4-2-4排列組合-二項式定理

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(1)第四冊 2-4 排列組合-二項式定理【觀察】首先觀察 ( x + y ) n 的展開式中的各種規律：二項式. 展開項. + xx + xy + yx + yy. + xx + 2 xy + yy. + xxx + xxy + xyx + yxx + yyx + yxy + xyy. + xxx + 3xxy + 3 yyx. + yyy. + yyy. ( x + y) 2. ( x + y) 3. + xxxx. ( x + y). 4. 同類項合併. + xxxy + xxyx + xyxx + yxxx + ( xxyy + xyxy + yxxy + xyyx + yxyx + yyxx) + yyyx + yyxy + yxyy + xyyy + yyyy. 不同類項個數. H 22. H 32. + xxxx + 4 xxxy + 6 xxyy + 4 yyyx + yyyy. H 42. 係數表示法. 2! = C 22 2!0! 2! = C12 1!1! 2! = C 02 0!2! 3! = C 33 3!0! 3! = C 23 2!1! 3! = C13 1!2! 3! = C 03 0!3! 4! = C 44 4!0! 4! = C 34 3!1! 4! = C 24 2!2! 4! = C14 1!3! 4! = C 04 0!4!. 係數和. 22. 23. 24. 【性質】設 n 為正整數，則 ( x + y ) n 的展開式中： 1. 是每一個括弧中選出一項後再相乘。 2. 共有 2 n 項，也就是係數和。 3. 共有 ( n + 1) 種不同的項。 4.. x n − k y k 的係數為 n − k 個 x 與 k 個 y 排列而成，即. n! = C kn ，稱為二項 k!(n − k )!. 式係數。 5. 未合併同類項前共有 2 n 項。 6. 合併同類項後共有 H n2 = n + 1 項。 7. ∑ 的表示法不唯一。 8. 展開時注意正負號的問題。第四冊第二章. 排列、組合 — P13.

(2) 【定理】 1. 二項式定理：設 n 為正整數，則 n. n n−k k ( x + y ) n = C 0n x n y 0 + C1n x n −1 y 1 + L + C kn x n − k y k + L + C 0n x n − n y n = ∑ C k x y 。 k =0. 可用升冪或降冪排列，一般用對於 x 的降冪來排列。證明：利用數學歸納法 (1) 當 n = 1 時， ( x + y ) = x + y ，故原式成立。 k. k i k i (2) 設 n = k 時，原式成立，即 ( x + y ) k = ∑ C i x y − i =0. 則 n = k + 1 時， ( x + y ) k +1 = ( x + y ) k ( x + y ) = (C 0k x k y 0 + C1k x k −1 y 1 + L + C 0k x k − k y k )( x + y ) = (C 0k x k y 0 + (C1k + C 0k ) x k y 1 + L + (C ik + C ik−1 ) x k +1−i y i + L + (C kk + C kk−1 ) x 1 y k + C kk y k +1 ). (利用 C kk = C kk++11 及巴斯卡原理 Cik + Cik−1 = Cik +1 ) = (C 0k +1 x k +1 y 0 + C1k +1 x k +1−1 y 1 + L + C 0k +1 x 0 y k +1 ) 故當 n = k + 1 時，原式也成立。 n. 由數學歸納法可知 ( x + y ) n = ∑ C kn x n − k y k ，對於任意正整數 n 都成立。 k =0. 註：此公式可以用於估計的問題中。 10. k k 例如： (0.99)10 = (1 − 0.01)10 = ∑ C k10 x 10 − y ，展開後取近似值即可。 k =0. 2. 巴斯卡三角形(楊輝三角形)：將 ( x + y ) n 展開式的係數由 n = 0,1,2, L ，逐一列出呈三角形狀如下： 1 C00 1 1 C11 C 01 1 2 1 C 22 C12 C 02 1 3 3 1 C33 C23 C13 C03 1 4 6 4 1 C 44 C 34 C 34 C14 C 04 1 5 10 10 5 1 3. 多項式定理： n! n n n n x1 1 x2 2 L xk k 。 ∑ 設 n 為正整數，則 ( x1 + x2 + L + xk ) = ! ! ! n n n L n1 + n2 +L+ nk = n 1 2 k ni ≥ 0,i =1, 2 ,L,k. 第四冊第二章. 排列、組合 — P14.

(3) 【公式】常用組合公式如下： 1. C 0n + C1n + C 2n + L + C nn = 2 n 。 2.. C 0n + C 2n + C 4n + L = C1n + C 3n + C 5n + L 。. 3.. ∑r. n. k =0. k. C kn =(1 + r ) n 。. 【問題】 1. 試求 (2 x − 3 y )18 的展開式中， x 5 y 13 的係數為何？ 2. 試求 ( x + y + z + w)10 的展開式中， x 2 y 2 z 3 w 3 的係數為何？ 3. 試證單調性： (1) 當 n 為偶數時，有 C0n < C1n < L < C nn 且 C nn > L > Cnn−1 > Cnn 。 2. (2) 當 n 為奇數時，有 C < C < L < C n 0. n 1. n n −1 2. 2. = C nn+1 ， 2. 且 C nn−1 = C nn+1 > L > Cnn−1 > Cnn 。 2. 4.. 5.. 2. 試證巴斯卡原理： C rn = C rn −1 + C rn−−11 。 (註：可配合最短路徑問題說明) n C kn 3 n 試證： ∑ n =( ) 2 k =0 2 n. 6.. 試證： ∑ (−1) k C kn = 0 。 k =0 n. 7.. n 試證： ∑ kC k = n × 2 n −1 。 k =0 n. 8.. 1 1 (2 n +1 − 1) 。 C kn = + + k n 1 1 k =0. 試證： ∑ n. 9.. 試證： ∑ (−1) k =0 n. k −1. kC kn = 0 。. r r +1 10. 試證： ∑ C k = C k +1 。 r =0 n. 11. 試證： ∑ (C kn ) 2 = C n2 n 。 k =0. r. m n m+n 12. 試證 Vandermonde 恆等式： ∑ C i C r −i = C r 。 i =0. 13. 試證： C mm + n +1` = C mm + n + C mm−+1n −1 + L + C 0n 。. 第四冊第二章. 排列、組合 — P15.

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