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Academic year: 2022

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(1)

課程名稱:路程與位移 課程名稱:路程與位移

編授教師:

中興國中 楊秉鈞

(2)

 位置的描述

(3)

位置的描述

 位置的描述:

( 1 )位置描述原則:

 先選 (任選)

 標示相對於參考點的 與 。 參考點

距離 方向

 我的車子停在火車站的西方 80 m 處

主體 參考點 距離方向

 有路人向曉華問路:「請問中興國中在哪裡?」

曉華用手指向一棟白色大樓,

並向路人說:「那棟白色大樓就是了」

主體

主體 參考點

距離方向

(4)

A 座標為: ,表示距離原點 向 公分處 B 座標為: ,表示距離原點 向 公分處 C 座標為: ,表示距離原點 向 公分 處

 若改以 A 點為原點時:

B 座標為: ; C 座標為: 。

 位置的描述: 直線座標

( 2 )以「座標」描述位置的方法:

 直線座標:用來描述 上的物體,座標表示為 P

( X )。

 原點:參考點

 右方座標為 ,左方座標為 。 直線

正值(正向) 負值(負向)

+ 2 cm 正 2

+ 3 cm 正 3

- 2 cm 負 2

+ 1 cm - 4 cm

( 媒體: 1

(5)

 路程與位移

(6)

甲 乙

路程與位移

 路程與位移:

( 1 )意義區分:

 路程:物體運動的路徑長(非向量)

 位移:物體位置移動的直線距離與方向(向量)

( 2 )基本表示法:

 路程:運動的路徑長度=路程  位移:由起點向終點作箭矢

 位移的大小= 。  位移的方向= 。  說明:物體由甲沿黑粗線走至乙時:

甲 乙

位移

路程 箭矢長度

箭矢方向

路程

位移

(7)

路程與位移

( 3 )直線座標表示法:

 路程:實際路徑長,恆正值。

 位移: 位移大小:以終點座標減起點座標表示,可能負值。

 位移方向:以位移的正、負值表示運動方向 ( a )位移> 0 :表示朝 向運動 ( b )位移< 0 :表示朝 向運動

( c )位移= 0 : 。

運動路徑 路程 位移

甲→

乙→

甲→

起、終點位置不變 正

> 0

< 0

= 0

( 媒體: 1 2

A

B X

X

A

B X

X

) (

2 XBXA

A

B X

X

B

A X

X  起點座標 終點座標

X X2 X1

A

A X

X

0 XA XB 0 XA XB

0 XA XB

(8)

範例解說

1. 由 A 點順時針繞著半徑為 5 公尺的圓形水池走四分之三圈,則:

位移 公尺,方向 和路徑長 公尺。

1

1 5

5 23.55

m m

r L

55 . 23 5

. 7

2 5 3 4

2 3

A

2 45

45

45

45

2

m

5

X 5 2

2 5

5 5

2 5

(9)

2. 甲從 CA ,路徑長= cm ;位移= cm 。  乙從 BO ,路徑長= cm ;位移= cm 。

 丙從 OBC ,路徑長= cm ;位移= cm 。  丁從 BOB ,路徑長= cm ;位移= cm 。  戊從 CAO ,路徑長= cm ;位移= cm 。

範例解說

物若沿同一方向作直線運動而不折返  位移的大小=路徑長

4 4

3 -3

8 -2

6 0

6 2

  cm L cm

X X

X 2 2 4 2 2 4

) 1

( 2 1

cm L

cm X

X

X 0 3 3 3

) 2

( 2 1

cm L

cm X

X

X 2 0 2 3 3 2 8

) 3

( 2 1 cm

L X

X

X 3 3 0 3 3 6

) 4

( 2 1

  cm L cm

X X

X 0 2 2 2 2 2 6

) 5

( 2 1

(10)

範例解說

3. 甲、乙、丙、丁四人靜立於操場,乙在甲的西方 4 公尺處,丙在乙 的北方 6 公尺處,丁在丙的東方 10 公尺處,則:

 作出四人的位置簡圖?(並標示距離)

 丁約在甲的哪個方向? 方;二人相距 公尺。

 甲約在丙的哪個方向? 方;二人相距 公尺。

東北

近東南

 甲 乙

 丙

丁

4 6

10

6

6 2 6

2 6

13 2

52 16

36

13 2

13 2

4

(11)

 位置對時間圖

x -

t

(12)

 位置對時間圖  習慣以位置當 ,時間當 。

( 1 )物體靜止時:圖形呈 。

 說明例:一物體的位置與時間關係如下表

位置

時間 0 1 2 3 4 5

t

X t

X

位移= 5 - 5 = 0

路徑長= 0  

靜止時的 X-t 圖特徵

Y 軸

X 軸

水平線

5 5 5 5 5 5

(13)

 位置對時間圖

( 1 )物體靜止時:圖形呈 。

 靜止的 X-t 圖類型:位移與路徑長都是 。

靜止時的 X-t 圖

物體靜止於

正向某位置時 物體靜止於

原點時 物體靜止於

負向某位置時 0

水平線

X

t

X

t

X

t

(14)

 等速運動的位置對時間圖:

( 2 )物體等速運動時( X 隨 t 規律變化) 呈 。  說明例: 一物體的位置與時間關係如下表

位置 -1 0 1 2 3 4

時間 0 1 2 3 4 5

X

t

 位移= 4 -( -1 )= 5 m 路徑長= 1+4 = 5 m  

4 

-1

 每 1 秒走 1 公尺(等速運動);速率 1m/s

軌跡

等速運動的 X-t 圖特徵

斜直線

1

1 1 1 1 1

1 1 1 1

(15)

等速運動的 X-t 圖

 等速的 X-t 圖類型:向右斜,位移為 ;向左斜,位移為 。

位移 > 0 朝正向運動

出發點在正向位置

位移 > 0 朝正向運動 出發點在原點

位移 > 0 朝正向運動

出發點在負向位置

位移 < 0 朝負向運動

出發點在正向位置

位移 < 0 朝負向運動 出發點在原點

位移 < 0 朝負向運動

出發點在負向位置

正 負

( 媒體: 1

+ +

- -

X

t

X

t

X

t

X

t

X

t

X

t

(16)

X

t

變速運動的位置對時間圖:

( 3 )物體變速運動時( X 不隨 t 規律變化)呈 。  說明例:一物體的位置與時間關係如下表

位置 -1 2 3 5 2 0 1 -1

時間 0 1 2 3 4 5 6 7

 位 移 = -1- ( -1 ) = 0 路 徑 長 = 6+5+1+2 = 14m

 圖上若有轉折(位移變號),表 ,有 次折返情形  

軌 跡

變速運動的 X-t 圖特徵

折返 三

3 1 曲線

1 1

折返點(位移方向改變)

( 媒體: 1

-2-10123456

0 1 2 3 4 5 6 7

6 5

1

2

(17)

 不合理的位置對時間圖

( 4 )不合理的位置對時間圖

 同一時間下,物體出現在二個以上位置,則為不合理

畫一時間軸

不合理的 X-t 圖特徵

(18)

X-t 圖的斜率討論

 X-t 圖的斜率討論:

( 1 )向圖形任一點做 ,其斜率可判斷 。 ( 2 )越接近位置軸 X 的切線,其運動速率越 。

 斜率若相同,運動速率相同

切線 運動快慢

 甲乙丙三物體均作等速運動

 速率:丙

 甲乙二物體均作等速運動

 速率:甲

平行 快

(19)

X-t 圖的斜率討論

 X-t 圖的斜率討論:

 此物體為變速運動

 物體運動愈來愈慢

 此物體為變速運動

 物體運動愈來愈快

(20)

 位置對時間圖( X-t 圖)的意義

( 1 )物體 時  呈水平線 ( 2 )物體 運動時  呈斜直線

(同出發點比較時,愈傾斜,愈  若平行,則速率 ) ( 3 )物體 運動時 呈曲線

 圖形上若有 ( 、 ),表示折返  圖形上有 特徵,表示折返

X-t 圖的特徵

靜止 等速

快 相等

變速

位移方向改變時

有 次折返 有 次折返 有 次折返 有 次折返 轉折

+ 位移

0

+ - + - - 0

+ -

0

0 三 一 0

+- -+

( 媒體: 1

X

t

X

t

X

t

X

t

(21)

 位置對時間圖( X-t 圖)的意義

( 4 )不合理的位置對時間圖

 同一時間,不會出現在不同位置

( 5 ) X-t 圖的斜率,表示物體的運動 。 (斜率相同  若平行,則速率 )

 位置對時間圖( X-t 圖)的交點意義

 表對應之時間下,這些物體 。  表這些物體在此 。

(追及,趕上…)

X-t 圖的特徵

位置相同 相遇

速率 相等

距原點遠近:

丁>丙>乙>甲

距原點遠近:

乙>丙>丁

t

(22)

1. 說明以下 A 到 J 物體的 x-t 圖:

 何者屬於靜止?  何為等速? 。  何者為非等速?  何者有折返? 。  何者向正向運動?  何者向負向? 。  何者位移為正?  何者位移為負? 。  何者位移為零?  何者為不合理? 。 2. 承上題,何者的路徑長與其位移的大小相等?

A B C D E

F G H

I

J

範例解說

GJ ADE

BFH I BFH I

AF BDEH

AF BDEH

GIJ C

ADEGJ

一次折返

三次折返 一次折返 一次折返

(23)

範例解說

3. 甲、乙、丙、丁四人駕車於直線道路上向北行駛,右圖是他們在時間 t = 0 ~ 10 s 的位置( x )與時間( t )關係圖。在 t = 10 s 之後,四 人的

運動情形如虛線所示,則: [ 會考類題 ]

 四人何者一直保持向北、且等速行駛? 。  四人何者一直保持向北、但減速行駛? 。  四人何者一直保持向北、但加速行駛? 。  四人何者向南、但減速行駛? 。

乙 丙 甲 丁

愈近 X 軸,愈

位移變號,折返 快

(24)

範例解說

4. 龜兔賽跑,其 X-t 圖如圖:

 不計起點與終點,龜與兔中途相遇 次。

 請根據 X-t 圖,自編一個龜兔賽跑的故事?

 出發點與終點

 各時間區段的運動狀態比較……

(25)

4. 龜兔賽跑,其 X-t 圖如圖:

 故事:

很久很久以前,一隻烏龜和一隻兔子比賽賽跑… ..

起跑後,兔子跑的比烏龜 (快或慢),在跑了 公尺時就 驕傲的停下來睡覺。兔子不知不覺睡了 分鐘,而烏龜仍保持

運動,繼續爬行沒有停止。烏龜約在出發後 分鐘,爬 過

正在睡覺的兔子。

範例解說

愈近位置軸 X 者,

快。

300 20

等速 12.5

20 min 水平線者,靜止。

12.5 min

第 12.5 分鐘,第一次相 遇。

斜直線者,等速。

計) (估

m X 300

(26)

4…. 烏龜約在出發後 分鐘,爬過正在睡覺的兔子… .. 。

第一次相遇時間 範例解說

12.5

12.5 min

24 min 50

1200 m t V

VX  

m X 300

min 5

. 24 12

300

1  

t

V t X

(27)

4. 龜兔賽跑,其 X-t 圖如圖:

 故事:

兔子在出發後 分鐘,由睡夢中醒來,看見烏龜大約超前他 公

尺,嚇的趕緊起身狂追,跑得比剛出發時的速率還 (快或慢)。

在出發後第 分鐘時,兔子追上了烏龜。兔子以為高枕無憂,勝 利

在望,在出發後第 分鐘時、離終點 公尺處又開始呼呼大 睡。

範例解說

25 300

快 31.5

35 200

25 min

愈近位置軸 X 者,

快。

平移

31.5 min 35 min

終點

水平線者,靜止。

m X 600

m X 300

m X 1200

m X 1000

(28)

4…. 在出發後第 (估計)分鐘時,兔子追上了烏龜。 … .. 。

第二次相遇時間 範例解說

31.5

設 t 分鐘後相遇

24 m min V

m X 300

t

X

X

min 5

. 31

) 25 (

70 300

24

t

t t

70 min

10 700

m V

(29)

4. 龜兔賽跑,其 X-t 圖如圖:

 故事:

兔子在睡了 分鐘後被歡呼聲驚醒,看見烏龜恰好抵達終點。

兔子隨即狂奔,為時已晚,結果比烏龜晚了 分鐘到達終點。

勝利者烏龜,花了 分鐘贏得了這總距離 公尺的賽跑,

以成為這寓言故事中的最佳男主角,我們為他鼓鼓掌喔。

範例解說

15

5

50 1200

15 min

水平線者,靜止。

龜 50 min 兔 55 終點 min

全 程

m X 1200

(30)

5. 求下列各情形的路程與位移:

 圖(一),小儀移動路線由 A 點出發,經 B 、 C 、 D 三點回到 A 點:

 圖(二),以東方為正向,今有一個皮球停在水平面上 A 處,輕輕踢它 一腳,使它向東做直線運動,經 5 m 時與牆相碰後又向西做直線運 動,

經 7 m 後停在 B 處:

範例解說

m L  4  5  6  5  20

 0

X L  5  7 12 m

向西

2m X

2 m X  

m

20

(31)

5. 求下列各情形的路程與位移:

 圖(三),若螞蟻沿著邊長 10 公尺的正方體行進,螞蟻沿 A → B → C → D 之路徑運動:

範例解說

m L  10 10 10  30

3 10

) 2 (10

102 2

2

X X

m

10 10 m

m 2 X 10

(32)

5. 求下列各情形的路程與位移:

 圖(四),邊長 50 公尺之正六邊形的道路,小華由 A 沿順時鐘方向 走至 D :

範例解說

正三角形

m

L  503  150 X100m

(33)

5. 求下列各情形的路程與位移:

 圖(五),大明從 A → B → O → C 的過程:

 圖(六),壘包間距為 16.5 m 的正方形,擊球後,由本壘經一壘、

二壘跑到三壘過程中:

範例解說

m L  1 3  2  6

m X

X X

4 2

2

1 2

L  16.53  49.5 m

16.5 m X

4mX

(34)

課程結束

參考文獻

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