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數據分析

精選例題 單變量數據分析 例題1 5位學生的數學成績如右:79, 67, 61, 70, 73 求平均數 µ , 離差平方和 Sxx, 變異數 σ2 , 標準差 σ ? [Ans:µ = 70, Sxx = 180, σ 2 = 36, σ = 6] 例題2 男生隊伍 8 隊員年齡為 14, 14, 16, 16, 16, 17, 17, 18 。 女生隊伍 10 隊員的年齡為 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 60, 62 分別求男生隊員與女生隊員年齡的四分位距? [Ans:IQR1 = 17 − 15 = 2, IQR2 = 6 − 4 = 2] 例題3 小溥的期中考數學成績為91分, 而全班的平均分數為75分, 標準差為8分。 而小溥 期末考數學成績為88分, 班上的平均分數為73分, 標準差為5分。 求小溥兩次考試 數學成績標準化的 z 分數? 就全班成績來觀察, 小溥數學成績到底是進步還是退 步呢? [Ans:z1 = 2, z2 = 3 ; 成績進步] 例題4 某籃球隊有10名隊員, 其身高分別為 182,185,186,186,183,175,196,188,186,183 公分, 求此球隊隊員身高的平均數與標準差? [Ans: 平均數 µ = 185 公分, 標準 差為σ = 5 公分] 例題5 某班50名學生的期中考數學成績, 中位數74分, 算術平均數75.2分。 後來發現某 生成績應為 86 分誤登記為76 分, 試問班級的中位數, 算術平均數, 標準差應否更 正? 若該更正, 則變大還是變小? Ans: 中位數不變, µ = 75.4 變大, σ 增大。 例題6 某測驗, 甲、 乙兩班數學成績如下表所示, 求甲、 乙兩班的算術平均數及標準差? 班級(次數) 40 ∼ 50 50 ∼ 60 60 ∼ 70 70 ∼ 80 80 ∼ 90 90 ∼ 100 合計 甲班 2 5 4 6 2 1 20 乙班 1 6 5 3 3 2 20 [Ans: (1)X甲 = 67, S甲 = 13; X乙 = 68.5, S乙 = 14.2] 例題7 某公司調查其名下各分公司員工的薪水, 得算術平均數為30000元, 標準差為4000 元。 為激勵員工, 公司提出兩個調薪方案: 甲方案: 每人加薪5000元。 乙方案: 每人 加薪 5%。 求兩方案員工薪水的算術平均數與標準差? [Ans: 甲: 35000; 4000 乙: 31500; 4200] 1

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例題8 假設有一群十筆資料,11,15,13,15,9,8,4,5,5,15; 如果將最後一筆數據由15改為14, 則下列 7 個統計量, 那幾個對應的統計量會因此有所變動 (說明變大或變小或其 值)? (a) 平均數 (b) 眾數 (c) 中位數 (d) 全距 (e) 變異數 (f) 標準差 [Ans: (a) 變小 (b) 增加一個 (c) 不變 (d) 不變 (e) 變小 (f) 變小] 雙變量數據分析 例題1 某公司近五年的投資金額如表: 年度 x 1 2 3 4 5 投資金額 y 1 1 3 4 6 ( 單位:億元) 請繪 x, y 的散佈圖, 並求出迴歸直線方程式? 利用此迴歸線來預測此公司第7年度 的投資金額大約為多少元? 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 ˆ Y 年度 投 資 金 額 ( 億 元 ) [Ans: ˆy = −0.9+1.3x; x = 7, ˆy = 8.2] 例題2 某飲料公司想瞭解廣告費用 X(百萬元) 與飲料銷售金額 Y(億元) 之間的關係: 於是進行調查, 連續10 個月的每月廣告金額與銷售金額資料整理如下: 10 P i=1 xi = 28, 10 P i=1 x2 i = 303.4, 10 P i=1 yi = 75, 10 P i=1 y2 i = 598.5, 10 P i=1 xiyi = 237 求迴歸方程 式? 若廣告費用每增加1 百萬元預算則銷售金額可期待增加多少元? [Ans: ˆy = 7.164 + 0.12x;0.12 億元] 例題3 某班上10位學生的基測數學成績與高一數學成績如表:2-0: 基測數學成績與高一數學成績 成績 \ 編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均數 標準差 基測 x 52 40 40 48 40 42 42 46 46 44 44 4 高一數學 y 82 58 60 80 76 64 68 72 68 72 70 8 (a) 將10位學生的基測數學成績與高一數學成績標準化: (b) 承上題, 計算前述10位同學基測數學成績與高一數學成績的相關係數? [Ans:r = 0.75] · 2 · ∼順伯的窩 ∼

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https://sites.google.com/site/hysh4math · 表2-0: 標準化基測數學成績與高一數學成績 成績 \ 編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均數 標準差 基測x’ 2 -1 -1 1 -1 -0.5 -0.5 0.5 0.5 0 0 1 高一數學 y’ 1.5 -1.5 -1.25 1.25 0.75 -0.75 -0.25 0.25 -0.25 0.25 0 1 (c) 計算前述10位同學高一數學成績 y 對基測數學成績 x 的最佳直線? [Ans:y = 4 + 1.5x] (d) 若此班上某生基測數學成績為50分, 試預測此同學高一數學成績為多少? [Ans:79分] 例題4 計算未標準化的兩抽樣數據 (x, y) 的相關係數? [Ans:r = 29/40 = 0.725] X 3 4 7 11 15 Y 5 40 15 35 55 xi− x yi− y (xi− x)2 (yi− y)2 (xi − x)(yi− y) 總和 · 3 · ∼順伯的窩 ∼

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