第三十六期通信解題
試找出所有滿足下列條件的所有含有十個位數的數的個數。 (1)各個位數不相同；
(2)可以被 11111 整除。
解：假設A＝abcdefghij，其中a,b,c,d,e,f,g,h,I,j {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}且互異。
∵11111∣A 且 a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i＋j＝0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45 所以9∣A，又因為 (11111,9)＝1 99999∣A abcdefghij ＝abcde 100000 fghij
fghij abcde
abcde 99999 ，則必有99999∣abcde fghij。
顯然，abcde fghij不可能等於199998，否則abcde fghij＝99999，與位數互異矛盾。當
然更大就更不可能。所以，abcde fghij只可能等於99999。因此，我們有： a＋f＝b＋g＝c＋h＝d＋i＝e＋j＝9，也就是說，a 與 f、b 與 g、c 與 h、d 與 i、f 與 j，決 定了其中之一，另一個就跟著決定。而且a 不能為 0，因而只能有 9 個選擇，b 有 8 個選 擇， c 有 6 個選擇，d 有 4 個選擇，e 有 2 個選擇 。故共有 98642＝3456 個合條 件的數字。 解題評註： 這個題目是一個只要用基本的整數的性質就可以解出的題目，不需很多的數學知識，但要 一點推理的能力。一共有29 位同學作答，寫對答案者有 28 人。但是，有些同學答得太簡略， 對於應交代的細節，並沒有作清楚的交代，這是在徵答通信解題時還有可以再進步的地方。 有些同學用了觀察的方法，事實上觀察所得出的結果，還是需要形式的證明，因為你的觀察 有可能是不對的。 若以國際奧林匹亞的0,2,5,7 給分方式 獲得7 分的同學有：彰化精誠國中 王建詒同學，北市民生國中 吳軒宇同學，吳軒宇同學， 周志傑同學，蔡馥豪同學，北市中和國小 夏誌陽同學。 獲得6 分的同學有：北市民生國中 張家賓同學，陳律方同學，馬康彬同學，王堉力同學，葛 浩同學，黃天玥圖同學，李芮儀同學，週運政同學，李顯洋同學，王礽 航同學，沈宣辰同學，章書維同學，李佳昂同學，陳毓婷同學。黃怡菁同 學，古昂可同學，張培衡同學，北市北師實小 林禹全同學，北市敦化國 中 時丕勳同學 獲得4 分的同學有：北市民生國中 張君豪同學，北市士林國中 姜俊宇同學。 3601 3602
y x I H G F E D C B A L K H G F E I J D C B A 請用一張正方形的紙張摺出一個最大的內接正三角形（三角形的頂點在正方形的邊上）。說 明 你的摺法並證明這個摺法所摺的正三角形是最大的。 解：如右圖：正三角形的面積最大的充要條件為邊長最大。 設△EFG 為正方形 ABCD 的最大內接正三角形， 則所有內接正三角的邊長均不超過 EF。
令 x＝AE，y＝BF，則 EF2＝(y－x)2＋AB2。
又因為 x,y 均不為負，欲使 EF 最大，則必 x＝0。否則， EF 不可能最大。這說明了要得到一個正方形的最大內 接正三角形，一定要有一個正三角形的頂點落在正方 形的頂點上。
在這個條件下去決定y 的取值。
設△AHI 為所求的最大正三角形，則易知△ABH 與△ADI 全等。
∠DAI＝∠HAB＝15o。因此我們只要能將邊AB 以及 AD 向內折出 15o即可。 以下是我們的折法： (1) 先折出兩條中線 EF、KL (2) 將 AB 折向 AG，使 G 落在 EF 上，折痕為 AJ。 易知∠GAB＝30o，且∠JAB＝15o。 (3) 同理：可以得到折痕 AI。 (4) 再沿 I、J 折出一條折痕 IJ，則△AIJ 為所求。 解題評註： 平面摺紙的問題大多是由作圖題轉化而來，而幾何中 的作圖題又需要不錯的分析能力。本題前半段的敘述大部分是在作分析的工作，分析完畢， 題目大致已經獲得解決了。 本題共有 6 位同學作答，其中一人完全答錯，沒有分數。其餘同學的得分如下： 7 分者：彰化精誠國中 王建詒同學，北縣永和國中 陳璿宇同學，李韋翰同學。北市新興國 中 林嘉偉同學。 6 分者：北市敦化國中 時丕勳同學。 3603
N M H G F E S R Q P D C B A 設矩形PQRS 的內部有一個與他相似的矩形 ABCD，E、F、G、H 分別是AP,BQ,CR,DS 的中 點，求證：EFGH 與 PQRS 也相似。 解：如圖：假設PQ:QR AB:BC1:r，連BP,QC， 並分別取其中點M、N。 ∵ FN r BC r AB EM 1 2 1 2 1 ，且EM FN 。 又 GN r QR r PQ FM 1 2 1 2 1 ，且FM GN。 ∴ ∠EMF＝∠FNG。 △EMF～△FNG FG r EF 1 ，且EF FG。 同理， FH r EF1 ，且EF FH。 ∴ 矩形 EFGH～矩形 ABCD～矩形 PQRS。 解題評註： 這個題目是由一個全國數學能力競賽題目改編的，原題是正方形。同學在看完了詳解後， 是否可以也試試改寫題目，例如ABCD 不一定要在 PQRS 內，或者矩形可以變為平行四邊形， 或整個問題用三角形來命題，則情形又如何？ 本題回答的同學較少，只有5 位。其中三位都假設內部的矩形的邊與外部的矩形的邊平 行，但是題目中並沒有這個條件，這是一種典型的誤解，「無意間自己加入了條件」，這樣 解題的同學在7 分制的給分標準最多只能得到一分。另外，有一位同學只寫了想法，卻沒有 精確地描述，這種回答很難獲得高分。全部5 位同學中只有彰化精誠國中王建詒同學獲得 7 分，其餘同學接只得到1 分。他們是：北市新興國中林嘉偉同學，北縣永和國中李韋翰同學， 北縣永和國小下誌陽同學，北市北師實小林禹全同學以及北市敦化國中 時丕勳同學。 2005 1 2004 1 2003 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 a ， 2005 1 1004 1 1003 1 b ， 2005 1 2004 1 2003 1 2002 1 2001 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 c 。試比較a，b，c 的大小。 解：(1) ) 2004 1 4 1 2 1 ( 2 2005 1 2004 1 2003 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 a 3604
b 2005 1 1004 1 1003 1 (2) 可以將 a 寫成 ) 2005 1 2004 1 ( ) 2003 1 2002 1 ( ) 5 1 4 1 ( ) 3 1 2 1 ( 1 a ) 2005 2004 1 ( ) 2003 2002 1 ( ) 20 1 ( ) 6 1 ( 1 而將 c 寫成 ) 2005 1 2004 1 ( ) 2003 1 2002 1 ( ) 5 1 4 1 ( ) 3 1 2 1 ( 1 c ) 2005 2004 1 ( ) 2003 2002 1 ( ) 20 1 ( ) 6 1 ( 1 當然可以明顯地看出 c > a，所以，a,b,c 的大小關係為 c > a＝b。 解題評註： 這是一題巧算題，大約碰過小學奧林匹亞的同學都有機會完全解得出來。參加徵答的同 學共有20 位，也都大致能正確地解出答案。但是，如我前面所言，有些同學在作答時有點化 簡為繁，把簡單的敘述弄得很繁雜。另一種寫法又寫得太簡單該交代的未明白交代。這兩種 情形都有很大的進步空間，可以透過討論而得到改進。同學們的解答中關於a = b 的作法大家 都差不多。而對於a < c 證明方法則比較多元。現在將同學的得分狀況詳列於後： 北師時小 林禹全同學，北縣中和國小 夏誌陽同學，北縣永和國中 陳璿宇同學，李韋翰 同學，彰化精誠國中 王建詒同學，北市敦化國中 林孝儒同學，時丕勳同學(6 分)，北市新興 國中 林嘉偉同學，北市民生國中 黃天玥同學，黃怡菁同學，張君豪同學，章書維同學，鄒 運政同學，張培衡同學，張家寅同學，蔡馥豪同學，李芮儀同學，古昂可同學，沈宣辰同學， 吳軒宇同學。時丕勳同學的答案實在太簡略，酌扣一分。 在一個100 100 的方格紙上的格中任意填入整數，滿足相鄰兩格的數字的差不超過 20， 求證：其中必定存在某數被寫了3 次。 解：由這個方陣的左上角的格中開始填入數字，直到右下角。相鄰格中的數字差不超過20， 則這個方陣數字差的最大可能為： 20 198＝ 3960 這表示無論如何填數字，最多只有3961 個相異的數字可填，而 100 100 方陣共有 10000 格，根據鴿籠原理，至少有一個數字被填了 3961 10000 ＋1＝3 次。 解題評註： 這是一道典型的鴿籠原理的問題，無論同學用直接證法，或反證法，都不能跳脫這個原理。 作答的同學不多，只有7 人，讓人相當意外。作答的同學全數答對，也全數獲得 7 分，這是 3605
鴿籠原理問題的特點。現在盧列作答同學的芳名： 北市敦化國中 時丕勳同學，北市新興國中 林嘉偉同學，北縣永和國中 李韋翰通學，彰化精 誠國中 王建詒同學，北市民生國中 張家賓同學，張君豪同學，吳軒宇同學。勉強要分的話， 只有作答的流暢與否。其中作答最簡潔的同學是敦化國中的時丕勳同學。 總結這一期的答題情形，我覺得同學們都相當地聰明，但有些同學有很好的想法，但不能 更精確地作形式化的說明，殊為可惜。其次我發現有關於幾何的問題作答的同學比較少，事 實上幾何的練習在推理思考上有相當大的幫助，同學可以從基礎的幾何課本入手，逐漸加深 難度，給自己一點訓練，一段時間後，就一定的成果。希望在以後的通信解題中能看到同學 的進步。
