中學生通訊解題第十五期參考解答與評析

問題編號 901502 有若干個大小不同的正立方體積木，由 下而上堆成如右所示之塔形，使上面正方體 底部的四個頂點，恰是下面正方體頂部各邊 之中點。 已知最下面正方體的體積為 1 ，且從四 周或上面能看到的表面積超過 8.9 ，試求這些 正方體之個數至少有幾個？ 參考解答： 假設有 k 個正方體，得其側面積的和為 又由上方向下所看得面積恆為 1 ，由題 意知

⇒

⇒

⇒ ⇒ 故 k 之最小值為 7 ，即上述正方體最少有 7 個。 評析： 1.本題之關鍵在於 " 俯視面積 =1" ，再加上四

中學生通訊解題第十五期參考解答與評析

臺北市立建國高級中學　數學科

問題編號 901501 方側表面積，即可得一個不等式，解此不等 式即得 " 至少 7 個 " 。 2.來函同學共 34 位。其中以台北縣福和國中 217 吳霽庭，台北市民生國中 202 張哲瑞， 基隆市銘傳國中 210 呂敏中，台南市建興國 中 215 黃信溢，之解答最完整詳盡。 設 a=1+2+...+10 ， b=12₊₂2_+...+102_， c=13₊₂3_+...+103_{及 d=1}4₊₂4_+...+104_{自 1~10} 中任選 2 個相異的數相乘， S 代表所有可能情 形的和；自 1~10 中任選 4 個相異的數相乘， T 代表所有可能情形的和。 即 S=1×2+1×3+1×4+...+8×10+9×10 ， T=1×2×3×4+1×2×3×5 + 1×2×3×6+. . . . . +6×8×9×10+7×8×9×10 ， 試以 a,b,c,d 的式子表示 S 、 T 。 參考解答： ＜解法一＞ ， 1.將1,2,...,9,10任選二數x與y填入□×□中， 亦即 (1+2+...+10)(1+2+...+10)的任一項， 而當 x=y 時即為 12₊₂2_+...+102_{的任一項，} 注意 x≤y 或 x≥y ，故可得 { ( 1 + 2 + . . . + 1 0 ) ( 1 + 2 + . . . + 1 0 ) - ( 12₊₂2_+...+102₎₌ 2.將 1,2,...,9,10 任選 4 數 x,y,z,與 u 填入□× □×□×□中，亦即

問題編號 901503 (1+2+...+10)(1+2+...+10)(1+2+...+10) (1+2+...+10)的任一項，而當 (1)x=y=z=u 時，表 14₊₂4₊₃4...+104_的任一項 (2)x=y=z≠u 時，表(13₊₂3_+...+103_)(1+2+... +10) -(14₊₂4_+...+104_)任一項 ( 3 ) ( x = y )≠( z = u ) 時，表( 12_{+ 2}2_{+ . . . + 1 0}2₎ (12₊₂2_+...+102_{)- (1}4₊₂4_+...+104_{)的任一項} ( 4 ) x = y 且 x , z , u 兩兩不同時，表[ ( 12_{+ 2}2_{+ . . .} + 1 02_{) ( 1 + 2 + . . . + 1 0 )}2_{- ( 1}2_{+ 2}2_{+ . . . + 1 0}2_{) 2 - 2} (13₊₂3_{+ . . .+ 1 0}3_{) ( 1 + 2 + . . .+ 1 0 ) + 2 ( 1}4₊₂4_{+ . . .} +104_{)的任一項} ( 即 扣 除 x×x×y×y ， x×x×x×u 與 x×x×z×x ， x×x×x×x) 由上知： T = { ( 1 + 2 + . . . + 1 0 )4_{- ( 1}4_{+ 2}4_{+ . . . + 1 0}4_{) - 4} [ ( 13₊₂3_{+ . . .+ 1 0}3_{) ( 1 + 2 + . . . + 1 0 ) - ( 1}4₊₂4_{+. . .} + 1 04_{) ] - 3 [ ( 1}2_{+ 2}2_{+ . . . + 1 0}2₎2_{- ( 1}4_{+ 2}4_{+ . . . . .} +104_)]-6[(12₊₂2_+...+102_{)(1+2+...+10)}2 -( 12_{+ 2}2_{+ . . . + 1 0}2₎2_{- 2 ( 1}3_{+ 2}3_{+ . . . + 1 0}3₎ (1+2+...+10)+2(14₊₂4_+...+104_)]}

= {a4_{-d-4[ac-d]-3[b}2_-d]-6[ba2_-b2_-2ca+2d]}

= {a4_-d-4ac+4d-3b2_+3d-6ba2_+6b2

+12ac-12d} = {a4_-6a2_b+8ac+3b2_-6d} 【註：n=10 ， T= (n-3)(n-2)(n-1) n(n+1) (15n3_+15n2_{-10n-8)=157773】} ＜解法二＞ 1.由題意 a2_{=(1+2+3+...+10)}2₌₍₁2₊₂2₊₃2_+... 102_{)+2 (1×2+1×3+1×4+...+8×10+9×10)} =b+2S 所以 S= 2 . S2_{= ( 1}×₂₊₁×_{3 + 1}×_{4+. . . +8}×_{1 0 + 9}×₁₀₎2₌ (12×₂2₊₁2×₃2₊₁2×₄2_+...+92×₁₀2₎₊₂₍₁2×₂× 3 + 12×₂×_{4 + . . . + 1 0}2×₇×_{9 + 1 0}2×₈×_{9 ) + 6} (1×2×3×4+1×2×3×5+...+6×8×9×10+7× 8×9×10) (1)b2₌₍₁2₊₂2₊₃2_+...+102₎2₌₍₁4₊₂4₊₃4_+...+104 )+2(12_×22₊₁2_×32_+...+92_×102_)=d+2(12_×22₊ 12×₃2_+...+92×₁₀2_{)所以 1}2×₂2₊₁2×₃2_+...+ 92×₁₀2₌ (2)b×s=(12₊₂2₊₃2_+...+102₎₍₁×₂₊₁×₃₊₁×₄₊ ...+8×10+9×10)=(12_×2×3+12_×2×4+...+ 8×9×102₎₊₍₁3×₂₊₁3×_3+...+8×₁₀3₊₁₀3×₉₎ =(12_×2×3+12_{×2×4+...+8×9×10}2_)+ac-(14₊ 24_{+ . . . + 1 0}4_{) 所以 1}2×₂×_{3 + 1}2×₂×_{4 + . . . . .} +8×9×102_=bs-ac+d 故由(1)(2)知 S2_{= +2(bs-ac+d)+6T} ⇒( )2_{= +2(b}× _-ac+d)+6T ⇒T= 評析： 1.本題中 "T 值 " 難度高，但仍有七位同學不 畏懼困難來挑戰，並獲得成功。 2.本題共收到 17 位同學的解答，每位同學都 花費不少心力！尤其令人敬佩高雄市立志 國中郭志言同學，才升上國一，表現出非 常強 " 解題毅力 " 的與十分出色的技能，真 令人刮目相看。上述解法二由台南市建興 國中黃信溢同學提供，其解答簡明扼要， 力道十足！ 3.本題平均得分為 4.06 分，得分率為 58% 。 下表是一個 4×4 的方格，在每個小方格

的四個角落都寫上一個數字，其規則是：以 4×4 方格的四個端點為起點，然後按照的排 列方式，寫滿整個 4×4 方格。 (1)若把表格改成 n×n 的方格。試證：每一個 小方格內的四個數字的和皆相等。 (2)若把表格改成 15×15 的方格，且每個小方 格內右下角的數字都寫不出來。 試求：第 8 列第 7 行的小方格內的三個數字的 和是多少？ 參考解答： (1) 設 n ×n 表格中，每一小格內左上角的數 字所成的數列為<a_n> 而每一小格內右下角的數字所成的數列 為<b_n> 則< a_n> 由 左 上 寫 至 右 下 依 序 為 ：1 , 2 , 3,...,n2_-2,n2_-1,n2 <b_n>由右下寫至左上依序為：1,2,3,..., n2_-2,n2_-1,n2 反之<b_n>由左上寫至右下依序為：n2_,n2 -1,n2_-2,...3,2,1 所以每一小格內左上角的數字與左下角 的數字和 =1+n2_=2+(n2_-1)=3+(n2_-2)=...=(n2 -2)+3=(n2_-1)+2=n2₊₁ 在 n×n 表格中，每一小格內的 4 個數字 和 =2(n2₊₁₎ (2)在 15×15 的表格中，由(1)知其每一小格內 的 4 個數字總和 =2(152_{+1)=452 而每一小方} 格內兩對角的數字和 =152_{+1=226 今觀察 15} 15 表格中，每一小方格內左上角的數字列 設其為<aij>，如圖：

則 a₁₁=1,a₂₁=2,a₃₁=4,a₄₁=7,a₅₁=11... 所以 a₈₁=1+(1+2+3+...+7)=1+ =29 而 a₁₂-a₁₁=2,a₂₂-a₂₁=3,a₃₂-a₃₁=4...

所以 a₈₂-a₈₁=9

又 a₈₁=29,a₈₂=38,a₈₃=48... 第 8 列

問題編號 901505 問題編號 901504 所以 a₈₇=29+(9+10+11+12+13+14)=98 因為第 8 列第 7 行的小方格內的左上角數 字為 98 ，所以右下角數字為 226-98=128 即去 掉右下角的數字後，其他三個數字之和 =452-128=324 Ans：324 評析： 1. 本題要能仔細觀察才規律後，方能經由規 律而得出答案。 2. 在所有參與徵答的同學中，以台北縣江翠 國中莊凱壹、海山國中張源平、新莊國中潘 柏諺，台南市建興國中黃信溢等同學，解答 最為清楚詳盡。 3.本題參與答題人數共有 11 人，平均得分為 5.01 分，得分率為 71.57% 。 (1)試說明 4 個連續正整數的乘積必為 4!之倍 數。 (2)試說明 n 個連續正整數的乘積必為 n!之倍 數。 n!=1×2×3×...×n (3)設 k,r 為互質的兩個自然數，且 k>r>1 ， 試證：自 k+1 開始連續 r-1 個正整數的乘積必 為 r!的倍數。 參考解答： (1)將自然數分為{4k+1,4k+2,4k+3,4k+4}等四 類 k=0,1,2,...則上述 4 個分類連續取 4 個 有以下 4 種方法，(4k+4,4k+1,4k+2,4k+3) (4k+1,4k+2,4k+3,4k+4)(4k+2,4k+3,4k+4, 4k+1)(4k+3,4k+4,4k+1,4k+2)乘積都是 4!之 倍數。 (2)同理可證。 (3)因為(k+1)(k+2)...(k+r-1)為連續(r-1)個正 整數乘積由(2)可知(k+1)(k+2)...(k+r-1)= (r-1)!m ,其中 m 是整數，又 k(k+1)(k+2)... ( k + r - 1 ) 為連續 r 個正整數乘積，所以 k (k+1)(k+2)...(k+r-1)=r!×n,其中 n 是整數 ⇒k×(r-1)!×m = r!×n⇒k×m=r×n ，又因為 (k,r)=1⇒m 是 r 的倍數 所以自 k+1 開始連續 r-1 個數的乘積必為 r!的倍數。 評析： 1.本題大部分同學僅指出 n 個連續自然數的乘 積含有 1 、 2 、 3...、 n 等因數，但卻忽略 說明其互斥性，如含因數 2 的數，因數 4 的 數可能為同一個數，以致証明不完整，其 實只要考慮 n!與 n 個連續自然數的標準質因 數分解情況，比較每一個質因數的次數即 可。 2.本題答題人數 32 人，第一小題 2 分，第二 小題 2 分，第三小題為 3 分，平均得分為 1 分，答對率 14.28%. 3. 答題品質佳者僅台南市建興國中黃信溢同 學，另外高雄市立志中學蔡政江同學在第 三小題部分提供另一解法。 如右圖，平面上有四個點，測量各點間 的距離時，只有兩個不同的值，這樣的圖形 不只一種，請儘量的找出這樣的圖形(相似的 圖形算成同一種)，並簡單說明你的做法。

參考解答： 本題是一個開放的問題，除了右上圖之 外，另外尚有以下五種圖。 評析： 1. 本題是一個開放性的問題，凡能找出合乎 題目設定之條件的答案皆合乎所求。 2.參與徵答的同學共有 33 人，答題優良的有 台 北 市 民 生 國 中 康 軒 偉 、 謝 玉 恆 、 張 哲 瑞、劉冠暐、劉冠筠、黃彥豪，敦化國中 許斯淵，明德國中王琨傑，弘道國中魏群 樹，大直國中陳俊曄，台北縣海山國中張 源平、江翠國中黃明山、侯天崎，新竹市 光 華 國 中 賴 俊 儒 ， 彰 化 縣 明 倫 國 中 羅 雲 灝，台南市建興國中黃信 溢，高雄市立志 中學蔡政江。 3.本題共有 33 為同學參與徵答，平均得分為 5.18 分，得分率為 74% 。