高中數學科差異化評量—100學年度高二下第2次定期考

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高中數學科差異化評量—100 學年度高二下第 2 次定期考

2.2.1 空間中的直線基礎級試題 2.2.1 空間中的直線精熟級試題 1. 在空間中，直線 L：      t z t y t x 2 3 2 1 －＝＋＝＋＝ ( t 為實數)的圖形，與下列哪些相同？ (1)      t z t y t x 2 5 1 ＋＝－＝＝－ ，t 為實數 (2)      t z t y t x 2 1 4 3 －＝＋＝＋＝ ，t 為實數 (3)2－x＝3－y＝ 2 1 － z (4)    8 3 6 ＝－－－＝＋＋ z y x z y x (5)    5 2 13 2 3 ＝＋＝＋＋ z x z y x 參考答案：(1)(3)(4)(5) 出處：北一女 2. 設坐標空間中三條直線 L1，L2，L3的方程式分別為 L1：_{1 ＝}x y＋3 6 ＝ z＋4 8 ；L2：_{1 ＝}x y＋3 3 ＝ z＋4 4 ； L3：_{1 ＝}x _{3 ＝} y _{4 。} z 請選出正確的選項？ (1) L1與 L2相交 (2) L2與 L3平行 (3) 點 P (0,－3,－4)與 Q (0,0,0)的距離即為點 P 到 L3的最短距離 (4) 直線 L：   x＝0 y＋3 4 ＝ z＋4 －3 與直線 L1 ，L2皆垂直 (5) 三直線 L1，L2，L3共平面 1. H：x－y＋z＝2 為坐標空間中一平面， L 為平面 H 上的一直 線。已知點 P ( 2 , 1 , 1 ) 為 L 上距離原點 O 最近的點，則 L 的 方向向量為 ( 2 , , )。參考答案：－1，－3 出處：100.學測 2. 空間中兩直線 L1： 7 1 － x ＝1 y ＝ 5 2 －＋ z 與 L2：    0 7 3 2 0 4 2 ＝－＋＋＝＋＋－ z y x z y x 之間的距離為。參考答案： 14 出處：北一女 3. 坐標空間中，假設雷射光束以直線 L： 1 1 － x ＝ 3 1 ＋ y ＝ 1 5 － z 的方式射向一光滑平面 E：x＋2y＋2z＝18，則此雷射光束反 射路徑所在之直線方程式為。參考答案： 1 2 － x ＝ 1 2 － y ＝ 3 6 － z 出處：北一女

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參考答案：(1) (2) (4) (5) 出處：97.學測 3. 給定三平面： E₁：－－＝x y 2z 3,E₂：＋＋＝2x 3y z 1,E₃：＋2ax yz＝b 。 (1)若三平面交於一直線 L，且 L 的一方向向量為( , ,1)m n ，則 m －n＝。 (2)三平面沒有共同交點時， ,a b 的條件為。 (3)承 (2)，三平面相交的情形為。參考答案： _{(1) 2 (2) a＝3 且 b≠4} (3)三平面兩兩交於一直線且沒有共同交點出處：北一女 4. 已知點A(1,0, 2)及三直線： L1： 1 1 － x ＝ 2 y ＝ 1 2 －－ z ；L2： 1 2 － x ＝ 3 1 － y ＝ 1 1 ＋ z ； L3： 1 8 －－ x ＝ 2 2 －－ y ＝ 1 1 － z ，則： (1) L1與 L2的交點坐標為。 (2) 包含 L1與 L3的平面方程式為。參考答案： _{(1)（3，4，0） (2) y＋2z＝4} 出處：北一女 4. 已知點 A（1，0，2）及三直線： L1： 1 1 － x ＝ 2 y ＝ 1 2 －－ z ；L2： 1 2 － x ＝ 3 1 － y ＝ 1 1 ＋ z ； L3： 1 8 －－ x ＝ 2 2 －－ y ＝ 1 1 － z ，則： (1) L1 與 L3 的距離為。 (2)設 L



2 與 L3 公垂線段的兩端點為 P、Q，且 PQ＝（m，n，1），則 m＋n＝ 參考答案：(1) 30 (2) 3 出處：北一女 5. 假設坐標空間中三相異平面 E1，E2，E3皆通過 (－1 , 2 , 0 ) 與 ( 3 , 0 , 2 ) 兩點，試問以下哪些點也同時在此三平面上？ (1) ( 2 , 2 , 2 ) (2) ( 1 , 1 , 1 ) (3) ( 4 , －2 , 2 ) (4) (－2 , 4 , 0 ) (5) (－5 , －4 , －2 ) 參考答案：(2) 出處：94.學測

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2.3.1 三元一次聯立方程式基礎級試題 2.3.1 三元一次聯立方程式精熟級試題 1. 若方程組 2 2 1 2 2 2 7 4 2 x y z x y z x y z k               有解﹐則 k  ____________﹒ 參考答案：7 出處：新竹高中 2. 若方程組      a z y x a z y x a z y x ＝＋＋＋＝－＋－＝＋－ 3 1 3 3 2 2 有解，則實數 a 。參考答案： 2 5 出處：北一女 3.坐標空間中﹐聯立方程式 3 1 3 2 5 0 x y x y z           的圖形為一點﹒(是非題) 參考答案：○ 出處：嘉義女中 4.聯立方程式 1 1 1 2 2 2 0 0 a x b y c z a x b y c z      _ _ _  必為無限多組解﹒(是非題) 參考答案：○ 出處：嘉義女中 1. 一礦物內含 A、B、C 三種放射性物質，放射出同一種輻射。已 知 A、B、C 每公克分別會釋放出 1 單位、2 單位、1 單位的輻射 強度，又知 A、B、C 每過半年其質量分別變為原來質量的 1 _{2 、} 1 3 、 1 4 倍。於一年前測得此礦物的輻射強度為 66 單位，而半年前測得此礦物的輻射強度為22 單位，且目前此礦物的輻射強度為8 單位，則目前此礦物中 A、B、C 物質之質量分別 為、、公克。參考答案：4、1、2 出處：100.學測 2. 若方程組 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d      _ _ _   _ _ _  有唯一解 x  2﹐y  1﹐z   1﹐且方程組 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 4 2 3 4 2 3 4 c x d y b z a c x d y b z a c x d y b z a      _ _ _   _ _ _  的解為 x  ﹐y  ﹐z  ﹐則 ___. 參考答案： 2 出處：新竹高中 3. 《九章算術》是現存最早（東漢時期）的中國數學著作之一﹐此書收錄246 個數學問題﹐並分為九大類﹐故稱「九章」﹒其中「方程章」第八題為「今有賣牛二､羊五﹐以買十三豕﹐有餘錢一千﹔賣牛三､豕三﹐以買九羊﹐錢適足﹔賣羊六､豕八﹐以買五牛﹐錢不足六百﹒問牛､羊､豕價各幾何﹖」依此題意﹐一頭羊的價格為____________錢﹒ 參考答案：500 出處：台南女中

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4. 設 a､b､c､d 皆為實數﹒若三元一次方程組 2 1 : 5 2 5 1 x y az F x by cz x y z                 的增廣矩陣經多次的列運算後得到 1 1 1 0 1 3 3 0 0 0 0 d     _        ﹐則 (1)方程組 F 所代表的三個平面關係應為下列選項中的______（填選項代號）﹒ (a) (b) (c) (d) (e) (2)序組(a , b , c , d) =____________﹒ (3)若新方程組 1 2 3 2 : 2 5 x y az e F x by cz e x y z e       _         的(x , y , z)有兩組解( , 1 , 2) 及(3 ,  ,  3)﹐則數對( ,  ) =____________﹒ 參考答案：c ；(  1 , 4 , 5 , 2) ；(38 , 16) 出處：台南女中

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5. 設 c 為實數，E1、E2、E3皆為坐標空間中的平面，其方程式如

下：E1：cx＋y＝c; E2：cy＋z＝0; E3：x＋cz＝1

已知 E1、E2、E3有一個交點的 z 坐標為 1，請選出正確的選項。 (1) ( 1 , 0 , 0 ) 是 E1、E2、E3的一個交點 (2) E1、E2、E3有無窮多個交點 (3) E1、E2、E3中一定有兩個平面重合 (4) c＝1 (5) E1、E2、E3有一個交點的 z 坐標為 2 參考答案：(1) (2) (5) 出處：102 指考甲 3.1.1 一次聯立方程式與矩陣基礎級試題 3.1.1 一次聯立方程式與矩陣精熟級試題 1. 設矩陣           c b a 4 5 3 8 1 2 7 1 2 －經過列運算後得到           21 1 11 0 6 2 2 0 8 1 2 1 －－，則序組( , , )a b c  。參考答案：（－1，1，3）出處：北一女 1. 矩陣 1 1 3 2 2 1 1 3 2 2 1 a     _ _         經過列運算後得 1 3 2 2 1 1 2 2 1 a c b     _         ﹐ 則序組(a,b,c)  ______﹒ 參考答案： (1,  3,  2) 出處：新竹高中 2.立方程式 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 0 0 a x b y c z a x b y c z a x b y c z      _ _ _   _ _ _  必為無限多組解﹒(是非題) 參考答案：╳ 出處：嘉義女中

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2. 下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成 1 2 3 7 0 1 1 2 0 0 1 1           ﹖ (1) 1 2 3 7 0 0 1 1 0 1 1 2           (2) 1 2 3 7 0 2 3 5 0 1 1 2           (3) 1 2 3 7 0 2 3 5 1 0 0 2           (4) 1 1 1 0 1 2 4 0 0 1 1 0      _         (5) 1 3 2 7 0 1 0 1 0 1 1 2           ﹒ 參考答案：(1) (2) (5) 出處：新竹高中 3. 增廣矩陣 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 0           所代表的方程組恰有一解﹒ (是非題) 參考答案：○ 出處：嘉義女中 4. 矩陣 1 2 2 3 3 1 4 14 2 3 2 9      _          經列運算後﹐得 1 2 2 3 0 1 2 0 0 1 a b             ﹐ 則數對(a , b)=____________﹒ 參考答案： (163 , 44) 出處：嘉義女中 3. 若方程組 5 2 3 2 x z x y z x y az b              有無限多組解﹐ 則數對(a , b)=____________﹒ 參考答案： (1 , 9) 出處：嘉義女中 4. 設 a 為實數﹐若方程組 2 3 5 3 2 7 a x a a y a       _   _ _     _       無解﹐ 則 a  ____________﹒ 參考答案： 5 出處：新竹高中

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3.2.1 矩陣的運算基礎級試題 3.2.1 矩陣的運算精熟級試題 1. 若 2A＋ 3B＝           3 7 2 13 9 6 ，且 3A－ 2B＝           15 17 3 0 7 4 －－， 則 A－ B＝。 參考答案：           6 6 1 1 2 2 －－－出處：北一女 2. 若二階方陣 A，B 滿足 A＋B＝ _      1 3 2 1 － ，A－B＝ _      1 1 4 3 －，則 A2－B2＝。參考答案： _      8 5 0 10 出處：北一女 3. 請問下列哪一個選項中的矩陣乘積等於  2a 3b2c 3d ？  (1)  a bc d      2 3 (2) [ 2 3 ]  a bc d  (3)  2 32 3   a bc d  (4)     2 0 0 3  a bc d  (5)  a bc d      2 0 0 3 參考答案：(5) 出處：101 指考乙 1. 有關矩陣 A＝  1 0 0 －1 與矩陣 B＝









1 2 － 3 2 3 2 1 2 ，請選出正確的選項。 (1) AB＝BA (2) A2B＝BA2 (3) A11B3＝B6A5 (4) AB12＝A7 (5) ( ABA )15＝AB15A

參考答案：(2) (4) (5) 出處：96.指考甲 2. 已知 I＝ _      1 0 0 1 ，A＝ _      1 1 1 1 ，若 B＝（I＋ 2 1 A）5， 則 B 中各元的總和為。 參考答案：64 出處：北一女 3. 若實係數二階方陣 A 滿足 1 7 2 6 A   _{   }    ﹐ 且 2 8 1 9 A   _{   }    ﹐ 則 A  ____________﹒ 參考答案： 3 2 4 1       出處：新竹高中

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4. 若二階方陣 A＝ _      1 1 1 2 － ，且 AX＝X＋A，則矩陣 X＝ . 參考答案： _      2 1 1 1 －出處：北一女 5. 若二階方陣 A 滿足 7 2 , 9 1 3 1 4 5 A   _{   } A   _{   }        ，則A 。參考答案： _      26 11 11 5 －－出處：北一女

6. A､B､C 皆為三階方陣﹐I 為三階單位方陣﹐O 為三階零方陣﹐ 請選出正確的選項。

(1)(A  B)2 _{ A}2 _{ 2AB  B}2 _{(2)若 AB}_{ AC 且 A  O﹐則 B  C}

(3)若 A2  A﹐則 A  O 或 A  I (4)若 AB  I﹐則 A2

B2  I (5)det(2A)  8det(A)﹒

參考答案：(4)(5) 出處：新竹高中

4. A 為 n 階方陣 ﹐ I 為 n 階單位方陣 ﹐ O 為 n 階零矩陣。 若(A  I)(A  I)  O﹐ 則 A  I 或 A   I﹒ (是非題 )

參考答案：╳ 出處：嘉義女中

5. 若 cos sin , cos sin

sin cos sin cos

A   B             _ _ _ _    ﹐則 cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) AB            ﹒ (是非題) 參考答案：╳ 出處：嘉義女中 6. 若 A 有反方陣﹐則 3A 亦有反方陣﹐且(3A)  1  3A  1_{﹒(是非題)} 參考答案：╳ 出處：嘉義女中 7. 若 3 1 , 1 1 1 3 1 1 A_ _ M _ _     ﹐則(M  1 AM)3  ____________﹒ 參考答案： 64 0 0 8       出處：嘉義女中

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7. 若 1 2 4 8 A  _  ﹐ 4 2 2 1 B   _   ﹐則 AB  ____________﹒ 參考答案： 0 0 0 0       出處：新竹高中 8. 若 5 1 4 , 1 3 7 0 2 1 6 5 1 A_ _ B_  _      ﹐且 2 6 3 X Y A X Y B        ﹐則 X 的 (2,3)元為____________﹒ 參考答案： 1 出處：新竹高中 9. 設 1 2 3 4 A  _  ﹐ 0 2 3 B x       ﹐若 A 2_{ B}2_{ (A  B)(A  B)﹐則} x  ____________﹒ 參考答案： 3 出處：新竹高中 8. 設 n 為正整數，符號 1 1 0 2 n       代表矩陣     1 1 0 2 自乘 n 次。設 1 1 0 2 n       ＝    an bn cn dn ，請選出正確的選項。 (1) a2＝1 (2) a1 , a2 , a3為等比數列 (3) d1 , d2 , d3為等比數列 (4) b1 , b2 , b3為等差數列 (5) c1 , c2 , c3為等差數列參考答案：(1) (2) (3) (5) 出處：102 學測 9. 若二階方陣 A 滿足 3 1 1 3 1 1 3 3 1 3 x A y                    ﹐ 則數對(x , y)=____________﹒ 參考答案： (0 , 2) 出處：台南女中

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3.3.1 矩陣的應用基礎級試題 3.3.1 矩陣的應用精熟級試題 1. 設甲城市每年有 2%的人口移居乙城市﹐而乙城市每年有 3%的人口移居甲城市﹐若穩定狀態時甲､乙兩城市的人口皆不變﹐ 則穩定狀態時甲城市與乙城市人口的比例為____________﹒ 參考答案： 3：2 出處：新竹高中 2. 設 A＝ a bc d  為二階實係數方陣。 (1) 當 A 為轉移矩陣時，試敘述實數 a、b、c、d 須滿足的條件。 (2) 試證：當 A 為轉移矩陣時，A2_{也是轉移矩陣 ( 式中 A}2_代表 A 與 A 的乘積 )。 參考答案：○1 0 ≤ a , b , c , d ≤ 1 ○2 a＋c＝1，b＋d＝1 出處：100.指考乙 3. 設甲袋內有 2 個 10 元錢幣﹐乙袋內有 3 個 5 元錢幣﹐現在每次各自從兩袋中隨機取一錢幣交換﹐求交換三次後﹐甲袋有2 個 5 元錢幣的機率為____________﹒ 參考答案：1 6 出處：新竹高中 1. 設有 A、B 兩支大瓶子，開始時，A 瓶裝有 a 公升的純酒精，B 瓶裝有 b 公升的礦泉水。每一輪操作都是先將 A 瓶的溶液倒出一 半到B 瓶，然後再將 B 瓶的溶液倒出一半回 A 瓶（不考慮酒精 與水混合後體積的縮小）。設 n 輪操作後，A 瓶有 an公升的溶液，B 瓶有 bn公升的溶液。已知二階方陣 11 12 21 22 c c c c      滿足 11 12 21 22 n n n a c c a b c c b                    。 (1) 求二階方陣 11 12 21 22 c c c c      。 (2) 當 a＝ 2 _{3 ，b＝} 1 _{3 時，求 a}100及 b100。 (3) 當 a＝ 2 _{3 ，b＝} 1 _{3 時，在第二輪操作後，A 瓶的溶液中有百分} 之多少的酒精？參考答案： (1)













3 4 1 2 1 4 1 2 ；(2) a100＝ 2 _{3 ，b}100＝ 1 _{3 ；(3) 68.75％} 出處：98.指考乙

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4. 一實驗室培養兩種菌﹐令an和bn分別代表兩種培養菌在時間 點 n 的數量﹐彼此有如下的關係﹕an  1  2(an  bn)﹐ bn  1  2bn（ n  0 ﹐ 1 ﹐ 2 ﹐ … ） ﹒ 若二階方陣 A 滿足 3 3 n n n n a a A b b               ﹐則 A  ____________﹒ 參考答案： 8 24 0 8       出處：新竹高中 5. 某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況，依訂定的標準將國民分為高收入和低收入兩類。統計發現高收入的人口一直是低收入人口的兩倍，且知在高收入的人口中，每年有四成會轉變為低收入。請問在低收入的人口中，每年有幾成會轉變為高收入？請選出正確的選項。 (1) 6 成 (2) 7 成 (3) 8 成 (4) 9 成參考答案：(3) 出處：92.指考甲 2. 若 S﹐T 為同階轉移矩陣﹐則 S2_﹐T2_{﹐S  T 亦皆為轉移矩陣} (是非題). 參考答案：╳ 出處：嘉義女中 3. 所謂「轉移矩陣」必須滿足下列兩個條件(甲)該矩陣的每一個位置都是一個非負的實數(乙)該矩陣的每一行的數字相加都等於 1 以_{2×2 矩陣為例， } 0.2 0.3_{0.8 0.7 和 }_  0.9 0.6_{0.1 0.4}_ 滿足(甲)(乙)這兩個條件，因此都是轉移矩陣。今設 A、B 是兩 個 n×n 的轉移矩陣，請問下列哪些敘述是正確的？ (1)A2是轉移矩陣 (2)AB 不滿足條件(乙) (3) _{2 ( A＋B )是轉移矩陣 (4)}1 _{4 ( A}1 2＋B2 )是轉移矩陣參考答案：(1) (3) 出處：91.指考甲 4. 有甲、乙及丙三支大瓶子，開始時均裝有 2 公升的水，每輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶，再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶，然後再將丙瓶的水倒出一半回甲瓶，則： (1)第三輪操作後，乙瓶中的水有公升。 (2)持續操作 n 輪，當 n 趨向無限大時，甲、乙、丙三瓶的 水量分別趨近於 a、b、c 公升則 a＋2b＋8c＝。 參考答案： (1) 128 187 (2) 18 出處：北一女

(12)

5. 坐標平面上﹐若 O 為原點﹐A(1 , 2)﹐而點 B(x , y)在第四象限﹐ 2 5 OB ﹐且cos 4 5 AOB    ﹐則 B 的坐標為____________﹒ 參考答案：( ,4 22) 5  5 出處：台南女中 3.4.1 平面上的線性變換基礎級試題 3.4.1 平面上的線性變換精熟級試題 1. 設平面上的正方形 ABCD 中﹐A(1 , 1)﹐B(1 , 2)﹐C(2 , 2)﹐ D(2 , 1)﹐矩陣 S 表示「沿 x 軸推移 y 坐標的 1 倍」的線性變換﹒ (1)正方形 ABCD（以虛線表示）經過 S 變換後圖形（以實線表示） 應為下列選項中的____________（填選項代號）﹒ (a) x y O (b) (c) (d) x y O (e) (2)平面上一點 E(2,3)經過 S100_{變換後的坐標為}_{____________}_﹒ 參考答案：(b) ； (302 , 3) 出處：台南女中 1. 設 L 為平面上過原點的一直線﹒已知點 P(  10 , 5)對 L 作鏡射變 換後得到點 Q(  2 , 11)﹐則此鏡射變換對應的二階方陣為 ____________﹒ 參考答案： 7 24 25 25 24 7 25 25 _ _      _      出處：台南女中