數學成就及其態度之影響
李佳芬 1* 顏榮泉 2 顏睛榮 2
l 新北市立中正國民小學
2 國立薑北教育大學數學暨資訊教育學系
畫、緒論 數位學習必須具備堅實的理論基礎 與適當的教學策略，才能有效的促進學習 O 本研究旨在探討先備知識與教學策略對國 小學童之數學學習成就與數學態度之影 響。 現今教育情況，許多教師不斷的「給 予」學童充足的題目練習、大量的公式背 誦;家長另尋數學班補習做額外的加強， 不外乎就是希望學童在數學領域能有所表 現。而我國學童在數學方面的表現，從2007 年畫灣學生參加「國際數學與科學成
就趨勢調查 (TIMSS) J的資料研究中可知， 晝灣八年級學生的數學成績在 57 個國家 和地區中排名第一，四年級學童在 44 個國 家和地區中排名第三，於國際評比中的確 是表現亮眼，但「數學正向態度 J (喜歡 數學)方面，八年級學生卻在 49 個國家中， 排名第狗，四年級學童在 36 個列入排序 的國家中更是敬陪末座，可知在臺灣無論 是四年級或八年級生，對數學的興趣都低 於國際平均，顯示臺灣學生雖然成績好， *為本文通訊作者 但對數學學科的正面學習態度與數學學習 的自信心卻是偏低水準。 缺少樂趣的數學學習，當外在的約束 力不再奏效後，學童不僅不會主動去接觸 數學，甚至從此排斥數學O 讓學習活動與 興趣相配合，乃是教學成功的關鍵，好奇 心是與生俱來的天性，也是引起動機的最 好方法(張春興，1994)
，這是一種可以 推動人們求知的內在力量，如何提升學生 對數學的正向態度，是教師責無旁貸的任 務 O 九年一貫課程實施後，數學領域的授 課時數減少，需在有限的教學節數中學習 完既定的課程，對教師及學童都是一種無 形的壓力，很難實施需要較多時間的趣味 仕教學來引起學童學習動機。臺北縣政府 教育局 (2008)在 97 學年度開放申請試辦國 小「活仕課程實驗方案J 新北市政府教 育局 (2011 )召開多次會議討論及蒐集整合 相關意見後，在 100 學年度將原名稱修正訂為「多元活他課程實驗計畫J '朝「多
元仕」、「社團化」方向進行調整，不侷 限於英語相關課程來續辦本項課程實驗計 畫。不同教學策略活化課程對國小三年級學童數學成就及其態度之影響
本研究以國小三年級有意願參加多
元;舌他課程之學童為研究對象，於 j舌他課 程時間實施「網路學習」與「課堂問題解 決」兩種教學方式的數學謎題教學研究， 採取準實驗研究法，以探討高低先備知識 學童在進行數學活他課程後，其數學成就 及態度之表現，以及了解「網路學習」與 「課堂問題解決教學」兩種不同教學方式 之活他課程對學童數學學習成就及態度之 影響。貳、文獻探討
一、數學遊戲與數學謎題
美國著名數學家和科普作家 MartinGardner( 1914-20
10)認為「喚醒學生的最好 學習辦法是向他們提供有吸引力的數學避 戲、智力題等，或那些呆板教師認為無意 義而避開的其他東西o J 張維思 (2006) 指出，數學避戲的廣義定義，-數學是一 種避戲，然而這種避戲要涉及到科學哲學、 藝術等更廣泛的人類文他範圍，從而使數 學成為人類文忱的基本支柱之一。」數學 遊戲是將數學相關的概念與遊戲結合，利 用趣味讓學生學習數學，具有一定的教育 價值，不僅可增加學童對數學的接受度， 更甚者，可提升學童對數學的興趣，進而 培養其積極的學習態度。饒見維(1996)認 為遊戲有幾種特性:適度的挑戰性、競賽 與合作性、機遇性與趣味性、教育性。本 研究主要是取挑戰性、競賽性、趣味性與 教育性來作為數學謎題的特色。MartinGardner(
1979) 為數學謎題下了一個定義 「不管數學謎題究竟為何物，它仍然是介 紹基礎數學時最能抓住年輕人興趣的東西。 一個好的數學謎題、詭論或魔術戲法，都 比實際講解更能激起一個孩子的想像力(尤其是你所講解的數學與孩子的個人經
驗相去甚遠時) ，而如果『謎題』是經過 精心挑選的，那麼它幾乎不費功夫地便能 清楚介紹重要的數學概念。 J (引自蔡承 志譯， 2005) 避戲可以促進見童的認知發 展，在教育上最大的價值便是培養學生學 習數學的正確態度，而數學謎題可說是數 學遊戲的一部分，能將數學的相關概念與 遊戲結合。 二、課堂問題解決 「問題解決」的關鍵技巧乃是該領域 的知識，尤其是有關概念原則與操作程序 的特定知識，以及這些知識彼此之間的關 {擎的 mith&
Ragan
,
1999)
0 張春興(1 994)認為「問題解決」指的是個體在遭遇到問題 時，如何還用既有的知識去思考推理，找 到適當的方法，達到目的歷程。詹秀美、 吳武典(1 991 )定義「問題解決」是指個體 以既有的知識和經驗為基礎，連用邏輯思 考及擴散推理能力，解決日常生活或現實 情境中所面臨之各種問題的能力。由此可 見， ，-問題解決」是指個體能將先前所學 特定領域中的原理、知識及認知策略，以 獨特的方式來解決之前未曾碰到過的問題， 乃是以既有的知識、技能，再加上個體智 能上的連作而達到解決問題的目的。林長 壽 (2003)指出除了數學知識外，計算能力、
抽象能力及邏輯推演能力的培養是整個數 學教育的主軸。解題的意義有二:一是「知 識的表現 j ，措解題者擁有特殊解決問題 的學科知識，使問題容易解出;另一則是 「解題的表現 j ，指解題者以已知的一般 學科知識，以程序性的方式(如四則運算、 代數、畫圖等) ，靈活運用來解決問題(楊 瑞智，
1994)
I 知識的表現」偏向於特殊 知識的學習與記憶 I 解題的表現」則是 創造思考的概念，將基礎的學科知識統合 活用，以解決較高層次的認知問題(張春 興， 1994) 。數學解題是一個複雜的心智 活動，解題策略是指解題者找尋答案的途 徑和方法，多位學者對於解題的歷程多以 Polya 理論為基礎加以增減或修改，其共同 特點均認為在面對問題時，需先對問題加 以理解，再依個人所擁有的數學知識、能 力，訂定計畫、解決問題，並回顧結果加 以檢核。 三、網路環境下之學習 近年來由於電腦與網路的快速發展， 網路學習系統正逐漸成為全世界學習者所 依賴的學習工具 o Hama1aie凹， Whinston 和Vishik(l 996) 認為資訊科技不但改變人們
處理事務及商業經營的模式，也將同時改 變人們對教育與學習的期望與機會(引自 陳年興、石岳竣， 2002) 。鄭意儒(2005) 認為在教學活動方面，不只是敦的活動， 更重視學的活動;在課程設計方面，不只 是知識的獲得，更重視學習者的習得。網 路學習就是在社會趨勢和資訊科技快速的 發展，學習者對於學習的需求亦不斷提升 的情形下，結合電腦輔助學習和線上學習 二種學習途徑特點，因應而生之學習方式。 不但可提高學習興趣、降低學習成本，亦 能突破時間、空間限制，隨時隨地透過網 路和數位媒材進行互動教學。四、數學成就與數學態度
數學成就多措受試者學習數學後的 成績或在數學科成就測驗上的得分。本研 究中「數學成就」是指學童於活化課程，進行「圓圈 21
j
、「圓圈 OJ 、「倒水避
戲」、「河內塔」、「渡河遊戲」等五個 學習活動後，在數學學習成就測驗上的得 分。影響數學成就的因素非常多，小至個 人，大至社會甚至教育體制，皆具有重要 的影響力。「態度」是一種抽象的概念， 是個人憑其認知及好惡對周遭人、事、物 所表現的一種相當持久與一致的行為傾向， 任何一種態度都是有組織且因不同對象所 導致的(張春興， 1997)。綜合學者觀點， 可將數學態度歸納為在環境的影響下，個 體於學習數學過程中，對學習數學的內容， 逐漸形成的看法與行為表現的特質，是與 數學相關的認知、情意、行為三面向之間 的綜合表現。數學態度是可以改變的，其 形成與學習者的數學學習環境有密不可分 的關條。因此教師可以善用有效的教學策 略，進行有趣的教學活動，培養學生對數 學產生長期、持續的興趣，引導其正向、 積極的數學態度。國內外學者對於數學態 度與數學成就的相關研究，雖然研究方法不同教學策略活化課程對國小三年級學童教學成就及其態度之影響 不全然相同，但都有較一致的結果:數學 態度和數學成就有正相關。一個有較積極 與樂觀的數學態度之學生，其學習成就也 較高(譚寧君， 1992) 因此培養學童具積 極正向的數學態度，以此提升其在數學成 就上的表現，是所有教學者都該努力的方 向。
參、研究設計與實施
本研究所稱的國小三年級學童，條措 研究者目前任教之新 it 市某國民小學，自 願參加新 it 市政府教育局辦理之「多元活 他課程實驗計畫」的三年級學童。經專家 及數學讀域教師檢核，挑選符合三年級學 童數學能力指標之相關數學謎題進行教 學。參加學童以電腦亂數編排重新編班， 進行班群教學，每個班群進行四週，共 8 節課的教學活動，探討「網路學習」與「課 堂問題解決」之解題歷程，對學童數學學 習成就與數學學習態度之影響。 本研究採用「準實驗研究法」(quasi-experimental
design)' 先對 2 個班群
進行「網路學習」及「課堂問題解決」之 預試教學，依實際進行情況調整教學方式 及研究內容;再以預試教學後的4 個班群 為研究對象，其中 2 個班群以「網路學習」 方式進行活他課程，另外 2 個班群則以「課 堂問題解決」方式實施活他課程。「網路 學習」組 27 人， ，.課堂問題解決」組 29人，並以參與研究之 56 名學童二年級下學
期的數學學期成績做高低排名，將前 28 名分為高先備知識組，後 28 名為低先備知 識組。第一節課建立班群規矩及進行課程 簡介，第七節課進行數學學習成就測驗， 第八節課進行學習態度測驗以及公布個人 積分給予獎勵，實際進行教學活動為第二 節至第六節，共五節課進行五個數學謎 題。 本研究的架構如圍 l 所示。 控制變項 依變項 自變項 (學習表現) 高先備知識片I ~數吋
低先備相識 N~教瞬學間
內容及進度
2 數學態度 網路學習I I
I
3. 教學者 課堂問題解決 圖 l 、研究祭構圖網路學習組為利用電腦學習網站進
行教學，選用美國猶他州立大學 (Utah
State
University)開發的學習資料庫一「國 家虛擬教具圖書館J(http://nlvm.usu.edu/)
以及 I
Plastelina Interactive Logic Games
J(http://www.plastelina.net/) 網站做為網路 學習網站。課堂問題解決組則參考上述網 站，挑選出適合三年級學童之數學謎題 後，將這五個數學活動謎題一一編製為適 合課堂問題解決教學之學習單，以利學童 進行紙筆解題活動編。在數學成就部分，
以受試者二年級下學期之數學學期成績為
數學成就前測成績，做同質性檢定，了解 兩組學童是否為同質，再分析進行活他課 程後之數學學習成就測驗成績，數學學習 成就測驗卷為研究者參考相關網站，並請 教授及任教國小三年級之數學領域教師給 與意見後，由所進行的五個活動中，各挑 選一題做為數學成就檢測編製而成，每題 10 分，總分 50 分。在數學態度部分，採 用陳文章 (2010) 所發展的「數學學習態度 量表 J '該問卷採 Likert 四點量表，內含 數學有用性、數學學習動機、溝通及互動 傾向三個向度;該量表在先前研究中，經 分析後 Cronbachα 信度值達.駒，顯示本 量表的信度頗佳。 肆、研究結果與討論一、高先備知識學童的數學成就優
於低先備知識
根據高低先備知識的學童於實施教 學後，在數學成就上之表現做 t 檢定，如表 l 所示。
由表 l 可知，高先備知識組學童在數 學成就的表現顯著優於低先備知識組學 童。推究可能原因為:高先備知識學童本 身已具備較佳的基棋，在教學過程中較易 理解與吸收所學，尤其本研究為非例行性 問題之數學謎題，需要較多邏輯分析、思 考理解以及推理的數學能力，學習者若具 備較佳之數學基礎，可能較易克服此類困 難，進而完成學習任務。 本研究結果與莊歐宗 (2006) 的研究結 果相近，莊歐宗 (2006) 在引導式資訊融入 教學模式學習成效之研究，發現高成就學 生的前測、後測及延後測的平均分數明顯 高於低成就學生。 表 l 、高低先備知識學童在數學成就之描述統計及 t 檢定 高先備知識 數學成就 低先備知識* p<.05 ' ** p<.OI
個數2 8
28
平均數
36.79
26.39
標準差13.674
14.059
2.804
p
.007**
不同教學策略活化課程對國小三年級學童數學成就及其態度之影響 二、課堂問題解決學童的數學成就 優於網路學習 根據接受不同教學方式，探討「網路 學習」組及「課堂問題解決」在且在數學成 就上的表現，如表 2 所示。 由表 2 可知，兩組學童的二下數學學 期成績差異不大，而數學成就的後測成績 相差較大，課堂問題解決組平均得分高於 網路學習組。接著以與教學內容相關之「二 下數學學期成績」為共變數，兩種不同「教 學方式」為自變J頁，以共變數分析進行對 依變項數學成就影響之探討。如表 3 所示。 由表 3 可知，以三下數學學期成績為 共變數之組內迴歸 f券、數同質性檢定結果， 符合共變數分析之迴歸條數同質性的假 定，故可繼續進行本研究「網路學習」與 「課堂問題解決」兩種不同教學方式之共 變數分析，如表 4 所示。 由表 4 可知，不同教學方式在「數學
成就」上達顯著水準。表示在排除二下數
學學期成績為先備知識的干擾後，不同教 學方式對數學成就的影響，會因採用的教 學方式之不同而有所差異。因此，為了解 實驗組間之差異情形，我們可透過調整後 之各組平均數以最小顯著差檢定法 (LSD) 進行比較，如表 5 所示。 表 2 、數學成就前測及後測得分之描述統計表 三下數學學期成績(前測) 數學成就 u是測)平均數
標準差平均數
標準差 網路學習 課堂問題解決89.12
9
1.
48
7.
61
3.97
26.56
36.28
16.87
10.65
p
F
均方
自由度 變異來源 表 3 、以下數學學期成績為共變數之同質性檢定摘要 型 III 離昀差平方和
二下數學學期成績3378.5
3378.51
不同教學方式分組164.59
164.59
三下成績×教學方式200.80
200.80
模式5140.5
7"
3
1713.52
校正後總和11897.55
55
言主 a:
R 平方=.4
32
26.00
.000
1.27
2.66
1.
55
.219
13.19
.000
表 4 、不同教學方式對數學成就之共變數分析摘要
型 III 離均差
變異來源 自由度 均方平方和
F
p
二下數學學期成績3618.67
不同教學方式分組568.59
模式4939.76
82
校正後總和11897.55
55
言主 a: R 平方=.4 15;
* p<.05
表 5 、不同教學方式對數學成就調整後之平均數3618.67
568.59
2469.88
27.565
4.331
18.814
AU AU AU.042*
.000
教學方式平均數
標準差 95%信心水準下界
上界
網路學習組 課堂問題解決組28.222
83.725
82.228
23.753
32.690
2.148
30
.4
16
39.033
期成績 =90.34言主 a:
Covariates appearing in the model are evaluated at the following
values: 二下數學學從調整後之平均數比較得知，在排除 二下數學學期成績的影響後，課堂問題解 決組的數學成就顯著優於網路學習組之表 現。推究其可能原因為，網路學習組學童 利用網站進行數學謎題解題，其正確與否， 電腦會直接且快速的給與回饋。本研究所 設計的活動中，不乏計算及邏輯推理的題 型，但因電腦回饋迅速，可能造成學童改 變學習策略，以嘗試錯誤的方式解題，以 致數學學習成就測驗成績顯著低於課堂問 題解決組。 此分析結果與莊眉立宗(2006) 的研究 結果相近。莊眉立宗(2006)在引導式資訊融 入教學模式學習成效之研究，發現數學成 就後測及延後測的平均分數，一般教學組 高於無教師引導之電腦輔助教學組。
三、高低先備知識學童之數學態度
無顯著差異
根據不同先備知識的學童於實施教 學後在數學態度上之表現做t 檢定，如表6 所示。
由表 6 可知， ，-高先備知識」與「低 先備知識」兩組學童，在數學態度及各向 度均沒有顯著差異。在數學態度各向度的 平均分數均高於3 分(同意) ，顯示兩組 學童對數學均持正面肯定的態度。本研究 中的數學謎題雖非課程中的例行性問題，不同教學策略活化課程對國小三年級學童數學成就及其態度之影響 但不論學童先備知識的高低，活動結束後， 對數學謎題大多持肯定態度，對其數學態 度有正向影響，是可以推行的數學活動。
四、不同教學方式對學童數學態度
無顯著影響
根據接受不同教學方式，探討「網路 學習」組及「課堂問題解決」組在數學態 度上的表現，如衰 7 所示。 由表 7 可知，兩組學童在數學態度及各 向度均沒有顯著差異。各向度平均得分均在 3 以上，顯示兩組學童對數學均持正面肯定 的態度。推究其可能原因為，現今資訊科技 發達、學習資源豐富，學童平日使用資訊科 技產品的機會較過往高出訐多，運用網路進 行教學的吸引力已不如過往，因此就算是傳 統的課堂問題解決教學方式，學童的數學態 度也會因為課程內容、教師態度、班級氣氛 等原因所影響。在本研究中，不論是使用課 堂布題方式或是利用網路資源，兩組學童對 數學謎題均持正面肯定態度，對其數學態度 有正向影響。 表 6 、高低先備知識學童在數學態度之描述統計及 t 檢定 量表向度 組別 本數 均數 準差p
數學有用性 高先備知識28
3.79
.4
0
1.
646
106
低先備知識28
3.60
.4
7
數學學習動機 高先備知識28
3.22
.91
.246
.807
低先備知識28
3.28
.70
溝通與互動傾向 高先備知識28
3.54
.52
1.809
.076
低先備知識28
3.25
.66
總量表 高先備知識28
3.50
.54
1.050
.298
低先備知識28
3.35
.52
表 7 、兩組學童在數學態度及各向度之 t 檢定摘要表 量表向度 組別 本數均數
準差p
數學有用性 網路學習27
3.64
.51
.794
.4
31
課堂問題解決29
3.74
.37
數學學習動機 網路學習27
3.17
.95
.742
.4
61
課堂問題解決29
3.33
.66
溝通與互動傾向 網路學習27
3
.4
4
.59
.529
.599
課堂問題解決29
3.36
.62
總量表 網路學習27
3
.4
0
.61
.289
.776
課堂問題解決29
3
.4
4
.4
5
此分析結果與張逸婷(
2001
)的研究 結果相近，張逸婷(2001
)在電腦學習網 站輔助國小學生數學學習之學習成就、數 學態度及電腦態度之相關研究中，發現是 否有使用電腦學習網站輔助學生數學學習 對學生的數學態度無顯著影響。五、數學成就與數學態度顯著相關
根據學童在數學成就測驗與數學學 習態度量表之得分做相關性分析比較，如 表 8 所示 O 由表 8 可知，學童的數學成就與數學 態度相關條數顯著性考驗達顯著水準'表 示數學成就與數學態度有顯著的正相關。 與黃博聖(2007)的研究結果相近，黃博聖 (2007)在國小六年級學童數學學習動機、 知覺班級氣氛、數學態度與數學學業成就 之相關性研究，發現數學態度對學童之數 學學業成就具有影響力o 教師必須設法培 養學童積極正向的數學態度，進而提升其 數學成就。 表 8 、數學成就與數學態度相關性分析表 伍、研究結果與討論 一、結論 根據研究之目的與資料分析結果，將 研究發現整理歸納如下: (一)高先備知識學童之數學成就顯著優 於低先備知識學童。 (二) [""課堂問題解決」組學童的數學成就 顯著優於「網路學習」組。 (三)高低先備知識對學童數學態度之影 響並無顯著差異，然高先備知識組在 數學有用性、動機性及互動性之態度 上均呈現較高之平均數o (四)不同教學策略對學童數學態度之影 響並無顯著差異，且兩組學童之態度 量表平均數均偏高，表示對「課堂問 題解決」及「網路學習」兩種教學策 略均相當肯定。 (五)學童的數學態度與其數學成就有顯 著的正相關。 (六)活他課程中實施數學謎題教學活動 對學習具有正面之效益。 數學成就 數學態度*
p<.05
Pearson 相關 顯著性(雙尾) Pearson 相關 顯著性(雙尾) 數學成就.277
.039*
數學態度.277
.039*
不同教學策略活化課程對國小三年級學童數學成就及其態度之影響
二、建議
根據研究結果做成建議，以做為往後 研究之參考。 (一)科學劃造力之實驗設計 1.發揮教師專業能力提升教學效能 本研究結果發現， r 課堂問題解決」 組學童的數學成就優於「網路學習」 組，且數學態度也較積極正向，可見 教師若能展現教學經驗、發揮專業知 能，並設計妥善之課程，與學童有良 好的互動，相信學童必能達到良好的 學習效果，提升教學效能。 2. 妥善運用科技協助教學 本研究結果發現， r 課堂問題解決」 組學童的學習成就禮於「網路學習」 組。由於現今教學資源相當豐富，常 見教師於課堂上播放教學光碟，忽略 了教師需加以引導、學童口頭發表想 法及解題互動等教學光碟無法達到 的學習活動，故在標榜資訊融入教學 價於傳統教學的潮流下，教學設備及 教材也不斷在更新的時代，身為專業 教師必須與時俱進，並拿出專業態度 及教學經驗，在運用科技產物進行教 學時，除了需謹慎注意是否符合學習 目標，更要能妥善的運用，讓科技輔 助教學達到教學目標，而非主導教 后起 ~ 3. 適時進行數學謎題活動提升數學態度 數學謎題的解題活動對學童數學態 度具正面、積極的影響，教師可在課 程之餘或利用導師時間，進行數學謎 題活動，讓學童接觸不同於課本教材 的數學，增加學童學習數學的興趣， 進而提升數學自信心及數學成就。 (二)教育行政單位之建議 1.規劃相關研習 教師若能快速、方便的取得數學謎題 相關資訊，實施數學謎題活動的意願 相信也會提升許多，行政人員可多安 排相關研習或支援，好讓教學資源更 豐富，教學也能更上手。 2. 成立相關社團活動 數學謎題解題活動對學童數學態度 有積極正向的影響，建議可在學校社 團或課後才藝班安排數學謎題相關 活動，配合現今很流行的「桌遊」教 具，相信除了可以改變學童對數學的 既定刻板印象，更能提升對數學的興 趣及自信，達到不錯的效果。 (三)對未來研究之建議 1.延長實驗時間 在本研究中，進行班群教學時間僅有 四週'實驗效果不易顯現，如果能延 長研究時間，是否更有所成效，則待 進一步探討。 2. 嘗試以小組合作學習進行數學謎題 活動 本研究為個人進行解題活動，但數學 謎題為非例行性問題，對部分學童而 言具一定困難度，未來研究可朝向小 組合作學習方式進行研究。 3. 網路學習教材的選擇 在本研究的數學謎題解題活動中，可看出網路學習組學童對於活動 五 渡河遊戲的反應較大，可能因 為該活動網頁較具趣味性且有音效 搭配，能引起學童注意及興趣。日後 研究，在進行資訊融入教學的活動時， 教材的選擇需多加留意。 4. 增加交互作用的影響分析 未來研究可以進一步探討不同教學 方式對高低先備知識學童的數學成 就與數學態度之影響，以了解高低先 備知識的學童適合何種教學方式，對 其數學成就與數學態度具更正向積 極的影響。
