1112 複數解答

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1112 複數 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.設i 1，則 1  i  i2  i3  …  i1993  i1994  i1995  (A)  1 (B)  i (C)0 (D)i 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 i2 1，i4 1 1  i  i2 i3 …  i1995  (1  i  i2 i3)  (i4 i5 i6 i7)  …  (i1992 i1993 i1994 i1995)  0 （ ）2.化簡 sin 22 sin112

(cos 63 sin 63 )(cos11 sin11 ) i i i           (A) 1 3 2 2 i (B) 1 3 2 2 i (C)i (D) 1 3 2 2 i   【龍騰自命題.】 解答 A

解析 原式 cos112 sin112 cos 60 sin 60

(cos 63 sin 63 )[cos( 11 ) sin( 11 )] i i i i                 1 3 2 2 i   （ ）3.設 k 為實數，若 x2 _{ (i  3)x  ki  i  0 有實根，則 k  (A)0 (B)0 或 3 (C)1 或 4 (D)2 或 3} 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 令實根為 m，則 m2 _(i  _3)m  _ki  _i  ₀  _(m2 _3m)  _(m  _k  _1)i  ₀ 2 3 0 1 0 m m m k          由m(m  3)  0 ∴ m  0 或 3 代入 則 k  1 或 4 （ ）4.設 i3  i6  i9  i12  a  bi，試求 a  b 之值？ (A)0 (B)1 (C)  1 (D)  2 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 i3 _i6 _i9 _i12 _i  ₁  _i  ₁  ₀ ∴ a  b  0  a  b  0 （ ）5.設i 1，則 2_{   }3 4 26_ i i i i (A) 1 (B) 1 i (C)i (D) 0 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 原式            _

   

1 i 1 i_{ }

   

1 i 1 i_

 

i4 6i2 2 0 0 i 1      

（ ）6.設 x、y 為實數，且(1  2i)x  (1  3i)y  5，試求 x2  y2之值為 (A)13 (B)5 (C)  5 (D)2

【課本練習題-自我評量.】

解答 B

解析 (1  2i)x  (1  3i)y  5  (x  y)  (2x  3y)i  5

5 2 3 0 x y x y     _{ }   3 2 x y      ∴ x2 _y2 ₃2 ₂2 ₅ （ ）7.設方程式 x2 _{ 6x  1  0 的兩根為}  、  ，則(  )2之值為 (A)4 (B)8 (C)  4 (D)  8 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ∵ 兩根之和  6，兩根之積  1 ∴  0，  0

－ 2 － 則 2 (   )   2       6 2 8 （ ）8.設  為 x5  1 之一個虛根，則(2   )(2  2)(2  3)(2  4)  (A)10 (B)11 (C)12 (D)13 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ x5 1  (x  1)(x4 x3 x2 x  1) ∴ 4_3_2__ 1  0 且 5 1 故原式  (2  )(2 4)(2 2)(2 3)  (5  2  2 4)(5  2 2 2 3)  25  10( 432 )  4( 432 )  25  10  4  11

（ ）9.設i 1且 a 與 b 為兩實數，若(a  bi)(1  3i)  8  4i，則(a  bi)2  (A)8i (B)  8i (C)8  8i (D)8  8i

【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ (a  bi)(1  3i)  8  4i 8 4 (8 4 )(1 3 ) 20 20 2 2 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 i i i i a bi i i i i               ∴ (a  bi)2 (2  2i)2 4  8i  4i2 8i

（ ）10.已知i 1，則複數(3  2i)(4  5i)的實部為何？ (A)2 (B)7 (C)9 (D)22

【093 年歷屆試題.】

解答 D

解析 (3  2i)(4  5i)  [3  4  (  2)  5]  [3  5  (  2)  4]i  22  7i ∴ (3  2i)(4  5i)的實部為 22 （ ）11.若 2  3i 與 4 為實係數方程式 x3  ax2  bx  c  0 的其中兩根，則 a  b  c  (A)  28 (B)  30 (C)  29 (D)  31 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ∵ 2  3i 與 4 為實係數方程式 x3 _ax2 _bx  _c  _{0 的其中兩根} ∴ 2  3i 為 x3 ax2 bx  c  0 的另一根 即 x3 ax2 bx  c  [x  (2  3i)][x  (2  3i)](x  4) 令 x  1 帶入上式得 1  a  b  c  (  1  3i)(  1  3i)(  3)  a  b  c  31 （ ）12.若  、  為方程式 2x2  9x  8  0 之兩根，試求 2 (   ) 之值為 (A)  5 (B)  13 (C) 1 2  (D) 17 2  【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 a  2，b  9，c  8 9 2 4               ∴ _{( )}2 _{2 ( ) 2} 9 _{2 4} 17 2 2                     

（ ）13.x、y 為實數，若(x  2i)  y(1  i)   2  x(5  3i)，則 3x  2y  (A)  3 (B)  1 (C)2 (D)4

【龍騰自命題.】

解答 D

解析 (x  2i)  y(1  i)  2  x(5  3i)  (x  y)  (y  2)i  (5x  2)  3xi

5 2 2 3 x y x y x          得 x  0，y  2，則 3x  2y  4

－ 3 － （ ）14.設 a、b、c 為實數，若 1  2i 與 3 為方程式 x3  ax2  bx  c  0 之根，則 a  (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 先找以 1  2i 為根的二次方程式 令 x  1  2i  x  1 2i  (x  1)2 (2i)2  x2_ 2x  1 4  x2_ 2x  5  0 又原式有 x  3 的根  (x  3)(x2 2x  5)  0  x3_ 5x2 11x  15  0 ∴ a 5，b  11，c 15 〈另解〉實係數方程式有虛根必為共軛虛根 ∴ 原式之三根為 1  2i，1  2i，3 根據根與係數關係 a (1  2i  1  2i  3) 5

b  (1  2i)(1  2i)  3(1  2i)  3(1  2i)  1  4  3  6i  3  6i  11

c (1  2i)  (1  2i)  3 (1  4)  3 15 （ ）15.下列方程式中何者無實數解？ (A) 2 2x  3 0 (B) 2 3x 2x 1 0 (C) 2 4 4 0    x x (D) 2 2 3 0    x x 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 (A)D02    4 2

 

3 240有實數解 (B)D 

 

22    4 3

 

1 160有實數解 (C)D 

 

4 2   4 1 4 0有相等實數解 (D)_D₂2     _{4 1 3 8 0無實數解} （ ）16.求 6 4 (3 ) | | (2 ) i i    (A)40 (B)45 (C)50 (D)100 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 原式 6 4 | 3 | | 2 | i i    6 4 10 5 1000 25  40

（ ）17.若 z1  3  i，z2  2  i，試求|z1  z2|之值為 (A) 5 2 (B) 2 (C) 10 (D) 2 5

【課本練習題-自我評量.】

解答 A

解析 |z1z2|| (3i)(2i) |   | 6 3i 2i i2| | 5 5 |i  52 ( 5)2  505 2

（ ）18.設 a、b 為實數，若 a  bi 與 1  i 的乘積為 1  3i，則 a  bi  (A)  1  2i (B)  1  2i (C)1  2i (D)1  2i

【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ (a  bi)(1  i)  1  3i  1 3 (1 3 )(1 ) 2 4 1 2 1 (1 )(1 ) 2 i i i i a bi i i i i                （ ）19.設複數 1 3 2 1 3 2 ( ) ( ) 2 2 i i z   ，則下列敘述何者有誤？ (A)z  1 (B)z 的實部為 1 (C)z 的虛部為 0 (D)z 1 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (A) (1 3 ) (2 1 3 )2 [(1 3 )(1 3 )]2 (1 3)2 1 2 2 2 2 4 i i i i z         

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(B)1 的實部為 1 (C)1 的虛部為 0 (D)z 1 1

（ ）20.設i 1且 a、b 為實數，若_{(cos sin )}10

12 i 12 a bi

 _  _{ }

，則b 3a (A)  1 (B)  2 (C)1 (D)2

【096 年歷屆試題.】

解答 D

解析 (cos sin )10 cos10 sin10

12 12 12 12      a bi  i   i  cos5 sin5 6 6   i  3 1 2 2    i 即 3 2 a  ， 1 2 b ∴ 3 1 3( 3) 2 2 2 b a    （ ）21.化簡 4 3 ( 2)  ( 3)  (A)12 3 (B) 12 3 (C)12 3i (D) 12 3i 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ₍ ₂₎4 _{( 3)}3_{( 2 )i} 4_{( 3 )i} 3 _{4 3 3}  _i7 _{12 3i}

（ ）22.設 i  1，則複數 z  (1  2i)2的虛部為 (A)1 (B)2i (C)4i (D)4

【龍騰自命題.】 解答 D （ ）23.已知i 1且a、 b 為實數，若(2i a)



bi



15 5 i ，則a b (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D)  10 【104 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (2i a)( bi) 15 5  i  15 5 5(3 ) 2 2        i i a bi i i 5(3 )(2 ) (2 )(2 )      i i i i 2 2 2 5(6 3 2 ) 2 1      i i i 5(7 ) 7 5   i  i 則a7，b 1，故a    b 7 ( 1) 6 （ ）24.設 30 

 ，則(cos  isin)90  (A)3 (B)1 (C)3i (D)i

【龍騰自命題.】 解答 B （ ）25.設x 1 i ，y 3i ，則x120y60  (A) 1 (B)1 (C)i (D) i 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 1 2 1 1 2 cos 45



sin 45



2 2 x  i _  i_  i   





3 1 3 2 2 cos30 sin 30 2 2 y  i _  i_  i   

 









120 120 60 60 2 cos5400 sin 5400 2 cos1800 sin1800 i x y i         





60 60 2 cos3600 sin 3600 1 2 i      