臺北區105學年度學測聯合模擬考第二次

(1)

臺北區

105 學年度學測聯合模擬考第二次

第壹部分：選擇題（佔65 分）一、單選題（佔25 分） 1. 右圖是一顆3 3 的魔術方塊，也就是在一個正立方體中，每一面均有九個大小相等的正方形。現將其中一面緊靠在牆面，並靜置在桌面上(如圖所示)，試求一隻螞蟻沿著分格線或稜線，從 A 點走捷徑到B 點，有幾種不同的走法？(舉例說明：圖中粗線即為滿足條件之一條路徑。) (1) 28 種 (2) 56 種 (3) 74 種 (4) 110 種 (5) 138 種 2. 若 f x y



,

 

 x1

 

2  y1

 

2 x2y1



2，試求此函數的最小值為下列何者？ (1) 10 3 (2) 8 3 (3) 1 (4) 2 (5) 3 3. 坐標平面上有一個正六邊形，其頂點以順時針方向依序為 ABCDEF。已知 F 點的坐標為

 

0,5 ， O 點為原點，且 A、B 皆在 x 軸上，則



AF AO ？ (1) 5 (2) 5 3 (3) 25 3 (4) 25 3 3 (5) 25 4. 已知一圓C ：



x1

 

2 y2



2 10，平面上一點A

 

4,2 ，直線L 通過 A 點且與 x 軸正向的交角為60 ，若直線 L 與圓 C 交於 P、Q 兩點，求 AP AQ  ？ (1) 1 4 (2) 1 2 (3) 1 (4) 3 2 (5) 5 4 5. 考慮矩陣A a b c a     _   ，其中a、b、c 為實數且行列式值

 

1 det 2 A  ，求_{det A A}



_ 1



__？ (1) 1 8 (2) 1 4 (3) 1 2 (4) 9 2 (5) 9 4 二、多選題（佔40 分） 6. 設 f x 為一實係數四次多項式，

 

i 1，已知 f i



  且不等式1



0 f x

 

 的解為 20    ，x 3 則下列選項哪些是正確的？ (1) f i

 

  (2) 若 a、b 為任意實數，且1 0 f a bi







 ，則2 f a bi







  2 (3) 不等式 f

 

2x  的解為0 x  或1 3 2 x (4) y f x

 

的圖形與x 軸交於相異兩點 (5) y



x2

  

f x 的圖形與x 軸有三個交點

(2)

7. 已知自然數 a、b 滿足log₃a20且log₃b16，則下列選項哪些是正確的？ (1) 自然數a b 必為 41 之倍數 (2) 自然數 a 的個位數字與 b 相同 (3) 自然數a b 為 9 位正整數 (4) 自然數a b 展開後之末兩位數字為 22 (5) 若定義實數A n  ，其中 n 為整數且 0   ，則稱 1  為實數 A 之小數部分，由此定義得



4 5



3 log a b 之小數部分與log 162 之小數部分相等 ₃ 8. 阿松申辦提款卡時，依銀行規定須自訂 4 個阿拉伯數字排成一組密碼。某天阿松欲提款時發現他忘了正確密碼，只記得是由奇數1，3，5，7，9 中取出相異四個數字排列而成，現若依此隨機輸入號碼，試問下列選項哪些是正確的？ (1) 他第一次就猜對的機率為 1 120 (2) 提款機設定當輸入的密碼錯誤達三次時，會沒收該提款卡，阿松嘗試輸入不同密碼，則他的提款會被沒收的機率為39 40 承上述條件，若有一種智慧型提款機，每次輸入數字後會給提示，提示的口訣為「mAnB」，其中 mA 表示輸入的數字當中有 m 個不但中了而且數字是在正確的位置，nB 表示輸入的數字當中有 n 個中了但是數字的位置不正確。例如：密碼為7135，若輸入 3159，則提示為「1A2B」。假使能善用提示，試問下列選項哪些是正確的？ (3) 在第一次輸入就猜到「1A3B」的機率為 1 15 (4) 他在第一次猜到「1A3B」的條件下，第二次猜到「4A0B」的機率為1 8 (5) 他在第一次猜到「1A3B」且在第二次猜到「4A0B」的機率為 1 120 9. 若變數 X(身高)的算術平均數為_x，標準差為_x；而變數Y(體重)的算術平均數為_y，標準差為 y  ；且變數X 與變數 Y 的相關係數為r ，而 Y 對 X 的最佳迴歸直線為 y a bx_xy   。現將變數做線性轉換P 2X 1，Q Y  ，則下列選項哪些是正確的？ 3 (1) 變數 P 的算術平均數_P  2_x (2) 變數 P 的標準差1 _p  2_x (3) 變數 P 與變數 Q 的相關係數r_pq   (4) Q 對 P 的迴歸直線方程式必過點r_xy



2x1,y3



(5) Q 對 P 的迴歸直線方程式的斜率為 2 b  10. 若空間中向量



a 



1, 2, 2



、



b 



2, ,m n



、



c 



2, 1, 0



，滿足



b 3 5且 45 a b c  _ _ _   

  

 ，則下列選項哪些是正確的？

(3)

(1) _ a  b _/ / c 

  

 (2)

 

a  b (3) m (4) 4 n (5) 5 a c b 0  _ _ _   

   

 11. 已知空間中三點A



2,2,1



、B



1,3, 1 、



C



1,1, 1 ，若在空間中與 A、B、C 三點等距離的所有點



所形成的圖形為 ，則下列選項哪些是正確的？ (1)   :x y 2z  (2) 1 0 1 2 : 2 , x t y t z t      _       (3)  中最接近原點的點為 1, 2,2 5 5       (4)  中與原點最接近的距離為 21 5 (5) ABC的面積為 5 12. 設 A、B、C 為矩陣，I 為單位方陣。下列有關矩陣的敘述哪些是正確的？ (1) 若AB BA ，則矩陣A、B 皆為方陣 (2) 若AC BC ，且det

 

C  ，則0 A B (3) 若_A2 _{ ，則}_I _{A I}_ _或_A_{ }_I _{(4) 若}_{AB BA}_ _，則_AB10 __{B AB}5 5 __{B A}10 (5) 若 AB 有乘法反元素，則

 

_AB 1 __{B A}1 1 13. 若方程式



2 2



2



4 7 0 x y  x y  x  之圖形與直線L mx y:   4 2m 有四個相異的交點，請問0 符合的m 值可能為下列哪些？ (1) 2 (2) 1 (3) 0 (4) 1 (5) 2 第貳部分：選填題（佔35 分） A. 若有一群人，任意取完 2 本相同書籍的方法數超過 1000 種，試問這一群人至少有______個人。 B. 已知 a 為整數，若平面上三直線L x₁: 2y a  ，2 L₂: 2x3y   ，a 4 L₃: 3x  



a 1



y  共1 交點，求序組



x y a, ,



 ______。 C. 已知 ABC 中， A 120，D 為 A 的內角平分線與BC的交點，M 為BC的中點，若AB6， 4 AD ，求 AM  ______。 D. 如圖所示，等腰直角 ABC 中，  ，D 為A 90 BC的中點，四邊形DEFG 為正方形，且點 F 在AC邊上，若BE 3CG，BC4，則正方形DEFG 的面積為______。 E. 設圓_{C x}_: 2 __y2_{   及直線 :}_{x y} ₀ _{L x y}_{   ，若 P 為圓 C 上之動點，O 為坐標平面上的原}_{4 0} 點，連接OP



，且令OP



與直線L 之交點為 Q，可得OP OQ



 為定值k，則k  ______。

(4)

F. 滿足遞迴式 1 2 2 1 1 1 n n n F F F_ F_ F     _ _  ，（n 為自然數）的數列〈F 〉稱為 Fibonacci Sequence，若以矩陣的_n 方式來表現為 1 1 2 0 1 1 1 n n n n F F F F          _            。若 8 0 1 1 1 a b c d   _         ，且a b c d   Fn，試求數對

 

a n,  ______。 G. 有一橢形的公園，其中心有一噴水池，距噴水池南北各10 3 公尺處各有一涼亭，公園的邊界上任一點到兩涼亭的距離和均相等，現過涼亭闢一東西向的小徑，而小徑與公園邊界的交點處與噴水池之間鋪一直線健康按摩步道，若東西向的小徑與健康按摩步道的夾角為60 ，則噴水池到公園最南端的距離為______公尺。

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第壹部分：選擇題（佔65 分） 1. 3 2. 2 3. 3 4. 3 5. 4 6. 34 7. 1245 8. 12345 9. 1345 10. 12345 11. 2345 12. 124 13. 15 第貳部分：選填題（佔35 分） A. 45 B.



1, 1, 3 



C. 3 3 D. 4 2 2 E. 4 F.



13,11



G. 5 5 13 如有題目或答案打字錯誤，或後續更正，歡迎email 至 weiye@pure.pro (瑋岳)提醒修改。感謝。

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 

 

 



 





 



 

 





 





 

 









 

 



  





























  

  

 

   













 

 





















 

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105 學年度 學測聯合模擬考 第二次 參考解答

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

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

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