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彰化縣私立精誠中學106學年度第一學期第一次段考 數學科 高三自然組試題 第一頁
考試範圍：龍騰版 第四冊 §4-3及選修數學甲 第一章(全) 命題教師：黃瓊儀 審題教師：謝元永 ☆本試卷共2頁，另附答案卷 一、多重選擇題 1. 已知雙曲線的共軛軸平行於 y 軸，其兩條漸近線交於點(1, 2)，且點(3,5)在雙曲線上，試判斷下列哪些點也一定在此雙 曲線上？(1) ( 1, 1) (2) (5,3) (3) (3, 1) (4) (3, 5) (5) ( 1,5) 2. 丟一個均勻的硬幣 5 次﹐令隨機變數 X 表示出現正面的次數﹐則下列哪些是正確的﹖ (1) X 所有可能的取值共 5 種 (2) ( 1) 5 32 P X (3) ( 1) 31 32 P X (4) (2 4) 5 16 P X (5) ( 2) 1 2 P X 3. 隨機變數 X 是一個參數為(25,0.2)的二項分布﹐則下列哪些是正確的﹖ (1) X 的期望值是 5 (2) X 的標準差為 4 (3) X 5 的機率最大 (4) P(X 10) P(X 20) (5)P(X 5) P(X 20) 4. 設調查全國高中生對「可以不穿制服到校」議題的支持度，回收有效問卷n張，贊成比例為pˆ ，其95%的信賴區間為 [ , ]a b ，則下列敘述哪些是正確的？ (1)有效問卷中，贊成者有n pˆ 張 (2) pˆ 2 a b (3) 如欲得到 99.7%的信賴區間，則信賴區間會縮小 (4)如回收有效問卷 4n張，在相同贊成比例下，則95%信賴區間將縮小為原區間之半 (5)如回收有效問卷 4n張，在相同贊成比例下，則95%信賴區間為[ , ] 2 2 a b 5. 阿宏 參加數學檢定考試，一共要考代數學、幾何學、統計學三科。假設阿宏通過代數學的機率為0.75，通過幾何學的機 率為p，通過統計學的機率為q，若不同學科考試是否通過彼此獨立且 p q ，令X 表示通過之學科數，且 X 的機率分布函數如右，則下列哪些 是正確的？ (1) p0.5 (2) a0.3 (3) b0.5 (4) E X( ) 1.8 (5) Var X( ) 1二、填充題
1. 若全校 1000 人的分數成常態分配，已知約有 160 人在 60 分以下，約有 25 人在 87 分以上，則算術平均數 ，標準差 。 求序對 ( ,σ)＝_________。 2. 由某一生產線隨機抽樣 100 個商品，得 10 個不良品，則不良品比率的 95％信賴區間為_________________。 3. 若一等軸雙曲線的中心( 3 , 1 )，已知其一條漸近線為 x＋2y－5＝0，求另一條漸近線的方程式為_________________。 4. 一袋中有紅球 2 個，黃球 4 個，藍球 5 個，若機會均等，今從袋中任取 3 球，則取到紅球個數的期望值為_________個。 5. 設甲、乙兩人獨立解出一題數學問題的機率分別為1 3、 4 5。今兩人同解某一問題且互不影響，每題只要有人解出就叫做成 功情形。若兩人同解30 個問題，求成功解出問題題數的期望值為_________題。 6. 已知隨機變數 X 滿足期望值E X(2 3) 10， (2 3) 35 3 Var X ，則E X( 2)_________。 7. 假設公牛隊與火箭隊實力相當，今兩隊以七戰四勝決戰(即先勝四場者為贏)。公牛隊在七場比賽中，最後戰績為四勝三 敗的機率為_________。 X 0 1 2 3 P( X= ) 0.06 a b 0.18彰化縣私立精誠中學106學年度第一學期第一次段考 數學科 高三自然組試題 第二頁
8. 投擲兩公正的骰子，點數和若為二位數可賺 100 元，若為一位數得賠 50 元，求其投擲 1 次所得金額的變異數為______ ___ 9. 某人射擊的命中率為 0.6，今射擊 n 次，欲使射中目標的機率高於 0.995，則最少要射擊____________次。 10. 人壽保險公司銷售一年期意外險給 25 歲的年輕人，保險額為 120 萬元，保費 1500 元。依過去之統計資料顯示，25 歲年 輕人可以活到26 歲的機率為 0.999，試問保險公司的期望利潤為_________元。 11. 食品檢驗單位對傳言的問題魚類發表檢驗結果如下：「我們有 95%的信心認為此魚類合格率在 66%到 74%之間」。 請問：此檢驗中，共檢驗了_________個魚類樣本。 12. 某民調公司抽樣調查民眾對某議題贊成的比率，當抽樣的樣本數為 250 時，樣本贊成的比率為 pˆ 且在 95％信賴區間的 抽樣誤差為 8％。假設抽樣的樣本數為 1000 時，樣本贊成比率也是 pˆ ，求 pˆ 的99.7％信賴區間的抽樣誤差為______％。 13. 高三 11 班有 47 位同學，擬自其中抽取 6 位同學進行測驗，以評量學習績效：今將同學編號為 1，2，……，47，若採 用簡單隨機抽樣方法抽取6 位同學，依下列隨機號碼表的第 3 列第 6 行開始，由左到右每次取一個「2 位數字組」做為取 出樣本的同學座號，請問所取出的第6 位同學座號為_________號。 14. 右上圖是以 A、B 為圓心的兩組同心圓，各組 6 個同心圓的半徑分別為 1，2，3，4，5，6，且AB6。已知有一雙曲線 以A、B 為焦點，且通過 C、D、E 三點，求此雙曲線的正焦弦長為_________。 15. 右圖是某冷卻塔的截面圖，其頸部AB剛好是雙曲線的貫軸。已知AB，ST 與PQ互相平行， 2 AB ，ST 4，PQ14，且AB與ST相距3，求ST與PQ的距離為_________。 16. 有一雙曲線 Γ 之中心為( 2 , 1 )，貫軸長為 6 且平行 x 軸，又其貫軸與漸近線之夾角為 60， 若點P 在 Γ 上且滿足＝2(其中 F、F'為兩焦點)，求 ΔPFF'面積為_________。17. 已知到點 ( 1 , 0 )的距離等於到直線 x＝4 的距離的 2 倍之所有點所形成的圖形為雙曲線，求此雙曲線的焦點坐標為____ _____________。 18. 若雙曲線的中心為(1, 1) ，貫軸平行x軸，又共軛軸的一端點為(1,1)，同側焦點與頂點的距離為 13 3 ，求此雙曲線 的方程式為_________________。 19. 設坐標平面上有兩圓 C1：（x－5）2＋y2＝16 與 C2：（x＋3）2＋y2＝4，若另一動圓 C 與 C1 及 C2 之一個內切、另一個 外切，則此動圓圓心的軌跡方程式為_________________。
