等的解題過程，可供教師上課時參酌使用，協助教學的進行。~ -注.L._二二主
宣、目。再
運用科技於教學中的呼籲及研究，有 長久的歷史，自有電腦以來，數學家掌握電 子計算有 50多年的歷史，而教師與學生有幸 使用電子計算功能，至今不超過 30年，早期 使用電子計算科技都是透過時間分享方式。 微電腦的出現，打破了中央控制進入了個人 化使用的時代，微電腦的普遍使用大約為 20 年，從 1980年代微電腦發展以來，科技在教 育上的運用一直受到教育界的重視。 1990年 代初期開始的網路技術發展，個人電腦使用 的日漸普及，寬頻網路的普遍設置，更使數 學教育學者及教師對於科技在數學教學上的 應用有更大的期許，融入課程的科技運用已 成為未來數學教學的趨勢。 在我國，提供教室使用的電腦雖然十分 有限，但教育部班班有電腦計畫，針對教室 提供教師於教室內可用的電腦相關設備，每 一中小學都有以寬頻( ADSL) 連線上網之 設備，而且電腦價格日益低廉，其功能也日 漸強大，教室中有一部電腦來協助教師正常 教學應不成問題(不是點綴性的展示，而是 像粉筆黑板一樣的利用) ，但是能供教師在 課室直接利用的軟體卻十分缺乏。「教具學 具」觀點的電腦輔助教學(林保平，民 89;
林保平，民 90) ，建議將電腦當作工真，教 師或專家根據課程及教材內容(亦不排除非 其內的素材)的特質，設計出能幫助教學的 教具或學生操作的學具，供教師及學生在教 學時使用，電腦只掌控必要的「工真 J '將 教學流程、個別差異的考慮、教師的評量等 工作，仍然交給教師。教師教學流程之設計 中，對電腦科技目前無法處理，或教師因科 技能力不足無法設計、或無現成的電腦教具 學具的題材或內容部分，仍採非電腦的教學 方式，並且不排除其他任何非電腦提供的操 作教具或學真，教師具有彈性，可斟酌使用。 網頁 http://www.dynamath.tw r 動態數 學 J (林保平，民87~民97)從教具學真觀點， 透過Geometor's
Sketchpad 及JavaSketchpad 在網路上發布了十幾個主題，約 200個教具 且目的範例程式(大、中小學均有) ，不只 包含幾何題材相關的教學製作，也有非幾何 的素材，但在代數符號運算方面的實例，則 只在 r:當英文版」上有簡單的「分數計算 皈 J (圖 1) ，它只能呈現分數符號計算的 結果，在代數(非解析幾何圓形部分)的教 學方面，並無其他範例。 lIIllii!I'Il但B噓~~~Iil"Jrr.tr.rr'!'l'rll ~~m曹l"Ur.I.~ ι|佰~ '‘ 困 E hae--nacavaE耐inmTM句圍 朴liSIS a calculator program for both fracnonal andpJ I,OoelP
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代數算板及其在代數教學上的應用 本質上大部分的電算器及電腦程式在 的使用。作者從教具學具的觀點，針對中小 數的運算及呈現上，均以處理小敏運算為 學有理數的運算，整數函數或三角函數的求 主，對分數運算多以近似值的方式為之，但 值，設計了一個代數算板(數學算板的一個 也有一些手持計算器的盯I)也提供分數計 模組) ，可作整數、有限小數及分數的四 算的功能，另有一些功能強大的符號運算程 則、乘方、階乘、排列、組合、分解因數等 式去DMathematica 、 Maple··· 等，不只真 計算，也可作整數函數求值、三角函數(七 有分數計算的功能，也能作有理數系多項式 位近似值)求值的計算。這個算板並可利用 或方程式的運算或求解。在手持計算器上的 前述分數及整數的相關精確運算，進行一元 處理(前者) ，由於按鍵困難，適合個人使 一次及一元二次方程式及不等式的求解、 用，在課堂教學上不易呈現及利用。後者雖 元及三元一次聯立方程式求解、二次函數的 功能強大但價格昂貴，用在中小學教學，有 最大及最小值的求值...等。求解時，更能 如「殺雞用牛刀」一般。兩者在網路上，也 依序呈現解題步驟，也可依使用者的需求， 都有使用上的限制。林保平(民 76 )曾發展 自行出題，可供教師透過電腦投影機，配合 了一個簡單的符號連算程式，但只偏重在符 數學算板的其他模組(幾何畫板、龜行幾 號數值結果的獲得，定位在學生使用於分數 何、機率統計)進行相關的代數教學，本文 及多項式的計算，雖然也可作符號微分及積 主旨便是介紹這個程式模組。 分，但並未著眼於教師的教室教學及網路上 間體體哩，冒囡囡 • • II輯說明
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指令'
_=~JJJi_iI!\祖L ﹒聾{症，直 例趕集， 分IH晨，直 ~自菌數1 一元二次函數極值 三角茵擻， 一元一次方程式 數學特畫畫， 一元一次不等式 一元二次完程式解法原理 一元二次方程式 一元二次不等其圖書法原理 一元二次不等其 二元一次悟:立方程式 三元一次聯立方程式 圓 2 代數算板及按右鍵時呈現的自動出題部分功能表使用Java語言寫成，是數學算板的一部份， 在安裝有昇陽 (Sun) 公司免費提供的 Java
Runtime
Environment 的電腦上可以執行。由 數學算板的幾何蓋板檔案功能表「開啟命令 視窗 J '可進入代數算板。在畫面內，按右 鍵可呈現功能表供使用者選取(圓 2) 。代 數算板真有下述特色，可以配合教師教室教 學的使用一、精確的有理數多項式計
算
代數算板是以無限位數整數 (BigInteger 或稱大整數)四則運算為基礎，可作整數的 加、滅、乘、除、階乘運算(圖 3) 。分數 (有理數)在程式內部是以大整數「數對」 內部運作。由於運算均依照分數的規則，在 作數的計算時，若小數位數定為 0 且可作精 確運算，計算結果會以分數呈現，此時， 結果是完全精確的。若小數位數不是定為 0 時，除呈現精確分數結果外，同時依設定的 小數位數，以四捨五入之方式，呈現出結果 的近似值。牽涉到函數或非整數指數等結果 未必為有理數的函數，程式會內定為以 7位 小數呈現，此時不呈現分數，因其並非完全 精確之運算。多項式的計算，以分數係數多 項式的加減乘為主，目前暫不作多項式除法 的運算，故沒有分式多項式的化簡運算。圖 3 展示階乘、有理多項式的精確運算及非有 理函數的近似值運算。 $100! ;=
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代數算板及其在代數教學上的應用 呈現，因此教師可隨時詢問學生下一步的作
二、代數式相關運算的推演
過程
法，並與學生做充分的溝通及討論。例如一 次及二次的方程式解法，可透過移項、 配方或分解因式等過程，求出方程式的精確 解(有些解含有根號)。圓 4 為配方法解一 元二次方程式及二次不等式的過程。 lC 本程式除上述有理多項式的還算外，也 設計了一些佈於有理數系的代數解題運算。 這些解題運算均可一步一步地呈現解題的過 程，便於教師上課時呈現。由於是一步 $綽 (2x-3)('lx-5/2»0; (2x - ~J(4x - 5/2)>。 F M F I b - h o t r - i>0步
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11754 方程式及不等式的解題過程。輸入第一列題目 後，依序按enter鍵呈現下一步，解完停止 5 ~ J' <~ot'~<自 2 、 或 圖 4 $(2)->[1):(;;15
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f--IJ 《 Ill-、 口 -e 一臼 -4 == vhJU H 川a'lllj 《 Ill-、 甜叫 iAY -wa l ---u= l-2 -山 U VUUFa-勾「 141L I e3 $-[2)/4:(PEP-』
y= τ 解二元一次聯立方程式的過程(紅 色為解題指令， [1] 及 [2] 分別表示 上一聯立方程式的式的第 1 式及第 2 式， [2]y 表示，將第 2 式含 y 的項置 於等號左邊，其他項移至右邊並化 簡) 圖 5三、中英文的指令
解題的指令以中文輸入為主，也有英文 指令，同樣運作。在畫面上按鍵，即可呈現 彈跳視窗的功能選項。在前方或後方輸入適 當的數值即可執行，如閩6及國7 。 Ell:!出息， 例題，且 聾，塵區Ih 三角Iflt. It喝醉符車t. 美女2誼會，$
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Equation E曲.mA O E泊.moO FoctJrini:O SolvAO so卸CO SolveO Solve(. ) Solve(.. ) 圖 6 彈跳視窗的中英文指令選欄 心， 36 ， 96 的公囚數; 峭的因 tt 1， 2.3.~ 、 6.8. 泣 .16. 2~ ， ~8. vh 寫 1 句。 x 1 huo 俏， a x -e 司‘" 俑， u x '、， mud -x 九 7 -x 7 句J l X AO l -x e --r x 訕 是 uq x 卜川叫 Aυ 俏。 你HU.V-n u研計 分= Sfacloring(2A2A5+1);=
6~1xG7制】l1i# $solve(3伽﹒516=215-4x); 怖的因 tt 1. 2.3A.6. 拭 12 ， 1 日、 2~ ， 32 司叫司的 4 日 .3日、 96 的公因故 1 ， 2、司， 4 ，日 .12. 巾， .-nu + r 4-z = =母 -6 .2GVhi ~刊 3γ 們 ω-4 $[1]x; 19 37 -.r=_ ~ JO ;2'x34x5'x7' ， 2、3'x74的最小公倍數: 3%取)()()=2' x 3· x .;' x ;' ·1....,..& 司的7~·1=2· x 3' xi 396!JOOO.34昂7~~ 的最小公倍數為 2'x 3· x 5' xr
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N= 卻 r 圖 7 中英文指令之執行(指令若具多行結果，均透過 Enter鍵，分行依序呈現) 還I'M: $.-= ﹒聾儸It m題，值。 I 分，雖{書且陸 甜甜川-iG=次酬國 三個擻 .J 一元一站崗 數學符.叫 一完一次不司，其 自 一元二次完程式圖書法，理 一元二次方程式 -元二次不等其附注買賣壇 一元二次不司，其 二元一次戰立完程式 三元一次翻立完程式 14>1且 睡 噩 噩 圓 圓E~ ~
代數算板及其在代數教學上的應用 代數算板的輸出目前是使用 lLaTexMath API之支援，在程式內部以LaTex格式輸入， 再轉成圖像形式輸出，是標準的數學呈現方 式，但是使用者輸入時，則以單行形式輸 入，如各國中的分數、方程式等的呈現質例
所示。
四、電腦自動出題或從預存五、配合標準的數學輸出形
的題目例題檔案中選題
式
教師使用代數算板教學時，可自行輸 入題目作教學，也可根據需要讓電腦自動出 題，或從預存的例題檔案中選題。圓 8 左圓 呈現解方程式及求函數極值的自動出題選 欄，可先決定使用整數或分數係數，再決定 要自動出題的類別。圖 8 右圓呈現例題選擇 器及代數算板預存的例題。教師可利用文字 編輯程式，自行設計例題文字檔，依序排 列，一行一題，每行以 r.
J 結尾，存為以 mex為延伸檔名的檔案，即可在檔案功能表 中讀入取代原有的例題。教師也可將上課或 備課時，在代數算板上成功執行且尚未清除 的題目儲存起來，當作上課時的例題使用。六、幾何畫板的支援
代數算板也可以設定多元多項式函數， 並將文字帶入數值，以求出函數值，所設多 項函數也會呈現於幾何畫板。在幾何畫板 中，可建立函數表格，在表格中輸入 x ， y值， 表格會自動呈現函數值，如圖 9 。!(x
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'、 x y [(.r.I/) 戳， 3 -4778 3.s 411 16 513 4 11.852 z 圖 9 代數算板函數設定及幾何畫板呈現的函數及表格 對於一元函數，代數算板也可以直接 專門繪製含參數係數的一元函數的繪圖模 輸入函數或點，在幾何畫板畫面的坐標系統 組，圖 10 為動態函數設定的標頭及在幾何畫 中，描出點或函數圓形。我們更設計了一個 板的坐標系統中繪出的動態參數係數的函數(直接鍵入參數值或選一個參數，按左邊上 下的箭頭可增減參數的值)來觀察函數圓 形，函數圓形會動態地隨著參數值的變化而 作動態的變化。表格中 'x 的值可以直接輸 入，程式會自動填入相應的函數值，或按鈕 由程式自動填入，圓形可以是點圓或實線 圖。 基本功能，數學學習數位化的未來趨勢中， 數學內容及教學的數位化是個十分重要的課 題，代數算板提供 7 代數教學內容數位化的 基本功能，配合同時設計的幾何畫板模組， 提供了教師教學數位化及教材數位化的基本 工真。 .<個姐 Mllfi!M iJ "!.i缸， 因日回回回回囡囡囡囡日 圖 10 含參數的正弦函數 y=a sin(b(x-c»+d 的繪圖，可 探討參數與正弦波的波 峰、波谷、波長、振幅 的關條、
