國立交通大學
土木工程學系
碩士論文
數種不確定性分析方法於降雨引發坡地淺崩塌模式之
比較研究
Comparisons of Various Uncertainty Analysis Methods
for the Rainfall-Triggered Shallow Landslide Model
研 究 生 ： 劉緁玲
指導教授 ： 楊錦釧 博士
張胤隆 博士
數種不確定性分析方法於降雨引發坡地淺崩塌模式之
比較研究
Comparisons of Various Uncertainty Analysis Methods
for the Rainfall-Triggered Shallow Landslide Model
研 究 生 ：劉緁玲 Student : Qie-Ling Liu
指導教授 ：楊錦釧 Advisor : Jinn-Chuang Yang
張胤隆 Yin-Lung Chang
國 立 交 通 大 學 土 木 工 程 研 究 所
碩 士 論 文
A Thesis Submitted to Civil Engineering
College of Engineering
Nation Chiao Tung University
in Partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master
in
Civil Engineering
February 2012
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
數種不確定性分析方法於降雨引發坡地淺崩塌模式之比較研究
學生：劉緁玲 指導教授： 楊錦釧 博士 張胤隆 博士 國立交通大學土木工程研究所摘要
降雨引發之坡地淺崩塌常造成大規模之天然災害，以無限邊坡理論建立之數 值模式已廣泛地應用於評估坡地是否會因降雨而發生崩塌，然全面而完整之參數 資料獲得不易導致參數具有不確定性(uncertainty)，其不確定性可能會影響崩塌模 式模擬結果。本論文以 Tsai and Yang (2006)所發展之「降雨引發坡地淺崩塌模式」 為基礎，將飽和水力傳導係數(Ksat)、土壤內摩擦角()、土壤凝聚力(c)、初始地下水位(dZ)、土壤厚度(dLZ)與坡度(α)等六項輸入條件視為具不確定性之隨機變
數，並利用石門水庫集水區砂崙仔崩塌地之實際案例，以一階二次矩法(first-order second-moment method, FOSM) 、 Rosenblueth’s 點 估 計 法 (Rosenblueth point estimation method, R-PE)、Li’s 點估計法(Li point estimation method, LI-PE)等近似 法進行不確定性分析以獲得模式輸出(安全係數值)之統計特性以及艾利颱風期間 坡地之崩塌機率，並將近似法結果與蒙地卡羅模擬(Monte Carlo Simulation, MCS) 結果進行比較，予以探討各種方法之適用性。為了解近似法在不同輸入條件不確 定性程度下，與蒙地卡羅模擬之差異，本論文共設計了六個不同輸入條件不確定 性程度之案例，此六個案例涵蓋了坡地緩除與 DEM 解析度差異等因素。分析結 果顯示各種近似法應用於降雨引發坡地淺崩塌之不確定性分析時，皆有其優點與 缺點，就崩塌機率推估之準確性而言，Rosenblueth’s 與 Li’s 點估計法所推估之崩 塌機率在六個案例中皆與蒙地卡羅模擬法無明顯差異，而在輸入條件不確定性程 度較高之案例中，一階二次矩法則有顯著之誤差，惟其所推估之崩塌機率在六個 案例中皆較蒙地卡羅模擬法高，以管理之角度而言，一階二次矩法之計算結果較 為保孚；另外就計算效率而言，一階二次矩法具有最高之計算效率，估算單一格 網崩塌機率時僅需執行崩塌模式 9 次，而 Rosenblueth’s 與 Li’s 點估計法則分別頇
執行崩塌模式 16 次與 15 次；最後就不確定性分析事前所需資料而言，一階二次 矩法僅需具備輸入條件之前二階動差，而 Rosenblueth’s 與 Li’s 點估計法則分別需 要輸入條件之前三階與前四階動差。綜合上述分析結果可知，各種不確定性近似 分析方法有其適用條件，對於大範圍集水區坡地崩塌機率分布之推估而言，通常 無法獲得全面之輸入條件調查資料，且範圍較大計算格網數多，因此資料需求 少、計算快速且分析結果較保孚之一階二次矩法較為適用；而對於小範圍特定坡 地之崩塌機率分析而言，較可能進行詳細之輸入條件調查工作，且計算格網少較 無計算時間之考量，因此適用崩塌機率計算結果較為準確之Rosenblueth’s 或 Li’s 點估計法。 關鍵字：淺崩塌、安全係數、不確定性分析、一階二次矩法、點估計法
Comparisons of Various Uncertainty Analysis Methods for the
Rainfall-Triggered Shallow Landslide Model
student：Qie-Ling Liu Advisor：Jinn-Chuang Yang Yin-Lung Chang Department of Civil Engineering
Nation Chiao Tung University
Abstract
Rainfall-triggered shallow landslide is one of the major natural disasters over the world which may immediately cause large numbers of casualties and huge economic losses. To mitigate the landslide disasters, the numerical model simulations based on the infinite slope theory have been widely applied to predict the slope stability during a rainfall event. However, due to the inherent heterogeneity and lack of complete information about model input variables, uncertainties exist in specifying the values of these variables in the numerical model rendering potential failure to obtain the authentic model output (safety factor, FS) for the slope under consideration. In this study, three approximated uncertainty analysis methods, including the first-order second-moment (FOSM), Rosenblueth’s point estimation (R-PE), and Li’s point estimation (LI-PE) were utilized with the developed rainfall triggered shallow landslide model (Tsai and Yang, 2006) to obtain the statistical properties of FS and the landslide probability (Pf) at the Salunzai slope during typhoon Aere. Besides, the
relative errors of computed Pf with respect to Monte Carlo simulation (MCS) result
were compared. Six stochastic model input variables, including the saturated hydraulic conductivity (Ksat), friction angle (), cohesion (c), initial groundwater depth (dZ), soil
thickness (dLZ), and slope (α) were considered. Moreover, six cases involving different
uncertainty levels of slope angle and soil thickness were considered. The results showed that each of the three approximated methods has its own advantages and
drawbacks for the uncertainty analysis of rainfall triggered shallow landslide model. The performances of the approximated uncertainty analysis methods were evaluated through three criteria including: (1) accuracy; (2) efficiency; and (3) prior information requirements. For the accuracy of the approximated methods, the differences in obtained landslide probability between the point estimation (Rosenblueth’s and Li’s) and MCS are minimal in all of the six cases. However, the FOSM method tends to significantly overestimate the landslide probability especially in the case with higher model inputs uncertainties. In contrast to accuracy, the FOSM method has highest computational efficiency because the required number of numerical model evaluation in one simulation grid is 9, while the Rosenblueth’s and Li’s point estimation methods require 16 and 15 model evaluations, respectively. In view of the prior information requirement, the FOSM method only requires the first two moments of the stochastic model input variables while the Rosenblueth’s and Li’s point estimation methods require the first three and four moments of model inputs, respectively. In summary, the applicability of the three approximated uncertainty analysis methods for rainfall-triggered shallow landslide model depend on the space scale of the application. For the estimation of the distributions of the landslide probabilities within a watershed, the third and fourth moments of stochastic model inputs might not be reliably obtained, besides, the amounts of simulation grids might be huge, thus the FOSM method is more applicable than the Rosenblueth’s and Li’s point estimation methods. In contrast, for the estimation of landslide probability at a specified slope, the third and fourth moments of stochastic model inputs might be reliably through a more comprehensive field investigation, thus the Rosenblueth’s and Li’s point estimation methods are more applicable due to the higher accuracy.
Keywords: shallow landslides, safety factor, uncertainty analysis, first-order second-moment method, point estimation method
致謝
日月如梭，修業兩年餘，感念恩師楊錦釧教授與張胤隆博士悉心教導，對學 生適時予以引領，得以使拙作順利完成，銘感五內，心中感激之意難以言述。於 論文審查期間，承蒙口詴委員張哲豪教授、董家鈞教授惠賜卓見使本文更臻完 備，在此謹致謝忱。 再者，感謝研究室學長姐們厚愛，戮力提攜後進以及同窗同學們，以愛相顧， 互相同勉，使我深感同窗情誼之可貴。 特別感謝開心果，令我勇敢奔跑碩士路程，願得你心白首不離，此生有你足 矣。 最後，感謝家人，無私的全力支持與包容，等待我成長，茁壯。 特將此喜悅與爾分享，此刻的我準備，展翅翱翔。目錄
摘要... I Abstract ... III 致謝... V 目錄... VI 表目錄 ... VIII 圖目錄 ... IX 符號說明 ... XI 第一章 緒論 ... 1 1.1 研究動機與目的 ... 1 1.2 文獻回顧 ... 1 1.2.1 邊坡穩定分析方法 ... 1 1.2.2 不確定性分析 ... 3 1.3 研究方法 ... 6 1.4 章節介紹 ... 7 第二章 崩塌模式理論基礎與輸入條件 ... 11 2.1 降雨引發坡地淺崩塌模式簡介 ... 11 2.2 模式輸入條件統計特性 ... 13 2.3 模式輸入條件整體敏感度分析 ... 16 第三章 不確定性分析理論與方法 ... 20 3.1 不確定性分析理論 ... 20 3.1.1 不確定性分析概述 ... 20 3.1.2 不確定性的來源 ... 203.2 不確定性分析方法 ... 21
3.2.1 蒙地卡羅模擬法(Monte Carlo Simulation, MCS) ... 21
3.2.2 近似法(approximation methods) ... 22 第四章 不確定性分析應用實例 ... 30 4.1 砂崙仔地區概述與分析案例設定 ... 30 4.1.1 砂崙仔地區概述 ... 30 4.1.2 分析案例設定 ... 30 4.2 蒙地卡羅模擬取樣次數探討 ... 34 4.3 坡地崩塌機率估算 ... 34 4.4 不確定性分析方法計算效率與需要資料探討 ... 35 4.5 不確定性分析研究結果探討 ... 36 4.5.1 安全係數期望值 ... 37 4.5.2 安全係數標準差 ... 38 4.5.3 崩塌機率 ... 38 4.5.4 小結 ... 39 第五章 結論與建議 ... 61 5.1 結論 ... 61 5.2 建議 ... 62 參考文獻 ... 64 附錄 A ArcGIS 軟體內建坡度計算方法... 72 附錄 B 正交轉換... 73 附錄 C 坡度與土壤厚度迴歸式 ... 76
表目錄
表 1.1 國內外崩塌評估方法比較(楊錦釧，2006) ... 8 表 2.1 地質參數統計特性整理表 ... 17 表 2.2 地質參數變異係數比較表 ... 18 表 4.1 艾利颱風期間時雨量表 ... 40 表 4.2 坡度與土壤厚度設定 ... 41 表 4.3 其餘輸入條件統計特性設定表 ... 41 表 4.4 案例相關係數表 ... 42 表 4.5 各種方法比較表 ... 42圖目錄
圖 1.1 山崩種類示意圖(Varnes，1978) ... 9
圖 1.2 研究流程圖 ... 10
圖 2.1 降雨入滲引發崩塌模擬示意圖(Tsai and Yang, 2006) ... 19
圖 2.2 考慮土壤時變入滲能力示意圖(Tsai and Yang, 2006) ... 19
圖 3.1 Rosenblueth’s 點估計法輸入變數轉換示意圖 ... 29 圖 3.2 Li’s 點估計法輸入變數轉換示意圖 ... 29 圖 4.1 砂崙仔位置圖(楊錦釧等，2006) ... 43 圖 4.2 艾利颱風期間三光站時雨量組體圖 ... 43 圖 4.3 初始地下水位機率密度函數圖 ... 44 圖 4.4 坡度與崩塌深度現場量測資料迴歸公式 ... 44 圖 4.5 第 24 小時安全係數期望值與取樣次數關係圖 ... 45 圖 4.6 第 48 小時安全係數期望值與取樣次數關係圖 ... 45 圖 4.7 第 24 小時安全係數標準差與取樣次數關係圖 ... 46 圖 4.8 第 48 小時安全係數標準差與取樣次數關係圖 ... 46 圖 4.9 第 24 小時崩塌機率與取樣次數關係圖 ... 47 圖 4.10 第 48 小時崩塌機率與取樣次數關係圖 ... 47 圖 4.11 案例一安全係數期望值比較圖 ... 48 圖 4.12 案例一安全係數標準差比較圖 ... 48 圖 4.13 案例一崩塌機率比較圖... 49 圖 4.14 案例二安全係數期望值比較圖 ... 49 圖 4.15 案例二安全係數標準差比較圖 ... 50 圖 4.16 案例二崩塌機率比較圖... 50
圖 4.17 案例三安全係數期望值比較圖 ... 51 圖 4.18 案例三安全係數標準差比較圖 ... 51 圖 4.19 案例三崩塌機率比較圖... 52 圖 4.20 案例四安全係數期望值比較圖 ... 52 圖 4.21 案例四安全係數標準差比較圖 ... 53 圖 4.22 案例四崩塌機率比較圖... 53 圖 4.23 案例五安全係數期望值比較圖 ... 54 圖 4.24 案例五安全係數標準差比較圖 ... 54 圖 4.25 案例五崩塌機率比較圖... 55 圖 4.26 案例六安全係數期望值比較圖 ... 55 圖 4.27 案例六安全係數標準差比較圖 ... 56 圖 4.28 案例六崩塌機率比較圖... 56 圖 4.29 案例一第 24 小時之安全係數組體圖 ... 57 圖 4.30 案例二第 24 小時之安全係數組體圖 ... 57 圖 4.31 案例三第 24 小時之安全係數組體圖 ... 58 圖 4.32 案例四第 24 小時之安全係數組體圖 ... 58 圖 4.33 案例五第 24 小時之安全係數組體圖 ... 59 圖 4.34 案例六第 24 小時之安全係數組體圖 ... 59 圖 4.35 安全係數不同期望值之機率密度函數圖(期望值小於 1) ... 60 圖 4.36 安全係數不同期望值之機率密度函數圖(期望值大於 1) ... 60
符號說明
) ( C = d d ； 0 C = C( ) 之最小值； c = 土壤凝聚力； Cov[] = 共變異數(covariance)；COV = 變異係數(coefficient of variation)； D0 = 水力擴散度(hydraulic diffusivity) Z d = 初始地下水位； LZ d = 土層厚度； E[] = 期望值； FS = 安全係數(safety factor)； g = 重力加速度； H = 平均水深； Iz = 降雨強度(rainfall intensity)；
Ksat = 飽和水力傳導係數(saturated hydraulic conductivity)； S = 載重(load)；
r
P[] = 機率；
R = 阻抗(resistance)；
RMSE = 均方根誤差(root mean square error)
T = 降雨延時(rainfall duration)；
t
= 時間； Var[] = 變異數(variance)； Z = 垂向深度； = 邊坡坡度(slope angle)； sat = 土壤飽和單位重(unit weight of saturated soil)；
w
= 地下水單位重(unit weight of ground water)； = 土壤含水量；
= 土壤內摩擦角(friction angle)；
= 地下水壓力水頭(pressure head)；
γ = 偏態係數(skewness coefficient)；
κ = 峰態係數(kurtosis coefficient)；
第一章 緒論
1.1 研究動機與目的 台灣本島由歐亞板塊和菲律賓海板塊擠壓而成，地形除峻且地質脆弱，全島 面積有三分之二為山坡地，氣候屬於亞熱帶海島型氣候，年降雨量豐沛，豪雨颱 風頻繁，遇雨成災。台灣地狹人稠，隨著人口成長和經濟發展，山坡地之開發利 用漸增，降雨引發的坡地淺崩塌常造成大規模之天然災害，崩塌不僅直接危及山 區居民，造成房舍毀損，道路中斷，崩塌後產生之大量土砂亦提供土石流材料來 源，若經河道運移進入水庫庫區，將使庫容減少並進而影響供水可靠度。為了降低坡地崩塌之災害影響，邊坡穩定分析(slope stability analysis)已廣泛 應用於評估坡地是否會因降雨而發生崩塌，但全面而完整之參數資料獲得實屬不 易，因此在參數具有不確定性(uncertainty)下，其不確定性可能會影響邊坡穩定分 析之成果。
本論文之目的在於根據 Tsai and Yang(2006)所發展之「降雨引發坡地淺崩塌模 式」，考慮輸入參數之不確定性並比較不同不確定性分析方法(uncertainty analysis) 於模式之分析應用，以期作為相關單位風險管理之決策參考。 1.2 文獻回顧 1.2.1 邊坡穩定分析方法 Varnes (1978)將崩塌依據其塊體運動之型態及移動方式區分為五種基本類 型，包含落石(Fall)、翻覆(Topple)、滑動(Slide)、側滑(Lateral spread)與流動(Flow) 等五種如圖 1.1 所示。依據 Dai et al.(2002)之研究，導致崩塌發生之影響因子可 概分成兩類如下: (1) 潛在因子(preparatory variables)：既存於現實條件中，驅使邊坡處於臨界破壞 之穩定狀況，如坡度、地質參數、排水狀況、土壤風化情形、植被等。 (2) 觸發因子(triggering variables)：使邊坡達臨界狀態而發生崩塌，如降雨、地震。
Soeters and Van Westen (1996)及 Van Westen et al. (1997)將邊坡穩定分析方法 歸納為(1)歷年資料判別法；(2)經驗法；(3)解析法，以下對此三大類作簡述。 歷年資料判別法(Landslide Inventory) 此法是藉由地質調查，考慮影響邊坡穩定之各項因素及可能破壞的方式、地 質環境演化過程等，建立歷年坡地破壞之資料庫，如航照圖與現址考察相關資料 等，用以分析坡地發生再崩塌之密度與頻率。由於此法僅依據過往資料作人為判 定而無法定量(quantity)評估坡地是否發生崩塌，故目前將歷年資料判別法用於量 化災害與風險分析之前置作業。Korup (2005)運用此法於紐西蘭西南方山區，進 行崩塌面積在空間上分佈情形之調查，Flentje et al. (2007)運用此法將澳大利亞劃 分成五種不同山崩潛勢的地區。
經驗法(Heuristic and Statistical Method)
經驗法是依據以往崩塌相關資料，如潛在因子與誘發因子等，藉由統計方法 例如多變量迴歸分析(multi-variables regression analysis)等，歸納出影響因子與邊 坡穩定之相關性，以建立簡單的經驗公式計算坡地是否發生崩塌。
Carrara (1988)與 Carrara et al. (1992)曾利用多 變量 統計 分析(multivariate statistical analysis)配合地理資訊系統(geographic information system, GIS)，依據過 往資料在區域內的每一個網格上，對各項參數依破壞影響程度區分等級，分析坡 地崩塌之發生。Van Westen et al. (1993)利用雙變數統計法(bivariate statistical method)對各參數分別給定權重並假設各參數之間互相獨立，進而評估坡地是否發 生崩塌。Hovius (1997)利用冪次法(power low)分析崩塌頻率與規模間之關係。謝 正倫(2002)引用打荻珠男(1971)推導之經驗公式，研究霧社水庫集水區之土砂生產 量。陳樹群(2003)以環境影響評估時常用之方法篩選崩塌相關因子，並給予各因 子評分與權重方法，評估坡地是否發生崩塌。
解析法(Deterministic Approach)
此法主要以力學為基礎評斷坡地是否會發生崩塌。Johnson and Sitar (1990)指 出，一般降雨所造成的崩塌多以淺層邊坡滑動(shallow landslide)為主，可假設大 範圍邊坡為平面無限邊坡(infinite slope)滑動來推求靜態安全係數(safety factor,
FS) (Jibson et al., 1998)。而以莫爾-庫倫破壞準則(Mohr-Coulomb failure criteria)為
基礎的無限邊坡穩定分析模式，是以考慮邊坡塊體之力學平衡來計算安全係數， 較為合理且客觀，已廣泛被採用於評估淺層崩塌可能性的邊坡穩定評估模式。
Inverson (2000)利用一維垂向近似飽和 Richards equation 之簡單解析解，計算 在不考慮超滲降雨作用下斜坡之入滲情形，並配合無限邊坡理論及水文特性分 析，模擬地下水位上升導致飽和層之邊坡破壞。Inverson 模式具有簡單且實用之 特點，加上美國地質調查所(U.S. Geological Survey, USGS)將其擴充包裝後(Baum et al., 2002)，Inverson 模式已被許多研究採用為降雨引發坡地淺崩塌之模擬工 具，如 Baum et al. (2002)、Crosta and Frattini (2003)、Frattini et al. (2004)、Lan et al. (2005)以及 Shou et al. (2005)等。Inverson 模式為了方便求得壓力水頭之解析解， 假設土壤之入滲能力在降雨過程中皆等於飽和水力傳導係數，Tsai and Yang (2006)進一步考慮土壤入滲能力之時變效應，以有限元素法(finite-element method) 求解非線性系統，提供較準確之入滲估計量，增加模式精確度。 表 1.1 所示為國內外崩塌評估方法相關研究之整理。學理上而言，經驗法較 缺乏物理基礎，但是具有簡單性，因此廣泛應用於大範圍集水區之坡地崩塌分 析。然而經驗法分析出之結果可能因主觀意識而有所差異，導致應用上具有地區 性之限制，反之解析法因依循嚴謹之力學基礎，具有通用性與客觀性，不受區域 限制或人為因素影響。無論哪種方法，因無法完全正確估量模式所需之各項參數 資料，故在評估崩塌行為時尚頇進一步考量參數不確定性對崩塌評估所造成之影 響。 1.2.2 不確定性分析 Zimmermann (2000)曾對不確定性有所定義，其指在不確定狀態下，人們無法 確切地對所獲取的資訊做適當定性或定量的處置，即無法對系統、行為或是其他
的特徵做適當決定且具數量化的描述、指定或預測。 邊坡穩定性分析中，大量地質參數資料取得不易，使地質參數存在程度不等 且難以避免之不確定性。Alonso (1976)與 Vanmarcke (1977)提出地質參數之不確 定性在邊坡穩定分析中對模擬結果之預測有重要之影響力。Baecher (1985)指出， 由於採用固定安全係數並無直接處理不確定因素之變異量，使得每個估計量 (estimate)趨於保孚，以致於較難明確地了解真正之安全係數。Chowdhury (1984)、 Christian et al. (1992)與 Mostyn and Li (1993)皆提出機率分析所提供之資訊有助於 設計者評估各項方案之規劃。不確定性分析的方法，依據要求的準確度，所需統 計資料與資訊的取得，其所影響的結果甚大。 在探討模式輸入不確定性之問題方面，敏感度分析(sensitivity analysis)與不確 定性分析是兩個常被同時提起之概念，但兩者之目的並不相同。敏感度分析之目 的在分析個別模式輸入條件之不確定性對模式輸出不確定性之影響，以找出對模 式輸出不確定性最具影響性之輸入條件；而不確定性分析之目的則在定量計算模 式輸出之統計特性，例如各項動差(moment)或是機率密度函數(probability density function, PDF) 等 。 一 般 而 言 ， 不 確 定 性 分析 方 法 可 概 分 為 解 析 法 、 近 似 法 (approximation methods)與蒙地卡羅模擬法(Monte Carlo Simulation, MCS)等三 類。其中解析法係利用直接積分、傅立葉轉換(Fourier transform)或拉普拉斯轉換 (Laplace transform)等數學技巧，解析地推導模式輸出之機率密度函數，此方法僅 適用於輸入變數與模式具有特定之機率密度函數以及型式，然在水利工程領域 中，由於自然現象之複雜性，分析模式往往為高度非線性之統計公式或偏微分方 程式，因此解析法在實際應用上受到相當大之限制，故工程實務上常以蒙地卡羅 模擬法或近似法作為不確定性分析方法。以下對蒙地卡羅模擬法與近似法作簡 述： 蒙地卡羅模擬法 蒙地卡羅模擬法藉由統計取樣之技巧，重複執行邊坡穩定分析模式，以獲得 模式輸出之樣本(sample)，再以此樣本推估模式輸出值之統計特性。此方法頇先 了解各個輸入不確定參數的機率密度函數，才能利用取樣技巧製造樣本，而樣本 數之大小與其不確定性程度有正相關，取樣數越多，所計算之模式輸出統計特性
將會與解析法接近，但亦增加計算時間。Hoek (1998)利用蒙地卡羅模擬法，考慮 地質條件、張力裂縫深度、地下水位高度等參數之機率分佈，針對 Sau Mau Ping 處之公路進行邊坡危險程度之評估。王建峰(2001)藉由現地調查與室內詴驗，獲 得邊坡穩定性影響因子之相關資料，進行統計分析以獲得影響因子之機率分佈， 再以蒙地卡羅模擬法針對九份二山順向坡之殘土作再滑動之風險評估。劉岫雲 (2004)將梨山邊坡破壞型式分為深層地滑及淺層區塊崩塌，並針對此二者來進行 風險分析的探討，其利用蒙地卡羅模擬法解決參數本身存在於空間與時間的不確 定性，並以機率型式表現此種不確定性。吳佳郡(2006)利用大範圍邊坡穩定分析 軟體 TRIGRS，結合蒙地卡羅法來克服參數不確定性所帶來的影響及困擾，嘗詴 以機率值替代傳統單一安全係數數值，以邊坡可能破壞機率來描述研究區域之山 崩潛感。Liu and Wu (2007)利用 USGS 所擴充包裝之 Iverson 模式(Baum et al., 2002)配合蒙地卡羅模擬法，分析南投武界之坡地降雨淺崩塌機率。
近似法
近似法是將輸入變數之機率密度函數簡化為較簡單之型態，以利用簡單之動 差(moment)推導公式計算模式輸出值之各階動差近似值，本論文欲探討之近似法 分別為一階二次矩法、Rosenblueth’s 點估計法、Li’s 點估計法。
近似法中的一階二次矩法(first-order second-moment, FOSM)為較常用於坡地 穩定不確定性分析之方法，由 Mayer (1926)建立，Cornell (1969)將此法應用到工 程系統上，此法由模式參數之統計特性推估模式輸出值的不確定性，藉由泰勒級 數 展 開 模 式 且 忽 略 展 開 式 之 高 次 項 ， 僅 需 知 道 各 不 確 定 性 參 數 之 期 望 值 (expectation)、變異數(variance)、共變異數(covariance)，即可推求邊坡穩定分析模 式輸出值之統計特性。應用一階二次矩法分析邊坡穩定之研究有 Wu and Kreft (1970)、Cornell (1971)、Alonso (1976)、Tang et al. (1976)、Venmarcke (1977)、Wolff (1985)、Li and Lumb (1987)、Barabosa et al. (1989)及 Christian et al. (1994)等，然 大部分之研究僅探討穩態狀況下，土壤凝聚力(cohesion)與摩擦角(friction angle) 之不確定性對邊坡穩定之影響。Sivakumar Babu and Mukesh (2003)進一步考慮壓 力水頭之不確定性，該研究提出壓力水頭微小之變化即可對邊坡穩定造成很大之 影響。
Rosenblueth (1975)提出點估計法(point estimation method)，但其僅考慮機率密 度函數為對稱型態的隨機輸入參數；Rosenblueth (1981)將其改進成可處理非對稱 的隨機參數，假設對任一具連續機率密度函數之輸入變數，其前三階動差(即期望 值、變異數與偏態係數)等於某一離散(discrete)型態隨機變數之前三階動差，且此 離散隨機變數僅在兩點具有發生機率。 Li (1992)提出與 Rosenblueth 相似的點估計法，是以三個採樣點來表示某一隨 機變數的機率密度函數，輸入變數之前四階動差(即期望值、變異數、偏態係數與 峰態係數)等於某一離散型態隨機變數之前四階動差，且此離散隨機變數僅在三點 具有發生機率。張哲豪(1994)針對蒙地卡羅模擬法與點估法進行修正，克服邊際 分佈問題，應用於橋基刷深模式，進行不確定性分析及風險機率評估。陳信彰 (1997)進行分布型降雨-逕流模式驗證且分別使用蒙地卡羅模擬法、拉丁超立方取 樣法、羅森布魯斯點估計法與荷爾點估計法來進行參數不確定性分析。葉柳青 (2007)應用 Rosenblueth’s 點估計法計算邊坡整治方案之破壞機率，配合整治工程 處理方案之成本考量後，再計算出邊坡工程整治處理方案之風險值（risk），完成 坡地工程處理方案之風險評估與決策。李芷妍(2007)以台北藝術大學之破壞案例 為例，進行邊坡穩定性之影響分析與探討，為了有效考量現地情況以及探討實驗 室詴驗所可能造成土壤參數的誤差值，以蒙地卡羅模擬法、一階二次矩法、 Rosenblueth’s 點估計法探討各項參數對邊坡的貢獻及影響。 1.3 研究方法
本論文將以 Tsai and Yang (2006)所發展之「降雨引發坡地淺崩塌模式」為基 礎，考慮模式中各項輸入條件之不確定性與空間變異性，以分析安全係數之統計 特性，並進一步評估降雨期間坡地之崩塌機率。將利用實際案例以一階二次矩 法、Rosenblueth’s 點估計法、Li’s 點估計法等近似法進行不確定性分析，並將分 析結果與蒙地卡羅模擬法比較，探討各種方法之適切性，研究流程如圖 1.2 所示。
1.4 章節介紹 本論文分為五章，其整體架構如下所述： 第一章為緒論，簡述本論文之研究目的與內容並回顧相關研究之進展。第二 章為模式理論基礎與輸入條件，簡介降雨引發坡地淺崩塌模式之理論基礎與具不 確定性之輸入條件。第三章為不確定性分析理論與方法，簡介四種不確定性分析 方法。第四章為不確定性分析應用實例，藉由石門水庫集水區砂崙仔崩塌地之實 際案例應用，比較近似法與蒙地卡羅模擬結果，探討近似法之適用性。第五章為 結論與建議，對本論文之成果提出總合性之結論，並提出建議以益於日後可能繼 續之研究方向。 1.
表 1.1 國內外崩塌評估方法比較(楊錦釧，2006) 研究者 研究方 法分類 方法簡述 優點 缺點 謝正倫 (2002) 經驗法 利用打荻公式推估崩塌 1.簡單 2.適用大區域 1.不具力學基礎 2.需要大量的歷年崩 塌資料率定參數 3.具區域性限制而無 法適用於任何地區 李鴻源 (2005) 經驗法 利用 power law 推估崩 塌 1.簡單 2.適用大區域 1.不具力學基礎 2.需要大量的歷年崩 塌資料率定參數 3.具區域性限制而無 法適用於任何地區 陳樹群 (2003) 經驗法 利用篩選崩塌相關因子 並給定各因子評分及權 重之方式評估是否會產 生崩塌。 (此法類似環境影響評估 常用之方法) 1.簡單 2.適用大區域 1.不具力學基礎 2.需要人為給定各崩 塌因子評分及權重 3.可能較不客觀 Aleotti (2004) 經驗法 利用降雨門檻值法 1.簡單 2.適用大區域 1.不具力學基礎 2.需要大量的歷年崩 塌資料率定參數 3.具區域性限制而無 法適用於任何地區 Collins and Znidarcic (2004) 解析法 利用二維或三維地下水 流模擬，配合極限平衡分 析法，探討坡地崩塌。 1.具力學基礎 2.可能較準確(依參數 而定) 1.相當複雜 2.計算困難耗時 3.適用於小範圍模擬 4.參數獲得困難 5.適合深層崩塌 Collins and Znidarcic (2004) 解析法 利用一維垂向 Richards 方程式，配合無限邊坡穩 定分析法，評估坡地崩 塌。 1.具力學基礎 2.適用大區域與小範圍 1.較複雜 2.計算困難耗時 3.參數獲得困難 Iverson (2000) 解析法 利用一維垂向近似飽和 Richards 方程式，配合無 限邊坡穩定分析法，評估 坡地崩塌。 1.具力學基礎 2.適用大區域與小範圍 3.簡單 4..參數獲得較為容易 1.土壤近似飽和假設
輸入參數資料蒐集 參數統計特性分析 降雨引發 坡地淺崩塌模式 安全係數不確定性與 崩塌機率分析 一階二次矩法 Rosenblueth’s 點估計法 Li’s 點估計法 蒙地卡羅模擬法 石門水庫集水區砂崙 仔崩塌地 分析方法比較 圖 1.2 研究流程圖
第二章 崩塌模式理論基礎與輸入條件
本論文將以 Tsai and Yang (2006)所發展之坡地崩塌模式為基礎，進一步考慮 模式中各項輸入條件之不確定性，再利用不確定性分析方法計算安全係數之統計 特性，以求得降雨期間坡地的單點崩塌機率。本章首先對「降雨引發坡地淺崩塌 模式」之理論基礎作一簡單介紹，再依據過往研究資料分析模式中輸入條件之統 計特性。 2.1 降雨引發坡地淺崩塌模式簡介 降雨引發之坡地崩塌，大多以淺層崩塌為主，在評估淺層崩塌之可能性時， 利用無限邊坡理論所建立之邊坡穩定分析模式，已廣泛地被採用。無限邊坡理論 是假設坡地之破壞面平行於坡面，且崩塌深度遠小於坡地之縱向長度與寬度，如 圖 2.1 所示，依據莫爾-庫倫破壞準則(Mohr-Coulomb failure criteria)，以力平衡概 念計算安全係數，藉以判別坡地是否發生崩塌。 邊 坡 破 壞 之 標 準 可 定 義 為 系 統 之 載 重 (loading, S) 超 過 系 統 阻 抗 能 力 (resistance, R)，應用於無限邊坡穩定分析時，系統載重為土層重力所產生之剪應 力，系統阻抗能力為土壤剪力強度(抗剪強度)，當土層中某一臨界面其抗剪強度 降低至小於剪應力，或其剪應力增加至大於抗剪強度，邊坡即產生斜面之滑動破 壞。邊坡穩定以安全係數(FS)來作判斷，安全係數為土壤抗剪強度(R)與下滑力(L) 之比值，其值小於 1 時代表坡地發生崩塌。 利用莫爾庫倫理論所發展之無限邊坡穩定分析，配合時變壓力水頭之計算即 可估計降雨入滲是否引發崩塌。安全係數計算方式可表示如下： tan ( , ) tan = - +
tan sin cos sin cos
sat w sat Z t c FS Z Z (2-1) 式中FS為安全係數； Z為垂向深度(L)； ( , ) Z t 為第 t 時刻位於地表下方 Z 公尺 處之壓力水頭(pressure head)(L)；為土壤內摩擦角；c 為土壤凝聚力 (ML-1 T-2)；
(ML-2T-2)。 在式(2-1)中壓力水頭的計算是假設土壤趨於飽和，坡地因降雨而產生入滲之 控制方程式可表示為： 2 2 0cos 2 t D Z (2-2)
式 中 Ksat 為 飽 和 水 力 傳 導 係 數 (saturated hydraulic conductivity) (LT -1 ) ； 0 sat 0 D K C ，C0表示C( )
之最小值，而C( ) d d 表示含水量()與壓力水 頭之比值。求解式(2-2)需要之初始條件與邊界條件如下： 初始條件 2 ( ,0) = ( -Z Z dZ)cos
(2-3) 式中dZ為初始地下水水位(groundwater table) (L)。 邊界條件 假設土層底部為一不透水邊界，則邊界條件可表示為： 2 ( , ) cos
dLZ t Z (2-4) 式中 dLZ為坡地土層厚度(L)。 土層表面邊界條件考量土壤入滲能力時變效應，首先假設降雨完全入滲，也 就是入滲能力大於降雨強度，故壓力水頭分佈可表示為： 2 (0, ) cos t IZ Ksat Z if (0, )t 0 and t T (2-5)式中 IZ為降雨強度(rainfall intensity) (LT-1)；T 為降雨延時(rainfall duration) (T)。
若壓力水頭在降雨延時內皆小於或等於零，表示完全入滲之假設正確，並逐次計 算下一時距，但若壓力水頭大於零，表示窪蓄(pounding)現象發生，即入滲能力 小於降雨強度，而模式不考慮窪蓄所造成漫地流(overland flow)之影響，故改變地
表邊界條件為： 0 ) , 0 ( t if (0,t)0 and tT (2-6) 若時間超過降雨延時，則壓力水頭隨坡度而變化 : 2 cos ) , 0 ( t Z if t T (2.7) 由於地表面降雨入滲邊界條件為非線性型式，無法利用解析方式求解壓力水 頭，故 Tsai and Yang (2006)利用有限元素法建立數值計算式，計算步驟如圖 2.2 所示。 2.2 模式輸入條件統計特性 由前小節降雨引發坡地淺崩塌模式之理論基礎簡介可知，模式計算坡地安全 係數 FS 所必要之輸入條件可概分為下列幾項： (1) 水文條件(hydrologic)：包含降雨量(或降雨強度)與初始地下水位(dZ)等。 (2) 地理條件(geographic)：包含坡度()與土壤厚度(dLZ)等。 (3) 地質條件(geologic)：即各項地質參數，包含飽和水力傳導係數(Ksat)、C0、土 壤內摩擦角()、土壤凝聚力(c)與飽和土壤單位重(γsat)等。 由於這些輸入條件往往具有程度不等之不確定性，進而影響模式計算結果， 故首先分析各項輸入條件之統計特性，再進行敏感度分析，以決定模式中所需考 慮之輸入條件。 上述輸入條件中，降雨量通常是採用設計降雨資料(即選定頻率年之降雨量) 作為坡地崩塌之分析條件，因此本論文將不考慮降雨量之不確定性。以下依據過 往之相關研究資料，整理歸納模式輸入條件之統計特性如下： (1) 初始地下水位(dZ)： 山坡地或林地地下水位之相關資料較為缺乏，降雨臨前的初始地下水位難以 藉由現地調查加以獲得。其受地形、氣候、植被狀況、水系距離、人為開發等影
響，不似地質參數般可依據土壤分類加以概略地估算。
(2) 坡度()：
坡度可藉由數值高程模型(Digital Elevation Model, DEM)計算而得，坡度之不 確定性源於 DEM 資料的正確性。近年來隨著測量技術的進步，可以利用不同的 技術獲得 DEM，不同方式製作的 DEM，可能造成的誤差都不同。Li (1992)指出 DEM 的誤差可以近似常態分佈。在假設無系統誤差的情況下，DEM 僅有量測的 隨機誤差(random error)，隨機誤差指儀器採集精度造成的誤差，沒有規則，故 DEM 量測誤差的平均值可假設為 0。顏(2005)利用雙線性內插之結果進行 DEM 資料之 精度分析，結果顯示民國 78 年農林航空測量所製作之 40 m DEM 其高程誤差之 均方根誤差(root mean square error, RMSE)約為 4.152 m；成大衛星中心航照 5 m DEM 高程誤差之 RMSE 為 2.126 m ；而以 LiDAR 所製作之 5 m 與 1 m DEM 其 高程誤差之 RMSE 則分別約為 0.324 m 與 0.271 m。RMSE 為 DEM 品質評估抽樣 檢測之高程精度指標，公式定義如下： n RMSE n i
1 2 (2-8) 式中ε 為 DEM 量測誤差。當 ε 平均值為 0 時，量測誤差 ε 的標準差可近似於 RMSE 值，如式(2-9)所示： n n n i n i
1 2 1 2 1 ) ( (2-9) 式中σε為 ε 的標準差；μ 為 ε 的平均值。 故考慮 DEM 量測誤差之真實高程資料可以下式表示： m easure real DEM DEM ； ~N
0,RMSE2
(2-10)式中 DEMreal為實際地表高程；DEMmeasure為量測之地表高程資料；ε 為常態分佈
可求得具不確定性之坡度。
(3) 土壤厚度(dLZ)：
在 Tsai and Yang (2006)所發展之崩塌模式理論架構中，造成滑動崩塌主要為 風化後岩體，故滑動面應發展於風化土體深度內，亦即可能崩塌深度應在土壤厚 度內。而依據楊錦釧(2008)對崩塌模式之測詴結果顯示，在土壤厚度最深處有最 小之安全係數，亦即模式所預測最易發生崩塌之深度即為土壤厚度。由於土壤厚 度頇經由實際量測獲得，在缺乏相關資料情形下假設土壤厚度即為崩塌深度。 Dymond et al. (1999)指出崩塌深度常與坡度呈反比之關係；Khazai and Sitar (2000) 針對不同的坡度範圍給定崩塌深度。國內相關研究中對於崩塌深度常假設與坡度 呈一線性關係，如陳(2002)在南投溪頭地區將滑動深度設定在 0 至 10m，並假設 坡度與滑動深度為線性相關所得之關係式、陳(2005)根據石門水庫集水區現場量 測資料，迴歸分析得到坡度與土壤厚度之關係式。或將崩塌深度設定為一固定 值，如鄭(2003)以桃芝颱風作為研究事件分析豪雨引發山崩之危害度分析，參考 現地調查結果於分析時將滑動深度設定為 2.5m。崩塌深度常與坡度有關，且依現 地環境不同而有所差異，為能較符合實際狀況，應依據相關研究資料予以給定。 (4) 飽和水力傳導係數(Ksat)： 依據 Gelhar (1993)與 Fetter (1994)之研究，水力傳導係數之機率密度函數可近 似為對數常態分佈(log-normal)，且在不同土壤下，其平均值差異甚大，例如砂土 (sand)、粉土(silt)與黏土(clay)之水力傳導係數平均值分別約為 10-5~10-7 m/sec、 10-6~10-8 m/sec 與 10-8~10-11 m/sec，另對數水力傳導係數之標準差之變化範圍則廣 達 0.4~2.6。 (5) C0： 依據 Iverson (2000)中對於坡地崩塌分析應用案例之設定，C0與水力傳導係數 呈正比關係，當水力傳導係數增加兩個數量級時，C0僅增加約 2 倍大小，故相較 於水力傳導係數，C0之變異程度極小可加以忽略。
(6) 土壤內摩擦角()、土壤凝聚力(c)與土壤飽和單位重(γsat)：
依據過去坡地崩塌研究之相關文獻，表 2.1 與表 2.2 為蘇歆婷(2007)所整理 歸納摩擦角、凝聚力與土壤飽和單位重之統計特性資料。由表 2.1 可知凝聚力與 摩擦角的機率密度函數可合理假設為具有常態分佈之特質。從表 2.2 可知凝聚力 在三者中具有較大之變異係數(coefficient of variation, COV，定義為隨機變數之標 準差除以期望值)，最大可達 0.9；而土壤飽和單位重相對而言則具有較小之變異 係數，最大僅約為 0.1。
(7) 輸入條件之相關性：
Christian et al. (1994)與 Husein Malkawi et al. (2000)皆指出土壤摩擦角、凝聚 力與單位重彼此間相關性相當微小而可加以忽略；Chen et al. (2007)指出凝聚力和 摩擦角雖與地下水位有關，但在參數間相關性資料缺乏的情況下，可合理將其視 為互相獨立。土壤厚度常與坡度有關，彼此間具有相關性，若依據線性關係式給 定土壤厚度，在考慮迴歸誤差下，相關性可以直接從兩者的樣本中求得。 2.3 模式輸入條件整體敏感度分析 前小節藉由相關文獻資料彙整崩塌模式中各項輸入條件之不確定性，儘管部 分輸入條件之不確定性程度可能偏低，然該輸入條件在其變異範圍內之小幅度變 化，即可能大幅影響崩塌模式所計算之安全係數值；相反地，不確定性程度高之 輸入條件儘管變異範圍大，亦可能僅對安全係數造成小幅度之影響。Chang et al. (2010)在不考慮降雨資料與坡度之不確定性下，針對崩塌模式作整體敏感度分 析，成果顯示模式所計算之安全係數對飽和水力傳導係數、摩擦角、凝聚力、土 壤厚度與初始地下水位等五個輸入條件之變化較為敏感；而飽和土壤單位重在其 可能變化範圍內並不會對安全係數產生顯著之影響。綜合前小節整理具不確定性 之條件，本論 文 視飽和水力傳導係數(Ksat)、土壤內摩擦角()、土壤凝聚力(c)、 初始地下水位(dZ)、土壤厚度(dLZ)與坡度(α)等六個輸入條件為具不確定性之隨機 變數，其餘輸入條件則將視為確定已知而不具不確定性之常數。 2.
表 2.1 地質參數統計特性整理表 地質參數 上下限 各階動差 機率密度函數 文獻出處 摩擦角 (度) - 平均值 16.5-37.5
常態分佈 Cheung and Tang (2005)、Shou and Chen (2005)、Refice and Capolongo (2002)、Harr (1977)
標準差 1.6-7.5
30-47
平均值 35
對數常態分佈
Sivakumar Babu and Mukesh (2003)、 Lee et al. (1983)、Griffiths andFenton(2000) 變異係數 0.1-0.5
凝聚力 (kpa)
-
平均值 2.5-350
常態分佈 Cheung and Tang (2005)、Shou and Chen (2005)、Refice and Capolongo (2002)
標準差 1.6-83.3
0-100
平均值 50
對數常態分佈
Sivakumar Babu and Mukesh (2003)、 Lee et al. (1983)、Griffiths and Fenton(2000) 變異係數 0.1-0.5 37.9-82.7 平均值 54.7 skew-beta distribution (中央部分近似 normal distribution) Harr (1977) 標準差 10.2 偏態係數 3.6 峰態係數 21.7 土壤飽和單位重 (kN/m3) - 平均值 13.5-26 -
Yarahmadi Bafghi and Verdel (2005)、Sivakumar Babu and Mukesh(2003)、Refice and Capolongo (2002) 標準差 0.98-1.47
表 2.2 地質參數變異係數比較表 備註：變異係數(coefficient of variation)為標準差與平均值之比值 資料來源：蘇歆婷(2007) 文獻出處 γsat c Lumb(1974) 5-10% 5-15% 20-50% Mulder and Vanasch(1988) 36% 22% Harr(1987) 3-7% 7%for gravel 40% 12%for sand Chen et al.(2007) 0.31-3% 9.8-23.7% 20-89.9% Harr(1977) 1-3% 5-20% 10-80% Husein Malkawi (2000) 1-4% 5-20% 10-40% Sivakumar Babu and Mukesh(2003) 10-50% 10-50%
圖 2.1 降雨入滲引發崩塌模擬示意圖(Tsai and Yang, 2006)
圖 2.2 考慮土壤時變入滲能力示意圖(Tsai and Yang, 2006)
假設降雨完全入 滲進行模擬 判斷是否發生窪蓄 計算安全係數 進行下時距計算 利用式(2.6)為邊界 條件重新進行入 滲 是 否
第三章 不確定性分析理論與方法
本論文以蒙地卡羅模擬法、一階二次矩法、Rosenblueth’s 點估計法、以及 Li’s 點估計法(Li point estimation method, LI-PE)等四種不確定性分析方法應用於 Tsai
and Yang (2006)所發展之「降雨引發坡地淺崩塌模式」，本章將對此四種不確定性 分析方法依序作介紹。 3.1 不確定性分析理論 3.1.1 不確定性分析概述 不確定性(uncertainty)是指一個事件或一個數據可能有許多不同的結果。因此 當事件或數據重覆發生時，其前後結果並不一致。Zimmermann (2000)曾對不確定 性有所定義，其指在不確定狀態下，人們無法確切地對所獲取的資訊做適當定性 或定量的處置，即無法對系統、行為或是其他的特徵做適當決定且具數量化的描 述、指定或預測。不確定性之表現為風險(risk)，風險是指一個不希望發生事件之 機率(probability)，不確定性之發生可能由於資料獲取或分析方法及程序不適當， 而不確定性分析即是考量事件所具有之不確定性而導致估計的過程產生精確度 之顧慮。 3.1.2 不確定性的來源 工程系統之不確定性來源很多，大致上概分為非人為因素與人為因素如下(楊 錦釧、湯有光，1992)： (1) 模式之不確定性：模式模擬能力不足而無法有效地模擬實際之物理現象，產 生不確定性。 (2) 參數之不確定性：模式參數的估算不夠精確導致存有不確定性。
(3) 資料之不確定性：資料之量測誤差、資料不一致、資料管理或記錄誤差等人 為因子。 (4) 自然環境之不確定性：自然過程的隨機性所伴隨之本質的不確定性。 上述(1)至(3)項為人為因素所造成之不確定性來源，其中(1)至(2)項常當作知 識不確定性，係反應對真實過程未有適當的了解，可藉由改進物理過程與參數的 了解加以減低，而第(4)項則為較難避免的非人為因素。其中因模式無法有效地模 擬實際之物理現象造成模式本身具有之不確定性在本論文中暫不考慮，後續將考 量參數之不確定性、資料之不確定性、自然環境之不確定性。 3.2 不確定性分析方法 不確定性分析過程中，分析方法之決定取決於所需精度、參數取得、計算時 間等，最理想之狀況為解析法，但其實際應用上受限較大，頇先了解輸入參數之 完整統計特性，且當模式具有非線性(nonlinear)之特性，會降低準確推導模式輸 出值機率分佈的可能性，故本論文採用蒙地卡羅模擬法與近似法來進行不確定性 分析，以下就兩者作一簡介。
3.2.1 蒙地卡羅模擬法(Monte Carlo Simulation, MCS)
蒙地卡羅模擬運用了兩個重要的理論：一為大數法則，另一為中央極限定理。 每次模擬所獲得的數值，都可以視為一個相同分配中所獨立抽取出來的隨機變 數，故在執行相當龐大次數的模擬後，利用大數法則下所得到的樣本平均數即為 估計母體平均數的不偏估計；另一方面，樣本平均數的抽樣分配在中央極限定理 下，即為常態分配的本質，故較容易進行統計推論的工作。此法是從參數定義域 之機率分佈中隨機取樣，藉由重複執行模式獲得大量模式輸出值之樣本，再以此 樣本推估模式輸出值之統計特性，其良好精度之量化可藉重複多次執行模式達
成，但頇先了解各個輸入不確定參數之機率密度函數，才能利用取樣技巧製造樣 本，而樣本數之大小與其不確定性程度有正相關，取樣數越多，所計算之模式輸 出統計特性將會與解析法接近，但亦增加計算時間。 蒙地卡羅是一個完全隨機的取樣法，在取樣時可能取到參數定義域中的任何 位置，為了改善取樣的效率，取樣工作以拉丁超立方取樣法(Latin Hypercube Sampling, LHS) (McKay, 1988) 進 行 ， 其 能 以 較 少 取 樣 次 數 達 到 取 樣 不 偏 移 (unbiased)。LHS 依據各輸入參數的分佈型態及定義域範圍，採分層取樣來產生各 參數之隨機樣本，可以均勻地取出參數樣本。LHS 之取樣作業程序如下： (1) 在求解空間中考量輸入參數之個數，決定欲取樣之數目 K，並分別給定各參 數 X 之機率密度函數。 (2) 將每一參數 X 劃分為 K 個區間，且每區間內之事件發生機率均相同，使得每 一組被取得之機率均為 1/K。 (3) 對各參數所劃分之 K 個區間，隨機取樣一個樣本值，可得到 K 個隨機樣本。 (4) 任意排列此 K 個隨機樣本。 (5) 重複(2)~(4)步驟至各參數皆完成取樣。 由以上所得到之 K 組參數代入模式中計算，作為不確定性分析之用。 3.2.2 近似法(approximation methods) 近似法是將分析模式或輸入參數之機率密度函數簡化為較簡單之型態，以利 用簡單之動差(moment)公式推導模式輸出變數之各階動差近似值。本論文採用之 近似法為一階二次矩法、Rosenblueth’s 點估計法、Li’s 點估計法，以下就其分別 作介紹。
3.2.2.1 一階二次矩法(first-order second-moment, FOSM) 若模式之輸出值FS受N個具不確定性參數XN× 1所影響，則FS可表示為：
f
X XN
f FS X 1,, (3-1) 其中 f 為崩塌模式。將 FS 以泰勒級數(Tayler series)在點 x0展開可得如下方程式：
N i N j j j i i j i N n n n n X X X X X X f X X X f FS FS 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 x x (3-2) 式中 FS0 = f(x0)；ε代表展開式中三次以上之高階項。若吾人忽略式(3-2)中二階 以上之高階項，則 FS 可進一步簡化為：
N n n n n X X X f FS FS 1 0 0 0 x (3-3) 式(3-3)為線性方程式，因此依據線性組合(linear combination)原理，若展開點 x0為N×1 ( = [1,…, N] T， N為第 N 個不確定性參數之平均值)，則 FS 之期望值 (expectation)與變異數(variance)可表示為：
0 E FS FS (3-4)
N i N j j i j i X X X f X f FS 1 1 , Cov Var 0 0 x x (3-5) 式中 E[]代表平均值；Var[]代表變異數；Cov 代表共變異數。 3.2.2.2 Rosenblueth 點估計法(R-PE) 假設對任一具連續機率密度函數之輸入變數 X 而言(圖 3.1 中曲線)，其前三階動差(即期望值、變異數與偏態係數)等於某一離散(discrete)型態隨機變數之前 三階動差，且此離散隨機變數僅在(x- , x+)兩點具有發生機率 p-與 p+ (圖 3.1 中直 線)。由於對離散型態隨機變數 Y 而言，其前三階動差 r = 1, 2, 3 可以下列函數表 示：
i r y i r y y p Y E (3-6) 式中μy為 Y 之期望值；yi為第 i 個可能發生之點；pi為 yi發生之機率，Rosenblueth’s 點估計法之假設必頇滿足以下方程組： 1 p p (3-7) 0 x p x x p (3-8) 1 2 2 2 x p x x p (3-9) x x p x p 3 3 (3-10) 式中X
X x
x ，為 X 標準化後之隨機變數；μx與 σx分別為 X 之期望值與 標準差；μx΄與 σx΄分別為 X΄之期望值與標準差；γx為 X΄與 X 之偏態係數(skewness coefficient)；x xx x 以及x x x x 。由式(3-7)至式(3-10)可推導點 (x- , x+)及其發生機率(p- , p+)如下所示： 2 2 1 2 x x x (3-11) x x x (3-12) x x x p (3-13) p p 1 (3-14) x x x x (3-15) x x x x (3-16) 藉由式(3-11)至式(3-16)，吾人可將崩塌模式中每一個具不確定性且為連續型 態之輸入參數轉換為僅可能發生兩種數值之離散型態隨機變數(X+ , X-)，假設模式 有 N 個具不確定性之參數，模式輸出為FS f
X f
X1,,XN
，模式對原點 之 r 階動差可估算如下所示:
r
r N N FS p FS 1，2，， 1，2，， E (3-17) 式中1, 2,…, N分別代表 N 個參數可能發生之兩種情況，即+或-，而每一個安全 係數之可能發生機率則可表示為 N p ， ， ，2 1 。每一個安全係數發生機率可表示如下: N j i N p 2 ] j i + [1 N 1 i N 1 j , j i, 2 1
，，， (3-18) 式中當i j時i,j 1，i j時i,j 0，ij-1or1 ，係根據 N p ， ， ，2 1 下標符號的 正負，i,j為第i個與第j個隨機參數間之相關係數。 舉例如下： 8 ) 1 ( 122331 p p ， 8 ) 1 ( 122331 p p 。依據式(3-17)與式(3-18)可計算出安全係數之前二階動差，表示如下：
N N FS p FS ， ， ， ， ， ，2 1 2 1 E (3-19)
2
2 2
2 E E E V 2 1 2 1 FS FS p FS FS FS ar N N
， ， ， ， ， ， (3-20) 3.2.2.3 Li 點估計法(LI-PE) 假設對任一具連續機率密度函數之輸入變數 X 而言(圖 3.2 中曲線)，其前四 階動差(即期望值、變異數、偏態係數與峰態係數)等於某一離散(discrete)型態隨 機變數之前四階動差，且此離散隨機變數僅在點 x-、μx、x+具有發生機率 p-、po、 p+ (圖 3.2 中直線)。Li’s 點估計法之假設必頇滿足以下方程組： 1 p p p o (3-21) 0 x p x x p (3-22) 1 2 2 2 x p x x p (3-23) x x p x p 3 3 (3-24) x k x p x p 4 4 (3-25) 式中X
X x
x ，為 X 標準化後之隨機變數；μx與 σx分別為 X 之期望值與 標準差；μx΄與 σx΄分別為 X΄之期望值與標準差；γx為 X΄與 X 之偏態係數(skewnesscoefficient)；kx為 X΄與 X 之峰態係數(kurtosis coefficient)；x x
x
x 以及 xx
x
x 。由式(3-21)至式(3-25)可推導點 x-、μx 、x+及其發生機率 p-、po、 p+如下所示：
2 3 4 x x2 x k x (3-26) 2 3 4 x x2 x k x (3-27) ) ( 1 x x x p (3-28) ) ( 1 x x x p (3-29) p p po 1 (3-30) x x x x (3-31) x o x (3-32) x x x x (3-33) 藉由式(3-28)至式(3-33)可得模式輸出動差：
( )
( ) ( ) ( ) E f X pf x pof xo pf x (3-34) 假設模式有 N 個具不確定性之參數，模式輸出FS f
X f
X1,,XN
可以 下式表示：
N i N i N i j j j i i ij i i i N i i i i N i i i i N i i i i X X e X d X c X b X a FS f FS 1 1 1 1 4 1 3 1 2 1 ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (3-35) 式中FS f(x)；ai，bi，ci，di為係數。 藉式(3-34)則式(3-35)右邊前五項之期望值可寫成：
N i i i io i i N i i N i N i i i i i i i N i i i i N i i i i x f p FS p x f p FS N FS FS N X d X c X b X a FS 1 1 1 1 4 3 1 2 1 ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( E (3-36) 式中，FSi f(Xi) f(1,2,i1,Xi,i1,,N)。 公式(3-35)中eij f(X) xixj 2 ，利用有限差分可求得。 ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) , ( j j i i j i ij j j i i x j j i i j i ij ij x x FS FS FS FS x x f x f x f x x f e (3-37) 式 中 ， FSij fij(xi,xj) f(1,2,i1,xi,i1,,j1,xj,j1,,N) 式(3-35)等式右邊第五項之期望值可得如下： ij FS FS FS FS ij ij j i ij ij i j j i j ie
e
(
)
(3-38) 式中， ( ) ij i j ij x x ，i,j為第i、j個隨機參數間之相關係數。 結合式(3-36)與式(3-38)，式(3-35)之第 r 階動差可表示如下：
ij r ij j i N i r i i r i i i r N i io r FS FS p FS p FS p N FS
1 1 ) 1 ( 2 2 3 1 E (3-39) 式 中 ，
j ij i ；
ii ；ii1。 3.圖 3.1 Rosenblueth’s 點估計法輸入變數轉換示意圖 圖 3.2 Li’s 點估計法輸入變數轉換示意圖
x
f
x
(x)
μ
x
p
+
p
-x
+
x
-第四章 不確定性分析應用實例
第二章已決定「降雨引發坡地淺崩塌模式」中需要考量且具不確定性之輸入 條件。本章將以石門水庫上游集水區內之砂崙仔地區為例，並考慮民國 93 年艾 利颱風之降雨條件，利用第三章所介紹的不確定性分析方法(uncertainty analysis) 計算安全係數之統計特性，以求得降雨期間坡地的單點崩塌機率。 4.1 砂崙仔地區概述與分析案例設定 4.1.1 砂崙仔地區概述 石門水庫集水區內之砂崙仔地區，由於受到民國 93 年 8 月艾利颱風來襲，造 成砂崙仔集水區桃 113 線 4k+800 處發生嚴重崩塌，並隨著雨水挾帶大量土砂石 向下游移運至水庫地區，造成桃 113 線道路以及周遭農舍損毀，危急桃 113 線用 路人安全及下游水庫營運與供水困難。有鑑於此，於民國 95 年 1 月政府公告之 「石門水庫及其集水區整治特別條例」，將砂崙仔列為優先復育重點區域之一， 期能達成維護集水區治山防災、保護集水區生態環境及涵養水源之目的。經濟部 水利署所辦理之「石門水庫集水區崩塌與庫區淤積風險評估研究」計畫已完成砂 崙仔區域內初步探勘與土壤取樣，有助於模式模擬前針對所需地質參數資料之設 定，故選用砂崙仔崩塌區域作為應用之地點，其詳細地理位置位於桃園縣復興鄉 之砂崙仔崩塌地處理工程處(桃 113 線 4K+800)，如圖 4.1 所示。 4.1.2 分析案例設定 本論文依據砂崙仔地區部分之參數調查或詴驗資料予以設定案例，採用砂崙 仔 DEM 資料計算坡度，並選擇部分格網點進行單點崩塌機率計算。為考慮不同 DEM 解析度所製造之坡度具有不同的變異程度，故利用兩種不同的 DEM 解析度 設計了六個案例，其中坡度與土壤厚度設定如表 4.2 所示，其餘輸入條件如土壤 內摩擦角、土壤凝聚力、初始地下水位與飽和水力傳導係數則假設具有相同之統計動差，詳細設定如表 4.3 所示。以下詳述各個參數之設定： 不具不確定性之輸入條件： 包含降雨資料與土壤飽和單位重。其中降雨資料係採用民國 93 年艾利颱風期 間之豪雨做為降雨事件，以鄰近之三光雨量站所測得的時雨量資料進行模擬，表 4.1 和圖 4.2 分別為其時雨量與降雨組體圖，模擬時間自民國 93 年 8 月 23 日 12 時至 25 日 11 時共計 48 小時；土壤飽和單位重假設為 20.7 KN/m3 (楊錦釧，2008)。 具不確定性之輸入條件： (1) 初始地下水位(dZ)： 有鑑於現階段該地區無長期地下水位觀測資料，本論文初步假設初始地下水 位之機率密度函數符合均勻分佈(uniform distribution)如圖 4.3 所示，且變動範圍 介於地表下 1 m 至 3 m 間，亦即期望值為地表下 2 m、標準差為 0.577 m、變異係 數則為 0.289。 (2) 坡度()： 一般常以 DEM 資料來計算坡度，DEM 是對已獲得的離散高程數據進行內插 生成的，故存有一定的誤差，鑑於不同空間解析度下的 DEM 資料具有不同的高 程量測誤差，進而影響坡度計算結果，本論文欲探討 5m 與 40m DEM 解析度資 料之不確定性對坡度造成的影響，且同一種解析度在不同坡度下也具有不同的影 響，故設計 20°、30°、40°三個坡度。 如式(2-10)所示，考慮 DEM 量測誤差之真實高程資料為地表高程資料加上量 測誤差，式中 DEMmeasure為量測之地表高程資料，本研究採用工研院所製 5m DEM
資料，在資料有限下從中擷取 40m 網格作為 40m DEM 資料； ε 為常態分佈之隨 機誤差項(平均值 0，標準差為 RMSE)，採用顏(2005)之 DEM 資料精度分析結果， 假設 5m DEM 和 40m DEM 之 RMSE 值分別為 2.126 m 和 4.152 m，藉由式(2-10) 求出考慮 DEM 量測誤差之真實高程資料(DEMreal)。
