手中有了數學當工具，你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。
3
3 機率
本節課程學習重點： ◎能利用投擲一枚硬幣的實驗，來理解出現正、反面的機率。 正、反面朝上的次數與總投擲次數的比值各會接近 1 2，此時出現正面與反面的機率各約是 1 2。 ◎能理解機率等於 0 與機率等於 1 的意義。 ◎能理解若一個實驗所有可能的結果共 n 種，且每一種結果發生的機會都相等，則每一種結果發生的 機率是 1 n。 ◎能理解若一個實驗所有可能的結果共 n 種，且每一種結果發生的機會不是都相等時，就不能說每種 結果發生的機率都是 1 n。 ◎能理解由一個實驗所有可能出現結果的部分產生的每一種組合，就稱為一個事件。 ◎能理解進行一個實驗時，所有可能的結果共 m 種，且每一種結果發生的機會都相等，若某事件包含 其中 n 種可能的結果，則此事件發生的機率為 n m。 ◎能利用樹狀圖列舉出一個實驗的所有可能發生的結果，進而求出某事件發生的機率。 一、認識機率： 在數學上，常用一個數值來表示一個事件發生機會的大小，這個數值就是這事件發生的機率， 例如：(1)根據資料研判，氣象預報說本週末降雨機率為 10%； (2)年終尾牙摸彩，每 10 個人有 9 個人中獎，我們會說中獎機率為 90%； (3)根本沒有機會發生的事，則發生機率是 0； (4)確定會發生的事，則發生機率是 100%。 ◎實驗： 為了探討不確定的事情，它可能發生的情形和這些情形發生的機率，其中操作的過程稱為「實驗」， 如投擲硬幣、擲骰子、抽籤及取球等，都可以稱為實驗。 【說明】探討投擲一枚硬幣時，出現正、反面的機率： (1)將全班分成 6 組，各自將一枚材質均勻的硬幣朝上丟，等落地靜止後，觀察出現的是正面 還是反面，每組重複實驗共 100 次，分別統計各組正、反面出現次數的總和，填入下表。 第 1 組 第 2 組 第 3 組 第 4 組 第 5 組 第 6 組 正面出現次數(次) 反面出現次數(次) 合計 100 100 100 100 100 100 (2)根據上表將結果填入下表，並計算正面、反面出現次數與投擲總次數的比值，填入下表。 第 1 組 1～2 組 合計 1～3 組 合計 1～4 組 合計 1～5 組 合計 1～6 組 合計 正面出現次數(次) 反面出現次數(次) 合計 100 200 300 400 500 600 正面出現次數 投擲總次數 (%) 反面出現次數 投擲總次數 (%)手中有了數學當工具，你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 針尖朝下 針尖朝上 可以發現，如果投擲用的硬幣，材質是均勻的，在重複投擲一枚硬幣夠多次後，正、反面 朝上的次數與總投擲次數的比值會接近 1 2，此時我們說出現正面與反面的機率約是 1 2。 一般來說，一個實驗所有可能發生的結果共 n 種，若每一種結果發生的機會都相等時， 則每一種結果發生的機率是 1 n。例如： (1)小華投擲一顆材質均勻(公正)的骰子一次，所有可能的結果共 6 種，而每種結果發生的 機會都相等，因此每一種點數出現的機率都是 1 6。 (2)老師在籤筒中放入編號 1～35 的 35 支籤，從此籤筒隨意抽出一支籤，所有可能發生的 結果共 35 種，如果每種結果發生的機會都相等，則每一個號碼被抽到的機率都是 1 35。 【觀念釐清】如果每一種結果發生的機會不是都相等時，就不能說每種結果發生的機率都是 1 n。 例如：投擲一枚圖釘時，當停止後，結果如右圖， 因為針尖輕而針帽重，投擲後這兩種情形 發生的機會不相等，所以針尖朝上的機率 和針尖朝下的機率就不能各視為 1 2。 練習 1：袋中有 5 顆材質完全一樣的彩球，顏色分別為紅、黃、綠、藍、紫。若從袋中任取一球，則 (1)此球的顏色，共有幾種可能的情況？ (2)取出紫色球的機率是多少？ 練習 2：如右圖，有一個長方體的橡皮擦，共有 6 個面， 若投擲此橡皮擦，則各面朝上的機率是否相等？ ◎某事件發生的機率： 若實驗中每種可能的結果出現的機會都相等，則某事件發生的機率＝ 該事件所含結果的個數 實驗中所有可能結果的個數。 【說明】(1)當投擲一顆均勻骰子時，出現 1 點、3 點或 5 點的情形，就說發生「奇數點的事件」， 而奇數點的事件就是由 1 點、3 點、5 點三種結果所組成的。 (2)點數大於或等於 5 的事件，即由點數 5、6 所組成，投擲時出現 5、6 中的任何一種點數， 就說發生「點數大於或等於 5 的事件」。 (3)進行一個實驗時，所有可能發生的結果共 n 種，而且每一種結果發生的機會都相等， 若某事件包含其中 m 種可能的結果，則此事件發生的機率為 m n 。 練習 3：袋中有 6 顆紅球、2 顆白球共 8 顆球，從袋中任取一顆，每顆球被取出的機會都相等， 則取出紅球、白球的機率各是多少？
手中有了數學當工具，你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 【觀念釐清】上例中，不能說：因為有紅球、白球兩種，所以取出紅球、白球的機率各是 1 2。 因為紅球有 6 顆，而白球只有 2 顆。 練習 4：袋中有大小、形狀、重量皆相等的巧克力 10 顆和糖果 15 顆，每顆巧克力、糖果被取出的機會 都相等，韻庭從袋中任取一顆，則取出巧克力、糖果的機率各是多少？ 練習 5：籤筒中有 10 支籤，將它們逐一標上 1∼10 的號碼，從籤筒中任意抽出一支籤，每一支籤被抽中 的機會都相等，則 (1)抽到編號是 3 的倍數的事件，它的機率是多少？ (2)抽到編號是 5 的倍數的事件，它的機率是多少？ (3)抽到編號既是 3 的倍數又是 5 的倍數的事件，它的機率是多少？ (4)抽到小於或等於 4 的事件，它的機率是多少？ (5)抽到不是 4 的事件，它的機率是多少？ (6)抽到小於或等於 10 的事件，它的機率是多少？ 練習 6：投擲 1 顆均勻骰子，即骰子每一面出現的機會都相等，試問： (1)出現點數 4 的事件，它的機率是多少？ (2)出現的點數大於 4 的事件，它的機率是多少？ (3)出現的點數小於 7 的事件，它的機率是多少？ (4)出現的點數為質數的事件，它的機率是多少？ 練習 7：一副撲克牌共 52 張(不含鬼牌)，分為黑桃、紅心、方塊及梅花 4 種花色，每種花色 各有 13 張，分別標為 A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2。從這副牌中任意抽出 一張，若每一張抽中的機會均相等，則 (1)這張牌為紅色的機率是多少？ (2)這張牌為梅花的機率是多少？ (3)這張牌為 K 的機率是多少？ (4)抽出的牌為數字不為字母的機率是多少？ (5)抽出的牌為紅色 Q 的機率是多少？ 二、樹狀圖： 處理一些發生情形比較複雜的機率問題時，可以利用樹狀圖逐次列舉出一個實驗所有可能發生的 結果，進而求出某事件發生的機率。
手中有了數學當工具，你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 【說明】以投擲一枚十元硬幣兩次為例來畫樹狀圖： 如果用(正,反)表示第一次出現正面、第二次出現反面，其他結果類推，則由下圖可得所有結果 為(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)等 4 種。可以知道： (1)兩次硬幣都出現正面的情形是(正,正)，只有 1 種，則機率等於 1 4；同樣的，兩次硬幣都 出現反面的情形是(反,反)，只有 1 種，則機率等於 1 4。 (2)硬幣第一次出現正面、第二次出現反面的情形是(正,反)，只有 1 種，則機率等於 1 4； 同理，硬幣第一次出現反面、第二次出現正面的情形是(反,正)，只有 1 種，則機率等於 1 4。 第一次 第二次 正 反 反 反 正 正 (正、反分別表示硬幣出現正面、反面) 練習 8：投擲一枚十元硬幣兩次，則一次出現正面，另一次出現反面的機率是多少？ 【觀念釐清】以投擲兩枚十元硬幣一次為例來畫樹狀圖： 如果用(正,反)表示硬幣一出現正面、硬幣二出現反面，其它結果類推，則由下圖可得 所有結果為(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)等 4 種。可以知道： (1)兩枚硬幣都出現正面的情形是(正,正)，只有 1 種，則機率等於 1 4；同樣的，兩枚硬幣 都出現反面的情形是(反,反)，只有 1 種，則機率等於 1 4。 (2)硬幣一出現正面、硬幣二出現反面的情形是(正,反)，只有 1 種，則機率等於 1 4； 同理，硬幣一出現反面、硬幣二出現正面的情形是(反,正)，只有 1 種，則機率等於 1 4。 硬幣一 硬幣二 正 反 反 反 正 正 (正、反分別表示硬幣出現正面、反面)
手中有了數學當工具，你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 練習9：投擲兩枚十元硬幣一次，則一枚出現正面，另一枚出現反面的機率是多少？ 練習 10：班長想要對小妍、小霖、小真三位同學進行三字經抽背，若抽背的順序是任意選定的，則 (1)總共有幾種不同的順序？ (2)小霖是最後被班長抽背的機率是多少？ (3)班長對小妍抽背完後，接著對小真抽背的機率是多少？ 練習 11：有甲、乙兩袋，甲袋中有兩顆紅球，分別編為 1 號、2 號；乙袋中有兩顆綠球，也分別 編為 1 號、2 號。從甲、乙兩袋中各取一球，則 (1)可能發生的結果共有幾種？ (2)兩袋所取出的球編號相同的機率是多少？ 練習 12：有 5 、 6 、 7 三張紙牌，今將此三張紙牌任意排成一個三位數，試問： (1)共可排出幾個不同的三位數？ (2)排出的三位數是奇數的機率是多少？ (3)排出的三位數是 4 的倍數的機率是多少？ (4)排出的三位數是偶數的機率是多少？ (5)排出的三位數是 5 的倍數的機率是多少？ (6)排出的三位數是 3 的倍數的機率是多少？ 練習 13：將一顆均勻的骰子連續投擲兩次，假設第一次、第二次出現的點數分別以 x、y 表示， 若實驗結果以數對(x , y)表示，則 (1)數對(x , y)的所有可能情況共有幾種？ (2) x＋y＝5 的機率是多少？ (3) x＋y 的和是質數的機率是多少？ 自我評量 1. 庭佑家今晚晚餐打算吃披薩，而且想要享有披薩店外帶買大送大的優惠，可是一家 6 口都不想跑 這一趟，後來爸爸決定投擲一顆均勻的骰子 20 次，看哪一個點數出現的次數最多，就由代表這個 點數的人去跑腿。以下是爸爸按年紀所做的點數分配： 6 點代表爺爺；5 點代表奶奶；4 點代表爸爸；3 點代表媽媽；2 點代表哥哥；1 點代表庭佑。 這時庭佑心想：「好耶！1 點最小，出現的機會一定也最小，哈哈！這下沒我的事啦！」 (1)你同意庭佑的想法嗎？ (2)你的想法為何？
手中有了數學當工具，你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 2. 觀察一副撲克牌(不含兩張鬼牌)後，回答下列問題： (1)一副撲克牌(不含兩張鬼牌)總共有幾張牌？有幾種不同的花色？有幾種不同的點數(A 為 1 點， J 為 11 點，Q 為 12 點，K 為 13 點)？ (2)若將所有花色為紅心的牌放入袋中任取一張，則所抽出的這一張： 花色為紅心的機率是多少？花色為黑桃的機率是多少？花色為紅心且點數為 5 的機率是多少？ 3. 將 35 位同學依序自 1～35 編號，並自其中抽出一位同學即席演講，若每人被抽到的機會相等，則 (1)抽到編號為 35 的因數的機率是多少？ (2)抽到編號個位數為 0 的機率是多少？ (3)抽到編號為質數的機率是多少？ 4. 若生男和生女的機會相等，則一個家庭有兩個小孩時，試以樹狀圖表示這兩個小孩性別的所有可能 結果，並求下列各事件的機率。 (1)畫出樹狀圖。 (2)兩個孩子都是男孩。 (3)第一個是女孩，第二個是男孩。 5. 依序投擲 2 顆均勻骰子時，試求下列事件的機率。 (1)兩顆骰子的點數和小於 6。 (2)兩顆骰子的點數均為質數。 【觀念釐清】降雨機率： (1)降雨機率是在民國 82 年元月開始發布，當時的名稱為「降水機率」。 (2)某地區降雨機率＝過去同樣天氣狀況中下雨的日數過去同樣天氣狀況的日數 ×100％。 (3)氣象局對於「下雨」的定義，是指在預報時間內測得 0.1 毫米或以上的降雨量，即是 下雨。降雨機率是針對固定區域的固定時段(12 小時)所訂，例如：預報今天高雄地區 有 70%的降雨機率，是指預報有效時間 12 小時內，高雄地區的某處降雨量 0.1 毫米 的機會是 70%。也就是說，有可能高雄火車站在下雨，但是楠梓火車站卻沒下雨，則 整天待在楠梓火車站的人就會覺得天氣預報真是不準！ (5)臺灣的氣象局所發布的降雨機率是以每 10 個百分點為單位(十分進位法)，它是經過 四捨五入計算的，現今的歐、美國家也是採用此法。假設今天氣象局預報降雨機率 為 100％，並不表示「絕對會下雨」，它只代表降雨機率非常高，95％以上表示極 可能會下雨。同理，降雨機率 0％，表示仍有小於 5％的機率是會下雨的，並不一定 不會下雨。
手中有了數學當工具，你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 習作 1. 一袋中裝有 3 顆白球、5 顆黃球、2 顆黑球，阿昌和阿振輪流自袋中抽出一球，試回答下列問題： (1)阿昌從袋中抽出一球，則此球為黃球的機率是多少？ (2)若阿昌抽完球後將球放回袋中，再由阿振抽出一球，則此球為黃球的機率是多少？ (3)若阿昌抽中的球恰為黃球，且抽完後沒有放回袋中，再由阿振抽出一球，則此球為黃球的機率 是多少？ 2. 從 1 到 20 的整數中任取一數，則 (1)此數為 2 的倍數的機率是多少？ (2)此數為 3 的倍數的機率是多少？ (3)此數既不是 2 的倍數也不是 3 的倍數的機率是多少？ 3. 欣欣百貨公司週年慶，推出當天消費即可抽折價券的活動，已知抽獎箱內共有 1000 張折價券， 其種類和張數如右表。假設每次抽完皆會放回，且每張折價券被抽中的機會都相等，則 (1)抽中 100 元折價券的機率是多少？ (2)抽中三獎以上(即頭獎、二獎、三獎)的機率是多少？ 4. 阿輝和小明玩猜拳遊戲，若兩人出剪刀、石頭、布的機率都相同，且僅猜一次即決定勝負， 則由阿輝贏的機率是否較大？以樹狀圖說明你的看法。 5. 俠盜亞森．羅蘋為擺脫敵人的追蹤，事先安排由甲地到乙地的路線，如下圖，且選擇每一條路線的 機會都相等，則 (1)他總共安排了幾條路線？ (2)他選擇由甲地經過 A 到乙地的機率是多少？ (3)他選擇由甲地經過 B 到乙地的機率是多少？ 折價券金額 張數 頭獎 10000元 1 二獎 1000元 30 三獎 500元 169 四獎 200元 300 五獎 100 元 500 A B 乙 甲
手中有了數學當工具，你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 6. 智弘投擲一枚硬幣和一顆骰子，則 (1)硬幣出現正面，而骰子點數為奇數的機率是多少？ (2)硬幣出現反面，而骰子點數小於 5 的機率是多少？ 類題補充 1. 求從一副撲克牌中任意抽出一張，則：(假設不含鬼牌) (1)這張牌不是黑桃的機率是 。 (2)這張牌的點數小於 7 的機率是 。(A 的點數算 1) (3)這張牌既不是黑桃且點數又小於 7 的機率是 。 2. 將三張數字卡 2、0、5 任意排列(025＝25)，則 (1)所排出的數字是偶數的機率是 。 (2)所排出的數字是 25 的倍數的機率是 。 3. 有甲、乙兩個袋子，各裝有 4 張標示為 1、2、3、4 的紙牌。今從兩袋中各取出一張牌，則兩張紙牌 一樣大的機率是 。 4. 小華、大明、阿巧相約到動物園看貓熊，三人欲搭乘同一列有四節車廂的捷運木柵線，每節車廂被 選擇的機會均相等，且每節車廂皆可供民眾搭乘。若三人可選擇任意搭乘這四節車廂，則三人在同 一車廂之機率為 。 5. 投擲一枚十元硬幣三次，回答下列問題： (1)畫出樹狀圖。 (2)出現一次正面、兩次反面的機率是多少？ (3)三次都出現反面的機率是多少？ 6. 若每一個小孩出生是男孩或女孩的機會相等，已知一個家庭有三個小孩，則這三個小孩恰為二男一 女的機率是 。
手中有了數學當工具，你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 7. 由 1、2、3、4 任取三數，可排成等差數列的機率是 。 8. 有六張相同的卡片，分別寫著 1、2、＋、、3、4，將 1、2 裝入 A 袋中，將＋、裝入 B 袋中， 將 3、4 將入 C 袋中。今從三袋中各取出一張卡片，然後由左至右排列，並計算出結果。求結果 是 2 的倍數之機率為 。 9. 右圖為彈珠臺的平面圖，O 為彈珠之入口，甲、乙、丙、丁為其出口。今有一顆彈珠從 O 處進入， 若其路線內拐彎的機會相等，則彈珠經過 D 再由丙出口出來的機率為 。 10. 小蘭、小芬、大雄、小夫四人排成一列，則小芬排在相鄰小夫右邊的機率為何？
11. 投擲一顆均勻的骰子兩次，第 1 次、第 2 次出現的點數分別為 a、b，則能使二次函數 y＝x2＋ax＋2b
的圖形與 x 軸產生交點的機率為何？ 12. 某班有 40 個學生，第一次段考成績公布後，數學及格的有 23 人，英文及格的有 15 人，兩科 都不及格的有 10 人，若從學生中任意抽取 1 人，則兩科都及格的機率為何？(Hint：文氏圖) 13. 甲、乙兩人比羽毛球，因乙較為厲害，規定乙勝 3 局前，若甲先勝 2 局則算甲獲勝，且 2 人無和局， 則甲勝的機率為多少？ O 甲 乙丙 丁 A B D C E
手中有了數學當工具，你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 加強練習 1. 甲、乙、丙三人結伴旅遊，夜晚投宿於民宿時，發現正好只剩雙人床及單人床各一張，於是三人 以抽籤決定床位，則甲、丙兩人合睡雙人床的機率是多少？ (A) 1 3 (B) 2 3 (C) 1 2 (D)1 2. 投擲一顆材質均勻的骰子兩次，下列三個事件所發生的機率大小關係為何？ 甲事件：第一次出現 1 點，第二次出現 2 點 乙事件：第一次出現 2 點，第二次出現 3 點 丙事件：第一次出現 3 點，第二次出現 4 點 (A)甲事件發生的機率較大 (B)乙事件發生的機率較大 (C)丙事件發生的機率較大 (D)三個事件發生的機率相同 3. 一事件發生的機率為 1 6，則下列敘述何者正確？ (A)此事件發生的機會很小 (B)此事件做實驗時，恰有 6 種不同的結果 (C)此事件實驗 12 次時，必發生 2 次 (D)此事件實驗的次數越多，發生的機會越接近 1 6 4. 右圖為一旋轉飛靶，飛靶為一個同心圓，半徑比是 1：2，每一扇形圓心角均 為 120°，若今甲射一飛鏢且命中此靶，則此靶命中斜線區域的機率為多少？ (A) 7 36 (B) 7 12 (C) 5 12 (D) 5 36 5. 設籤筒中有 20 支籤，每支籤分別標上 1、2、3、…、20 的整數，每次抽一支籤，抽後放回， 若此籤為 2 的倍數的機率為 a，為 3 的倍數的機率為 b，既不是 2 的倍數也不是 3 的倍數的 機率為 c，則下列何者正確？ (A) a＞c＞b (B) a＝c＞b (C) b＞a＞c (D) a＞b＞c
6. 一袋子中有白球 3 個、紅球 2 個，且每一個球被取出的機率相等。今逐次自袋中任取一球，取後 放回。已知前兩次均取出白球，若第三次取出白球的機率為 p，取出紅球的機率為 q，則 p、q 的 大小關係為何？ (A) p＜q (B) p＝q (C) p＞q (D) p、q 無法比較 7. 一袋子中有 5 顆球，分別標記號碼 1、2、3、4、5。已知每顆球被取出的機會相同，若第一次從 袋中取出一球後放回，第二次從袋中再取出一球，則第二次取出球的號碼比第一次小的機率為何？ 8. 從 1、3、5、7 的數字卡中任取 3 個，則所取出的 3 個數，3 恰為中位數的機率是多少？ 9. 材質均勻的新奇骰子各面分別標記數字 1、1、3、5、7、9，若同時投擲一枚硬幣與一顆新奇骰子， 則出現硬幣正面朝上且骰子點數是質數的機率是 。 10. 承上題，若同時投擲兩顆新奇骰子，則出現相同點數的機率是 。 11. 數學老師把一班分成 5 組做「丟擲一枚 10 元硬幣，出現正面的次數」的活動，已知把每一組丟擲 的次數記為 x 坐標(每一組至少投擲 20 次以上)，而出現正面的次數記為 y 坐標，則下面哪一圖形 最有可能發生？ (A) (B) (C) (D) 12. 承上題，若把 y 坐標改為(出現正面的次數÷丟擲的次數)而 x 坐標不變，則下面哪一圖形最有可能 發生？ (A) (B) (C) (D) 13. 如右圖，小志投擲一顆公正骰子(點數為 1～6 點)，第一次出現的點數為 a， 第二次出現的點數為 b，且 A(1, a)、B(2, b)，則直線 AB 通過原點之機率為 多少？ A(1 , a) O x y B(2 , b)
手中有了數學當工具，你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 Ans：1.(A)；2.(D)；3.(D)；4.(B)；5.(A)；6.(C)；7. 2 5；8. 1 2；9. 1 4；10. 2 9；11.(D)；12.(A)；13. 1 12。 心得筆記
