談二維表格在數學教學上的應用

談二維表格在數學教學上的應用

李祐宗

澎 湖 縣 立 湖 西 國 民 中 學

壹、前言

國 中 小 階 段 的 學 生 在 學 習 座 標 時 常 用 到 以 下 的 二 維 表 格 來 做 學 習，橫 軸 代 表x 座標； 縱 軸 代 表 y 座 標， 如 下 表 。表 格 中 的 座標 代 表 平 面座 標 第 一 象限 的 部 份 座標 。 但 筆 者發 現 在 其 他 的 單 元 教 學 上 ， 此 表 格 很 適 合 拿 來 做 教 學 ， 筆 者 舉 例 如 下 ：

貳、擲骰子問題

在 國 中 機 率 單 元 裡 常 見 到 一 次 投 擲 兩 顆 骰 子 的 問 題 ， 一 般 的 教 學 方 式 為 教 導 學 生 畫 樹 狀 圖 ， 但 此 種 方 式 頗 佔 空 間 ， 且 分 析 問 題 時 也 沒 有 利 用 表 格 的 方 式 來 的 清 晰 。 此 時 可 以 將 上 表 的x 軸與 y 軸 重 新定 義 為 投 擲第 一 次 與 第二 次 骰 子 的點 數 （ 或 是一 次 投 擲 兩顆 骰 子，第 一 顆 及 第 二 顆 骰 子 的 點 數 ），表 格 中 的 座 標 同 時 就 變 成 投 擲 兩 顆 骰 子 的 所 有 情 況， 總 共 有36 種 ， 一目 暸 然 。 接下 來 看 看 以下 各 題 目 的答 案 所 呈 現的 顏 色 區 塊位 置 ：

一、點數和大於

7 的機率：

36

15

＝

12

5

6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 1 2 3 4 5 6

二、點數和小於

6 的機率：

36

10

＝

18

5

6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 1 2 3 4 5 6 （ 著 色 區 呈 現 的 等 差 數 列 ：4＋ 3＋ 2＋ 1＝ 10）

三、第一次點數比第二次大的機率：

36

15

＝

12

5

6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 1 2 3 4 5 6 （ 著 色 區 呈 現 的 等 差 數 列 ：1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5＝ 15）

四、兩次皆為質數的機率：

36

9

＝

4

1

6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 1 2 3 4 5 6

五、兩次點數皆相同的機率：

6

1

6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 1 2 3 4 5 6

六、點數和為奇數的機率：

2

1

參、投擲硬幣及生小孩的機率問題

此 主 題 指 的 是 投 擲 一 枚 硬 幣 兩 次 、 投 擲 兩 枚 硬 幣 一 次 以 及 生 兩 個 小 孩 的 機 率 問 題 ， 此 時 將 座 標 軸 改 為 投 擲 第 一 次 及 第 二 次 （ 或 一 次 投 擲 兩 枚 硬 幣 ， 第 一 枚 及 第 二 枚 硬 幣 ） 的 正 反 面 情 況。1 代 表 正 面；2 代 表 反面，此 時 只要 擷 取 表 格中 的 著 色 部分 即 可 代 表所 有 投 擲 的 情 況 。 其 中 兩 次 同 面 的 機 率 為1 2； 一 正 一 反 的 機 率 亦 為 1 2。 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 1 2 3 4 5 6

同 樣 的 ， 生 兩 個 小 孩 的 機 率 問 題 也 可 利 用 此 表 來 解 決 。 將 座 標 軸 改 為 第 一 胎 及 第 二 胎 的 情 況，1 代 表 男生；2 代表 女 生。表 格 中 著 色部 分 代 表 生兩 個 小 孩 的所 有 情 況。從 表 格 可 知，兩 胎 都 是 男 生 的 機 率 與 兩 胎 都 是 女 生 的 機 率 皆 為1 4；而 生 一 男 一 女 的 機 率 為 1 2， 由 此 可 見 ， 生 一 男 一 女 的 機 率 比 較 容 易 呢 ！

肆、兩人猜拳的機率問題

一、三種拳的情況

我 們 再 把 座 標 軸 的 1、2、3 改 成 甲 乙 兩人 的 剪 刀 、石 頭 與 布 。從 表 格 中 可以 看 到 兩 人 猜 拳 平 手 的 機 率 為1 3； 甲 乙 兩 人 輸 贏 的 機 率 也 各 為 1 3。 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 3（布 ） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 2（石 頭 ） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 1（剪 刀 ） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 1（剪 刀 ） 2（石 頭 ） 3（布 ） 4 5 6

二、五種拳的情況

假 設 我 們 可 以 發 明 一 種 猜 拳 遊 戲 ， 就 是 甲 乙 兩 人 以 手 指 頭 數 目 當 作 主 角 ， 出 五 隻 手 指 頭 的 人 贏 出 四 隻 手 指 頭 的 人 、 四 隻 手 指 頭 贏 三 隻 手 指 頭 、 三 隻 手 指 頭 贏 兩 隻 手 指 頭 、 兩 隻 手 指 頭 贏 一 隻 手 指 頭（ 一 隻 手 指 頭 以 出 大 拇 指 的 動 作 來 表 示 ）、而 一 隻 手 指 頭 的 人 贏 五 隻 手 指 頭 。 現 在 以 表 格 的 兩 軸 的 1～5 作 為 彼 此 的五 種 拳 ， 每猜 一 次 拳 的輸 贏 狀 況 如 下 ： 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 1 2 3 4 5 6

從 上 圖 可 以 得 知 甲 乙 兩 人 每 猜 一 次 拳 平 手 的 機 率 是 5 1 255； 甲 乙 兩 人 猜 贏 或 猜 輸 的 機 率 同 樣 都 是10 2 25 5。至 此 或 許 有 眼 尖 的 讀 者 發 現 三 種 拳 及 五 種 拳 輸 贏 的 機 率 並 不 相 同， 後 者 的 機 率2 5大 於 前 者 的 1 6 5 ( ) 3 15 15 ，那 麼 是 否 以 後 猜 拳 採 用 後 者 的 方 式 比 較 容 易 贏 呢 ？ 或 者 把 後 者 的 規 則 改 成 五 隻 手 指 頭 贏 一 隻 手 指 頭 的 話 是 否 會 改 變 猜 拳 的 機 率 ？ 讀 者 可 以 好 好 思 考 看 看 ！

伍、平行四邊形的教學

咦~此 表 格 也 拿 來 作 平 行 邊 形 的 教 學 喔 ？ 其 實 可 以 的 ， 這 是 筆 者 在 此 單 元 教 學 時 發 現 的 。 有 個 問 題 可 以 用 此 表 格 解 決 ： 市 售 的 幾 何 扣 條 有 六 種 顏 色 ， 不 同 顏 色 的 扣 條 長 度 均 不 相 同 ， 且 相 同 顏 色 的 扣 條 長 度 均 相 同 。 試 問 ， 此 六 種 扣 條 任 意 選 取 四 根 可 以 組 成 幾 種 不 同 的 平 行 四 邊 形 ？ 此 時 可 以 將 座 標 軸 的1~6 代 表 不同 的 顏色 各 兩 條。為 何要 代 表兩 條 呢 ？ 因 為 三 條 同 色 搭 配 一 條 異 色 的 組 合 是 不 可 能 組 成 平 行 四 邊 形 的 。 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 1 2 3 4 5 6 （ 著 色 區 呈 現 的 等 差 數 列 ：1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5＋ 6＝21） 上 方 表 格 的 著 色 區（ 一 共 21 種 組 合 方 式）即為 答 案，例如（3，5）代 表 兩 條 3 號 扣 條 以 及 兩 條5 號 扣 條的 組 合；（6，6） 代表 四 條 6 號 扣 條的 組 合。 在 教 學 過 程 中 ， 學 生 也 因 此 表 格 可 以 做 出 不 同 花 樣 而 感 到 驚 訝 不 已 ， 有 種 平 凡 中 見 其 偉 大 的 感 覺 。 而 且 注 意 有 許 多 問 題 的 答 案 （ 著 色 區 ） 代 表 了 等 差 數 列 或 其 他 具 規 律 的 形 式 ， 這 就 是 利 用 表 格 來 解 決 問 題 、 推 理 問 題 的 價 值 所 在 。 筆 者 在 此 僅 提 供 由 二 維 表 格 可 以 想 到 的 教 學 題 材 ， 足 供 相 關 單 元 的 基 礎 觀 念 學 習 ， 不 論 是 平 常 教 學 或 是 作 為 補 救 教 學 ， 都 是 個 不 錯 的 教 學 方 式 ！