報告題名：
影響美國各洲死力不同的因素
作者：張秀媛、張淑盈 系級：統計與精算研究所 學號：M9700162、M9618737 開課老師：陳婉淑 教授 課程名稱：迴歸分析 開課系所：統計系 開課學年： 97 學年度 第 一 學期1 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年)
摘要
死亡，是存活在這個世界上的所有生物將來都必須面對的議題，影響死亡的 因素很多，且各個因素造成死亡的機率也大不相同，因此選取了一月份平均溫 度、七月份平均溫度、相對溼度、每年度降雨量、受教育年數中位數、人口密度、 非白種人比例、白種人比例、人口數、每個家庭人數、家庭收入中位數、碳氫化 合物潛在污染、一氧化二氮潛在污染、二氧化硫潛在污染為其潛在的重要變數， 以「向前選取法」、「向後消去法」、「逐步選取法」、「校正後的複判定係數法」、「CP 選取法」、「AIC 準則」及「SBC 準則」這七種方法選出了每種方法中的重要變 數，而後綜合結果，選出最終模式，還要檢查是否有影響點跟異常點、檢測是否 有多重共線性問題，最後要檢查誤差是否符合四個基本假設：殘差平均是否為 零、殘差是否來自常態、殘差間是否獨立、殘差變異數是否為常數。 最終選取變數為「一月份平均溫度」、「每年度降雨量」、「非白種人比例」、「二 氧化硫潛在污染」是影響各城市死力不同最重要的變數。關鍵字
死力、向前選取法、向後消去法、逐步迴歸法、校正後的複判定係數法、CP 選取法、AIC 準則、SBC 準則、散佈圖、殘差分析、複迴歸分析、選擇模式。2 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年)
目次
研究動機 ... 3 決定變數 ... 3 第一章 資料分析 ... 5 第一節 一般敘述統計 ... 5 第二節 散佈圖 ... 6 第三節 變數間的相關性 ... 7 第四節 建立模式 ... 8 第二章 診斷模式 ... 15 第一節 多重共線性的診斷 ... 15 第二節 殘差四個基本假設的檢定 ... 15 第三節 檢查影響點與異常點 ... 18 第三章 刪除觀察值後之迴歸分析 ... 24 第一節 選取重要變數 ... 24 第二節 最終模式 ... 24 第三節 殘差四個基本假設的檢定 ... 25 第四章 結論 ... 27 參考文獻 ... 28 附錄 ... 283 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年)
研究動機
人類的平均壽命隨著科技的進步，生活品質的改善而增加，以往一些會大幅 影響人類壽命的因素也逐一被人們克服，但同時也有一些新的影響因素出現，例 如因機車數量增加，而產生了一些環境的汙染，進而成為影響人類死亡的因素之 一。所以我們想要研究到底什麼因素影響死亡率有多高，哪些因素對死亡沒有影 響。 因此，由不論是軍事、農業、體育、醫學、科技等各方面，都排名世界第一 的美國，做為研究對象，從中挑選 58 個城市，探討影響各個城市死力不同的因 素。藉由研究第一強國的方式，而推演至其它小國未來可能也會因為相同的原 因，而導致死力的上升或下降，進而做到事先防範的目的。決定變數
我們想要研究影響死亡的因素，但不以「死亡率」這個會受單位影響的變數 作為研究對象，而是以某一個 X 歲的人，在 t 時間點瞬間死亡的強度，也就是死 力(Y)，這個沒有單位的變數作為我們的應變數，由於此變數沒有單位，所以計 算出來的值會是一個純粹的數字，也就會是一個客觀公認的數值，可直接觀察出 它的大小。 一般來說，全世界一月份的溫度都會偏低、七月份的溫度會偏高。我們想要 探討溫度高低對死力造成的嚴重性，因此以一月份平均溫度(華氏溫標)(x1)作為 第一個要討論的自變數，七月份平均溫度(華氏溫標)(x2)作為第二個要討論的自 變數。 由於不同的生物都有適合自己乾燥或潮濕的環境，所以不同的溼度將會對他4 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年) 們的健康造成影響，又不同的地理位置會產生不同的氣侯，因此我們以相對溼度 (百分比)(x3)作為第三個要討論的自變數。 美國由於幅員遼闊和廣泛的地理特徵，降雨量因地區而異，因雨量多寡是影 響農業生長的重要因素，它會牽涉到人類食物的供給，此外，雨量多寡也會牽涉 到生活環境的品質，影響到人們的健康，因此我們以每年度降雨量(厘米)(x4) 作為我們第四個要討論的自變數。 美國由於人口眾多，再加上全國有 31 個種族，所以每個人受教育的程度也 就會有所差異，因教育程度的不同，對生命的看法也會有個自的想法，因此我們 以受教育年數中位數(年數)(x5)作為第五個要討論的自變數。 目前全美國有大約 77%的人口居住於城市地區，其中又有半數以上集中於 37 座主要的大城市。我們想要知道人口的稠密與疏散，是否會有不同的死力，因此 我們以人口密度(人口/每平方公里)(x6)作為第六個要討論的自變數。 另外，我們想要知道白種人與非白種人會不會因為血統、習性或思想的不同 而產生不同的死力，因此我們分別以非白種人比例(百分比)(x7)及白種人比例 (百分比)(x8)作為我們第七、第八個要討論的自變數。 由於美國人口數眾多，我們想要探討城市中人口數的多寡，是否會產生不同 的死力效果，像是人口數愈多是不是會引起愈多的紛爭以致造成不必要的死傷 等，因此我們以人口數(人)(x9)作為第九個要討論的自變數。 每個家庭的成員數都不盡相同，一般來說成員數愈多，亦即兄弟姊妹愈多， 每個人受到的照顧就會相對地減少，死力也就會提升，因此我們想要探討家庭人 口數對死力的影響，所以以每個家庭人數(人口數/家庭數)(x10)作為第十個要討 論的自變數。 不同的家庭所得，也就會有不同的生活品質，這關係到全家人的健康，影響 到死力的上升或下降，因此我們以家庭收入中位數(美元)(x11)作為第十一個要 討論的自變數。
5 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年) Variable Label 個數 平均數 標準差 總和 最小值 最大值 y 死力 58 940.9443 62.9416 54575 790.73 1113 x1 一月份平均溫度 58 33.8966 10.2113 1966 12 67 x2 七月份平均溫度 58 74.4483 4.6308 4318 63 85 x3 相對溼度 58 57.7414 5.4276 3349 38 73 x4 每年度降雨量 58 38.5172 11.6743 2234 10 65 x5 受教育年數中位數 58 10.9707 0.8574 636 9 12.3 x6 人口密度 58 3918.0000 1453.0000 227268 1441 9699 x7 非白種人比例 58 11.8793 9.0761 689 0.8 38.5 x8 白種人比例 58 46.5397 4.9743 2699 33.8 62.2 x9 人口數 58 1453670.0000 1550477.0000 84312836 124833 8274961 x10 每個家庭人數 58 3.2426 0.1819 188 2.65 3.53 x11 家庭收入中位數 58 33321.0000 4476.0000 1932593 25782 47966 x12 碳氫化合物潛在污染 58 38.8966 93.3907 2256 1 648 x13 一氧化二氮潛在污染 58 23.1379 47.0545 1342 1 319 x14 二氧化硫潛在污染 58 54.9310 64.0726 3186 1 278 由於科技的進步，不同型態的工廠紛紛成立，汽、機車的數量也逐年增加， 它們所排放出來的廢水、廢氣也常造成環境上的污染，因而影響到人們的健康， 因此我們分別以碳氫化合物潛在污染(ppm)(x12)、一氧化二氮潛在污染 (ppm)(x13)、二氧化硫潛在污染(ppm)(x14)，作為要討論的第十二、第十三、第 十四個自變數。
第一章 資料分析
第一節 一般敘述統計
由表一知，因每個城市造成死亡的潛在因素不同，以致不同的城市，會存在 著不同的死力大小，在這 58 個不同的城市中，最小的死力值為 790.73，最大值 為 1113，而平均死力大小為 940.9443，標準差為 62.9416。 由於美國幅員遼闊，所以由表一可看出一月份平均溫度最低溫為華氏 12 度，最高溫為華氏 67 度，58 個城市的平均值為華氏 33.8966 度，而標準差為華 氏 10.2113 度。 表一6 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年)
第二節 散佈圖
由圖一看出 Y 與 X1無線性關係，可知道一月份平均溫度對死力無明顯的關 係；Y 與 X2有線性關係，但相關性不大，表示死力會隨著七月份平均溫度而呈現 正相關；Y 與 X3無線性關係，可知道相對溼度對死力無明顯的關係。圖二至圖四 以此類推，可看出 Y 分別與 X4 ~X12是否有線性關係，以及它們的相關性程度。由 圖五看出 Y 與 X13無線性關係，點約集中在某個範圍，亦即一氧化二氮潛在污染 的量大多集中在 1ppm~66ppm 的範圍內，所以死力與一氧化二氮潛在污染沒有很 明顯的關聯；Y 與 X14散佈圖有線性關係，有顯著的線性相關，表示死力會隨著二 氧化硫潛在污染而呈現正相關。此時發現似乎有異常點出現，即位於左上方的點 (死力為 1113.16，二氧化硫潛在污染為 1ppm)。 圖一7 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年) 圖二 圖三 圖四 圖五
第三節 變數間的相關性
由表二的“Pearson 相關係數表＂和“Y 對各自變數所作的散佈圖＂，可大 略的對所搜集到，且欲加以分析解釋的各自變數能有初步的認識及概念： 由圖二看出 Y 與 X5有線性關係，且由表二得知它們兩者間的相關係數只有 -50.76%，雖然相關性不大，但約略能看出死力會隨著受教育年數中位數增加而 減少。 由圖三看出 Y 與X 有線性關係，有顯著的線性相關，且由表二得知它們兩7 者間的相關係數達到 64.69%。表示死力的大小會隨著非白種人比例的大小而呈 現正相關。 我們大概可以判斷,在之後所進行的“變數選取法＂過程中,這兩個自變數 要被選入的機會為最高,且不大輕易的會被移除。8 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年) 表二
第四節 建立模式
一、選取重要變數
(一)
向前選取法(Forward Selection) 用向前選取法時，第一步為選取與依變數有最大相關的變數，意即對模 式的貢獻最大者，進入迴歸方程式中，第二步為對尚未進入迴歸方程式中的 預測變數加以考驗，決定納入哪一個變數，依此類推，直到沒有其他的變數 符合選取的標準為止。 由表三得知，最後選取的變數有X (一月份平均溫度)、1 X (七月份平2 均溫度)、X (每年度降雨量)、4 X (受教育年數中位數)、5 X (非白種人比7 例)、X (二氧化硫潛在污染)。 14 y x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 y 100.00% 死力 x1 -1.39% 100.00% 一月份平均溫度 0.9177 0.0148 x2 32.47% 31.86% 100.00% 七月份平均溫度 0.0129 0.0148 x3 -10.13% 8.62% -44.20% 100.00% 相對溼度 0.4493 0.5198 0.0005 x4 43.35% 5.83% 47.30% -11.77% 100.00% 每年度降雨量 0.0007 0.6638 0.0002 0.3787 x5 -50.76% 10.55% -27.32% 18.61% -47.36% 100.00% 受教育年數中位數 <.0001 0.4308 0.038 0.1619 0.0002 x6 25.36% -7.95% -1.18% -14.93% 8.37% -23.84% 100.00% 人口密度 0.0547 0.5531 0.93 0.2634 0.5321 0.0715 x7 64.69% 46.04% 60.35% -11.94% 30.28% -20.92% -0.69% 100.00% 非白種人比例 <.0001 0.0003 <.0001 0.3722 0.0209 0.1151 0.959 x8 -29.09% 19.61% -2.97% 1.67% -11.87% 49.03% 25.05% -5.95% 100.00% 白種人比例 0.0268 0.1401 0.8247 0.901 0.375 <.0001 0.0578 0.6575 x9 6.10% 23.56% 1.62% -14.32% -23.57% 19.44% 33.21% 11.59% 20.60% 100.00% 人口數 0.6491 0.075 0.9039 0.2835 0.0749 0.1436 0.0109 0.3862 0.1208 x10 36.87% -31.79% 27.34% -14.68% 20.30% -38.80% -16.21% 35.83% -32.09% -30.65% 100.00% 每個家庭人數 0.0044 0.015 0.0379 0.2714 0.1265 0.0026 0.2242 0.0057 0.0141 0.0193 x11 -28.21% 19.06% -20.15% 12.95% -36.60% 50.68% -0.84% -10.19% 34.88% 31.21% -28.03% 100.00% 家庭收入中位數 0.0319 0.1519 0.1293 0.3325 0.0047 <.0001 0.95 0.4465 0.0073 0.0171 0.0331 x12 -18.41% 36.11% -36.04% -2.62% -49.51% 29.03% 11.14% -2.63% 16.40% 52.88% -49.06% 32.59% 100.00% 碳氫化合物潛在污染 0.1666 0.0054 0.0055 0.8453 <.0001 0.027 0.4052 0.8447 0.2185 <.0001 <.0001 0.0125 x13 -8.38% 33.32% -33.74% -5.28% -46.00% 22.82% 15.75% 1.91% 12.63% 54.60% -45.14% 31.07% 98.38% 100.00% 一氧化二氮潛在污染 0.5315 0.0106 0.0096 0.6937 0.0003 0.0849 0.2377 0.8871 0.3446 <.0001 0.0004 0.0176 <.0001 x14 42.04% -9.66% -7.39% -11.63% -13.12% -23.07% 42.09% 15.97% -7.31% 36.49% -0.48% 6.40% 27.78% 40.57% 100.00% 二氧化硫潛在污染 0.001 0.4708 0.5816 0.3845 0.3262 0.0815 0.001 0.2313 0.5856 0.0049 0.9714 0.6332 0.0348 0.00169 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年)
(二)
向後消去法(Backward Selection) 用向後消去法時，第一步為先將全部的預測變數放入迴歸方程式中，第 二步為淘汰對模式貢獻最小的變數，依序對留在迴歸方程式中的預測變項加 以考驗，決定淘汰哪一個變數，直到所有預測變數均達到標準為止。 由表四得知，消去的變數有X (相對濕度)、3 X (受教育年中位數)、5 9 X (人口數)、X (每個家庭人數)、10 X (家庭收入中位數)、11 X (二氧化硫14 潛在污染)。(三)
逐步選取法(Stepwise Selection) 用逐步選取法時，第一步為依據向前選取的方式，根據對模式貢獻最大 者，挑選預測變項進入迴歸模式中，之後的每一步驟中，已被納入模式的所 有預測變數，利用向後消去法的考驗，將不重要的變數剔除，依此類推，直 到沒有變數被選取或剔除為止。 由表五得知，最後留下的變數有X (一月份平均溫度)、1 X (七月份平2 均溫度)、X (每年度降雨量)、4 X (受教育年數中位數)、5 X (非白種人比7 例)、X (二氧化硫潛在污染)。 14(四)
校正後的複判定係數法( 2 adj R Selection) 校正後的複判定係數法為估算全部可能的迴歸模式之 2 adj R 值，相互比 較，以選取最大之 2 adj R 為最佳最有效的迴歸模式。 由表六得知，最後所選取的變數為X (一月份平均溫度)、1 X (七月份2 平均溫度)、X (每年度降雨量)、4 X (受教育年數中位數)、5 X (人口密度)、6 7 X (非白種人比例)、X (白種人比例)、8 X (每個家庭人數)、10 X (碳氫化12 合物潛在污染 )、X (一氧化二氮潛在污染)。 1310 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年)
(五)
C 選取法 p p C 選取法為估算全部可能的迴歸模式之C 值，選取的迴歸模式必須使p 得 C 值夠小且滿足p C 值接近 p 的條件，其中 p 為參數個數。 p 由圖六，也就是C 圖可知，當 p=7 時，p 值最接近p C 值，所以選擇參p 數個數為 7 的組合。 由表七可知，當 p=7，且 Cp 最接近 p 時選擇的參數為X (一月份平均溫1 度)、X (七月份平均溫度)、2 X (每年度降雨量)、4 X (非白種人比例)、7 X (白8 種人比例)、X (二氧化硫潛在污染)。 14(六)
AIC and SBC CriteriaAIC(Akaike’s information criterion)與 SBC(Schwarz’ Bayesian criterion)主
要是用以判斷新增的預測變數是否適當，其定義如下： p n n n SSE n SBC p n n SSE n AIC p p p p ] [ln ln ln 2 ln ln + − = + − = 上述定義的涵義，首先是n lnSSEP，當 p 越大時，n lnSSEP將會降低， 而第二項n ln 在樣本數固定下，為一個固定之常數，最後第三項將遀著 p 越n 大時而越大，在此準則下，只要 p2 (對於AICP)或是[lnn]p(對於SBC )不p 是太大，SSE 越小越佳，因此我們在選取迴歸模式時，要選取使得 AIC、SBCp 越小的越好。 由表八可知，以 AIC 準則所選擇的變數為X 、1 X4、X 、5 X 、7 X14， 以 SBC 準則所選擇的變數為X1、X2、X4、X 、5 X 、7 X14。
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(七)
綜合結果 綜合了以上七種方法，我們選取出現四次以上的變數，有X (一月份平1 均溫度)、X (七月份平均溫度)、2 X (每年度降雨量)、4 X (受教育年數中5 位數)、X (非白種人比例)、 7 X (二氧化硫潛在污染)。 14 表三 Step Variable Entered Label Number Vars In Partial R-Square Model R-Square C(p) F Value Pr > F 1 x7 非白種人比例 1 0.4185 0.4185 51.0884 40.3 <.0001 2 x5 受教育年數中位數 2 0.1449 0.5634 26.9017 18.25 <.0001 3 x1 一月份平均溫度 3 0.0729 0.6363 15.7281 10.82 0.0018 4 x14 二氧化硫潛在污染 4 0.044 0.6802 9.7844 7.29 0.0093 5 x4 每年度降雨量 5 0.0288 0.709 6.5854 5.14 0.0276 6 x2 七月份平均溫度 6 0.0174 0.7264 5.4446 3.24 0.0778Summary of Forward Selection
表四 Step Variable Removed Label Number Vars In Partial R-Square Model R-Square C(p) F Value Pr > F 1 x3 相對溼度 13 0.0001 0.762 13.0122 0.01 0.9127 2 x11 家庭收入中位數 12 0.0006 0.7613 11.1291 0.12 0.7311 3 x14 二氧化硫潛在污染 11 0.0019 0.7594 9.4785 0.36 0.549 4 x9 人口數 10 0.0044 0.755 8.2787 0.85 0.3623 5 x10 每個家庭人數 9 0.006 0.749 7.3624 1.15 0.289 6 x5 受教育年數中位數 8 0.0062 0.7428 6.4871 1.19 0.2807
12 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年) 表五 Step Variable Entered Variable Removed Label Number Vars In Partial R-Square Model R-Square C(p) F Value Pr>F 1 x7 非白種人比例 1 0.4185 0.4185 51.0884 40.3 <.0001 2 x5 受教育年數中位數 2 0.1449 0.5634 26.9017 18.25 <.0001 3 x1 一月份平均溫度 3 0.0729 0.6363 15.7281 10.82 0.0018 4 x14 二氧化硫潛在污染 4 0.044 0.6802 9.7844 7.29 0.0093 5 x4 每年度降雨量 5 0.0288 0.709 6.5854 5.14 0.0276 6 x2 七月份平均溫度 6 0.0174 0.7264 5.4446 3.24 0.0778
Summary of Stepwise Selection
表六
Number in Model
Adjusted
R-Square R-Square Variable in Model 10 0.7028 0.7550 x1 x2 x4 x5 x6 x7 x8 x10 x12 x13 9 0.7019 0.7490 x1 x2 x4 x5 x6 x7 x8 x12 x13 11 0.7019 0.7594 x1 x2 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x12 x13 10 0.7014 0.7538 x1 x2 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x12 x13 7 0.7013 0.7380 x1 x2 x4 x6 x7 x8 x14 9 0.7013 0.7484 x1 x2 x4 x6 x7 x8 x12 x13 x14 8 0.7008 0.7428 x1 x2 x4 x5 x6 x7 x8 x14 8 0.7008 0.7428 x1 x2 x4 x6 x7 x8 x12 x13 9 0.7005 0.7478 x1 x2 x4 x5 x7 x9 x10 x12 x13 10 0.7005 0.7530 x1 x2 x4 x5 x6 x7 x8 x12 x13 x14
Adjusted R-Square Selection Method
表七
Number
in p C(p) C(p)-p R-Square Variable in Model 7 8 5.3498 -2.6502 0.7380 x1 x2 x4 x6 x7 x8 x14 6 7 5.4446 -1.5554 0.7264 x1 x2 x4 x5 x7 x14 6 7 5.7923 -1.2077 0.7245 x1 x4 x6 x7 x8 x14 8 9 6.4778 -2.5222 0.7428 x1 x2 x4 x5 x6 x7 x8 x14 8 9 6.4871 -2.5129 0.7428 x1 x2 x4 x6 x7 x8 x12 x13 7 8 6.5183 -1.4817 0.7315 x1 x3 x4 x6 x7 x8 x14 5 6 6.5854 0.5854 0.7090 x1 x4 x5 x7 x14 7 8 6.6248 -1.3752 0.7309 x1 x2 x4 x5 x7 x8 x14 7 8 6.6342 -1.3658 0.7309 x1 x2 x4 x5 x6 x7 x14 7 8 6.6419 -1.3581 0.7308 x1 x2 x4 x5 x7 x10 x14 8 9 6.7315 -2.2685 0.7414 x1 x2 x4 x6 x7 x8 x12 x14 6 7 6.8403 -0.1597 0.7187 x1 x2 x4 x7 x8 x14 7 8 6.8779 -1.1221 0.7295 x1 x2 x4 x5 x7 x9 x14 8 9 7.0028 -1.9972 0.7399 x1 x2 x4 x6 x7 x8 x13 x14
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表八
Number in
Model C(p) R-Square AIC SBC Variables in Model 4 20.1888 0.6342 431.1639 441.4661 x2 x5 x7 x14 4 23.9345 0.6141 434.2654 444.5677 x1 x2 x4 x7 4 24.4067 0.6115 434.6450 444.9472 x2 x4 x5 x7 4 24.9963 0.6084 435.1153 445.4175 x1 x2 x7 x14 4 50.1384 0.4735 452.2816 462.5838 x2 x4 x5 x14 4 53.0688 0.4578 453.9881 464.2903 x1 x4 x5 x14 4 56.0002 0.4420 455.6464 465.9486 x1 x2 x4 x14 4 61.2709 0.4138 458.5137 468.8160 x1 x2 x5 x14 4 78.8354 0.3195 467.1592 477.4614 x1 x2 x4 x5 5 8.2396 0.7090 419.8895 432.2522 x1 x4 x5 x7 x14 5 10.0032 0.6995 421.7454 434.1080 x1 x2 x4 x7 x14 5 12.4516 0.6864 424.2272 436.5898 x1 x2 x5 x7 x14 5 13.5970 0.6803 425.3527 437.7153 x2 x4 x5 x7 x14 5 14.7380 0.6741 426.4527 438.8153 x1 x2 x4 x5 x7 5 52.0904 0.4737 454.2532 466.6159 x1 x2 x4 x5 x14 6 7.0000 0.7264 418.3175 432.7406 x1 x2 x4 x5 x7 x14
二、個別係數檢定及最終模式
由表九得知，配適的迴歸線如下： 14 7 5 4 2 1 2.47975 1.3872 14.7357 4.9419 0.2517 55877 . 1 092 . 1214 x x x x x x yi = − − + − + + 且知只有 X2係數的 p-value 大於 0.05，所以這個係數是不顯著的，無法拒絕虛 無假設，因此先將 x2 這個變數刪除，再做一次個別係數檢定。其後又發現 x5 係 數的 p-value 大於 0.05，因此再將 x5 這個變數刪除，又再做一次個別係數檢定。 刪除 x2、x5 這些不顯著的變數後，再做一次檢定，檢定結果可由表十得知 剩餘變數中所有係數的 p-value 皆小於 0.05，可拒絕虛無假設，所以它們都是 顯著的，得最終模式的配適迴歸線如下： 14 7 4 1 1.62043 4.42679 0.3238 8086 . 1 4615 . 869 x x x x yi = − + + +14 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年)
表九
Variable Label DF Parameter Estimate Standard Error t Value Pr > | t | Variance Inflation Intercept Intercept 1 1214.092 129.6183 9.37 <.0001 0.0000 x1 一月份平均溫度 1 -1.55877 0.53163 -2.93 0.005 1.3865 x2 七月份平均溫度 1 -2.47975 1.37771 -1.8 0.0778 1.9151 x4 每年度降雨量 1 1.3872 0.50818 2.73 0.0087 1.6559 x5 受教育年數中位數 1 -14.7357 6.58789 -2.24 0.0297 1.5010 x7 非白種人比例 1 4.9419 0.72016 6.86 <.0001 2.0101 x14 二氧化硫潛在污染 1 0.2517 0.08066 3.12 0.003 1.2566 Parameter Estimates 表十
Variable Label DF Parameter
Estimate Standard Error t Value Pr > | t | Variance Inflation Intercept Intercept 1 869.4615 25.40552 34.22 <.0001 0.0000 x1 一月份平均溫度 1 -1.8086 0.55018 -3.29 0.0018 1.3442 x4 每年度降雨量 1 1.62043 0.44796 3.62 0.0007 1.1647 x7 非白種人比例 1 4.42679 0.66062 6.7 <.0001 1.5310 x14 二氧化硫潛在污染 1 0.3238 0.07996 4.05 0.0002 1.1177 Parameter Estimates 圖六 CP圖
15 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年)
第二章 診斷模式
第一節 多重共線性的診斷
多重共線性(Multicollinearity)是指在迴歸模式中，某些自變數或所 有自變數之間具有高度線性相關的現象。而變異數膨脹因子(Variance Inflation Factor，簡稱 VIF)是一種經常使用於發現多重共線性的正式診 斷方法，它主要在量測迴歸係數之變異數，相對於預測變數間的無線性關係 之膨脹量。判斷準則為檢定結果中若發現 VIF 大於 10 的話，就表示自變數 間有高度的相關性存在。 由表十得知，因為各變數的 VIF 值皆小於 10，故自變數間無高度的相 關性存在，亦即無多重共線性發生。
第二節
殘差四個基本假設的檢定
(一) 檢查殘差平均是否為 0
要檢查殘差平均數是否為 0，首先我們必須設立虛無假設(H0:μ =0)與對立假設(H1:μ ≠0)，利用 Student’s test、Sign test signed
與 Rank test 這三種檢定方法來判斷殘查平均數等於 0 是否顯著。 由表十一可看出三種檢定的p-value值皆明顯大於0.05，所以不能
拒絕虛無假設，即殘差平均數為0，符合基本假設 ( ) 0E εi = 。
(二) 檢查殘差是否來自常態
要檢查殘差是否來自常態分配，首先我們必須設立虛無假設
(H0:ei ~Normal)與對立假設(H1:反對H0)，利用 Shapiro-Wilk test、
16 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年) 四種檢定方法來判斷殘查來自常態分配是否顯著。 由表十一可看出 p-value 的值皆明顯大於 0.05，所以不能拒絕虛 無假設，即殘差來自常態分配，符合基本假設εi~Normal。或由圖七可 看出，常態分配機率圖（P-P 圖）為一 450 之直線，所以殘差來自常態 分配。
(三) 檢查殘差間是否獨立
要檢查殘差間是否獨立，首先我們必須設立虛無假設(H0:ρ =0) 與對立假設(H1:ρ>0)，利用 Durbin-Watson D test 這種檢定方法來判 斷殘差間獨立是否顯著。 由表十一可知 d=1.666，接近 2，所以我們可以說ρˆ=0，即殘差間沒有相關，符合基本假設Cov( ,ε εi j)= for all0 i≠ 。 j
(四) 檢查殘差變異數是否為常數
以圖八(亦即，死力對一月份平均溫度的散佈圖)為例，殘差落在以 0 為中心線的區塊內，呈現均勻散佈，沒有逐漸變大或逐漸變小的趨勢， 所以我們可以說誤差的變異為一常數，也就是符合基本假設 2 ) (εi =σ Var 。 綜合上述，我們得到 Normal i n iid i ~ (0, ) 1,2,..., 2 = σ ε ，亦即滿足 誤差的四個基本假設。17 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年) 表十一 Test Student's t t -0.05489 Pr > | t | 0.95640 Sign M 0 Pr >= | M | 1.00000 Signed Rank S -48.5 Pr >= | S | 0.71000 Test Shapiro-Wilk W 0.964248 Pr < W 0.0852 Kolmogorov-Smirnov D 0.076418 Pr > D >0.1500 Cramer-von Mises W-Sq 0.053347 Pr > W-Sq >0.2500
Anderson-Darling A-Sq 0.414776 Pr > A-Sq >0.2500
Tests for Location:Mu0=0
Statistic p Value
Tests for Normality
Statistic p Value
Tests for Independence
1.666 58 0.156 Durbin-Watson D Number of Observations 1st Order Autocorrelation 圖七 圖八
18 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年)
第三節 檢查影響點與異常點
一、 異常點偵測
偵測異常點的方法有 Residual、Studentized Residual(STUDENT)以及 Studentized Deleted Residual(RSTUDENT)這三種方法。表十二中的 0 與 1，是 由 Excel 的 IF 函數判斷出來的結果，其中 1 代表滿足異常點的條件；反之，0 代表一定不會是異常點。
(一)
Residual
判斷準則為 ˆ ˆ |e | 3 MSE 36.58459 i > σ σ = = 若 ，表示可能為異常點，其中 。 從表十二發現，用 Residual 的偵測方法，得知觀察值 36 可能為異常 點。(二)
Studentized Residual(STUDENT)
判斷準則為 ，表示可能為異常點。 若|ri |>3 從表十二發現，用 STUDENT 的偵測方法，再次得到觀察值 36 可能為異 常點。(三)
Studentized Deleted Residual(RSTUDENT)
判斷準則為
，表示可能為異常點。 若|ti |>3
從表十二發現，用 RSTUDENT 的偵測方法，又再次得到觀察值 36 可能為 異常點。
19 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年) 表十二 root mse= 36.58459 1 -15.1545 0 -0.42 0 -0.4164 0 2 85.1695 0 2.38 0 2.494 0 3 59.8124 0 1.684 0 1.7147 0 4 -9.6817 0 -0.276 0 -0.2732 0 5 20.7352 0 0.61 0 0.606 0 6 -37.3219 0 -1.121 0 -1.1242 0 32 -18.9024 0 -0.536 0 -0.5325 0 33 -47.9213 0 -1.406 0 -1.4191 0 34 -27.2455 0 -0.759 0 -0.7564 0 35 -8.0592 0 -0.224 0 -0.2224 0 36 114.5349 1 3.384 1 3.7858 1 37 31.8215 0 0.885 0 0.8836 0 38 5.7756 0 0.164 0 0.1623 0 39 -5.0732 0 -0.158 0 -0.1562 0 40 3.116 0 0.0873 0 0.0865 0 41 37.8627 0 1.06 0 1.0609 0 42 29.2045 0 0.823 0 0.8209 0 51 38.1219 0 1.065 0 1.066 0 52 49.6394 0 1.389 0 1.4013 0 53 4.8905 0 0.137 0 0.1361 0 異常點 Obs Residual (ei) Student Residual (ri) 3 Rstudent (ti) 3
二、 影響點偵測
偵測影響點的方法有 DFFITS、The hat matrix elements hii
、Cook s' distance statistic D
i、DFBETAS、COVRATIO 這五種方法。
表十三中的 0 與 1，是由 Excel 的 IF 函數判斷出來的結果，其中 1 代表滿足影 響點的條件；反之，0 代表一定不會是影響點。
20 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年)
(一) DFFITS
判斷準則為： |DFFITSi| 2 p n > 若 ，表示可能為影響點。 5 2 2 0.58722 58 p n = × = 其中 。 從表十三得知，用 DFFITS 的偵測方法，得到觀察值 31、36、57 這 些點可能為影響點。(二) The hat matrix elements h
ii判斷準則為： 2 ii p h n > 若 ，表示可能為影響點。 5 2 2 0.17241 58 p n × = × = 其中 。 從表十三得知，用 hat value 的偵測方法，得到觀察值 6、12、28、 31、39、46、48、57 這些點可能為影響點。
(三)
Cook s
'
distance statistic
D
i判斷準則為： 1 i D > 若 ，表示可能為影響點。 從表十三得知，用 Cook’s D 的偵測方法，並無發現影響點存在。
(四) DFBETAS
判斷準則為： 2 |DFBETAi| n > 若 ，表示可能為影響點。 0.26261 = = 2 2 其中 。 n 5821 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年) 從表十三得知，用 DFBETAS 的偵測方法，我們選取出現兩次以上 1 的結果的觀察值為可能的影響點，它們分別為觀察值 31、33、36、57。
(五) COVRATIO
判斷準則為 1 3 1 3 i i p p COVRATIO COVRATIO n n > + × < − × 若 或 ， 表示可能為影響點。 5 1 3 1 3 1.25862 58 5 1 3 1 3 0.74138 58 p n p n + × = + × = − × = − × = 其中 從表十三得知，用 COVRATIO 的偵測方法，得到觀察值 2、12、28、 31、36、39、46、48 這些點可能為影響點。 表十三 p=5 n=58 Intercept x1 x4 x7 x14 2 0.5276 0 0.0428 0 0.051 0 0.3397 1 -0.2603 0 -0.0504 0 -0.1137 0 -0.0925 0 0.6532 1 3 0.4239 0 0.0576 0 0.035 0 -0.0367 0 0.0437 0 0.2072 0 -0.3062 1 0.0139 0 0.8865 0 6 -0.5132 0 0.1725 1 0.052 0 0.0842 0 0.0489 0 -0.0479 0 -0.4009 1 0.0324 0 1.1788 0 9 0.3951 0 0.0377 0 0.03 0 0.2935 1 -0.2596 0 -0.0726 0 0.0568 0 -0.1191 0 0.7905 0 12 -0.2258 0 0.2338 1 0.01 0 0.0024 0 0.0289 0 0.0035 0 -0.0107 0 -0.1982 0 1.4127 1 27 -0.3776 0 0.0459 0 0.027 0 0.0533 0 -0.086 0 -0.1717 0 0.2696 1 -0.0035 0 0.8738 0 28 -0.1131 0 0.2262 1 0.003 0 0.0072 0 -0.0744 0 0.0561 0 0.0344 0 -0.0417 0 1.4155 1 30 -0.5603 0 0.1673 0 0.062 0 -0.0152 0 0.1255 0 0.0144 0 -0.4809 1 0.1611 0 1.1393 0 31 -1.0417 1 0.3284 1 0.212 0 0.8358 1 -0.8979 1 -0.5383 1 0.5042 1 -0.0697 0 1.329 1 33 -0.5527 0 0.1317 0 0.06 0 -0.517 1 0.4221 1 0.2461 0 -0.0943 0 0.1814 0 1.0476 0 36 1.5535 1 0.1441 0 0.386 0 -0.6424 1 0.5219 1 0.3341 1 0.6917 1 -0.4608 1 0.3805 1 39 -0.0845 0 0.2264 1 0.001 0 0.018 0 -0.0097 0 -0.0143 0 0.0268 0 -0.0802 0 1.4186 1 46 0.3548 0 0.2305 1 0.025 0 0.0287 0 0.2264 0 -0.2097 0 -0.0892 0 -0.0379 0 1.3729 1 47 0.1169 0 0.1129 0 0.003 0 0.0128 0 0.0612 0 -0.0762 0 -0.0012 0 0.0176 0 1.2272 0 48 -0.3581 0 0.1799 1 0.026 0 -0.0619 0 -0.2019 0 0.2101 0 0.1102 0 0.0719 0 1.2683 1 52 0.3057 0 0.0454 0 0.018 0 0.2656 1 -0.1783 0 -0.1539 0 0.0966 0 -0.1415 0 0.9573 0 54 -0.3838 0 0.0661 0 0.029 0 -0.0131 0 0.0762 0 0.0271 0 -0.2767 1 -0.074 0 0.968 0 55 -0.4351 0 0.049 0 0.036 0 -0.3046 1 0.064 0 0.2557 0 -0.0282 0 0.2536 0 0.8221 0 57 -0.6005 1 0.177 1 0.071 0 0.1811 0 0.0409 0 -0.501 1 0.296 1 0.0129 0 1.1404 0 58 -0.4176 0 0.1373 0 0.035 0 0.2349 0 -0.098 0 -0.3697 1 0.2467 0 -0.0929 0 1.1487 0 影響點Obs DFFITS Hat Diag
H >2p/n Cook's D >1
DFBETAS
Cov Ratio
22 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年)
三、 異常點與影響點綜合結果
綜合上述異常點及影響點的偵測方法，得到表十四，得知觀察值 36(也就是 “紐奧良＂，位於路易斯安那州)為異常點兼影響點，我們回至原始資料檢查， 發現紐奧良的死力，為所有城市中最大的，但觀察我們所考慮到的所有預測變數 (X1-X14)，未發現有與其它城市特別不同之處，因此，我們認為也許是一些較特 殊的因素，我們沒有納入考量，像是紐奧良位於沿海一帶，就曾經因為發生海嘯， 而導致重大傷亡與損失的事故。 此外，由表十四得知移除第一個觀察值 36 後，其判定係數 2 R 及修正後判定 係數 2 a R 皆大幅下降，也就是說各變數對死力的解釋能力反而降低，因此我們回 到應變數對自變數的散佈圖作觀察，其中圖一裡的第一行的第二個圖是死力對一 月份平均溫度的散佈圖，一般來說一月份平均溫度愈高，死力應該會愈低，所以 我們假設它們之間有一個負相關存在，且從此圖中可看出左下方與右上方的兩個 點會影響到它們負相關的關係，回到原始資料得知這兩個點分別為觀察值 33 和 觀察值 36，再加上由表十四得知觀察值 33 在 DFBETAS 的偵測方法中，偵測為可 能的影響點，所以我們決定同時將這兩個觀察值移除再做一次判定係數 2 R 及修 正後判定係數 2 a R 的檢查。從表十四得知同時移除觀察值 33 和觀察值 36 後，其 判定係數 2 R 及修正後判定係數R 皆比未移除任何觀察值前提高，因此，我們決a2 定將這兩個觀察值同時移除，然後再做一次檢測。 在同時移除觀察值 33 和觀察值 36 後，由表十四得知無觀察值為異常點，而 觀察值 31(也就是“邁阿密＂，位於佛羅里達州)為影響點，我們再次回至原始 資料檢查，在所有考慮到的預測變數(X1-X14)及應變數(Y)中，它的一月份平均溫 度為華氏 67 度，除了居 58 個城市之冠外，相較於其它城市，它有偏高的趨勢， 因此，我們認為也許是這個因素使得整個模型改變。但由表十四得知移除觀察值 31 後，其判定係數 2 R 及修正後判定係數R 皆比未移除觀察值 31 前降低，也就a223 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年) 是說各變數對死力的解釋能力降低了，所以我們決定不再移除任何觀察值(包含 觀察值 31)。 表十四 36 36 36 31 36 57 6 12 28 31 39 46 48 57 -31 33 36 57 2 12 28 31 36 39 46 48 -55 6 12 28 30 31 37 44 46 -2 9 31 44 53 55 2 6 12 28 30 31 37 44 53 70% Obs 66% 24% 70% 69% 30% 72% 步驟一 步驟二 Cook's D DFBEATS Cov Ratio 73% Student Residual (ri)
Rstudent (ti) DFFITS Hat Diag H Methods Methods Residual(ei)
Student Residual (ri) Rstudent (ti) DFFITS Hat Diag H Cook's D DFBEATS Cov Ratio Obs(同時移除第33、36筆) 步驟三 步驟四 未移除觀察值 移除觀察值36 同時移除觀察值36、33 移除觀察值31 Residual(ei) 2 R Ra2
24 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年)
第三章 刪除觀察值後之迴歸分析
第一節
選取重要變數
刪除完異常點及影響點後，我們再次利用上述的七種選取變數的方法： 向前選取法、向後選取法、逐步選取法、Adjusted R-Square 選取法、C 選p 取法、AIC 準則以及 SBC 準則，來選取重要變數。結果這七種方法選取到的 變數皆為X (一月份平均溫度)、1 X (每年度降雨量)、4 X (非白種人比例)、7 14 X (二氧化硫潛在污染)，所以我們決定不再移除任何變數，仍然將這四個 變數留在模式中。其中使用C 選取法所得到的p C 圖如圖九所示。 p第二節
最終模式
由表十五得知，上述選取到的四個變數的係數，它們的 p-value 皆小於 0.05，可拒絕虛無假設，所以它們都是顯著的，並得出刪除觀察值 33 和觀察值 36 後的最終模式配適迴歸線如下： 14 7 4 1 1.35348 4.0768 0.34096 34495 . 2 8715 . 899 x x x x yi = − + + + 表十五Variable Label DF Parameter
Estimate Standard Error t Value Pr > | t | Variance Inflation Intercept Intercept 1 899.8715 23.98839 37.51 <.0001 0.0000 x1 一月份平均溫度 1 -2.34495 0.50663 -4.63 <.0001 1.2746 x4 每年度降雨量 1 1.35348 0.39863 3.4 0.0013 1.1457 x7 非白種人比例 1 4.0768 0.58675 6.95 <.0001 1.4243 x14 二氧化硫潛在污染 1 0.34096 0.07077 4.82 <.0001 1.1313 Parameter Estimates
25 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年)
第三節
殘差四個基本假設的檢定
(一) 檢查殘差平均是否為 0
由表十六可看出三種檢定的p-value值皆明顯大於0.05，所以不能 拒絕虛無假設，即殘差平均數為0，符合基本假設 ( ) 0E εi = 。(二) 檢查殘差是否來自常態
由表十六可看出 p-value 的值皆明顯大於 0.05，所以不能拒絕虛 無假設，即殘差來自常態分配，符合基本假設εi~Normal。或由圖十可 看出，常態分配機率圖（P-P 圖）為一 450 之直線，所以殘差來自常態 分配。(三) 檢查殘差間是否獨立
由表十六可知 d=1.906，接近 2，所以我們可以說ρˆ=0，即殘差間沒有相關，符合基本假設Cov( ,ε εi j)= for all0 i≠ 。 j
(四) 檢查殘差變異數是否為常數
藉由觀察殘差散佈圖，以一月份平均溫度之殘差圖為例，如圖十一 所示，可發現殘差落在以 0 為中心線的區塊內，呈現均勻散佈，沒有逐 漸變大或逐漸變小的趨勢，所以我們可以說誤差的變異為一常數，也就 是符合基本假設 2 ) (εi =σ Var 。 綜合上述，我們得到 Normal i n iid i ~ (0, ) 1,2,..., 2 = σ ε ，亦即滿足誤差的四 個基本假設。26 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年) 表十六 Test Student's t t -0.04889 Pr > |t| 0.96120 Sign M -2 Pr >= |M| 0.68890 Signed Rank S -13 Pr >= |S| 0.91670 Test Shapiro-Wilk W 0.992862 Pr < W 0.9843 Kolmogorov-Smirnov D 0.072811 Pr > D >0.1500 Cramer-von Mises W-Sq 0.024503 Pr > W-Sq >0.2500
Anderson-Darling A-Sq 0.157073 Pr > A-Sq >0.2500
Tests for Location:Mu0=0
Statistic p Value
Tests for Normality
Statistic p Value
Tests for Independence
1.906 56 0.034 Durbin-Watson D Number of Observations 1st Order Autocorrelation 圖九 圖十
27 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年) 圖十一
第四章 結論
在資料分析中，我們使用了「向前選取法」、「向後消去法」、「逐步選取法」、 「校正後的複判定係數法」、「CP 選取法」、「AIC 準則」以及「SBC 準則」這七 種方法來選取變數，其最終模式的配適迴歸線如下： 14 7 4 1 1.62043 4.42679 0.3238 8086 . 1 4615 . 869 x x x x yi = − + + + 一月份平均溫度(X )每增加華氏一度，死力則會減少 1.8086。 1 每年度降雨量(X )每增加一厘米，死力則會增加 1.62043。 4 非白種人比例(X )每增加一個百分比，死力則會增加 4.42679。 7 二氧化硫潛在污染(X )每增加一個 ppm，死力則會增加 0.3238。 14 此外我們偵測異常點和影響點以免有異常點或影響點讓整個分析有誤，從死 力對一月份平均溫度的散佈圖看出，左下方與右上方的兩個點特別怪異，會影響 到它們負相關的關係，回到原始資料得知這兩個點分別為觀察值 33 和觀察值 36，所以我們決定先將這兩個觀察值同時移除再做一次判定係數 2 R 及修正後判 定係數 2 a R 的檢查。移除後發現判定係數R 及修正後判定係數2 R 皆有比未移除任a228 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年) 何觀察值前提高，因此，我們最後決定將這兩個觀察值同時移除，然後再做一次 檢測。第二次檢查的結果，發現無觀察值為異常點，而發現觀察值 31 為一個影 響點，移除觀察值 31 後，其判定係數 2 R 及修正後判定係數R 皆比未移除觀察值a2 31 前降低，也就是說各變數對死力的解釋能力降低了，所以我們決定不再移除 任何觀察值(包含觀察值 31)。 同時將觀測值 33、36 移除後，再作一次迴歸分析，選取的重要變數為X (一1 月份平均溫度)、X (每年度降雨量)、4 X (非白種人比例)、 7 X (二氧化硫潛在14 污染)這四個變數，並將它們留在模式中。其配適迴歸線為 14 7 4 1 1.35348 4.0768 0.34096 34495 . 2 8715 . 899 x x x x yi = − + + + 一月份平均溫度(X )每增加華氏一度，死力則會減少 2.34495。 1 每年度降雨量(X )每增加一厘米，死力則會增加 1.35348。 4 非白種人比例(X )每增加一個百分比，死力則會增加 4.0768。 7 二氧化硫潛在污染(X )每增加一個 ppm，死力則會增加 0.34096。 14 由此發現每年度降雨量、非白種人比例、二氧化硫潛在污染與死力呈現正相 關，只有一月份平均溫度與死力呈現負相關。
參考文獻
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Models” , 4th ed., McGraw Hill.
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29 逢甲大學學生報告 ePaper(2008 年)
附錄
附錄一、原始資料
死力(Y) 一月份 平均溫度 (X1) 七月份 平均溫 度(X2) 相對溼 度(X3) 每年度 降雨量 (X4) 受教育年 數中位數 (X5) 人口密度 (X6) 非白種人 比例 (X7) 白種人 比例 (X8) 人口數 (X9) 每個家 庭 人數 家庭收 入 中位數 碳氫化合 物 潛在污染 一氧化二 氮 潛在污染 二氧化 硫 潛在污 華氏溫標 華氏溫 標 百分比 厘米 年數 人口/每平方 公里 百分比 百分比 人 人口數/ 家庭數 美元 ppm ppm ppmcity Mortality JanTemp JulyTemp RelHum Rain Education PopDensity %NonWhite %WC pop pop/house income HCPot NOxPot S02Pot
1 Akron, OH (亞克朗市，俄亥俄州) 921.87 27 71 59 36 11.4 3243 8.8 42.6 660328 3.34 29560 21 15 59
2 Albany-Schenectady-Troy, NY (紐約州) 997.87 23 72 57 35 11 4281 3.5 50.7 835880 3.14 31458 8 10 39
3 Allentown, Bethlehem, PA-NJ 艾倫鎮
，伯利恆(美國賓州) 962.35 29 74 54 44 9.8 4260 0.8 39.4 635481 3.21 31856 6 6 33 4 Atlanta, GA (亞特蘭大，喬治亞州) 982.29 45 79 56 47 11.1 3125 27.1 50.2 2138231 3.41 32452 18 8 24 5 Baltimore, MD (巴爾地摩，馬里蘭州) 1071.29 35 77 55 43 9.6 6441 24.4 43.7 2199531 3.44 32368 43 38 206 6 Birmingham, AL (伯明罕市，美國阿拉巴馬州) 1030.38 45 80 54 53 10.2 3325 38.5 43.1 883946 3.45 27835 30 32 72 7 Boston, MA (波士頓，麻薩諸塞州) 934.7 30 74 56 43 12.1 4679 3.5 49.2 2805911 3.23 36644 21 32 62 8 Bridgeport-Milford, CT (康乃狄克州) 899.53 30 73 56 45 10.6 2140 5.3 40.4 438557 3.29 47258 6 4 4 9 Buffalo, NY (水牛城(又稱布法羅)，位於紐約州) 1001.9 24 70 61 36 10.5 6582 8.1 42.5 1015472 3.31 31248 18 12 37 10 Canton, OH (俄亥俄州) 912.35 27 72 59 36 10.7 4213 6.7 41 404421 3.36 29089 12 7 20 11Chattanooga, TN-GA (查特怒加市，田納西州) 1017.61 42 79 56 52 9.6 2302 22.2 41.3 426540 3.39 25782 18 8 27 12 Chicago, IL (芝加哥，伊利諾州) 1024.89 26 76 58 33 10.9 6122 16.3 44.9 606387 3.2 36593 88 63 278 13Cincinnati, OH-KY-IN (辛辛那提市，美國俄亥俄州) 970.47 34 77 57 40 10.2 4101 13 45.7 1401491 3.21 31427 26 26 146 14Cleveland, OH (克里夫蘭，俄亥俄州第一大城) 985.95 28 71 60 35 11.1 3042 14.7 44.6 1898825 3.29 35720 31 21 64 15 Columbus, OH (哥倫布市，俄亥俄州首府) 958.84 31 75 58 37 11.9 4259 13.1 49.6 124833 3.26 29761 23 9 15 16 Dallas, TX (達拉斯，德克薩斯州) 860.1 46 85 54 35 11.8 1441 14.8 51.2 1957378 3.22 38769 1 1 1 17 Dayton-Springfield, OH (德通市，俄亥俄州) 936.23 30 75 58 36 11.4 4029 12.4 44 942083 3.35 30232 6 4 16 18 Denver, CO (丹佛，科羅拉多州) 871.77 30 73 38 15 12.2 4824 4.7 53.1 1428836 3.15 39099 17 8 28 19 Detroit, MI (底特律，密西根州) 959.22 27 74 59 31 10.8 4834 15.8 43.5 4488072 3.44 33858 52 35 124 20 Flint, MI (福林特，密西根州) 941.18 24 72 61 30 10.8 3694 13.1 33.8 450449 3.53 32000 11 4 11 21 Grand Rapids, MI (激流市，密西根州) 871.34 24 72 61 31 10.9 3226 5.1 45.2 601680 3.37 29915 5 3 10 22 Greensboro-Winston-Salem-High Point, NC (北卡羅萊納) 971.12 40 77 53 42 10.4 2269 22.7 41.4 851851 3.45 29450 8 3 5 23 Hartford, CT (哈特福特，康乃狄克州之首府) 887.47 27 72 56 43 11.5 2909 7.2 51.6 715923 3.25 37565 7 3 10 24 Houston, TX (休士頓，德克薩斯州) 952.53 55 84 59 46 11.4 2647 21 46.9 2735766 3.35 39558 6 5 1 25 Indianapolis, IN (印第安納波里，印第安納州首府) 968.67 29 75 60 39 11.4 4412 15.6 46.6 1166575 3.23 31461 13 7 33 26 Kansas City, MO (堪薩斯城，密蘇里州西部) 919.73 31 81 55 35 12 3262 12.6 48.6 914427 3.1 30783 7 4 4 27 Lancaster, PA (賓汐法尼亞) 844.05 32 74 54 43 9.5 3214 2.9 43.7 362346 3.38 30248 11 7 32
28 Los Angeles, Long Beach, CA (洛杉磯，加尼福尼亞州) 861.26 53 68 47 11 12.1 4700 7.8 48.9 7477503 2.66 36624 648 319 130
29 Louisville, KY-IN (路易維耳市，肯塔基-印地安那州) 989.26 35 71 57 30 9.9 4474 13.1 42.6 956756 3.37 29621 38 37 193
30 Memphis, TN-AR-MS (孟菲斯市，田納西州) 1006.49 42 82 59 50 10.4 3497 36.7 43.3 913472 3.49 27910 15 18 34
31 Miami-Hialeah, FL (邁阿密，佛羅里達州) 861.44 67 82 60 60 11.5 4657 13.5 47.3 1625781 2.65 32808 3 1 1
32 Milwaukee, WI (密爾瓦基市，威斯康辛州) 929.15 20 69 64 30 11.1 2934 5.8 44 1397143 3.26 35272 33 23 125
33 Minneapolis-St. Paul, MN-WI (明尼蘇達-威斯康辛) 857.62 12 73 58 25 12.1 2095 2 51.9 2137133 3.28 35871 20 11 26
34 Nashville, TN (那什維爾，田納西州首府) 961.01 40 80 56 45 10.1 2682 21 46.1 850505 3.32 28641 17 14 78 35 New Haven-Meriden, CT (康乃狄克州) 923.23 30 72 58 46 11.3 3327 8.8 45.3 500474 3.16 34364 4 3 8 36 New Orleans, LA (紐奧良，路易斯安那州) 1113.16 54 81 62 54 9.7 3172 31.4 45.5 1256256 3.36 32704 20 17 1 37 New York, NY (紐約) 994.65 33 77 58 42 10.7 7462 11.3 48.7 8274961 3.03 36047 41 26 108 38 Philadelphia, PA-NJ (費城，賓汐法尼亞-紐澤西) 1015.02 32 76 54 42 10.5 6092 17.5 45.3 4716818 3.32 33449 29 32 161 39 Pittsburgh, PA (匹茲堡，賓汐法尼亞州) 991.29 29 72 56 36 10.6 3437 8.1 45.5 2218870 3.32 32934 45 59 263 40 Portland, OR (波特蘭，奧勤岡州) 893.99 38 67 73 37 12 3387 3.6 50.3 1105699 2.66 33020 56 21 44 41 Providence, RI (羅德島) 938.5 29 72 56 42 10.1 3508 2.2 38.8 618514 3.16 30094 6 4 18 42 Reading, PA (賓汐法尼亞州) 946.19 33 77 54 41 9.6 4843 2.7 38.6 312509 3.08 32449 11 11 89 43 Richmond-Petersburg, VA (維吉尼亞州) 1025.5 39 78 53 44 11 3768 28.6 49.5 761311 3.32 33510 12 9 48 44 Rochester, NY (羅契斯特市，紐約州) 874.28 25 72 60 32 11.1 4355 5 46.4 971230 3.21 34896 7 4 18 45 St. Louis, MO-IL (聖路易，密蘇里州東部城市) 953.56 32 79 57 34 9.7 5160 17.2 45.1 1808621 3.23 34546 31 15 68 46 San Diego, CA (聖地牙哥，加尼福尼亞州) 839.71 55 70 61 10 12.1 3033 5.9 51 1861846 3.11 32586 144 66 20 47 San Francisco, CA (舊金山，加尼福尼亞州) 911.7 48 63 71 18 12.2 4253 13.7 51.2 1488871 2.92 47966 311 171 86 48San Jose, CA (聖荷西(加州西部一城市) ，加尼福尼亞州) 790.73 49 68 71 13 12.2 2702 3 51.9 1295071 3.36 41994 105 32 3 49 Seattle, WA (西雅圖，華盛頓州) 899.26 40 64 72 35 12.2 3626 5.7 54.3 1607469 3.02 37069 20 7 20 50Springfield, MA (春田(伊利諾州首府) ，麻薩諸塞州) 904.16 28 74 56 45 11.1 1883 3.4 41.9 515259 3.21 29327 5 1 20 51 Syracuse, NY (西拉鳩斯市，紐約州) 950.67 24 72 61 38 11.4 4923 3.8 50.5 642971 3.34 30114 8 5 25 52 Toledo, OH (托利多，俄亥俄州) 972.46 26 73 59 31 10.7 3249 9.5 43.9 616864 3.22 30497 11 7 25 53 Utica-Rome, NY (紐約) 912.2 23 71 60 40 10.3 1671 2.5 47.4 320180 3.28 27305 5 2 11 54 Washington, DC-MD-VA (華盛頓-馬里蘭-維吉尼亞) 967.8 37 78 52 42 12.3 5308 25.9 59.7 3250822 3.25 41888 65 28 102 55 Wichita, KS (堪薩斯州) 823.76 32 81 54 28 12.1 3665 7.5 51.6 411313 3.27 34812 4 2 1 56 Wilmington, DE-NJ-MD (德拉瓦-紐澤西-馬里蘭州) 1003.5 33 76 56 65 11.3 3152 12.1 47.3 523221 3.39 33927 14 11 42 57 Worcester, MA (麻薩諸塞州) 895.7 24 70 56 65 11.1 3678 1 44.8 402918 3.25 29374 7 3 8 58 York, PA (約克郡，賓汐法尼亞州) 911.82 33 76 54 62 9 9699 4.8 62.2 381255 3.22 28985 8 8 49 變數名稱 美國城市 觀 察 值
