克卜勒行星橢圓定律的初始內涵

克令勒行星桶圓定律的初始內涵

姚的*

黃秋瑞**

*國立臺灣師範大學物理系

**國立臺灣師範大學科學教育研究所

摘要 克←勒遵循著哥白尼以數學的簡單性及均勻性為基礎之理念，接受並進一步推廣了日心說，他還證 實:太陽是在行星軌道的偏心點而非圓心土。他認為太陽所放射出之光芒或力量，對行星在不同地方會 有不同的影響，由此導出了行星在與太陽不同距離的位置上會有不同的速率之距離規則。從這個基本規 則，最後他得到了行星的精圓軌道定律。 關鍵詞:天文學、行星桶圓定律、克←勒、科學史。 自 IJ 昌 古典物理奠基在牛頓力學上，而牛頓力 學則是融合了伽立略落體運動，及克←勒行 星定律的觀念。這也是為何從國中力學(國 立編譯館， 2000) 直到大學的普通物理學

(Yang

&

Freedman

,

2000)' 皆是以伽立略的 加速度概念開始;高中物理(國立台灣師範 大學科學教育中心，

1999)

則會再簡單介紹 克←勒行星定律。但由於各種教科書，甚至 是大學天文學 (Pasachoff

&

Filippen駒， 2000) 及理論力學教本(

Marion

&

Thonrton

,

1995

)，或許是因受限於教學目標及授課時 數 J 對行星定律均只能做精要地敘述，而無 法對它們最初如何形成、所使用的方法、歷 史演進過程、以及所表現的時代意義，給予 較完整的呈現。本篇文章即是欲透過行星精 圖定律原初內涵的探討，儘力將上述主題簡 潔地描述，期讓教學者對當時之科學背景、 思考方式，能有一些較清楚的掌握與了解。 一、歷史背景

從巴比倫人大約在西元前兩千年，把天

上分成 12 個星座開始，人類的生活空間，就 由地面擴大轉向至天上了。當時人們在天上 所欲真正尋找的，乃是天體與人類緊密聯繫 著的關係和秩序。因為人們有時似乎甚難用 社會的、經濟的現象，來解釋人類生活本身， 而不得不求助於相應的天上現象來協助，天 是世界的主人和管理者，也是人類生活的統 治者。在這樣的要求下，巴比倫人開始累積

了許多觀測方法與天文資料(卡西勒，

1994

,

p72) 。 當希臘人建立並發明了幾何方法與抽象 思考後，很自然地會用此方法，施展和發揮 在巴比倫豐富的天文資料上去。其中，天體 上最特殊的一個現象，即是有五顆會動的星 體，它們不像月亮是穩定地以圓弧前進，而 是有時會有倒退逆轉的情形發生，彷彿在天 空漫遊，而被稱為漫遊者或行星。歐多克斯

-

33 一

(Eudoxus

,

400-347 B.

C.) 是第一位用幾何 模型來詮釋行星的此種逆行現象。他用內外 兩個同心球殼，旋轉方向互相垂直，內殼為 行星所在之圓球，行星在其上作圓周運動， 外殼為恆星球殼， 'I宜星在其上不動，但整個 背景(星座)在動。這樣，就可以產生行星 的逆行現象。他也因此被視為天文學之奠基 者 (Hetherington ，

1987

,

P 125)

0 接著阿波羅尼斯( Apollonius ，約 200

B.

C.) 及依巴谷( Hipparchus ，約 135

B.

C.) 提 出了新的幾何模型:偏心圓 (eccentric) 體系 與本輪均輪 (epicycle

-

deferent) 體系 o 偏 心圖模型意謂:行星 P 以等速繞圓心 C 做圓 周運動，但地球並不在圓心 C 上，而是稍微 偏離開圓心。而此圖心 C 與半徑 CP 會再繞 地球運轉，如此可解釋行星之逆行。本輪一 均輪模型則是說:地球位於主圓(均輪)中 心，在圓周上，有另一小圓(本輪或周轉 圓) ，行星則只在此小圓上做圓周運動，而 此小圖之圓心，會再以等速環繞地球運轉， 同樣可給出逆行效果 o 此二模型基本上是等 價的(羅杰斯， 1989 ， p67) 。 到托勒密 (Ptolemy' 約 130

A. D.)

為 了能更正確與方便地計算出行星之位置，他 提出了合成模型偏心點 (equant point) 體 系。在此體系中，如圖 1 '本輪之圖心雖是 繞著均輪之中心C 作運轉，但非等速，而是 以等角速率，環繞著偏離圓心之點E 運轉， 此偏心點 E 與地球 0 ，則分別在l區l 心 C 之不 同兩端。托勒密用此模型可以描述出每一顆 行星的運動細節，並建立起非常完整的天文

圖表，與實際的觀測結果差別不到10' 角

-

34 一

(Kozhamthadam

,

1995

,

p166)

0 並且他以地 球為宇宙中心的觀點，與亞理斯多德

(Aristotle 384 - 322

B.C.) 之哲學觀點目 的論( teleology) 相當一致，故能在西方暢 行將近的世紀之久(羅伊德， 1984) 。 均輪

行

星

輪

P

本一

圖 1 :托勒密行星運動體系 一直到哥白尼 (Copernicus，

1473-1543)

時，他質疑偏心點體系之過度人為性，且本 輪中心與均輪中心連線所成角度，並非均勻 改變，亦與均句或等速運動原則相矛盾，背 離了自然之簡單性，破壞了幾何學之美感(拉 卡托斯， 1987) 。 “同心圓、偏心圓和本輪，引用了許 多顯然與均勻運動的基本原則相抵觸的概 念，也不能得出...對稱性，彼此不協 調...那些人採用偏心圓論證的過程或方 法，要不是遺漏了某些重要的東西，就是塞 進了一些外來的、毫不相關的東西。"(哥白 尼，

1543

,

p3)

如果以地球為宇宙中心，並不能給出完 美均勻的圓形，那麼要以什麼做為天體的中 心，才可達成此理想?在圖2 中， 0 為托勒 密體系中之地球， p 為行星並位於以 G 為圓

心之本輪上，哥白尼發現，若取 00' 平行且

等於 PG' 並視 0' 為地球， G 為行星 ， 0' 以

00' 為半徑繞著圓心 O 作圓周運轉，則從地

球 0' 觀測行星 G 之情形，恰與托勒密之 OP

完全一致。這就是有名的地動 (earth's mobility) 理論，最後，哥白尼發現若將太陽 置於圓心 O 上，則會與觀測值相當吻合

(Barbour

,

1989

,

p216) 。 圖 2 :哥白尼日，心體系 01 自 Barbour，

1989

,

p216)

二、克卡勒的偏心學說

(一)偏心點之再引入一太陽為宇宙

之真正中心

在哥白尼對托勒密的偏心點體系，感到 太過人為化與不圓滿，而提出了地球與所有 行星，均環繞著一共同的幾何中心，在做圓 形運轉的日心理論。但太陽是否真正位於所 有行星圓周運動的幾何圓心上，還是接近於 此圓心?哥白尼亦不十分確定。在天體運行 論(哥白尼， 1543) 第 10 章裡有: “靠近太陽之處，是為宇宙之中心。(

Near

the sun

is the center of the universe.) "

克←勒行星楠圓定律的初始內涵

此處所言“靠近" ，亦即非真正是在中心。但 在同一章裡，又寫著:

“萬物之中央，即是太陽。 (

In the middle

。if

everything

is the sun.) ..

前後說辭不一，甚為明顯。且依照哥白 尼的學說，圓周運動的幾何中心'並非全然 固定的，而是有著些微的來回擺盪

( Kozhamthadam

,

1995

,

p148) 。克←勒並不滿 意這些種種之含糊與缺陷，此外，他始終相 信太陽乃宇宙中最特別之星體: “它是萬物的生產者，它是光的泉 源， ...是一切色彩的描繪者。"

(

Kepler

,

1937

,

p266)

“籍著光，它與萬物交流，因此，它正確 的居所必是全世界之中心，如此他才可永遠 均勻地，將自身散佈傳播至整個宇宙。"

(Kepler

,

1937

,

p19)

克←勒認為太陽是真正宇宙動力的來源 與中心，且必是穩定不動者。他於是開始尋 找這個宇宙中心之幾何位置，且將宇宙的結 構與變化，全建立在此最純粹的、及第一推 動者一太陽的影響上。 雖然，他對哥白尼賦予最大的尊重，但 也不讓自己被囚禁束縛在他導師的理念下。 為了要排除哥白尼學說中對太陽位置所含的 模糊性，及解決行星確實具有環繞太陽運轉 之非等速性，克←勒重新再回顧審視，並接 受了托勒密之偏心點觀點，但賦予其更新的 內涵 O “任何人研讀了此段有關偏心點之論 述，將必歡樂。因為如果天文學者驚訝於， 托勒密毋需證明而可假設偏心點之重要性， 35 一

apsides

'即偏心點與均日點之連線 QS' 且

QS 線之經度被訂為 148°48'鈣 II )，若火星對

於取定的偏心點 Q 為等角速率，由火星週期

687 天為 360

0

_{，亦可得知時間角度 M}

1

QM

2

、 M

₂

QM

₃

等。在AP 直線上，若太陽 S 與偏 心 Q 選定後，則由 QS 長度與上述經向觀測 及時間角度，可表示出太陽與火星在四種狀 況下之距離 SM

_j

， SM

₂

、 SM

₃

與

SM

₄

， 故火星的位置遂被決定下來(

Kozhamthadam

,

1995 ， pI63) 。若

4三M

₂

M}M

₄

+LM

₂

M

₃

M

4

=

180

0

₌

正M

₃

M

₂

M] + 正M

₃

M

₄

M] 則四點 M]M

₂

M

₃

_與

M

₄

可形成火星之 圓周軌道;反之若不能，則所選取之 QS 長 度或偏心點 Q 之位置不正確，需重新再定 Q 之位置。 若火星四位置可形成圓形，則可求得圓 心 C 點之位置。然若 ζASM] 子t ，L三 CSM

_j

或 C 點不在 QS (或 AP) 直線上，意謂偏心點

Q

、 iii 心 C 及太陽 S 三點，不在一直線，則 需選取新的 Q 點位置，從頭再算一次，直到

Q

、 C 、 S 三點共線為止。以上這些工作，並 非是件容易的事: “如果這種冗長的方法讓你厭煩的話，你 或許更會憐憫起我來。因為我花費了巨大的 時間，反覆了至少 70 餘次的計算，從探討火 星開始，至今已過了五個年頭。"

(Kepler

,

1609

,

p256)

克←勒最後，可讓 Q 、 C'S 落於同一直 線上，且以 C 點為中心之l圈，可通過四個火 星觀測位置，若半徑長為 I '則他得出 他們將更驚奇於，其中竟然有可以解釋的理 由存在著。"

(Kepler

,

1596

,

p219)

這新的偏心點學說內容是什麼?可以解 釋其存在的理由交是什麼?克←勒在新天文 學 (Kepler， 1609) 第 10 至 21 章中，先選取 了四個在日落時，背對著太陽，觀察剛昇起

(acronychal

observation) 的火星經度

(

longitude) 之水平位置(如圖 3 )。他依照 哥白尼所言，以太陽為固定不動點 S (但不 一定是圓心) ，在落日時，地球介於太陽與火 星之間， SM

_j

、 SM

₂

、 SM

₃

與

SM

₄

間)直 線分別表示在 1587 年 3 月 6 日、 1591 年 6 月 8 日、 1593 年 8 月 25 日及 1595 年 10 月 31 日時，所觀測到的火星經度方向，故角

M

j

SM

2 '

M

2

SM

3 等之大小即可得知(但

尚不知 M] 、 M

₂

、 M

₃

_與

M

₄

落於直線上何 A 處，因還不知火星與太陽之間的距離)

(J

acobson

, 1999) 。 圖 3 :克←勒火星暫代性假說(引自 Voelke l，

200

1,

pl06)

克←勒再採用 1587 年第谷(

Tycho

,

1546-160 1)所定出的遠近線 (line

of

- 36

QC

=

0.07232

,

CS

=

0.11332

亦即圓心，並不平分偏心點至太陽之距離。 火星即是以太陽位在偏心點上之此種圓形軌 道在運轉，克←勒稱此結果為暫代性假說

(vicarious hypothesis)

D 它取代了托勒密的 平分( bisection) 觀點，及哥自尼的無偏心 點主張。此外，此假說還意涵著: 1.行星所做的圓周運動，對圓心而言並非為 等速，但對偏心點而言則為等角速。而

ζAQM 稱為均偏角(

mean

anomaly) 。

2.偏心點之存在，即表示太陽之存在。一如 托勒密偏心之行星體系，可逼現出，在圓 心之另一端有地球存在著。

3. 遠日點與近日點相較，在同樣時間下，經 過較短弧長 o 如果太陽為一切行星運動之 生命力(

animal force

,

soul) 來源，很自然 地，受到此生命力之影響，就與距離太陽 之遠近有關 o 在遠日點處，受到太陽所發 出動力之影響較少，故會運行得較慢

(Kozhamthadam

,

1995

,

p91-92)

D 克←勒的偏心學說，不僅相當地吻合觀 察結果，且指出天體運動的真正成因，全是 來自於穩定不動者一太陽。它不僅接近宇宙 的幾何中心，更重要的，它乃為世界的真正 動力中心，是天體運轉的力量來源。由於這 個假說是以後所有行星理論之基礎，故有時 亦被稱為克←勒行星第零定律

(Gingerich

,

1975

,

p261; Martens

,

2000

,

p71) 。

(二)地心說之完全棄絕一地球僅是

一顆行星 哥白尼雖然提出了日心理論，但他依然 不易全然擺脫地心說之殘留影響。譬如，他 克卡勒行星精圓定律的初始內涵 視地球與其他行星不同，在天體運行論中， 所有除了地球以外的行星軌道，其偏心距(偏 心點至圓中心之距離，當半徑為 1 時，亦可 視為離心率 eccentnc句)均是以地球軌道之 中心為參考點，而唯獨地球軌道之偏心距， 是從太陽為中心起算 (Kozhamthadam，

1995

,

p173) 。顯然，哥白尼對地心說之揖棄並不完 全，一如對日心說之提出並不完整。 另一方面，在托勒密學說中，所有行星 環繞著地球時，都對應於某一偏心點，在做 等角速圓周運動，惟獨太陽環繞地球時，則 無此偏心點，或此時偏心點與地球重合。種 種這些特殊而非普遍的狀況，一直受到克← 勒之質疑: “在宇宙奧秘一書，我已提及太陽之偏心 點觀念，表示我對太陽(或地球)無偏心點 之遺，幟，

..."

(Kepler

,

16叭，

XIV

,

p

lJ )

“在宇宙奧秘書中，我已讓此點(地球 需要有偏心點)觀念，成為該書之主要特色， 且將它視為(理論)基礎上之重要支 牛主 。"

(Kepler

,

1596

,

p219 )

克←勒用了兩種方法，證明出地球軌道 的圓心不會與太陽重台。在新天文學第 24 章裡，使用了第一種方法 (如圓 4)' 以均 日點 (mean sun) 或等角速率參考點 Q 出發， 每當火星運轉一週期 687 天重回 M 後，分別 對應有由地球觀看火星的四個不同之相對角 度，即直線 E]M 、 E

₂

M 等方向可由第谷所 做之觀瀏決定，故 L.E1MQ 、 L.E

₂

MQ 等亦 可得知，而由固定的一火星年時間間隔相對

於 365 天，則可定出 L.MQE] 、 L.MQE

₂

等。

由一固定邊

QM 及二角 L.E

₄

MQ 及

-

37 一

L.MQE

₄

即可唯一決定出三角形 MQE

₄

， 或 地球 E

₄

點所在之位置(或由正弦定律，可以 QM 表示出 QE

₄

之長度)。同理E

₁

、 E

₂

'

E

₃ 之位置亦可以相同方法求出，如此E} 、 E

₂

、 E

₃

、 E

₄

可定出一圓，而[§J心 C 點所在位置 也隨之得到 o 克←勒發現 Ct:·

Q

'且 QC=

0.01837

(若圓半徑=

1)

，所以地球雖是繞日 作圓周運轉，但卻不是在做等速運行，因為 圓心並沒有落在偏心點Q 上，亦即地球之運 轉現象與所有其他行星一樣(

Stephenson

,

1987

,

p54) 。 M 圖 4: 地球之偏心圓軌道:實線圍為以均日 點 Q 為中心，且通過地球某一位置 E

₄

之圓;虛線團則為通過地球四個位置

E] E

2 E

3

與

E

4

之圓，其圓心以

C

點 表示 ;s 為太陽之真實位置 o (引自

Voelke

l,

200

1,

p105)

在同書第 26 章裡，克間對則由太陽S 點 出發，引用他先前的暫代性假說，定出直線

SM

0 另由第谷之觀測，可定出直線E]M 、 E

₂

M 等之方向(與24 章所述方法同) ，而由 第谷之太陽理論，則可決定SE] 、 SE

₂

等之直 線方向(或L.MSE] 、 L.MSE

₂

等)。同理，

38

由一邊二角可唯一定出三角形 MSE} 、 MSE

₂

等，或E

_j

、 E

₂

等之所在位置。最後由它們劃 出一圓，求得圓心 C之位置，克同對得到 _SC=

0.018 (Wilson

,

1968

,

p6

)。 克←勒之如此重視地球之偏心結果，最 主要就是欲將地球在傳統上的特殊重要角 色，完全排除。並指出:地球無異於所有其 他行星，他們全處於相同地位。

三、距離規則一天體動力學的成因

火星與地球軌道之偏心學說，指出了火 星與地球或任何其他行星並不是在做等速圓 周運動，行星靠近太陽時，會運動得較快; 當遠離太陽時，會運動得較慢。這個必然的 結果，促使克←勒開始探討行星運動的成因 (cause) 與結構 o “簡言之，環繞著宇宙中心運動的行星， 若愈遠離此中心峙，它將以較少的力(

force)

被推動著。所以，此種在強度上減弱的原因， 必定是在行星本身與它內存的運動力(

motive

force)上，或是在設想的宇宙中心上。...故， 不是力量的減弱造成行星遠離宇宙中心，便 是遠離造成力量的衰減，..0 距離不論是在人 們的思想上或是在自然的次序上，均先於空 間中的運動。事實上，空間中的運動不可能 與離開中心之距離無關，因為它需要有展現 的區域...因此，距離將是運動強度的原因， 距離的遠近將造成所花費時間的多寡o

(Kepler

,

1609;

Koyre'

,

1992, pI89)

“說有一種生物力儲存在行星內，可將運 動賦予在行星上，但卻不會隨著歲月的增長

“設想智慧與動力心靈(

motive

souls)的 存在，是相當困難的。...大部分天體的運行 是受物質的(

corporeal)

， 而非生物的官能 (faculties)來執行，例如，藉著更為普遍的磁 性特徵。" “所以，若隨著行星至宇宙中心之距離增 滅，而形成行星的緩慢與迅速，貝IJ 運動力之 來源，必定是落在我們所認為宇宙的中心點 上。" “太陽便是比力量的來源與座落之處，此 力造成所有行星環繞它運行。"

(Kepler

,

1937

,

III

,

p34;

Koyre'

,

1992

,

p 196 )

克←勒所重新發現的偏心點學說，與上 述的動力學原因，徹底地將哥白尼的圓周軌 道的圓心角色，轉移至太陽的位置上。如果 行星並非以等速繞其圓心運轉，而是，其快 慢會隨著至太陽之距離在改變，則此結果僅 能以運動力來解釋。同時此運動力的來源， 除了來自太陽身上以外，不可能來自任何其 他地方。克←勒就是由此運動原因出發，提 出了他天文動力學中最重要的基本原理一 距離規則(

distance

rule) 。 在新天文學第 32 章中，由行星偏心模 型，如圖 5 '行星是以等角速率繞著偏心點C 點，運行於以 B 點為圓心之軌道 DFEG 上， 而太陽是在另一偏心點A 點上 (AB

=

BC) 。 HK 弧長(正比於 LHCK) 即行星運行 DF 弧長的所需花費的時間;同理 IL 弧長(正比 於 LICL) 則可表示行星運行 EG 長度所需 耗費的時間。 一 39 一 克卡勒行星精圓定律的初始內涵 E G 國 5 :距離規則一遠近日點速率與距離之關 你:實線圖為以 B 為圓心，對 C 點以等 角速率運行之行星軌道;虛線圖以 C 為 圓心，其弧長可表時間。(引自

Stephenson

,

1987

,

p64)

當角度很小時 ，

AD/AE

=

DF/EG

' 且 正DFC 與 LHKC 皆接近於直角，可視為相 等;同理 ，

LEGC

=

LILC

' 則

CH

HK

CD

DF

CE

EG

CI

IL

\aF/

l

/FS\

(2)

由於 AB

=

BC

=

e

(e 為離心率) ，且由 觀測知 e«l ' 利用(l +e)/lz

l/

(l

-e)

，並設 半徑 BD

=

BE

=

CH

=

CI

= 1

'可得

AD

CH

BD

CD

(3)

由式 (1) (3)得知 AD/BD

= HK/DF

;同理，

EG/IL = BE/AE

'再利用半徑 BE=BD 為 AD

與 AE 之幾何中項，如同式(

3 )

，即 BE/AE=

AD/BE

=

AD/BD 。合併以上三等式，得知

EG

HK

一一=一一一

(4)

IL

DF

亦即通過太陽 A 點之長直線與直徑所夾 之二路程 EG 、 DF 之乘積，相等於其所對應 花費的時間 IL 與 HK 之乘積 O 對近日點 E 點

而言，若路程 EG 與 EG' 均為甚短之弧長，

則由式 (2)' 有 EGIIL

=

CEICI

=

EG' /

IL'

(G' 與 L' 未標示於圖 5) 。若取 EG'

=

DF

=

s

'則式 (4) 成為

s

HK

一一=一一一一 旦比

IL'

s

ZE=平I~' =(平r ~(~~r

根據式(

1

)及(3) ，則可得

zt=(2):;三步=告

叉因 CD =AE ， 最後得知

HK

AD

IL'

AE

即行星在行星遠日點與近日點處，行經 相同路程所需花費的時間(HK 或 IL' )與行 星至太陽的距離 (AD 或 AE) 成正比 O 此 謂之距離規則(

Stephenson

,

1987

,

p64

)。此規 則出現在所有行星定律之前，因克←勒認為 它不僅可以物理意義加以了解和詮釋，且太 陽與行星皆為真正的實體，而不像托勒密是 以空無之抽象點:偏心點與本輪圓心，作為 描述的參考點。同時此規則與隨後之精圓軌 道及面積定律，皆緊密相關。

四、精圓定律

火星的暫代性假說，雖然成功地決定出 火星的經度位置，但在緯度上卻出現很大的 偏差。在新天文學第 19 章裡，克←勒利用火 星高度之觀測值，決定出太陽至軌道圓心之 距離 SC 為 0 ， 08000 與 0.09943 (近於平分 值) ，而非暫代性假說中的 0 .1 1332

(J

acobson

,

1999

,

p201) 。同樣在第 20 章時，利用地球分 別至太陽與火星二連線之夾角為垂直時的觀 測值，所決定出之 SC 值則介於 0.08377 與

0.10106

(J

acobson

,

1999

,

p205) 。或許，克← 勒在火星經度上可採用非平分值之暫代性假 說，而在緯度上則可採用平分值的偏心點學 說，但此種不能具有一致性、整合性與普遍 性之做法，並未被克←勒接受。他於是面對 著兩種選擇:一是行星軌道不是圓形;另一 是軌道依然為圖形，但等速圓周運動的參考 點 偏心點需來回擺盪。但來回擺動的偏心 點，過於複雜，不符合簡單性與經濟性的要 求，克←勒於是排除第二種的做法，而開始 考慮第一種情形一非圓形軌道。 克←勒選擇了三個火星的位置，其距離 遠日點之真偏角(

true

anomaly' 太陽行星連

線與遠近線之夾角) ，為 10° 、 37° 與 104°

,

在暫代性假說下，所計算出之太陽一火星距 離，與觀測值比較，多出了如表 1 所示之量。 一 40 一

克卡勒行星楠圓定律的初始內涵 表 1 :太陽一火星距離:偏心圓軌道假設下之計算值與觀測值之比較 時間(年-月-日)與遠日點相隔的角度偏心圓軌道之計算值 觀測值 相差(圓形觀測) 、、 2/ ny oo 司令 d ny 司令d '、 J

l15.9

1u1u 可釘圖， 1

020.L

Il--C

AVAV5. 勻 9 9 9 回到 的凹的 -D /I 、、

9°37'

36° 43'

104°25'

1.

66605

1.63883

1.

48539

1.66255

1.

63100

1.

47750

+0.00350

+0.00783

+0.00789

克←勒於是大膽提出: “(行星)軌道自連日點開始，將越來越 向圍內部靠近，且在離心偏角(

eccentric

anomaly) 為 90。與 270。時，會與圓形有最大 的偏差。此軌道在連日點最寬，而在近日點 最窄。..這種行星軌道不是圓形，而是卵形

(ova

l)

0 "

(Kepler

,

1609;

Koyre'

,

1992

,

p244 )

f 暫代性理論~ 輔助圍 觀察值 卵形路徑 欄圍路徑----s:: Q whH A c B r r 圖 6 :克卡勒卵形軌道(引自 Jacobson，

1999

,

p219)

-41 一

他很奇特地將兩個看似不相容的理論 暫代性假說與偏心距平分原理，融合在一 起，來表示出此種卵形軌道。如圖 6 ，點 S 、 C 與 A 分別表示暫代性假說中之太陽、圓

H'Q勻，之圓心與偏心點之位置。 B 則為 SA

之平分點，且為輔助圓 HQI 之圓心 O 火星 M) 是在原先圓軌道上之位置，克←勒採用了底 下步驟來找出其新位置，以符合火星向圓內 趨近的結果: 1.由時間(或均偏角 L.HAM]

=M

) 定出火 星在圓軌道上之位置M] 0 2.劃 BP 直線，使得 L.HBP=M 'BP 交圓

HQI 於點 M"

,

~P

BM"

=

1

0

3.以 S 為圓心 ，

SM"

=

r 為半徑劃弧，交 SM

1

於

M

肺點，則

_M

_{肺即為新軌道}

_卵形軌跡

上之一點 _{(Jacobsen ，}

1999

,

p2IO)

0 雖然，克←勒提出了此方法，滿足了火 星向內趨近的現象，但在第 49 與 50 章裡， 他發現困難依然存在。當火星的時間位置分

別為 45° 、 90° 、 120。及 150。時，他以卵形假

說所計算出來的真偏角，與觀察值有 8' 角等

:不同的差別，如表 2 所示。這使他明白卵形 模型，仍未能正確描述火星的軌道 O 表 2: 卵形假說下所計算出來的真偏角與觀察值之比較 均偏角 真偏角(卵形計算值) 真偏角(觀測值)

45°

3r56'43"

38°5'0"

90°

79°26'35"

79°27旬，

120°

110°28'8"

110°18'30"

150°

144°16'49"

144°8'0"

(Kozhamthadam

,

1995

,

p223; Wilson

,

1968

,

pl

7)

相差

一 8'00"

一 0'25"

+

9'30"

+

8'49"

在卵形模型中(如圖7)'若B 平分 SA' 則可設離心率 e=

SB

=

BA

=

0.09282

'經過一 些幾何關係的運算後，克←勒得到圓形與卵 形軌道，在與遠近線垂直之直線上之差

QQ'

=

1-

··h -

2e

2

=

e

2

=

0.0858

(J

acobson

,

1999) 。 但如前言，卵形軌道不能符合觀測值。 藉著計算 19 種太陽與火星不同位置之距離， 克←勒發現，觀測值幾乎均落在圓形與卵形 軌道之中央，亦即觀測值 QO

=

0.00429 。在 暫代性假說裡，克←勒常會遇到兩見方程角 ψ

(optical equation

'如 QS 與 QB 之夾角)為 最大值的情形。有時在某些特別狀況，克← 勒需要求得此角的正割(secant) 值，他赫然

發現 sec

(5°18')

=

1.

00429

'而此值之尾數，

恰巧正是火星真實軌跡，與圓形軌道之差QO 值。 “當我看到這時，彷彿從睡夢中被喚 醒，見到一道曙光向我穿透。我開始了底下 的推理。"

(Kepler

,

1609

,

p56;

Dijksterhu尬，

1986

,

p319)

42 一

克卡勒行星棉圓定律的初始內涵 H 卵形 Q

輔助圍--觀察值與最終

之欄圍軌道 A C B

e

s

圖 7 :克同商行星圓軌道(司|自 Jacobson，

1999" p2IO )

由圖 7' 因

BQ / BO

= 1/

(1

-0.00429)

三 1

+0.00429= 1.00429

=

sec (5 018') =

sec 伊

QBO=BQcosψ=l·cosψ=05cosψ( 此處

半徑 BQ=

1)

QOS

=

1

=半徑

亦即，在與遠近線垂直且通過平分點 B

直線上之火星，它與太陽之距離剛好即是圓

半徑長(或長軸 HI 之一半)。或者，在直角

115GB 中，若 BO

=

b

(半短軸) ，則有

1-b

2

=e

2 。以相同的方法，可自外接圓上

之任，點 K' 推出對應正確火星位置 M' 如

下(圖 8): 一 43 一

E

P

_r

-!- 一一--一 __0

「-H

lx夕

I

_,

V /

，呵， K 正主並 IL “因此，親愛的 Fabrici肘，我有了答案， 行星的路徑是個完整的精圓。"(Kozham伽d帥，

1995

,

p235; Wi1son

,l

968

,

p21 )

這就是克←勒行星第一定律，在科學史 上“克|、勒是第一位冒險對(天文學的)問 題進行嚴密數學處理的人，是第一個確立起 自然律的人" 。也是“第一位在成功探索自 然律時，發現其藝術性者，因為，前人只是 在努力應用自然過程，建立起說明性的概 念.. (伯特，

1994

,

p57) 。 結論 圖 8: 克卡勒之精圓軌道定律 :N 為太陽位 克←勒是地動說的忠實擁護者，且於哥 置 'H 為圓心 'KLLAH' NLLKH' 取 自尼逝世 60 年後，第一位將其學說證實、推

NJf

= KT' 貝IJ Jf 為行星之正確位置。(引 廣，並形成重要的行星定律。其中雖得力於

自 Koyre' ， 1992

,

p275)

第谷豐富的天文資訊，更關鍵的是克←勒看

出，從哥白尼所開始的數學運動之真實性與 1.連接 KN' 自 N 引直線垂直 KH 於 T; 潛在力量 宇宙運動之原因，即是要以背後 2. 在以 N 為圓心 ， KT 長(稱為徑向距離 所呈現的數學簡單性、與數學和諧性，來重

diametra1

distance) 為半徑劃弧'交 KL (此 新加以解釋;以及，凡數學上為真的東西， 處 KLLAC) 於 M

(Aiton

,

1969

,

p84) 。 在實際上、或天文學上也為真(伯特， 1994 ， 42 由此方法所得到的曲線，剛好是落在圓 頁，但頁)。這種信念，使得克←勒終其一生 形與卵形曲線之中間，並且與所觀測到的火 投入在天文學與數學知識的結合，而了無遺 星位置(含距離與角度)完全吻合。第 58 章 憾。 裡克←勒作了如下的結論: 其中他指出了，宇宙之中心並非在地球 “43 章中所提之圓，錯誤在於值太大; 所作正圓軌道之中心，而是在偏心點上之太 45 章中所提之卵形，錯誤在於值之不足，其 陽。雖然，偏心點會造成非等速運動，而與 中超出與不夠之量剛好相同。而僅有精圓可 均勻性不一致，但正由於太陽位於偏心點 被置放在圓形與卵形之間，所以行星的路徑 上，故對行星在不同距離的遠近日點處，會 僅能是一棉圓。" 有不同影響，由此形成了最重要的天文動力 而這個想法，曾在 1605 年 10 月 11 日， 學原理一距離規則:行星在遠日點與近日點 克←勒給友人的信上，首次被提及: 處，行經相同路徑所需花費的時問，與至太 一 44 一

陽的距離成正比。此規則成為他推導出楠圓 軌道定律的真正基礎。 在教學上，我們當然無法也不需將克← 勒行星定律所使用的方法，加以詳細推導。 然而了解重大科學定律的形成，是要在科學 家的思想上產生什麼樣的轉化與改變，方能 達成，則值得參酌與深思。

參考文獻

1.卡西勒 (E.

Cassirer

,

1994): 人論一人類文化 哲學導引。台北市:桂冠圖書公司。 2.哥白尼 (N.

Copernicus

,

[1543] 2001)

:天體 運行論。武漢市:快西人民出版社。 3.拉卡托斯(I. Lakat肘，

1987)

:證明與反駁: 數學發現的邏輯。上海市:譯文出版社。 4 國立編譯館 (2000) :國民中學理化教科 書，第四冊。台北市:國立編譯館。 5. 國立台灣師範大學科學教育中心(1999)

:

高級中學物理， 第一冊。台北市國立編譯 館。 6.羅伊德(0.

Ll

oyd

,

1984)

:亞旦斯多德思想 的成長與結構。台北市:聯經出版社。 7. 羅杰斯 (E.

Rogers

,

1989)

:天文學理論的發 展。北京市:科學出版社。 8.伯特 (E.

Burtt

,

1994)

:近代物理科學的形而 上學基礎。成都市:四川教育出版社。

9.Aiton

,

E. J.

(1

969). Kepler's second law of

planetary motion. Isis

,

60

,

75-90.

1O

.Barbour

,

B.

(1

989). Absolute or relative

motion.

New York: Cambridge

,

University

Press.

克卡勒行星楠圓定律的初始內涵

from Thales to Kepler.

New York: Dove

r.

12.Dijksterhuis

,

E. (1986). The mechanization

of

the

world

picture.

Princeton

,

NJ:

Princeton University Press.

13.Hetherington

,

N.

(1

987). Ancient astronomy

and

civilization.

Tucson

,

AZ:

Pachart

Publishing House

14.Gingerich

,

O.

(1

975).

Kepler's place in

astronomy.

A. Beer (Ed.)

,

In Kepler: Four

Hundred Years. New York: Dergamon Press.

15

.J

acobsen

,

T.

(1

999). Planetary systems from

the ancient Greeks to Kepler.

Seat!巴，

WA:

University Washington.

16.Kepler

,

J. ([ 1596] 1981). The secret of the

universe.

New York: Abaris Books.

17.Kepler

,

J. ([1609] 1992). New astronomy.

New York: Cambridge University Press

18.Kepler

,

J.

(1

937).

Johannes

Kepler

gesammelte werke.

Munich: Beck.

19. Koyre'

,

A.

(1

992).

The

astronomical

revolution

Copernicus- Kepler- Bore lli.

NewYork: Dover.

20.Kozhamthadam

,

J.

(1

995).

Discovery of

Kepler's law: The Interaction of science

,

philosophy and religion. Notre Dame

,

ID :

University of Notre Dame.

2

l.

Marion

,

J. & Thornton

,

S.

(1

995). Classical

dynamics of particles and systems. New

York: Brooks & Cole.

22.Martens

,

R. (2000). Kepler's philosophy and

the new astronomy. Princeton

,

NJ: Princeton

I

I.

Dreyer

,

J.

(1

953). A history of astronomy

University Press.

(下轉第 72 頁)

·對於此次活動的意見與建議。 ·給老師的話: ·給同組成員的話:

四、參考資料

1.莊世琦(

1988)

:染色技法 1.2.3. 。台北市: 雄獅圖書。 2.魏明通(200 1) :化學與人生。台北市:五 南。 3. 邱永亮 (1978) :染料之合成與特性。台北 市:徐氏基金會。 4.楊思廉(

1995)

:工業化學概論。台北市: 五洲。 5.小牛頓雜誌(2000)

:

197 期，26-53 。 6. 何子樂(

2000)

:染料傳奇。科學月刊，31 (2) ， 154-163 。 7.李大維等編著 (2000) :生物學實驗。台北 縣:文京圖書。 8. 自然科學彩色辭典第三冊一植物。台北市: 華視出版社。 9. 姜宏哲 (1986) :兒童科學金庫。台北市: 好兄弟出版社。 10. 染化資訊網站:

http://www.dfmg.com.tw

/f

n-index.htm

(上承第 45 頁)

23.Pasacho 旺，

J.

&

Filippenko

,

A. (2000). The

Cosmos: Astronomy in the new millennium.

New York: Brooks

&

Cole.

24.Stephenson

,

B.

(1

987). Kepler' s physical

astronom

y.

New York: Springer-Verlag.

25.Voelkel

,

J.

(2001).

The

composition

of

Kepler' s astronomia nova.

Princeton

,

NJ: Princeton University Press.

26.Wi1son

,

C.

(1

968). Kepler' s derivation of the

elliptical path. Isis

,

.5夕~

5-25.

27.Yang

, H. &

Freedman

,

R.

(2000). 日7iversity

physics

(1

0th ed.). New York: Addison

引Tesly .

吋/缸