2-2-5三角函數的基本概念-正弦定理與餘弦定理

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(1)第二冊 2-5 三角函數的基本概念-正弦定理與餘弦定理【定理】三角形的面積：在 ∆ABC 中，以 a, b, c 分別表示 ∠A, ∠B, ∠C 的對邊長，以 S 表示 ∆ABC 的面積， 1 1 1 則 S = ab sin C = bc sin A = ca sin B 。 2 2 2 註：高中階段你會學到的求三角形的面積公式有： ∆ABC 的面積 1 = × (底) × (高) 2 1 1 1 = ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 2 2 a+b+c = s ( s − a)(s − b)(s − c) (其中 s = 為周長之半，此稱為海龍公式) 2 4R (其中 R 為外接圓半徑) = abc = rs (其中 r 為內切圓半徑) 1 = | AB |2 × | AC |2 −( AB ⋅ AC ) 2 2 1 = | AB × AC | 2 x1 y1 1 1 = | x2 y2 1 | 2 x3 y3 1. 1 x1 x2 | 2 y1 y2 【定理】正弦定理： =. x3. x1. y3. y1. |. 設 a, b, c 分別表示 ∆ABC 中 ∠A, ∠B, ∠C 的對邊長，則. a b c = = = 2R sin A sin B sin C. 其中 R 表示 ∆ABC 的外接圓的半徑。註： 1. 正弦定理即邊長比等於對角的正弦比。( a : b : c = sin A : sin B : sicC ) 2. 正弦定理可說是三角形大邊對大角的性質。【問題】在 ∆ABC 中的三個角度 ∠A, ∠B, ∠C 與三個邊長 a, b, c 共計六個條件中，給定哪幾個條件後可以決定唯一一個三角形？【定理】餘弦定理：設 a, b, c 分別表示 ∆ABC 中 ∠A, ∠B, ∠C 的對邊長，則 a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C 24.

(2) 【問題】 1. 一個三角形為直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的條件分別為何？ 2. 試證明投影定理： a = b cos C + c cos B b = c cos A + a cos C c = a cos B + b cos A 3. 試證明海龍公式： ∆ABC 的面積 = s ( s − a)(s − b)(s − c) 。註：圓內接四邊形 ABCD 的面積 = ( s − a)(s − b)(s − c)(s − d ) 。 a+b+c+d (s = ) 2 4. 試證明平行四邊形定理：平行四邊形中兩對角線平方和等於四邊平方和。 a. b b. a. 5. 在 ∆ABC 中，以 a, b, c 分別表示 ∠A, ∠B, ∠C 的對邊長，試證明三角形連 A 至. 2b 2 + 2c 2 − a 2 。 2. BC 邊的中點 D 所得的中線長 AD = A. c. B. b. a. D. C. 6. 試用三角形三邊長表示出內角平分線長？外角平分線長？ A. c. A. A. 2. 2. b. a. B. C. 7. 若給定 b, c, ∠B ，可否作出三角形？ A. c. B. b. C. 25.

(3) ⎧b < c sin B ⇒ 無解 ⎪b = c sin B ⇒ 恰一解 ⎪ (1)若 ∠B 為銳角， ⎨ ⎪c sin B < b < c ⇒ 兩解 ⎪⎩c ≤ b ⇒ 恰一解 ⎧b ≤ c ⇒ 無解 (2)若 ∠B 為鈍角或直角， ⎨ ⎩b > c ⇒ 恰一解 1 8. 若給定四邊形 ABCD ，試證明四邊形面積為 × AC × BD × sin θ ，其中 θ 為四 2 邊形兩對角線夾角。. 26.

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