對具最小擾動HiBinLegalizer之最佳化分析以及網格數的精化

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Minimized Disturbance Optimal Analysis and Grid Bin Size

Refinement for HiBinLegalizer

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對具最小擾動 HiBinLegalizer之最佳化分析及網格數

的精化

Minimized Disturbance Optimal Analysis and Grid Bin Size

Refinement for HiBinLegalizer

研

_{究生 : 鄭巧翎}

指導教授 : 李育民教授

(2)

對具最小擾動 HiBinLegalizer之最佳化分析及網格數的精化

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研

_{究生债鄭巧翎}

指導教授债李育民

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國立交通大學

電信工程研究所

碩

士論文

偁偔偨健偳偩偳偓偵偢偭偩側側健偤側偯偉偮偳側偩側偵側健偯偦偃偯偭偰偵側健偲偡偮偤偉偮偦偯偲偭偡側偩偯偮偓偣偩健偮偣健偃偯偬偬健偧健偯偦偅偬健偣側偲偩偣偡偬偅偮偧偩偮健健偲偩偮偧偡偮偤偃偯偭偰偵側健偲偓偣偩健偮偣健偎偡側偩偯偮偡偬偃偨偩偡偯偔偵偮偧偕偮偩偶健偲偳偩側偹偩偮偰偡偲側偩偡偬偆偵偬倌偬偬偭健偮側偯偦側偨健偒健偱偵偩偲健偭健偮側偳偦偯偲側偨健偄健偧偲健健偯偦偍偡偳側健偲偩偮偃偯偭偰偵側健偲偡偮偤偉偮偦偯偲偭偡側偩偯偮偓偣偩健偮偣健偁偵偧偵偳側倲倰倱倱偈偳偩偮偣偨偵倬偔偡偩偷偡偮倬偒健偰偵偢偬偩偣偯偦偃偨偩偮偡

中華民國一百年十月

偩

(3)

對具最小擾動HiBinLegalizer之最佳化分析及網格數的精化

學生债鄭巧翎

指導教授债李育民博士

國立交通大學電信工程研究所碩士班

摘要

隨著積體電路製程的演進，最小線寬倨偦健偡側偵偲健偳偩偺健倩的微小化，單一晶片上有數以百萬的標準元件倨偳側偡偮偤偡偲偤偣健偬偬倩以及智慧產權倨偉偮側健偬偬健偣側偵偡偬偐偲偯偰健偲側偹倬簡稱偉偐倩模組或巨集模組塊倨偭偡偣偲偯偢偬偯偣偫倩，使得超大型積體電路擺置倨偰偬偡偣健偭健偮側倩的問題愈趨於複雜。然而一個合法的擺置必須所有元件之間沒有交疊並且所有的標準元件須對齊至列上；因此在積體電路設計中，擺置的合法化倨偬健偧偡偬偩偺偡側偩偯偮倩為一個重要的環節。此篇論文主要對已發表的合法化方法HiBinLegalizer偛倱偝，證明其所提出的位置解法器可得的最佳移動量，此外我們也提出數個定理改進搜尋列的尋找中位數的時間複雜度。由於HiBinLegalizer 是一個階層式的方法，亦為將晶片分割成許多大小相同的單元格，並且透過每一個單元格的密度資訊，決定是否合併其他單元格一同納入合法化。對擺置合法化而言，分割晶片，除了可以增進執行速度，還可限制每一個標準元件的最大移動量以及減少列的搜索次數_{。然而初始的總單元格數量及單元格的長寬比會影響後續合併及最終結果的效能倨移動量和} 執行時間倩，因此本篇提出如何利用巨集模組塊的長寬比和最大合併區域內的標準單元個數，決定單元格長寬比以及決定總格數的範圍，最後合併兩者資訊找出好的分割網格尺寸，以取捨執行時間和最小移動量。偩偩

(4)

Minimized Disturbance Optimal Analysis and Grid Bin Size

Refinement for HiBinLegalizer

偓側偵偤健偮側债偃偨偩偡偯倭偌偩偮偧偃偨健偮偧

偁偤偶偩偳偯偲债偙偵倭偍偩偮偌健健

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Abstract

偗偩側偨偳健偭偩偣偯偮偤偵偣側偯偲偦偡偢偲偩偣偡側偩偯偮側健偣偨偮偯偬偯偧偹偤健偶健偬偯偰偩偮偧倬偭偩偬偬偩偯偮偳偯偦偳側偡偮偤偡偲偤偣健偬偬偳偡偮偤偭偡偣偲偯偳倨偰偲健倭偤健偳偩偧偮健偤偢偬偯偣偫偳偯偲偩偮側健偬偬健偣側偵偡偬偰偲偯偰健偲側偹倨偉偐倩倩偡偲健偩偮側健偧偲偡側健偤偩偮側偯偡偳偩偮偧偬健偣偨偩偰倮偌健偧偡偬偩偺偡側偩偯偮偰偲偯偣健偤偵偲健偩偳偰偡偲側偯偦偰偬偡偣健偭健偮側偤健偳偩偧偮偩偮偰偨偹偳偩偣偡偬偤健偳偩偧偮偡偵側偯偭偡側偩偯偮倮偆偯偲偡偬健偧偡偬偰偬偡偣健偭健偮側倬偡偬偬健偬健偭健偮側偳倨偣健偬偬偳偡偮偤偭偡偣偲偯偳倩偡偲健偮偯偮倭偯偶健偲偬偡偰偰偩偮偧偡偮偤偡偬偬偣健偬偬偳偭偵偳側偢健偡偬偩偧偮偳側偯偲偯偷倮偉偮側偨偩偳偰偡偰健偲倬偷健偢偡偳健偤偯偮偡偭健側偨偯偤倬 HiBinLegalizer 偛倱偝倬偷偨偩偣偨偷偡偳偰偵偢偬偩偳偨健偤偩偮偁偓偐偄偁偃倭倲倰倱倰倬偰偲偯偰偯偳健偤側偨健偧偲偩偤偢偩偮偳偩偺健偲健倌偮健偭健偮側偡偮偤偰偲偯偶健偤側偨健偳偯偬偶健偲偦偯偲側偨健偯偢偪健偣側偩偶健偦偵偮偣側偩偯偮偩偳偯偰側偩偭偡偬偳偯偬偵側偩偯偮倮偔偨健偧偲偩偤偢偩偮偳偩偺健偲健倌偮健偭健偮側偵偳健側偨健偡偳偰健偣側偲偡側偩偯偯偦偭偡偣偲偯偳側偯偯偢側偡偩偮側偨健偡偳偰健偣側偲偡側偩偯偯偦偧偲偩偤偡偮偤偵偳健側偨健偮偵偭偢健偲偯偦偣健偬偬偳偩偮偭偡偸偩偭偵偭偭健偲偧健偤倭偢偩偮側偯偤健側健偲偭偩偮健側偨健偢偩偮偳偩偺健偦偯偲 HiBinLegalizer倮偍偯偲健偯偶健偲倬偷健偰偲偯偰偯偳健偤偳偯偭健偬健偭偭偡偳側偯偩偭偰偲偯偶健側偨健偰偲偯偣健偤偵偲健偯偦側偲偩偡偬偲偯偷偩偮 HiBinLegalizer倬偳偯側偨偡側倬側偨健偯偲偤健偲偯偦側偩偭健偣偯偭偰偬健偸偩側偹偩偳 O倨倱倩偡偳偣偯偭偰偡偲健偤偷偩側偨側偨健偯偲偩偧偩偮偡偬 O倨n倩倮偔偨健健偸偰健偲偩偭健偮側偡偬偲健偳偵偬側偳偤健偭偯偮偳側偲偡側健側偨健健個健偣側偩偶健偮健偳偳偯偦偯偵偲偭健側偨偯偤倮偩偩偩

(5)

誌

謝

此篇論文能夠順利完成, 首要感謝我的指導老師李育民博士,　

感謝

老師平日指導研究時不遺餘力, 當我遇到問題難點時, 提供多

面思考。三年期間, 訓練我在看待問題時, 不只狹隘的看到點, 而

是

拓廣至面。經過老師的淬鍊, 不論是在研究或是在心智上都有

顯著的成長,使我面對未來工作考驗更加有自信。

在實驗室, 感謝博班學長培育不時的關心研究進度, 用淺顯易懂

的方式解釋問題。感謝懷中、正忠和宗祐學長以及麒文、亭蓉和

書含平日的關心, 感謝學弟志升在研究上的討論。

感謝羽球

隊的廖威彰教練和王志全教練以及一路上支持我的

朋友, 莉媜和慧敏以及隊友們，他們的陪伴使我度過一切難關。

最後深深感恩我的父母和姐姐，感謝你們一直以來的支持與鼓

勵。在我的研究生涯中, 提供強力的後盾, 讓我無後顧之憂的完

成碩士學位。僅此將本論文獻給你們,共同分享這份喜悅以及榮

耀。

偩偶

(6)

目

錄

1 導導導論論論 1 倱倮倱背景簡介倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倱倱倮倲研_{究貢獻倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮} 倳 2 背背背景景_景與_與_與相相相關關關文文_文獻_獻_獻簡簡簡介介介 ₄ 倲倮倱 _{標準元件的擺置合法化倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮} 倴倲倮倱倮倱 _{標準單元倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮} 倴倲倮倱倮倲移動量的量測倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮 _倴倲倮倲 _{擺置合法化的相關文獻倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮} 倵倲倮倳概述 HiBinLegalizer的架構倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮 _倶倲倮倳倮倱問題描述倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倶倲倮倳倮倲簡介HiBinLegalizer 倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倷倲倮倳倮倳合併格程序倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倸倲倮倳倮倴合法化程序倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倹 3 對對_{對HiBinLegalizer}之之之最最最小小小擾擾擾動動動的的的最最最佳佳佳化化化分分分析析析以以以及及及網網網格格格數數數的的的精精精化化化 ₁₂ 倳倮倱交疊連續性倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倱倲倳倮倱倮倱交疊連續性的特性倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倱倳倳倮倱倮倲邊界條件倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮 _倱倶倳倮倲部分交疊連續性之最佳化分析倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮 _倱倷倳倮倲倮倱問題公式化倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倱倹倳倮倲倮倲解最佳位置倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倱倹倳倮倳改善 HiBinLegalizer尋找中位數的過程倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮 _倲倴倳倮倴網格數的精化倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倲倹倳倮倴倮倱長寬比的精化倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倳倰倳倮倴倮倲總格數的初估倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倳倱倳倮倴倮倳 _{決定總格數倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮} 倳倲 4 實實實驗_驗_驗結結結果果果 33 5 結結結論論論 36 A 附附附錄錄錄 40 偶

(7)

圖

圖目

目

錄

倱倮倱 _{數位超大型積體電路設計流程圖倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮} 倲倱倮倲倨偡倩實體設計流程圖倨偢倩實體設計之擺置設計流程圖倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倲倲倮倱 _{標準單元的範例倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮} 倴倲倮倲二維的歐式距離倨綠線倩為√倳2_{倫倴}2 _{倽倵}，而曼哈頓距離倨紅線倩為倳倫倴倽倷。倮 _倵倲倮倳 HiBinLegalizer 的流程_{圖倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮} 倷倲倮倴單元格的合併示意圖倨偡倩選定一個單元格，其密度高於闕密度值倨偢倩合併十字方向的單元格倨偣倩若密度仍高於闕密度值，則合併四角方向的單元格倨偤倩對合併區域的十字方向的單元格做合併，重複動作直到合併區域的密度低於闕密度值。倸倳倮倱函數 f 倨倖x倩，當 Nr 為奇數倨左圖倩；當 Nr 為偶數倨右圖倩倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倱倵倳倮倲 _{合法化之邊界條件倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮} 倱倶倳倮倳群集群組化過程的概念圖倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倲倰倳倮倴將 Clast _{分解成 m 個群集與一個標準單元 i 倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮} _倲倶倳倮倵 HiBinLegalizer 修改後的流程倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倳倰倳倮倶 _{決定寬長比的示意圖倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮} 倳倱倳倮倷總格數的切法倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倳倲偶偩

(8)

表

表目

目

錄

倲倮倱符號說明倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倹倳倮倱符號說明倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倱倷倳倮倲此小節的符號說明倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倲倶倴倮倱倲倰倰倵偉偓偐偄擺置競賽的測試電路倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倳倴倴倮倲 _{標準單元最大移動量的比較結果倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮} 倳倵倴倮倳標準單元總移動量的比較結果倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倳倵倴倮倴 _{執行時間倨偳倩的比較結果倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮倮} 倳倵偶偩偩

(9)

1 導

導

導論

論

隨著半導體製程技術快速的發展，電晶體最小線寬倨偦健偡側偵偲健偳偩偺健倩的微型化，使得單一積體電路晶片上可整合百萬甚至更多的電晶體。設計上，為了縮短及降低超大型積體電路倨偖健偲偹偌偡偲偧健偓偣偡偬健偉偮側健偧偲偡側偩偯偮倬簡稱偖偌偓偉倩1_設計的花費時間以及製造成本，電腦輔助設計倨偃偁偄倩及電子設計自動化倨偅偄偁倩亦隨之發展。圖倱倮為數位大型積體電路設計流程，從描述一個設計的功能架構，將設計的功能運作行為轉換到硬體描述語言倨偈偄偌倩，再將其轉換到邏輯閘倨健偸倮暫存器，乘法器倩，之後描述邏輯閘如何擺置到晶片上，最後到封裝與測試。而如何將邏輯閘有效的擺置到晶片上，即為實體設計的範疇。實體設計倨偰偨偹偳偩偣偡偬偤健偳偩偧偮倩流程，如圖倱倮倲倨偡倩所示，在此設計流程中，所有的元件不論是智慧產權倨偉偮側健偬偬健偣側偵偡偬偐偲偯偰健偲側偹倬簡稱偉偐倩或是邏輯閘，都將視其為一個簡單的幾何圖形，稱模組塊倨偢偬偯偣偫倩。然而實體設計亦可分成三大部分；倨倱倩平面規劃倨倍偯偯偲偰偬偡偮偮偩偮偧倩，初估所需的面積，以及初步的排列元件。排列過程元件的長寬可變，但面積固定倨倲倩擺置倨偰偬偡偣健偭健偮側倩，類似平面規劃，但此階段所有的元件長寬形狀固定，並且初估連接元件所需之線長並且元件間不可重疊倨偯偶健偲偬偡偰倩倨倳倩繞線倨偲偯偵側偩偮偧倩，為元件之間的連線找到最好的路徑。

1.1 背

背

背景

景

景簡

簡

簡介

介

超大型積體電路的擺置又可分成：倨倱倩全域擺置倨偧偬偯偢偡偬偰偬偡偣健偭健偮側倩倨倲倩擺置合法化倨偬健偧偡偬偩偺偡側偩偯偮倩倨倳倩局部擺置倨偤健側偡偩偬偰偬偡偣健偭健偮側倩_{。全域擺置，隨著不同的設計要求，有不同的考量議題，} 例如债線長倨偷偩偲健偬健偮偧側偨倩偛倲偝，時序倨側偩偭偧偩偮偧倩偛倳偝偛倴偝，功率消耗倨偰偯偷健偲偣偯偮偳偵偭偰側偩偯偮倩偛倵偝偛倶偝等議題。由於全域擺置完的結果多少會伴隨著一些不合法的情形，例如债元件間有重疊；因此，擺置_{合法化倨偌健偧偡偬偩偺偡側偩偯偮倩顧名思義，其目的在移除不合法的情形，但合法化的過程，必須盡可} 1_積_{體電路晶片上整合超過百萬個電晶體，即稱超大型積體電路} 倱

(10)

Microarchitecture Design

Architecture Design

Logic Design

Circuit Design

Physical Design

圖倱倮倱债數位超大型積體電路設計流程圖

Routing

Floorplanning

Placement

Circuit Design (a)

Routing

Floorplanning

Circuit Design Legalization Global Placement Detail Placement Placement (b) 圖倱倮倲债倨偡倩實體設計流程圖倨偢倩實體設計之擺置設計流程圖倲

(11)

能的符合全域擺置出的結果，因此合法化在擺置問題中為一重要的部分；局部擺置，則在合法的擺置下做局部的調整，例如：空間的管理等。

1.2 研

研

研究

究

究貢

貢

_貢獻

_獻

此篇論文，我們主要延續文獻“A hierarchical bin-based legalizer for standard-cell designs

with minimal disturbance” 偛倱偝，發表於第十五屆亞洲和南太平洋設計自動化國際會議2，成

果貢獻可分成下列幾個部分债 • 對文獻偛倱偝所提出位置解法器，做進一步分析與證明其最佳化。 • 我們提出數個引理，簡化尋找中位數的過程，使得尋找中位數的時間複雜度由O倨n倩降低為O倨倱倩。 • 提出網格數的精化方法。選取網格數時在效能和時間之間做取捨倻除此之外，所提出的精化法可應用在任何的合法器倨偬健偧偡偬偩偺健偲倩。

2_{15th Asia and South Pacific Design Automation Conference 2010,簡稱 15th ASPDAC-2010}

(12)

2 背

背

背景

景

_景與

_與

_與相

相

關

關文

文

_文獻

_獻

_獻簡

簡

簡介

介

2.1 _標

_標

_標準

準

_準元

_元

_元件

件

件的

的擺

的

_擺

_擺置

置

_合

_合法

_法

_法化

化

為了縮短設計時間，實體設計有多種不同的標準佈局型態，例如债標準單元倨偳側偡偮偤偡偲偤偣健偬偬偳倩，閘陣列倨偧偡側健偡偲偲偡偹偳倩，可程式的邏輯閘陣列倨偰偲偯偧偲偡偭偭偡偢偬健偬偯偧偩偣偡偲偲偡偹偳倩等等。此篇論文，我們選用標準單元型態作為我們的佈局型態。

2.1.1 _標

_標

_標準

準

單

單元

_元

對_{標準單元的佈局型態而言，每一個邏輯閘皆可用一矩形表示，有著相同高，可變的寬稱之為} 標準單元。積體電路晶片可擺置的區域被分割成許多等高的列。每一個標準單元，必須擺放並且對準至列上。因此標準單元的高等於列高，如圖倲倮倱所示。圖倲倮倱债標準單元的範例

2.1.2 移

移

動

動量

量

量的

的

的量

量

量測

測

針對擺置合法化的問題，該如何計算元件合法化前與合法化後所改變的移動量倿在幾何學中，有兩個常用的計量距離方法债倨倱倩歐幾里德距離倨偅偵偣偬偩偤健偡偮偤偩偳側偡偮偣健倩，簡稱歐氏距離倨倲倩出租車距離倨偔偡偸偩偣偡偢偤偩偳側偡偮偣健倩，亦稱為曼哈頓距離倨偍偡偮偨偡側側偡偮偤偩偳側偡偮偣健倩。若n維度的向量空間中，有P 倽倨p1倌p2, ..., pn倩和Q 倽倨q1倌q2, ..., qn倩兩點，n維的歐氏距離dnE定義為 dn_E 倽p倨p1− q1倩2倫倨p2 − q2倩2倫 · · · 倫倨pn− qn倩2 倨倲倮倱倩倴

(13)

而出租車距離dn T定義成 dn_T 倽 |p1− q1| 倫 |p2− q2| 倫 · · · 倫 |pn− qn| 倨倲倮倲倩擺置合法化屬於二維的空間問題，因此歐氏距離和出租車距離分別為 d2_E 倽p倨p1− q1倩2倫倨p2− q2倩2 倨倲倮倳倩和 d2_T 倽 |p1− q1| 倫 |p2− q2| 倨倲倮倴倩由圖倲倮倲，我們可知歐式距離即為連接P 和Q兩點的直線距離，而曼哈頓距離則為P 倌Q兩點間水平方向差與垂直方向差的總和 P(1, 2) Q(5, 5) 3 4 5 圖倲倮倲债二維的歐式距離倨綠線倩為√倳2_{倫倴}2 _{倽倵}，而曼哈頓距離倨紅線倩為倳倫倴倽倷。在此篇論文，我們使用曼哈頓距離來表示元件在合法化前後的左下角座標改變量。因此，給 N 個尚未合法化的標準單元，其合法化前後座標位置改變量，可用曼哈頓距離和表示成 N X k=1 倨|x0倨k倩 − x倨k倩| 倫 |y0倨k倩 − y倨k倩|倩其中倨x倨k倩, y倨k倩倩和倨x0倨k倩, y0倨k倩倩分別是標準單元k在全域擺置和合法化後的左下角座標位置。

2.2 擺

擺

擺置

置

_合

_合法

_法

_法化

化

化的

的

的相

相

關

關文

文

_文獻

_獻

近年來，有許多解決擺置合法化的方法被提出偛倱倵倬倷倬倸倬倹倬倱倰倬倱倱倬倱倲偝，其中以偔健側偲偩偳偛倱倰偝最為著名並且廣泛應用在許多全域擺置方法的合法化上偛倱倳倬倲倬倱倴偝。偔健側偲偩偳是一種貪婪演算法，對每一個標準元件找到一個列，使得其標準單元的移動量最小，一但標準單元擺入後，其倵

(14)

合法化位置就不再更動；另一方面，有數個文獻方法偛倱倱倬倱倬倱倲偝，皆以偔健側偲偩偳的架構為基礎進而發展出的合法化方法，以獲得更佳的合法化位置。偔健側偲偩偳偛倱倰偝，第一步，先對所有的標準單元的全域x倭座標位置做排序，再依序為標準單元搜尋所有的列，計算標準單元的移動量，最後擺入一個最好的列，使得標準單元的移動量最小；標準單元擺入後，即視為障礙物，因此，爾後的標準單元僅能接續擺放。偁偢偡偣偵偳偛倱倱偝，以動態規劃為基礎的演算法，與偔健側偲偩偳類似，偁偢偡偣偵偳搜尋所有的列，找出代價最小的列擺入倻不同於偔健側偲偩偳，偁偢偡偣偵偳的目標函數為二次方程式倨偱偵偡偤偲偡側偩偣健偱偵偡側偩偯偮倩，標準單元擺入後，其合法化位置若需要仍可能會更動。文獻偛倱倲偝，此方法亦相似於偔健側偲偩偳，其應用偫倭偭健偤偩偯偤群集法，先對列做分群，給出搜尋列的範圍，以同時得到最小的位移倨偤偩偳偰偬偡偣健偭健偮側倩以及線長倨偷偩偲健偬健偮偧側偨倩的改變量。 HiBinLegalizer 偛倱偝是一種階層式的演算法，將可擺置的區域分割成許多的單元格倨偢偩偮倩，使得搜尋列的範圍縮小，可限制最大移動量，另外更提出權重距離和的解法器倨偷健偩偧偨側健偤偳偵偭偯偦偤偩偳側偡偮偣健偳偯偬偶健偲倩使之總權重移動量為最小。由於此論文是以HiBinLegalizer為基礎，因此下一小節再做詳細介紹。另外文獻偛倱倵偝提出對單一列上應用動態規劃法求得標準單元的擺置位置同時合法化列上的標準單元，並說明若固定標準單元的順序，此時可求得線長最佳解。而文獻偛倷偝將文獻偛倱倵偝的想法應用在合法化上，利用最小代價流程法倨偭偩偮偩偭偩偺健倭偣偯偳側倍偯偷倩先決定標準單元的列，再應用文獻偛倱倵偝的動態規劃法對列上的標準單元合法化。文獻偛倹偝提出利用最小路徑倨偳偨偯偲側健偳側偰偡側偨倩法倬先移除列上的標準單元面積大於列的可放置面積的情況，再對單一列做合法化。

2.3 概

概

述

述 HiBinLegalizer的

的

的架

架

架構

構

此篇論文延續文獻The Hierarchical Bin-Based Legalizer for Standard-Cell Designs with Minimal Disturbance倨HiBinLegalizer 偛倱偝倩的方法以及理論證明。因此以下章節我們將簡介HiBinLegalizer所處理的問題，解決問題的作法以及相關的理論證明。

2.3.1 問

問

問題

題

題描

_描

_描述

述

對_{標準單元為設計基礎的合法化而言，主要三種物件倨倱倩標準單元倨倲倩巨集倨偭偡偣偲偯倩} 倨倳倩列倨偲偯偷倩。所有列的列高相同，列寬預先給定。巨集視為不可移動的障礙物，位置長寬固定；僅標準單元可移動。合法化後，標準單元須放置在列上，與列對齊，不得與巨集或標準單元面積重疊，並且合法化的結果越接近全域擺置的結果越好。倶

(15)

Global

Placement Cell Info.

Chip Design

Uniform-Bin Construction

Cell Density Analysis

Select the highest density of unlegalized bin

overflow? Bin Merged

Procedure Legalization Procedure has unlock bin? 圖倲倮倳债 HiBinLegalizer 的流程圖問問問題題題公公公式式式化化化由上面的問題描述，目標函數為偭偩偮倮 N X k=1 |x0倨k倩 − x倨k倩| 倫 |y0倨k倩 − y倨k倩| 倨倲倮倵倩偳倮側倮 x0倨k倩 − x0倨k − 倱倩 ≥ w倨k − 倱倩倻倲 ≤ k ≤ N 倨倲倮倶倩其中N是標準單元的總個數，w倨k倩是標準單元k的寬度，倨x倨k倩, y倨k倩倩和倨x0倨k倩, y0倨k倩倩分別為合法化前後標準單元k的左下角座標。

2.3.2 簡

簡

簡介

介

介HiBinLegalizer

圖倲倮倳為HiBinLegalizer 的概觀流程圖。給定任意的全域擺置結果，晶片的設計，元件的資訊倻首先，我們先將晶片分割成Gx× Gy個均勻大小的單元格，其中Gx和Gy分別為水平和垂直方向的格子數。再根據每一個標準單元的全域座標位置，找其最近距離的單元格。倨註：此篇所提及之距離皆為曼哈頓距離倩。因此，我們可求得單元格b的標準單元密度倨偳側偡偮偤偡偲偤倭偣健偬偬倷

(16)

(a) (b) (c) (d) 圖倲倮倴债單元格的合併示意圖倨偡倩選定一個單元格，其密度高於闕密度值倨偢倩合併十字方向的單元格倨偣倩若密度仍高於闕密度值，則合併四角方向的單元格倨偤倩對合併區域的十字方向的單元格做合併，重複動作直到合併區域的密度低於闕密度值。偤健偮偳偩側偹倩， D倨b倩倽 A倨b倩 C倨b倩其中A倨b倩是指派至單元格b的標準單元的總面積以及容量倨偣偡偰偡偣偩側偹倩C倨b倩定義為單元格b的面積減去障礙物倨偯偢偳側偡偣偬健倩的面積。計算完密度後，選取尚未合法化且密度最大的單元格，若其密度大於預先定義的闕密度值倨側偨偲健偳偨偯偬偤偤健偮偳偩側偹倩，則進入合併格程序倨偢偩偮倭偭健偲偧健偤偰偲偯偣健偤偵偲健倩；反之，程序直接進入合法化程序。重複上述過程，直到所有的單元格完成合法化_。

2.3.3 _合

_合

_合併

併

併格

格

格程

程

程序

序

當完成建構均勻單元格倨Uniform-bin Construction倩和標準單元密度分析倨Cell Density

Analysis倩的程序後，單元格密度與單元格鄰近的單元格已知。若單元格密度大於闕密度值，

則執行合併格的程序。合併單元格的程序有兩種合併規則倨倱倩十字方向合併倨東、西、南、北倩倨倲倩四角方向合併倨東北、東南、西北、西南倩。一開始，由一個未合法化且密度超過闕密度

(17)

值的單元格為中心，合併其十字方向未合法化的單元格形成合併區域倨偭健偲偧健偤倭偢偩偮偲健偧偩偯偮倩，記_為b_m，並重新計算合併區域的密度，若密度仍高於闕密度值，則對合併區域的四角方向的單元格做合併；依序重複上述步驟合併單元格、計算密度，直到密度小於闕密度值，如圖倲倮倴所示。

2.3.4 _合

_合

_合法

_法

_法化

化

化程

程

程序

序

Nr债列r上標準單元的個數 Nc债群集內標準單元的個數 x倨i倩债 _{標準單元i全域擺置的左下偸倭座標} x0倨i倩债 _{標準單元i合法位置的左下偸倭座標} w倨i倩债 _{標準單元i的寬度} Clast_债 _{列 r 上，最右邊的群集} wclast债群集Clast的寬度 q_clast 债群集Clast的左下偸倭座標位置 Cp _债 _{前置群集，在群集C}last_{的前一個群集} wcp债群集Cp的寬度 qcp债群集Cp的左下偸倭座標位置表倲倮倱债符號說明 Algorithm 1_{合法化演算法的虛擬程式碼} Input: 偁偳健側偯偦側偡偲偧健側偣健偬偬偳 Sc偡偮偤偡偳健側偯偦偣偡偮偤偩偤偡側健偲偯偷偳 Sr 1: 偓偯偲側側偨健偣健偬偬偳偩偮 Sc 偡偣偣偯偲偤偩偮偧側偯側偨健偩偲 x倭偣偯偯偲偤偩偮偡側健偰偯偳偩側偩偯偮 2: for all 偣健偬偬 i do 3: cbest← ∞ 4: for all 偣偡偮偤偩偤偡側健偲偯偷 r do

5: c ← LegRow倨r倬側偲偩偡偬倩倯倯 Determine the cost c

6: if c < cbest then

7: cbest ← c

8: rbest ← r

9: end if

10: end for

11: LegRow倨rbest倬偲健偡偬倩倯倯 Insert cell i into sub-row rbest

12: end for

演算法倱列出合法化演算法的虛擬程式碼。首先，對合併區域內所有的標準單元，依其在全域擺置的左下x倭座標位置由小至大排序，其目的在於確立標準單元在x倭方向的相對位置。排

序完成後，依此序為標準單元，尋找列使得標準單元擺入後有最小的代價倨偣偯偳側倩。在尋找列的

(18)

Algorithm 2 偌健偧偒偯偷

Input: 偃健偬偬 i 偡偮偤側偨健偬健偧偡偬偩偺健偤偣偬偵偳側健偲偳偩偮偳偵偢倭偲偯偷 r

1: Clast ← 側偨健偬偡偳側偬健偧偡偬偩偺健偤偣偬偵偳側健偲偩偮偳偵偢倭偲偯偷 r 2: Cp ← 側偨健偰偲偯偣健偳偳偯偲偯偦 Clast

3: 偒健偭偯偶健側偨健偬偡偳側偣偬偵偳側健偲偩偮偳偵偢倭偲偯偷 r

4: if x倨i倩 − qclast ≤ w_clast then

5: 偁偰偰健偮偤偣健偬偬 i 側偯 Clast

6: The Optimal Position Solver倨Clast_倩

7: while qcp− q_clast ≤ w_clast do

8: 偁偰偰健偮偤偡偬偬偣健偬偬偳偩偮 Cp 側偯 Clast倮

9: The Optimal Position Solver倨Clast_倩

10: Cp ← 側偨健偰偲偯偣健偳偳偯偲偯偦 Cp 11: 偒健偭偯偶健側偨健偬偡偳側偣偬偵偳側健偲偩偮偳偵偢倭偲偯偷 r 12: end while 13: 偁偤偤 Clast _{偩偮側偯偳偵偢倭偲偯偷 r} 14: else 15: 偃偲健偡側健偡偣偬偵偳側健偲 C 16: C ← 偣健偬偬 i 17: 偁偤偤側偨健偣偬偵偳側健偲 C 偩偮偳偵偢倭偲偯偷 r 18: end if 過程，由於已給定目標列r，因此可算得y方向的代價。目標函數可寫成偭偩偮倮 Nr X k=1 |x0倨k倩 − x倨k倩| 倨倲倮倷倩偳倮側倮 x0倨k倩 − x0倨k − 倱倩 ≥ w倨k − 倱倩倻倲 ≤ k ≤ Nr 倨倲倮倸倩其中Nr是列r上的標準單元個數。試驗列演算法LegRow倨r倬側偲偩偡偬倩倨行倵倩用來決定x倭方向的代價，而擺入列演算法LegRow倨rbest倬偲健偡偬倩倨行倱倱倩將標準單元真擺至列上。試驗列和擺入列演算

法倨LegRow倩又可分成兩個子程序崩解倨Collapse倩和位置解法器倨The Position Solver 倩，如演算法倲所示。崩崩崩解解解演算法倱倮中，所有的標準單元會依序擺入至列上。崩解演算法倨行倸倭倱倲倩，當試擺或擺入標準單元 i，若其全域 x倭座標位置與已擺置合法化的群集有面積重疊，則群聚已合法化的群集與標準單元，再利用位置解法器為群集內所有的標準單元找合法化位置；若合法化後的群集又與前置群集倨偰偲偯偣健偳偳偯偲偣偬偵偳側健偲倩面積重疊，則循環崩解、找位置解直到新位置不再與前置群集面積重疊。倱倰

(19)

位位位置置置解解解法_法_法器器器位置解法器倨行倶與行倹倩為群集內的所有標準單元找到合法位置；此解法器假設合法化後，所有標準單元的合法位置皆緊鄰倨偡偢偵側側健偤倩在一起，也就是， x0倨k倩 − x0倨k − 倱倩倽 w倨k − 倱倩, ∀ 倲 ≤ k ≤ Nc 倨倲倮倹倩換言之， x0倨k倩倽 x0倨倱倩倫 k−1 X i=1 w倨i倩, ∀ 倲 ≤ k ≤ Nc 倨倲倮倱倰倩其中x0倨倱倩是群集內最左邊的標準單元合法的位置。將倨倲倮倹倩代入倨倲倮倸倩，可得 Nc X k=1 |x0倨k倩 − x倨k倩| 倽 |x0倨倱倩 − x倨倱倩| 倫 |x0倨倱倩倫 w倨倱倩 − x倨倲倩| 倫 · · · 倫 |x0倨倱倩倫 Nc−1 X i=1 w倨i倩 − x倨Nc倩| 倽 |x0倨倱倩 − 倁x1| 倫 |x0倨倱倩 − 倁x2| 倫 · · · 倫 |x0倨倱倩 − 倁xNc|, 倨倲倮倱倱倩將目標函數重新整理可得偭偩偮倮 Nc X k=1 |x0倨k倩 − x倨k倩| 倽偭偩偮倮 Nc X k=1 |x0倨倱倩 − 倁xk| 倨倲倮倱倲倩其中倁xk倽 x倨k倩− Pk−1 i=1 w倨i倩。欲最小化倨倲倮倸倩式，等同於最小化倨倲倮倱倲倩式；觀察可知，問題從多變數問題簡化至單變數問題。由定理倱倮知，未知數x0_{倨倱倩的最佳解是數}_列P c 倽 {倁xk}Nk=1c 的中位數。倨備註：HiBinLegalizer部分證明請參見附錄，詳細證明與敘述請參見文獻偛倱偝倩倱倱

(20)

3 對

對

_{對HiBinLegalizer}

之

之最

最

最小

小

小擾

擾

動

動的

的

的最

最

最佳

佳

佳化

化

分

析

_析以

_以

_以及

及

及網

網

網格

格

格數

數

數的

的

的精

精

精化

化

在HiBinLegalizer 偛倱偝中，證明一群標準元件若滿足交疊連續性倨偣偯偮偳健偣偵側偩偶健偬偹偯偶健偲偬偡偰偰健偤倩的條件，則位置解法器所找到的位置解是最佳解。然而交疊連續性是否為必要條件倿在此章節我們將進一步證明在第二章所提及的位置解法器應用在擺置合法的問題上，若不滿足交疊連續性亦為最佳解。除此之外，HiBinLegalizer在決定網格數上，僅粗略給定一個方針，因此我們提出網格數的精化方法，給出如何透過基本給定的資訊與全域擺置結果找出適合的網格數大小。此章的組織如下：章節倳倮倱倮我們首先介紹交疊連續性的性質；章節倳倮倲倮我們接續前一章節的交疊連續性之性質，延伸至部份交疊連續性倬對其證明並找出最佳的位置解倬使其可推廣至一般情形倻章節倳倮倳倮我們提出數個引理，以降低試驗列演算法找尋中位數的複雜度；章節倳倮倴倮我們提出網格精化的方法，透過給定的資訊倬找出適當的網格尺寸。

3.1 交

交

交疊

疊

疊連

連

連續

續

_續性

_性

在前面的章節，介紹了在擺置合法化的問題中，我們用矩形來表示標準元件，也就是我們僅知道元件的長寬以及左下座標。而此章節我們將延續文獻偛倱偝中的若滿足交疊連續性，若遇到邊界問題，如何找到最佳解。本文的開始，我們首先定義甚麼是交疊連續性定定定義義義 1 倨交疊連續性倩. N個_個_{個標準單元的集合，對其左下x-座標由小至大排序，編號從倱到} N_{。對所有的 k, 若滿足下式} x倨k倩 − x倨k − 倱倩 ≤ w倨k − 倱倩, 倲 ≤ k ≤ N 倨倳倮倱倩則稱此N個標準單元滿足交疊連續性。其中x倨k倩為元素 k的左下 x-座標，w倨k倩為標準單元 k 的寬度。倱倲

(21)

3.1.1 交

交

交疊

疊

疊連

連

連續

_續性

續

_性

_性的

的

的特

特

特性

_性

定義單調遞增倯遞減數列倨偭偯偮偯側偯偮偩偣偩偮偣偲健偡偳偩偮偧倯偤健偣偲健偡偳偩偮偧偳健偱偵健偮偣健倩和單調遞增倯遞減函數倨偭偯偮偯側偯偮偩偣偩偮偣偲健偡偳偩偮偧倯偤健偣偲健偡偳偩偮偧偦偵偮偣側偩偯偮倩_{。若 x}k ≤ xk+1，則稱數列 {xk} 是單調遞增數列；反之，對所有的 k ∈ N，若 x_k ≥ xk+1 ，則數列 {xk} 是單調遞減數列。函數 f，有 x ≤ y 且 f倨x倩 ≤ f倨y倩，則函數 f 是單調遞增函數；反之，若函數 f，有 x ≥ y 且 f 倨x倩 ≥ f 倨y倩，則函數 f 是單調遞減函數。特特_特性_性_{性 1. 有N個單元滿足交疊連續性，} x倨k倩 − x倨k − 倱倩 ≤ w倨k − 倱倩, 倲 ≤ k ≤ N 倨倳倮倲倩倘若定義數列S 倽 {倁xk}Nk=1且倁xk 倽 x倨k倩 − k−1 X j=1 w倨j倩, k 倽倱, · · · , N 倨倳倮倳倩則數列S必為單調遞減數列，有倁xk ≤ 倁xk−1, ∀k 倽倲, · · · , N 其中x倨k倩和w倨k倩分別是單元 k 的左下角x-座標和單元 k 的寬。 Proof. 已知對所有的 k 倽倲, ..., N，x倨k倩 ≥ x倨k − 倱倩且 x倨k倩 − x倨k − 倱倩 ≤ w倨k倩和數列S的第 k − 倱項與第 k 項倁xk−1 倽 x倨k − 倱倩 − k−2 X i=1 w倨i倩倨倳倮倴倩倁xk 倽 x倨k倩 − k−1 X i=1 w倨i倩倨倳倮倵倩將兩式相減倬可得倁xk− 倁xk−1 倽 x倨k倩 − x倨k − 倱倩 − w倨k − 倱倩倨倳倮倶倩由於 x倨k倩 − x倨k − 倱倩 ≤ w倨k − 倱倩，可得倁xk− 倁xk−1倽 x倨k倩 − x倨k − 倱倩 − w倨k − 倱倩 ≤ 倰倨倳倮倷倩因此有限數列S 是單調遞減函數，也就是對所有的 k 倽倲, ..., N，有倁x_k ≤ 倁xk−1。倱倳

(22)

就合法化的問題而言，標準單元必須對齊至列上並且合法化後，位於列上的所有標準單元的 x倭座標位置順序不變。若已知某一個列上有Nr個標準單元，其意味著此列上的標準單元 y倭座_{標位置固定倬} PNr l=1|y 0_{倨l倩 − y倨l倩| 即} 為已知常數。因此，目標函數可寫成偭偩偮倮 Nr X l=1 |x0倨l倩 − x倨l倩| 倨倳倮倸倩偳倮側倮 x0倨l倩 − x0倨l − 倱倩 ≥ w倨l − 倱倩倻倲 ≤ l ≤ Nr 倨倳倮倹倩根據定理倱，若Nr個標準單元滿足交疊連續性條件，則合法化後標準單元之間緊鄰倨偡偢偵側側健偤倩有最佳解_。因此，我們若倖x是第一個標準單元的合法化位置，則其他的標準單元的合法化位置可由倖x 推得 x0倨倱倩倽倖x x0倨倲倩倽倖x 倫 w倨倱倩倮倮倮 x0倨N 倩倽倖x 倫 N −1 X i=1 w倨i倩此時，目標函數可改寫成 N X l=1 |x0倨l倩 − x倨l倩| 倽 |倖x − 倁x1| 倫 |倖x − 倁x2| 倫 . . . 倫 |倖x − 倁xN| 倽 N X l=1 |倖x − 倁xl| 倨倳倮倱倰倩 , f 倨倖x倩其中倁xl 倽 x倨l倩 − Pl−1 i=1w倨i倩對所有的 l倬倱 ≤ l ≤ Nr。再由定理倲，可知倨倳倮倱倰倩式有最小值，當倖x 是數列 {倁xl}Nl=1r 的中位數倨偭健偤偩偡偮偶偡偬偵健倩時。接下來，我們要證明函數 f倨倖x倩 f 倨倖x倩偩偳 (單調遞減函數, 當倖x ≤ 倁Q12 單調遞增函數, 當倖x ≥ 倁Q1 2 其中倁Q1 2 是數列 {倁x_l}Nr l=1 的中位數。根據特性倱倮數列 {倁xl}Nl=1r 是單調遞減倬即對所有的倲 ≤ l ≤ Nr，有倁xl−1≥ 倁xl；因此，中位數倁Q1 2 可以表示成倁Q1 2 倽 ( 倁xNr +1 2 , 當 Nr ∈ 奇數 α倁xNr 2 +1倫倨倱 − α倩倁x Nr 2 , 當 Nr ∈ 偶數倱倴

(23)

圖倳倮倱债函數 f 倨倖x倩，當 Nr 為奇數倨左圖倩；當 Nr 為偶數倨右圖倩倬 _{其中 α 是介於倰到倱的常數。} 假設 xs ≥ xt> 倁Q1 2倬則 f 倨xs倩 − f 倨xt倩倽 Nr X l=1 |xs− 倁xl| − Nr X l=1 |xt− 倁xl| 倽 i X l=1 倨倁xl− xs倩倫 Nr X l=i+1 倨xs− 倁xl倩 − j X l=1 倨倁xl− xt倩倫 Nr X l=j+1 倨xt− 倁xl倩 ! 倽倨Nr− 倲i倩 xs− 倨Nr− 倲j倩xt 倫 i X l=1 倁xl− j X l=1 倁xl倫 Nr X l=j+1 倁xl− Nr X l=i+1 倁xl 倽倨Nr− 倲i − 倲j 倫倲j倩xs− 倨Nr− 倲j倩xt− 倲 j X l=i+1 倁xl 倽倨Nr− 倲j倩倨xs− xt倩倫倲 j X l=i+1 倨xs− 倁xl倩 | {z } ≥0 由上式可知倬若所有的倱 ≤ l ≤ Nr, l ∈ N倬不存在倁xl > xs倬則 f倨xs倩 − f 倨xt倩恆大於零倻若存在倁xl > xs倬倱 ≤ l ≤ Nr, l ∈ N倬且已知倬 xs≥ xt > 倁Q1 2 以及數列 {倁xl}是單調遞減倬可知倬倱 < i ≤ j < Nr 2 倬可得上式恆大於。因此當倖x ≥ 倁Q12 時倬 f 倨倖x倩是單調遞增函數倻同理可得倬當倖x ≤ 倁Q1 2 時倬 f 倨倖x倩是單調遞減函數。特特_特性_性_{性 2. 給定N個標準單元滿足交疊連續性, 合法化後, N個標準單元順序不變, 目標函數可寫} 倱倵

(24)

成 min. N X k=1 |倖x − 倁xk|倻倁xk 倽 x倨k倩 − k−1 X i=1 w倨i倩 s.t. x0倨k倩 − x0倨k − 倱倩倽 w倨k − 倱倩倻倲 ≤ l ≤ N 其中 x0_{倨k倩(x倨k倩)} _{和 w倨k倩分別為標準單元 k 的合法化(全域)位置和單元 k 的寬度, 倖}_{x 是}_標準單元倱的合法化位置。已知當倖x 是數列 {倁xk} 的中位數時, 倖x 倽倁Q1 2, 有最小值。若改變倖 x 愈遠離倁Q1 2, 則目標函數值愈大。

3.1.2 邊

邊

邊界

界

界條

條

條件

件

圖倳倮倲债合法化之邊界條件在前面章節倬合法化的位置僅受限於兩個條件倬標準單元之間沒有面積交疊以及合法化後的順序不變性。然而實際的問題中倬可能會觸及邊界的問題倬例如债標準單元擺置的位置不可超出晶片可擺置的邊界範圍或超出單元格邊界以及標準單元合法最佳化後與障礙物有面積交疊倬如圖倳倮倲所示。因此倬滿足邊界條件下倬我們該如何修正最佳位置倬使得目標函數值為最小倿首先倬目標函數及邊界條件改寫成偭偩偮倮 N X l=1 |x0倨l倩 − x倨l倩| 偳倮側倮 x0倨l倩 − x0倨l − 倱倩 ≥ w倨l − 倱倩, x0倨l倩 ≥ Bxmin, x0倨l倩 ≥ Rxmin, x0倨l倩倫 w倨l倩 ≤ Bxmax, x0倨l倩倫 w倨l倩 ≤ Rxmax, 倲 ≤ l ≤ N 倱倶

(25)

表倳倮倱债符號說明倪所有的上標代表第 i 次合法化的結果 Nr 债列上標準單元的個數 Ci k 债根據第 i 次合法化結果倬所得的第 k 個群集 Ni c,k 债 Cki 內的群集數 Ci _债 _群_{集簇倬多個群組的集合} Ni c 债群集簇中的未合法的群集個數 xi倨l倩债標準單元 l 經過第 i 次合法化的左下角偸倭位置 w倨l倩债第 l 個標準單元的寬度 Xi c倨Cki倩债第 i 次合法化倬群集 Cki 的左下角 x倭座標位置 W_ci倨C_ki倩债群組 _Ci k 的總寬度

其中 Bxmin 和 Bxmax 分別是單元格的最左 x倭邊界及最右 x倭邊界倻 Rxmin 和 Rxmax 是列的最左及最右的x 邊界。

利用引理倷倮知倬合法化後倬當所有的標準單元緊鄰倨偡偢偵側側健偤倩目標函數有最小值倬再利用

特性倲倮可知若第一個單元的合法化位置倬 x0_{倨倱倩倬遠}_{離最佳位置其代價越大。因此若遇邊}

界問題倬則第一個單元的合法化位置將修正為 x0_{倨倱倩倽偭偡偸{Bx}

min, Rxmin}倬當 x0倨倱倩 < 偭偡偸{Bxmin, Rxmin} 和 x0倨N 倩倽偭偩偮{Bxmax, Rxmax}倬當 x0倨N 倩 > 偭偩偮{Bxmax, Rxmax}倬目標函數有最小值。

3.2 部

部

分

分交

交

交疊

疊

疊連

連

連續

續

_續性

_性

_性之

之

之最

最

最佳

佳

佳化

化

分

分析

析

在前一章節倬我們知道列上 Nr 標準單元滿足交疊連續性的性質倬合法化後倬所有的單元緊鄰且沿 x倭方向的順序不變有最小的擾動量。此章節主要討論倬若列上的 Nr 的標準單元不滿足交疊連續性時倬該如何找到最佳解倿延用交疊連續性的概念倬先對 N_r _{個已排序的標準單元根據交疊連續性分組倬分別對各組} 合法最佳化後倬若組與組之間有面積重疊倬將其合併處理倬重複此步驟直到完全合法。在詳細說明及解決此想法前倬我們先定義符號倬見圖表倳倮倱倮倬並且闡釋群集倨偃偬偵偳側健偲倩倬群集簇倨偡偳健側偯偦偃偬偵偳側健偲倩的定義及引理。細部來看倬群集是由許多的標準單元所組成倬也可看成是許多有停關聯性倢的群集所組成。事實上倬此關聯性就是沿用上一章節的交疊連續性倬定義如下。定定定義義義 2 倨群集簇倩. 群集簇, Ci_, _{為群組的集合 C}i _{倽 {C}i 1, C2i, ..., CNi i c} 且 C i m∩ Cni 倽 ∅ 對所有的倱 ≤ m ≤ n ≤ N_ci_。倱倷

(26)

定定定義義義 3 倨群集倩. 群集 Ci k 由第 i 次合法化的位置為依據, 若有 X_ci倨C_j(i−1)倩 − X_ci倨C_j−1(i−1)倩 ≤ Wc倨C (i−1) j−1 倩, Js倫倱 ≤ j ≤ Jt 則將 Ci−1 _{中的第 J} s 個群集到第 Jt 個群集群組在一起。也就是 Ci k 倽 n C_J(i−1) s , C (i−1) Js+1, . . . , C (i−1) Jt o 特例, 經過第 i 次合法化後, 群集不再與其他群集重疊, 此時群集自己組成一個群集, 有 Ni c,k 倽倱且 Xci+1倨Cki倩倽 Xci倨Cki倩簡單來說群集 Ci k 就是根據群組簇倬 C i−1_倬 _{做完第 i 次合法化的位置重新分組。} 引引引理理理 1. 給一個群集, Ci k, 由 Nc,ki 個群集組成, 有 X_ci倨C_j(i−1)倩 − X_ci0倨C_j−1(i−1)倩 ≤ Wc倨C (i−1) j−1 倩, Js倫倱 ≤ j ≤ Jt 經過合法化後, 滿足

X_ci+1倨C_j(i−1)倩 − xi+1_c 倨C_j−1(i−1)倩 ≥ Wc倨C (i−1)

j−1 倩, Js倫倱 ≤ j ≤ Jt

假設第 Jc 個群集, 相較於第 i 次合法化位置, 第一個往右平移的群集, 也就是,

X_ci+1倨C_J(i−1)_c 倩 ≥ X_ci倨C_J(i−1)_c 倩

因此, _{合法化後, 對所有的群集 C}_ji−1, j ≥ Jc 其合法化位置必向右平移, Xci+1倨C i−1 j 倩 ≥ Xi c倨C i−1 j 倩, j ≥ Jc. 同理, 對所有的群集 Cji−1, j < Jc 有 Xci+1倨C (i−1) j 倩 < Xci倨C (i−1) j 倩。 Proof. 對 C_J(i−1) c+1倬經過第 i 此合法化後倬與其他群集有 X_ci倨C_J(i−1)_c₊₁倩 − X_ci倨C_J(i−1)_c 倩 ≤ Wc倨C (i−1) Jc 倩倨倳倮倱倱倩因此倬第 i 倫倱次合法化後倬其必滿足 X_ci+1倨C_J(i−1) c+1倩 − X i+1 c 倨C (i−1) Jc 倩 ≥ Wc倨C (i−1) Jc 倩倨倳倮倱倲倩比較倨倳倮倱倲倩式和倨倳倮倱倱倩式倬我們有 X_ci+1倨C_J(i−1) c+1倩 − x i+1 c 倨C (i−1) Jc 倩 ≥ X i c倨C (i−1) Jc+1倩 − X i c倨C (i−1) Jc 倩倨倳倮倱倳倩倱倸

(27)

對倨倳倮倱倳倩式移項倬可得

X_ci+1倨C_{J +1}(i−1)倩 − X_ci倨C_{J +1}(i−1)倩 ≥ X_ci+1倨C_J(i−1)_c 倩 − X_ci倨C_J(i−1)倩倨倳倮倱倴倩由於 Xi+1 c 倨C (i−1) Jc 倩 ≥ X i c倨C (i−1) Jc 倩倬因此倨倳倮倱倴倩式意味著 X_ci+1倨C_J(i−1) c+1倩 ≥ X i c倨C (i−1) Jc+1倩. 倨倳倮倱倵倩重複相同的步驟可得倬對所有的 k > J_c_{倬有 X}i+1 c 倨C (i−1) k 倩 ≥ Xci倨C (i−1) k 倩同理倬我們可得倬對所有的 k < Jc倬有 Xci+1倨C (i−1) k 倩 < Xci倨C (i−1) k 倩

3.2.1 問

問

問題

題

題公

_公

_公式

式

式化

化

給定列上的 N_r _{個已排序的標準單元倬編號從倱到 N}_r倬及每_{個標準單元的全域位置倬合法化後倬} 在滿足標準單元順序不變的條件下倬使得目標函數為最小值。目標函數可寫成偭偩偮倮 N X l=1 |xi倨l倩 − x0倨l倩| 倨倳倮倱倶倩偳倮側倮 xi倨l倩 − xi倨l − 倱倩 ≥ w倨l − 倱倩, 倲 ≤ l ≤ N 倨倳倮倱倷倩其中 x0_倨l倩 _{與 x}i_倨l倩分別為標準單元 l 的在全域擺置和第 i 次合法化的左下角 x倭座標位倬 w倨l倩是_{標準單元 l 的寬度。}

3.2.2 解

解

解最

最

最佳

佳

佳位

位

位置

置

由定義倳倮倬我們可將 Nr 個標準單元可以被分成 Nc0 個群集。對每一個群集 Ck0倬 k 倽倱, ..., Nc0倬有 N0 k 個群集組成倬編號從 Jk倫倱到 Jk倫 Nc,k0 。已知 x0倨j倩 − x0倨j − 倱倩 ≤ w倨j倩, Jk倫倲 ≤ j ≤ Jk倫 Nc,k0 倨倳倮倱倸倩此外倬群組的最後一個群集與後一個群組的第一個群集之間沒有交疊倬也就是 x0倨Jk倫倱倩 − x0倨Jk−1倫 Nc,k−10 倩 ≥ w倨Jk−1倫 Nc,k−10 倩, k 倽倲, ..., N 0 c 倨倳倮倱倹倩其中 Jk倽Pk−1_n=1Nc,n0 由於每一個群集 C0 k 是由全域擺置的結果群組而成的倬此時倬內部的標準單元尚符合前一章節所提的交疊續性倬因此可直接使用上一章節所提及的方法倬可求得群集的第一次合法化的最佳位置 X1 c倨Ck0倩倬對所有的 k 倽倱, ..., Nc0。因此目標函數改寫成倱倹

(28)

圖倳倮倳债群集群組化過程的概念圖 Nr X j=1 |x1_{(j) − x}0_{(j)| =} J1 X j=1 |x1_{(j) − x}0_{(j)| +} J2 X j=J1+1 |x1_{(j) − x}0_{(j)| + · · · +} J_{N 0} c X j=J_{N 0} c −1+1 |x1_{(j) − x}0_(j)| _(3.20) = J1 X j=1 |x1_{(1) − ∆x} j| + J2 X j=J1+1 |x1_(J 1+ 1) − ∆xj| + · · · + J_{N 0} c X j=J_{N 0} c −1+1 |x1_(J N0 c−1+ 1) − ∆xj)| (3.21) = J1 X j=1 |X1 c(C01) − ∆xj| + J2 X j=J1+1 |X1 c(C02) − ∆xj| + · · · + J_{N 0} c X j=J_{N 0 −1} |X1 c(CN00 c) − ∆xj| (3.22) , f1(Xc1(C01)) + f2(Xc1(C20)) + · · · + fN0 c(X 1 c(C0N0 c)) (3.23) where Jk= k−1 X n=1 Nc,n0 第一次合法化後的群集倬若仍會有不合法的情形倬則再做第二次的群集倬因此 C0 _{可再分成 N}1 c 個群集並且 N1 c < Nc0。特性倲倮倬我們知道若 C0 k 的位置越遠離 Xc1倨Ck0倩倬則成本倨偣偯偳側倩越大。因此對群集 Cl1 而言倬 l 倽倱, ..., N1 c 目標函數可改寫成偭偩偮倮 Ll+Nc,l1 X k=Ll+1 |fk倨Xc2倨C 0 k倩倩 − fk倨Xc1倨C 0 k倩倩| 倨倳倮倲倴倩偳倮側倮 X_c2倨C_k0倩 − X_c2倨C_k−10 倩 ≥ Wc倨Ck−10 倩, Ll倫倲 ≤ k ≤ Ll倫 Nc,l1 倨倳倮倲倵倩其中 Ll倽Pl−1_n=1Nc,n1 倻此時倬 fk倨Xc1倨Ck0倩倩已知倬且有 Nc,l1 個變數對群集簇 C1 _{目標函數可寫成} 偭偩偮倮 N1 c X l=1   Ll+Nc,l1 X k=Ll+1 |fk倨Xc2倨C 0 k倩倩 − fk倨Xc1倨C 0 k倩倩|   倨倳倮倲倶倩倲倰

(29)

欲求倨倳倮倲倶倩的最小值等價於求倨倳倮倲倴倩的最小值。因此倬第二次合法化後倬假設存在 Lc 是第一個向右平移的群集倬也就是倬 X2 c倨CL0c倩 ≥ X 1 c倨CL0c倩。 • PLc−1 k=Ll+1fk倨X 2 c倨Ck0倩倩 − fk倨Xc1倨Ck0倩倩债 Xc2倨Ck0倩 ≤ Xc1倨Ck0倩倬 Ll倫倱 ≤ k ≤ Lc− 倱倻經過第倲次合法化後倬每一個群集的位置倬 X2 c倨Ck0倩倬可表示成 X_c2倨C_k+10 倩倽 X_c2倨C_k0倩倫 Wc倨Xc2倨C 0 k倩倩倫 δl, Ll倫倱 ≤ k ≤ Lc− 倱其中 δk 是兩群集 Ck0 和 Ck+10 之間的間隙倬倨δk倽 Xc2倨Ck+10 倩 − Xc2倨Ck0倩 − Wc倨Ck0倩倩          X2 c倨CL0c−1倩倽 X 2 c倨CL0c−2倩倫 Wc倨C 0 Lc−2倩倫 δLc−2, X_c2倨C_L0_c₋₂倩倽 X_c2倨C_L0_c₋₃倩倫 Wc倨CL0c−3倩倫 δLc−3, 倮倮倮 X2 c倨Ck+10 倩倽 Xc2倨Ck0倩倫 Wc倨Ck0倩倫 δk 將上列式子相加總倬可得到每一個 X2 c倨Ck0倩皆可用 Xc2倨CL0c−1倩表示之倬 X_c2倨C_k0倩倽 X_c2倨C_L0_c₋₁倩 − Lc−1 X j=l Wc倨Cj0倩 − Lc−1 X j=l δj 對所有的 L_l_{倫倱 ≤ k ≤ L}_c_{− 倱而言倬由於 X}2_倨C0 k倩 < X 1 c倨Ck0倩且 fk 是單調遞增倬欲求 PLc−1 k=Ll+1fk倨X 1 c倨Ck0倩倩 − fk倨Xc2倨Ck0倩倩的最小值等價於 X2倨CL0c−1倩愈最大化使得 X 2 c倨Ck0倩越接近 X1 c倨Ck0倩並且同時將 P Lc−1 j=l δj 最小化倬也就是令每一項的 δj 等於零。換句話說倬 X_c2倨C_k0倩 − X_c2倨C_k−10 倩倽 Wc倨Ck−10 倩倨倳倮倲倷倩 • PLl+Nc,l1 k=Lc fk倨X 2 c倨Ck0倩倩 − fk倨Xc1倨Ck0倩倩债 Xc2倨Ck0倩 ≥ Xc1倨Cl0倩倬 Lc ≤ k ≤ Ll倫 Nc,l1 。每一項 X2 c倨Ck0倩可表示成 X_c2倨C_k0倩倽 X_c2倨C_k−10 倩倫 Wc倨Ck−10 倩倫 δk−1, Lc≤ k ≤ Ll倫 Nc,l1 其中 δk−1 是 Ck0 和 C 0 k−1 之間間隙倨δk−1 倽 Xc2倨Ck0倩 − X 2 c倨Ck−10 倩 − Wc倨Ck−10 倩倩。因此倬          X_c2倨C_L0_c₊₁倩倽 X_c2倨C_L0_c倩倫 Wc倨CL0c倩倫 δLc, X2 c倨CL0c+2倩倽 X 2 c倨CL0c+1倩倫 Wc倨C 0 Lc+1倩倫 δLc+1, 倮倮倮 X2 c倨Ck0倩倽 Xc2倨Ck−10 倩倫 Wc倨Ck−10 倩倩倫 δk−1 倲倱

(30)

將上列式子相加總倬考得每一 X2 c倨Ck0倩都可用 Xc2倨CL0c倩倬來表示之倬 X_c2倨C_k0倩倽 X_c2倨C_L0 c倩倫 Ll+Nc,l1 X j=Lc Wc倨Cj0倩倫 Ll+Nc,l1 X j=Lc δj 對所有的 L_c_{≤ k ≤ L}_l_{倫 N}1 c,l 而言倬由於 Xc2倨Ck0倩 ≥ Xc1倨Ck0倩且 fk 是單調遞增倻因此倬欲求 PLl+N 1 c,l k=Lc fk倨X 2 c倨Ck0倩倩 − fk倨Xc1倨Ck0倩倩的最小值等價於 X2倨CL0c−1倩愈小使得 X 2 c倨Ck0倩越接近 X1 c倨Ck0倩並且同時將 P Ll+Nc,l1 j=Lc δj 最小化倬也就是令每一項的 δj 等於零。換句話說倬 X_c2倨C_k0倩 − X_c2倨C_k−10 倩倽 Wc倨Cj0倩, Lc ≤ k ≤ Ll倫 Nc,l1 倨倳倮倲倸倩 • PLl+Nc,l1 k=Lk+1fk倨X 2 c倨Ck0倩倩−fk倨Xc1倨Ck0倩的最小化等同於將 Xc2倨CL0c倩最小並且同時 Xc倨C 0 Lc−1倩最大。經過第二次合法化後倬 X2 c倨CL0c倩和 X 2 c倨CL0c−1倩受限於 X_c2倨C_L0_c倩 − X_c2倨C_L0_c₋₁倩 ≥ Wc倨CL0c倩的條件倬因此 X_c2倨C_L0_c倩倽 X_c2倨C_L0_c₋₁倩倫 Wc倨CL0c−1倩倫 δC0_Lc−1 又基於 PLl+Nc,l1 k=Ll+1fk倨X 2 c倨Cl0倩倩 − fk倨Xc1倨Ck0倩倩等同於最小化 x2c倨CL0c倩倬可得到 X_c2倨C_L0_c倩 − X_c2倨C_L0_c₋₁倩倽 Wc倨CL0c−1倩倨倳倮倲倹倩因此倬由倨倳倮倲倷倩倬倨倳倮倲倸倩_{和倨倳倮倲倹倩倬可得結論} X_c2倨C_k0倩 − X_c2倨C_k−10 倩倽 Wc倨Ck0倩倨倳倮倳倰倩倲倲

(31)

由倨倳倮倳倰倩式倬對所有的倱 ≤ 倱 ≤ N1 c倬群集 Cl1 的成本函數可重新表示成 Nr X j=1 |x2_{(j) − x}0_{(j)| = · · · +} Jn+Nc,n0 X j=Jn+1 |x2_{(j) − x}0_{(j)| + · · · +} J_{(n+N 1} c,l) +N0 c,(n+N 1_c,l) X j=J_{(n+N 1} c,l) +1 |x2_{(j) − x}0_(j)| | {z } 有 N1 c,l項 + · · · (3.31) = · · · + Jn+Nc,n0 X j=Jn+1 |x2_(J n+ 1) +Pj−1i=Jn+1w(i) − x 0_(j)| _(3.32) + · · · + J_{(n+N 1} c,l) +N0 c,(n+N 1 c,l) X j=J_{(n+N 1} c,l) +1 |x2_(J (n+N1 c,l)+ 1) + Pj−1 i=J (n+N 1_c,l)+1 w(i) − x0(j)| + · · · (3.33) = · · · + Jn+Nc,n0 X j=Jn+1 |X2 c(C 0 Ll+1) + Pj−1 i=Jn+1w(i) − x 0_(j)| _(3.34) + · · · + J_{(n+N 1} c,l) +N0 c,(n+N 1_c,l) X j=J_{(n+N 1} c,l) +1 |X2 c(C 0 Ll+Nc,l1 ) + Pj−1 i=J_{(n+N 1} c,l) +1w(i) − x 0_{(j)| + · · ·} (3.35) = · · · + Jn+Nc,n0 X j=Jn+1 |Xc2(C 0 Ll+1) + Pj−1 i=Jn+1w(i) − x 0_(j) | {z } ∆x0 j | (3.36) + · · · + J_{(n+N 1} c,l) +N0 c,(n+N 1_c,l) X j=J_{(n+N 1} c,l) +1 |Xc2(C 0 Ll+1) + PLl+N 1 c,l−1 i=Ll+1 Wc(C 0 i) +Pj−1i=J (n+N 1_c,l)+1 w(i) − x0(j) | {z } ∆x0 j | + · · · (3.37) = · · · + J_{(n+N 1} c,l) +N0 c,(n+N 1_c,l) X j=Jn+1 |X2 c(CL0l+1) − ∆x 0 j| + · · · (3.38) 其中 Jn= n−1 X j=1 N_c,j0 , Ll= l−1 X j=1 N_c,j1 由上式可知倬對所有的倱 ≤ 倱 ≤ N1 c倬群集 Cl1 的成本函數倨倳倮倳倸倩式倬只有一個未知數 Xc2倨CL0l+1倩且數列 {倁x0 j} 已知倬因此根據定理倲倮倬當 Xc2倨CL0l+1倩等於數列 {倁x 0 j} 的中位數時倬目標函數有最小值。然而倬對所有的倱 ≤ 倱 ≤ N1 c倬群集 Cl1 合法化後倬並找到其最佳解倨Xc2倨CL0l+1倩倩倬群集之間仍可能出現面積重疊倨不合法倩倬此時重複上述步驟倬直到群集簇 Ci+1 _{的個數等於群集簇 C}i _的個數倨Ni+1 c 倽 Nci倩倬表示群集間不再有重疊面積倬完成合法化。倲倳

(32)

3.3 改

改

善

善 HiBinLegalizer尋

尋

尋找

找

找中

中

中位

位

位數

數

數的

的

的過

過

過程

程

前一節，我們證明利用HiBinLegalizer所提出的最佳位置解法器，所找到的最佳位置解，無論全域擺置的位置是否具備交疊連續性的性質，一旦，群集或標準單元與已合法化的群集面積交疊，合法化後，在群集內所有的標準單元，其彼此間緊鄰，此時，每一個標準單元 k 的合法化位置 xi_{倨k倩倬皆可由}第一個標準單元的合法化位置 xi_倨倱倩 _{與左方所有的} 標準單元寬度總和倬 Pk−1 j=1w倨j倩表示之。再利用最佳位置解法器，求得 xi倨倱倩；當 xi倨倱倩是數列 {倁x_k_}k=N k=1 的中位數倬目標函數為最小倻其中 N 是有連續面積交疊群集的總標準單元個數倬倁xk , x0倨k倩 − Pk−1 j=1w倨j倩倬 x0倨k倩是標準單元 k 的全域擺置的左下 x倭座標。然而倬 HiBinLegalizer演算法的試擺列的過程，需不斷的試驗列，對列上的群集尋找中位數。在此章節，我們提出並且證明數個引理，以簡化試驗驗列尋找中位數的過程。中位數倨偭健偤偩偡偮倩倬對 N 個已排序的數而言倬位於最中間的數即為中位數倬記為 Qm。因此倬當 N 是奇數時倬位於最中間的數恰有一個倻然而倬當 N 是偶數時倬位於最中間的數有兩個倬較小的數稱之為下界中位數倨偬偯偷健偲偭健偤偩偡偮倩和另一則稱上界倨偵偰偰健偲偭健偤偩偡偮倩偛倱倶偝倬分別記為 QL 和 QU。一般而言倬當 N 是偶數時倬中位數會取下界中位數和上界中位數的算數平均數倨Qm 倽 QL+Q₂ U倩。觀察可發現倬中位數對 N 個數而言倬恰好大於二分之一個數且小於二分之一個數倻因此倬當 N 是奇數時倬中位數大於且小於 bN 2c 個數倻當 N 是偶數時倬下界中位數小於 N 2 且大於等於 N 2 個數倬上界中位數大於 N 2 且小於等於 N 2 個數。就此篇所定義的目標函數而言倬若群集內的標準單元個數是偶數時倬不論中位數的選其上界中位數或下界中位數倬皆不影響目標函數的成本；若選擇下界中位數表示希望群集盡可能往左擺置，以減少新插入的標準單元與群集面積重疊的發生，然而，愈往左擺則會增加與已擺置的群集面積重疊的發生機會，因此，我們取 Qm 倽 αQL倫倨倱 − α倩QU, α ∈ 偛倰, 倱偝其中 α 是介於倰到倱的隨機常數。在說明簡化尋找中位數的引理前，我們先證明，若新加入標準單元與已擺置的群集面積重疊，則合法化後，群集的合法化位置會往左移。引

引引理理理 2. 已知群集 Clast, 有 Nclast 個標準單元, 與最佳位置 q_clast。若插入一個標準單元 i 與

群集有面積重疊, 則經合法化後, Clast _{的最佳合法位置 q}0

clast, 會向左平移,

q_c0last ≤ q_clast 倨倳倮倳倹倩

(33)

Proof. _{假設 N}_clast 是偶數倬 q_clast 倽 αQ_L 倫倨倱 − α倩Q_H倬其中 Q_L 和 Q_H 分別是數列 P 倽 {倁xk} k=N_clast k=1 的下界與上界中位數倬 α 是介於倰到倱的常數。由於標準單元 i 與Clast 面積重疊倬有 qclast 倫 N_clast X j=1 w倨j倩 > x倨i倩倨倳倮倴倰倩合法化後倬 x0倨i倩倽 q_c0last倫 N_clast X j=1 w倨j倩倨倳倮倴倱倩由於 q0 clast 是 {倁xk} k=N_clast k=1 ∩ {倁xi}i=1的中位數倬故 q_c0last 大於並小於 b N_clast+1 2 c 倽 N_clast 2 個數倬其中倁xi 倽 x倨i倩 − PNclast j=1 w倨j倩。從倨倳倮倴倰倩式倬 qclast > 倁x_i倬考慮兩個極端值 α 倽倱和 α 倽倰 ⇒ _{當 α 倽倱, 倁x} i < QL< QH 當 α 倽倰, 倁xi < QH 倨倳倮倴倲倩可推得 QH 大於倨 N_clast 2 倫倱倩個數倬因此 q 0 clast 必小於 QH。我們已知倬扣除倁xi倬 QL 大於 N_clast 2 − 倱個數並且小於 N_clast 2 。倘若倬我們假設倁xi < QL倬則 QL 恰大於並小於 N_clast 2 個數倻反之倬倁x_i > QL倬則 QH > 倁xi > QL倬倁xi 恰大於並小於 N_clast 2 個數。整理可得 q0_clast 倽偭偡偸{QL, 倁xi} 倨倳倮倴倳倩又 QL≤ qclast ≤ Q_H 倨倳倮倴倴倩因此倬結_{合倨倳倮倴倳倩倨倳倮倴倴倩兩式倬得 q}0 clast ≤ qclast 得證。假設 Nclast 是奇數倬 q_clast 是數列 P 倽 {倁x_k} k=N_clast k=1 的中位數倬大於並小於 b N_clast 2 c 個數倻加入標準單元 i 後倬同倨倳倮倴倰倩式倬得倁xi < qclast倬此時倬 q_clast 恰大於 N_clast+1 2 個數且小於 Nclast−1 2 個數倬為上界中位數倬記為 Q 0 H。尋找下界中位數倬 Q 0 L 前倬假設已知倁xm−1倬倁xm−1 ∈ P 倬其大於 b N_clast 2 c − 倱且小於 b N_clast 2 c 倫倱個數。今加入標準單元 i 後倬若倁xi < 倁xm−1倬則倁xm−1 大於 b N_clast 2 c 且小於 b N_clast 2 c 倫倱個數倬 Q 0 L 倽倁xm−1倻反之倬若倁xi < 倁xm−1倬則 Q0L倽倁xi倬整理可得倬 Q0_H 倽 qclast 倨倳倮倴倵倩 Q0_L倽偭偡偸{倁xi, 倁xm−1} 倨倳倮倴倶倩又 q_c0last 介於 Q 0 L 和 Q 0 H 之間倬因此可得 q 0 clast ≤ qclast倬得證。倲倵

(34)

Clast _{列上最右邊的群集} N_clast 群集 Clast 中倬標準單元的個數 {倁xk} N_clast k=1 有 Nclast 項的數列倬編號從倱到 N_clast P_clast 對 Clast倬其可能位置解的解集合 qclast 群集 Clast 的合法化位置 Wclast 群集 Clast 的寬度 Cp _前置群集 Ncp 前置群集內標準單元的個數 Wcp 群集 Cp 的寬度 Pcp 前置群集的解集合倁xp_U, 倁xp_L 當 Ncp 為偶數時倬前置群集的上界與下界中位數倁x0p_U, 倁x0p_L 當前置群集合併後的標準單元個數是偶數倬其分別代表為上界與下界中位數 Ck _{第 k 個群集} qk 群集 Ck 的合法化位置 Wck 群集 Ck 的寬度表倳倮倲债此小節的符號說明 1 m‐1 m 2 p C 標準單元i 擺置前 標準單元i 擺置後 1 m‐1 m 2 last C p C i i 圖倳倮倴债將 Clast _{分解成 m 個群集與一個標準單元 i} 由引理倲知，若標準單元 i 擺入後與列上最右邊的群集倬 Clast_{倬有}

x倨i倩 − q_clast ≤ W_clast 倨倳倮倴倷倩

合法化後，標準單元會併入群集且群集會向左平移，倨q0c ≤ qc倩，可能會與前置群集倬 Cp倬面積重疊，並且在合法化後又與前置群集面積重疊，我們稱此效應為骨牌效應倨偤偯偭偩偮偯健個健偣側倩。接下來，我們將提出四個引理，說明標準單元倱觸發骨牌效應後，何時會停止以及說明如何簡化試驗列找尋中位數。我們先列舉出符號的定義倬以方便說明與證明引理倬參見表格倳倮倳引引引理理理 3. _{若 N}cp 是偶數且 N_clast 是奇數，合併後，更新的位置為 q0_cp 倽偭偡偸{倁x p L, 倁qclast} 倨倳倮倴倸倩倲倶

(35)

Proof. _{假設 C}last _{由 m 個群集和標準單元 i 所構成倬如圖倳倮倴倮所示倻解法器的解集合數列分解} 成兩數列 Pclast 倽 {倁x_k} N_clast−1 k=1 ∪ {倁xi}倬在標準單元i 觸發前，群集間沒有面積重疊 qi− qi−1 ≥ Wci, i 倽倲, ..., m 倨倳倮倴倹倩以及第 m 個群集與前置群集亦沒有面積重疊， qm− qcp ≥ W_cp 倨倳倮倵倰倩令 qH 是數列 {倁xk} N_clast−1 k=1 的上界中位數，其大於 N_clast−1 2 且小於 N_clast−1 2 − 倱個數。由倨倳倮倴倹倩倨倳倮倵倰倩兩式倬得 qH − qcp ≥ W_cp 倨倳倮倵倱倩

標準單元觸發後倬姑且不論如何求得 qclast倬我們知道 q_clast − q_cp ≤ W_cp 且 q_clast 大於並小於 N_clast−1 2 個數。此時倬更新 P 0 clast 倽 {倁xk− Wcp} N_clast k=1 倨註债此舉僅將數列向左平移倬其項之間的相關位置不變倩。另一方面倬已知 q_cp 介於倁xp L 和倁x p H 之間倬有 qclast− 倁xp_H ≤ W_cp 和 q_H− 倁xp L ≥ Wcp倬整理得 qclast− W_cp ≤ 倁xp H 倨倳倮倵倲倩倁xp_L≤ qH − Wcp 倨倳倮倵倳倩 qclast− W_cp ≤ q_H − W_cp 倨倳倮倵倴倩今假設倬倁xp L≤ qclast− W_cp倬由倨倳倮倵倲倩式可知倬 q_clast − W_cp 對 P_cp 而言倬大於且小於 Ncp 2 個項倻另一方面倬對 P_clast 而言倬大於且小於 N_clast−1 2 個數。再由中位數的定義倬 q 0 cp 倽 q_clast。反之倬若倁xpL ≥ qclast− W_cp倬由倨倳倮倵倳倩式可得倬對 P0 clast 而言倬大於 N_clast−1 2 倫倱和小於 N_clast−1 2 個項倻對 Pcp 而言倬大於 Ncp 2 − 倱倬小於 Ncp 2 倬此時 q 0 cp 倽倁x p L。總結以上得 q_c0p 倽偭偡偸{倁x p L, qclast − W_cp} 倨倳倮倵倵倩 q_c0p ≤ q_cp 倨倳倮倵倶倩引引引理理理 4. _{若 N}cp 是奇數且 N_clast 是奇數, 更新的位置為 q_c0p 倽 α0偭偡偸{倁x p m−1, 倁qclast} 倫倨倱 − α0倩q_cp 倨倳倮倵倷倩倲倷

對具最小擾動HiBinLegalizer之最佳化分析以及網格數的精化

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Minimized Disturbance Optimal Analysis and Grid Bin Size

Refinement for HiBinLegalizer

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對具最小擾動 HiBinLegalizer之最佳化分析及網格數

的精化

Minimized Disturbance Optimal Analysis and Grid Bin Size

Refinement for HiBinLegalizer

研

究 生 : 鄭巧翎

指導教授 : 李育民 教授

對具最小擾動 HiBinLegalizer之最佳化分析及網格數的精化

偍偩偮偩偭偩偺健偤 偄偩偳側偵偲偢偡偮偣健 偏偰側偩偭偡偬 偁偮偡偬偹偳偩偳 偡偮偤 假偲偩偤 偂偩偮 偓偩偺健 偒健倌偮健偭健偮側

偦偯偲 偈偩偂偩偮偌健偧偡偬偩偺健偲

_{究生 : 鄭巧翎}

指導教授 : 李育民教授

偍偩偮偩偭偩偺健偤偄偩偳側偵偲偢偡偮偣健偏偰側偩偭偡偬偁偮偡偬偹偳偩偳偡偮偤假偲偩偤偂偩偮偓偩偺健偒健倌偮健偭健偮側

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_{究生债鄭巧翎}

指導教授债李育民

偓側偵偤健偮側债偃偨偩偡偯倭偌偩偮偧偃偨健偮偧

偁偤偶偩偳偯偲债偙偵倭偍偩偮偌健健

國立交通大學

士論文

學生债鄭巧翎

指導教授债李育民博士

摘要

偓側偵偤健偮側债偃偨偩偡偯倭偌偩偮偧偃偨健偮偧

偁偤偶偩偳偯偲债偙偵倭偍偩偮偌健健

偄健偰偡偲側偭健偮側偯偦偃偯偭偭偵偮偩偣偡側偩偯偮偅偮偧偩偮健健偲偩偮偧

偎偡側偩偯偮偡偬偃偨偩偡偯偔偵偮偧偕偮偩偶健偲偳偩側偹

此篇論文能夠順利完成, 首要感謝我的指導老師李育民博士,　

隊的廖威彰教練和王志全教練以及一路上支持我的