國中數學6 3 3機率

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手中有了數學當工具,你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。

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3 機率

本節課程學習重點: ◎能利用投擲一枚硬幣的實驗,來理解出現正、反面的機率。 正、反面朝上的次數與總投擲次數的比值各會接近 1 2,此時出現正面與反面的機率各約是 1 2 ◎能理解機率等於 0 與機率等於 1 的意義。 ◎能理解若一個實驗所有可能的結果共 n 種,且每一種結果發生的機會都相等,則每一種結果發生的 機率是 1 n ◎能理解若一個實驗所有可能的結果共 n 種,且每一種結果發生的機會不是都相等時,就不能說每種 結果發生的機率都是 1 n ◎能理解由一個實驗所有可能出現結果的部分產生的每一種組合,就稱為一個事件。 ◎能理解進行一個實驗時,所有可能的結果共 m 種,且每一種結果發生的機會都相等,若某事件包含 其中 n 種可能的結果,則此事件發生的機率為 n m ◎能利用樹狀圖列舉出一個實驗的所有可能發生的結果,進而求出某事件發生的機率。 一、認識機率: 在數學上,常用一個數值來表示一個事件發生機會的大小,這個數值就是這事件發生的機率, 例如:(1)根據資料研判,氣象預報說本週末降雨機率為 10%; (2)年終尾牙摸彩,每 10 個人有 9 個人中獎,我們會說中獎機率為 90%; (3)根本沒有機會發生的事,則發生機率是 0; (4)確定會發生的事,則發生機率是 100%。 ◎實驗: 為了探討不確定的事情,它可能發生的情形和這些情形發生的機率,其中操作的過程稱為「實驗」, 如投擲硬幣、擲骰子、抽籤及取球等,都可以稱為實驗。 【說明】探討投擲一枚硬幣時,出現正、反面的機率: (1)將全班分成 6 組,各自將一枚材質均勻的硬幣朝上丟,等落地靜止後,觀察出現的是正面 還是反面,每組重複實驗共 100 次,分別統計各組正、反面出現次數的總和,填入下表。 第 1 組 第 2 組 第 3 組 第 4 組 第 5 組 第 6 組 正面出現次數(次) 反面出現次數(次) 合計 100 100 100 100 100 100 (2)根據上表將結果填入下表,並計算正面、反面出現次數與投擲總次數的比值,填入下表。 第 1 組 1~2 組 合計 1~3 組 合計 1~4 組 合計 1~5 組 合計 1~6 組 合計 正面出現次數(次) 反面出現次數(次) 合計 100 200 300 400 500 600 正面出現次數 投擲總次數 (%) 反面出現次數 投擲總次數 (%)

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手中有了數學當工具,你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 針尖朝下 針尖朝上 可以發現,如果投擲用的硬幣,材質是均勻的,在重複投擲一枚硬幣夠多次後,正、反面 朝上的次數與總投擲次數的比值會接近 1 2,此時我們說出現正面與反面的機率約是 1 2。 一般來說,一個實驗所有可能發生的結果共 n 種,若每一種結果發生的機會都相等時, 則每一種結果發生的機率是 1 n。例如: (1)小華投擲一顆材質均勻(公正)的骰子一次,所有可能的結果共 6 種,而每種結果發生的 機會都相等,因此每一種點數出現的機率都是 1 6。 (2)老師在籤筒中放入編號 1~35 的 35 支籤,從此籤筒隨意抽出一支籤,所有可能發生的 結果共 35 種,如果每種結果發生的機會都相等,則每一個號碼被抽到的機率都是 1 35。 【觀念釐清】如果每一種結果發生的機會不是都相等時,就不能說每種結果發生的機率都是 1 n。 例如:投擲一枚圖釘時,當停止後,結果如右圖, 因為針尖輕而針帽重,投擲後這兩種情形 發生的機會不相等,所以針尖朝上的機率 和針尖朝下的機率就不能各視為 1 2。 練習 1:袋中有 5 顆材質完全一樣的彩球,顏色分別為紅、黃、綠、藍、紫。若從袋中任取一球,則 (1)此球的顏色,共有幾種可能的情況? (2)取出紫色球的機率是多少? 練習 2:如右圖,有一個長方體的橡皮擦,共有 6 個面, 若投擲此橡皮擦,則各面朝上的機率是否相等? ◎某事件發生的機率: 若實驗中每種可能的結果出現的機會都相等,則某事件發生的機率= 該事件所含結果的個數 實驗中所有可能結果的個數。 【說明】(1)當投擲一顆均勻骰子時,出現 1 點、3 點或 5 點的情形,就說發生「奇數點的事件」, 而奇數點的事件就是由 1 點、3 點、5 點三種結果所組成的。 (2)點數大於或等於 5 的事件,即由點數 5、6 所組成,投擲時出現 5、6 中的任何一種點數, 就說發生「點數大於或等於 5 的事件」。 (3)進行一個實驗時,所有可能發生的結果共 n 種,而且每一種結果發生的機會都相等, 若某事件包含其中 m 種可能的結果,則此事件發生的機率為 m n 。 練習 3:袋中有 6 顆紅球、2 顆白球共 8 顆球,從袋中任取一顆,每顆球被取出的機會都相等, 則取出紅球、白球的機率各是多少?

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手中有了數學當工具,你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 【觀念釐清】上例中,不能說:因為有紅球、白球兩種,所以取出紅球、白球的機率各是 1 2。 因為紅球有 6 顆,而白球只有 2 顆。 練習 4:袋中有大小、形狀、重量皆相等的巧克力 10 顆和糖果 15 顆,每顆巧克力、糖果被取出的機會 都相等,韻庭從袋中任取一顆,則取出巧克力、糖果的機率各是多少? 練習 5:籤筒中有 10 支籤,將它們逐一標上 1∼10 的號碼,從籤筒中任意抽出一支籤,每一支籤被抽中 的機會都相等,則 (1)抽到編號是 3 的倍數的事件,它的機率是多少? (2)抽到編號是 5 的倍數的事件,它的機率是多少? (3)抽到編號既是 3 的倍數又是 5 的倍數的事件,它的機率是多少? (4)抽到小於或等於 4 的事件,它的機率是多少? (5)抽到不是 4 的事件,它的機率是多少? (6)抽到小於或等於 10 的事件,它的機率是多少? 練習 6:投擲 1 顆均勻骰子,即骰子每一面出現的機會都相等,試問: (1)出現點數 4 的事件,它的機率是多少? (2)出現的點數大於 4 的事件,它的機率是多少? (3)出現的點數小於 7 的事件,它的機率是多少? (4)出現的點數為質數的事件,它的機率是多少? 練習 7:一副撲克牌共 52 張(不含鬼牌),分為黑桃、紅心、方塊及梅花 4 種花色,每種花色 各有 13 張,分別標為 A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2。從這副牌中任意抽出 一張,若每一張抽中的機會均相等,則 (1)這張牌為紅色的機率是多少? (2)這張牌為梅花的機率是多少? (3)這張牌為 K 的機率是多少? (4)抽出的牌為數字不為字母的機率是多少? (5)抽出的牌為紅色 Q 的機率是多少? 二、樹狀圖: 處理一些發生情形比較複雜的機率問題時,可以利用樹狀圖逐次列舉出一個實驗所有可能發生的 結果,進而求出某事件發生的機率。

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手中有了數學當工具,你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 【說明】以投擲一枚十元硬幣兩次為例來畫樹狀圖: 如果用(正,反)表示第一次出現正面、第二次出現反面,其他結果類推,則由下圖可得所有結果 為(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)等 4 種。可以知道: (1)兩次硬幣都出現正面的情形是(正,正),只有 1 種,則機率等於 1 4;同樣的,兩次硬幣都 出現反面的情形是(反,反),只有 1 種,則機率等於 1 4。 (2)硬幣第一次出現正面、第二次出現反面的情形是(正,反),只有 1 種,則機率等於 1 4; 同理,硬幣第一次出現反面、第二次出現正面的情形是(反,正),只有 1 種,則機率等於 1 4。 第一次 第二次 正 反 反 反 正 正 (正、反分別表示硬幣出現正面、反面) 練習 8:投擲一枚十元硬幣兩次,則一次出現正面,另一次出現反面的機率是多少? 【觀念釐清】以投擲兩枚十元硬幣一次為例來畫樹狀圖: 如果用(正,反)表示硬幣一出現正面、硬幣二出現反面,其它結果類推,則由下圖可得 所有結果為(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)等 4 種。可以知道: (1)兩枚硬幣都出現正面的情形是(正,正),只有 1 種,則機率等於 1 4;同樣的,兩枚硬幣 都出現反面的情形是(反,反),只有 1 種,則機率等於 1 4。 (2)硬幣一出現正面、硬幣二出現反面的情形是(正,反),只有 1 種,則機率等於 1 4; 同理,硬幣一出現反面、硬幣二出現正面的情形是(反,正),只有 1 種,則機率等於 1 4。 硬幣一 硬幣二 正 反 反 反 正 正 (正、反分別表示硬幣出現正面、反面)

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手中有了數學當工具,你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 練習9:投擲兩枚十元硬幣一次,則一枚出現正面,另一枚出現反面的機率是多少? 練習 10:班長想要對小妍、小霖、小真三位同學進行三字經抽背,若抽背的順序是任意選定的,則 (1)總共有幾種不同的順序? (2)小霖是最後被班長抽背的機率是多少? (3)班長對小妍抽背完後,接著對小真抽背的機率是多少? 練習 11:有甲、乙兩袋,甲袋中有兩顆紅球,分別編為 1 號、2 號;乙袋中有兩顆綠球,也分別 編為 1 號、2 號。從甲、乙兩袋中各取一球,則 (1)可能發生的結果共有幾種? (2)兩袋所取出的球編號相同的機率是多少? 練習 12:有 5 、 6 、 7 三張紙牌,今將此三張紙牌任意排成一個三位數,試問: (1)共可排出幾個不同的三位數? (2)排出的三位數是奇數的機率是多少? (3)排出的三位數是 4 的倍數的機率是多少? (4)排出的三位數是偶數的機率是多少? (5)排出的三位數是 5 的倍數的機率是多少? (6)排出的三位數是 3 的倍數的機率是多少? 練習 13:將一顆均勻的骰子連續投擲兩次,假設第一次、第二次出現的點數分別以 x、y 表示, 若實驗結果以數對(x , y)表示,則 (1)數對(x , y)的所有可能情況共有幾種? (2) x+y=5 的機率是多少? (3) x+y 的和是質數的機率是多少? 自我評量 1. 庭佑家今晚晚餐打算吃披薩,而且想要享有披薩店外帶買大送大的優惠,可是一家 6 口都不想跑 這一趟,後來爸爸決定投擲一顆均勻的骰子 20 次,看哪一個點數出現的次數最多,就由代表這個 點數的人去跑腿。以下是爸爸按年紀所做的點數分配: 6 點代表爺爺;5 點代表奶奶;4 點代表爸爸;3 點代表媽媽;2 點代表哥哥;1 點代表庭佑。 這時庭佑心想:「好耶!1 點最小,出現的機會一定也最小,哈哈!這下沒我的事啦!」 (1)你同意庭佑的想法嗎? (2)你的想法為何?

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手中有了數學當工具,你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 2. 觀察一副撲克牌(不含兩張鬼牌)後,回答下列問題: (1)一副撲克牌(不含兩張鬼牌)總共有幾張牌?有幾種不同的花色?有幾種不同的點數(A 為 1 點, J 為 11 點,Q 為 12 點,K 為 13 點)? (2)若將所有花色為紅心的牌放入袋中任取一張,則所抽出的這一張: 花色為紅心的機率是多少?花色為黑桃的機率是多少?花色為紅心且點數為 5 的機率是多少? 3. 將 35 位同學依序自 1~35 編號,並自其中抽出一位同學即席演講,若每人被抽到的機會相等,則 (1)抽到編號為 35 的因數的機率是多少? (2)抽到編號個位數為 0 的機率是多少? (3)抽到編號為質數的機率是多少? 4. 若生男和生女的機會相等,則一個家庭有兩個小孩時,試以樹狀圖表示這兩個小孩性別的所有可能 結果,並求下列各事件的機率。 (1)畫出樹狀圖。 (2)兩個孩子都是男孩。 (3)第一個是女孩,第二個是男孩。 5. 依序投擲 2 顆均勻骰子時,試求下列事件的機率。 (1)兩顆骰子的點數和小於 6。 (2)兩顆骰子的點數均為質數。 【觀念釐清】降雨機率: (1)降雨機率是在民國 82 年元月開始發布,當時的名稱為「降水機率」。 (2)某地區降雨機率=過去同樣天氣狀況中下雨的日數過去同樣天氣狀況的日數 ×100%。 (3)氣象局對於「下雨」的定義,是指在預報時間內測得 0.1 毫米或以上的降雨量,即是 下雨。降雨機率是針對固定區域的固定時段(12 小時)所訂,例如:預報今天高雄地區 有 70%的降雨機率,是指預報有效時間 12 小時內,高雄地區的某處降雨量 0.1 毫米 的機會是 70%。也就是說,有可能高雄火車站在下雨,但是楠梓火車站卻沒下雨,則 整天待在楠梓火車站的人就會覺得天氣預報真是不準! (5)臺灣的氣象局所發布的降雨機率是以每 10 個百分點為單位(十分進位法),它是經過 四捨五入計算的,現今的歐、美國家也是採用此法。假設今天氣象局預報降雨機率 為 100%,並不表示「絕對會下雨」,它只代表降雨機率非常高,95%以上表示極 可能會下雨。同理,降雨機率 0%,表示仍有小於 5%的機率是會下雨的,並不一定 不會下雨。

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手中有了數學當工具,你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 習作 1. 一袋中裝有 3 顆白球、5 顆黃球、2 顆黑球,阿昌和阿振輪流自袋中抽出一球,試回答下列問題: (1)阿昌從袋中抽出一球,則此球為黃球的機率是多少? (2)若阿昌抽完球後將球放回袋中,再由阿振抽出一球,則此球為黃球的機率是多少? (3)若阿昌抽中的球恰為黃球,且抽完後沒有放回袋中,再由阿振抽出一球,則此球為黃球的機率 是多少? 2. 從 1 到 20 的整數中任取一數,則 (1)此數為 2 的倍數的機率是多少? (2)此數為 3 的倍數的機率是多少? (3)此數既不是 2 的倍數也不是 3 的倍數的機率是多少? 3. 欣欣百貨公司週年慶,推出當天消費即可抽折價券的活動,已知抽獎箱內共有 1000 張折價券, 其種類和張數如右表。假設每次抽完皆會放回,且每張折價券被抽中的機會都相等,則 (1)抽中 100 元折價券的機率是多少? (2)抽中三獎以上(即頭獎、二獎、三獎)的機率是多少? 4. 阿輝和小明玩猜拳遊戲,若兩人出剪刀、石頭、布的機率都相同,且僅猜一次即決定勝負, 則由阿輝贏的機率是否較大?以樹狀圖說明你的看法。 5. 俠盜亞森.羅蘋為擺脫敵人的追蹤,事先安排由甲地到乙地的路線,如下圖,且選擇每一條路線的 機會都相等,則 (1)他總共安排了幾條路線? (2)他選擇由甲地經過 A 到乙地的機率是多少? (3)他選擇由甲地經過 B 到乙地的機率是多少? 折價券金額 張數 頭獎 10000元 1 二獎 1000元 30 三獎 500元 169 四獎 200元 300 五獎 100 元 500 A B 乙 甲

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手中有了數學當工具,你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 6. 智弘投擲一枚硬幣和一顆骰子,則 (1)硬幣出現正面,而骰子點數為奇數的機率是多少? (2)硬幣出現反面,而骰子點數小於 5 的機率是多少? 類題補充 1. 求從一副撲克牌中任意抽出一張,則:(假設不含鬼牌) (1)這張牌不是黑桃的機率是 。 (2)這張牌的點數小於 7 的機率是 。(A 的點數算 1) (3)這張牌既不是黑桃且點數又小於 7 的機率是 。 2. 將三張數字卡 2、0、5 任意排列(025=25),則 (1)所排出的數字是偶數的機率是 。 (2)所排出的數字是 25 的倍數的機率是 。 3. 有甲、乙兩個袋子,各裝有 4 張標示為 1、2、3、4 的紙牌。今從兩袋中各取出一張牌,則兩張紙牌 一樣大的機率是 。 4. 小華、大明、阿巧相約到動物園看貓熊,三人欲搭乘同一列有四節車廂的捷運木柵線,每節車廂被 選擇的機會均相等,且每節車廂皆可供民眾搭乘。若三人可選擇任意搭乘這四節車廂,則三人在同 一車廂之機率為 。 5. 投擲一枚十元硬幣三次,回答下列問題: (1)畫出樹狀圖。 (2)出現一次正面、兩次反面的機率是多少? (3)三次都出現反面的機率是多少? 6. 若每一個小孩出生是男孩或女孩的機會相等,已知一個家庭有三個小孩,則這三個小孩恰為二男一 女的機率是 。

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手中有了數學當工具,你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 7. 由 1、2、3、4 任取三數,可排成等差數列的機率是 。 8. 有六張相同的卡片,分別寫著 1、2、+、、3、4,將 1、2 裝入 A 袋中,將+、裝入 B 袋中, 將 3、4 將入 C 袋中。今從三袋中各取出一張卡片,然後由左至右排列,並計算出結果。求結果 是 2 的倍數之機率為 。 9. 右圖為彈珠臺的平面圖,O 為彈珠之入口,甲、乙、丙、丁為其出口。今有一顆彈珠從 O 處進入, 若其路線內拐彎的機會相等,則彈珠經過 D 再由丙出口出來的機率為 。 10. 小蘭、小芬、大雄、小夫四人排成一列,則小芬排在相鄰小夫右邊的機率為何?

11. 投擲一顆均勻的骰子兩次,第 1 次、第 2 次出現的點數分別為 a、b,則能使二次函數 y=x2+ax+2b

的圖形與 x 軸產生交點的機率為何? 12. 某班有 40 個學生,第一次段考成績公布後,數學及格的有 23 人,英文及格的有 15 人,兩科 都不及格的有 10 人,若從學生中任意抽取 1 人,則兩科都及格的機率為何?(Hint:文氏圖) 13. 甲、乙兩人比羽毛球,因乙較為厲害,規定乙勝 3 局前,若甲先勝 2 局則算甲獲勝,且 2 人無和局, 則甲勝的機率為多少? O 甲 乙丙 丁 A B D C E

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手中有了數學當工具,你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 加強練習 1. 甲、乙、丙三人結伴旅遊,夜晚投宿於民宿時,發現正好只剩雙人床及單人床各一張,於是三人 以抽籤決定床位,則甲、丙兩人合睡雙人床的機率是多少? (A) 1 3 (B) 2 3 (C) 1 2 (D)1 2. 投擲一顆材質均勻的骰子兩次,下列三個事件所發生的機率大小關係為何? 甲事件:第一次出現 1 點,第二次出現 2 點 乙事件:第一次出現 2 點,第二次出現 3 點 丙事件:第一次出現 3 點,第二次出現 4 點 (A)甲事件發生的機率較大 (B)乙事件發生的機率較大 (C)丙事件發生的機率較大 (D)三個事件發生的機率相同 3. 一事件發生的機率為 1 6,則下列敘述何者正確? (A)此事件發生的機會很小 (B)此事件做實驗時,恰有 6 種不同的結果 (C)此事件實驗 12 次時,必發生 2 次 (D)此事件實驗的次數越多,發生的機會越接近 1 6 4. 右圖為一旋轉飛靶,飛靶為一個同心圓,半徑比是 1:2,每一扇形圓心角均 為 120°,若今甲射一飛鏢且命中此靶,則此靶命中斜線區域的機率為多少? (A) 7 36 (B) 7 12 (C) 5 12 (D) 5 36 5. 設籤筒中有 20 支籤,每支籤分別標上 1、2、3、…、20 的整數,每次抽一支籤,抽後放回, 若此籤為 2 的倍數的機率為 a,為 3 的倍數的機率為 b,既不是 2 的倍數也不是 3 的倍數的 機率為 c,則下列何者正確? (A) a>c>b (B) a=c>b (C) b>a>c (D) a>b>c

6. 一袋子中有白球 3 個、紅球 2 個,且每一個球被取出的機率相等。今逐次自袋中任取一球,取後 放回。已知前兩次均取出白球,若第三次取出白球的機率為 p,取出紅球的機率為 q,則 p、q 的 大小關係為何? (A) p<q (B) p=q (C) p>q (D) p、q 無法比較 7. 一袋子中有 5 顆球,分別標記號碼 1、2、3、4、5。已知每顆球被取出的機會相同,若第一次從 袋中取出一球後放回,第二次從袋中再取出一球,則第二次取出球的號碼比第一次小的機率為何? 8. 從 1、3、5、7 的數字卡中任取 3 個,則所取出的 3 個數,3 恰為中位數的機率是多少? 9. 材質均勻的新奇骰子各面分別標記數字 1、1、3、5、7、9,若同時投擲一枚硬幣與一顆新奇骰子, 則出現硬幣正面朝上且骰子點數是質數的機率是 。 10. 承上題,若同時投擲兩顆新奇骰子,則出現相同點數的機率是 。 11. 數學老師把一班分成 5 組做「丟擲一枚 10 元硬幣,出現正面的次數」的活動,已知把每一組丟擲 的次數記為 x 坐標(每一組至少投擲 20 次以上),而出現正面的次數記為 y 坐標,則下面哪一圖形 最有可能發生? (A) (B) (C) (D) 12. 承上題,若把 y 坐標改為(出現正面的次數÷丟擲的次數)而 x 坐標不變,則下面哪一圖形最有可能 發生? (A) (B) (C) (D) 13. 如右圖,小志投擲一顆公正骰子(點數為 1~6 點),第一次出現的點數為 a, 第二次出現的點數為 b,且 A(1, a)、B(2, b),則直線 AB 通過原點之機率為 多少? A(1 , a) O x y B(2 , b)

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手中有了數學當工具,你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。 Ans:1.(A);2.(D);3.(D);4.(B);5.(A);6.(C);7. 2 5;8. 1 2;9. 1 4;10. 2 9;11.(D);12.(A);13. 1 12。 心得筆記

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