无穷级数

第十二章·无穷级数

高等数学课程

2020 年 2 月 12 日 „暨南大学数学系 _„吕荐瑞

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无穷级数

1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π 2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n₊₁ n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4

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无穷级数

1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π 2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n₊₁ n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4

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无穷级数

1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π 2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n₊₁ n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4

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无穷级数

1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π 2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n₊₁ n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4

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无穷级数

1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π 2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n₊₁ n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4

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无穷级数

1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n₊₁ n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4

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无穷级数

1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n₊₁ n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4

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无穷级数

1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n₊₁ n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4

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无穷级数

1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n₊₁ n + · · · = ln 2 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · + (−1)n+1 2n− 1 + · · · = π 4

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无穷级数

1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · + 1 2n−1 + · · · = 2 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n + · · · = +∞ 1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 + · · · + 1 n2 + · · · = π2 6 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n₊₁ n + · · · = ln 2

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常数项级数的概念和性质

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第一节

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常数项级数的审敛法

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第二节

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幂级数的概念

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第三节

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函数展开成泰勒级数

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第四节

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幂级数的应用

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第五节

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常数项级数的概念和性质

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第一节

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无穷级数的概念

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A

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收敛级数的性质

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B

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无穷级数

定义 1 给定数列：1,2,3,· · · ,n,· · · ，式子 1+ 2+ 3+ · · · + n + · · · 称为无穷级数（简称级数），记为 ∞ ∑ n=1 n， 其中第 n 项 称为级数的通项．

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无穷级数

定义 1 给定数列：1,2,3,· · · ,n,· · · ，式子 1+ 2+ 3+ · · · + n + · · · 称为无穷级数（简称级数），记为 ∞ ∑ n=1 n，其中第 n 项 称为级数的通项．

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级数的敛散性

级数 ∞ ∑ n=1 n 的前 n 项的和 Sn = 1+ 2+ · · · + n 称 为第 n 次部分和， 各个部分和 S1,S2,· · · ,Sn,· · · 构成 一个数列． · · · · 如果 lim n→∞Sn = S 收敛，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛． 称 S 为级数的和 称 Rn = S − Sn = n₊₁+ n₊₂+ · · · 为级数余项 如果 lim n→∞Sn 发散，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 发散．

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级数的敛散性

级数 ∞ ∑ n=1 n 的前 n 项的和 Sn = 1+ 2+ · · · + n 称 为第 n 次部分和，各个部分和 S1,S2,· · · ,Sn,· · · 构成 一个数列． · · · · 如果 lim n→∞Sn = S 收敛，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛． 称 S 为级数的和 称 Rn = S − Sn = n₊₁+ n₊₂+ · · · 为级数余项 如果 lim n→∞Sn 发散，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 发散．

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级数的敛散性

级数 ∞ ∑ n=1 n 的前 n 项的和 Sn = 1+ 2+ · · · + n 称 为第 n 次部分和，各个部分和 S1,S2,· · · ,Sn,· · · 构成 一个数列． · · · · 如果 lim n→∞Sn = S 收敛，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛． 称 S 为级数的和 称 Rn = S − Sn = n₊₁+ n₊₂+ · · · 为级数余项 如果 lim n→∞Sn 发散，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 发散．

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级数的敛散性

级数 ∞ ∑ n=1 n 的前 n 项的和 Sn = 1+ 2+ · · · + n 称 为第 n 次部分和，各个部分和 S1,S2,· · · ,Sn,· · · 构成 一个数列． · · · · 如果 lim n→∞Sn = S 收敛，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛． 称 S 为级数的和 称 Rn = S − Sn = n₊₁+ n₊₂+ · · · 为级数余项 如果 lim n→∞Sn 发散，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 发散．

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级数的敛散性

级数 ∞ ∑ n=1 n 的前 n 项的和 Sn = 1+ 2+ · · · + n 称 为第 n 次部分和，各个部分和 S1,S2,· · · ,Sn,· · · 构成 一个数列． · · · · 如果 lim n→∞Sn = S 收敛，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛． 称 S 为级数的和 称 Rn = S − Sn = n₊₁+ n₊₂+ · · · 为级数余项 如果 lim n→∞Sn 发散，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 发散．

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级数的敛散性

级数 ∞ ∑ n=1 n 的前 n 项的和 Sn = 1+ 2+ · · · + n 称 为第 n 次部分和，各个部分和 S1,S2,· · · ,Sn,· · · 构成 一个数列． · · · · 如果 lim n→∞Sn = S 收敛，则称级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛． 称 S 为级数的和 称 Rn = S − Sn = n₊₁+ n₊₂+ · · · 为级数余项

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例 1 讨论几何级数（或称等比级数） ∞ ∑ n=1 qn−1 =  + q + q2+ · · · + qn−1+ · · · 的敛散性，其中  _{̸= 0，而 q 称为级数的}公比．

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例 2 讨论级数 ∞ ∑ n=1 1 n(n+1) 的敛散性． 例 3 讨论级数 ∞ ∑ n₌₁ lnn+1_n 的敛散性．

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例 2 讨论级数 ∞ ∑ n=1 1 n(n+1) 的敛散性． 例 3 讨论级数 ∞ ∑ n₌₁ lnn+1_n 的敛散性．

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常数项级数的概念和性质

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第一节

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无穷级数的概念

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A

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收敛级数的性质

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B

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无穷级数的运算：化正为负

S= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + ‚ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · Œ = 1 + 1 2 · (1 + 1 2 + 1 4 + · · · ) = 1+ 1 2S ∴ S = 2 即 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2 3 . . . . T = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = 1 + (2 + 4 + 8 + · · · ) = 1 + 2 · (1 + 2 + 4 + · · · ) = 1+ 2T ∴ T = −1 即 1+ 2 + 4 + 8 + · · · = −1 7

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无穷级数的运算：化正为负

S= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + ‚ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · Œ = 1 + 1 2 · (1 + 1 2 + 1 4 + · · · ) = 1+ 1 2S ∴ S = 2 即 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2 3 . . . . T = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = 1 + (2 + 4 + 8 + · · · ) = 1 + 2 · (1 + 2 + 4 + · · · ) = 1+ 2T ∴ T = −1 即 1+ 2 + 4 + 8 + · · · = −1 7

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无穷级数的运算：化正为负

S= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + ‚ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · Œ = 1 + 1 2 · (1 + 1 2 + 1 4 + · · · ) = 1+ 1 2S ∴ S = 2 即 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2 3 . . . . T = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = 1 + (2 + 4 + 8 + · · · ) = 1 + 2 · (1 + 2 + 4 + · · · ) = 1+ 2T ∴ T = −1 即 1+ 2 + 4 + 8 + · · · = −1 7

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无穷级数的运算：化正为负

S= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + ‚ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · Œ = 1 + 1 2 · (1 + 1 2 + 1 4 + · · · ) = 1+ 1 2S ∴ S = 2 即 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2 3 . . . . T = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = 1 + (2 + 4 + 8 + · · · ) = 1 + 2 · (1 + 2 + 4 + · · · ) = 1+ 2T ∴ T = −1 即 1+ 2 + 4 + 8 + · · · = −1 7

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无穷级数的运算：化正为负

S= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + ‚ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · Œ = 1 + 1 2 · (1 + 1 2 + 1 4 + · · · ) = 1+ 1 2S ∴ S = 2 即 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2 3 . . . . T = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = 1 + (2 + 4 + 8 + · · · ) = 1 + 2 · (1 + 2 + 4 + · · · ) = 1+ 2T ∴ T = −1 即 1+ 2 + 4 + 8 + · · · = −1 7

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无穷级数的运算：化正为负

S= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + ‚ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · Œ = 1 + 1 2 · (1 + 1 2 + 1 4 + · · · ) = 1+ 1 2S ∴ S = 2 即 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2 3 . . . . T = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = 1 + (2 + 4 + 8 + · · · ) 即 1+ 2 + 4 + 8 + · · · = −1 7

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无穷级数的运算：化正为负

S= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + ‚ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · Œ = 1 + 1 2 · (1 + 1 2 + 1 4 + · · · ) = 1+ 1 2S ∴ S = 2 即 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2 3 . . . . T = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = 1 + (2 + 4 + 8 + · · · ) = 1 + 2 · (1 + 2 + 4 + · · · ) = 1+ 2T ∴ T = −1 即 1+ 2 + 4 + 8 + · · · = −1 7

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无穷级数的运算：化正为负

S= 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 1 + ‚ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · Œ = 1 + 1 2 · (1 + 1 2 + 1 4 + · · · ) = 1+ 1 2S ∴ S = 2 即 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + · · · = 2 3 . . . . T = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = 1 + (2 + 4 + 8 + · · · )

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性质 1 如果级数 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 n 都收敛，则级数 ∞ ∑ n=1 (n± n) 也收敛，而且有 ∞ ∑ n=1 (n ± n) = ∞ ∑ n=1 n ± ∞ ∑ n=1 n.

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性质 2 如果级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛，则级数 ∞ ∑ n=1 n 也收 敛，而且有 ∞ ∑ n=1 n =  ∞ ∑ n=1 n. 推论 级数的每一项同乘以不为 0 的常数后，其敛散 性不变．

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性质 2 如果级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛，则级数 ∞ ∑ n=1 n 也收 敛，而且有 ∞ ∑ n=1 n =  ∞ ∑ n=1 n. 推论 级数的每一项同乘以不为 0 的常数后，其敛散 性不变．

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例 4 求级数 ∞ ∑ n₌₁ ‚ 1 3n + 2 5n Œ 的和． 例 5 判定级数 ∞ ∑ n=1 3 ln n+ 1 n 的敛散性．

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例 4 求级数 ∞ ∑ n₌₁ ‚ 1 3n + 2 5n Œ 的和． 例 5 判定级数 ∞ ∑ n=1 3 ln n+ 1 n 的敛散性．

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性质 3 在级数中加上、去掉或者改变有限项，级数 的敛散性不变． 例 6 设级数 ∞ ∑ n=1 n 的第 n 次部分和 Sn = _2nn₋₁，判 断级数 ∞ ∑ n=1 n+2 的敛散性．若级数收敛，求出它的和．

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性质 3 在级数中加上、去掉或者改变有限项，级数 的敛散性不变． 例 6 设级数 ∞ ∑ n₌₁ n 的第 n 次部分和 Sn = _2nn₋₁，判 断级数 ∞ ∑ n=1 n+2 的敛散性．若级数收敛，求出它的和．

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无穷级数的运算：无中生有

0 = 0 + 0 + 0 + · · · = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

7

= 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1 + 0 + 0 + 0 + · · · = 1

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无穷级数的运算：无中生有

0 = 0 + 0 + 0 + · · · = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

7

= 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1 + 0 + 0 + 0 + · · · = 1

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性质 4 (收敛级数的结合律) 如果一个级数收敛，加 括号后所成的级数也收敛，且与原级数有相同的和． 例 7 已知几何级数 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + · · · = 1 1− 1/2 = 2. 加括号后得到的新级数 ‚ 1+ 1 2 Œ + ‚ 1 4 + 1 8 Œ + ‚ 1 16 + 1 32 Œ + · · · = 3 2 + 3 8 + 3 32 + · · · = 3/ 2 1− 1/4 = 2. 注记 1 发散级数加括号后，可能发散也可能收敛．

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性质 4 (收敛级数的结合律) 如果一个级数收敛，加 括号后所成的级数也收敛，且与原级数有相同的和． 例 7 已知几何级数 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + · · · = 1 1− 1/2 = 2. 加括号后得到的新级数 ‚ 1+ 1 2 Œ + ‚ 1 4 + 1 8 Œ + ‚ 1 16 + 1 32 Œ + · · · = 3 2 + 3 8 + 3 32 + · · · = 3/ 2 1− 1/4 = 2. 注记 1 发散级数加括号后，可能发散也可能收敛．

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性质 4 (收敛级数的结合律) 如果一个级数收敛，加 括号后所成的级数也收敛，且与原级数有相同的和． 例 7 已知几何级数 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + · · · = 1 1− 1/2 = 2. 加括号后得到的新级数 ‚ 1+ 1 2 Œ + ‚ 1 4 + 1 8 Œ + ‚ 1 16 + 1 32 Œ + · · · = 3 + 3 + 3 + · · · = 3/ 2 1− 1/4 = 2. 注记 1 发散级数加括号后，可能发散也可能收敛．

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性质 4 (收敛级数的结合律) 如果一个级数收敛，加 括号后所成的级数也收敛，且与原级数有相同的和． 例 7 已知几何级数 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + · · · = 1 1− 1/2 = 2. 加括号后得到的新级数 ‚ 1+ 1 2 Œ + ‚ 1 4 + 1 8 Œ + ‚ 1 16 + 1 32 Œ + · · · = 3 2 + 3 8 + 3 32 + · · · = 3/ 2 1− 1/4 = 2. 注记 1 发散级数加括号后，可能发散也可能收敛．

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性质 4 (收敛级数的结合律) 如果一个级数收敛，加 括号后所成的级数也收敛，且与原级数有相同的和． 例 7 已知几何级数 1+ 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + · · · = 1 1− 1/2 = 2. 加括号后得到的新级数 ‚ 1+ 1 2 Œ + ‚ 1 4 + 1 8 Œ + ‚ 1 16 + 1 32 Œ + · · · = 3 + 3 + 3 + · · · = 3/ 2 = 2.

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收敛的必要条件

定理 1 如果级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛，则有 lim n→∞n = 0． . . . . 注记 2 若通项不趋于零，则级数一定发散． 例 8 级数 ∞ ∑ n=1 n+1 n 的通项趋于 1，因此它发散． . . . . 注记 3 若通项趋于零，则级数未必收敛． 例 9 级数 ∞ ∑ n=1 lnn+1_n 的通项趋于 0，但是它发散．

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收敛的必要条件

定理 1 如果级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛，则有 lim n→∞n = 0． . . . . 注记 2 若通项不趋于零，则级数一定发散． 例 8 级数 ∞ ∑ n=1 n+1 n 的通项趋于 1，因此它发散． . . . . 注记 3 若通项趋于零，则级数未必收敛． 例 9 级数 ∞ ∑ n=1 lnn+1_n 的通项趋于 0，但是它发散．

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收敛的必要条件

定理 1 如果级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛，则有 lim n→∞n = 0． . . . . 注记 2 若通项不趋于零，则级数一定发散． 例 8 级数 ∞ ∑ n=1 n+1 n 的通项趋于 1，因此它发散． . . . . 注记 3 若通项趋于零，则级数未必收敛． 例 9 级数 ∞ ∑ n=1 lnn+1_n 的通项趋于 0，但是它发散．

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收敛的必要条件

定理 1 如果级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛，则有 lim n→∞n = 0． . . . . 注记 2 若通项不趋于零，则级数一定发散． 例 8 级数 ∞ ∑ n=1 n+1 n 的通项趋于 1，因此它发散． . . . . 注记 3 若通项趋于零，则级数未必收敛． 例 9 级数 ∞ ∑ n=1 lnn+1_n 的通项趋于 0，但是它发散．

.

.

收敛的必要条件

定理 1 如果级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛，则有 lim n→∞n = 0． . . . . 注记 2 若通项不趋于零，则级数一定发散． 例 8 级数 ∞ ∑ n=1 n+1 n 的通项趋于 1，因此它发散． . . . . 注记 3 若通项趋于零，则级数未必收敛． 例 9 级数 ∞ ∑ n=1 lnn+1_n 的通项趋于 0，但是它发散．

.

.

.

练习 1 判断级数的敛散性．如果级数收敛，求出它 的和．

(1) 1₂ + 3₄ + ₆5 + 7₈+ · · · + 2n_2n−1 + · · · (2) (3₂ + 1₃) + (3₄ + 1₉) + (3₈+ ₂₇1 ) + · · ·

.

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复习与提高

题 1 判断无穷级数 ∞ ∑ n₌₁ 1 n(n + 1)(n + 2) 的敛散性， 若收敛求其和． 题 2 判断无穷级数 ∞ ∑ n=1 n 2n 的敛散性，若收敛求其和．

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复习与提高

题 1 判断无穷级数 ∞ ∑ n₌₁ 1 n(n + 1)(n + 2) 的敛散性， 若收敛求其和． 题 2 判断无穷级数 ∞ ∑ n=1 n 2n 的敛散性，若收敛求其和．

.

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复习与提高

选择 若级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛， ∞ ∑ n=1 n 发散，则对于级数 ∞ ∑ n=1 (n± n) 来说有· · · ·( ) (A) 级数收敛 (B) 级数发散 (C) 级数敛散性不定 (D) 上述诸结论均不正确

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常数项级数的概念和性质

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第一节

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常数项级数的审敛法

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第二节

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.

幂级数的概念

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第三节

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函数展开成泰勒级数

.

第四节

.

.

幂级数的应用

.

第五节

.

.

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.

常数项级数的审敛法

.

第二节

.

.

正项级数及其审敛法

.

A

.

.

交错级数及其审敛法

.

B

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.

任意项级数的敛散性

.

C

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定义 1 若级数 ∞ ∑ n=1 n 满足条件 n ¾ 0（对所有 n）， 则称它为正项级数． 性质 正项级数的部分和数列 {Sn} 是单调递增数列． 定理 1 正项级数收敛 _{⇐⇒ 它的部分和数列有界．} 注记 正项级数加括号后，其敛散性不变．

.

.

定义 1 若级数 ∞ ∑ n=1 n 满足条件 n ¾ 0（对所有 n）， 则称它为正项级数． 性质 正项级数的部分和数列 {Sn} 是单调递增数列． 定理 1 正项级数收敛 _{⇐⇒ 它的部分和数列有界．} 注记 正项级数加括号后，其敛散性不变．

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.

定义 1 若级数 ∞ ∑ n=1 n 满足条件 n ¾ 0（对所有 n）， 则称它为正项级数． 性质 正项级数的部分和数列 {Sn} 是单调递增数列． 定理 1 正项级数收敛 _{⇐⇒ 它的部分和数列有界．} 注记 正项级数加括号后，其敛散性不变．

.

.

定义 1 若级数 ∞ ∑ n=1 n 满足条件 n ¾ 0（对所有 n）， 则称它为正项级数． 性质 正项级数的部分和数列 {Sn} 是单调递增数列． 定理 1 正项级数收敛 _{⇐⇒ 它的部分和数列有界．} 注记 正项级数加括号后，其敛散性不变．

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定理 2 (比较判别法) 对于两个正项级数 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 n，若对所有 n 都有 n ¶n， 则有 1 当 ∞ ∑ n=1 n 收敛时， ∞ ∑ n=1 n 也收敛； 2 当 ∞ ∑ n=1 n 发散时， ∞ ∑ n=1 n 也发散． 推论 若存在 c > 0，使得从某一项开始 n ¶ cn， 则结论依然成立．

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.

定理 2 (比较判别法) 对于两个正项级数 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 n，若对所有 n 都有 n ¶n，则有 1 当 ∞ ∑ n=1 n 收敛时， ∞ ∑ n=1 n 也收敛； 2 当 ∞ ∑ n=1 n 发散时， ∞ ∑ n=1 n 也发散． 推论 若存在 c > 0，使得从某一项开始 n ¶ cn， 则结论依然成立．

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定理 2 (比较判别法) 对于两个正项级数 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 n，若对所有 n 都有 n ¶n，则有 1 当 ∞ ∑ n=1 n 收敛时， ∞ ∑ n=1 n 也收敛； 2 当 ∞ ∑ n=1 n 发散时， ∞ ∑ n=1 n 也发散． ¶

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比较判别法

例 1 调和级数 ∞ ∑ n=1 1 n 发散． 例 2 判断 p 级数 ∞ ∑ n=1 1 np 的敛散性． 例 3 判断级数 ∞ ∑ n₌₁ 1 nn 的敛散性．

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比较判别法

例 1 调和级数 ∞ ∑ n=1 1 n 发散． 例 2 判断 p 级数 ∞ ∑ n=1 1 np 的敛散性． 例 3 判断级数 ∞ ∑ n₌₁ 1 nn 的敛散性．

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比较判别法

例 1 调和级数 ∞ ∑ n=1 1 n 发散． 例 2 判断 p 级数 ∞ ∑ n=1 1 np 的敛散性． 例 3 判断级数 ∞ ∑ n₌₁ 1 nn 的敛散性．

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定理 3 (比较判别法) 设 ∞ ∑ n₌₁ n 和 ∞ ∑ n₌₁ n 都为正项 级数，且有 lim n→∞ n n = ρ． 1 若 0 < ρ < +∞，则 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 n 同敛散； 2 若 ρ = 0，则 ∞ ∑ n=1 n 收敛时， ∞ ∑ n=1 n 也收敛； 3 若 ρ = +∞，则 ∞ ∑ n=1 n 发散时， ∞ ∑ n=1 n 也发散．

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定理 3 (比较判别法) 设 ∞ ∑ n₌₁ n 和 ∞ ∑ n₌₁ n 都为正项 级数，且有 lim n→∞ n n = ρ． 1 若 0 < ρ < +∞，则 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 n 同敛散； 2 若 ρ = 0，则 ∞ ∑ n=1 n 收敛时， ∞ ∑ n=1 n 也收敛； 3 若 ρ = +∞，则 ∞ ∑ n=1 n 发散时， ∞ ∑ n=1 n 也发散．

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定理 3 (比较判别法) 设 ∞ ∑ n₌₁ n 和 ∞ ∑ n₌₁ n 都为正项 级数，且有 lim n→∞ n n = ρ． 1 若 0 < ρ < +∞，则 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 n 同敛散； 2 若 ρ = 0，则 ∞ ∑ n=1 n 收敛时， ∞ ∑ n=1 n 也收敛； 若 ρ _{= +∞，则} ∞ ∑ 发散时， ∞ ∑ 也发散．

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比较判别法

例 4 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 2n− 1 的敛散性． 例 5 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 p 4n3_{− 3} 的敛散性． 例 6 判断级数 ∞ ∑ n=1 ln ‚ 1+ 1 n2 Œ 的敛散性．

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比较判别法

例 4 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 2n− 1 的敛散性． 例 5 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 p 4n3_{− 3} 的敛散性． 例 6 判断级数 ∞ ∑ n=1 ln ‚ 1+ 1 n2 Œ 的敛散性．

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比较判别法

例 4 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 2n− 1 的敛散性． 例 5 判断级数 ∞ ∑ n=1 1 p 4n3_{− 3} 的敛散性． 例 6 判断级数 ∞ ∑ n=1 ln ‚ 1+ 1 n2 Œ 的敛散性．

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比较判别法

练习 1 判断级数的敛散性． (1) ∞ ∑ n=1 1 3n− 2 (2) ∞ ∑ n=1 1 npn+ 1

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定 理 4 (比 值 判 别 法) 如 果 正 项 级 数 ∞ ∑ n=1 n 满 足 lim n→∞ n₊₁ n = ρ，则有 1 若 ρ < 1，则级数收敛； 2 若 ρ > 1，则级数发散； 3 若 ρ = 1，则级数可能收敛也可能发散．

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定 理 4 (比 值 判 别 法) 如 果 正 项 级 数 ∞ ∑ n=1 n 满 足 lim n→∞ n₊₁ n = ρ，则有 1 若 ρ < 1，则级数收敛； 2 若 ρ > 1，则级数发散； 3 若 ρ = 1，则级数可能收敛也可能发散．

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定 理 4 (比 值 判 别 法) 如 果 正 项 级 数 ∞ ∑ n=1 n 满 足 lim n→∞ n₊₁ n = ρ，则有 1 若 ρ < 1，则级数收敛； 2 若 ρ > 1，则级数发散； 3 若 ρ = 1，则级数可能收敛也可能发散．

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比值判别法

例 7 设  > 0，判定级数 ∞ ∑ n=1 n n 的敛散性． 例 8 判定级数 ∞ ∑ n=1 n cos2 nπ₃ 2n 的敛散性．

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比值判别法

例 7 设  > 0，判定级数 ∞ ∑ n=1 n n 的敛散性． 例 8 判定级数 ∞ ∑ n=1 n cos2 nπ₃ 2n 的敛散性．

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定 理 5 (根 值 判 别 法) 如 果 正 项 级 数 ∞ ∑ n=1 n 满 足 lim n_→∞ n p n = ρ，则有 1 若 ρ < 1，则级数收敛； 2 若 ρ > 1，则级数发散； 3 若 ρ = 1，则级数可能收敛也可能发散．

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定 理 5 (根 值 判 别 法) 如 果 正 项 级 数 ∞ ∑ n=1 n 满 足 lim n_→∞ n p n = ρ，则有 1 若 ρ < 1，则级数收敛； 2 若 ρ > 1，则级数发散； 3 若 ρ = 1，则级数可能收敛也可能发散．

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定 理 5 (根 值 判 别 法) 如 果 正 项 级 数 ∞ ∑ n=1 n 满 足 lim n_→∞ n p n = ρ，则有 1 若 ρ < 1，则级数收敛； 2 若 ρ > 1，则级数发散； 3 若 ρ = 1，则级数可能收敛也可能发散．

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根值判别法

例 9 设  > 0，判定级数 ∞ ∑ n=1  _n n+ 1 n 的敛散性．

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练习 2 判定级数的敛散性： (1) ∞ ∑ n=1 2n n(n + 1) (2) ∞ ∑ n=1 3n 2n_{(rctn n)}n

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常数项级数的审敛法

.

第二节

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正项级数及其审敛法

.

A

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交错级数及其审敛法

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B

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任意项级数的敛散性

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C

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交错级数

定义 2 正负项相间的级数称为交错级数，即 ∞ ∑ n₌₁ (−1)n+1_ n = 1− 2+ 3− 4+ · · · 或者 ∞ ∑ n₌₁ (−1)n_ n = −1+ 2− 3+ 4+ · · · 其中  > 0，n = 1,2,3,· · · ．

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交错级数

定理 6(莱布尼兹定理) 如果交错级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n+1_ n 满足条件 1 _n+1 ¶ _n，n = 1,2,3,· · · ； 2 lim n→∞n = 0； 则级数收敛，且其和 S _¶ 1，余项满足 |Rn|¶ n+1． 例 10 交错级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 n 收敛．

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交错级数

定理 6(莱布尼兹定理) 如果交错级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n+1_ n 满足条件 1 _n+1 ¶ _n，n = 1,2,3,· · · ； 2 lim n→∞n = 0； 则级数收敛，且其和 S _¶ 1，余项满足 |Rn|¶ n+1． ∞ ∑ (−1)n+1

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常数项级数的审敛法

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第二节

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正项级数及其审敛法

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A

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交错级数及其审敛法

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B

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任意项级数的敛散性

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C

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引例 研究无穷级数 ∞ ∑ n=1 n = 1 − 1 22 − 1 32 + 1 42 − 1 52 − 1 62 + · · · 的敛散性．

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任意项级数

定理 7 若 ∞ ∑ n=1 |n| 收敛，则 ∞ ∑ n=1 n 也收敛． 定义 3 对任意项级数 ∞ ∑ n=1 n， 1 称 ∞ ∑ n=1 n 条件收敛，若 ∞ ∑ n=1 n 收敛，但 ∞ ∑ n=1 |n| 发散； 2 称 ∞ ∑ n=1 n 绝对收敛，若 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 |n| 都收敛．

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任意项级数

定理 7 若 ∞ ∑ n=1 |n| 收敛，则 ∞ ∑ n=1 n 也收敛． 定义 3 对任意项级数 ∞ ∑ n=1 n， 1 称 ∞ ∑ n=1 n 条件收敛，若 ∞ ∑ n=1 n 收敛，但 ∞ ∑ n=1 |n| 发散； 2 称 ∞ ∑ n=1 n 绝对收敛，若 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 |n| 都收敛．

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任意项级数

定理 7 若 ∞ ∑ n=1 |n| 收敛，则 ∞ ∑ n=1 n 也收敛． 定义 3 对任意项级数 ∞ ∑ n=1 n， 1 称 ∞ ∑ n=1 n 条件收敛，若 ∞ ∑ n=1 n 收敛，但 ∞ ∑ n=1 |n| 发散； 2 称 ∞ ∑ n=1 n 绝对收敛，若 ∞ ∑ n=1 n 和 ∞ ∑ n=1 |n| 都收敛．

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任意项级数

定理 7 若 ∞ ∑ n=1 |n| 收敛，则 ∞ ∑ n=1 n 也收敛． 定义 3 对任意项级数 ∞ ∑ n=1 n， 1 称 ∞ ∑ n=1 n 条件收敛，若 ∞ ∑ n=1 n 收敛，但 ∞ ∑ n=1 |n| 发散； ∞ ∑ ∑∞ ∑∞

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任意项级数

定理 8 对于任意项级数 ∞ ∑ n=1 n，若 lim n→∞     n+1 n     = ρ 或 lim n→∞ n p |n| = ρ，则有 1 当 ρ < 1 时级数绝对收敛； 2 当 ρ > 1 时级数发散．

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任意项级数

例 11 判定级数是发散的，还是条件收敛的，还是绝 对收敛的： (1) ∞ ∑ n=1 (−1)n_n n+ 1 ； (2) ∞ ∑ n=1 (−1)n n ； (3) ∞ ∑ n=1 (−1)n_n! nn ．

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任意项级数

例 11 判定级数是发散的，还是条件收敛的，还是绝 对收敛的： (1) ∞ ∑ n=1 (−1)n_n n+ 1 ； (2) ∞ ∑ n=1 (−1)n n ； (3) ∞ ∑ n=1 (−1)n_n! nn ．

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任意项级数

例 11 判定级数是发散的，还是条件收敛的，还是绝 对收敛的： (1) ∞ ∑ n=1 (−1)n_n n+ 1 ； (2) ∞ ∑ n=1 (−1)n n ； (3) ∞ ∑ (−1)n_n! ．

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任意项级数

练习 3 判定级数是发散的，还是条件收敛的，还是 绝对收敛的： (1) ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 n 2n− 1； (2) ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 1 2n− 1； (3) ∞ ∑ n=1 (−1)n₊₁ 1 n· 2n．

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任意项级数

练习 3 判定级数是发散的，还是条件收敛的，还是 绝对收敛的： (1) ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 n 2n− 1； (2) ∞ ∑ n=1 (−1)n₊₁ 1 2n− 1； (3) ∞ ∑ n=1 (−1)n₊₁ 1 n· 2n．

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任意项级数

练习 3 判定级数是发散的，还是条件收敛的，还是 绝对收敛的： (1) ∞ ∑ n=1 (−1)n+1 n 2n− 1； (2) ∞ ∑ n=1 (−1)n₊₁ 1 2n− 1； (3) ∞ ∑ n₌₁ (−1)n₊₁ 1 n· 2n．

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复习与提高

题 1 设正项级数 ∞ ∑ n=1 n 收敛，能否推出级数 ∞ ∑ n=1 2_n 也收敛？

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复习与提高

选择 下列级数中收敛的是· · · ·( ) (A) ∞ ∑ n=1 1 np (0 < p¶ 1) (B) ∞ ∑ n=1  ₁ n2 − 1  (C) ∞ ∑ n=1 1 n(n + 1) (D) ∞ ∑ n=1  − 5 2 n

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复习与提高

选择 设 n ̸= 0 (n = 1,2,3,· · · )，且 lim n_→∞ n n = 1， 则级数 ∞ ∑ n₌₁ (−1)n+1 ‚ 1 n + 1 n+1 Œ · · · ·( ) (A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛性不能由条件确定

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常数项级数的概念和性质

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第一节

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常数项级数的审敛法

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第二节

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幂级数的概念

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第三节

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函数展开成泰勒级数

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第四节

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幂级数的应用

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第五节

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幂级数的概念

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第三节

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幂级数的收敛域

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A

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幂级数的和函数

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B

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定义 1 形如 ∞ ∑ n=0 n( − 0)n 的级数，即 0+1(−0)+2(−0)2+· · ·+n(−0)n+· · · 称为 − 0 的幂级数． 特别地，当 0 = 0 时，级数 ∞ ∑ n=0 nn，即 0+ 1+ 22+ · · · + nn + · · · 称为  的幂级数．

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定义 1 形如 ∞ ∑ n=0 n( − 0)n 的级数，即 0+1(−0)+2(−0)2+· · ·+n(−0)n+· · · 称为 − 0 的幂级数． 特别地，当 0 = 0 时，级数 ∞ ∑ n=0 nn，即 0+ 1+ 22+ · · · + nn + · · · 称为  的幂级数．

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幂级数的收敛域

对于幂级数 ∞ ∑ n=0 nn， 若  _{= 0} 时级数收敛，称 0 为幂级数的收敛点 若  _{= 0} 时级数发散，称 0 为幂级数的发散点 幂级数的全体收敛点构成的集合称为幂级数的收敛域．

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幂级数的收敛域

对于幂级数 ∞ ∑ n=0 nn， 若  _{= 0} 时级数收敛，称 0 为幂级数的收敛点 若  _{= 0} 时级数发散，称 0 为幂级数的发散点 幂级数的全体收敛点构成的集合称为幂级数的收敛域．

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幂级数的收敛域

对于幂级数 ∞ ∑ n=0 nn， 若  _{= 0} 时级数收敛，称 0 为幂级数的收敛点 若  _{= 0} 时级数发散，称 0 为幂级数的发散点 幂级数的全体收敛点构成的集合称为幂级数的收敛域．

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定理 对幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，设 lim n→∞     n+1 n    = ρ，则 1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛； 2 当 || > 1/ρ 时，级数发散； 3 当 || = 1/ρ 时，级数可能收敛也可能发散． 定义 称 R _{= 1/ρ 为幂级数的}收敛半径，称 _(−R,R) 为幂级数的收敛区间． 注记 当 ρ _{= 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时，} 规定 R _{= 0．}

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定理 对幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，设 lim n→∞     n+1 n    = ρ，则 1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛； 2 当 || > 1/ρ 时，级数发散； 3 当 || = 1/ρ 时，级数可能收敛也可能发散． 定义 称 R _{= 1/ρ 为幂级数的}收敛半径，称 _(−R,R) 为幂级数的收敛区间． 注记 当 ρ _{= 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时，} 规定 R _{= 0．}

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定理 对幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，设 lim n→∞     n+1 n    = ρ，则 1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛； 2 当 || > 1/ρ 时，级数发散； 3 当 || = 1/ρ 时，级数可能收敛也可能发散． 定义 称 R _{= 1/ρ 为幂级数的}收敛半径，称 _(−R,R) 为幂级数的收敛区间． 注记 当 ρ _{= 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时，} 规定 R _{= 0．}

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定理 对幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，设 lim n→∞     n+1 n    = ρ，则 1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛； 2 当 || > 1/ρ 时，级数发散； 3 当 || = 1/ρ 时，级数可能收敛也可能发散． 定义 称 R _{= 1/ρ 为幂级数的}收敛半径，称 _(−R,R) 为幂级数的收敛区间． 注记 当 ρ _{= 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时，} 规定 R _{= 0．}

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定理 对幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，设 lim n→∞     n+1 n    = ρ，则 1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛； 2 当 || > 1/ρ 时，级数发散； 3 当 || = 1/ρ 时，级数可能收敛也可能发散． 定义 称 R _{= 1/ρ 为幂级数的}收敛半径，称 _(−R,R) 为幂级数的收敛区间． 注记 当 ρ _{= 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时，} 规定 R _{= 0．}

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定理 对幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，设 lim n→∞     n+1 n    = ρ，则 1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛； 2 当 || > 1/ρ 时，级数发散； 3 当 || = 1/ρ 时，级数可能收敛也可能发散． 定义 称 R _{= 1/ρ 为幂级数的}收敛半径，称 _(−R,R) 为幂级数的收敛区间． 注记 当 ρ _{= 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时，} 规定 R _{= 0．}

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定理 对幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，设 lim n→∞     n+1 n    = ρ，则 1 当 || < 1/ρ 时，级数绝对收敛； 2 当 || > 1/ρ 时，级数发散； 3 当 || = 1/ρ 时，级数可能收敛也可能发散． 定义 称 R _{= 1/ρ 为幂级数的}收敛半径，称 _(−R,R) 为幂级数的收敛区间． 注记 当 ρ _{= 0 时，规定 R = +∞；当 ρ = +∞ 时，}

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幂级数的收敛域

问题 给定幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，求出它的收敛域． 解答 首先求出收敛半径 R； 1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R,R) [−R,R) (−R,R] [−R,R] 2 若 R = 0，则收敛域为 {0}； 3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞,+∞)．

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幂级数的收敛域

问题 给定幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，求出它的收敛域． 解答 首先求出收敛半径 R； 1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R,R) [−R,R) (−R,R] [−R,R] 2 若 R = 0，则收敛域为 {0}； 3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞,+∞)．

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幂级数的收敛域

问题 给定幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，求出它的收敛域． 解答 首先求出收敛半径 R； 1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R,R) [−R,R) (−R,R] [−R,R] 2 若 R = 0，则收敛域为 {0}； 3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞,+∞)．

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幂级数的收敛域

问题 给定幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，求出它的收敛域． 解答 首先求出收敛半径 R； 1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R,R) [−R,R) (−R,R] [−R,R] 2 若 R = 0，则收敛域为 {0}； 3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞,+∞)．

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幂级数的收敛域

问题 给定幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，求出它的收敛域． 解答 首先求出收敛半径 R； 1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R,R) [−R,R) (−R,R] [−R,R] 2 若 R = 0，则收敛域为 {0}； 3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞,+∞)．

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幂级数的收敛域

问题 给定幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，求出它的收敛域． 解答 首先求出收敛半径 R； 1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R,R) [−R,R) (−R,R] [−R,R] 若 R_{= 0，则收敛域为 {0}；} 3 若 R = +∞，则收敛域为 (−∞,+∞)．

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幂级数的收敛域

问题 给定幂级数 ∞ ∑ n=0 nn，求出它的收敛域． 解答 首先求出收敛半径 R； 1 若 0 < R < +∞，则收敛域有四种可能 (−R,R) [−R,R) (−R,R] [−R,R] 2 若 R= 0，则收敛域为 {0}； 3 若 R= +∞，则收敛域为 (−∞,+∞)．

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幂级数的收敛域

例 1 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n−1_n n 的收敛域． 例 2 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n−1_n _{的收敛域．} 例 3 求幂级数 ∞ ∑ n=0 n n! 的收敛域．

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幂级数的收敛域

例 1 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n−1_n n 的收敛域． 例 2 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n−1_n _{的收敛域．} 例 3 求幂级数 ∞ ∑ n=0 n n! 的收敛域．

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幂级数的收敛域

例 1 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n−1_n n 的收敛域． 例 2 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n−1_n _{的收敛域．} 例 3 求幂级数 ∞ ∑ n n! 的收敛域．

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幂级数的收敛域

例 4 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (2 + 1)n n 的收敛域． 例 5 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n−13 n_2n n 的收敛域．

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幂级数的收敛域

例 4 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (2 + 1)n n 的收敛域． 例 5 求幂级数 ∞ ∑ n=1 (−1)n−13 n_2n n 的收敛域．

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幂级数的收敛域

练习 1 求幂级数 ∞ ∑ n=1 n (2n − 1)(2n) 的收敛域．

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幂级数的收敛域

注记 即使 lim n→∞     n+1 n     不存在，即 ρ 不存在，类似 的收敛半径 R 依然存在，即有下面的定理． 定理 若幂级数 ∞ ∑ n=0 nn 不是仅在  = 0 一点收敛， 也不是在整个数轴上都收敛，则必存在一个确定的正 数 R，使得 1 当 || < R 时，幂级数绝对收敛； 2 当 || > R 时，幂级数发散．

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幂级数的收敛域

注记 即使 lim n→∞     n+1 n     不存在，即 ρ 不存在，类似 的收敛半径 R 依然存在，即有下面的定理． 定理 若幂级数 ∞ ∑ n=0 nn 不是仅在  = 0 一点收敛， 也不是在整个数轴上都收敛，则必存在一个确定的正 数 R，使得 1 当 || < R 时，幂级数绝对收敛； 2 当 || > R 时，幂级数发散．

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幂级数的概念

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第三节

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幂级数的收敛域

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A

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幂级数的和函数

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B

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幂级数的运算

定理 设 ∞ ∑ n=0 nn 和 ∞ ∑ n=0 bnn 的收敛半径分别为 R1 和 R2，R = min{R1,R2}，则有 ∞ ∑ n₌₀ nn
± ∞ ∑ n₌₀ bnn
= ∞ ∑ n₌₀ (n± bn)n, 其中等式在 _(−R,R) 中成立．

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幂级数的运算

定理 设 ∞ ∑ n=0 nn 和 ∞ ∑ n=0 bnn 的收敛半径分别为 R1 和 R2，R = min{R1,R2}，则有 ∞ ∑ n=0 nn
· ∞ ∑ n=0 bnn
= ∞ ∑ n=0 cnn, 其中 cn = n ∑ =0 kbn−k，等式在 (−R,R) 中成立．

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幂级数的运算

定理 设 ∞ ∑ n₌₀ nn 和 ∞ ∑ n₌₀ bnn 的收敛半径分别为 R1 和 R2，R = min{R1,R2}，则有 ∞ ∑ n=0 nn
. ∑∞ n=0 bnn
= ∞ ∑ n=0 dnn, 其中等式在 _(−R,R) 的某_· 个 · 子· 区· 间· 内成立． 例子 1 1−  = 1 +  +  2_{+ · · · + }n _{+ · · · 仅在区间} (−1,1) 上成立．

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