中學生通訊解題第二十九期題目參考解答與評析

(1)

中學生通訊解題第二十九期題目

參考解答與評析

臺北市立建國高級中學數學科

問題編號

921001

如園，將平行四邊形內部?而分別與同個頂點連接，可得四個三向形，若此四位 J- 角形的面積成等比數判，試問滿足這樣條件的點共有多少個?妨說明你的理山。

ζf

A

7

C

G 十 ar' αr+Grz 三種情形~算是完整。評析: 此題答對來頗白， 46 人作答，其巾 35 人都能得出正確符案。平均得分率 4.84 分。答題優良名單:北縣 n: 翠國中訂一廷瑋、陳建宏、 |棟建彰:北市延 Jf"[謝中黃善仙:新竹光華國中范祐維、 r銘鋒，彰化陽明闢中王建諂: 宜，橋凶 rjr 蔡佩白北市興雅國中林昭平:台南建興國 ell 陳春瑛:北市東湖國中李光宇。 → r三 l A 匕主 ι 二1~ 2 可目匕前'J "間 G 十 ar 士。 r-

+

ar ' a

+

ar- 三 ar+ar

3 若 a

+ar3 = ar + ar2

• a( I-r)( 1-r2)=0

如仁圖，在剩 F 的 8 個空格中，填入小於 100 JL 相異的質數，使得橫、豎、斜三數的干[]持相等。註:質數除了 2 、 3 以外，其他質數除以 6 的餘數民 l 或 5 。

參考解答與評析:

我們對於質數的了解不多，只知它的正因數只有一 l 和本身，其他如 '1 至Ij 100 的自然數 rjr 質數;有一 25 個 J ' I 訐多質數都是配對差 2 出現的，如 5 ， 7;

11 ,

13; 17; 19;

29， 31 等 J 0 iLi- 次我們利用質數外交改變九宮格數字的連續性，我們怕中學丹:不知道質數除了 2 和 3 以外，都是 I

6 k+

1

J 或 I

6k+5

J 的形式，特別{f題 H 提醒， lR驚訝的發現，有部分的學問題編號

921002

C B A 參考解答:

l 若 a+ar=

ar2+

ar3 沙 r=

1

2. 有 a +ar2 三ar

+ ar3

• r= I

...

6PAB+6PCD=6PAD+6PBC 三 1/2

OABCD

設此四個三角形的面積為a， ar句 ar2司 ar3

.

.此四個三三角形面積必相等，所以 P 點烏干

行同邊形 ABCD 之對角線交點。

解題重點:

(2)

牛-會把 l 到 100 所有的質數討論代入得到正確的答案，佩服他的耐心與毅力， -I更相信其對數學的研究很早以前就被早年發。很遺憾的是有少數同學只是把正確答案寄來，而沒有詳細的思考過程，我們懷疑是找參考答案或者任課老師提示的，希望爾後每-題都能把計算過程寫下來。 F 面是新竹縣光華國中王銘鋒同學所提供的方法，分析得非常仔細。 [解答] 所有的質數除 J2 和 3 以外都是 3k+1 或 3k-1 型， I 也屬於“十 l 型，即每列呎少有」個 6k+1 型

( I

)如果每行每列每斜排都有 J 個的+

I

fti-J 和二個仕 -I 型。

2

3

如j-..園 'C 列和 2 行都有-個 6 k+ 1 型(就是

A

B

C

II

6k+1

6k-1

6k+1

6k-1

I)

，所以另外;格都是“-I ~l ; 因為 l 斜排

(AI ，凹，C3)和] II 斜排(CI ， 82 ，A3) ，都已經有二個“-I 型，所以 I 斜排的 Al 和 II 斜排的的都應是“+1 型。但是這樣 A 列就有;個“十l 型，不合 (2).如果每行每列每斜排都有:個6k+1 型和l 寸因此-I 型。

A

II

2

3

如土圖 'C 列還要再排半個 6k+1 型和--個

B

C

6k+1

6k-1

6k+1

6k-1

6k-1 型， pJ令 CI 為的+1 型，則。為“-

I

型， 2 行也要再排一個 6k+1 型和-個的-I 型，但 82 不可以是 6k-1 型(要不然 I 斜排就有 ~flli] 6k-1 型) ，所以也是 6k+1 型， A2 是

“-I 型。

內為 II 斜排已經有三個“+1 型，所以 A3 一定是“-I 型，但這樣 A 列就有三個“-I 型，不合 (3).由 (1).(2) 口I 以知道每行每列每斜排有一個 6k+1 型和三個“-I 型或者是每行每一列每斜排都有三個的+1 型和-個 6k-1 型都不行，每行每列每斜排中里面全部都是6k+1 型

A

B

C

II

2

3

設 Al 是 6a+1

;

81 是 6b+1

;

CI 是加+1

; A2

6a+1

6b+1

6c+1

6d+1

6e+1

6f+1

6g+1

6h+1

是 6d+l; 但是的+1 ;A3 是 6f+l; 別是 6g+l; 。是 6h+1 0 因為 A 列總和三 B 列總和 =C 列總和=1 行總和 =2 行車早早日三3 行總和三I 斜排社會、和 =11 斜排總和日I 以知道

6( c+h)+3=6( d+e)+3=6( a+b+c)+3=6(

f+

g+h)+3

=6(a+d+

f)+

3=6(b+e+g)+3

=6(a+e+h)+3=6(

c+e+η+3 qb

+

戶智

+

4f

14 吋 C

+

ob ‘ d h什「「

=h

pivl • l lrρ 心 LV 寸

針、司

已，什村 d

+

di

」「弓

+

piv

• c+h=a+b+c

• h=a+b

c+h=f+g+h → c=科g 可句句 3λ 峙，、 dJhu 句/ c+h=a+e+h 一-? c=a+巳

c+h=c+e+f

• h=e

+f

d+e=b+巳+g → d=b+g

d+e=a+b+f

• e=a+f

d+e=a+e+h

• d=a+h

(3)

d+e=c+e+f

• d=c+f

8

滿足 g=2a

,

b=2f

n.數字不重複的情形有

[E

1 ,4 :

a+b三e+f 6 代入 9

:

a+b三a+2f b三2f 出 2 ， 3

:

f+g可惜 6 代入 10

:

f+

g=2a

+f

9

AV

I) g=2

,

a=1

,

b=6

,

f=3

2)g=2 司 a=l ， b二 10J、:CC 5

3)

g三2 ， a三 l 、 b三 12 ， f三6

4)

g三6 ， a三 3 ， b三 2 ，[=1

5)

g三 6 ， a三 3 ， b三 10 ，[=5

6)

g三 10 ， a三 5 句 b三2 ， f三三 l

7) g=10

,

a=5

,

b=6

,[

=3

8)

g三 10司 a三 5 、 b=12， f三6

9)

g=12司 a=6可 b=2 ， f三 l 10)g=12，a三6 ， b=IO， f三5

g=2a

小於 100 的質數中，型如此+1 的有:

7 ,

13 ,

19 ,

3 I

， 37 ，4 3 、61 ，67 、 73 、 79、97

故 a司 b ，c， d ，e，旬，h 只會是 1 ，2 ， 3 ， 5 ， 6、7 、 10 ， 11 勻 12 ，

日， 16 共 II 個裡的 8 個數。組別

g

a

b

f

c=f+g

h=a+b

d=c+f

e=a+f

符不符合不合的原因

2

6

3

5

7 a

4

小 fy d 不能足以6*~+1=49 不足質數) 已于J能1:: 4(6叫+1=25 于是Ti數)

2

10 _『

7

11

12 71(7

3

2

12

6

前

₁₃

₁₄

₇

c1、能1:: 8(6吋+1=49 不 jt~可數) d 不能泣 14(6*14+1=的不足一質數)

4

6

3

2

7

前

₄

_f〈/了

d

1、 fj~j乏自(6*8+1=49 不是質數)

e

1、能址 4(6叫+1=25 不是質數)

5

6

3

10

5 II

13

16

品 _于~(r

_e

_{Hit足自(伊拉+1=49 不是質數)}

6

10

5

2

11

7

12

自人f、么li/、T

7

10

5

6

3

13 II

16

H

1;0

E 寸、能J{ 8(6味+1=49 乎是質數) 前 U仇

₅

₁₂

₆

₁₆

_]7

₂₂

₁₁

_小卡? h 不能延 17(6*

17+ 1=]()3> 100)

d1;能li:一 22(6*22+

1=133>

I ∞)

9

12

6

2

13

8

14

7

不仆 h1; 能迫自(伊拉 +1)

d

-1、能是 14(6*

14+1=85)

10

12

6

10

5

17

16

22

II C 寸、能是 17(6*17+1=1的>1(0) 故得到三個解

(I)

問題編號

921003

某次考試只考國文、英文、數學、自然與社會五科，各科都用 '0 、 5 、 10 、 15 、 20

_J

等五種級分來，這|分。今甲、乙、丙、丁、戊五人的部分成績如

_F

表，已知各科中每人的成績皆相異， il 乙千']3 科同分，丙有 4 科同分，請把其他成績填入表格中。

7

61

43

73

37

31

13

67 (2)

31

13

67

73

37

7

61

43 -

40 一

(4)

凶 l丸數中勿 1t 總

:f',

三(. 火; f'，~

_HI

f.}~ j \J 法; 可1 _。5

乙

5 2 內 3

「

4 有 20 10 5 參考解答: ( 1)求甲的分數:甲總分為坊，閃 j的分 100 ' 所以口I確定甲的分數千f 科是 15 分，其他科維滿分 (20 分) ，又!立的國文為 20 分，因各科中每人的成績皆相異，

所以甲國丈為 15 分，其他為 20 分。

( 2

)乙有 3 科同分 (a). 同分分數為 5 分，這樣的話，乙最高只能

5 、 5 、 5 、 15 、的總分 45 分，

rJ'Ffr

4 科

同分，不可能也是 5 分，行為 10 分，總分必超過乙，若為 0 分，必位於)兒，故此月犬?兄不口 J 能。 (b). 同分分數為 10 分闕 _央數物 1t

?"

父; >!.. μI;， fill f'.( jj\一 _J欠 15 20 20 20 20 95

乙

l仇V 15 10 l仇。 5 50 2 內 3

于

4 戊 20 10 5 這樣的話，乙最高只能 10 、 10 、 10 、 15 、 5' 帽、分 50 分，內有 4 科同分，不吋能是 15 分(會超過乙) ，也不 w] 能為 5 分(低於戊) ，故此狀況不叫能。 (c). 乙 3 科同分分數為 15 分 [gJ;l 央H 數物化純!

?"

>!.. 一支 f>

,'

fl[l HI

)J

、 /欠 L

tJ

15 20 20 20 20 95

乙

15 15 15 多 50 ? 內 3

丁-

4 戊 20 10 5

( 3

)內有 4 科 [iel] 分 'I司分分數是 5 分不叫能，因為戊已經有一 30 分，若附有 4 科同分分數是 5 分，頂多 30 分，不可能第 3 名，故 4 科同分分數必為 10 分。 l或I r',G 數物 1t 來哇! 字! 父; 失; ，1'5主A f~l M叫f

?于

JjJ 15 20 20 20 20 95

乙

15 15 15 5 50 今 |吋 10 10 10

_o

3 4 「戈 20 10 5

( 4

)將剩餘空格依照名次的條件， FH 於戊有 30 分，數學和物理的 5 分給 r' 0 分給 !兒，數學的 15 分給丁'英丈剩 5 分干11 0 分分給丙和 l 卒， 5 分→定要給丁，否則J J 將I貝多和戊同分，國文剩 5 分和 0 分分給乙和丁， 5 分-定要給丁，否則

].

g守頂多和戊同分，數學的 0 分給戊。 |判 IJ~ ~~ 物化相思

,

:f',

火; 火; i"J l'

l!

μ←川

"';3:

5} 多; 15 20 20 20 20 _。5

乙

。

15 15 15 5 50 2 |付 10

_。

10 10 10 40 3 5 5 5 5 15 35 4 「記 20 10

_。

o

_。

30 5 言平析

:

本題同學答題情形不錯，大部分都寫出 JJ F. 確答案，需加強的地方則是在過程的描述應力求簡潔，有條理、分類清楚討論宇是。問題編號

921004

1331=11

3

1030301 = 101

3

1003003001 = 1001

3 我們發現凹位數 If 1331jJ 在每兩個相鄰的數字之間插入個數相同的零，所得的新

數是完全立方數，試證之。

(5)

參考解答: 閃為 1331 二 Ixl03+3xl02 十 3x10+

I

二 113 三(1 0+1)3 10301 二 IxI06+3xI04+3xI02+

I

= 1013=(102+ 1)3

1003001 二 Ix

109 +

3xl06 十 3x104+

I

二 10013 三( 103 十 1)3 可長[I: 在相鄰一對數字之間括人 k 個零後，得到數參考解答一: (此方法由新竹巾光華國司JT. 銘鋒同學等人提供) 技 A

_I

A

₂

···A

k

是所有國內接正k邊形中周長最大苦，和[它不是正 k 邊形，則它至少有對在I;邊不相等，拉馬 Ak.IA

_k

_芋

AkA

_I

(POI哥 ) a

·B

100···00300···003···00 I

三 I

031k+11 + 3.1

021_{k刊 I}

_+3.10

k<

l + I

C 嚕 M 三(I O A+ l

+

1)3 。解題重點: 能利用在 )j公式 (a 寸 b)3=a3+3a2b+3ab2 十日並能找出升空形式解。評析: 本題徵答人數共有一 55 人，其 111 全對苦 Jt

37

人。答對本相當高 o uJ 見大部分參與徵莽的國中同學對於乘法公式是相當熟練的;少部分同學只由幾個例 f即推得結果 jfJj未能推演出一般形式，相當吋惜。問題編號

921005

試證明:區|內接 k 邊形中，閻長最大的

必是 rE k 邊形。

取弧 AIAkA

k

-

1

的中點

_{Mo 連接 AIM oAk一 1}

_M

_'

AkM

0

過 At 作 AkM 的垂線，垂足為 C 點，延長 AIC

~

B

0 使 BC 二 AIC c 於是，6. A

_t

MC

,6.

BMC

0 ，6. A

t

A

k

C 三，6. BA止，

所以 AIM 二 BM=Ak.IM 0

A1Ak=BA k

0

ζBAkM 二 LAIAkM 二 LAIA

_k

_一

1 M

=ζMAIA

_k

.

₁

0 交 ζAIMA

_k

.

_t

=ζAIAkA

_k

.

₁

0 所以 ζBAkM+ζMAkA

_I

+ζAIAkA

k

.

1 .

-42

=

LAtA

_k

_一

IM+ζMAlAk_I 十 4三 A)MA

_k

_一

1=

1800

。因此 A蚓、 A

_k

、 _M 三三點共線。再

_{ru ，6. MA}

_k

_{.)B 得到九一 IM+MB>Ak.IB 0 即}

(6)

AIM 十 Ak_IM>

A1A k+ AkA k-1

0

連 AkP 、 AkQ

形。

MAl>

A

I

A

2 十 A

2 A

3

十

.，.十 A k-2Ak-1 斗 Ak_IAk

+

故圓內接

k

邊形中，周長最大的必是正

k邊

於 k 邊形 A\A

₂

·..A

k

_\A

k

的周長。此為矛盾，

(

A

_o

? 為直

LQAkAl

=ζ 4- L2= ζ 3- L三 l

=

LPAkM 二三三 1=ζ2'

ζ1= L2 ，三 3=ζ4 (對|司弧)

,

'. A

₂

M

=

_{MA k}

=

M? '

得到耳豆 =ZZ O 而 A

₂

P> A

2

Q

所以因為

則 ZIZ+ 兩 =

A

₂

M

+

MP

=

A

2

P

,

A

_I

A

₂

十

A

₂

A

₃

十 .，.十 A

_k

-

₂

A

_k

-

1

十_{Ak_IM+}

AkAlo 即得到 k 邊形 A

_I

A

2 ···A

k

- ， M 的周長大

所以

徑

) ，閃此

設 A1A2···Ak 是所有圓內接正 k 邊形中周

長最大者，但它不是正 k 邊形，則它至少有

參考解答二:

(此方法由台南市建興國中陳春玫同學提供)

AIA2···Ak-1Ak 的周長。此為矛盾，故圓內

A2A3 十.，.十 Ak-1Ak+ Ak恥f 十恥1A2>

接 k 邊形中，周長最大的必是正 k 邊形。

k

i畫形 AIA2···Ak-1M 的周長大於 k 邊形

A2A3 十...斗← Ak-1Ak 十 AkAl 十 AIA2

0

_tlr]f早至1

AkM+ 而耳語+頁 =A，P> 芯=互不 AlA，

所以

A1A2 芋 AkAl (如

→對鄰邊不相等，設為圖)。解題重點: P

( 1

)能用反誰法找出矛盾。

M/

/

\---一一一一--~

(2)清楚了解並能利用主基本的幾何性質。

評析:

本題徵答人數共有 17 人，其中有三對者共 6

人 υ 其中，答題優良或解法富參考價值者有

台北市延平中學黃善佑同學;海山國中江俊

韓同學;積干惠國中肅蛇宏同學;新竹市光華

國中范祐維同學與 E銘鋒同學;彰化市陽明

取弧 A2AIAk 的中點 M

' .'.

A

₂

M

=

A

k

M '

以 M 為圓心， ZIJ 為半徑作圓通過 AK

O

延長 ZIJ 與 ZZ 分別交圓於 P 與

Q'

國中王建諂同學;台南市建興國中陳春玫同學等。