4-1-1圓錐曲線-橢圓

全文

(1)第四冊 1-2 圓錐曲線-橢圓【定義】橢圓： π 當 > β > α 時，在圓錐中塞進兩個球分別從上、下兩方面與割平面 E 相切於 F 2 和 F ' 點，而與圓錐面相切於圓 C1 和 C2 。給定兩個定點 F , F ' ，則滿足到兩定點之距離和( PF + PF ' = 2a > FF ' = 2c )為定值的所有動點 P 所組成的軌跡稱為橢圓。其中定點 F , F ' 稱為橢圓的焦點。中心：兩焦點連線段的中點。頂點：過兩焦點的直線與垂直前述直線的直線，此兩直線與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。焦半徑：橢圓上任一點與任一焦點的連線段(有兩組)。弦：橢圓上兩相異點的連線段。焦弦：過焦點的弦。正焦弦：焦弦中與軸長垂直者。【討論】 1.. 若 PF + PF ' = 2a > FF ' = 2c ，則 P 點軌跡為橢圓。. 2.. 若 PF + PF ' = 2a = FF ' = 2c ，則 P 點軌跡為線段。. 3.. 若 PF + PF ' = 2a < FF ' = 2c ，則 P 點軌跡無圖形。.

(2) 【圖形】 B. P. b. A'. F'. O. c. A F a. B'. 【定義】設橢圓的兩焦點為 F (c,0), F ' ( −c,0) ，且 P ( x, y ) 為橢圓上的任一點依定義可知. PF + PF ' = 2a ⇔ ( x − c) 2 + y 2 + ( x + c) 2 + y 2 = 2a ⇔ ( x − c) 2 + y 2 = 2a − ( x + c ) 2 + y 2 ⇔ ( x − c ) 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x + c) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2. ⇔ 4a ( x + c ) 2 + y 2 = 4a 2 + 4cx ⇔ a ( x + c ) 2 + y 2 = a 2 + cx. ⇔ a 2 (( x + c) 2 + y 2 ) = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 ⇔ a 2 x 2 + 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 ⇔ (a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ) ⇔ b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 x2 y2 ⇔ 2 + 2 =1 a b.

(3) 【類型】中心在原點： x2 y2 + =1 a2 b2 (水平型). x2 y2 + =1 b2 a2 (鉛直型). | x |≤ a, | y |≤ b ( ± a,0), (0,±b) ( ± c ,0 ). | x |≤ b, | y |≤ a ( ±b,0), (0,± a ) (0,± c ). a2 c x = 0, y = 0. a2 c x = 0, y = 0. 2b 2 a 2a 2b (0,0). 2b 2 a 2a 2b (0,0). 方程式圖形範圍頂點焦點. x=±. 準線對稱軸正焦弦長長軸長短軸長中心離心率焦半徑焦距參數式. PF c = <1 d ( P, L ) a c a± x a 2c ⎧ x = a cos θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = b sin θ. e=. y=±. PF c = <1 d ( P, L ) a c a± y a 2c ⎧ x = b cos θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = a sin θ. e=.

(4) 中心不在原點：方程式圖形範圍頂點焦點準線對稱軸. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 a2 b2 (水平型). ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 b2 a2 (鉛直型). | x − h |≤ a, | y − k |≤ b ( h ± a, k ), (h, k ± b) ( h ± c, k ). | x − h |≤ b, | y − k |≤ a ( h ± b, k ), ( h, k ± a ) ( h, k ± c ). a2 c x − h = 0, y − k = 0. a2 c x − h = 0, y − k = 0. 2b 2 a 2a 2b ( h, k ). 2b 2 a 2a 2b ( h, k ). PF c = <1 d ( P, L ) a c a ± ( x − h) a 2c ⎧ x = h + a cos θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = k + b sin θ. PF c = <1 d ( P, L ) a c a ± ( y − k) a 2c ⎧ x = h + b cos θ ,θ ∈ R ⎨ ⎩ y = k + a sin θ. x−h =±. 正焦弦長長軸長短軸長中心離心率焦半徑焦距參數式. e=. y−k = ±. e=. 【問題】 1. 試問型如 ax 2 + cy 2 + dx + ey + f = 0 的方程式，何種條件下其圖形為一橢圓？ 2. 試問幾個獨立條件可以決定橢圓方程式？.

(5) 【畫圖】 1. 我們應該如何畫出橢圓？ (方法一) 可用如下方法：以點 F2 為圓心， 2a 為半徑畫圓 C 取 F1 在圓 C 內設 Q 在圓 C 上取 F1Q 的中點 R 過點 R 作 F1Q 的中垂線過 Q 作直線 F2 Q 兩線的交點 P 滿足到兩定點 F1 , F2 之距離和( PF1 + PF2 = 2a > F1 F2 = 2c )為定值所有動點 P 所組成的軌跡即為橢圓其中定點 F1 , F2 稱為橢圓的焦點。 Q. P. F2. R. F1. Q. P. R. F2. F1. Q. P. R. F2. F1.

(6) (方法二) 如圖以 O 為圓心，半徑 a ，畫圓 C1 則 Q 之坐標為 Q ( a cos θ , a sin θ ) 其中 θ 為 OQ 與 x 軸正向夾角 b 將 Q 點向 x 軸伸縮倍 a 得 P ( a cos θ , b sin θ ) 則所有動點 P 所組成的軌跡即為橢圓 Q. P A'. θ O. A. C1. (方法三) 如圖以 O 為圓心，半徑 a ，畫圓 C1 以 O 為圓心，半徑 b ，畫圓 C2 則 Q 之坐標為 Q ( a cos θ , a sin θ ) 其中 θ 為 OQ 與 x 軸正向夾角將 Q 點向 x 軸作垂線 L. OQ 與圓 C2 交點為 R 得 R (b cos θ , b sin θ ) 由 R 向 L 坐垂線，交點為 P 則所有動點 P 所組成的軌跡即為橢圓 Q. R A'. P A. O. C2 L. C1.

(7)