Ch8 Mensuration求積法/ More about area and volume 續面積和體積

第

8 章 求 積 法

選 擇 題

1. ABCDEFGH 是 一 個 長 15 cm、闊 9 cm 和 高 10 cm 的 長 方 體，DE 為 角 錐 體 ABCDE 的 高 。 求 該 角 錐 體 的 體 積 。 10 cm 15 cm 9 cm A B C D E F G H A. 375 cm3 B. 450 cm3 C. 675 cm3 D. 1 350 cm3 2. 下 圖 所 示 為 一 個 直 立 角 錐 體 ， 底 ABCD 是 一 個 梯 形 ， 求 該 直 立 角 錐 體 的 體 積 。 12 cm 9 cm 10 cm 11 cm A C D B V A. 418 cm3 B. 832 cm3 C. 1 664 cm3 D. 2 496 cm3 3. 下 圖 中 ， VABCD 是 直 立 角 錐 體 ， 高 為 20 cm， 底 為 18 cm  24 cm 的 長 方 形 。 求 VE 的 長 度 。 (答 案 準 確 至 小 數 點 後 一 個 位 ) 24 cm A B C D 18 cm 20 cm V O E A. 21.9 cm B. 23.3 cm C. 25.0 cm D. 28.4 cm

4. 下 圖 中 ， 直 立 平 截 頭 體 的 上 底 和 下 底 都 是 長 方 形 ， 求 該 平 截 頭 體 的 體 積 。 4a 4b 8a 8b V B H C A F D E G h h A. abh 3 127 B. abh 3 112 C. 150abh D. 不 能 求 得 5. 下 圖 中 ， 直 立 平 截 頭 體 的 上 底 和 下 底 都 是 正 方 形 ， 它 們 的 邊 長 分 別 是 a 和 6a。 若 原 來 直 立 角 錐 體 高 6h， 截 去 的 直 立 角 錐 體 高 h， 求 積 體 的 體 錐 角 積 體 的 體 頭 截 平 VP Q R S 。 6h 6a a h B A C Q P R S V D A. 64 1 B. 64 63 C. 8 7 D. 216 215 6. 一 個 直 立 角 錐 體 的 底 為 一 正 方 形，若 角 錐 體 的 總 表 面 面 積 是 420 cm2，而 其 中 一 塊 側 面 的 面 積 是 56 cm2， 求 該 角 錐 體 的 底 面 積 。 A. 84 cm2 B. 105 cm2 C. 196 cm2 D. 364 cm2 7. 圖 中 直 立 角 錐 體 VA B C D 的 底 為 長 方 形，其 中 C D  3 0 c m。若 直 立 角 錐 體 VA B C D 的 總 表 面 面 積 是 4 3 20 c m2， 而 V P  30 cm 和 V Q  36 cm， 求 BC 的 長 度 。 A _D V 36 cm 30 cm

8. 圖 中 直 立 角 錐 體 VABCD 的 總 表 面 面 積 是 408 cm2。 若 它 的 底 是 面 積 為 144 cm2的 正 方 形 ， 求 該 角 錐 體 的 高 。 (答 案 準 確 至 3 位 有 效 數 字 ) A B D C V A. 4.79 cm B. 9.22 cm C. 9.219 cm D. 12.5 cm 9. 一個直立圓錐體的底半徑是 10 cm，斜高是 11 cm，求 該 圓 錐 體 的 體 積。(答 案 準 確 至 小 數 點 後 一 個 位 ) A. 230.4 cm3 B. 479.9 cm3 C. 691.2 cm3 D. 1 151.9 cm3 10. 下 圖中，正 方 體 的 體 積 和 直 立 圓 錐 體 的 體 積 相 同 ， 求 a 的 值 。 (答 案 準 確 至 小 數 點 後 一 個 位 ) a cm a cm 9 cm A. 26.7 B. 9.0 C. 8.9 D. 3.0 11. 下 圖 所 示 為 一 個 直 立 平 截 頭 體 ， 其 底 為 圓 形 ， 求 該 平 截 頭 體 的 體 積 。 13 cm 39 cm V A _C B N D 12 cm M A. 2 500 cm3 B. 2 600 cm3 C. 2 700 cm3 D.  3 2 816 2 cm3

12. 下 圖 所 示 為 一 個 盛 了 水 的 倒 置 直 立 圓 錐 體 容 器，其 中 水 深 為 12 cm。若 把 380 cm3 的 水 注 入 該 容 器 內 ， 問 水 位 上 升 多 少 ？ (答 案 準 確 至 小 數 點 後 一 個 位 ) 6 cm 12 cm A B C M D E N F V A. 0.6 cm B. 1.2 cm C. 2.7 cm D. 6.3 cm 13. 一 個 直 立 圓 錐 體 的 底 半 徑 是 15 cm， 斜 高 是 18 cm， 求 該 圓 錐 體 的 曲 面 面 積 。 A. 270 cm2 B. 540 cm2 C. 900 cm2 D. 4 050 cm2 14. 一 個 直 立 圓 錐 體 的 高 是 12 cm， 底 直 徑 是 18 cm， 求 該 圓 錐 體 的 曲 面 面 積 。 A. 135 cm2 B. 180 cm2 C. 270 cm2 D. 300 cm2 15. 把 圖 中 的 扇 形 捲 成 一 個 直 立 圓 錐 體 ， 求 該 圓 錐 體 的 底 半 徑 。 205 18 cm A. 92.25 cm B. 18 cm C. 13.6 cm D. 10.25 cm 16. 下 圖 所 示 為 一 個 盛 了 水 的 直 立 圓 錐 體 紙 杯 ， 若 把 水 注 入 紙 杯 內 ， 問 紙 杯 內 沾 濕 部 分 的 面 積 增 加 多 少 ？ 4 cm 12 cm 4 cm 12 cm 5 cm A B C M D V A B C M D V E N F A. 9 cm2 B. 27 cm2 C. 54 cm2 D. 183 cm2

17. 把 下 圖 捲 成 一 個 直 立 平 截 頭 體 ， 求 該 平 截 頭 體 的 曲 面 面 積 。 4 cm 8 cm 5 cm A. 10 cm2 B. 20 cm2 C. 30 cm2 D. 40 cm2 18. 一 半 球 體 的 半 徑 是 9 cm， 求 該 半 球 體 的 表 面 面 積 。 A. 81 cm2 B. 162 cm2 C. 243 cm2 D. 324 cm2 19. 一 空 心 的 金 屬 球 的 外 直 徑 是 22 cm， 而 金 屬 的 厚 度 是 3 cm， 求 金 屬 的 體 積 。 A. 228cm3 B. 1092cm3 C. 2048cm3 D. 5052cm3 20. 若 把 兩 個 半 徑 均 為 2 cm 的 半 球 體 合 併 成 一 個 球 體 ， 求 表 面 面 積 的 百 分 變 化 。 A. 0% B. % 3 1 33  C. 50% D. 50% 21. 一 球 體 的 表 面 面 積 與 體 積 之 比 為 3 : 8， 求 該 球 體 的 半 徑 。 A. 8 B. 3 C. 3 8 D. 8 3 22. 下 圖 中 ， 半 球 體 和 圓 柱 體 的 體 積 之 比 是 3 : 5， 求 圓 柱 體 的 底 半 徑 : 圓 柱 體 的 高 。 A. 9 : 10 B. 5 : 3 C. 4 : 3 D. 3 : 5 23. 三 個 金 屬 球 的 半 徑 分 別 是 4 cm、 5 cm 和 6 cm， 如 果 將 它 們 熔 掉 後 再 鑄 造 成 一 個 新 球 體 ， 求 表 面 面 積 的 百 分 變 化 。 (答 案 準 確 至 小 數 點 後 一 個 位 ) A. 0% B. +29.0% C. 28.9% D. 92.2%

24. 兩 個 正 方 體 的 體 積 之 比 是 216 : 64， 求 它 們 邊 長 之 比 。 A. 3 : 2 B. 36 : 16 C. 216 : 64 D. 216 : 8 25. 兩 個 相 似 立 體 的 表 面 面 積 之 比 是 25 : 36， 求 它 們 體 積 之 比 。 A. 5 : 6 B. 6 : 11 C. 25 : 36 D. 125 : 216 26. 下圖為兩個相似直立三角錐體，角錐體 ABCD 的體積 : 角錐體 PQRS 的體積 8 : 27， 以 下 哪 一 /些 項 正 確 ？ A D B C Q R P S I. BCD的 面 積 : QRS的 面 積  4 : 9 II. ABC的 面 積 : PQR的 面 積  4 : 9 III. AC : PR  4 : 9 A. 只 有 I B. 只 有 III C. 只 有 I 和 II D. I、 II 和 III 27. 一 個 金屬球的體積是 268 cm3，如果將它熔掉後再鑄造成三個球體，其中球體半徑之比 為 1 : 2 : 5，求最大金屬球的體積。 A. 2 cm3 B. 16 cm3 C. 125 cm3 D. 250 cm3 28. 圓 形 氣 球 的 體 積 增 加 了 119.7%， 求 氣 球 表 面 面 積 的 百 分 變 化 。 A. +19.7% B. +30% C. +69% D. +119.7%

29. 如 下 圖 所 示 ， 把 一 個 直 立 圓 錐 體 沿 與 其 底 平 行 的 平 面 切 成 A、 B 和 C 三 部 分 ， 其 中 B 和 C 的 曲 面 面 積 之 比 為 2 : 5， 求 x 的 值 。 A B C 2 cm 3 cm x cm A. 1 B. 2.5 C. 2.75 D. 3 30. 一 個 底 為 正 方 形 的 直 立 角 錐 體 容 器 高 h， 該 容 器 內 盛 有 水 ， 水 深 為 h 5 2 。 若 把 該 容 器 倒 置 ， 則 水 深 為 'h 。 求 'h 。 (答 案 以 h 表 示 ) h h' h 2 5 A. h 5 98 3 B. h 5 17 3 C. h 5 2 D. h 5 3

程 度 一

2. 求 下 圖 中 角 錐 體 的 體 積 。 A B C V 6 cm 3 cm 4 cm 3. 下 圖 所 示 為 一 個 高 6 cm 的 角 錐 體 VABC， 它 的 底 是 邊 長 為 8 cm 的 等 邊 三 角 形 ， 若 O 是 AC 的 中 點 ， 求 該 角 錐 體 的 體 積 。 (答 案 準 確 至 3 位 有 效 數 字 ) V A B C O 6 cm 8 cm 4. 一 角 錐 體 的 底 面 積 為 72 cm2， 體 積 為 360 cm3， 求 該 角 錐 體 的 高 。 5. 下 圖 為 一 正 方 體 箱 子 ， 一 個 直 立 角 錐 體 剛 好 可 放 進 該 正 方 體 箱 子 內 ， 求 該 箱 子 中 剩 餘 空 間 的 體 積 。 6 cm A D C B F G H E 6. 下 圖 所 示 為 一 直 立 圓 錐 體 ， 斜 高 是 13 cm， 底 半 徑 是 5 cm。 V A _O B 13 cm 5 cm (a) 求 圓 錐 體 的 曲 面 面 積 。

7. 下 圖 所 示 為 底 半 徑 是 3 cm 的 直 立 圓 錐 體 紙 杯。已 知 該 紙 杯 注 滿 水 後，浸 濕 部 分 的 面 積 是 100 cm2。 3 cm (a) 求 紙 杯 的 高 度 。 (b) 求 水 的 體 積 。 (答 案 準 確 至 3 位 有 效 數 字 ) 8. 一 球 體 的 直 徑 為 18 cm， 求 該 球 體 的 體 積 和 表 面 面 積 。 (答 案 以  表 示 ) 9. 一 排 球 內 空 氣 的 體 積 為3600cm3， 求 該 排 球 的 內 半 徑 。 (答 案 準 確 至 2 位 有 效 數 字 ) 10. 一 球 體 的 表 面 面 積 為36cm2，求 該 球 體 的 半 徑 和 體 積。(如 有 需 要，答 案 以  表 示。) 11. 一 球 體 的 體 積 為36cm3，求 該 球 體 的 半 徑 和 表 面 面 積。(如 有 需 要，答 案 以  表 示。) 12. 若 兩 個 相 似 的 三 角 形 的 對 應 邊 邊 長 分 別 為 4cm和 6cm， 求 小 三 角 形 和 大 三 角 形 的 面 積 之 比 。 13. 若 兩 個 相 似 球 體 的 體 積 分 別 為8cm3和216cm3， 求 它 們 表 面 面 積 之 比 。 14. 一 角 錐 體 高 3cm， 體 積 是270cm3， 問 一 個 高 5cm 的 相 似 角 錐 體 的 體 積 是 多 少 ？ 15. 在 球 體 容 器 甲 的 表 面 髹 上 油 漆 的 費 用 為 $120。若 一 個 相 似 的 容 器 乙 的 半 徑 是 容 器 甲 的 1.5 倍 ， 問 在 容 器 乙 的 表 面 髹 上 油 漆 的 費 用 是 多 少 ？ 16. 把 八 個 半 徑 為 2cm 的 小 銅 球 熔 掉 ， 再 鑄 造 一 個 大 銅 球 ， 求 該 大 銅 球 的 半 徑 。

程 度 二 17. 一 直 立 角 錐 體 的 體 積 為 36 cm3， 底 是 邊 長 4 cm 的 正 方 形 。 (a) 求 該 角 錐 體 的 高 。 (b) 求 該 角 錐 體 斜 棱 的 長 度 。 (答 案 準 確 至 3 位 有 效 數 字 ) 18. 一 直 立 角 錐 體 的 高 為 12 cm， 底 是 邊 長 為 18 cm 的 正 方 形 。 V A _B D O C 18 cm 12 cm (a) 求 該 角 錐 體 的 體 積 。 (b) 求 該 角 錐 體 的 總 表 面 面 積 。 (c) 求 該 角 錐 體 的 斜 棱 長 度 。 (答 案 準 確 至 小 數 點 後 一 個 位 ) 19. 一 直 立 角 錐 體 VABCD 的 底 為 長 方 形 ， 其 中 AB  8 cm 和 BC  18 cm。 若 角 錐 體 的 斜 棱 長 20 cm， 求 角 錐 體 的 總 表 面 面 積 。 (答 案 準 確 至 小 數 點 後 一 個 位 ) V A B C D 8 cm 18 cm 20 cm 20. 下 圖 所 示 為 一 個 正 方 形 底 的 直 立 平 截 頭 體 ， AB  12 cm、 PQ  4 cm 和 NY  4 cm。 M N P _Q R S V X Y A B C D

(a) 利 用 相 似 三 角 形 VXY 和 VMN， 求 角 錐 體 VABCD 的 高 。 (b) 由 此 ， 求 平 截 頭 體 ABCDSPQR 的 體 積 。

21. 下 圖 是 一 直 立 角 錐 體 的 摺 紙 圖 樣 ， 該 角 錐 體 的 底 是 正 方 形 。 6 cm 10 cm (a) 求 該 角 錐 體 的 總 表 面 面 積 。 (b) 求 該 角 錐 體 的 高 度 。 (c) 求 該 角 錐 體 的 體 積 。 (答 案 準 確 至 3 位 有 效 數 字 ) 22. 如 果 把 圖 中 所 示 的 扇 形 捲 成 一 直 立 圓 錐 體 ， 求 該 圓 錐 體 的 底 半 徑 和 體 積 。 (如 有 需 要 ， 答 案 準 確 至 3 位 有 效 數 字 。 ) 240 6 cm 23. 下 圖 所 示 的 立 體 由 一 個 直 立 圓 柱 體 和 一 個 直 立 平 截 頭 體 組 成 ， 求 立 體 的 體 積 。 (答 案 以  表 示 ) 3 cm 4 cm 6 cm 6 cm 8 cm

24. 下 圖 是 由 兩 個 相 似 直 立 圓 錐 體 所 組 成 的 沙 漏，高 度 為 21 cm，頂 部 的 圓 錐 體 的 底 半 徑 為 4 cm， 而 底 部 的 圓 錐 體 的 底 半 徑 為 3 cm， 求 該 沙 漏 的 總 容 量 。 (答 案 準 確 至 最 接 近 的 cm3) C D N M A B O 4 cm 3 cm 21 cm 25. 半 徑 為 1.5 cm 的 球 體 剛 好 可 放 進 半 徑 為 1.5 cm、 高 3 cm 的 圓 柱 形 盒 子 內 ， 求 該 盒 子 的 剩 餘 空 間 的 體 積 。 (答 案 以  表 示 ) 1.5 cm 3 cm 26. 下 圖 所 示 的 立 體 由 直 立 圓 錐 體 和 半 球 體 組 成，圓 錐 體 的 底 半 徑 和 高 度 分 別 為 3cm 和 4 cm。 3 cm 4 cm (a) 求 該 立 體 的 體 積 。 (b) 求 該 立 體 的 總 表 面 面 積 。 (答 案 以  表 示 ) 27. 下 圖 所 示 為 一 半 球 形 銅 碗 ， 內 半 徑 為 9 cm， 厚 度 為 0.5 cm。 假 設 銅 的 密 度 是 每 立 方 厘 米 重 9 g。 9 cm 0.5 cm (a) 求 銅 碗 的 總 表 面 面 積 。

28. 下 圖 所 示 的 立 體 高 7 cm， 由 圓 柱 體 和 半 球 體 組 成 ， 其 中 圓 柱 體 的 底 半 徑 為 1cm。 1 cm 7 cm (a) 求 該 立 體 的 體 積 。 (b) 求 該 立 體 的 總 表 面 面 積 。 (答 案 以  表 示 ) 29. 如 下 圖 所 示 ， 在 底 半 徑 為 5 cm 的 圓 筒 內 注 水 ， 然 後 把 100 個 半 徑 為 1 cm 的 鐵 球 放 進 水 中 。 若 圓 筒 內 的 水 沒 有 溢 出 ， 問 圓 筒 內 水 位 上 升 多 少 ？ (答 案 準 確 至 3 位 有 效 數 字 ) 5 cm 30. 下 圖 所 示 為 兩 個 相 似 立 體 A 和 B， 它 們 均 由 直 立 圓 錐 體 和 半 球 體 組 成 ， 而 圓 錐 體 的 底 半 徑 分 別 為 3 cm 和 9 cm， 求 立 體 A 和 立 體 B 的 體 積 之 比 。 3 cm 9 cm 立體 A 立體 B 31. 球 形 肥 皂 泡 的 表 面 面 積 增 加 了 21%， (a) 求 該 肥 皂 泡 半 徑 的 百 分 增 加 。 (b) 求 該 肥 皂 泡 體 積 的 百 分 增 加 。 32. 把1000cm3水 注 入 一 個 底 為 正 方 形 的 倒 置 直 立 角 錐 體 中，浸 濕 的 面 積 為40cm2。若 再 注 入7000cm3水 ， 問 浸 濕 的 面 積 增 加 多 少 ？

程 度 三

34. 下 圖 中 ， 一 個 直 立 圓 錐 體 被 兩 個 平 行 於 底 的 平 面 分 成 I、 II 和 III 三 部 分 。 I、 II 和 III 三 部 分 的 高 都 是 h cm。 I II III h cm h cm h cm

(a) 求 I、 II 和 III 三 部 分 的 體 積 之 比 。