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論文摘要 論文摘要 論文摘要 論文摘要

本研究的主要目的在於使用「數學史與數學遊戲融入教學」對國一學生學習「

負數」單元之數學學習情形之影響,並探討對於數學史與數學遊戲融入教學的學生學 習數學的學習態度反應為何?藉由本研究的探討,希望能提供國中教科書編者及教 師未來在數學教學上之參考。

本研究採準個案研究法,樣本來自彰化縣某國中一年級學生,選取一個班級共 34 名學生﹔學生接受為期三個星期共 12 節課之數學史與數學遊戲融入教學,由研 究者執行教學活動。分析前所做的「數學學習態度量表前測」及實施數學史與數學 遊戲融入教學後所做的「上課意見調查表」、「數學學習態度量表後測」、「數學史與 數學遊戲融入教學之學習回饋問卷」及晤談與錄影內容,獲得以下結論:

一、數學史與數學遊戲融入教學對學生數學學習態度改變上有顯著差異。

二、數學史與數學遊戲融入教學對男生數學學習態度改變上有顯著差異。

三、數學史與數學遊戲融入教學對女生數學學習態度改變上有顯著差異。

四、學生在數學史與數學遊戲融入教學中的學習反應熱烈,並可增加學生思考能 力,提升數學學習興趣,並對此教學方式十分肯定。

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目 目 目

目 錄 錄 錄 錄

目錄 目錄

目錄 目錄... ... ... ... .... .... ... ... ...Ⅰ ... Ⅰ Ⅰ Ⅰ 表次 表次

表次 表次... ... ... ... ... ...Ⅲ ... Ⅲ Ⅲ Ⅲ 第一章

第一章 第一章

第一章 緒論 緒論 緒論... 緒論 ... ... ... ... ... ... 1 11 1 第一節

第一節 第一節

第一節 研究動機 研究動機 研究動機... 研究動機 ... ... ... ... ... 1 ... 11 1 第二節

第二節 第二節

第二節 研究目的 研究目的 研究目的及 研究目的 及 及 及待答問題 待答問題 待答問題 待答問題... ... ... 4 ... ... 4 ... 4 ... 4 第三節

第三節 第三節

第三節 研究假設 研究假設 研究假設... 研究假設 ... ... ... .. ... 4 ... 4 ... 4 ... 4 第四節

第四節 第四節

第四節 名詞界定 名詞界定 名詞界定... 名詞界定 ... ... ... 4 ... 4 ... 4 ... 4 第五節

第五節 第五節

第五節 研究限制 研究限制 研究限制... 研究限制 ... ... ... 5 ... 5 ... 5 ... 5 第二章 第二章

第二章 第二章 文獻探討 文獻探討 文獻探討... 文獻探討 ... ... ... 6 ... 6 ... 6 ... 6 第一節 第一節 第一節

第一節 數學史融入數學教學 數學史融入數學教學 數學史融入數學教學... 數學史融入數學教學 ... ... ... ... ... ... 6 ... 6 ... 6 ... 6 第二節

第二節 第二節

第二節 數學 數學 數學遊戲 數學 遊戲 遊戲 遊戲融入數學教學 融入數學教學 融入數學教學 融入數學教學性 性 性 性... ... ... ... ... ... ... ... ...10 ... 10 10 10 第三節

第三節 第三節

第三節 負數概念之迷思概念相關研究 負數概念之迷思概念相關研究 負數概念之迷思概念相關研究... 負數概念之迷思概念相關研究 ... ...14 ... ...14 ...14 ...14 第三章

第三章 第三章

第三章 研究方法 研究方法 研究方法與過程 研究方法 與過程 與過程 與過程... ... ... ...17 ...17 ...17 ...17 第一節

第一節 第一節

第一節 研究設 研究設 研究設計 研究設 計 計 計... ... ... ... ... ... ... .. .17 17 17 17 第二節

第二節 第二節

第二節 研究對 研究對 研究對象 研究對 象 象 象.. .. .. ... ... ... ... ... ...18 ... 18 18 18 第三節

第三節 第三節

第三節 研究工 研究工 研究工具 研究工 具 具 具... ... ... ... ... ... ... .. .18 18 18 18 第四節 第四節 第四節

第四節 研究流 研究流 研究流程 研究流 程 程 程... ... ... ... .. .. ... ... ... ... ... ...22 ... 22 22 22 第五節 第五節 第五節

第五節 資料處理與分 資料處理與分 資料處理與分析 資料處理與分 析 析 析... ... ... ... ... ... ... .. .22 22 22 22 第四章

第四章 第四章

第四章 研究結果與討 研究結果與討 研究結果與討論 研究結果與討 論 論 論... ... ... ...26 ...26 ...26 ...26 第一節

第一節 第一節

第一節 學生在各單元的學習情形 學生在各單元的學習情形 學生在各單元的學習情形 學生在各單元的學習情形 .... .... .... ...26 ...26 ...26 ...26 第二節 第二節 第二節

第二節 數學學習態度比 數學學習態度比 數學學習態度比較 數學學習態度比 較 較 較.... .... .... ...33 ...33 ...33 ...33

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第五章 第五章 第五章

第五章 結論與建議 結論與建議 結論與建議... 結論與建議 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...37 37 37 37 第一節

第一節 第一節

第一節 結 結 結論 結 論 論 論... ... ... ...37 ...37 ...37 ...37 第二節

第二節 第二節

第二節 建 建 建議 建 議 議 議... ... ... ...38 ...38 ...38 ...38 參考文獻 參考文獻

參考文獻 參考文獻... ... ... ...40 ...40 ...40 ...40 附錄一 附錄一

附錄一 附錄一 融入數學史教材 融入數學史教材 融入數學史教材... 融入數學史教材 ... ... ...44 ...44 ...44 ...44 附錄二 附錄二

附錄二 附錄二「 「 「數線 「 數線 數線 數線、 、 、 、數線 數線 數線、 數線 、 、 、我愛你 我愛你 我愛你 我愛你!」 !」 !」 !」上課方式意見調查表 上課方式意見調查表 上課方式意見調查表 上課方式意見調查表.. .. ... .. .. .... ... .... ... .. .45 45 45 45 附錄三

附錄三 附錄三

附錄三「 「 「我是好野人 「 我是好野人 我是好野人 我是好野人! ! ! !」 」 」 」上課方式意見調查表 上課方式意見調查表 上課方式意見調查表 上課方式意見調查表... ... ... ... ... ... ... .. .46 46 46 46 附錄四

附錄四 附錄四

附錄四「 「 「數線 「 數線 數線 數線、 、 、 、數線 數線 數線、 數線 、 、 、我愛你 我愛你 我愛你 我愛你!」 !」 !」 !」學習單 學習單 學習單 學習單...47 ...47 ...47 ...47 附錄五

附錄五 附錄五

附錄五「 「 「 「我是好野人 我是好野人 我是好野人!」 我是好野人 !」 !」學習單 !」 學習單 學習單 學習單... ... ... ... ... ... ... .. .48 48 48 48 附錄六 附錄六

附錄六 附錄六 學生對數學史融入教材之學習 學生對數學史融入教材之學習 學生對數學史融入教材之學習單 學生對數學史融入教材之學習 單 單 單...49 ...49 ...49 ...49 附錄

附錄 附錄

附錄七 七 七 七 數學學習態度量表 數學學習態度量表 數學學習態度量表... 數學學習態度量表 ... ... ... ... ... ... .. .50 50 50 50

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表 表 表

表 次 次 次 次

表 表 表

表2 22 2- -- -1 11 1- -- -1 1 1 1 國內數學史融入教學相關研究之論文統計表 國內數學史融入教學相關研究之論文統計表 國內數學史融入教學相關研究之論文統計表... 國內數學史融入教學相關研究之論文統計表 ... ...7 ... ....7 ....7 ....7 表

表 表

表2 22 2- -- -2 22 2- -- -1 1 1 1 數學遊戲教學和態度構成規納表 數學遊戲教學和態度構成規納表 數學遊戲教學和態度構成規納表...11 數學遊戲教學和態度構成規納表 ...11 ...11 ...11 表

表 表

表2 22 2- -- -3 33 3- -- -1 11 1 學生的負數概念有正確及錯誤答案 學生的負數概念有正確及錯誤答案 學生的負數概念有正確及錯誤答案... 學生的負數概念有正確及錯誤答案 ... ...15 ... ...15 ...15 ...15 表

表 表

表3 33 3- -- -1 11 1- -- -1 11 1 研究設計說明 研究設計說明 研究設計說明... 研究設計說明 ... ... ... ... ...17 ... ...17 ...17 ...17 表

表 表

表3 33 3- -- -3 33 3- -- -1 11 1 「 「 「數線 「 數線 數線 數線、 、 、數線 、 數線 數線 數線, , ,我愛你 , 我愛你 我愛你 我愛你!」 !」 !」活動設計說明 !」 活動設計說明 活動設計說明 活動設計說明...19 ...19 ...19 ...19 表 表

表 表3 33 3- -- -3 33 3- -- -2 2 2 「 2 「 「 「我是好野人 我是好野人 我是好野人!」 我是好野人 !」 !」 !」教學設計活動 教學設計活動 教學設計活動 教學設計活動... ...21 ... ...21 ... ...21 ... ...21 表

表 表

表3 33 3- -- -3 33 3- -- -3 3 3 質性資料編碼 3 質性資料編碼 質性資料編碼... 質性資料編碼 ... ... ... ... ... ... ... ...24 ... ...24 ...24 ...24 表

表 表

表3 33 3- -- -3 33 3- -- -4 44 4 數學學習態度量表各題之鑑別度 數學學習態度量表各題之鑑別度 數學學習態度量表各題之鑑別度、 數學學習態度量表各題之鑑別度 、 、 、總信度 總信度 總信度 總信度... ....25 ... ....25 ... ....25 ... ....25 表

表 表

表4 44 4- -- -1 11 1- -- -1 11 1 質性資料編碼 質性資料編碼 質性資料編碼... 質性資料編碼 ... ... ... .. ...26 .. ...26 ...26 ...26 表

表 表

表4 44 4- -- -1 11 1- -- -2 22 2 『 『 『 『數線 數線 數線 數線、 、 、數線 、 數線 數線 數線、 、 、我愛你 、 我愛你 我愛你!』 我愛你 !』 !』上課方式意見調查表的統計 !』 上課方式意見調查表的統計 上課方式意見調查表的統計 上課方式意見調查表的統計 情形

情形 情形

情形... ... ... ... ... ... ... .. .. ... ... ...30 ... ....30 ....30 ....30 表

表 表

表4 44 4- -- -1 11 1- -- -3 33 3 『 『 『我是好野人 『 我是好野人 我是好野人 我是好野人!』 !』 !』 !』上課方式意見調查表的統計情形 上課方式意見調查表的統計情形 上課方式意見調查表的統計情形 上課方式意見調查表的統計情形. .. ..33 .33 .33 .33 表

表 表

表4 44 4- -- -2 22 2- -- -1 11 1 學生的數學學習態度前後測之 學生的數學學習態度前後測之 學生的數學學習態度前後測之Wilc 學生的數學學習態度前後測之 Wilc Wilcoxon Wilc oxon oxon test...34 oxon test...34 test...34 test...34 表 表

表 表 4 44 4- -- -2 22 2- -- -2 22 2 學 生 的 數 學 學 習 態 度 前 後 測 差 距 分 數 之 樣 本 學 生 的 數 學 學 習 態 度 前 後 測 差 距 分 數 之 樣 本 學 生 的 數 學 學 習 態 度 前 後 測 差 距 分 數 之 樣 本 學 生 的 數 學 學 習 態 度 前 後 測 差 距 分 數 之 樣 本 T TT T 檢 檢 檢 檢 定

定 定

定... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .... .. .. ... .. . 34 34 34 34 表

表 表

表4 44 4- -- -2 22 2- -- -3 3 3 男生的數學學習態度前後測之 3 男生的數學學習態度前後測之 男生的數學學習態度前後測之Wilcoxon 男生的數學學習態度前後測之 Wilcoxon Wilcoxon test Wilcoxon test test... test ... ...35 ... ...35 ...35 ...35 表

表 表

表4 44 4- -- -2 22 2- -- -4 4 4 男生的數學學習態度前後測差距分數之樣本 4 男生的數學學習態度前後測差距分數之樣本 男生的數學學習態度前後測差距分數之樣本T 男生的數學學習態度前後測差距分數之樣本 TT T檢定 檢定 檢定... 檢定 ... ... ... 35 35 35 35 表

表 表

表4 44 4- -- -2 22 2- -- -5 5 5 5 女生數學學習態度前後測之 女生數學學習態度前後測之 女生數學學習態度前後測之Wilcoxon 女生數學學習態度前後測之 Wilcoxon Wilcoxon Wilcoxon tes tes tes test... t... t... t... ... ... .... .. ....36 ...36 ...36 ...36 表

表 表

表4 44 4- -- -2 22 2- -- -6 6 6 6 女生數學學習態度前後測差距分數之獨立 女生數學學習態度前後測差距分數之獨立 女生數學學習態度前後測差距分數之獨立T 女生數學學習態度前後測差距分數之獨立 TT T檢定 檢定 檢定 檢定.. .. .. ... ... ...36 ... 36 36 36 表

表 表

表5 55 5- -- -1 11 1- -- -1 11 1 數學學習態度比較結果 數學學習態度比較結果 數學學習態度比較結果.... 數學學習態度比較結果 .... .... ... ... ... ...37 ....37 ....37 ....37

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第一章 第一章 第一章

第一章 緒論 緒論 緒論 緒論

第一節 第一節 第一節

第一節 研究動機 研究動機 研究動機 研究動機

一、負數在國中的重要性

負數的重要性在現行國中數學課程的地位是不容置疑的。現行各版本的教科書 在第一冊就介紹了負數,有了負數以後,各種基本運算在遇到負數時才有意義,接 著在解方程式、直角坐標圖形、多項式的運算、等差數列、函數與其圖形…等,都 和負數有關,其範圍可以說涵蓋了一年級到三年級的教材。

袁小明(2002)提到:負數是如此的重要,由於它的出現,人們對數的認識便 從正數擴展到了有理數。而負數也是國一學生面對國中數學的第一個困難。Klien

(1908)提出中學裡負數概念的引入,在原則上是極為因難的一步,因為負數是具 體數學向形式數學的第一次轉折,要完全掌握這種轉折中出現的問題,必須具備高 度的抽象能力。但是,根據黃湘武(1987)的研究發現,臺灣的國中生,大部份仍 處具體運思期,一般都還沒有真正進入形式運思期,因此抽象思考的能力仍相當有 限,這或許是一些教師在進行負數教學時困難所在以及不少學生在學習負數時出現 障礙的原因了。因此,「負數」這個單元,不管是以學習者或教學者的角度來看,都 是在數學學習上相當重要的一環。

二、數學史融入數學教學

美國數學家及教育家George Polya曾經說過:「明白人類怎樣獲得某些知識或觀 念,我們才能以比較好的立場來判斷孩童應該怎樣去得到這些知識。」(楊淑芬,

1992a),所以在教學中適當的融入數學發展的歷程會讓人更容易親近數學。1972 年 在英國Exeter 舉行的第二屆國際數學教育會議(ICME,International Congress on Mathematical Education),開始討論歷史與數學的關聯。他們認為數學史可以顯示 出數學是一種人類活動的結果,而不是一開始便是如此型態的結構,並能對數學與 我們的社會、文化以及和其他各種不同學科之間的連結,提供更多的認識。另一方 面,還可以從數學人文觀點來呈現數學中成功或尚待解決的問題以激勵學生。

1960 年代,美國課程改革運動以來,有許多文獻指出科學史在科學教學的重要 意義,許多科學教育學者建議在科學課程中加入更多的科學史內容,且科學史對科 學教學的助益也受到廣泛認定。整合科學史於科學教學已成為一個重要的國際科學 教育趨勢。1985年美國科學促進會(American Association for the Advancement of

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Science,簡稱AAAS)主導的2061 科學教育改革專案(Project 2061)指出,科學史是 科學教育改革中不可或缺的部份,該專案極力建議科學史應被納入學校科學課程之 中,基於下面兩大理由:

(一)若缺乏實例,將無法將科學運作之方式傳遞給學生。

(二)科學史於文化之傳承具極大的意義。

的確,科學史有助於學習科學方法(Matthews,1994)。經由科學家們解決問題 的過程,可以學習到科學的方法,並用科學方法解決日常生活的問題。Bishop(1991)

鼓勵老師在中小學數學教材裡於每一個可能的時機加入數學史,利用數學家的傳記 與故事來使數學課程人性化。Bishop認為,我們應該創造出更多屬於各個文化本身 的數學教學法和教材,使學生學到的數學能帶有文化氣質。

唐書志(1998):「負數大量出現在教材的各個角落,教師往往注意的是負數的 運算性質,對於負數的認知卻著墨無多」。的確,不論是學生或教師在意的都是如何 正確的運算,透過反覆練習而達熟練,對於負數的概念與認知並不是相當的重視。

歐陽絳(1998)指出:「數學有它自己的發展過程,有它的歷史。它是活生生的、有 血有肉的。無論是概念、體系,或是內容、方法,都只有在與其發展過程相聯繫時,

才容易被理解。因此,不懂得數學史,就不能真心地理解數學。而數學課本上的數 學,經過多次加工,已經不是原來的面貌;刀斧的痕跡,清晰可見。數學教師要把 課本上的內容放到歷史的背景上考察,才能求得自己的理解;然後,才有可能幫助 學生理解。」

目前,學校的授課內容是經多人在經年累月中努力精研提煉後的成果,所以邏 輯嚴謹、敘述簡潔,但也因此太講究數學的洗練以及推理思考的層面,好像數學是 預先就存在似的,卻忽略了數學發展的過程。如果學生接觸到的數學只是一長串枯 燥的計算與習題,或只是一堆尚未理解的運算規則,這時候數學對學生而言只是折 磨罷了。邱守榕(1996)指出學生對數學學習無法產生正向情意的原因,在於教育人 員片面地執著於數學的邏輯性與符號思考的必要性,忽略了數學知識發展中「人」

的因素。因此研究者嘗試將數學史融入教學,期能達到情意與認知的平衡。

三、數學遊戲融入數學教學

教育部(1993)推動數學的課程改革特別強調概念的理解,並希望引導學生作

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有意義的學習,發展出多樣化的思考。因此,學習不只是有目標的活動,而是如果 要讓學生進行有意義的學習、那麼學習的目標必須要配合他們的成長,並且要能夠 幫助他們去適應週遭的環境。也就是說現在學生的學習不能再像傳統教學一樣只提 供反覆訓練,現在強調的是「學懂」,而不是「學做」的機械式練習,這是身為教學 者應該要重視的一個課題。

九年一貫的新課程特別強調學校本位課程發展(school-based curriculum development,SBCD)的觀念。所謂「學校本位課程發展」是指學校為達成學校教育 目標或解決學校獨特的教育問題,以學校為主體,由學校成員如校長、行政人員、

教師、家長及社區人士等,一起進行的課程發展過程與成果(張嘉育,1999)。 Eggleston(1980)的學校本位課程發展是學區內的家長、教師、學生、學校行政人 員等,經由共同討論、計畫、試驗和評鑑的過程,發展適合每個特定學校的兒童的 課程策略,它能反應學校面臨的各種挑戰,發展出的課程能引起學生興趣,主動參 與,並鼓勵教師儘其所能,發揮專業自主、創新、改變課程(引自劉世雄,2002)。 由此可見,教師的角色除了教學外還需自行編制教材、發展課程。為了達到教學目 標,教師在編製教材或課程設計時首先要考慮學生學習的特性,發展適合學生學習 的教學活動,以引起學生的學習興趣,使學生樂於學習,而這便是九年一貫課程強 調的活化教材與創新教學的精神。(科學教育研究與發展第二十六期,2002)

教師是賦予教材生命的人,教師應活用各種教材教法,讓教學更活潑,使學生 對所學產生興趣,才能使學習達到效果。因此研究者除在數學教學中融入數學史外,

並嘗試以創新教學的精神發展負數教材的教學活動,希望將遊戲融入教學活動來協 助學生、引導學生做有意義的學習,期盼能對學生在學習負數此一單元方面有正向 影響。為達此一目標,在研究過程中,研究者先蒐集資料,然後編寫學習單,在課 堂中,研究者必須隨時注意學生的個別狀況,適當地給予鼓勵及引導,藉由學習單、

學生晤談、錄影檢討,再修正自己的教學過程,讓學生能學得輕鬆,記得深刻,知 其所以然,體會數學遊戲的奧妙。

第二節 第二節 第二節

第二節 研究目的 研究目的 研究目的 研究目的

研究者期望透過個案研究的方式,除在數學教學中融入數學史外,並嘗試以創 新教學的精神發展負數教材的教學活動,希望將遊戲融入教學活動來協助學生、引

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導學生做有意義的學習,也希望能提供國中教科書編者及教師未來在數學教學上之 參考。本研究有兩項主要目的:

一、實施「數學史與數學遊戲融入教學」,了解學生的學習情形。

二、實施「數學史及數學遊戲融入教學」,了解學生學習態度。

基於前述的研究動機與研究目的,本研究所欲探討的問題如下:

一、實施「數學史與數學遊戲融入教學」對學生學習情形影響為何?

二、實施「數學史及數學遊戲融入教學」對學生學習態度影響為何?

第三節 第三節 第三節

第三節 研究假設 研究假設 研究假設 研究假設

研究主要對象為彰化縣某國中一年級學生,本研究欲了解數學史與遊戲融入教 學之班級,在數學學習態度之差異情形。根據研究目的與待答問題形成下列研究假 設:

一、針對國一數學「負數」單元,班上的學生數學學習態度並無顯著的差異。

二、針對國一數學「負數」單元,班上的男生,數學學習態度並無顯著的差異。

三、針對國一數學「負數」單元,班上的女生,數學學習態度並無顯著的差異。

第 第 第

第四 四 四 四節 節 節 節 名詞界定 名詞界定 名詞界定 名詞界定

一、數學史融入數學教學

係指在數學教學中,教師使用融入數學史的教材進行教學。

二、數學遊戲融入數學教學

係指在數學教學中,教師設計與數學單元相關遊戲,讓學生得以藉由數學遊戲 理解教材內容,並引發其數學動機,達到寓教於樂的效果。

三、學生的學習情形

係指學生在數學課堂的學習情形及學習單的填寫狀況,並由研究者透過自編問 卷、教室觀察、晤談及批改學習單來了解學生對於「數學史融入教學」及「數學遊 戲融入教學」的看法,以及活動後學生對學習數學的內容與興趣是否有幫助。

四、數學學習態度:

係指個體對數學學習所持有的一種持久而又一致的行為傾向,屬於數學態度中 的行為性成分(姚如芬,1993)。本研究改編自林星秀(2001)之「數學學習態度量 表」的得分作為其個人在數學學習態度上的指標。主要針對學生的學習慾望、學習 過程、學習方法、數學信念四個因素層面做瞭解。

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第五節 第五節 第五節

第五節 研究限制 研究限制 研究限制 研究限制

本研究旨在探討『數學史與遊戲融入數學-以「負數」單元為例』之『個 案研究』,係研究者設計數學史及數學遊戲於課堂上實施,來觀察學生的學習情 況。須考慮的研究限制如下:

一、本研究對象以研究者任教的一個班級為主,研究對象不多,因此結果的呈 現會有所侷限,故其在做推論結果時,宜明白此狀況,不可以過度推論。

二、並非每一單元內容都適合設計融入數學史教學,及數學遊戲,因此本研究 只針對國一課程的「負數」單元進行教學活動,配合實際教學進度,教學 活動時間僅 12 節課,若欲推廣為長時間使用,仍有待進一步研究。

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第 第 第

第二 二 二章 二 章 章 章 文獻探討 文獻探討 文獻探討 文獻探討

第一節 第一節 第一節

第一節 數學史融入數學教學 數學史融入數學教學 數學史融入數學教學 數學史融入數學教學

一、數學史融入數學教育的背景

國際數學教育會議(International Congress on Mathematical Education)

在1972 年注意到數學的發展深受社會文化的影響,因此成立了「Exeter 工作小組」

討論數學與歷史的關聯。1974年有兩個數學教師的會議,針對如何在數學教學中使 用數學史而設計教材;一個是〝數學史與數學教學之關聯〞工作小組會議,一個是

〝數學史中的個案研究〞討論會。1976年ICME 成立HPM﹙International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics,數學史 與數學教學的關聯之國際研究群﹚,以聯絡各國學者針對數學史在數學教育中的地位 與作用,進行國際性合作為宗旨。1980 年《For the Learning of Mathematics》

數學史專刊的推出。1983 年第四屆國際數學教育會議時更顯得熱絡,共出現了八篇 有關此一主題的文章,除了再次呼籲與說明數學的歷史、哲學與教學的關係及其重 要性之外,亦不乏有具體的建議與實例。1984年ICME 以連續四個討論會向學者介紹 數學史融入數學教學的理念;第一個討論會提出在教室中使用數學史的建議大綱;

第二個討論會探討能為教師及資賦優異學生所使用的數學史,藉助歷史將數學理論 與數學發現聯結起來;第三個討論會提出適合於中學生的歷史材料,第四個討論會 討論藝術以及數學歷史之間的教互作用。1987 年的國際數學之歷史與教育研討會、

1988 年數學史工作小組會議更將整個重點放在如何展現透過歷史材料的應用以改 進數學教學、1996 年ICME IIX 的會議、2000 年ICME IX 的會議、及2000年ICME 所 推出的專書《History in Mathematics Education》,都以如何有效的運用數學史為 研究目標(楊淑芬,1992b)。

數學史在數學教學之研究風氣可從Historia Mathematica 中看出來。例如 1984 年Arcavi 和Bruckheimer 發表的「為老師準備的數學史材料的發展與評價」

正在為職前與在職教師發展有關中學數學課程的數學史材料。每一主題的發展計畫 包括(1)一個簡明的歷史介紹,(2)歷史的來源作為主要來源。(3)這些來源資料 所引發的問題。在閱讀這些資料後,要求教師將文中的數學轉變為現代的符號,並 比較過去和現在處理上的不同,之後再進行討論。教師們可以由此的到更廣泛的問 題答案和進一步的背景資料(楊淑芬,1992b)。

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在我國,趙金祁教授近年來推動科學與人文的互動平衡,並呼籲科教界整合科 學哲學與科學史於科學教育在平衡科學與人文的重要性。蕭文強在1976年發表了「數 學發展史給我們的啟發」一文,文中談到從數學發展史來看,數學由生產實踐而來,

因此在教學中應該多留意實際的例子讓學生體會到這一點。許梁榮和李田英

(1995)、傅麗玉(1996)、林煥祥(1995)與洪振方(1996)等國內科學教育學者 積極投入科學史融入教學的工作。為進一步使用數學史的研究成果,來提昇數學教 師的品質與學生的學習成效。《HPM 台北通訊》於1998 年出刊,作為數學史與數學 教育的討論園地,邀請有志將數學史融入數學教學的教師,對相關議題發表看法。

研究者利用全國博碩士論文檢索系統搜尋,也可發現相關的論文,經整理如表 2-1-1,顯示出國內學者對數學史融入教學的重視。

表2-1-1 國內數學史融入教學相關研究之論文統計表

姓名(時間) 論文名稱

林志全 (2002)

融入數學史對高二學生數學學習成效影響之研究—以「二項式定理」

單元為例 陳建丞

(2002)

融入數學史教學對高一學生數學學習成效─以「和角公式」單元為 例

宋永耀

(2003) 融入數學史教學對高一學生數學學習成效影響之研究 翁培菁

(2002)

融入數學史教學對國一學生數學學習成效影響之研究—以「平方根 的的意義」單元為例

黃麗霓 (2003)

融入數學史教學對國三學生數學學習成效影響之研究-以「等比數 列」與「等比級數」兩單元為例

許淑清 (2003)

融入數學史教學對國二學生數學學習成效影響之研究─以「商高定 理」單元為例

王宏哲

(2002) 以數學史輔助學習的教學研究 郭蕙琳

(2002) 緣數學史探討數學學習中的情意與信念 蕭雅慧

(2002) 以數學史融入 PCDC 價值教學之行動研究 洪秀敏

(1997) 女性主義、數學史以及數學教育 楊淑芬

(1992) 從皮亞傑的認識論談數學史與數學教育的關聯

王義明 數學史融入教學對國一學生數學學習成效影響之研究—以「樣式與

(12)

(2003) 規律」為例 許長輝

(2003)

數學史融入教學對國三學生數學學習成效影響之研究--以[圓形]為 例

蔡佳燕

(2003) 數學史融入教學對高一學生數學學習成效影響之研究 馬婉華

(2005)

融入數學史教學對高一學生數學學習成效影響之研究-以「數學歸 納法」單元為例。

宋藍琪

(2006) 融入數學史教學對小五學生數學學習成效之實驗研究。

二、運用數學史與數學教學的作法

洪萬生(1996)在包括台灣師大數學系所『數學史』課程、數學教師暑期進修班、

數學教師短期講習班,以及應邀為初、高中數學教師演講 -- 討論HPM課題時,總是 再三強調在課堂上,教師運用數學史至少可以分成三個層次:

﹙一﹚說故事,對學生的人格成長會有啟發作用:

在『說故事』的實施來說,教師有沒有一點從容的心情或『雅興』,絕對是主 要關鍵。也就是說,教師只要平時喜歡閱讀數學家傳記,然後在課堂上多加練習,

久而久之大概就可以出口成章了。這種『雅興』嚴格說來無關數學或數學史『素養』!

﹙二﹚在歷史的脈絡中比較數學家所提供的不同方法,拓寬學生的視野,培養全方 位認知能力與思考彈性:

鼓勵學生針對數學知識進行反省。一旦他們認為數學除了可以而且必須『做

(或學著『做』)』之外,原來也可以『鑑賞』! 如此一來,教師或學生或有可能 逐漸體會數學是某脈絡中的一種知識活動(mathematics in context), 亦即它也 擁有豐富的歷史文化向度(或維度 dimension)。所以,學會了數學, 不僅我們的 生活經驗得以強化,同時,我們的文明品味也得以提升;尤其,我們也可以在這樣 的教學設計中,分享世紀末最令人矚目的『多元文化關懷』。如果教師有機會與學 生分享數學的文化意義,那麼,HPM 的最終關懷乃至於數學教育的理想,也一定可 以實現。這也正是我們所說的數學史運用的第二層次。

﹙三﹚從歷史的角度注入數學知識活動的文化意義,在數學教育過程中實踐多元文 化關懷的理想:

洪萬生(1999)建議的作法:

(13)

1.歷史「花絮」(snippets):譬如數學家的遺聞軼事、數學問題的起源以及古今方 法的簡單對比等等。

2.學生以歷史文獻為本的研究專案(project work),譬如下列專題『一次方程式:

歷史的回顧』、『任意角三等分』、『何謂代數學?』以及『歐幾里得 vs. 劉 徽』

等等,都可以讓學生組成小組,寫出專案研究報告

3.數學史的原始文獻(primary sources):譬如【幾何原本】與【九章算術】的研 讀與討論等等。

4.練習題(worksheets),其設計通常圍繞著簡短的歷史選粹(historical

extracts),伴隨著歷史背景的說明,再輔以了解數學知識內容的問題、所涉數學議 題的討論、今昔解法或處理的比較,以及這些選粹中的題解(solving problems)或 它們所引發的類似題解。

5.可立即供 2-3 堂課使用的「歷史套裝」(historical packages):譬如『古代數 碼與數系』,『古埃及算術與圓周長』,『巴比倫的二次方程解法』以及『九章算術 的分數計算』等等。

6.恰當地使用歷史上出現的謬誤(errors)、另類概念(alternative conceptions)、

觀點的改變(change of perspective)、隱含假設的修訂 (revision of implicit assumptions)以及直觀論證(intuitive arguments)等等。

7.歷史上的問題:譬如古希臘三大作圖題,不同文明所提供的畢氏定理證明,以及引 出解析數論的質數定理等等。

8.歷史上曾經出現的畫圖工具(mechanical instruments)。

9.回到過去的數學實驗活動,譬如使用古代的記號、方法及論證,來學習數學。

10.編劇本:譬如『柏拉圖 vs. 孔子』、『歐幾里得 vs. 劉徽』及『伽羅瓦的悲劇 一生』等等。

11.電影及其它視覺工具:譬如英國空中大學(Open University)所發行的數學史教 學影片等等。

12.數學古蹟的教學活動。

13.WWW 網路的使用。

第二節 第二節 第二節

第二節 數學遊戲融入數學教學 數學遊戲融入數學教學 數學遊戲融入數學教學 數學遊戲融入數學教學

(14)

一、數學遊戲教學的學習理念與特性

「遊戲導向教學法」是由 Aufshnaiter,Schwedes & Helanko(1984)所提出來 的,主張以開發有趣的單元活動教材來改善教學與學習情境。他們認為影響學生認 知推理過程中最重要的因素是:學生不斷的透過發展成長中的實際行動與感覺,把 事物、行動與實體等各方面建立成一個客觀化的系統,進而形成概念結構,並增加 其解決問題的能力(引自王明慧,1996)。

陳杭生(1993)指出,遊戲導向的教學課程內容、教學方法和應用教具三方面 有「教材遊戲化」、「教法遊戲化」、「教具玩具化」等特色,而這些教材和學習方法 使學童獲得直接經驗、學習和操作的手段。

王慧勤(1995)認為把數學遊戲運用在教學上,不但可以使教學遊戲化,以教 具為玩具,更具吸引力;在教學效果上,更可以藉視覺、聽覺、觸覺、感覺等多重 感官,來獲得知覺的概念。

徐右任(2001)認為運用數學遊戲教學,學童因為直接經驗的學習,即直接操 弄教具、教材,對兒童教具吸引力,配合競爭型態或是合作型態的學習,對兒童數 學態的幫助效果亦佳。

陳麗蓉(2002)認為數學的學習不應只侷限在數學知識、理論的內容,它的學 習應該是更多面向的。教師在教材與教學中採用遊戲化的數學教學活動,除了培養 學生思考、探究的能力,在數學學習中,應該也有動手操作、查詢相關內容的資料 及發表報告能力的培養和學習。

薛圳宏(2002)認為學生學習新概念,一般是由具體而抽象的,因此不論是教 學或評量設計,都希望能增加學生動手玩數學的機會。

還有學者提到遊戲教學法具有「競爭」的特性(王富雄,1994;饒見維,1996),

其實這就是一個社會互動的觀點。學習者與他人直接產生互動,學習是和情境、與 他人溝通的一種直接的結果,這是一種親身的經歷。

表 2-2-1 數學遊戲教學和態度構成規納表(引自徐右任,2001)

態 度 的 構 成

方法 特色

數 學 遊 戲 教

學 直接經驗

1. 遊戲的建構觀點:直接 操弄教具、教材。學習 是 由 學 生 藉 視 覺 、 聽

1. 對 後 續 行 為 有 較高的預測力。

2. 所 持 的 態 度 較

(15)

覺、觸覺、感覺等多重 感官直接經驗而來 2. 社會互動觀點:分組、

競爭、合作。學習是由 同儕直接互動而來。

3. 學習情境的觀點:設計 引起學童直接互動有趣 的情境。

具 信 心 、 較 確 定、結構清楚。

3. 記憶中的「易取 性」較高。

4. 不 易 受 相 反 立 場 的 說 服 訊 息 所影響。

5. 對 物 象 的 訊 息 較為深刻。

傳統式教學 間接經驗

1. 教師講解、學童被動吸 收。

2. 在 學 習 上 較 少 與 人 互 動。學童觀看、聽講。

3. 知識傳遞為先、較少情 意。

1. 所 構 成 的 態 度 對 行 為 較 無 預 測力。

2. 結 構 較 弱 也 較 易改變。

3. 記憶中的「易取 性」較低。

4. 較 容 易 受 相 反 立場影響。

5. 對 物 象 的 訊 息 較不深刻。

綜上所述,研究者認為配合活潑化的遊戲教學內容,能提升學生的學習興趣。

另外,透過競賽,能刺激讓學生主動思考,對所要學習的內容有比較深刻的印象。

饒見維(1996)提到數學遊戲教學必須具備下列四個主要特性:

(一)適度的挑戰性

在一個遊戲活動中,教師通常會設定某種思考的任務與目標,學生則必須設法 運用自己既有的數學知識來達成該任務或目標。而目標若是具有一些條件限制,則 此目標達成便具有挑戰性,學生可藉由克服這些含有挑戰性的目標來獲得成就感。

(二)競賽性與合作性

大多數的遊戲都具有某種競賽的成分,競賽往往能刺激人類好勝的天性,增加 活動的挑戰性與趣味性及學生參與活動的興趣與動機。數學遊戲的競賽便是藉由達 成任務的快慢,來完成某種數學答案的正確性與否,或完成某種數學成品的數量來 決定勝負。

(三)機遇性與趣味性

遊戲的過程具有某種機遇的因素,造成遊戲的趣味性,讓人沉迷其中。

(四)教育性

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良好的數學遊戲教學必須讓學生運用自己的數學知能來解題、精熟有關的數學 技能,以達成教學目標。因此,數學遊戲教學的最大特性便是訓練學生的思考能力。

研究者依上述特性,確定「負數」單元的教學目標,設計具有思考性、可操作 性、有趣性的教學活動,並藉由小組競賽、改變活動規則,讓活動更具挑戰性,刺 激學生的學習。

二 數學遊戲教學的相關研究

Max A. Sobel & Evan M. Maletsky(1988)認為數學遊戲是很有效的萬靈丹,

它除了純屬消遣,引起學習動機和興趣外,經由許多遊戲還可以引導學生建立公式 和測驗假設,發現贏的策略。這種思考方式的發展,長久以來公認是數學教學上很 有價值的成果。

Keller(1990)在研究策略性遊戲對於發展學生積極的態度、對問題解決的堅 持度中發現,學生在學習動機、學習態度、對問題解決的態度上和堅持度都有明顯 的提升。

趙文敏(1981)相信數學遊戲對學生的吸引力比正統數學來的大。如果在課堂 上,能夠針對各種數學單元,舉出一些與這個單元有關而又有趣的數學遊戲,在學 生的學習情緒與效果上,會有相當的改善。

孫文先(1996)認為富趣味的數學不僅可以激發人們研究數學的興趣,而且具 有誘導人們認識新鮮事物、新概念的魅力,使人們的推理能力不斷的提升和發展。

王克蒂(1998)採準實驗設計方式研究數學遊戲教學的效益研究,透過 15 個隸 屬三種不同類型的數學遊戲,藉由生動活潑的遊戲教學提高兒童學習數學的興趣。

經統計分析研究結果,發現數學遊戲在策略和空間能力的問題上具有顯著的效果。

在計算能力方面沒有明顯的改變。男生在有效互動的平均次數皆優於女生。有 87.5%

的學生喜歡數學遊戲,46.9%的學生認為數學遊戲教學對其個人在學習上具有某種程 度的功效。

林嘉玲(1999)在國小的數學教學中,將數學遊戲融入建構教學,研究結果發 現,選擇適當的教學策略能有效的協助學生建構概念,引起學生的學習興趣及促進 學生的思考。把遊戲融入教學活動中,不但能提升教師的教學能力,還能引起學生 的學習興趣,並讓學生覺得生活中處處有數學。

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張宛瑜(2000)採用合作行動研究方式,研究在教室層級的彈性課程中發展數 學活動的教學。結果發現,數學活動讓學生更能體驗生活中的數學,也增加教室中 的互動;在教師方面,能夠更注重學生的想法,將生活情境運用在數學教學中。

田興蓉(2003)採質性研究的方法,探究十個不同性質的數學遊戲對四位不同 學習動機學生所產生的影響,並觀察國一學生對實施數學遊戲教學的接受情形。研 究結果發現,在國一課室中實施數學遊戲教學法,能增強學生的學習動機,且有助 於數學概念的學習。

葉盛昌(2003)採行動研究方式對五年級的學生進行為期三個多月的數學教學 研究,發現大多數的學生喜歡遊戲式的數學教學模式,學生在實驗教學後表現出自 信,尤其多數的學產生信心、決心去完成其他例行性數學題目,學習態度上也顯出 有正面的效果。

方姝蘋(2005) 採個案研究法,主要在探討以數學遊戲為主題的數學教學活動,

針對研究者的教學進行研究,藉由把「合作式數學遊戲教學法」融入教學中,探究 學生的學習情形及學習感受,發現可增加在課堂上思考的機會、增加和同學溝通討 論的機會,並增加數學學習興趣、上課參與度、觀念統整及同學間的感情。

根據美國多位教育學者的研究,透過遊戲、實驗與團隊合作的學習效果最好。

在遊戲中引發一連串比較、判斷、預測、想像的心智活動,提供學生在實際狀況中 設計、演練與實際構想,激發學生互相指導、共同解決問題與達成共同目標,學生 將不再視同伴為競爭者,而是可貴的學習資源。不論是遊戲、實驗或團隊合作的小 組,這種以學生為中心的教學方式(child-driven learning environment)已逐漸 成為教育的主流。(引自 許芳菊 ,1996)

從遊戲中學習,不但涉及認知能力,亦涉及性情、官能、社群各領域能力。具 勝負的遊戲更能提高參與者解決難題、觀察與分析、運用不同策略之能力。(引自 黃 毅英,1997)

綜合上面研究結果所述,研究者認為透過遊戲的確是一種增加學習效果的教學 方式。因為遊戲讓學生降低對數學的恐懼感、跟數學更加親近,只要學生願意踏進 數學的圈圈裡,數學就不再是那麼深不可測的學問。教師透過引導的方式,讓學生 在遊戲中不知不覺的學習到應有的數學概念與知識,這樣不僅可達到學習的目的,

(18)

也讓師生之間的關係更加融洽,讓學生快樂的學習,這正是研究者所深切期盼的。

「凡走過必留下痕跡」

,千萬不要怕學生什麼東西都沒學到,研究者相信透過這

樣的教學方式,學生所學會的或許是數學的概念,或許是觀察、邏輯推理的能力,

或許是與同學相處的技巧,哪怕只是一顆快樂學習的心,都是有教育價值的。

第三節 第三節 第三節

第三節 負數概念之 負數概念之 負數概念之迷思概念 負數概念之 迷思概念 迷思概念相關研究 迷思概念 相關研究 相關研究 相關研究

筆者將歷年對學生負數概念之迷思概念研究整理如下:

一、負數的錯誤類型:

(一)誤將負號後的式子獨立運算。

(二)誤認為兩數相減也可以使用交換律。

(三)誤認為與負數相關的加減運算,可使用「大數減小數,再加上負號」的運算 規則。

二、數線的錯誤類型:

(一)誤認為兩個負整數之間的等分點應該從左邊數起。

(二)若1與2之間有3個等分點,誤認為此3等分點所代表數字分別是1.1,1.2,1.3。

(三)誤認為「標出某數所對應的點」就是畫出該數的相反數。

(四)誤認為小數點後的數字就是等分點的數目。

(五)誤認為有小數點的數,就畫10個等分點。

(六)認為要畫在數線上的數,只要畫出大概的位置就可以。

(七)誤認為兩個數之大小,由其數字的大小決定。

(八)誤認為帶有負號的數一定比正數小。

三、相反數的錯誤類型:

(一)誤認為-(-3)的相反數是3。

(二)誤認為-甲必為負整數,而非甲的相反數。

(三)誤認為只要是一正一負的數就是相反數。

(四)誤認為與原點距離相同或絕對值相同的2 個數就是相反數。

四、絕對值的錯誤類型:

(一)誤認為與原點相距10單位的數,是與原點距離10單位之內的正整數或所有整 數。

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(二)誤認為「絕對值等於5的數」與「絕對值小於(或小於等於)5的數」題目相 同。

(三)誤認為存在某數的絕對值為負數。

(四)誤認為題目有「絕對值」的詞彙,答案就應該加上絕對值。

(五)誤將絕對值當成括號來處理 五、其他

(一)Hativa & Cohen(1995)對學生的訪談中發現, 學生的負數概念有正確及錯 誤答案如下:

表2-3-1 學生的負數概念有正確及錯誤答案

正確答案 錯誤答案

1. 一個0 以下的數比0 小;

2. 比所有的正數小;

3. 在0 的左邊;

4. 0 減去某些事物;

5. 小數減大數;

6. 用式子表示, 如5 -8 ;

7. 或在數線上畫一個數在0 的左邊;

8. 用日常生活的具體經驗來比喻。

1. 少量;

2. 不存在這種數;

3. 不知道;

4. 0 。

(二)Murray,J.c.(1985)在訪談的過程中發現9-13歲的學生有錯誤使用交換律 的情況。此外,根據他對學生的訪談結果發現造成學生答錯的主因是誤用老師所教 的規則,因為他們只會不解其義的模仿或重複數學基本規則所以在解釋為何特定的 答案是正確時就遭遇到困難。

(三)Kuchemann(1981)發現從加法題中所顯示的主要錯誤類型,可看出有些學生 並未使用數線移動而是拭著利用規則來解題;其中包含了忽略第一個整數的符號,

且當地二個整數為「正」時就數字相加,為「負」時就相減,而答案為負的題目大 致上比答案為正數難。相較之下,在減法題中錯誤答案的類型相當明顯,減數為正 數時,主要策略似乎先做減法運算,然後再決定答案的符號,當題目的減數為負數 時,大多數學生似乎會用或誤用負負得正的規則。(-6-3,-2-(-5))的答對 率不到一半,所以較能測出學生對減法的了解。

(四)McAuley(1990)的研究指出學生之所以會在負數運算規則如符號法則上發生 困難,主要是因為對於運算符號和性質符號間的誤解。

(20)

第三章 第三章 第三章

第三章 研究方法與過程 研究方法與過程 研究方法與過程 研究方法與過程

本研究主要是在探討經由實施「數學史與遊戲融入數學教學」後,學生的學習 情形及學習態度為何,藉此修正教學活動設計。本研究採取個案研究的方式進行。

本章將介紹研究設計與對象、研究者的經歷、教學理念與角色、研究工具、研究流 程、資料蒐集、資料分析的方法、研究的信效度,分別說明如下:

第一節 第一節 第一節

第一節 研究設計 研究設計 研究設計 研究設計

本研究選取研究者任教國一班級作為研究的對象。將適合國一課程第一章「整 數與數線」的數學遊戲和數學史帶入課堂中,讓學生能體驗一下不同的數學上課方 式藉此提升學生的數學學習興趣。

本研究設計說明如下:

表 3-1-1 研究設計說明 實施時間 三星期,共 12 節課

教材內容

國中數學第一冊第一章 1-1 正負數與絕對值 1-2 整數的加減

實施方式

1、 「數學學習態度量表前測」

2、 採數學史融入教材方式,利用投影片配合教學 3、 填寫「數學史融入負數單元學習單」

4、 遊戲一:「數線數線我愛你」

5、 填寫「數線數線我愛你」上課方式意見調查表及學習 單

6、 遊戲二:「我是好野人」

7、 填寫「我是好野人」上課方式意見調查表及學習單 8、 填寫「數學遊戲融入教學之學習回饋問卷」

9、 「數學學習態度量表後測」

第二節 第二節 第二節

第二節 研究對象 研究對象 研究對象 研究對象

本研究選取研究者任教國一班級作為研究的對象,共 34 位學生,本校皆採常態

(21)

編班,係由彰化縣政府統一入學測驗,再依成績 S 型編班,故學生程度好壞不一。

第三節 第三節 第三節

第三節 研究工具 研究工具 研究工具 研究工具

為了達成本研究的目的及完成待答問題,本研究採用包括融入數學史教材、數 學遊戲融入數學教學、工作單、數學學習態度量表、學習回饋問卷及與學生一對一 晤談設計。分述如下:

一、融入數學史教材

本實驗單元為翰林出版社所編第一冊 1-1 正負數與絕對值及 1-2 整數的加減。

實驗者收集相關資料,考量學生的程度,再整理、編輯成上課所使用的教材並利用 投影片呈現﹙參閱附錄一﹚。數學史資料的來源如下:

(一)翰林出版 97 年版﹕國中數學第一冊

(二)翰林出版 97 年版﹕國中數學第一冊教師手冊

(三)曹亮吉(1997):阿草的葫蘆-文化活動中的數學。財團法人遠哲科學教育基 金會。

(四)William P.Berlinghoff/ Fernando Q Gouvea(2008)/洪萬生、英家銘暨 HPM 團隊譯:溫柔數學史。博雅書屋。。

(五)袁小明(1995):數學誕生的故事。台北市:九章出版社。

(六)九章出版社(1992):數學家傳奇。台北市:九章出版社。

二、數學遊戲融入數學教學

研究者除在數學教學中融入數學史外,並嘗試以創新教學的精神發展負數教材 的教學活動,希望將遊戲融入教學活動來協助學生、引導學生學習,期盼能對學生 在學習負數此一單元方面有正向影響。為達此一目標,在研究過程中,研究者先蒐 集資料,然後編寫學習單,在課堂中,研究者必須隨時注意學生的個別狀況,隨當 地給予鼓勵及引導,藉由學習單、學生晤談、錄影檢討,再修正自己的教學過程,

而學生也能學得輕鬆,記得深刻,知其所以然,體會數學遊戲的奧妙。在負數單元 共設計「數線、數線,我愛你!」及「我是好野人!」教學設計活動,教學設計的 理念與說明如下:

(一)「數線、數線,我愛你!」教學設計活動

本研究教學設計的理念係透過遊戲引導學生認識數線並藉由數學遊戲使學生對

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於數線概念更具體化,接著引入相反數、數值大小、絕對值等概念,將傳統式教學 即教師講解、學生被動吸收轉變為學生親身參與,直接提昇學生學習成效與學習興 趣並獲得數學的知識概念。

表 3-3-1 「數線、數線,我愛你!」活動設計說明

「數線、數線,我愛你!」

適用年級 七年級

教學目標

1. 學生能正確理解正負數的意義,並了解隨著原點(或單位長)

的改變,其對應位置(座標)會隨之改變。。

2. 能在數線上操作簡單的描點,並認識相反數及絕對值 教學時間 一節課(四十五分鐘)

活動規則

• 將學生排成三列並坐下,如下圖。

第一列○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 第二列○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 第三列○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

1. 由老師指定某一縱列學生當原點,當老師說出的數字該位學 生所對應的點時,該學生須立刻站起來,最慢的那列須整列起 來大喊:「數線、數線,我愛你!」。

2. 老師每次須下指令,以…當原點,我要找坐標為….讓學生得 以觀察自己所對應點的變化。

佈題

1.以「傑倫」當原點,我要找坐標為「3」的同學

2.以「霈岑」當原點,我要找坐標為「-3 的相反數」的同學 3.以「緻玲」當原點,我要找坐標為「2 的絕對值」的同學 4.以「庭封」當原點,我要找「與原點距離 2」的同學 5.以「柏知」當原點,我要找坐標「絕對值等於 3」的同學 6.以「段玉」當原點,我要找坐標「絕對值小於 3」的同學

本研究教學活動的變化很多,隨著老師下達的指令不同,答案自然不一樣,此 外,時間也可彈性運用,針對不同的主題活動時須講解並讓學生示範一次,再進行 遊戲,遊戲結束後立即進行綜合練習。

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1. 基本對應點的認識,並作示範一次,ex:-5 2. 相反數的認識 ,並作示範一次,ex:-5 的相反數

3. 絕對值的概念 ,並作示範一次,ex:-5 的絕對值、絕對值是 3、或是絕對值 小於(等於)3 的點。

4. 將單位長放大,每一個人的間隔是 1/2,讓學生觀察自己的對應點。

5. 學生必須隨時注意老師下達的指令,並作適時反應。

最後,學生熟練之後,三列學生一起比賽,出局人數達三次可要求喊「□□、

□□,我愛你!」,氣氛可達最高潮。

(二)「我是好野人!」教學設計活動

(1)介紹中國古代的計算工具-算籌:

中國古代數學家用來進行計算的工具並不是現代的數字,而是算籌。「籌」就是 一些小竹棍。中國古數學家就用這些小竹棍擺成不同形式來表示不同的數,並進行 各種運算,而使用這種「籌」來進行的計算,叫作「籌算」(李儼,1983)。至於算 籌上正數與負數的表示法,劉徽在「正負術」的注文中說:「今兩算得失相反,要令 正負以名之,正算赤,負算黑,否則以邪正為異。」換句話說,以紅色的算籌代表 正數,以黑色的算籌表示負數(趙文敏, 1985),而其中「今兩算得失相反,要令 正負以名之」就是說得(或正)算要用正數表示,負算要用負數表示的意思(洪萬 生,1991)。

(2)正式活動:

A. 教師先介紹撲克牌的花色,紅色代表正的財產,黑色則代表負的財產(也就是 負債),而英文數字 J、Q、K、A 分別代表 11、12、13、1,鬼牌為 0。

B. 教師示範數次,引導學生了解每張牌代表的財產:舉例如拿到紅色 A 代表賺了一 元,而拿到黑色 Q 則代表損失十二元,如果拿到這兩張牌則代表負債(損失)

了十一元,並抽問幾位學生,使他們能作初步的連結。

C. 教師說明遊戲規則

表 3-3-2 「我是好野人!」教學設計活動

a.每組 5-7 人,每組各領紅、黑花色各 13 張,鬼牌 1 張,故每副撲克牌可提供兩組 玩。

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b.每人發四張牌較適當,以每組六人為例,剩下三張牌需蓋住放在桌上。

c.遊戲開始時,由其中一人先將手上一張牌放在桌上並將另三張牌抽回其中一張,

接著下一位同學,依此類推。

d.每個人計算自己的財務狀況,自己覺得最多時可以喊「暫停」(但至少須經過一輪 後才可以喊);

e.若有人喊「暫停」,此時每人須亮排,若喊的人最多錢,則比賽結束,並登入每個 人現有的財產於帳簿內,若喊暫停的人並非最多錢,那他的錢就要跟最低的人互換 並登入於帳簿內。

f.重新洗牌後,再繼續進行,進行五回合看誰的財產總額最多,即獲勝。

D. 教師在旁邊進行觀察學生是否依照規定玩撲克牌,並給予適度的指導。透過此 活動的設計,可以一邊遊戲一邊練習正負數的加法。

三 三 三

三、、、、上課方式意見調查表及學習單

本研究是採用方姝蘋(2003)所編制的上課方式意見調查表修改而成,共有二份

(參閱附錄二及附錄三),而學習單共三份(參閱附錄四、附錄五、附錄六)係依據 相關數學史料及數學遊戲的內容,將課本所強調的概念與重要應用的內容以問題的 方式呈現在學習單上,並提供不同的情境,讓學生解決問題,。

四、數學學習態度量表

本研究是採用林星秀(2001)所編製的數學學習態度量表﹙附錄七﹚。

第四節 第四節

第四節 第四節 研究流程 研究流程 研究流程 研究流程

本研究共分為準備階段、預試階段、正式施測階段及資料處理與分析等四個階 段:

一、準備階段

研究者於97年8月確定研究主題,再請指導教授協助進行蒐集並閱讀相關文獻資 料,再依此編製融入數學史教材、工作單、數學史融入教學之學習回饋問卷以及選 用林星秀編製的數學學習態度量表﹔再根據實際任教狀況選擇實驗的對象。

二、預試階段

於97年9月初對學生進行「數學學習態度量表」預試,施測時間為45分鐘。

三、正式施測階段

(25)

﹙一﹚、實施前測:

民國 97 年 9 月初對學生進行「數學學習態度量表」前測,施測時間為 45 分。

﹙二﹚、教學實驗:

前測結束後即開始進行實驗教學,實驗期自民國97年9月第二週至民國97年9月 第四週,共三週,計12堂課,每堂課45分鐘;實施數學史及數學遊戲融入教學。

﹙三﹚、實施後測:

上完數學史融入負數單元的下一節填寫數學史融入教學之學習回饋問卷,以數學遊 戲融入教學單元結束的下一節馬上填寫學習單,並民國97年9月第四週填寫數學學習 態度量表,以及進行晤談。

第五節 第五節 第五節

第五節 資料處理與分析 資料處理與分析 資料處理與分析 資料處理與分析

收集數學學習態度量表前後測問卷、數學史及數學遊戲融入教學之學習單、上 課意見調查表與個別晤談記錄後,進行資料分析。

一、質性資料的分析方法

Taylor 和 Bogdan(1984)提出質性資料的分析可參考下列方式去檢視及分析 資料:1.重複閱讀已蒐集的資料;2.追蹤著主題、預感、解釋和概念;3.尋找資料 中呈現的主題;4.建構分類的架構;5.發展概念和理論主張;6.閱讀文獻;7.發展 一個故事的路線或情節(引自黃瑞琴,1991)。Denzin 曾提出四個形式的三角校正 方法:(1)方法三角校正:採用不同的資料蒐集方法,例如問卷、訪談和量表等等,

檢驗研究發現的一致性;(2)來源三角校正:在同一方法中檢驗不同資料來源的一 致性,例如分別從學生和老師等各方面蒐集有關同一事件的資料;(3)分析者三角 校正:使用多個分析者,邀請研究夥伴或是同一領域的專家重新審查研究發現;(4)

理論三角校正:使用多種觀點和理論去詮釋資料(引自林淑美,2000)。

在資料分析時,本研究參考 Elloitt(1991)、Feldman(1994)、McNiff(1988)

三位學者對提高研究效度的建議,在下文中說明本研究效化資料與提高可信賴度

(trustworthiness) 的做法:

「可信度」(credibility)是指真實的收集多方相關資料以克服錯誤或失真資 訊所帶來的影響,目的在於正確地了解與詮釋資料。因此研究者在本研究過程中收 集多方資料,包括教師準備資料、學生學習單、學生聯絡簿的回饋、晤談資料、問

(26)

卷等;並利用觀察幫助研究者發現在情境中與研究問題相關的事件特徵,期望能反 映出研究情境的真實性。

「可認定度」(conformability)乃在於減少研究發現的偏差,在研究中尋找立 足於不同觀點的人們之看法,進行三角校正資料的工作,以提高研究的中立性。也 就是指研究的所有資料、解釋及發現均源於研究的情境,有依據及出處可循,並非 研究者自己的想像或偏見。

在本研究的資料蒐集與分析過程中,研究者與指導教授、研究所同學、服務學 校的同事討論,交換教學心得,以幫助研究者澄清觀念和想法。

本研究蒐集的資料多為質性的資料,為了增加資料分析的可靠性

(accountability),乃參考上述的建議來幫助研究的分析,其過程如下:

(一)初步分析

研究者將所有資料按照時間順序排列、研讀,同時進行編碼工作。資料包括:

學生學習單、教學錄影帶的轉錄資料、問卷、晤談資料的回饋等。質性資料編碼的 代號如下:

表 3-3-3 質性資料編碼

資料來源 代號

訪談資料 A

學習單回饋 B

上課方式意見調查表 C

研究者將資料編碼,以利讀者閱讀,訪談資料用 A1 代表編號 1 號學生的回答。

B15 代表編號 15 號學生在學習單上所作的回饋,T 為教師。

(二)歸納分析

編碼完後,依照研究問題與時間流程將原始證據作比較與對照,並且比較各編 碼間的屬性,以便統整與歸納特性相似的編碼在同一種類別。

(三)撰寫報告

研究者對原始資料進行有意義的分析之後,即著手敘述與詮釋資料,盡量詳盡 描繪研究者的教學策略、學生的學習情形及對學生的影響。

二、教學過程中所發展的「數學學習態度量表」問卷量表

本研究是採用林星秀(2001)所編製的數學學習態度量表﹙附錄七﹚,計有試題 30 題,包含正向試題17題,負向試題13題,因區域不同,年齡不同,故本研究選取 68位國ㄧ學生來分析本表的信度與效度是否顯著。計分的方法採五點李克氏

(27)

(five-point Likert scale),分為5種計分方法。正向題的計分方法為非常同意5 分,同意4分,沒意見3分,不同意2分,非常不同意1分;反向題的計分方法為非常 同意1分,同意2分,沒意見3分,不同意4分,非常不同意5分。以Cronbach α係數 來考驗量表的內在信度,總量表的α係數為0.9050,代表此量表的信度頗佳;再以 獨立樣本t-檢定考驗高低分組在每個題項的差異,求出問卷個別題項的決斷值

( critical ratio),作為量表鑑別度的指標,結果如表3-3-3。由於全部題項的t 值 均達顯著(P 值<0.05),代表全部題項均具有鑑別度,故採用時不必刪修題目。

表 3-3-4 數學學習態度量表各題之鑑別度、總信度

因素分析 題項 P 值 Cronbach α係數 4 .000

5 .000 6 .000 7 .000 10 .000 12 .000 18 .000 19 .000 20 .000 22 .000 24 .000 27 .000 29 .000 學習慾望

30 .000

3 .05

11 .000 13 .000 14 .000 23 .000 25 .000 學習過程

26 .000

學習方法 1 .000

0.9050

(28)

2 .000 9 .000 17 .000 8 .000 15 .000 16 .000 21 .000 數學信念

28 .000

(29)

第四章 第四章 第四章

第四章 研究結果與討論 研究結果與討論 研究結果與討論 研究結果與討論

在實施「數學史與遊戲融入數學教學」的過程中,研究者設計課程教材,利用 學習單、上課意見調查表方式等回饋問卷,配合教室錄影,訪談記錄,觀察學生學 習的情形。以下分成二節說明,第一節是學生在各單元的學習情形,第二節是學生 對於「數學史與遊戲融入數學教學」的數學學習態度比較。

第一節 第一節 第一節

第一節 學生在各單元的學習情形 學生在各單元的學習情形 學生在各單元的學習情形 學生在各單元的學習情形

本節是根據研究者觀察學生學習時,針對上課教學活動進行期間,學生上課方 式意見調查表、學習單的填寫及學生的反應情形來加以分析。研究者將資料編碼,

以利讀者閱讀,訪談資料用 A1 代表編號 1 號學生的回答。B15 代表編號 15 號學生 在學習單上所作的回饋,T 為教師。質性資料編碼的代號如下:

表 4-1-1 質性資料編碼

資料來源 代號

訪談資料 A

學習單回饋 B

上課方式意見調查表 C

一、數學史融入教學活動

利用數學史融入負數單元,讓學生了解負數的演進以及計算方式,以下是研究 者從學生填寫學習單的回饋情形:

你覺得將歷史融入數學教材中對你的學習是否有幫助?

B15:大概有吧,因為我從來不知道小小的負數數字也有一段為人不知的歷史 B8:有,因為可以藉由以前的算法和現在比較使上起來超有趣

B12:有,因為可以知道古代的數學和現代有什麼差別 B21:沒有,因為古代的數學我看起來很難的樣子

B2:以前有許多數學題目知道怎麼算卻不知道如何列式,了解歷史能知道計算符號 怎麼來的列式就比較容易。

由學生的課堂學習反應及學習單回饋,研究者發現大部分學生喜歡融入數學史 課程,因為比較有趣,不再是枯燥的計算和公式,上課的反應也較熱烈。

二、數學遊戲融入教學活動情形分析

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(一)『數線、數線,我愛你!』教學活動情形分析

實施本研究教學活動『數線、數線,我愛你!』過程中,研究者透過學習單、

上課方式意見調查表,以及教室錄影,訪談學生,來觀察學生的學習情形。

『數線、數線,我愛你!』學習單是在活動結束後的下一次上課填寫的,目的 是要了解學生對此活動的感想及對數線的認知狀況,研究者從教室錄影觀察、學習 單以及上課方式意見調查表的填寫情形、訪談,研究者得到以下發現:

1. 小組競賽好玩又刺激,可提高學習慾望與樂趣

根據同學的學習單,參與的全部學生(共 31 位)均很喜歡這種上課方式。過程 中,學生都非常積極的聆聽老師的指令,最後進行的殊死戰,累積到三次出局的那 一列要受到懲罰,經研究者詢問其他同學的意見,一致要求受罰的那一組需上講臺 喊『「班長」、「班長」,我愛你!』,整班陷入瘋狂狀態。

B2:「因為我喜歡可以玩又可以學到新知識的上課方式,本來覺得困難,經過這 次,覺得簡單多了,不過希望處罰別那麼噁心」

B26:「在遊戲中學習不但能讓人印象深刻,容易熟記,還能增進學習的樂趣」

B27:「因為我覺得很有趣,大家都一直笑,而且俗話說每天三大笑,身體好健 康,所以我希望以後都可以這樣上課,才不會死氣沉沉」

A11:「可以讓我們的精神集中在課堂上」

A7:「希望下一次可以再玩」

B22:「還好,因為找數線很有趣,不過…總處罰還蠻”丟臉”的,不過真的很 好玩」

B3:「因為大家玩得很瘋」

C9:覺得蠻好玩的,可惜一節課時間一下子就過了。

2. 增加同學間的互動與情感

因為競爭的的關係,各組員間會互相提醒,無形中也增進彼此之間的互動,此 外,學生對研究者的觀感也產生微妙的變化。

B1:「還不錯,大家都非常開心,同學間可以互相提醒,拉近同學和老師的距離,

而且處罰的方式很有趣,被罰最多次的那排,也就是我們這一排,要遭到最殘酷的 處罰,就是到台上跟班長 say「我愛你」,實在有點噁」

參考文獻

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