以MOEA/D結合適應性區域搜尋求解多目標定序流線型工廠排程問題
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(2) 中文摘要 本 論 文 將 MOEA/D 應 用 於 求 解 多 目 標 定 序 流 線 型 工 廠 排 程 問 題 （multi-objective permutation flowshop scheduling problem），已知多目標定序流線 型工廠排程問題是一個 NP-hard 問題，無法確保在多項式時間內將該問題求得最 佳解。在這個問題中有多個零件（job）需要依序送入機器（machine）中加工， 而每個零件根據製程（operation）不同而有不同的加工時間（processing time）； 所有零件皆加工完成的時間為最大完工時間（makespan），而每個零件的完工時 間總和為總流程時間（total flow time） ，我們希望能同時最小化最大完工時間與總 流程時間，但縮短最大完工時間可能使得總流程時間增加，反之亦然；然而，我 們可以求出非凌越解（non-dominated solution） ，這些解在目標空間形成一條柏拉 圖前緣（Pareto front） ，我們的目標是求解得到盡量靠近真實解，且分佈越完整的 柏拉圖前緣。 過往文獻中，使用 MOEA/D 這種將目標空間（objective space）分解的方法 並不多；本論文深入探討 MOEA/D 流程中各個操作對效能之影響；除此之外，我 們使用區域搜尋強化解的品質，並探討不同搜尋方式對效能之影響。我們使用 Taillard 測試問題集進行實驗分析，並與知名演算法比較，本論文提出的演算法在 中、大型的問題具有較好的效果。. 關鍵字：多目標、定序流線型工廠排程問題、MOEA/D、區域搜尋 i.
(3) 誌謝 這篇論文能夠順利完成，很感謝指導教授蔣宗哲博士在研究方向上給予我很 多寶貴的建議，教授的教導對我十分有幫助，不論是培養寫程式的技能與習慣， 或是論文撰寫的技巧，以及嚴謹與精確的研究方法，讓我不僅學會如何做研究， 更讓我充分體會認真、一絲不苟的做事態度。同時也感謝賀耀華教授，雖然相處 時間不長，但扎實的訓練讓我學會許多解決問題的方法，也讓我在整理大量文獻 時能更加迅速。 除此之外，我也感謝實驗室陪我一起埋頭苦幹的同學們，感謝廷翰常常泡咖 啡給大家喝，除了提振精神也順便排解遇到瓶頸的苦悶；感謝震昱分享許多最新 演算法的研究，節省了很多獨自搜尋與閱讀文獻的時間；感謝映萱經常一起討論 研究中遭遇的困難，激發許多天馬行空的點子；感謝偉儒、昱翰、孟霖、中儀、 昌宇與佑欣以及學弟妹們時不時給予的支持與鼓勵，也感謝崇德社學長姐與學弟 妹們對我的關心，讓我在研究低潮時能咬緊牙關繼續走下去；最後，感謝我的家 人在這幾年來的陪伴，讓我能順利完成學業。 謹以本文獻給曾經給予我挫折與信心的每一個人，因為有你們才能造就今日 的我，謝謝。 張祐騰 謹致 國立臺灣師範大學資訊工程學系 中華民國一○五年十二月三十一日 ii.
(4) 目錄 中文摘要.......................................................................................................................... i 誌謝................................................................................................................................. ii 目錄................................................................................................................................ iii 附表目錄......................................................................................................................... v 附圖目錄........................................................................................................................ vi 第一章 緒論 ............................................................................................................... 1 1.1 研究背景與動機 .............................................................................................. 1 1.2 研究目的、方法與貢獻 .................................................................................. 5 1.3 全文架構 .......................................................................................................... 6 第二章 文獻探討 ....................................................................................................... 7 2.1 軌跡式搜尋法 .................................................................................................. 7 2.1.1 合併式演算法 ............................................................................................ 7 2.1.2 柏拉圖凌越式演算法 ................................................................................ 8 2.2 族群式搜尋法 ................................................................................................ 10 2.2.1 合併式演算法 .......................................................................................... 10 2.2.2 柏拉圖凌越式演算法 .............................................................................. 12 第三章 以 MOEA/D 結合適應性區域搜尋求解多目標定序流線型工廠排程問題 .................................................................................................................................... 15 3.1 MOEA/D ......................................................................................................... 15 3.2 演算法流程 ..................................................................................................... 19 3.3 染色體編碼與解碼 ......................................................................................... 21 3.4 族群初始化 ..................................................................................................... 22 3.5 親代選擇機制 ................................................................................................. 23 3.6 交配與突變 ..................................................................................................... 23 3.7 評估個體 ......................................................................................................... 24 3.8 族群更新機制 ................................................................................................. 25 3.9 區域搜尋 ......................................................................................................... 27 3.9.1 搜尋對象 .................................................................................................. 28 iii.
(5) 3.9.2 搜尋方向 .................................................................................................. 29 3.9.3 鄰域函式 .................................................................................................. 30 3.9.4 資源分配機制 .......................................................................................... 32 第四章 實驗數據與效能評比 ................................................................................. 33 4.1 測試問題與實驗環境 ..................................................................................... 33 4.2 效能指標 ......................................................................................................... 33 4.3 實驗設定 ......................................................................................................... 35 4.3.1 參數設定 .................................................................................................. 35 4.3.2 全域搜尋對效能之影響 .......................................................................... 38 4.3.3 區域搜尋對象對效能之影響 .................................................................. 42 4.3.4 區域搜尋方向對效能之影響 .................................................................. 44 4.3.5 鄰域函式策略對效能之影響 .................................................................. 46 4.3.6 資源分配機制對效能之影響 .................................................................. 47 4.3.7 初始化方式對效能之影響 ...................................................................... 50 4.4 比較對象 ......................................................................................................... 52 4.5 效能比較結果 ................................................................................................. 52 第五章 結論與未來展望 ......................................................................................... 55 參考文獻....................................................................................................................... 56. iv.
(6) 附表目錄 表 3-1 加工時間範例 ................................................................................................... 21 表 4-1 Taillard 測試問題 ............................................................................................ 33 表 4-2 族群大小與鄰域規模（Npop, Tn）實驗結果（HV↑） ................................. 36 表 4-3 族群大小與鄰域規模（Npop, Tn）實驗結果（IGD↓） ................................ 36 表 4-4 不同評估個體方式 ........................................................................................... 38 表 4-5 全域搜尋（正規化方式/取代機制/適應值計算方式）實驗結果（HV↑） 39 表 4-6 全域搜尋（正規化方式/取代機制/適應值計算方式）實驗結果（IGD↓） ....................................................................................................................................... 40 表 4-7 區域搜尋對象實驗結果（HV↑） ................................................................. 43 表 4-8 區域搜尋對象實驗結果（IGD↓） ................................................................ 43 表 4-9 區域搜尋方向實驗結果（HV↑） ................................................................. 44 表 4-10 區域搜尋方向實驗結果（IGD↓） .............................................................. 44 表 4-11 鄰域函式策略實驗結果（HV↑） ............................................................... 46 表 4-12 鄰域函式策略實驗結果（IGD↓） .............................................................. 46 表 4-13 資源分配機制實驗結果（HV↑） ............................................................... 48 表 4-14 資源分配機制實驗結果（IGD↓） .............................................................. 48 表 4-15 族群初始化方式實驗結果（HV↑） ........................................................... 50 表 4-16 族群初始化方式實驗結果（IGD↓） .......................................................... 50 表 4-17 與 BMSA 比較結果（HV、IGD） ............................................................... 52 表 4-18 與 BMSA 比較結果（IC） ............................................................................. 53. v.
(7) 附圖目錄 圖 1-1 凌越關係 ............................................................................................................. 3 圖 3-1 鄰域 ................................................................................................................... 16 圖 3-2 MOEA/D-DE 演算法流程 ................................................................................ 17 圖 3-3 線性加權法 ....................................................................................................... 18 圖 3-4 Tchebycheff 方法 .............................................................................................. 18 圖 3-5 MOEA/D-LS 演算法流程 ................................................................................ 19 圖 3-6 解碼時間範例 ................................................................................................... 21 圖 3-7 族群初始化流程 ............................................................................................... 23 圖 3-8 LOX 交配方法範例 ........................................................................................ 24 圖 3-9 插入突變方法範例 ........................................................................................... 24 圖 3-10 取代機制（LR） ............................................................................................ 26 圖 3-11 取代機制（GR） ............................................................................................ 26 圖 3-12 取代機制（DU） ........................................................................................... 27 圖 3-13 區域搜尋流程 ................................................................................................. 28 圖 3-14 搜尋對象示意圖 ............................................................................................. 28 圖 3-15 搜尋方向策略 ................................................................................................. 29 圖 3-16 NEH_LS 方法範例 ....................................................................................... 32 圖 4-1 hypervolume 計算方式 ..................................................................................... 34 圖 4-2 族群大小與鄰域規模（Npop, Tn）平均效能比較（HV↑） ........................ 37 圖 4-3 族群大小與鄰域規模（Npop, Tn）平均效能比較（IGD↓） ....................... 37 圖 4-4 正規化方法、取代機制與適應值計算方式平均效能比較（HV↑） ........ 41 圖 4-5 正規化方法、取代機制與適應值計算方式平均效能比較（IGD↓） ....... 42 圖 4-6 搜尋方向策略在不同測資規模之效能比較（HV↑） ................................ 45 圖 4-7 搜尋方向策略在不同測資規模之效能比較（IGD↓） ............................... 45 圖 4-8 重新插入策略效能比較（HV↑） ................................................................ 47 圖 4-9 重新插入策略效能比較（IGD↓） ............................................................... 47 圖 4-10 資源分配機制在不同測資規模之效能比較（HV↑） .............................. 49 vi.
(8) 圖 4-11 資源分配機制在不同測資規模之效能比較（IGD↓） ............................. 49 圖 4-12 MOEA/D-LS 在不同測資規模之效能演進（HV↑） ................................. 51 圖 4-13 MOEA/D-LS 在不同測資規模之效能演進（IGD↓） ............................... 51 圖 4-14 TA54 求解結果 ............................................................................................... 53 圖 4-15 TA89 求解結果 ............................................................................................... 54. vii.
(9) 第一章 緒論. 研究背景與動機. 1.1. 在工廠生產流程中，如何將資源有效分配以提高生產效率一直都是工廠生產 排程中受到關注的議題，相關的生產排程問題在過去數十年以來一直被廣泛研究； 然而，許多生產排程問題已被證明為 NP-hard 問題，即無法確保在多項式時間 （polynomial time）內將該問題求得最佳解。生產排程問題可根據零件抵達工廠 時間、加工時間特性、機器數目等不同條件加以分類；其中，定序流線型工廠排 程問題（permutation flowshop scheduling problem, PFSP）可以視為一個基礎的生 產排程問題，一個定序流線型工廠排程問題模型可以描述如下： 有 n 組不同的零件（job），表示為 Ji（i=1…n），m 台機器（machine），表示 為 Mj（j=1…m） ，每一組零件 Ji 皆要依序經過 m 個機器的製程（operation） 。換句 話說，每一組零件先由 M1 加工，接著由 M2 加工，…，最後由 Mm 加工。每個製 程需要一段加工時間（processing time） ，記作 pij，表示零件 Ji 在機器 Mj 上的加工 時間。 每個製程開始後就不允許被中斷，而相同零件的下一個製程必須等待前一個 製程完成後才可開始加工。每台機器同一時間只能進行一個製程，當零件 Ji 的所 有製程皆完成時便可得到完工時間（completion time） ，記作 Ci。所有零件皆加工 完成的時間即為最大完工時間（makespan），記作 CM，如公式 (1)，而每個零件 1.
(10) 的完工時間總和即為總流程時間（total flow time），記作 CT，如公式 (2)。 CM ＝ max Ci. (1). i 1... n. CT ＝. C. i 1... n. (2). i. 定序流線型工廠排程問題的目標就是找到一組零件加工的順序，使得目標值 得以最佳化。在過去數十年中，大部分對於定序流線型生產排程的研究著重在單 一目標的最佳化求解，常見的目標有最大完工時間最小化、總流程時間最小化、 總延遲時間（total tardiness）最小化等等。最大完工時間用來衡量機器的利用率， 總流程時間與存貨成本有關，總延遲時間則衡量零件延遲交貨的程度；這幾個目 標經常都是互相衝突的，為了尋求更好的生產品質，如何在多個目標之間取得平 衡逐漸受到重視；在本論文中，將針對最大完工時間與總流程時間進行多目標最 佳化研究。一個多目標最佳化問題（multi-objective optimization problem, MOP） 可以描述如下： Minimize / Maximize F(x) = (f1(x), f2(x), … , fk(x))T, x Ω. (3). Ω 為決策空間（decision space），x 為決策空間中的一個解（solution），F(x) 則為在目標空間（objective space）中，由 x 在 k 個目標對應之目標值所組成的向 量；要比較兩個解之間的好壞則需考慮兩者之間的凌越關係（dominance），以最 小化問題為例，假設有兩個解 p 和 q，若 p 的目標值皆不大於 q 所對應的目標值， 且至少有一個目標值小於 q 所對應的目標值，則稱 p 凌越 q，記做 p q ，凌越關 係定義如下： 2.
(11) i {1...k} : f i ( p) f i (q) and i {1...k} : f i ( p) f i (q) p q. (4). 圖 1-1 凌越關係 圖 1-1 為凌越關係的表示圖，圖中黑色個體 A 凌越所有白色個體，與其他黑 色個體互相不凌越。若一個解不被其他解凌越時，則稱為非凌越解 （non-dominated solution）或柏拉圖最佳解（Pareto optimal solution） ，所有柏拉圖 最佳解的集合則稱為柏拉圖集合（Pareto set） ，將柏拉圖最佳解對應至目標空間形 成的點集合則稱為一個柏拉圖前緣（Pareto front） ，而多目標最佳化問題的目的就 是要找到柏拉圖前緣，並且盡量靠近真實最佳解，同時分佈越完整的柏拉圖前緣 越好。保存柏拉圖最佳解的方法可分為三種： (1) 階層法（lexicographical） ：將目標訂定優先權，若首要目標其目標值較好 則保存該柏拉圖最佳解；若目標值相同則根據優先權依序比較次要目 標。 (2) 合併函式法（aggregation function） ：將多個目標給予不同權重，以特定函 式將目標值合併，作為搜尋過程中的目標函式（objective function） ，保存 求解過程中該合併函式值較好的解。 3.
(12) (3) 柏拉圖法：將求解過程中所有的非凌越解保存。 演化演算法（evolutionary algorithm）為一種族群式（population based）搜尋 方法，在複雜且規模龐大的決策空間中求解相當有效率，可在一次求解過程中求 得多個柏拉圖最佳解，而這個特性相當適合以柏拉圖法保存柏拉圖最佳解。過去 十幾年中，許多多目標演化演算法 （multi-objective evolutionary algorithm, MOEA） 已被提出，知名的多目標演化演算法如 SPEA2 [1]、NSGA-II [2]、IBEA [3]、 SMS-EMOA [4]、MOEA/D [5]。 如同前面所述，生產排程最佳化存在多個互相衝突的目標；隨著多目標演化 演算法的研究蓬勃發展，定序流線型工廠排程問題也開始有許多學者投入研究多 目標生產排程，Minella 等人 [6]、Yenisey 和 Yagmahan [7] 針對過去在多目標定 序流線型工廠排程問題（multi-objective permutation flowshop scheduling problem, MOPFSP）的眾多文獻進行分類與探討。雖然有許多求解多目標定序流線型工廠 排程問題的演算法被提出，然而，探討如何改善選擇機制以提升求解品質的研究 並不多；除此之外，我們整理過往文獻中的已知最佳解，發現目前最佳解主要來 自近幾年內的研究 [8, 9]，可見多目標定序流線型工廠問題在效能上應還有許多 進步空間。. 4.
(13) 1.2. 研究目的、方法與貢獻 本論文主要目的為使用 MOEA/D 求解多目標定序流線型工廠排程問題，希望. 能找到更多均勻分佈在柏拉圖前緣上的解，並且更新文獻中的最佳解；最後，我 們將針對實驗結果進行深入探討。 在過往文獻中，大多數求解多目標定序流線型工廠排程問題的研究著重於運 算操作，在選擇機制方面則套用或修改現有演算法框架，對於不同選擇機制的影 響則較少深入討論。然而，在多目標最佳化問題中，選擇機制是影響族群多樣性 的重要因素；而維持收斂性（convergence）與多樣性則是提升多目標最佳化問題 之求解品質的關鍵。 解多目標最佳化問題的演算法可分為兩類： (1) 軌跡式（trajectory based） ：軌跡式搜尋法每次僅針對一個解進行搜尋，隨 著迭代數（iterations）增加，其搜尋過程形成一條軌跡。 (2) 族群式：族群式搜尋法利用不同解之間相互影響、彼此學習的過程以進 行搜尋。 本論文採用的方法為族群式搜尋法，以 MOEA/D 結合不同的選擇機制，並搭 配區域搜尋強化解的品質。在求解多目標最佳化問題的演算法中，NSGA-II 與 MOEA/D 皆為經常使用的演算法，然而由於 NSGA-II 擁有強烈的選擇壓力 （selection pressure），可能會因為族群多樣性下降迅速而過早收斂（premature convergence）至區域最佳解（local optima）。MOEA/D 演算法可以透過將目標空 5.
(14) 間分解為數個子問題（subproblem）來維持族群的多樣性；除此之外，在求解多 目標定序流線型工廠排程問題的中，使用 MOEA/D 這類型的演算法求解的文獻並 不多。在本論文中我們將探討如何利用 MOEA/D 並搭配適當的區域搜尋，最後將 我們提出的演算法用於求解多目標定序流線型工廠排程問題。. 1.3. 全文架構 接下來的論文，第二章為文獻探討，將會介紹過去文獻中，軌跡式與柏拉圖. 凌越式兩種求解多目標 定序流線型工廠排程問題的解決方案 ；第三章為 以 MOEA/D 求解多目標定序流線型工廠排程問題之實現，將詳細說明本論文所提出 的演算法；第四章則為實驗數據與評比，將會介紹實驗環境、相關參數設定與實 驗數據分析；最後，第五章為結論與未來發展，將對於本論文所提出之演算法做 總結，並探討未來可行的發展方向。. 6.
(15) 第二章 文獻探討. 本章節將介紹啟發式演算法如何解決多目標定序流線型工廠排程問題，分為 軌跡式搜尋法與族群式搜尋法。除此之外，在搜尋過程中根據挑選解的方式，又 可將演算法分為合併式演算法（aggregation-based algorithm）和柏拉圖凌越式演 算法（Pareto-dominance based algorithm） 。合併式演算法透過設置不同權重將目標 值合併，作為搜尋過程中的目標函式，利用目標函式挑選較佳的解；另一方面， 柏拉圖凌越式演算法在搜尋過程中，則使用柏拉圖凌越的概念挑選較佳的解。. 2.1. 軌跡式搜尋法. 2.1.1 合併式演算法 在軌跡式搜尋法中，將合併式演算法用於解決多目標定序流線型工廠排程問 題的相關研究並不多。Varadharajan 和 Rajendran [10] 提出 MOSA 演算法，將模 擬退火法（simulated annealing, SA）用於解決多目標定序流線型工廠排程問題。 其特色是利用模擬退火法在高溫容易擾動的特性讓搜尋初期有較佳的探索能力， 並逐漸降溫使得最終搜尋能收斂以達最佳化。首先，針對兩個不同的目標利用 NEH [11] 與 Rajendran [12] 兩種策略生成初始解（initial solution） ，接著對兩個 初 始 解 使 用 Job-Index-Based Insertion Scheme （ JIBIS ）、 Overall-Seed Sequence-Based Insertion Scheme （ OSSBIS ）、 Job-Index-Based Swap Scheme （JIBSS）三種改善機制進行改良，將改良後的解在不同搜尋方向使用模擬退火 7.
(16) 法進行最佳化。 Arroyo 和 de Souza Pereira [13] 提出 MO-GRASP 演算法，首次將 greedy randomized adaptive search procedure（GRASP）用於解決多目標定序流線型工廠 排程問題，透過將零件逐漸插入部分排程（partial schedule）的方式求得最佳解。 針對不同的搜尋方向，首先在建構階段（ construction phase）根據派工法則 （dispatching rule）建立候選名單（restricted candidate list, RCL），並從候選名單 中隨機挑選零件逐次插入部分排程，以貪婪法（greedy method）求得最佳解；在 區域搜尋階段，使用變動鄰域搜尋法（variable neighborhood search, VNS）將最佳 解進行強化。. 2.1.2 柏拉圖凌越式演算法 在柏拉圖凌越式演算法部分，Armentano 和 Arroyo [14] 提出 MOTS 演算法， 將禁忌搜尋（tabu search, TS）用於解決多目標定序流線型工廠排程問題。首先， 使用 Arroyo 和 Armentano [15] 提出的方法產生初始解。在短期記憶（short term memory）操作部分，每個解都有一份禁忌名單（tabu list） ，記錄解的屬性；在長 期記憶（long term memory）操作部分則使用懲罰函數（penalty function），這些 操作都是為了避免搜尋過程中相同的解被重複搜尋。同時，保留搜尋過程中的非 凌越解，並使用群聚演算法（clustering algorithm）挑選具代表性的解以維持解的 多樣性。 Iterated greedy algorithm（IG）[16] 為一個求解單目標定序流線型工廠排程問 8.
(17) 題的方法，可分成三個階段：拆解（destruction） 、組合（construction） 、區域搜尋 （local search） 。首先利用 NEH 策略得到一個初始解，接著隨機取出解的一部分， 再將取出的解依序插回去，插入的過程中採用貪婪法，極盡可能讓目標最佳化， 最後再以區域搜尋，這部分的概念與迭代區域搜尋法（iterated local search, ILS） [17] 類似。 Framinan 和 Leisten [18] 提出 MOIGS 演算法，是一種基於 IG 的方法；首先 在解集合中放入由 NEH 策略與 FL 策略 [19] 生成兩個初始解，並針對解集合中 的每個解以貪婪法進行搜尋，此搜尋方法與 IG 方法中的拆解、組合階段相同， 並將過程中得到的非凌越解集合（archive）保留下來，當新的解放進集合中時會 進行更新，移除被凌越的解。 Minella 等人 [20] 將 IG 方法修改後提出 RIPG 演算法以求解多目標定序流線 型工廠排程問題，其方法與 MOIGS 演算法最大的不同在於加入選擇機制與區域 搜尋，隨機從解集合中根據解的分佈挑選一個解進行搜尋，並且每個解皆會紀錄 被選擇的次數，藉此降低被重複選擇的機率；在區域搜尋部分，採用與 IG 方法 相似的搜尋法，不同之處在於保留搜尋過程中的非凌越解集合；除此之外，加入 重新啟動機制，以避免搜尋過程中過早收斂。 Pareto local search（PLS）[21] 搜尋法為針對多目標問題而設計的一種區域搜 尋概念，有別於單目標只需保留一個最佳解，PLS 搜尋法保留搜尋過程中非凌越 解集合。Dubois-Lacoste 等人 [22] 結合 A-TPLS [23] 與 PLS 兩種搜尋法，提出 9.
(18) TP+PLS 演算法；其中，A-TPLS 搜尋法改良 TPLS [24] 搜尋法的權重設置，TPLS 搜尋法核心概念為將先前在該方向搜尋得到的最佳解作為下一個方向的搜尋起 點。TP+PLS 演算法首先使用 IG 方法生成初始解，接著利用 A-TPLS 搜尋法生成 許多不同方向上的最佳解，最後透過 PLS 搜尋法將這些解改良。. 2.2. 族群式搜尋法. 2.2.1 合併式演算法 在族群式搜尋法方面也有許多合併式演算法。Ishibuchi 和 Murata [25] 首次將 混合基因演算法（hybrid genetic algorithm）使用於解決多目標最佳化問題。他們 將 variable weights（VW）方法 [26] 用於提出的 multi-objective genetic local search （IM-MOGLS）演算法中：隨機生成一組權重，用於親代選擇中，並透過此權重 控制子代（offspring）的區域搜尋方向。除此之外，在基因搜尋（genetic search） 過程中也將非凌越解集合的一部分最佳解放回族群中，作為保留精英的策略。 Ishibuchi 等人 [27] 驗證基因搜尋與區域搜尋之間平衡的重要性；除此之外，將 IM-MOGLS 演算法改良，在區域搜尋階段挑選出較佳的解，並只針對這些解進行 區域搜尋，同時使用機率對搜尋進行控制，以減少區域搜尋的運算負擔。 Chang 等人 [28] 提出 gradual-priority weighting（GPW）方法，其特色為在目 標空間中均勻地生成許多權重，即在搜尋過程中，族群朝著同一個搜尋方向前進， 而此方向在每一代（generation）皆不同，藉此讓搜尋剛開始朝向某個目標，而逐 漸轉為向另一個目標靠近。除此之外，將 GPW 方法套用至混合基因演算法中， 10.
(19) 提出 GPWGA 演算法並與 VW 方法比較；實驗結果顯示，平均而言 GPWGA 演 算法可在較短的運算時間內找到較多非凌越解。 Chang 等人 [29] 結合 SPGA 演算法 [30] 與 mining gene structure（MGS）， 提出 MGSPGA 演算法。在 MGSPGA 演算法中，將族群切割成數個子族群 （sub-population），該子族群透過分享相同的權重而有相同的搜尋方向，而最後 數個子族群會重新結合為一個新的族群；除此之外，藉由加入由 MGS 產生的人 工染色體（artificial chromosome）加速族群的收斂。 Rajendran 和 Ziegler [31] 將蟻群最佳化演算法（ ant colony optimization algorithm）用於求解多目標定序流線型工廠排程問題，使用 20 種根據不同參數與 JIBIS、JIBSS 兩種改善機制組合而成的 MOACA 演算法求得一條柏拉圖前緣。其 特色為在目標空間中設置多組搜尋方向，針對每個方向不斷更新費洛蒙 （pheromone），並由費洛蒙訊息建構出新的解。 Chang 等人 [32] 將 MOEA/D 演算法用於解決 MOPFSP，為了得到較佳的結 果，在兩個目標的定序流線型工廠排程問題中，其分解方法採用線性加權法將原 本問題切割為許多子問題；同時，為了維持多樣性，在搜尋過程中的最多只能取 代一個鄰近解。Alhindi 和 Zhang [33] 將 MOEA/D 演算法與禁忌搜尋方法結合， 提出 MOEA/D-TS 演算法。其特色為利用 Jin 等人 [34] 提出的兩種區塊特性 （block property）結合禁忌搜尋以避免子問題陷入區域最佳解。. 11.
(20) 2.2.2 柏拉圖凌越式演算法 Arroyo 和 Armentano [35] 提出 MOGLS 演算法，記作 A-MOGLS。其特色是 利用 NSGA-II 演算法中的非凌越排序（non-dominated sorting）與密集度距離 （crowding distance）計算族群中所有個體的適應值（fitness values） ，以便在親代 選擇中使用輪盤法（roulette wheel method）；除此之外，使用 IM-MOGLS 演算法 中的保留精英策略，在基因搜尋中把一部分精英放入族群中；同時，每經過固定 代數，將子代中非凌越解的部分取出進行區域搜尋，並保留非凌越解放回子代 中。 Pasupathy 等人 [36] 提出 PGA-ALS 演算法，他們也結合 NSGA-II 演算法， 利用非凌越排序方法作為優先選擇依據，對於排序相同的個體，則以密集度距離 作為次要選擇依據；除此之外，族群初始化的部分加入四個由 NEH 策略與 Rajendran 策略生成的初始解，並使用 JIBIS、OSSBIS、JIBSS 改善機制改良；同 時，在決定下一代族群的部分，其中一半由親代（parents）與子代透過非凌越排 序與密集度距離挑選取出，另外一半則從剩餘個體隨機挑選。 Yandra 和 Tamura [37] 加入異構程序（heterogeneous procedure） ，提出 hMGA 演算法，改善利用 NSGA-II 演算法在多目標定序流線型工廠排程問題上可能會過 早收斂的問題。同樣也將親代與子代進行非凌越排序與計算密集度距離；然而， 在決定下一代族群之前，先透過異構程序，將重複的個體去除。 Cheng 等人 [38] 將 PESA-II [39] 與 NSGA-II 兩種演算法結合，提出一種混 12.
(21) 合式基因演算法，利用 PESA-II 演算法中區域式（region-based）的選擇機制降低 親代選擇的競爭壓力，並使用 NSGA-II 演算法中非凌越排序的概念評估區域的適 應值。 Lin 和 Ying [8] 提出 BMSA 演算法，其特色為將模擬退火法與多重登山法 （multi-start hill climbing strategy）結合，是一種族群式搜尋法。利用多個初始解 改善單一解在模擬退火法搜尋過程中可能陷入區域最佳解的缺點，當搜尋過程中 某個個體凌越其它所有個體時，則更新其它個體的起點；透過這個方法，他們發 現了更多柏拉圖最佳解。 Li 和 Li [40] 提出 MOLSD 演算法，為基於 MOMAD [41] 演算法的改良方法， MOMAD 演算法的特色為設置許多權重決定搜尋方向，並針對每個方向先進行擾 動（perturbation），接著進行區域搜尋，同時透過 PLS 搜尋法將非凌越解集合中 的每個解改良，而 MOLSD 演算法交換擾動與區域搜尋的順序；除此之外，將非 凌越解集合中挑選出精英（elitism） ，對於一般解與精英解進行不同強度的擾動， 同時加入重新啟動機制避免搜尋陷於區域最佳解，並且在 PLS 搜尋法中使用強度 較強的擾動方式搜尋鄰近解（neighborhood solutions）。 除了合併演算法與柏拉圖凌越式演算法，還有一些演算法將兩種方法結合。 Li 和 Wang [42] 提出一種混合基因演算法，結合 quantum-inspired GA（QGA）與 permutation-based GA（PGA）兩種方法。QGA 方法透過線性加權法計算個體適 應值，而 PGA 透過非凌越排序計算個體適應值；實驗結果顯示，將 QGA 與 PGA 13.
(22) 兩種方法結合比只使用 PGA 方法有更好的效能。 Chiang 等人 [9] 提出 NNMA 演算法。NNMA 演算法是一種與 NSGA-II 結合 的文化基因演算法（memetic algorithm），搭配一種基於 NEH 策略的區域搜尋， 其區域搜尋方法與 IG 的拆解、組合階段相似，差異之處在於除了保留非凌越解 的方法，還提出隨機選擇優先目標（random objective） 、分散式線性加權法（linear weighted sum with distributed weights）兩種保留策略。. 14.
(23) 第三章 以 MOEA/D 結合適應性區域搜尋求解多 目標定序流線型工廠排程問題 MOEA/D-DE. 3.1. 本論文以 MOEA/D-DE [43] 為基礎來實作。MOEA/D 的主要概念是將多目 標最佳化問題分解（decompose）成數個單目標最佳化問題，常見的分解方法有 線性加權法（linear weighted sum） 、Tchebycheff、penalty-based boundary intersection （PBI）三種 [5]。而在過往文獻中，用來求解多目標定序流線型工廠排程問題的 分解方法有線性加權法與 Tchebycheff 方法。由於本論文的目標為求解最小化， 因此在本章節中皆以最小化為例。 假設 λ 為權重向量集合，其設置如公式 (5) 至 (7)，透過這些權重將搜尋空 間分解成多個子問題，每個子問題都對應至一個解，每個子問題根據權重不同而 擁有不同的搜尋方向。. (1 ,..., k )T. (5). i 1...k , i 0. (6). k. i 1. i. 1. (7). 在線性加權法中，將多目標最佳化問題轉變如公式 (8)： k. Minimize g ws ( x | ) i f i ( x), x i 1. 15. (8).
(24) 而在 Tchebycheff 方法中，則將多目標最佳化問題轉變如公式 (9)；其中 z*為 由搜尋空間中最小之目標值組成的向量，定義如公式 (10)。 Minimize g te ( x | , z * ) max {i | f i ( x) zi |}, x *. 1i k. (9). z * {z1* , z 2* ,..., z k* }T. (10). zi min{ f i ( x) | x }. (11). *. 除此之外，MOEA/D 在演化過程中加入鄰域的概念，子問題 i 的鄰域 （neighborhood, B(i)）由 i 與權重向量之歐基里德距離最接近的數個子問題組成； 以圖 3-1 為例，若鄰域大小為 3，則被圈起來的三個子問題為子問題 i 的鄰域。. 圖 3-1 鄰域 鄰域的概念可用在親代選擇與族群更新兩個階段。在親代選擇階段中，親代 鄰域 Bm(i)規模（mating neighborhood size, Tm）小較容易產生相似的個體，而大的 親 代 鄰 域 則 提 供 較 多 的 選 擇 性 ； 而 在 族 群 更 新 階 段 ， 取 代 鄰 域 Br(i) 規 模 （replacement neighborhood size, Tr）則決定哪些個體有機會被新產生的個體取代； 除此之外，設置最大取代數量（Nr）則能控制鄰域中最多能有多少個體被取代。. 16.
(25) 開始. 親代選擇. 產生新個體. 族群初始化. 評估個體. 否. 配置權重 與鄰域. 更新族群. 停止 條件 是 結束. 圖 3-2 MOEA/D-DE 演算法流程 MOEA/D-DE 的演算法流程如圖 3-2 所示，說明如下： . 族群初始化：族群中的個體可以透過隨機產生，或是利用與問題相關的 策略生成。. . 配置權重與鄰域：產生與族群數量相同且均勻分布的權重，並與族群中 個體配對形成多個子問題；同時配置每個子問題的鄰域。. . 親代選擇：對每個子問題，隨機挑選另一個個體做為親代：有 δ 機率從 親代鄰域挑選，1–δ 機率從整個族群挑選。. . 產生新個體：將挑選出的親代經過交配與突變產生新的個體；在 MOEA/D 中並沒有限定交配與突變的方式，交配的方式通常與求解問題 有關。在求解多目標定序流線型工廠排程問題中，常用的交配方式有 two-point linear order crossover（LOX）和 partially-mapped crossover（PMX） 等等；交配後產生的個體稱為子代，為了不希望產生太多相似的子代而 讓演化過早收斂，子代需要經過一段機率性的突變過程。突變方法一樣 17.
(26) 根據求解問題而有所不同，在求解定序流線型工廠排程問題常用的突變 方法有兩種，交換（swap）突變方法與插入（insertion）突變方法。 . 評估個體：產生出的新個體，將以線性加權法或 Tchebycheff 方法計算 其適應值。由於多目標定序流線型工廠排程問題中，最大完工時間與總 流程時間兩者的目標值數量級（scale）差異較大，因此在使用上述方法 將目標值合併之前，我們需要將目標值正規化。. . 更新族群：產生的子代將與取代鄰域中的個體互相比較，若子代適應值 較好則將鄰域中的個體取代。下圖為兩種適應值比較方式：. 圖 3-3. 圖 3-4. 線性加權法. Tchebycheff 方法. 圖中虛線為等高線（contour line） ，同一條等高線上的個體其適應值皆相 等；在這個例子中，位於個體 x 等高線內側的個體其適應值較好。 . 停止條件：為演算法的結束條件，例如最大代數、最大評估個體數、最 大執行時間等。. 18.
(27) 3.2. 演算法流程 z*←∞ n*←0 e←0 P←initialization (Npop), e←e＋Npop idealpoint_update (z*, P) t←0 repeat nadirpoint_update (n*, P) i←0 repeat {pi1, pi2}←mating (i, δ, Tn) {oi1, oi2}←crossover (pi1, pi2) { oi1 , oi2 }←mutation (oi1, oi2, qm) archive_update (A, oi1 , oi2 ) idealpoint_update (z*, oi1 , oi2 ) population_update (P, oi1 , oi2 , Tn) i←i＋2 until i＝|P| e←e＋Npop if t mod TL＝0 then S←target_selection() S*←NEH_LS (S, nNEH, nF) e←e＋NLS archive_update (A, S*) idealpoint_update (z*, S*) population_update (P, S*, Nr , Tn) end if t←t＋1 until e＝emax Ouput A 圖 3-5 演算法流程. 19.
(28) 圖 3-5 為本論文所提出的演算法，下列為相關參數之資訊： . z*：理想點（ideal point），由搜尋過的個體中最小之目標值所組成。. . n*：最差點（nadir point），由目前族群中的最大目標值所組成。. . e：評估個體數（fitness function evaluations）。. . Npop：族群個體數量。. . P：目前族群。. . t：目前代數。. . δ：親代由鄰域選擇的機率。. . Tn：鄰域大小；本論文中的親代鄰域與取代鄰域大小相等。. . qm：突變發生的機率。. . A：非凌越解集合，儲存演化過程中所有非凌越解。. . TL：每 TL 代解進行一次區域搜尋。. . nNEH：NEH_LS 區域搜尋取出的零件數。. . nF：判斷個體是否為區域最佳解的門檻值。. . NLS：區域搜尋使用的個體評估數。. . emax：最大個體評估數。. 演算法執行結束後，輸出得到非凌越解集合 A 中所有個體的目標值。. 20.
(29) 3.3. 染色體編碼與解碼 本論文採用在求解定序流線型工廠排程問題時普遍使用的編碼與解碼方式，. 其做法為以零件的排列順序進行編碼；解碼時則根據染色體中的零件排列順序一 個接著一個送進機器加工，求得目標值。假設一個由四個零件組成的染色體編碼 為[1 2 3 4]，其加工時間如表 3-1，則解碼方式可由圖 3-6 說明。 表 3-1 加工時間範例 零件 1. 零件 2. 零件 3. 零件 4. 機器 1. 3 單位. 4 單位. 3 單位. 1 單位. 機器 2. 2 單位. 2 單位. 1 單位. 2 單位. 機器 3. 3 單位. 1 單位. 2 單位. 3 單位. 3 機器 1. 7. 1. 10 11. 2. 3. 5 機器 2. 4 9. 11. 2. 1. 3 10. 8 機器 3. 8 最大完工時間為 16 個時間單位 總流程時間為(8＋10＋13＋16)＝47 個時間單位 圖 3-6 解碼方式範例. 21. 4 13 3. 2. 1. 13. 10. 16 4. 13. 16.
(30) 3.4. 族群初始化 在單目標定序流線型工廠排程問題的文獻中，針對不同目標有許多策略；在. 最大完工時間方面，有 NEH 策略 [11]，在總流程時間方面則有 FL 策略 [19]、 LR 策略 [44]、RZ 策略 [45] 與 LR_NRH 策略 [46]，我們採用 NEH [11] 與 LR_NRH 策略 [46] 分別為最大完工時間與總流程時間兩個目標產生初始解，而 族群中其餘 Npop−2 個個體則透過將零件隨機排序產生不同個體，由這些個體組成 初始族群（initial population） ，這樣的做法是希望族群中的個體可以均勻分佈於搜 尋空間中，維持族群多樣性；同時，透過在族群中放置由策略生成的初始解以加 速演化進行。 接著產生 Npop 個權重，並將這些權重設置給族群中的各個個體。為了讓權重 (1,0) 與 (0,1) 在分量為 1 之目標值相同的時候也能夠朝著分量為 0 的方向前進， 我們在該分量上加上一個極小值，並調整另一分量使得兩分量相加和為 1。權重 設置方式如公式 (12)：. 11 1 10 6 6 N p o p1 10 i1 1 (i 1) /( N pop 1), i 2...N pop 1 1 i1 i2. (12). 由策略產生的初始解分別在不同目標表現優異，我們將權重向量為 (1,0) 的 子問題與 NEH 策略解配對，而權重向量為 (0,1) 的子問題則與 LR_NEH 策略解 配對，剩下的子問題則與族群中其餘個體隨機配對，族群初始化流程如圖 3-7。. 22.
(31) λ←weights_generate() P1←NEH(), weights_assign(P1, λ1) PN←LR_NEH(), weights_assign(PN, λN) i←2 repeat Pi←random_initialize() weights_assign(Pi, λi) until i＝|P|-1 Output P 圖 3-7 族群初始化流程 接著針對每個子問題 i 設置鄰域 B(i)，本論文中使用相同的親代鄰域與取代 鄰域，鄰域規模表示為 Tn。. 3.5. 親代選擇機制 透過由子問題的親代鄰域中選擇個體做為親代，相似的個體較有機會產生鄰. 近的新個體，但過於相似的個體產生的變異性有限；若從整個族群中隨機挑選個 體產生子代，這樣的搜尋又過於隨機。我們從鄰域中隨機挑選兩個個體作為親代； 同時，有微小的機率 1−δ 其親代可以從整個族群中挑選，如公式 (13)： B(i) p(i) {1,..., N pop}. 3.6. if rand < δ otherwise.. (13). 交配與突變 交配的目的是希望透過交流親代個體的基因資訊，以產生更好的個體；而突. 變的目的則是希望讓交配產生的個體之間仍能保有多樣性。在定序流線型工廠排 程問題中有許多交配與突變的方式，本論文採用 LOX 交配方法與插入突變方法； LOX 交配方法（圖 3-8）首先隨機選擇染色體上的兩個切點（cut point），將親代 23.
(32) 個體兩個切點之中的基因保留至子代，子代的其它基因則由另一個親代提供，根 據親代基因先後順序填入子代染色體。 2. 3. 1. 5. 4. 5. 3. 1. 2. 4. 5. 2. 4. 1. 3. 3. 2. 4. 1. 5. 圖 3-8 LOX 交配方法範例 我們將插入突變方法（圖 3-9）用於交配完成的子代個體，針對個體上的每個 基因，隨機選擇另一個位置插入，每個基因的突變率為 qm，假設子代個體染色體 長度為 n，則平均而言有 n×qm 個基因發生突變。. 2. 3. 1. 5. 2. 4. 3. 5. 4. 1. 圖 3-9 插入突變方法範例. 3.7. 評估個體 在將新個體放回族群之前，必須決定評估個體的方式。首先將個體目標值正. 規化，我們將實驗兩種正規化方式，將目標值正規化至 0 到 1（N0 方法），如公 式 (14)，與將目標值正規化至最小為 1（N1 方法），如公式 (15)；其中，vi 為個 體在目標 i 之目標值， zi* 為在目標 i 之理想值， ni* 為目標 i 之最差值。 fi . vi zi* ni* zi*. (14). fi . vi zi*. (15). 24.
(33) 將個體目標值正規化後，要決定採用哪一種適應值計算方式。線性權重法已 知無法解決柏拉圖前緣凹型（concave）的問題；然而，Ishibuchi 等人 [47] 實驗 發現線性權重法比 Tchebycheff 方法有較快的收斂速度，並提出一種適應控制的 方法：當鄰域中存在 Kte 個相同的個體，則使用 Tchebycheff 方法，否則將採用線 性加權法。在本論文中，將實驗線性加權法、Tchebycheff 方法與上述適應控制等 三種不同適應值計算方式對效能的影響。. 3.8. 族群更新機制 接下來要把交配與突變過程中產生的子代放回族群中。在原本的 MOEA/D-DE. 中，產生的子代將會放入該子問題之取代鄰域中進行更新；然而，這有可能會讓 個體放置於不合適的搜尋方向上，例如：最大完工時間表現較優異的個體被放置 在總流程時間加成較重的子問題中。 Wang 等人提出 GR 取代機制 [48]，其做法為將子代放置於適應值最好的子問 題 j*中，如公式 (16)，並對其鄰域中的個體進行更新。 j * arg min {g te ( x | j )}. (16). 1 j N p o p. 這個做法適用於 Tchebycheff 方法；然而對於線性加權法，適應值最好的子問 題只會發生在 (1,0) 與 (0,1) 兩個搜尋方向上。Yuan 等人 [49] 提出 DU 取代機 制，其做法為將子代個體之目標值與所有搜尋方向計算垂直距離，距離越短的子 問題有較高的優先權可將子代放入進行更新，若子代無法更新該子問題，則嘗試 更新下一個子問題，直到更新成功或嘗試 Tn 個子問題為止。 25.
(34) 有別於原本 MOEA/D-DE 的取代機制針對鄰域進行區域性更新，上述兩種方 法其精神皆為將個體放置於最合適的子問題，是一種全域性的族群更新；本論文 將實驗這三種取代機制效能之差異，為了方便我們將 MOEA/D 取代機制命名為 LR 方法；本論文使用的三個取代機制流程描述如圖 3-10 至圖 3-12。其中 oi 為子 問題 i 產生之子代；本論文中 Nr 皆設置為 1。 Input P, oi for j B (i ) if fitness(oi, j)≤fitness(Pj, j) then Pj←oi break end if end for 圖 3-10 取代機制 (LR) [43] Input P, oi j←0, k←0, f←∞ repeat if fitness(oi, j)<f then k←j, f←fitness(oi, j) end if until j＝|P| for j B (k ) if fitness(oi, j)≤fitness(Pj, j) then Pj←oi break end if end for 圖 3-11 取代機制 (GR) [48]. 26.
(35) Input P, oi D←perpendicular_distance (P,oi) P←sort(P, D) j←0 repeat if fitness(oi, j)≤fitness(Pj, j) then Pj←oi break end if j←j＋1 until j＝Tn 圖 3-12 取代機制 (DU) [49] 最後，為了避免失去演化過程中求得的非凌越解，演化過程產生的新個體， 都會放在一個非凌越解集合中並持續更新；若不被集合中任何ㄧ個解凌越，則將 該個體放入集合中，並將所有被該個體凌越的解移除。. 3.9. 區域搜尋 雖然我們可以透過交配與突變過程找到品質不錯的解；然而，個體卻不容易. 剛好落在區域最佳解的位置。因此我們加入區域搜尋，使得演算法能同時擁有全 域搜尋與局部搜尋的能力。區域搜尋除了能讓個體目標值更好之外，透過將這些 個體放入族群中，還能夠作為精英推動族群的演化。為了兼顧演化的收斂性與族 群多樣性，有許多影響因素需要被決定。區域搜尋流程如圖 3-13，圖中的相關細 節將於接下來的章節說明，3.9.1 節說明不同區域搜尋對象 (target_selection)；3.9.2 節說明不同搜尋方向策略 (searching_direction)；3.9.3 節則敘述區域搜尋中的運算 操作流程 (segment、reorder 與 reinsertion)。 27.
(36) input P, A, nNEH, nF E : archive S ←target_selection(P, A) S ←contribution_selection( S, nF ). D ←searching_direction( S ) for x S J , x ←segment(x, nNEH). J ←reorder(J) x reinsertion( x, J , D ) archive_update( E , x ) end for archive_update(A, E) population_update(P, E, Tn) 圖 3-13 區域搜尋流程. 3.9.1 搜尋對象 在搜尋對象方面，Ishibuchi 等人 [27] 建議針對適應值較好的個體進行區域搜 尋會比較節省運算時間。顯然地，非凌越解集合為演化過程中最好的個體，因此， 針對非凌越解集合進行區域搜尋是個不錯的選擇；然而這個做法有可能受到非凌 越解集合個體分布不均勻的影響。因此，另一種做法則是將子問題分組，並從每 一組隨機挑選一個個體為搜尋對象。我們將針對上述兩種不同對象進行實驗並分 析探討其結果。兩種搜尋對象如圖 3-14，圖中黑色的點為區域搜尋之對象。. 圖 3-14 搜尋對象示意圖 28.
(37) 3.9.2 搜尋方向 在搜尋方向方面，我們將實驗五種不同的策略如圖 3-15，說明如下： f2. f2. 隨機目標法. f1. 適應目標法. f2. f1. f2. 隨機權重法. f1. 適應權重法. f1. f2. f1 柏拉圖凌越法 圖 3-15 搜尋方向策略 . 隨機目標（random objective, RO）：隨機選擇一個目標作為搜尋方向。. . 適應目標（adaptive objective, AO） ：根據搜尋對象目標值選擇搜尋方向， 若該個體在某個目標值表現較好，則朝向該方向進行搜尋。. . 隨機權重（random weights, RW）：隨機選擇一個搜尋方向。 29.
(38) . 適應權重（adaptive weights, AW） ：根據搜尋對象目標值設定搜尋方向， 目標值越小其權重分量越大；我們將目標值以公式 (14) 正規化至 0 到 1， 並以公式 (17) 進行轉換，得到的權重 (w1, w2) 為該對象之搜尋方向。 w1 f 2 ( f1 f 2 ) w2 1 w1. . (17). 柏拉圖凌越法（Pareto dominance, PD）：這個方法將搜尋過程中所有的 非凌越解留下；這種方法比起上述四種策略花費更多運算資源。. 3.9.3 鄰域函式 過往文獻中，多目標定序流線型工廠排程問題經常使用插入鄰域函式與交換 鄰域函式；Ruiz 與 Stützle [16] 提出 IG 方法，是一種將個體拆解再重新組合的鄰 域函式；Chiang 等人 [9] 提出基於 NEH 的區域搜尋（以下稱為 NEH_LS 方法）， 本論文也採用 NEH_LS 方法。NEH_LS 方法可由分段（segment） 、重排（reorder） 、 接受策略（acceptance）組成，描述如下：在分段階段，從染色體上隨機選擇一段 連續基因，取出後在重排階段根據不同派工法則進行重新排序，接著插回原本染 色體，根據插入不同位置會產生許多個候選解（candidate solutions） ，從候選解中 根據接受策略選出最好的解作為目前的部分解（partial solutions），透過這個流程 直到移除的基因都重新插入為止。每個零件重新插入不同位置時視為一個評估個 體數。. 30.
(39) 取出的連續基因，其長度影響區域搜尋的鄰域大小；在 [9] 中透過世代數動 態控制取出的長度 nNEH，如公式 (18)，其中 NNEH 為取出之最大長度。 nNEH max{1, N NEH (1 e / emax )}. (18). 在 NEH_LS 方法中，將取出的基因放回有不同的派工法則；在本論文中，我 們將實驗六種派工法則對效能造成的影響，分別為 Evolution, SPT, LPT, Random, (SPT, LPT), (LPT, SPT)，說明如下： . Evolution：不改變順序，以演化過程中原來的順序插入。. . SPT：將取出的零件根據加工時間由小到大排序。. . LPT：將取出的零件根據加工時間由大到小排序。. . Random：將取出的零件隨機排序。. . (SPT, LPT)：由個體目標值決定採用何種策略，最大完工時間表現較好 的個體使用 SPT 策略，總流程時間表現較好的個體則使用 LPT 策略。. . (LPT, SPT)：與(SPT, LPT)策略相反。. 前四種皆為 [9] 提出的順序策略，最後兩種則根據不同目標採用不同的插入 順序策略；在 NEH 策略 [11] 中使用 LPT 派工法則產生最大完工時間表現較好 的解，而 Framinan 等人 [19] 提出的策略則使用 SPT 策略產生總流程時間表現較 好的解；因此我們想實驗分析針對不同目標採用不同派工法則對效能的影響。 NEH_LS 方法最後可以得到多個解，我們將搜尋過程中得到的非凌越解以 3.8 節 的取代機制放回族群中。 31.
(40) NEH_LS 方法舉例如下，假設以權重向量 (0.5, 0.5) 作為搜尋方向並使用 Evolution 策略進行區域搜尋。在圖 3-16 中，移除基因 [3 1] 並依序插入，插入基 因 3 時，個體 A 的適應值較好，因此由個體 A 繼續插入基因 1；同理，將其餘基 因重新插入，最後從產生的許多個體中留下非凌越解，在這個例子中為個體 F 與 個體 G。. 2. A. 3. 2. 5. CM = 30 CT = 60. B. 2. 3. 5. CM = 60 CT = 40. C. 2. 5. 3. CM = 70 CT = 30. 3. 1. CM = 80 CT = 60. 5. D. 1. 3. 2. 5. CM = 90 CT = 70. E. 3. 1. 2. 5. CM = 60 CT = 80. F. 3. 2. 1. 5. CM = 40 CT = 70. G. 3. 2. 5. 1. 圖 3-16 NEH_LS 方法範例. CM = 90 CT = 60. 3.9.4 資源分配機制 我們針對搜尋對象加入資源分配機制，避免將運算資源浪費在區域最佳解上； 若個體進行區域搜尋之結果無法更新非凌越解集合，視為一次更新失敗；當更新 成功時則將失敗次數歸零。我們使用競爭法（10-tournament）挑選失敗次數較少 的個體為區域搜尋對象。若挑選到連續 nF 次失敗的個體，該個體被視為一個區域 最佳解，我們對該個體進行一次插入突變後再進行區域搜尋。本論文將實驗分析 這種選擇機制對效能的影響。 32.
(41) 第四章 實驗數據與效能評比. 本章節將介紹測試問題、實驗環境與參數設定，以及比較對象與效能指標， 接著針對實驗結果進行分析與說明。. 4.1. 測試問題與實驗環境 本論文使用 Taillard 測試問題集 [50]，在求解多目標定序流線型工廠排程問. 題的文獻中經常被使用。我們使用的測試問題包含三種零件數與三種機器數共九 種組合，而每種組合中皆有十個問題，如表 4-1。 表 4-1 Taillard 測試問題 機器數 \ 零件數. 20. 50. 100. 5. TA01-10. TA31-40. TA61-70. 10. TA11-20. TA41-50. TA71-80. 20. TA21-30. TA51-60. TA81-90. 本論文提出的演算法是以 C++實作，實驗的電腦配備為 Windows 7，64 位元 作業系統，CPU 為 3.4GHz 的 Intel®Core™i7-4770，記憶體大小為 12GB，編譯器 環境為 GNU GCC。. 4.2. 效能指標 本論文採用三種效能指標。第一種效能指標是覆蓋率（Coverage, IC），為一. 個柏拉圖前緣被凌越的比率，定義如公式 (19)。A、B 分別為兩種演算法得到的 前緣，IC(A, B)則是前緣 A 覆蓋前緣 B 的比率。 I C ( A, B ) . y B | x A, x y. (19). B 33.
(42) 第二種指標為 hypervolume（IHV） ，用來測量參考點（reference point）與演算 法產生的近似前緣（approximated front）之間覆蓋區域的面積；本論文 IHV 的計算 方式為先將目標值根據參考前緣 R（reference front）進行正規化，IHV 則為由參考 點至近似前緣所圍成的面積；IHV 計算方式如圖 4-1。本論文使用的參考前緣 R 為 所有實驗過程中得到的解與知名演算法提供之最佳解 BMSA [8]、NNMA [9]結合 而成的非凌越解集合。. 圖 4-1 hypervolume 計算方式 本論文使用 (1.2, 1.2) 為參考點，因此 IHV 最大值為 1.22=1.44。上述 IHV 與 IC 兩種效能指標其值越大表示效能越好。 第三種指標為 Inverted general distance（IGD），定義如公式 (20)，其中 d(x, A)為參考前緣中解 x 與近似前緣中所有解的最小歐幾里德距離。IGD 其值越小表 示效能越好。. IGD( R, A) . . xR. d ( x, A). (20). R. 34.
(43) 不同測資其效能指標有不同數量級，為了能夠將多個測資其效能指標進行平 均比較，我們使用正規化後的 hypervolume 與 IGD 進行演算法效能分析，如公式 (21)。ALG 為本論文中所有實驗演算法之集合，HVjar 與 IGDjar 表示由演算法 a 求 解第 j 個測資第 r 次其結果計算之效能指標。HVjar 的數值範圍介於 0 至 1，越大 越好；IGDjar 的數值至少為 1，等於 1 時表現最好。 normalized _ HV jar nomalized _ IGD jar . 4.3. HV jar HV ( R ) 1 IGD jar 1. min. (21). {IGD jar }. aALG ,r 1... 10. 實驗設定 在本節中將針對第三章所述的演算法進行實驗，每組實驗執行 10 次，並使. 用 Welch's t-test 進行統計檢定。主要分成四個部分：族群大小與鄰域設定、全域 搜尋、區域搜尋以及族群初始化方式對效能的影響；以下分成多個小節，4.3.1 節 設定演算法相關參數；4.3.2 節針對全域搜尋進行實驗，包含不同適應值計算方式 與正規化方式，以及族群更新機制的實驗；4.3.3 節針對區域搜尋對象進行實驗； 4.3.4 節針對不同搜尋方向進行實驗；4.3.5 節實驗分析不同重新插入策略對效能 的影響；4.3.6 節實驗分析資源分配機制對區域搜尋的效果；4.3.7 節針對初始化 方法進行實驗；最後，在 4.4 節至 4.5 節中將本論文與已知演算法進行效能比較。. 4.3.1 參數設定 本論文將最大取代數量 Nr 設定為 1，交配機率設定為 100%，突變機率 qm 設 定為 5%。我們使用 BMSA 之第二種參數設定 [8] 計算最大個體評估數量 emax， 35.
(44) 其溫度由 7.5 度降至 0.3 度，降溫率（cooling rate）為 0.9，可估算至少降溫 30 次； 每經過 n×4500 個迭代數時降溫一次，因此我們使用 n×4500×30 為最大個體評估 數量，零件數為 20、50、100 的問題分別設置為 2.7×106、6.75×106、1.35×107。 過往文獻中，族群大小大多設置為 100 或 200，因此我們針對這兩種族群大 小與三種鄰域規模（3%、5%、7%）進行實驗。在本實驗中族群初始化皆以隨機 方式產生，正規化方式使用 N0 方法，適應值計算方法使用線性加權法，取代機 制使用 LR 方法，並且不進行區域搜尋。我們將測資分為小型、中型與大型測資 進行分析，效能比較結果如表 4-2 與表 4-3。 表 4-2 族群大小與鄰域規模（Npop, Tn）實驗結果（HV↑）. TA01-TA30. TA31-TA60. TA61-TA90. (100, 3%). (100, 5%). (100, 7%). (200, 3%). (200, 5%). 0.7356. 0.7236. 0.7196. 0.7551. 0.7472. 2 1 . 4 0 . 4 0 . 1 1 . 0 0 . 0.3440. 0.3164. 0.3222. 0.3722. 0.3862. 5 0 . 8 0 . 9 0 . 2 1 . 1 1 . 0.2111. 0.2005. 0.1988. 0.2376. 0.2417. 5 0 . 7 0 . 9 0 . 0 1 . 0 0 . (200, 7%) 0.7516. 0.3887. 0.2516. 表 4-3 族群大小與鄰域規模（Npop, Tn）實驗結果（IGD↓）. TA01-TA30. TA31-TA60. TA61-TA90. (100, 3%). (100, 5%). (100, 7%). (200, 3%). (200, 5%). 1.1840. 1.2065. 1.1908. 1.1680. 1.1722. 2 1 . 2 0 . 2 0 . 2 1 . 2 0 . 1.4895. 1.5193. 1.5181. 1.4501. 1.4425. 5 0 . 110. 8 0 . 1 1 . 1 0 . 1.7007. 1.7326. 1.7438. 1.6351. 1.6340. 8 0 . 110. 100. 1 1 . 1 1 . (200, 7%) 1.1761. 1.4379. 1.6128. 表格中上方為由公式 (21) 正規化後的平均，下方數值為與比較對象（表格. 36.
(45) 底色為灰色）之檢定結果（表示比較對象表現較好且差異顯著，表示比較對象 表現較差且差異顯著）。 圖 4-2 與圖 4-3 為族群大小與鄰域規模之平均效能長條圖，可以發現族群大 小設置為 200 時其平均效能表現較好，而三種鄰域規模之間的效能差異不明顯； 接下來的實驗中，我們將 Npop 設置為 200，鄰域規模 Tn 設置為 7%以進行實驗。 0.47 0.46 0.45 0.44 0.43 0.42 0.41 0.4 0.39 100. 200. 3%. 5%. 7%. 圖 4-2 族群大小與鄰域規模（Npop, Tn）平均效能比較（HV↑） 1.49 1.48 1.47 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.41 1.4 1.39 1.38 100. 200. 3%. 5%. 7%. 圖 4-3 族群大小與鄰域規模（Npop, Tn）平均效能比較（IGD↓） 37.
(46) 4.3.2 全域搜尋對效能之影響 本實驗測試 LR、GR、DU 三種取代機制，以及線性加權法 （WS） 、Tchebycheff 方法（TCH）與三種適應控制方法（A1,A2,A3）共五種適應值計算方式，以及兩 種正規化方式（N0 與 N1）；其中，GR 取代機制只能與 TCH 方法搭配，在本實 驗中共有(2×5+1×1)×2=22 種組別。兩種正規化方式與五種適應值計算方式搭配得 到不同評估個體方式如表 4-4，Kte 為鄰域中具有相同個體數量之門檻值，若相同 個體數量超過 Kte 個，則評估個體方式由 WS 方法切換為 TCH 方法。 表 4-4 不同評估個體方式 WS fi . vi zi* ni* zi*. v f i *i zi. k. f i f i i 1. TCH. A1. A2. A3. Kte=1. Kte=2. Kte=3. max (i f i ) 1i k. max (i | f i 1 |) 1ik. 我們將測資分為小型、中型與大型測資進行分析，結果如表 4-5 與 4-6。表格 中上方為由公式 (21) 正規化後的平均，下方數值為與比較對象（表格底色為灰 色）之檢定結果（表示比較對象表現較好且差異顯著，表示比較對象表現較差 且差異顯著）。. 38.
(47) 表 4-5 全域搜尋（正規化方式/取代機制/適應值計算方式）實驗結果（HV↑）. TA01-TA30. TA31-TA60. TA61-TA90. TA01-TA30. TA31-TA60. TA61-TA90. N0/LR/WS. N0/LR/TCH. N0/LR/A1. N0/LR/A2. N0/LR/A3. N1/LR/WS. N1/LR/TCH. N1/LR/A1. N1/LR/A2. N1/LR/A3. N0/GR/TCH. 0.7516. 0.7641. 0.7918. 0.7907. 0.7733. 0.7390. 0.7773. 0.7747. 0.7748. 0.7707. 0.8350. 270. 220. 200. 220. 250. 270. 230. 260. 230. 240. 110. 0.3887. 0.4145. 0.4195. 0.4393. 0.4383. 0.3799. 0.4198. 0.4232. 0.4167. 0.4238. 0.5255. 240. 240. 220. 180. 160. 260. 210. 210. 210. 210. 2 0 . 0.2516. 0.2593. 0.2706. 0.2866. 0.2825. 0.2619. 0.2736. 0.2767. 0.2831. 0.2904. 0.3369. 210. 220. 230. 160. 170. 230. 190. 210. 210. 140. 3 0 . N0/DU/A1. N0/DU/A2. N0/DU/A3. N1/DU/WS. N1/DU/TCH. N1/DU/A1. N1/DU/A2. N1/DU/A3. 0.8821. 0.8835. 0.8768. 0.8613. 0.8268. 0.8326. 0.8090. 0.8167. 1 1 . 1 2 . 1 1 . 3 0 . 180. 130. 200. 200. 0.5503. 0.5468. 0.5435. 0.5275. 0.4309. 0.4033. 0.4044. 0.4187. 3 0 . 1 0 . 2 0 . 2 0 . 190. 220. 240. 220. 0.3728. 0.3539. 0.3539. 0.3480. 0.2539. 0.2309. 0.2686. 0.2770. 0 1 . 1 0 . 1 0 . 4 0 . 230. 260. 180. 210. N1/GR/TCH. N0/DU/WS. 0.8179. 0.8724. 130. 2 0 . 0.5230. 0.5307. 3 0 . 2 0 . 0.3682. 0.3477. 2 2 . 0 0 . N0/DU/TCH 0.8697. 0.5536. 0.3737. 39.
(48) 表 4-6 全域搜尋（正規化方式/取代機制/適應值計算方式）實驗結果（IGD↓）. TA01-TA30. TA31-TA60. TA61-TA90. TA01-TA30. TA31-TA60. TA61-TA90. N0/LR/WS. N0/LR/TCH. N0/LR/A1. N0/LR/A2. N0/LR/A3. N1/LR/WS. N1/LR/TCH. N1/LR/A1. N1/LR/A2. N1/LR/A3. N0/GR/TCH. 1.1761. 1.1780. 1.1449. 1.1489. 1.1634. 1.1841. 1.1699. 1.1634. 1.1589. 1.1674. 1.1178. 260. 220. 200. 190. 230. 270. 220. 250. 220. 230. 120. 1.4379. 1.4085. 1.4052. 1.3833. 1.3837. 1.4526. 1.4114. 1.4042. 1.4144. 1.4048. 1.3030. 250. 190. 180. 180. 160. 260. 220. 190. 190. 200. 2 0 . 1.6128. 1.5977. 1.5892. 1.5557. 1.5675. 1.5930. 1.5797. 1.5822. 1.5756. 1.5644. 1.4928. 230. 231. 231. 171. 170. 231. 201. 211. 171. 161. 2 1 . N0/DU/A1. N0/DU/A2. N0/DU/A3. N1/DU/WS. N1/DU/TCH. N1/DU/A1. N1/DU/A2. N1/DU/A3. 1.0841. 1.0846. 1.0868. 1.0956. 1.1272. 1.1233. 1.1374. 1.1273. 0 1 . 1 3 . 0 1 . 4 0 . 170. 140. 170. 170. 1.2812. 1.2860. 1.2901. 1.3033. 1.3995. 1.4252. 1.4163. 1.4026. 2 0 . 1 0 . 2 1 . 2 0 . 200. 230. 210. 200. 1.4379. 1.4618. 1.4688. 1.4664. 1.6173. 1.6500. 1.5760. 1.5664. 0 1 . 0 0 . 1 0 . 3 0 . 251. 261. 210. 190. N1/GR/TCH. N0/DU/WS. 1.1304. 1.0886. 140. 2 0 . 1.3080. 1.3031. 3 0 . 2 0 . 1.4466. 1.4706. 3 3 . 2 0 . N0/DU/TCH 1.0907. 1.2795. 1.4434. 40.
(49) 在取代機制方面我們發現，(N0/GR/TCH) 與 (N0/DU/TCH) 兩種組別其效能 皆比 (N0/LR/TCH) 為好，表示將個體放置於適合的子問題對演化較有助益。 在適應值計算方面，不論是 LR 或 DU，使用 WS 效能比 TCH 效能略差一些， 而使用適應式控制時，LR 取代機制在 (N0/LR/A2) 效能比 (N0/LR/TCH) 略有改 善。 最後，在正規化方面使用 N0 的效果較 N1 為好。圖 4-4 與圖 4-5 為本實驗中 三種因素之平均效能比較長條圖，從圖中可以發現對效能影響最大的是取代機制， 其次為正規化方式，而適應值計算方式影響最小，可能原因是我們使用的測資具 有凹型前緣的並不多或表現不明顯。 0.58 0.56 0.54 0.52 0.5 0.48. 0.46 0.44 N0. N1. LR. GR. DU. WS. TCH. A1. A2. A3. 圖 4-4 正規化方法、取代機制與適應值計算方式平均效能比較（HV↑）. 41.
(50) 1.4 1.38 1.36 1.34 1.32 1.3 1.28 1.26 1.24 N0. N1. LR. GR. DU. WS. TCH. A1. A2. A3. 圖 4-5 正規化方法、取代機制與適應值計算方式平均效能比較（IGD↓） 我們將 (N0/DU/TCH) 與其他組別進行統計檢定，發現這組搭配與 LR 取代 機制與差異較明顯，而與 GR 取代機制在小型測資差異較明顯。我們使用 (N0/DU/TCH) 進行接下來的實驗。. 4.3.3 區域搜尋對象對效能之影響 從本節開始的實驗皆會進行區域搜尋，我們將 TL 設定為 10，NNEH 設定為 5。 在本節中針對非凌越解集合（AR）與子族群（SP）兩種不同區域搜尋對象進行 實驗。SP 方法挑選搜尋對象之數量與 AR 方法相同。 本實驗中族群皆以隨機方式初始化，鄰域函式使用 (LPT, SPT) 策略，搜尋 方向使用 PD 策略。我們將測資分為小型、中型與大型測資進行分析，實驗結果 如表 4-7 與表 4-8。表格中上方為由公式 (21) 正規化後的平均，下方數值為與比 較對象（表格底色為灰色）之檢定結果（表示比較對象表現較好且差異顯著， 表示比較對象表現較差且差異顯著）。 42.
(51) 表 4-7 區域搜尋對象實驗結果（HV↑） AR. TA01-TA30. TA31-TA60. TA61-TA90. SP. 0.9373 6 0 0.7438 1 0 0.6721 010. 0.9463. 0.7511. 0.6116. 表 4-8 區域搜尋對象實驗結果（IGD↓） AR. TA01-TA30. TA31-TA60. TA61-TA90. SP. 1.0422 8 0 1.1318 2 0 1.1634 010. 1.0346. 1.1262. 1.2105. 與上一個實驗 (N0/DU/TCH) 的結果相互比較發現，加入區域搜尋能使得效 能大幅提升，並且問題規模越大效能提升越多，以 HV 而言，在小型測資從 0.8697 提升到 0.9463，中型測資從 0.5536 提升到 0.7511，大型測資從 0.3737 提升到 0.6721。 本實驗中使用 AR 方法在大型測資表現較好，而 SP 方法在小型與中型測資 表現略好一些，可能原因是大型測資變化多比較複雜，必須使用較為貪婪的 AR 方法求解才能得到較好的效能，而小型測資變化相對較少，使用較為隨機的 SP 方法才能維持族群多樣性。由於效能差異在大型測資最為明顯，我們使用求解大 型測資表現較好的 AR 方法進行接下來的實驗。 43.
(52) 4.3.4 區域搜尋方向對效能之影響 本實驗中族群皆以隨機方式初始化，鄰域函式使用（LPT, SPT）策略；本節 針對隨機目標法（RO） 、適應目標法（AO） 、隨機權重法（RW） 、適應權重法（AW） 與柏拉圖凌越法（PD）五種不同搜尋方向策略進行實驗。 我們將測資分為小型、中型與大型測資進行分析，實驗結果如表 4-9 與表 4-10。 表格中上方為由公式 (21) 正規化後的平均，下方數值為與比較對象（表格底色 為灰色）之檢定結果（表示比較對象表現較好且差異顯著，表示比較對象表現 較差且差異顯著）。 表 4-9 區域搜尋方向實驗結果（HV↑）. TA01-TA30. TA31-TA60. TA61-TA90. RO. AO. RW. 0.9351. 0.9328. 0.9369. 2 1 . 2 1 . 1 0 . 0.7418. 0.7506. 0.7328. 2 0 . 2 1 . 1 0 . 0.6686. 0.6923. 0.6751. 5 0 . 2 1 . 7 0 . AW. 0.9359. 0.7501. 0.7063. PD 0.9373 0 0 0.7438 0 0 0.6720 4 0 . 表 4-10 區域搜尋方向實驗結果（IGD↓）. TA01-TA30. TA31-TA60. TA61-TA90. RO. AO. RW. 1.0454. 1.0463. 1.0439. 2 0 . 1 0 . 0 0 . 1.1318. 1.1264. 1.1408. 1 1 . 2 1 . 1 0 . 1.1661. 1.1509. 1.1633. 4 0 . 4 1 . 4 0 . 44. AW. 1.0427. 1.1299. 1.1402. PD 1.0422 1 0 1.1318 1 0 1.1634 4 0 .
(53) 從實驗結果發現，使用 AO 與 AW 兩種適應式搜尋方向在大型測資平均效能 表現較好，其他測資則差異不大；由圖 4-6 與圖 4-7 可以發現這五種策略其效能 差異不大，為了不增加演算法的複雜性，我們沿用 PD 策略進行接下來的實驗。 1 0.9. 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 TA01-TA30. TA31-TA60 RO. AO. RW. AW. TA61-TA90 PD. 圖 4-6 搜尋方向策略在不同測資規模之效能比較（HV↑） 1.18 1.16 1.14 1.12 1.1 1.08 1.06 1.04 1.02 1 TA01-TA30. TA31-TA60 RO. AO. RW. AW. TA61-TA90 PD. 圖 4-7 搜尋方向策略在不同測資規模之效能比較（IGD↓）. 45.
(54) 4.3.5 鄰域函式策略對效能之影響 本實驗中族群皆以隨機方式初始化，針對 Evolution、SPT、LPT、Random、 （SPT, LPT）、（LPT, SPT）六種不同鄰域函式策略進行實驗，我們將測資分為小 型、中型與大型測資進行分析，實驗結果如表 4-11 與表 4-12。表格中上方為由公 式 (21) 正規化後的平均，下方數值為與比較對象（表格底色為灰色）之檢定結 果（表示比較對象表現較好且差異顯著，表示比較對象表現較差且差異顯著）。 表 4-11 重新插入策略實驗結果（HV↑）. TA01-TA30. TA31-TA60. TA61-TA90. Evolution. SPT. LPT. 0.9368. 0.9395. 0.9420. 3 0 . 2 0 . 5 0 . 0.7362. 0.7512. 0.7217. 3 0 . 1 0 . 3 0 . 0.6519. 0.6732. 0.6250. 3 0 . 2 0 . 5 0 . Random. 0.9448. 0.7620. 0.6767. (SPT, LPT). (LPT, SPT). 0.9389. 0.9373. 3 0 . 5 0 . 0.7331. 0.7438. 2 0 . 1 0 . 0.6414. 0.6720. 3 0 . 1 0 . 表 4-12 重新插入策略實驗結果（IGD↓）. TA01-TA30. TA31-TA60. TA61-TA90. Evolution. SPT. LPT. 1.0429. 1.0422. 1.0392. 3 0 . 2 0 . 4 0 . 1.1364. 1.1269. 1.1459. 3 0 . 1 0 . 4 0 . 1.1821. 1.1659. 1.2037. 3 0 . 2 0 . 6 0 . Random. 1.0365. 1.1175. 1.1621. (SPT, LPT). (LPT, SPT). 1.0424. 1.0422. 3 0 . 6 0 . 1.1400. 1.1318. 1 0 . 2 1 . 1.1913. 1.1634. 3 0 . 0 0 . 在這個實驗中我們發現，在大型測資 SPT、Random 與 (LPT, SPT) 平均效能 表現略好一些，其他測資則差異不大；由圖 4-8 與圖 4-9 可以發現這六種策略效 能差異不大，我們使用操作較為簡單的 Random 策略進行接下來的實驗。 46.
(55) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 TA01-TA30 Evolution. TA31-TA60 SPT. LPT. Random. TA61-TA90 (SPT,LPT). (LPT,SPT). 圖 4-8 鄰域函式策略效能比較（HV↑） 1.25. 1.2. 1.15. 1.1. 1.05. 1 TA01-TA30 Evolution. TA31-TA60 SPT. LPT. Random. TA61-TA90 (SPT,LPT). (LPT,SPT). 圖 4-9 鄰域函式策略效能比較（IGD↓）. 4.3.6 資源分配機制對效能之影響 本實驗探討 3.9.4 節提出的資源分配機制對效能的影響，分為四種組別進行 實驗：Original 為對照組；INT 為挑選更新失敗次數較少的個體進行區域搜尋； DIV 為針對更新失敗次數超過門檻值的個體做一次插入突變後再進行區域搜尋； INT+DIV 為兩種策略結合，傾向挑選更新失敗次數少的個體，若挑選到失敗次數 47.
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