國小六年級數學科體積單元以多點計分S-P表分析之應用

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國立臺中教育大學教育測驗統計研究所碩士論文

指導教授：許天維

博士

國小六年級數學科體積單元以多點計分

S-P 表分析之應用

研究生：陳律雯

撰

中

國民國一 O 三年六月

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摘要

本研究採用國小六年級數學科體積單元，主要是利用多點計分發展佐藤隆博教授的S-P 表分析理論，並應用在教學評量上的研究。從受試者作答各個選項的反應程度，來暸解受試者在數學科體積單元的學習情形，以提供教學現場的老師在進行數學科體積單元教學及補救教學時的參考。本研究以臺中市國小六年級 34 個學生為對象。且利用 S-P 表分析軟體計算的學生注意指數(Caution index for Students, CS)、試題注意指數(Caution index for problems, CP)與差異係數(The coefficient of disparity)進行試題診斷分析及學生學習分析，而佐藤隆博教授的S-P 表分析理論只針對答對 1 分，答錯 0 分的二元計分(Dichotomous)進行分析，本研究依題型難易程度有兩種不同給分方式：第 1 題到第24 題 3 分，第 25 題到第 32 題 3.5 分，計有試題 32 題，因此必須以多點計分(Polychotomous)模式的公式來計算，先將學生得分情形利用新的 S-P 表分析法，計算出學生注意指數、試題注意指數。研究結果發現學生注意指數(CS)如下：介於 0~0.5 的人有 21 位，表示不尋常情況並不嚴重，屬於正常程度；介於 0.5~0.75 的人有 13 位，表示不尋常之情況已是嚴重狀況，教師應該加以注意；CS 值大於 0.75 表示不尋常之情況已是非常之嚴重，而本研究中並無此範圍之受試者。在試題注意指數CP 值大於 0.75 的結果：Item3、Item8、Item9、Item11、Item12、 Item19、Item22、Item24、Item29，在Item3、Item19 這兩題試題偏易，答對率均在 90%以上，而教師在進行編寫試題時，要注意試題是否含有拙劣選項，而拙劣試題則有刪除或修正之必要。本研究結果發現多點計分 S-P 表分析法除了可對少數人進行測驗內容分析，突顯試題檢測的功能外，而且還能對受試者整體進行分類，這是試題反應理論所不及的地方，同時這些的結果可供現場教學者與評量者作為補救教學的參考。

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Abstract

This study is about application of the unit: volume of sixth-grade math of elementary school. In this study, the development of polychotomous scoring based on Professor Takahiro’s SP table analysis theory is used and applied to this research on teaching assessment. The participants’ degrees of response are used to understand their learning situations in volume and to provide teachers with references on teaching this unit and remedial teaching.

The participants are thirty four sixth-graders of the elementary school in Taichung city. Caution Index for Students, CS calculated from the SP table analysis software, Caution index for problems, CP, and the coefficient of variation are adopted to conduct the diagnostic analysis of test items and the analysis of students’ learning. In Professor Takahiro’s SP table analysis theory, the dichotomous scoring (right- 1 point, wrong- 0 point) is used. However, polychotomous scoring is used in this research to calculate CX and CP. There are totally thirty- two items, item one to item twenty-four: 3 points, and item twenty-five to item thirty-two: 3.5 points.

The results of the values of CS are as follow. From 0 to 0.5, there are twenty-one students, indicating that their learning is normal without serious unusual situation. From 0.5 to 0.75, there are thirteen students, which means teachers should pay attention to their serious unusual situation. The CS value >0.75 indicates the very serious usual situation and there is zero student in this range.

The CP coefficient value >0.75 are Item3, Item8, Item9, Item11, Item12, Item19, Item22, Item24, and Item29. Item3 and Item19 are easier question for the students due to the > 90 % of the correct answering rate. This result implies that teachers have to

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The results show the extraordinary function of evaluating the test items of polychotomous scoring of S-P table analysis theory. It can be used not only to analyze the content of the test of the minorities but also to classify the participants, which is the lack of the item response theory. Moreover, these findings could provide the teachers who would like to teach and evaluate with references for remedial teaching.

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目錄

摘要………Ⅱ Abstract………Ⅳ 目錄………Ⅵ 表目錄………Ⅷ 圖目錄………Ⅸ 第一章緒論………1 第一節研究動機………1 第二節研究目的………2 第三節研究問題………2 第二章文獻探考………3 第一節 S-P 分析理論……… 3 第二節體積教材分析………7 第三節試題反應模式………10 第三章研究方法與設計………11 第一節研究流程………11 第二節研究對象………12 第三節研究工具………12 第四節資料處理與分析………14 第四章研究結果………15 第一節多點計分 S-P 表分析………15 第二節試題的注意係數(CP)分布分析………16 第三節學生的注意係數(CS)分布分析………23 第四節試題差異係數難度指數以及鑑別力… … … …3 0 第五章結論與建議………33 第一節結論………33 第二節建議………34 參考文獻………35

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日文部分………38

附錄………39

能力指標………39

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表目錄

表2-1 CP 或 CS 的反應組型表………....………04 表2-2 D_B(M)值……….………07 表3-1 修訂版 Bloom 教育目標分類雙向細目表...13 表4-1 試題注意係數及答對率分析類型………...………17 表4-2 學生注意係數及答對率分析類型……….………24 表4-3 學生(B)尚可類型分析………25 表4-4 學生(B')再努力類型分析………...………28 表4-5 試題難度/鑑別度分析………30 表 4-6 P 值………30 表 4-7 D 值………31

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圖目錄

圖 2-1 試題診斷分析圖………5 圖 2-2 學生注意係數得分百分比分布圖………5 圖 3-1 研究流程圖………11 圖4-1 S-P 表分布圖………15 圖 4-2 CP 值分析………16 圖 4-3 試題注意係數………17 圖 4-4 CS 值分析………23 圖 4-5 學生注意係數………25

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第一章緒論

本研究藉由使用 S-P 表來分析臺中市龍井區某國小六年級在數學領域體積單元的學習狀況，以提供教學者在進行補救教學時可參考的資料，並了解該年級學童在體積單元中的學習狀況及學習類型。

第一節研究動機

我國教育的發展，促進了臺灣社會的變遷，而在整體發展的過程中，政府在教育方面也提出了相關的重要政策，以往的九年國民教育進而開始了十二年國教的發展，這也表示著新課程的實施，在新課程實施的方向以「培養學生具備帶著走的基本能力，拋掉背不動的書包與學習繁雜的知識教材。」在數學領域中，尤其以國小教育甚為重要，教學多年來，發現到高年級的數學領域中，學生備感困擾的單元以體積居多，就數學教學來說，我們大多以紙本或平面圖為主，學生對於立體的空間概念，仍需靠自行去記憶與理解。依九年一貫數學課程理念，所強調的是培養學生問題解決的能力，其中強調知識的統整，不只是在知識的獲得，反觀現在的教學現場，卻常常難達到這目標。就以體積單元為例，雖然在課程的安排上，由簡而難的順序，循序漸進的深淺，但要探究學生的學習效果，仍然可以發現到學生有課程銜接上的困難，也就是各年級的知識無法統整。譚寧君（1995）與何健誼（2002）的研究都指出學童對於體積概念的瞭解不夠清楚，往往以為體積不過就是一堆數量相乘的結果，而這種錯誤概念的迷思，進而去分析此原因，有可能因為教師在教學時簡化了體積是堆疊的探討過程，使學生過度依賴直接去背誦體積公式，也或許是學童在學習過程中，教師的引導方式造成了偏差影響。因此本研究將以六年級體積單元為施測內容，編製試題且透過專家學者進行

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32 題以 3.5 分計分，總分 100 分，由於在數學領域體積單元的相關研究並不多，因此，為提供教學者在此單元教學上，瞭解學童的學習狀況，而進行改進或補救教學，以多點計分S-P 表去分析學生的類型和試題的注意指數，希能得到預期的結論，讓教學者在此研究中能獲得有關補救教學的參考依據。

第二節研究目的

本研究以多點計分 S-P 表分析臺中市龍井區某六年級學生在數學體積單元上的測驗分數，從中了解該年段學生的學習狀況與錯誤類型，並且提供學校和教師在進行補救教學的輔導依據，以提高教學效率。根據以上的目標，所要達到的目的有以下三項：一、根據試題分析理論，以數學科體積單元來瞭解試題的注意指數狀況。二、根據試題分析，以數學科體積單元來瞭解學生的注意指數與差異係數狀況。三、分析學生的學習類型以供教學者進行事後補救教學。

第三節研究問題

根據研究目的，本研究有以下的研究問題：一、根據試題分析，試題信度、難度指數以及鑑別力為何？二、運用S-P 表分析試題與學生的注意指數分布情形如何？三、運用S-P 表分析學生學習類型分布情形為何？

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第二章文獻探考

第一節 S-P 表分析理論

所謂的量表是種測量工具，基本特徵是描述性、比較性，能用來代表劃分的每個等級；而所謂S-P 量表，是指英文〝Student〞(學生)的 S，及〝Problem〞(問題)的 P 所組成。由日本學者佐藤隆博於一九七 O 年代所創，之後又由龍崗誠博士於一九七○年代末引進日本。在民國七十二年，國立臺灣教育學院的陳騰祥教授介紹至國內。 S-P 表的基本概念，指的是學生的考試分數與試題的答題情形，而 S-P 表主要分析是為了瞭解學生的學習狀況，判斷試題是否適當？以提供進一步學習診斷之用途，根據學生的作答情形，給予有系統的評定分數與排列名次，且能掌握個別學生的學習狀況、發現不良的試題和學生的學習困難。在S-P 表的縱座標是以學生的得分高低排列，橫坐標是以試題的難易順序排列，將學生和試題得分重排並且圖表化的縱橫軸，教學者可快速的了解學生的學習困難情形以及試題的適當性。 S-P 表的繪製方法是以 0 表示錯誤、1 表示正確的方式，將學生的作答成績繪製，再依照學生的總分由高到低，把學生的整個反應組型以及總分，由上到下依序排列；完成後，再將試題答對人數多寡，將試題的作答情形及答對人數由左而又得依序排列；最後，依據每個學生的總分由左到右數和總分相同的試題個數，在右邊畫一條線段(分界線)-S 曲線。依據每個試題答對人數從上往下數，數答對人數相同的學生個數，在其下方化一條直線，由左而右分別畫出與每個試題答對人數相對應的分界線-P 曲線，畫出 S 曲線和 P 曲線後，即為 S-P 表。 S-P 表內所使用的數值有：差異係數(Disparity coefficient)、同質性係數

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些指標數據可分析出學生或試題的問題所在，以供補救教學使用。注意指數的判讀標準方式為：表 2-1 CP 或 CS 的反應組型表 CP 或 CS 的值試題或學生的反應組型 CS>0 或 CP<.50 該試題或學生的反應組型發生不尋常的狀況並不嚴重，在可容許的範圍之內。 CS≥.50 或 CP<.75 該試題或學生的反應組型發生不尋常的狀況已經很嚴重，應予以注意。 CS 或 CP≥.75 該試題或學生的反應組型發生不尋常的狀況非常嚴重，應予特別注意。

注意指數又分為試題注意指數(Caution index for porblems，簡稱 CP)及學生注意指數(Caution index for students，簡稱 CS)，針對這兩種注意指數說明如下：

壹、試題注意係數

試題注意指數的公式如下：

注意係數越大表示學生或試題的反應組型越不正常，需要多加注意。在試題分析圖中可將試題分為(A)優良、(A')疑義、(B)困難和(B')劣質四種：

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答對學生人數百分比 100% (A)優良 (A')疑義 50% 試題適當，可以區別低成就者與其他學生的不同。試題存有疑義成分，可能需要部份修正。 (B)困難 (B')劣質試題具有困難度，適合用作區別高成就者試題存有相當劣質，可能資料登錄錯誤或題意含糊不清，必須修改。 0.5 1 圖 2-1 試題診斷分析圖（資料來源：余民寧，2011）

貳、學生注意係數

學生注意指數的公式如下：在學生注意係數分析中可將學生分為(A)穩定型、(A')粗心型、(B)尚可型、 (B')再努力型、(C)學習不夠型和(C')不穩定型六種，分布圖如下：答對率 (pr) 100% (A) 穩定型 (A')粗心型學習狀況良好，穩定性高粗心大意，容易造成錯誤 75% (B)尚可型 (B')再努力型學習還算穩定，需要再用功一點偶而粗心，準備不充足，需要再努力 50% (C)學習不夠型 (C')不穩定型學習不夠充分，且更需要努力用功。學習狀況極不穩定

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叁、差異係數

佐藤隆博教授之前設計的S-P表，除了分析學生的注意指數與試題的注意指數外，還透過差異係數分析進行診斷學生學習類型。(佐藤隆博，1975) 所謂的「完美曲線」是指在 S 曲線的左側或 P 曲線的上方都出現「1」時的反應組型，而S 曲線和 P 曲線會互相重疊。所謂的「不完美量尺」則是指 S 曲線和P 曲線分離的狀況，用來測量兩曲線分離狀況的量化指標，稱為差異係數，以 D＊符號來表示。佐藤隆博教授(1975)則認為差異係數會介於 0 至 1 之間，數值以 0.5 左右為標準值，若數值＞0.6 或＜0.4 表示試題含有異質因素，應注意學生的作答情況，或針對試題進行修改及檢討。藉著佐藤隆博教授提出的 S-P 表，俞克斌、許天維在 2012 年提出更新的分析理論，以補足僅依據答對得1 分答錯得 0 分的狀況，而有多點計分的概念，但仍舊採用佐藤隆博教授的曼哈頓距離量尺的概念。 本研究採用多點計分 S-P 表分析理論，在一份 n 個試題的測驗中，有 N 位受 試學生，若xij表第 i 位學生在第 j 試題的得分，則稱為

(

x

ij

)

Nn為原始 S-P 表的得分矩陣，其中

i



1 

,

2 ,

,

N

；

j



1 

,

2 ,

,

n

。接著，假設測驗中的試題配分不 全相同，則當第 j 試題的配分為aj且xij



0,aj



時，稱(xij)Nn為多點給分矩陣。又令 





n j ij i

x

_{表示第 i 位學生的總得分，} _ 



N j ij j x x _{表示第 j 試題的總積分。若} 將原始 S-P 表的得分矩陣依

x

1



x

2







x

N和 n n a x a x a x_ _ _ _ _ _  2 2 1 1 _{的規則重新} 加以排序則可得新的S-P 表，以便進行分析。透過佐藤隆博教授 S-P 表分析理論，可以修改二元計分差異係數為多點部分給分差異係數如下： 2 S T x x n N n ij ij j N i





 



 

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其中



  n j j a K 1 ，



      n j j N i i x NK x NK P 1 1 1 1 且 max{min{ , 1 },0} 1



    j k k i j ij a x a S ； } 0 }, 1 , 1 max{min{     i a x T j j ij ；而

M



[

NK



0 .

5 ]

，

[

]

表Gauss 最大整數符號；另外，

D

_B

(M

)

係指佐藤隆博教授 S-P 表分析理論中，M 值所對應的簡易換算表，如表2-2 所示。表2-2 ) (M D_B 值 M DB(M) M DB(M) M DB(M) M DB(M) M DB(M) 11 .278 29 .355 47 .384 65 .402 83 .413 12 .285 30 .358 48 .385 66 .403 84 .413 13 .291 31 .360 49 .386 67 .404 85 .414 14 .296 32 .362 50 .387 68 .404 86 .414 15 .302 33 .364 51 .388 69 .405 87 .415 16 .307 34 .366 52 .389 70 .405 88 .415 17 .312 35 .367 53 .390 71 .406 89 .416 18 .317 36 .369 54 .391 72 .407 90 .416 19 .321 37 .370 55 .392 73 .408 91 .417 20 .326 38 .372 56 .393 74 .408 92 .417 21 .330 39 .373 57 .394 75 .409 93 .418 22 .334 40 .375 58 .395 76 .409 94 .418 23 .337 41 .377 59 .396 77 .410 95 .419 24 .341 42 .378 60 .397 78 .410 96 .419 25 .344 43 .380 61 .398 79 .411 97 .419 26 .347 44 .381 62 .399 80 .411 98 .420 27 .350 45 .382 63 .400 81 .412 99 .420

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第二節體積教材分析

體積的相關概念是高年級主要教學的內容之一，對於學生來說，由平面的概念延伸至立體概念，需要教學者多一份的解說，以下對於體積的意義、教材地位與迷思概念分別說明：

壹、體積的意義：

體積又稱容量、容積，指的是物件佔有多少空間的量，而體積應包含下列四種不同的意義(譚寧君，1996)： 1.外體積(external volume)─我們眼睛所看到的物體外觀所佔空間的大小，不管那物體是實心還是空心，例：方塊、積木…等。 2.內體積(internal volume)─也就是物體裡面空間的大小，即空心物體的內部容積，通常指的是容納固體的物體，例：面紙盒裡面可以裝 10 個 1 立方公分的小積木，表示面紙盒的內體積是10 立方公分。 3.排他性體積(displace volume)─物體體積的大小是透過內含液體來表示此物體的體積，例：鉛球的體積大小可以將鉛球放進裝滿水的水桶內，而流出來水的體積就是鉛球的體積。

4.液積與容量(liquid volume and capacity)─液積表示液體的空間大小，就代表液體的體積，又稱為液量；而容量則是容器可裝的最大容液量，也就是該容器裝滿液體時的液積。

貳、體積的教材地位：

有關體積的能力指標分別在數與量、幾何與代數此三大主題中，在教育部頒布的「國民中小學九年一貫課程綱要」數學學習領域能力指標中，與體積有關的學習概念如下： 5-n-18 能理解長方體和正方體的體積公式。

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6-n-13 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。 6-s-05 能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。 6-s-06 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。 6-a-05 能用中文簡記式表示圓面積、圓周長與柱體的體積公式。數學領域中，從三年級課程：容量普遍單位的必要性、公升、公合及其相互關係、容量的實測、加減，到四年級：體積的概念、體積的單位：立方公分、立方公尺及其相互關係、長方體和正方體體積的求法和公式、體積的實測與計算，接著五年級：容積的意義、容積的單位與體積單一的關係、長方體和正方體容器之容積的算法、不規則物體的體積之求法，最後六年級：角柱和圓柱的體積之求法。針對一連串的課程銜接，以此為基礎，進行試題編寫，透過雙向細目表的評析，經由專家內容效度的審核，共編寫32 題試題，第 1 題到第 24 題配分為 3 分，第25 題到第 32 題為 3.5 分。

叄、體積的迷思概念：

所謂的迷思概念指學生在解題過程中會因為對學習內容的不了解、概念不清楚或先備知識的缺乏所導致解題錯誤。茲對於「體積」單元可能會出現的迷思狀況進行相關文獻的研究如下。馬乃忠(2005)與葉麗鳳(2008)的研究內容指出在體積單元中的迷思狀況大致上可分為以下幾種： 1.認為相同的物體經過位置移動重新組合後體積會改變； 2.公式運用錯誤； 3.不了解題意胡亂作答； 4.缺乏計算的能力； 5.認為比較重的物體體積比較大；

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7.缺乏實測與估測的經驗。何健誼（2002）的研究中指出認為體積錯誤概念將會影響日後相關立體幾何圖形問題的學習，並指出學童容易把面積、表面積及體積概念(公式)混淆在一起、或者是在進行計算時，有標出長、寬、高的物體才有體積與沒有標示出長、寬、高的物體就是沒有體積等的迷失概念。譚寧君（1995）指出往往學童認為體積只不過是背誦公式或代表三個數字相乘的結果，除此之外在教學上卻不再對體積做其他相關的描述與解釋，這種錯誤的迷思，或許是在教學學習過程中，教師引導方式有偏差（例：過早導入公式計算、直接教背誦公式），忽略學生能自行探討問題的過程，因而造成學童學習成效上的偏差影響。綜合以上文獻，本研究以多點計分S-P表分析此單元教學的成效，並探討試題與學童的注意指數以及差異係數間的關係。本研究目的在根據試題分析，瞭解試題的注意指數狀況及瞭解學生的注意指數與差異係數狀況，分析學生的學習類型以供教學者進行事後補救教學。

第三節試題多元計分模式

在教學現場上，教學者想測量學生的能力是什麼程度？就必須擬定一份測驗，而測驗的目標也就先確認，這個目標是單一的或是多元的，例如定義為數學能力則是單一目標取向；想測驗出學生的計算能力、思考能力等則為多元，之後開始命題，最常使用的題型是以是非、選擇題為主，填充題和應用問題等題型也是有出現搭配，針對不同的題型會搭配不同的計分方式，例如選擇題和填充題可使用答錯0分，答對1分，而這種計分方式在測驗理論中稱之「二元(dichotomous) 計分」；應用、計算問題則可以是答錯0分、部分答對1分、全對2分，這種計分模式則稱為「多點(polychotomous)計分」。本次研究主要以多點計分方式為評分標

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第三章研究方法與設計

本研究從研究流程、對象、資料處理與分析等方面來說明。

第一節研究流程

本研究的流程主要在確立主題後，透過文獻的蒐集與考察，依據雙向係目表編製試題，然後再進行施測，施測後的結果才給予 S‐P 表分析，最後於完成試題與學生的診斷分析之下，撰寫論文。圖 3-1 研究流程圖相關文獻資料的蒐集文獻資料的探討編寫施測試題施測確定研究主題 S - P 表分析試題診斷分析學生診斷分析撰寫論文

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第二節研究對象

本研究以臺中市國小六年級兩個班級34 個學生為對象，六年級學生當中並無人屬於資源班學生，目前有甲班2 位學生和乙班 2 位學生參加補救教學課程，這 4 位學生對於數學科方面的理解程度較弱，且在計算方面能基礎的計算加減乘除；施測地點為各班教室，本次試題施測由研究者自己進行測驗且分析。

第三節研究工具

本次研究以統計軟體 SPSS12.0 套裝軟體資料進行分析，運用 Word 作業系統 Excel2010 建構受試者所有作答資料，再以 S-P 表分析軟體－Tester for Windows 程式 2.0 版進行試題與學生的資料分析，在多點計分的圖表方面，以 Matlab 軟體繪製。研究過程所施測的試題編製依據、效度等敘述如下：

針對數學科體積單元之有關概念、試題編製是經過 3 位教學豐富的國小教師及教育測驗專家相互討論並且提出建議，依據其建議修改相關施測試題，進而建立專家效度。本次測驗針對每一概念編製相關試題，並依難度深淺有不同的計分。再透過Anderson 和 Krathwohl（2001）所修訂的「修訂版 Bloom 教育目標分類法」二維向度架構，來編製體積單元相關概念測驗，使此份測驗具有內容效度，以可達到評量與目標、教學的一致性，不僅可評量出學生習得之片斷知識，也可

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表3-1 修訂版Bloom 教育目標分類雙向細目表 認知歷程向度知識向度低階思維技巧 → 高階思維技巧 1.記憶 2.了解 3.應用 4.分析 5.評鑑 6.創造具體 ↓ 抽象 A.事實知識 4,5,6 21,30 24,31 32 B.概念知識 3,7 2,15 8,12, 19 18 23,27 C.程序知識 1,10 28,29 11,13, 17 26 D.後設認知知識 9,16 14,25 20 22

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第四節資料處理與分析

本次研究以統計軟體 SPSS12.0 套裝軟體資料進行分析，運用 Word 作業系統 Excel2010 建構受試者所有作答資料，再以 S-P 表分析軟體－Tester for Windows 程式2.0 版進行試題與學生的資料分析，在多點計分的圖表方面，以 Matlab 軟體繪製。

施測完畢後，將全數樣本資料回收，透過導師的協助，篩選出 2 個無效樣本，將剩下有效樣本輸入電腦，進行統計軟體SPSS12.0 套裝軟體資料分析、Excel2010 和S-P 表分析軟體－Tester for Windows 程式 2.0 版(本程式使用時，對於受試者人數、試題數量以及最多5 個選項均有限制)。

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第四章研究結果

第一節多點計分 S-P 表分析

探討學生的學習類型與試題的反應組型，以多點計分S-P表來分析，在 Excel2010程式中，輸入學童作答成績後，計算出答對率與答錯率，再依總分從高到低排列，學童的答對題數從多到少排序，作為原始總分的矩陣圖，再來，畫出 S曲線與P曲線，透過多點計分S-P表分析理，依據此圖，分析出CS值及CP值。

壹、多點計分

S-P 表圖形

S-P 表圖形中的 S 曲線與 P 曲線，試題平均答對率平均在 80％以上，因常態編班，可以知道學生學習的差異情形差異性不會太大，紅色虛線是S 曲線，黑色實線是P 曲線，如下圖。圖4-1 S-P 表分布圖

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第二節試題的注意係數(CP)分布分析

根據試題的注意係數與各題答對人數百分比，將試題的屬性分類為四種類型：A（優良題）、A’（疑義題）、B（困難題）、B’（劣質題）。橫軸以試題注意係數0.5為試題診斷的分界；縱軸以試題答對人數百分比50％為分界，下列圖表根據學生的作答反應加以分析。圖4-2 CP 值分析

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試題注意係數分析結果如下：表4-1 試題注意係數及答對率分析類型試題注意係數答對% 類別試題注意係數答對% 類別 1 0.509 0.82 A' 17 0.474 0.97 A 2 0.237 0.94 A 18 0 0.97 A 3 0.948 0.94 A' 19 0.921 0.91 A' 4 0.583 0.68 A' 20 0.474 0.97 A 5 0.391 0.91 A 21 0.696 0.85 A' 6 0.274 0.94 A 22 0.909 0.44 B' 7 0.197 0.85 A 23 0.58 0.44 B' 8 1.386 0.38 B' 24 0.808 0.59 A' 9 0.819 0.68 A' 25 0.197 0.76 A 10 0.511 0.76 A' 26 0.509 0.59 A' 11 0.754 0.65 A' 27 0.109 0.97 A 12 0.944 0.88 A' 28 0.109 0.97 A 13 0.429 0.91 A 29 0.848 0.56 A' 14 0.408 0.65 A 30 0.292 0.94 A 15 0.547 0.97 A' 31 0.447 0.94 A 16 0.52 0.74 A' 32 0 1 A 0.5 1.5 1.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 試題注意係數答對人數百分比

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依試題注意係數分析圖表診斷出試題的類型，結果如下：屬於優良題(A)：Item2、5、6、7、13、14、17、18、20、25、27、28、30、 31、32，共 15 題，約佔整份試卷 47%。屬於疑義題(A')：Item1、3、4、9、10、11、12、15、16、19、21、24、26、 29，共 14 題，約佔整份試卷 44%。屬於困難題(B)：本份試卷中並無此類型的題目。屬於劣質題(B')：Item8、22、23，共 3 題，約佔整份試卷 9%。由以上的分析結果發現，在試題注意係數 CP 值大於 0.75 的 Item3、Item8、 Item9、Item11、Item12、 Item19、Item22、Item24、Item29 這 9 題，進行以下分析：試題3 分析題目內容 ( )3.四方體的體積公式，下列何者敘述錯誤？ ①四方體體積=長 x 寬 x 高 ②四方體體積=邊長 x 邊長 x 邊長 ③四方體體積=底面積 x 高 ④四方體體積=長+寬+高答對人數 30 答對率 94% 答錯人數 2 答錯率 8% 試題注意係數 0.948 判定等級 A' 誘答力分析本試題正確選項為4，本試題偏簡單，主要是測驗學生在這單元的概念上，是否對於底面積 x 高還存有迷思，答錯的學生均屬於看題目看太快，而導致未看清楚要選擇錯誤選項，分類為粗心大意型，本試題的鑑別度為 0，故無法分析出能力高低，建議修改試題或是直接刪除。

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試題8 分析題目內容 ( )8. 圓柱體的底面半徑變為2 倍，柱高變為 2 倍，則其體積變為原來的幾倍？ ① 2 ② 4 ③ 8 ④ 16 答對人數 13 答對率 38% 答錯人數 21 答錯率 62% 試題注意係數 1.386 判定等級 B' 誘答力分析本試題正確選項為3，在題目中的敘述可能並未敘述完整，導致在高分組學童答對率僅22%，低分組的學童答對率卻是高達 66%，大多數學童在進行體積的計算時，僅將題目中的 2 倍相乘2 倍，而選擇了錯誤選項，在低分組的學童僅背誦公式，所以將題目中的半徑再乘一次，故選正確選項的人數比高分組多，對於要考的概念，仍有模糊的定義，故此題建議可以修改題目或數值。試題9 分析題目內容 ( )9. 如右圖，芷云將三角柱切割再拼成長方體，請問下列敘述何者正確？ ①三角柱的體積是長方體體積的 2 倍。 ②長方體的長是三角形高的 2 1_。 ③三角形的面積是長方形面積的 2 倍。 ④三角形的底是長方體寬的 2 倍。答對人數 21 答對率 66% 答錯人數 11 答錯率 34% 試題注意係數 0.819 判定等級 A' 誘答力分析本試題正確選項為4，試題中因有圖形的切割再整合，某部分學生對於此圖形無法用立體的角度去思考體積與面積的計算

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試題11 分析題目內容 ( )11. 設圓周率係以 3.14 計算，如圖，圓柱的底面是一個半徑 6 公分的圓，今將圓柱切割成 8 等分再重新排列後，底面形狀如右圖所示，則 A 點到 B 點的長度最接近下列哪一個數？　① 15 公分 ② 17 公分 ③ 19 公分 ④ 21 公分答對人數 20 答對率 63% 答錯人數 12 答錯率 37% 試題注意係數 0.754 判定等級 A' 誘答力分析本試題正確選項為3，主要測驗受試者對於圓周長與邊長的關係，試題中有圖形的切割再整合圖，在低分組學生作答情形均答對，而相較高分組卻有33%的學生答錯，可能是在題目敘述上有誤解，建議進行試題編修。試題12 分析題目內容 ( )12. 一個圓柱體的底面半徑變為原來的1_{2倍，柱體的高度} 不變，那麼此圓柱的體積為原圓柱體體積的多少倍？ ① 1_{2 ②}_{4 ③}1 1_{6 ④}1₈ 答對人數 30 答對率 88% 答錯人數 4 答錯率 12% 試題注意係數 0.754 判定等級 A' 誘答力分析本試題正確選項為2，在高低分組學童的答題部分大部分都能答對，而其他學童卻容易答錯，推估高分組的學童在進行計算時，都能計算正確且概念清楚，而低分組有幾個學童是直接進行1_2x1_{2，得到的答案恰為正確答案，而不清楚概念，故此題的} 文字敘述能進行修改，或許能再測量出學童的理解能力。

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試題 19 分析題目內容 ( )19. 甲是 1 個長方柱，乙是梯形柱，已知甲長方柱底面的長為 8、柱高是 12；乙梯形柱的底面是上底為 5、下底為 11、高為 6 的梯形，柱高為 8，若甲、乙的體積相等，則長方柱底面的寬為多少？ ① 3 ② 4 ③ 6 ④ 8 答對人數 29 答對率 91% 答錯人數 3 答錯率 9% 試題注意係數 0.921 判定等級 A' 誘答力分析本試題正確選項為2，高分組的學童在進行計算時，都能計算正確且概念清楚，而低分組有幾個學童是直接進行，得到的答案恰為正確答案。試題22 分析題目內容 ( )22. 若圓周率以 3.14 計算，如圖，有一個長方體，長 16 公分，寬 8 公分，高 10 公分，此長方體切割出的最大圓柱體體積為多少立方公分？ ① 8×8×3.14×16 ② 5×5×3.14×16 ③ 4×4×3.14×16 ④ 8×8×3.14×10 答對人數 13 答對率 41% 答錯人數 19 答錯率 59% 試題注意係數 0.909 判定等級 B' 誘答力分析本試題正確選項為3，在高低分組的學生而言，此題的答錯率偏高，且大部分學童無法用立體的概念去設想最大體積的求法，並未考慮到體積的公式求法，而本題的文字敘述中並未提

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試題24 分析題目內容 ( )24. 有一個圓柱體的密閉容器，半徑12公分，柱高12公分，裡面的水深5公分。其容積為多少立方公分？ ① 452.16 ② 720 ③ 2260.8 ④ 5425.92 答對人數 18 答對率 56% 答錯人數 14 答錯率 44% 試題注意係數 0.808 判定等級 A' 誘答力分析本試題正確選項為3，主要測驗學生在容積的體積計算上，是否有公式上的誤解，而本題的設計時，未考慮到容積均有厚度的問題，在測驗時，老師提醒以無厚度為計算方向，所以在此題作答上，均有計算上的錯誤，並無公式上的錯誤。試題29 分析題目內容 ( )29. 若圓周率以 3.14 計算，如右圖，一個長 10 公尺，寬 5 公尺，厚 2 公尺的長方體石塊缺了一個 4 1 圓的一角，剩下的部分體積為多少立方公尺？ ① 74.88 ② 87.44 ③ 93.72 ④ 96.86 答對人數 17 答對率 53% 答錯人數 15 答錯率 47% 試題注意係數 0.848 判定等級 A' 誘答力分析本試題正確選項為3，此題作答高分組的學生明顯比低分組的學生容易計算錯誤，對照試卷發現高分組的學生作答時公式均列成一式，在計算時發生錯誤，低分組的試卷上發現會將公式

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本份試卷的試題注意係數平均在 0.526，該試題的反應組型發生不尋常的狀況並不嚴重，在可容許的範圍之內。而在屬於劣質題(B')區的 Item8、22、23，可以進行修改或刪除，讓此份試題更能提高住意係數。

第三節學生的注意係數(CS)分布分析

由 CS 值分析圖表中，在學生注意係數中將學生分為(A)穩定型、(A')粗心型、 (B)尚可型、(B')再努力型、(C)學習不夠型和(C')不穩定型六種。圖4-4 CS 值分析

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學生注意係數分析如下：表4-2 學生注意係數及答對率分析類型學生注意係數答對% 類別學生注意係數答對% 類別 1 0.429003 75 B 18 0.568979 65.625 B' 2 0.320921 75 B 19 0.695232 78.125 A' 3 0.340059 78.125 A 20 0.185282 84.375 A 4 0.353304 78.125 A 21 0.203811 84.375 A 5 0.503351 84.375 A' 22 0.271748 84.375 A 6 0.606487 71.875 B' 23 0.12091 78.125 A 7 0.299117 68.75 B 24 0.503062 87.5 A' 8 0.713732 71.875 B' 25 0.447142 71.875 B 9 0.563052 65.625 B' 26 0.471641 84.375 A 10 0.276351 87.5 A 27 0.314478 68.75 B 11 0.097823 84.375 A 28 0.618957 68.75 B' 12 0.639285 68.75 B' 29 0.281012 84.375 A 13 0.813933 93.75 A' 30 0 93.75 A 14 0 87.5 A 31 0 93.75 A 15 0.720752 71.875 B' 32 0.286002 75 B 16 0.525468 71.875 B' 33 0.276351 87.5 A 17 0.534496 75 B' 34 0.259939 91.625 A

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圖4-5 學生注意係數 在(A)穩定型有 15 人，(A')粗心型有 4 人、(B)尚可型的有 6 人、(B')再努力型則有9 人。在(A)穩定型中的 15 人裡面就有 7 人為高分組學童，代表這些學童的基本能力足夠，在此單元的學習上並無多大問題，其他學童大多為粗心大意類型；在(B')再努力型中的 9 人當中有 6 人為低分組學童，代表著這些學童具備需補救教學，其他低分組學童在(B)尚可型，教學者可多留意此類型的學童。在(B)尚可類型中有學生 1、2、7、25、27、32 共 6 人，分析如下：表4-3 學生(B)尚可類型分析 學生編號得分注意係數答錯題號 1 75.5 0.429003 1、4、10、11、14、23、24、26 2 74 0.320921 8、11、13、23、25、26、29、31 7 69.5 0.299117 4、5、8、9、10、11、14、23、24、26 25 71 0.447142 4、9、16、21、23、25、26、29、31 27 68 0.314478 7、9、14、16、22、23、25、26、29、31 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 學生注意係數答對百分比

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由以上的整理發現到在尚可類型中的學生，以試題 23、26 兩題錯誤的人最多，以這兩題作以下分析：題目 23 ( )23.阿如畫了1個圓柱，但是她覺得柱高太高了，於是把柱高變為原柱高的1 4，若要使體積不變，則底圓半徑應為原半徑的多少倍？ ① 2 ② 1 2 ③ 4 ④ 1 4 答對人數 1 答對率 20% 答錯人數 5 答錯率 80% 試題注意係數 0.58 判定等級 B' 選項分析選項選項　選項　選項　選項　答題人數 1 0 3 2 誘答力分析本試題正確選項為 1，學童在作答時，所考慮的圓柱體體積概念計算，導致大多數學童進行思考時，並未考慮周全，也可能是對於此概念的尚存模糊，最後題目所考的是底圓的半徑為原來半徑的幾倍？在高分組學童中，有 67%的人能清楚只要將題目中的柱高長1₄變為倒數，即為半徑乘半徑的積，只要再除以 2 就可以算出答案。

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題目 26 ( )26. 若圓周率以 3.14 計算，求出下面柱體體積是多少？(單位：公分) 　① 12210 　 ② 15920 　 ③ 16920 ④ 32420 答對人數 1 答對率 20% 答錯人數 5 答錯率 80% 試題注意係數 0.509 判定等級 A' 選項分析選項選項　選項　選項　選項　答題人數 1 2 3 0 誘答力分析本試題正確選項為 1，這題為複合型圖，學童在作答時，在體積的計算時，忘了梯形的公式，而以平行四邊形與三角型進行計算，反而增加計算的過程，也讓低分組的學童在此題計算中發生錯誤，以高分組而言，此題的答對率高達 89%，推估答錯此題的學童大多數是計算能力方面不足，建議教學者可進行補救教學。

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在(B')再努力類型中有學生 6、8、9、12、15、16、17、18、28 共 9 人，分析如表4-4：表4-4 學生(B')再努力類型分析 學生編號得分注意係數答錯題號 6 72 0.606487 14、16、17、20、21、23、24、26、29 8 72.5 0.713732 1、3、4、7、10、21、22、24、26 9 65.5 0.563052 2、5、7、8、13、19、22、23、25、26、29 12 69 0.639285 4、7、10、11、12、14、16、24、25、29 15 72 0.720752 1、2、7、14、16、22、23、30、31 16 73 0.525468 1、6、8、9、10、11、15、22、23 17 75.5 0.534496 1、9、10、14、19、22、23、31 18 65.5 0.568979 4、6、14、16、18、21、22、23、25、29、31 28 67 0.618957 8、11、22、24、25、26、27、28、30、31

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由以上表格整理發現到，在再努力類型中的學童於題目 22 答錯率偏高，以試題22 題分析如下：題目22 ( )22.有一個長方體，長 16 公分，寬 8 公分，高 10 公分，如右圖。若圓周率以3.14 計算，則此長方體切割出的最大圓柱體體積為多少立方公分？ ① 8×8×3.14×16 ② 5×5×3.14×16 ③ 4×4×3.14×16 ④ 8×8×3.14×10 答對人數 2 答對率 22% 答錯人數 7 答錯率 78% 試題注意係數 0.909 判定等級 B' 選項分析選項選項　選項　選項　選項　答題人數 1 3 2 3 誘答力分析本試題正確選項為3，此題是要測驗出學童對於立體空間的理解，在長方體中切割出最大的圓柱體，學童必須先從長邊去思考，並且進行公式計算，在高低分組中均發現答選項1 和選項 4 的學童偏高，原因可能在於直接將最長的邊長除以 2 後，進行公式計算，故忘了需要去思考體積的高。總之，由此份學生注意係數上而言，平均為 0.389461，整體答對率為 79.16544，屬於還不錯，由以上數據看來，本次的受試者有半數以上學習良好，穩定性還不錯，而大約有26%的學童對於該單元仍有需補救的部分，可以將這些學生提供給該班導師作為補救教學的參考，以進行相關性的教學補救。

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第四節試題差異係數難度指數以及鑑別力

壹、難度指數

難度P 值是種順序量尺(ordinal scale)，一般而言，0≤難度 P≤1，也就是說 P 值越大表示該試題越簡單，P 值越小表示該試題越困難，所以 P 值在接進 0.5 時，表示該試題難易適中，由此份試卷結果來分析：表4-5 試題難度/鑑別度分析 試題注意係數答對百分比難度 P 鑑別度 D 試題注意係數答對百分比難度 P 鑑別度 D 1 0.509 0.82 82.35 0.22 17 0.474 0.97 97.06 0.11 2 0.237 0.94 94.11 0.22 18 0 0.97 97.06 0.11 3 0.948 0.94 94.11 0 19 0.921 0.91 91.18 0 4 0.583 0.68 67.65 0.44 20 0.474 0.97 97.06 0.11 5 0.391 0.91 91.18 0.22 21 0.696 0.85 85.29 0.22 6 0.274 0.94 94.11 0.22 22 0.909 0.44 44.12 0 7 0.197 0.85 85.29 0.56 23 0.58 0.44 44.12 0.45 8 1.386 0.38 38.23 0.44 24 0.808 0.59 58.82 0.11 9 0.819 0.68 67.65 0.22 25 0.197 0.76 76.47 0.67 10 0.511 0.76 76.47 0.22 26 0.509 0.59 58.82 0.56 11 0.754 0.65 64.7 0.22 27 0.109 0.97 97.06 0.11 12 0.944 0.88 88.24 0 28 0.109 0.97 97.06 0.11 13 0.429 0.91 91.18 0.11 29 0.848 0.56 55.88 0.23 14 0.408 0.65 64.7 0.56 30 0.292 0.94 94.11 0.22 15 0.547 0.97 97.06 0 31 0.447 0.94 67.65 0.56 16 0.52 0.74 73.53 0.56 32 0 1 100 0 平均數 0.526 0.799 79.135 0.25 表4-6 P 值 P 值試題數量 0.4≤ P 值≤0.6(難易適中) 5 P 值<0.4(偏困難) 1

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綜合上表統計，難易適中的試題數有 5 題，偏困難的有 1 題，偏簡單則有 26 題，整份試卷的平均難度為 0.79，代表此試題偏簡單，施測者在出試卷時，評估受測學童的能力，將試題一開始的定位為0.55~0.75 間，因城鄉差距的關係，卻發現到在一些偏易的試題中，還是有學童會答錯，可能的原因為教學者在教學過程時，對於一些概念的題目，並未加以說明澄清，另一方面可能是因為學童的能力程度上，在計算方面的能力還須加強。

貳、鑑別度指數

鑑別度指標 D 值介於-1~1 之間，D 值=0 代表高分組與低分組答對人數相等或全部答對；D 值=1 則為高分組全部答對，而低分組卻全部答錯，這樣的試題反映出學童的能力，代表命題很成功；D 值=-1 時，表示高分組全部答錯，而低分組卻答對，代表命題很失敗，須重新檢討。試題的選取建議，鑑別度指標在0.4 以上，表示該試題十分優良；0.3~0.39 的試題優良，可能有需要修改；0.2~0.29 的試題尚可，還需要修改；低於0.19 以下的試題不佳，需要刪除或者修改。(余民寧，2002) 依照此試卷分析如下：表4-7 D 值 D 值試題數量 0.4 以上(非常優良) 9 0.3~0.39 (優良) 0 0.2~0.29(尚可) 9 0.19 以下(不優良) 13 屬於非常優良的試題數有 9 題，還可以接受的試題數有 9 題，需要修改不

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屬於尚可，假如修改些不優良試題，則可以提高鑑別度。

叁、試題差異係數

所謂的試題差異係數(The coefficient of disparity)指的是 S 曲線與 P 曲線會呈現分開的狀況，而測量兩曲線的分離程度，我們可以使用一個量化指標來表示。其值介於0-1 間，當 D*>0.5 表示試題具有相當多異質成份。公式如下： D*=C/(4NnP(1-P)DB(M) 其中C：SP 兩曲線包含 1,0 個數的總合，N：學生數，n：試題數， M=(√Nn+0.5) 取高斯值，P：(每位學生得分總和)/nN 而有所謂的「完美量尺」，也就是當S 曲線以左或 P 曲線以上的部分都出現為1 的反應組型，這時可發現到 S 曲線與 P 曲線將會重疊在一起。但事實上這種完美量尺是不太可能出現。差異係數 D* 會介於 0 到 1 之間。在大部分的研究中，均以 D* ≒ 0.5 為標準值；當D* >0.65 或 D* <0.4 時，則表示本次測驗含有異質因素，理應對學生的反應組型多加以注意，而對試題進行檢討，並做適當的修正。本次研究的差異係數 D_value = 0.6237，還算在正常範圍內，故可以針對試題注意係數中的劣質題進行修改，則可再提高差異係數值。

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第五章結論與建議

第一節結論

研究結果發現到，大部分的學生在數學體積單元上的學習，仍有許多疑義的地方，推估這些學童在中年級數學領域中平面面積的學習時，僅背誦公式，並無深入的瞭解，進而影響到高年級的立體體積方面，根據以上結果數據來分析：

壹、難度部分

本試卷的難度為 0.79，屬於偏簡單，由此可知，本試題主要針對中低程度的學童測驗來說，在試題的難度編製上還算可以，而對於一些較高程度的學生而言，可能還需要加重難度，才有辦法測出程度。

貳、S-P 表分析學生狀況

以學生注意係數診斷分析而言，在(A)穩定型有 15 人，(A')粗心型有 4 人、(B) 尚可型的有6 人、(B')再努力型則有 9 人。大多數學童在進行施測時，還能專心於作答，其他學童大多為粗心大意或計算能力失誤。在試題注意係數部分，平均在0.526，可以說此份試題並沒發生特殊情況，且在可容許的範圍之內。而屬於於劣質題的Item8、22、23，可以進行修改或刪除，讓此份試題更能提高注意係數。本份試卷的結論可提供給現場教學者參考，作為補救教學的依據，也能進行相關的課業輔導。這份研究能有助於教學現場的教學者對於學生的「學習診斷」有一個理論的依據加以支持，並且藉由這種學習診斷方法協助教師很快速的對每一位學生做學習診斷分析，以提高教師專業形象。在地處偏僻的台中市海線地區的學校(研究者的工作現場)，因地區性的出生率逐年下降，導致學生人數逐年減少，又面臨附近

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分S-P 表分析，運用在教學上，一來可以作為學生補救教學的依據，再者可以提升老師的命題技巧，最後提高學生在學習上的自省能力。

第二節建議

對實務上的建議，本研究是以選擇題方式進行評量，在多點計分下以S-P 表分析出學童的錯誤類型以及試題的優劣程度，使教學者能透過此份研究結論發現到教學時的迷思以及學童的錯誤學習狀況。對於後續研究方面，在數學領域體積單元中，本研究僅針對學童的作答進行分析，而學童在立體圖和平面圖之間的轉換與思考，後續研究者可針對立體圖形進行實際操作的研究，再將結論與本研究的試題結論互相比對，以求更瞭解學生的學習狀況。

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附錄一、能力指標

修正規定（六）附錄附錄一分年細目詮釋分年細目詮釋使用說明： 1.細目詮釋的使用者是教師、教科書編者與審定者，因此內容在溝通表達上，涉及許多數學與數學教育的專有名詞，這些名詞不宜出現在教科書上。詮釋中對於不宜出現在課本或教學中的名詞均有加註。如1-a-01 中的「交換律」一詞就不宜出現在四年級(包括四年級)以前的課本與教學中。 2.必須出現在教科書中的標準用詞請參見本綱要附錄四。 3.詮釋中的範例，目的在釐清細目的意義。教師課程設計或教科書編撰，應遵循分年細目及其詮釋的內容，但不需要完全遵照細目的順序。細目及其詮釋所規範的內容是至少要包括在教學與教科書中的題材。 4.「檢查細目」可以併入其他主題的教學，不一定要另立單元(或章節)。 5.部分概念如：驗算、估算及各種基本運算的性質等，在某條細目引入後，就應該貫穿往後的課程。我們希望學童在較小數字的自然情境，就能開始學習驗算，養成換一種方式或觀點算算看的習慣。基本運算的性質，如：交換律、結合律、遞移律等名詞，不必在課本出現，但應該從具體情境的範例及練習中，讓學童自然地認識這些性質，並在往後的學習中，不斷地加強及熟悉。 6.詮釋中有些討論活動或概念的初次引進，目的都只是在提供學童經驗，鋪陳往後的學習，因此並不適合做評量，這些都會在詮釋中，特別以「※不宜評量」標明。 5.五年級細目詮釋數與量 5-n-01 能熟練整數乘、除的直式計算。(修 4-n-02) N-3-01 說明：  五年級是整數直式計算的總結，應熟習乘、除直式計算之一般計算算則，評量上不用處理太多位數的大數，只要學童能熟習四位數乘以三位數、四位數除以三位數之內的計算即可。  應讓學童理解直式計算中，處理「0」的一般方法。  在較大數時，應熟悉如「 234000×2100 」、「840000÷280」、「3200000÷2000」等形式之計算問題，這是連結位值、概數與日後科學記號之學習基礎。

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A-3-01 說明：  本細目要求學童能做三步驟應用問題，並儘量以併式的方式思考與演算。這是國中代數學習的重要前置經驗。  例：(平均問題)「三人出外旅遊，共花費旅館費 2200 元、飲食雜費1800 元、汽油費 500 元，若三人協議分攤旅費，問每人平均分攤多少元？」 (2200＋1800＋500)÷3＝4500÷3＝1500(元)  例：(日取其半)「一條繩子的一半的一半的一半是 3 公尺，問原來繩長幾公尺？」 5-n-03 能熟練整數四則混合計算。(同 5-n-02) N-3-02 A-3-01 說明：  這是小學對於整數四則混合計算的總結細目，學童應能熟悉各種混合計算的約定；同時希望學童在練習中，能利用整數四則運算的性質來簡化計算，加深學童對四則運算性質的熟悉。  數量範圍雖然可以配合年級而擴大，但應避免過度繁雜又重複的練習。 5-n-04 能理解因數和倍數。(修 5-n-03) N-3-03 說明：  以 1-n-07(幾個一數)，2-n-08(九九乘法)，3-n-05(除法)為前置經驗，理解因數、倍數的概念。  五年級安排本細目與 5-n-05，目標在於協助學童做分數約分、擴分、通分之計算，而非整數內在關係的理論(六年級題材)，因此數字大小應配合分數之教學(5-n-07)。  學生應學習基本的因數判別法，其中 2、5、10 較容易，3 的因數判別法則由教師告知，11 暫不需要教學。 5-n-05 能認識兩數的公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數。(修 5-n-03) N-3-03 說明：  用列表的方式，尋找兩數的公因數、公倍數、最大公因數、最小公倍數。  學童應知道兩整數的乘積一定是此兩數的公倍數，此可用

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 五年級時，只是初步認識這些概念，學生只需用列表解題。短除法算則則在六年級配合因數之短除法一起教學 (6-n-02)。 5-n-06 能用約分、擴分處理等值分數的換算。(同 5-n-04) N-3-06 說明：  在 4-n-09 的前置經驗中，僅強調等值分數概念的認識。  在本細目教學時，可由平分情境，解釋約分與擴分的意義，然後即應運用因數與倍數來理解約分與擴分，並做等值分數的換算。  例：知道 6 3 3 2 3 1 2 1     ； 3 1 3 9 3 3 9 3     或 3 1 9 3 9 3 3 1     5-n-07 能用通分做簡單異分母分數的比較與加減。(同 5-n-05) N-3-07 說明：  本細目在小學應以簡單異分母為教學重點，所謂「簡單」係指兩分母滿足以下情況之一(1)分母均為一位數；(2)一分母為另一分母的倍數，且兩數小於100；(3)乘以 2、3、 4、5 就可以找到兩分母之公倍數(例如：兩分母為 12 與 18)。  做一般異分母分數之比較與加減時，必須利用約分或擴分，將兩異分母的分數通分成為兩同分母之等值分數後，再做比較與加減。  本細目只做通分概念的認識，並不要求將結果化成最簡分數(參見 6-n-03)。所以此時學童在做通分時，可能只是做最簡單的分母相乘，但在熟悉的數字時，教師可鼓勵學童儘量將答案約分為較簡單的分數。  教師應注意學童經常發生的錯誤類型：分母與分子各自相加減。 5-n-08 能理解分數乘法的意義，並熟練其計算，解決生活中的問題。_{(修 5-n-07)} N-3-09 說明：  分數計算的課題，不管是從形式練習面著手，還是從情境說明著手，學童都需要經常練習，兩者俱進，才會熟練。  本細目在教學上應先處理帶分數乘以整數的問題，此時應

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經常因計算複雜而犯錯。  本細目的核心是乘數是分數的意義，教學上可先處理整數乘以分數的情況，再處理被乘數為一般分數的情形。理解「分數乘以分數」的方式很多，底下只是一些方法的範例，並不表示教師必須全部教完。  在乘數為分數的教學中，最要注意的錯誤類型，是學童認為「乘積一定比被乘數大」，對於這個基於整數計算經驗的錯誤類推，教師需細心處理。最好在最容易理解的「乘數為單位分數」的情況下，就要開始處理。  乘數為分數的教學宜先從單位分數開始。3-n-11 中談一數的「幾分之一」是本細目的前置經驗，但不完全相同。「分數倍」的理解比較抽象，可讓學童從已經熟練的直覺與運算上，認識其合理性。  例：1 個披薩 300 元，2 個披薩 600 元等，將幾個轉成幾倍來列式，再問「如果兩個人平分1 個披薩(即各吃1_2個披薩)，應該各付多少錢？如果三個人各吃1_{3個披薩呢？如果} 五個人各吃1_{5個披薩呢？」讓學童理解×}1_2、×1_3、×1_5，其實就是二等分(除以 2、「的二分之一」、「的一半」)、三等分 (除以 3、「的三分之一」)、五等分(除以 5，「的五分之一」)。在此例要小心「元」這個單位不能再分，因此被乘數必須能被整除。  與上例類似的連續量例子：從測量情境的分數「整數相除」意涵入手，假設作為測量單位的木條長5 公分，那麼測量結果，1 段就是 5 公分，2 段就是 10 公分，因此「段」也可以作為倍數來理解，這時問1_{2段應該是多長，顯然就應} 該是5÷2＝5_{2 公分。如此也可以得到一樣的結果。}  例：由長方形的面積公式入手(只處理乘數是單位分數，參見 4-n-18)。由於邊長是連續量，很適合用在分數與小數的教學，但要注意 4-n-18 的面積公式邊長都是整數。，例如：10 公分，看出當「寬」

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為1 與1_{3的差別是，後者的總面積是前者總面積(10×1＝10)} 的三等分，因此應該是10×1_3＝10_{3 ，以此類推。}  以上處理單位分數倍的方式，可以建立×1_{2就是÷2，×}1_3就是÷3 的概念。接著，討論乘數分子不為 1 的情況如3_2倍的情況，先在上述類似具體情境中(面積中可能要用到等積異形)，理解這其實就是÷2×3 或×3÷2；或者用測量模型，則×3_{2相當於×1}1_{2(亦即 1 段加半段)。並可由此得到一般分} 數倍的計算方式：5× 3_{2＝5×3÷2＝}5×3_{2 ＝}15₂ 接著，再說明 5 4× 3 2＝ 5 4×3÷2＝ 5×3 4 ÷2＝ 5×3 4×2＝ 15 8  如果要一次完成分數乘以分數，也可以深入探討長方形面積公式。例如：要處理長為_{2公分，寬為}3 5_{4公分的長方形，} 則可將長方形分割成 15 個長為1_{2公分，寬為}1_{4公分的小長} 方形，再將小長方形與邊長1 公分的正方形比較，知道其面積是1_{8平方公分，因此總面積為}1_8×15＝15_{8 平方公分。} 5-n-09 能理解除數為整數的分數除法的意義，並解決生活中的問題。(修 6-n-03) N-3-10 說明：  此為 6-n-04 之前置經驗。  由分數乘法的意義，很容易就可以進行除數為整數之教學 (以平分的模型來教學)。  例：31_{2披薩要平分給 4 個人，因此每人分得全部 3}1_2披薩

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3 1_{2 ÷ 4 ＝}7_{2 ×}_{4 ＝}1 7₈  學童最後要熟知「÷m」相當於「×_{m」之事實，並能熟練}1 計算。  分裝情形的除法意義與應用問題，宜等到六年級才與 6-n-04 一起進行。 5-n-10 能認識多位小數，並做比較與加、減與整數倍的計算，以及解決生活中的問題。(修 5-n-08) N-3-08 說明：  所謂多位小數，只是讓學童知道小數的位數，原則上跟大數一樣，可以一再細分下去，而不特別自限於固定的位值限制即可。實際教學時，則以三位小數和四位小數為教學與評量重點。  要教導學童「小數點以下(後)第 3、4 位」的講法。  在進行多位小數教學時，要同時將已知關於小數的直式計算加以延伸，讓學童理解多位小數的計算，與小位數小數的計算方式相同。  知道怎麼將多位小數化為分數，讓學生理解這兩種表示法的內在關係(約分非此處重點)。  教師也不妨引用自然科學的實際例子，讓學童知道在微小的世界中，小數派的上用場，例如：細菌大概是 0.0003 公分長，更小的病毒，大概0.00001 公分長。如果細菌像 10 元硬幣那麼大，那麼小朋友就跟珠穆朗瑪峰(聖母峰) 一樣高。 5-n-11 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。(同 5-n-09) N-3-09 N-3-11 說明：  此細目與 5-n-08 有關，兩者都必須先理解乘數是分數或小數時的意義。  先處理整數的小數倍的計算方式。乘數可先從 0.1 與 0.01 著手，知道其結果相當於移動小數點的位置(若已先處理 1 1

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考慮例如：乘數為 0.2(＝_{10)，或乘數為 1.2(＝}2 12_{10)的情形。} 最後再討論被乘數是小數的情形。  本細目教學之最後階段，以兩位小數的互乘為原則，多位小數則作為展示小數點如何處理的範例。  評量要點為學生能確實理解小數乘法與整數乘法直式計算的異同。 5-n-12 能用直式處理整數除以整數，商為三位小數的計算。(4-n-10) N-3-11 _N-3-13 說明：_{ 在 4-n-06 中已知整數除以整數可以表示為分數，4-n-08} 中知道某些分數可以化為小數。本細目以前兩者為基礎，學習如何透過直式計算，將整數除以整數的計算直接表為小數，其商限定為三位小數。  學生應熟悉分母為 2、4、5、8、10、100 之真分數所對應的小數值，並應用於一般假分數情況之計算。  布題應小心情境之合理性，讓學生能理解不求餘數，而繼續往下計算的理由。  關於出現循環小數的問題，將在六年級處理(6-n-06)，教師評量時，應小心布題。 5-n-13 能將分數、小數標記在數線上。(同 5-n-11) N-3-11 _N-3-13 說明：  本細目要點之一，是學習自行製作數線，標示整數、分數、小數。  小數的標示以一位為原則。  分數的標示應以如 2、3、4、10 等簡單分母為教學重點。 5-n-14 能認識比率及其在生活中的應用(含「百分率」、「折」)。(修 5-n-12) N-3-14 說明：  「比率」是分數課題之一。初步學習的情境強調的是部分佔全體的多寡與其表示法，因此比率的值往往小於或等於 1，且 1 就是「全部」。

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率120％；投資報酬率、銀行存款利率等也是比率的例子。  五年級階段，只處理部分量與全部量為整數或可恰當轉化為整數量的情形。例如：「100 個人中有 75 人及格」，所以及格人數的比率是_{100＝0.75。而不及格人數的比率是 1}75 －0.75＝0.25。  也要能處理，由全部量與比率推得部分量的問題，例如：「全校 500 名學童，其中的_{100是女生，請問女生有多少}53 人？」，答案是500×_100＝265。53  部分量與所佔比率已知，推得全部量的問題則到六年級分數除法時再處理(參見 6-n-04，6-n-06)。  百分率是最常用的比率表示法，學童應理解其意義、記法與應用，知道100％就是 1，也就是全部。例：知道_100＝75 0.75，可記成 75％。知道這次考試有 75％的同學及格，則不及格的同學佔全班 25％，知道這相當於計算 1－75 ％＝100％─75％＝25％。  例：「500 人的 75％是多少人？」，「若全校有 500 人，女生有275 人，則男生佔全校人數的百分之多少？」。  熟練常用的百分率與分數轉換，如：100％＝1（全部）， 50％＝1_{2（一半）}，25％＝1_4，75％＝3_4，20％＝1_5，40％＝2_5， 60％＝3_5，80％＝4_5，10％＝₁₀1  「折」的日常用法要熟悉並能計算。知道「書店全面七五折」的意思相當於以定價的75％計價，若買 600 元的書，只要付 600×3_{4＝450 元。學童應理解這樣省了 1－75％＝} 25％。另外要注意「七五折」不是「七十五折」。  要處理全體中有多少子類的情況，可與統計機率的細目一起處理(參見 6-d-01)。

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說明：  本細目的單位換算與計算限於整數範圍。  例：如果知道練習彈奏一首鋼琴曲要 5 分 30 秒，連續彈奏三次需要多少時間？  例：連續播放一首歌曲五遍共需 31 分 15 秒，只播放一遍需要多少時間？  例：做一個捏麵人要花 2 分 30 秒，1 小時可以做幾個？ 5-n-16 能認識重量單位「公噸」及「公噸」、「公斤」間的關係，並做相關計算。 (同 5-n-14) N-3-19 說明：  1 公噸＝1000 公斤  本細目的單位換算與計算可引入分數或小數(但需在本年度之學習範圍內)。 5-n-17 能認識面積單位「公畝」、「公頃」、「平方公里」及其關係，並做相關計算。(同 5-s-05) (同 5-n-15) N-3-19 說明：  1 公畝＝100 平方公尺；1 公頃＝100 公畝；1 平方公里＝ 1000000 平方公尺。  本細目的計算可引入分數或小數，但由於學生對於多位小數尚不熟悉，教師可以告訴學生 1 平方公尺為_1000000或1 0.000001 平方公里，但勿再過度要求，尤其不要做反方向的換算。  例：1 平方公里＝10000 公畝＝100 公頃  例：「若某正方形區域之公園，面積為 1 公畝，請問其邊長為多少公尺？」 5-n-18 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。(同 5-s-05) (同 5-n-16) N-3-22 S-3-06 說明：  從長方形面積出發，以 3-s-06 為前置經驗，運用切割重組與簡單幾何圖形的性質，來推導這些圖形的面積。  三角形面積公式＝(底×高)÷2