範圍：直線方程式

(1)

第一回 ^(第一冊)

範圍：直線方程式

１．距離公式

若 A(x¹,y¹) ， B(x²,y²), AB= (x1 −x2)² +(y₁ −y₂)²

２．斜率公式

(1)斜角為a ⇒m = tana

(2)兩點座標為 A(x¹,y¹) ， B(x²,y²) ⇒ m =

2 1

x x

y y

−

(3)直線方程式為 ax+by+c = 0⇒m=

b

−a

３．直線方程式

(1)點斜式：y

−

y₁

=

m(x

−

x₁)

(2)兩點式： ( ₁)

2 1

1 x x

x x

y y y

y

−

= −

−

(3)斜截式：y=mx+b

(4)截距式： + =1 b y a x

４．直線平行、垂直與重合

直線L₁:a₁x

+

b₁y

+

c₁

=

0 ,L₂ :a₂x

+

b₂y

+

c₂

=

0

(1) L₁// L₂，則m_L₁

=

m_L₂ ，

2 1 2 1 2 1

c c b b a

a

= ≠

(2) L₁

⊥

L₂，則m_L₁

×

m_L₂

= −

1，a₁a₂

+

b₁b₂

=

0

◎重點整理◎

(2)

(3) L₁

=

L₂，則m_L₁

=

m_L₂ ，

2 1 2 1 2 1

c c b b a

a

= =

５．點與直線的關係

( )

¹ ^點P⁽x0^,y0⁾到直線

L : ax + by + c = 0

的距離

2 2

0 0

b a

c by d ax

+ +

= +

６．兩平行線ax

+

by

+

c₁

=

0與ax

+

by

+

c₂

=

0間的距離

2 2

2 1

b a

d +

= c −c

範圍:三角函數(一)

1. 有向角的度量換算

) 180(

1⁰ = π 弧度 1(弧度)=

π 1800

2. 扇形弧長 S=r．



扇形面積 A=

2

1 r²



=

2

1 r．S 3. 三角函數定義

sin



=

斜邊

對邊 csc



= =



sin

1

對邊斜邊

cos



=

斜邊

鄰邊 sec



= =



cos

1

鄰邊斜邊

tan



=



cos sin =

鄰邊

對邊 cot



= = =



tan

1 cos

sin

鄰邊對邊

4. 三角函數之正負符號

函數 sin



tan



cos



C B

A ^

(3)

5. 特殊角之函數值

00 30⁰ 45⁰ 60⁰ 90⁰ 180⁰ 270⁰

sin



0

2 1

2 2

2

3 1 0 -1

cos



1

2 3

2 2

2

1 0 -1 0

tan



0

3

1 1 ³ 無 0 無

cot



無 ³ 1

3

1 0 無 0

csc



無 2 ²

3

2 1 無 -1

sec



1

3

2 2

2 無 -1 無

6. 恆等式

平方和關係（1）sin²θ+cos²θ=1

（2）tan²θ+1=sec²θ

（3）1+cot²θ=csc²θ 象限 csc



cot



sec



Ⅰ ＋＋＋

Ⅱ ＋－－

Ⅲ －＋－

Ⅳ －－＋

(4)

倒數關係（1）sinθ•cscθ=1

（2）cosθ•secθ=1

（3）tanθ•cotθ=1 商數關係（1）tanθ=

θ θ cos sin

（2）cotθ=

θ θ sin cos

範圍:三角函數(二)

1.椱角公式

（1）sin（α

±

β）=sinαcosβ

±

^cosαsinβ

（2）cos（α

±

β）=cosαcosβsinαsinβ

（3）tan（α

±

^β）=

β α

tan tan 1

tan tan



±

2.倍角公式

（1）sin2θ=2sinθcosθ

（2）cos2θ=cos²θ－sin²



=2cos²θ－1=1－2sin²



（3）sin3θ=3sinθ－4sin³



（4）cos3θ=4cos³



－3cosθ 3.半角公式

(5)

（1）sin

2



=

2 cos -

1



±

（2）cos

2



=

2 cos 1

+ 

±

4.y=a˙cosx＋b˙sinx＋c

（1）y 極大值 Max y= a²

+

b² ＋c

（2）y 極小值 Min y=－ a²

+

b² ＋c

範圍：三角形的解法

1. 正弦定理：

sinC 2R c sinB

b sinA

a = = = ⇒a：b：c＝sinA：sinB：sinC

2. 餘弦定理：

a²＝b²＋c²－2bc．cosA b²＝c²＋a²－2ca．cosB c²＝a²＋b²－2ab．CosC 3. 餘弦推廣：

cosA＝

2bc a - c b² + ² ²

cosB＝

2ca b - a c² + ² ²

cosC＝

2ab c - b a² + ² ²

4. 三角形面積公式：R 代表外接圓半徑 r 代表內切圓半徑

(6)

s＝ 2 c b a+ +

∆＝

2

1ab．sinC＝

2

1bc．sinA＝

2

1ca．sinB

＝ ^s

( )( )( )

^s^-^a ^s^-^b ^s^-^c ^{（海龍定理）}

＝ 4R c b a⋅ ⋅

＝rs

範圍：向量

1. 相異兩點^A(x1^,^y1^),^B(x2^,^y2⁾

(1) AB

=＜x₂－x₁,y₂－y₁＞ (2) |AB

|= (x₁-x₂)² +(y₁-y₂)²

(3) tan

1 2

x - x

y -

=

y



2. A

=＜a^1， a²＞，B

= ＜b^1, b²＞ (1) A

±B

=＜a1±b

1，a

2±b

2 ＞

(2) A

‧B

= a1b

1＋a

2b

2=A

‧ B

‧cosθ (3) A

=B

⇔ a

1＝b

1, a

2＝b

2

(4) A

//B

⇔ a

1b²－a

2b¹=0 (5) A

⊥B

⇔ A

‧B

=0⇔ a

1b

1＋a

2b

2=0

3.單位向量：已知

 i

=＜1，0＞，

 j

=＜0，1＞及A

=＜x,y＞

(7)

則(1) A

= x i

＋y

 j

=＜r cosθ，r sinθ＞

其中 x

n y ta , y x

r= ² + ²



=



, y rsin cos

r

x= =

(2) A

上的單位向量為

u 

A^

=＜ 2 2

y x

x

+ ，

2

2 y

x y

+ ＞

(8)

單選題 (60 題)

( ) 1. 下列何者錯誤？ (A)sin 2 之週期為 (B) cos3 之週期為2 3 (C) 1

tan4之週期為 4 (D) 1

cos3 之週期為 3 (E) 1

sin2之週期為 4 。

( ) 2. 直角△ ABC 中∠ = °C 90 ，且 4

sinA=5，則 (A) 4

cosA=5 (B) 4 cosB=5

(C) 3

tanA=4 (D) 4

secB=5 (E) 5 cotB=4。

( ) 3. 直線y= −1 3x的斜率為 (A)1 (B)1

3 (C) 3− (D)3 (E)不存在。

( ) 4. 兩直線L1: 7x+ − =y 1 0與L₂: 3x+4y− =5 0的交角為 (A)0 (B) 60°、120°

(C)90° (D) 45°、135° (E)30°、150°。

( ) 5. a ，b ， c 分別為△ ABC 的對邊，a=2，b=3，∠ = °C 60 ，則△ ABC 的 面積為 (A)42 (B)21 (C)3 3

2 (D) 42 3 (E)13 3 。

( ) 6. 三角形的三邊長比為3:5 : 7 ，則其最大內角為 (A) 60° (B)90° (C)120°

(D)135° (E)150°。

( ) 7. ABCD 為平行四邊形，如右圖，EF//BC ，GH//AB ，下列何者為真？

(A)EB FC

  

+ = 0 (B) DF EB DB

  

+ = _(C)

0 AB EO FD+ + =

   

(D)OH OG

  

+ = 0 (E) AE FC AB

  

+ =

。

( ) 8. 已知



^a ⁼

( )

^4,5 _，

₍ ₎

5,3 b = −



_{，則 a b}

 

_⋅ _{= (A)}

₍ ₎

20,15

− (B) 5− (C)

(

⁻^{9, 2}

)

(D) 7− (E)5。

( ) 9. 下列何者為第三象限角？ (A)539° (B)800° (C)950° (D)1000°

(E)1170°。

( )10. 設^A

(

^{1, 5}⁻

)

^，^B

(

^{4, 9}⁻

)

^，^C

( )

^{5, 0} ^{，若 AB CD}

 

⁼ _{，則 D 點坐標為} _(A)

₍ ₎

2, 1− (B)

(

^{8, 4}⁻

)

^(C)

(

⁻^{8, 4}

)

^(D)

(

⁻^2,1

)

^(E)

( )

^{1, 4 。}

綜合評量

(9)

( )11. 3 與 2 均為銳角，且 sin 3 =cos 2 ，則 = (A)90° (B) 45° (C)30°

(D)18° (E)10°。

( )12. 直線3x+2y− =5 0的斜率為 (A) 3

−2 (B) 2

−3 (C)3 (D) 2− (E)3 2。

( )13. 通過^A

(

^3,⁻⁴

)

^、^B

( )

^{3, 7} ^{兩點的直線方程式為} ^(A)^x⁼³ ^(B)^y⁼¹¹

(C)x+ + =y 1 0 (C) 3x− − =y 2 0 (D) x y= 。

( )14. sin110 cos 20° ° −cos110 sin 20° ° = (A)0 (B) sin130° (C)1 (D) cos130°

(E) 1− 。

( )15. ^{f x}

( )

⁼^3sin^x⁻2 的最大值為 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 (E) 2− 。 ( )16. 平行於x− + =y 3 0且經過點

(

^{− −}^4, ⁴

)

^{的直線方程式為} ^{(A) x y}⁼

(B)x+ =y 0 (C)x− + =y 4 0 (D)y− + =x 3 0 (E)y+ − =x 4 0。

( )17. 設^A

(

^5,⁻⁴

)

^、^{B k}

(

^,⁻⁶

)

，若直線 AB 的斜率為2，則 k = (A)1 (B)0 (C) 3− (D)2 (E)4。

( )18. 設兩直線為3x−4y− =10 0與 3x−4y+ =5 0，則此兩平行線間的距離為 (A)5 (B)15 (C)0 (D)15

25 (E)3。

( )19. 設^A

(

^{1, 5}⁻

)

^，^B

(

^{4, 9}⁻

)

^，^C

( )

^{5, 0} ^{，若 AB CD}

 

⁼ _{，則 AB}



₌ (A)1 (B)2 (C) 5 (D) 13 (E)5。

( )20. 為銳角，且 5

cos =13，則 (A) 4

sin =5 (B) 13

tan = 5 (C) 5 cot =12 (D) 12

sec=13 (E) 3 sin=5。

( )21. 下列何者為170°之同界角？ (A) 170− ° (B) 390° (C) 190− ° (D)50°

(E) 50− °。

( )22. 點^P

( )

^{2, 3} ^{至直線 : 2}^L ^x⁻³^y^{+ =}⁶ ⁰^的距離為 ^(A) ¹³

13 (B)2 13

13 (C)3 13 13

(10)

(D) 1

13 (E)6。

( )23. 過^A

(

⁻^{1, 5}

)

^、^B

( )

^{4, 7} ^{之直線斜率為} (A)0 (B)不存在 (C)2

5 (D) 5

−2 (E)5

2。

( )24. 兩直線3x+ + =y 8 0與 2x− + =y 1 0之交角為 (A)30°與150° (B)90°

(C) 60°與120° (D) 45°與135° (E) 0°。

( )25. 若



^a ⁼

(

^{2, 1}⁻

)

_，

_{( )}

3,6 b =



_{，則 a}



_{與 b}



_之夾角為 _(A)30° _{(B) 60°} _{(C) 45°}

(D)90° (E)120°。

( )26. 設^A

(

⁻^1,5

)

^，^B

(

^{4, 9}⁻

)

^，^C

( )

^{5, 0} ，若 ABCD 為平行四邊形，則 D 點坐標為 (A)

(

⁻^{8, 4}

)

^(B)

(

^{8, 4}⁻

)

^(C)

(

^{1, 2}⁻

)

^(D)

( )

^{2, 4} ^(E)

( )

^{3,5 。}

( )27. cos 30² ° +sin 45² ° −tan 60² ° = (A) 7

−4 (B)3

2 (C) 3

−4 (D) 5

−6 (E)0。

( )28. 設



^a ⁼

( )

^{5, 4} _，

₍ ₎

1, b = − k



_{，若 a}

⊥ b

 

，則 k 值為 (A)4

5 (B)5

4 (C) 4

−5 (D) 5

−4 (E)5。

( )29. ^{A a}

(

⁻^{1, 3}

)

^、^B

(

^{1, 2}^a⁻¹

)

，若直線 AB 的斜角為 4

 ，則 a= (A) 3− (B)3

(C) 2− (D)2 (E)4。

( )30. 3

sin =4且 tan <0，則下列何者正確？ (A) 1

cos =4 (B) 1 tan= −3 (C) tan = −3 (D) 7

cos = 4 (E) 7

cos = − 4 。

( )31. 一圓的半徑為 10 公分，圓心角 75°所對的扇形面積為 (A)25

6 (B)3750

(11)

(C)25

12 (D)750 (E)125

6  平方公分。

( )32. 設



^a ⁼

(

^{2, 3}⁻

)

_，

₍ ₎

4, b = − k



_，若

//

a b

 

，則 k 值為 (A)32

3 (B) 6− (C) 6 (D) 3

32 (E)5。

( )33. ²3 ² ²7 ²

sin cos 3 tan sec 5

2 + + 4 +  = (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4。

( )34. 設直線x+2y− =7 0，則下列何者不正確？ (A)斜率 1

m= −2 (B)直線過點

( )

^{1, 3} (C) x 截距為 7 (D) y 截距為3

7 (E)直線不經過第三象限。

( )35. 3000°之最小正同界角為 (A) 40° (B)120° (C) 200° (D)360°

(E) 3000°。

( )36. 直線^y^{+ =}³ ^{k x}

(

⁺⁴

)

^與直線 ²

x=3垂直，則 k 之值為 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E) 3− 。

( )37. 若 a



_{與 b}



_{的夾角為120°}_，

3 a =



_，

6 b =



_{，則 a b}

 

_⋅ = (A)18 (B) 18− (C)9 (D) 9− (E) 6 3 。

( )38. 設 為銳角，若 tan = 2，試求 3 sin+ 6 cos =？ (A) 2 (B) 3 (C) 2 2 (D) 2 3 。

( )39. 有一隻螞蟻在平行四邊形 ABCD 的平面上從 A 點出發，行走至C 點覓食，

若∠ABC=150°，AB=16，BC= −15 8 3，則螞蟻由 A 點行走至 C 點之最短距離為何？ (A)16 (B)17 (C)18 (D)19。

( )40. 周長為 36 且三邊長均為正整數之所有三角形中，邊長的最大值為何？

(A)21 (B)18 (C)17 (D)15。

( )41. 設 a



，



b

，



c

為平面上之三個向量且



a =(cos 30 ,sin 30 )° ° _， (cos150 ,sin150 )

b = ° °



_，

(cos 270 ,sin 270 )

c = ° °



_{，試求 a}

  

₊ _b ₊ _c ₌

？

(12)

(A) (1,0) (B) (0,1) (C) (1,1) (D) (0,0) 。

( )42. 試問在坐標平面上原點至點

(

sin15 ,sin 75° °

)

的距離為何？ (A)1

2 (B) 2 2 ( )43. 下列關係何者正確？ (A) sec 47° >tan 47° >sin 47°

(B) tan 47° >sec 47° >sin 47° (C) sec 47° >sin 47° >tan 47° (D) tan 47° >sin 47° >sec 47°。

( )44. 設 x=4 與 3x–4y=0 兩直線所夾的銳角為θ，則 sinθ= (A)1 5 ^(B)

2 5 ^(C)

3 5

(D)4 5^。

( )45. 有一繩子的長度是 24 公分，若圍成三角形的面積為 a 平方公分，圍成正方 形的面積為 b 平方公分；圍成正六邊形的面積為 c 平方公分，則下列何者正 確？ (A) a b c< < (B) a c b< < (C) c a b< < (D) c b a< < 。

( )46. 設 L：6x+8y–3=0 為平面上一直線，則下列方程式中何者與 L 平行，且與 L 之距離為5

2^？ (A)3x+4y–28=0 (B)3x+4y+11=0 (C)6x+8y–19=0 (D)6x+8y+19=0。

( )47. 設 a、b、c 均為實數且 :L ax−by+ =c 0為坐標平面上之一直線，若L 的斜 角為6

 ，則a：b＝ (A)1： 2 (B) 2：1 (C)1： 3 (D) 3：1。

( )48. 若二直線 y=3x+2 與 y=ax+3 互相垂直，則 a=？ (A) –3 (B) –1 3 ^(C)

1 3 (D)3。

( )49. 下列各等式何者恆為正確？ (A)cos(x–y)=cos(y–x) (B)cos0=0 (C)sin2x=2sinx (D)tan(x+y)=tanx+tany。

( )50. 已知△ABC 中，AB=4，AC=5，BC=6，則 sinA= (A) – 63

8 ^{(B) –} 7 8 ^(C)

7 8

(D) 63

8 ^。

( )51. 若直線 L：ax+by+c=0 的圖形如圖(一)，則點 P(ac , ab)在第幾象限？ (A)一

(13)

(B)二 (C)三 (D)四。

圖(一)

( )52. 設



a 與



b

為兩向量，



a

= (x, y)，x、y 為實數，且



a

= 13，



b

=(3, –2)，

則



a 與



b

之內積的最大值為何？ (A) 13 _(B) 65 (C)13 (D)65。

( )53. 已知 tan22°=k，則 sin2002°=？ (A)

2

1 1

k + ^(B) ² 1

1 k

−

+ ^(C) ² 1 k k + (D) 2

1 k k

− + ^。

( )54. 已知平面上三點 A(1,3)、B(3,k)、C(5,1)，若向量AB



與AC



垂直，則k=？ (A)1 (B)3 (C)5 (D)7。

( )55. 試問 sin310°與下列哪一個三角函數值相等？ (A)cos40° (B)sin50°

(C)sin130° (D)cos220°。

( )56. 設 a



_{與 b}



為平面上的兩個向量，若 a



_{= b}



_{=2 且 a}



_{． b}



_{=2，則 a}



_{與 b}



的夾角為何？ (A)15° (B)30° (C)45° (D)60°。

( )57. 設 a



_{與 b}



為平面上的兩個向量，若 a



_{=2、 b}



_{=3 且 a}



_{． b}



_=3，則

3

 

a −2 b =？ (A)3 (B)6 (C)9 (D)12。

( )58. 設 a



_{與 b}



為平面上的兩個向量，已知



a =1_， 3 b =



_{，且 3}

2 3

a − b =

 

_，

求 a b

 

⋅ =

？ (A)0 (B)1 (C)2 (D)3。

(14)

( )59. 設 a



_{， b}



_{， c}



為平面上的三個向量且「⋅」表向量的內積，若

3 9

a ⋅ b − c =

  

_且

6 a ⋅ b =

 

_{，則 a}

⋅ c =

 

_？ (A)6 (B)7 (C)8 (D)9。

( )60. 設 u



_{， v}



為平面上的兩個單位向量，若其內積為1

2，則 u



_{與 v}



_的夾角

為何？ (A)30° (B) 45° (C) 60° (D)90°。

解答

1 D 2 B 3 C 4 D 5 C

6 C 7 E 8 B 9 C 10 B

11 D 12 A 13 A 14 C 15 C

16 A 17 E 18 E 19 E 20 C

21 C 22 A 23 C 24 D 25 D

26 D 27 A 28 B 29 D 30 E

31 E 32 C 33 E 34 D 35 B

36 A 37 D 38 C 39 B 40 C

41 D 42 D 43 A 44 D 45 A

46 B 47 C 48 B 49 A 50 D

51 D 52 C 53 D 54 D 55 D

56 D 57 B 58 D 59 D 60 C

範圍：直線方程式

第一回 (第一冊)