課程名稱：路程與位移 課程名稱：路程與位移
編授教師：
中興國中 楊秉鈞
位置的描述
位置的描述
位置的描述：
（ 1 ）位置描述原則：
先選 （任選）
標示相對於參考點的 與 。 參考點
距離 方向
我的車子停在火車站的西方 80 m 處
主體 參考點 距離方向
有路人向曉華問路：「請問中興國中在哪裡？」
曉華用手指向一棟白色大樓，
並向路人說：「那棟白色大樓就是了」
主體
主體 參考點
距離方向
A 座標為： ，表示距離原點 向 公分處 B 座標為： ，表示距離原點 向 公分處 C 座標為： ，表示距離原點 向 公分 處
若改以 A 點為原點時：
B 座標為： ； C 座標為： 。
位置的描述： 直線座標
（ 2 ）以「座標」描述位置的方法：
直線座標：用來描述 上的物體，座標表示為 P
（ X ）。
原點：參考點
右方座標為 ，左方座標為 。 直線
正值（正向） 負值（負向）
＋ 2 cm 正 2
＋ 3 cm 正 3
－ 2 cm 負 2
＋ 1 cm － 4 cm
（ 媒體： 1 ）
位置的描述： 直角座標
（ 2 ）以「座標」描述位置的方法：
直角座標：用來描述 上的物體，座標表示為 P （ X ， Y ）。
原點：參考點
可以方位及距離表示 平面
A
C B
1,3
3,1
1,3
2,2
3,1
2,2
若以 A 為原點， B 位置 ， C 位置 。 若以 B 為原點， A 位置 ， C 位置 。 若以 C 為原點， A 位置 ， B 位置 。
（ 媒體： 1 ）
Y X
位置的描述： 球面座標
（ 2 ）以「座標」描述位置的方法：
球面座標：用來描述 上的物體，以 表 示。
經度：分東經、西經 緯度：分南緯、北緯
球面 經度、緯度
中心位置 北緯 15.6 度 東經 119.1 度
10 月 29 日
●
路程與位移
●
●
甲 乙
路程與位移
路程與位移：
（ 1 ）意義區分：
路程：物體運動的路徑長（非向量）
位移：物體位置移動的直線距離與方向（向量）
（ 2 ）基本表示法：
路程：運動的路徑長度＝路程 位移：由起點向終點作箭矢
位移的大小＝ 。 位移的方向＝ 。 說明：物體由甲沿黑粗線走至乙時：
甲 乙
位移
路程 箭矢長度
箭矢方向
路程
位移
路程與位移
（ 3 ）直線座標表示法：
路程：實際路徑長，恆正值。
位移： 位移大小：以終點座標減起點座標表示，可能負值。
位移方向：以位移的正、負值表示運動方向 （ a ）位移＞ 0 ：表示朝 向運動 （ b ）位移＜ 0 ：表示朝 向運動
（ c ）位移＝ 0 ： 。
運動路徑 路程 位移
甲
→
乙乙
→
甲甲
→
乙→
甲A
B X
X
A
B X
X
) (
2 XB X A
A
B X
X
B
A X
X 起點座標 終點座標
X X2 X1
A
A X
X
0 XA XB 甲 乙
起、終點位置不變 正
負
＞ 0
＜ 0
＝ 0
0 XA XB 甲 乙 0 XA XB
甲 乙
1. 甲從 CA ，路徑長＝ cm ；位移＝ cm 。 乙從 BO ，路徑長＝ cm ；位移＝ cm 。
丙從 OBC ，路徑長＝ cm ；位移＝ cm 。 丁從 BOB ，路徑長＝ cm ；位移＝ cm 。 戊從 CAO ，路徑長＝ cm ；位移＝ cm 。
範例解說
cm L cmX X
X 2 2 4 2 2 4
) 1
( 2 1
cm L
cm X
X
X 0 3 3 3
) 2
( 2 1
物若沿同一方向作直線運動而不折返 位移的大小＝路徑長
4 4
3 -3
cm L
cm X
X
X 2 0 2 3 3 2 8
) 3
( 2 1 cm
L X
X
X 3 3 0 3 3 6
) 4
( 2 1
cm L cmX X
X 0 2 2 2 2 2 6
) 5
( 2 1
8 -2
6 0
6 2
範例解說
2. （ ）附圖的道路是邊長 100 公尺的正六邊形，今甲由 A 沿順時鐘方 向走至 E ，乙由 A 沿逆時鐘方向走至 E ，則二人的位移與路 程是
否相等？ (A) 位移相等，路徑不等 (B) 位移不等，路程相 等
(C) 位移與路程均相等 (D) 位移與路程均不等。
m 3 100
X
m 200
m 400
乙 甲
L L
A
（ 媒體： 1 、 2）
m 3 100
60
30
2
1
3
60
30
100 50 3
L
甲L
乙
120
6
180 )
2 6
( 180
) 2 (
n
內角
n範例解說
3. 由 A 點順時針繞著半徑為 5 公尺的圓形水池走四分之三圈，則：
位移 公尺，方向 和路徑長 公尺。
m m
r L
55 . 23 5
. 7
2 5 3 4
2 3
A
1
2 45
45
1
45
45
5
5
2
m5
X 5 2
2 5
5 5
2 5
23.55
範例解說
4. 甲、乙、丙、丁四人靜立於操場，乙在甲的西方 4 公尺處，丙在乙 的北方 6 公尺處，丁在丙的東方 10 公尺處，則：
作出四人的位置簡圖？（並標示距離）
丁約在甲的哪個方向？ 方；二人相距 公尺。
甲約在丙的哪個方向？ 方；二人相距 公尺。
東北
近東南
甲 乙
丙
丁
4 6
10
6
6 2 6
2 6
13 2
52 16
36
13 2
13 2
4
位置對時間圖
x －
t
位置對時間圖 習慣以位置當 ，時間當 。
（ 1 ）物體靜止時：圖形呈 。 說明例：一物體的位置與時間關係如下表
位置
時間 0 1 2 3 4 5
t
X t
X
位移＝ 5 － 5 ＝ 0
路徑長＝ 0
靜止時的 X-t 圖特徵
Y 軸
X 軸
水平線
5 5 5 5 5 5
● ● ● ● ● ●
位置對時間圖
：（ 1 ）物體靜止時：圖形呈 。
靜止的 X-t 圖類型：位移與路徑長都是 。
靜止時的 X-t 圖
物體靜止於
正向某位置時 物體靜止於
原點時 物體靜止於
負向某位置時
X
t
X
t
X
t
0 水平線
等速運動的位置對時間圖：
（ 2 ）物體等速運動時（ X 隨 t 規律變化） 呈 。 說明例： 一物體的位置與時間關係如下表
位置 -1 0 1 2 3 4
時間 0 1 2 3 4 5
X
t
位移＝ 4 －（ -1 ）＝ 5 m 路徑長＝ 1+4 ＝ 5 m
4
-1
每 1 秒走 1 公尺（等速運動）；速率 1m/s
軌跡
等速運動的 X-t 圖特徵
斜直線
1
1 1 1 1 1
1 1 1 1
等速運動的 X-t 圖
等速的 X-t 圖類型：向右斜，位移為 ；向左斜，位移為 。 X
t
X
t
X
t
X
t
X
t
X
t
位移 > 0 朝正向運動
出發點在正向位置
位移 > 0 朝正向運動 出發點在原點
位移 > 0 朝正向運動
出發點在負向位置
位移 < 0 朝負向運動
出發點在正向位置
位移 < 0 朝負向運動 出發點在原點
位移 < 0 朝負向運動
出發點在負向位置
正 負
（ 媒體： 1 ）
＋ ＋
＋
－
－ －
-2-10123456
0 1 2 3 4 5 6 7
X
t
變速運動的位置對時間圖：
（ 3 ）物體變速運動時（ X 不隨 t 規律變化）呈 。 說明例：一物體的位置與時間關係如下表
位置 -1 2 3 5 2 0 1 -1
時間 0 1 2 3 4 5 6 7
位 移 ＝ -1- （ -1 ） ＝ 0 路 徑 長 ＝ 6+5+1+2 ＝ 14m
圖上若有轉折（位移變號），表 ，有 次折返情形
軌 跡
變速運動的 X-t 圖特徵
折返 三
3 1 曲線
1 1
6 5 1
2
折返點（位移方向改變）
（ 媒體： 1 ）
不合理的位置對時間圖
：（ 4 ）不合理的位置對時間圖
同一時間下，物體出現在二個以上位置，則為不合理
X
t
畫一時間軸，若與圖形交二個交 點以上，則為不合理。
不合理的 X-t 圖特徵
X-t 圖的斜率討論
X-t 圖的斜率討論：
（ 1 ）向圖形任一點做 ，其斜率可判斷 。 （ 2 ）越接近位置軸 X 的切線，其運動速率越 。
斜率若相同，運動速率相同
切線 運動快慢
甲乙丙三物體均作等速運動
速率：丙＞乙＞甲
甲乙二物體均作等速運動
速率：甲＝乙
平行 快
快
X-t 圖的斜率討論
X-t 圖的斜率討論：
此物體為變速運動
物體運動愈來愈慢
此物體為變速運動
物體運動愈來愈快
位置對時間圖（ X-t 圖）的意義
：（ 1 ）物體 時 呈水平線 （ 2 ）物體 運動時 呈斜直線
（同出發點比較時，愈傾斜，愈 若平行，則速率 ） （ 3 ）物體 運動時 呈曲線
圖形上若有 （ 、 ），表示折返 圖形上有 特徵，表示折返
X-t 圖的特徵
靜止 等速
快 相等
變速
位移方向改變時
有 次折返 有 次折返 有 次折返 有 次折返 轉折
X
t
X
t
X
t
X
t
＋ 位移
0
＋ － ＋ － －
0
＋ －
0
－
0 三 一 0
＋－ －＋
（ 媒體： 1 ）
位置對時間圖（ X-t 圖）的意義
：（ 4 ）不合理的位置對時間圖
同一時間，不會出現在不同位置
（ 5 ） X-t 圖的斜率，表示物體的運動 。 （斜率相同 若平行，則速率 ）
位置對時間圖（ X-t 圖）的交點意義
表對應之時間下，這些物體 。 表這些物體在此 。
（追及，趕上…）
X-t 圖的特徵
位置相同 相遇
速率 相等
●
t
距原點遠近：
丁＞丙＞乙＞甲
距原點遠近：
乙＞丙＞丁
1. 說明以下 A 到 J 物體的 x-t 圖：
何者屬於靜止？ 何為等速？ 。 何者為非等速？ 何者有折返？ 。 何者向正向運動？ 何者向負向？ 。 何者位移為正？ 何者位移為負？ 。 何者位移為零？ 何者為不合理？ 。 2. 承上題，何者的路徑長與其位移的大小相等？
。
A B C D E
F G H
I
J
範例解說
GJ ADE
BFH I BFH I
AF BDEH
AF BDEH
GIJ C
ADEGJ
一次折返
三次折返 一次折返 一次折返
秒
範例解說
3. 小宇自學校出發一路向東而去，其位置與時間的關係如下圖。則：
3 秒後小宇在學校的 方 公尺處。
6 秒時小宇在距離學校 公尺的地方。
秒時小宇距離學校最遠， 秒時折返走向學校。
從 0 秒到 3 秒，小宇的位移 公尺。
從 3 秒到 6 秒，小宇所走的路程有 公尺，位移是 公尺。
從 0 秒到 6 秒，小宇所走的路程有 公尺，位移是 公 尺。
時間： 0 ～ 3 秒、 4 ～ 5 秒、 5 ～ 6 秒區段，何者運動最快？
。
東 5
6 5
5
1 6 7
12 5
4 ～ 5s X
t 快
快
●
school
東 方
西方
s m 3
5 4 m 1 s 3 m 1 s
範例解說
4. 龜兔賽跑，其 X-t 圖如圖：
不計起點與終點，龜與兔中途相遇 次。
請根據 X-t 圖，自編一個龜兔賽跑的故事？
出發點與終點
各時間區段的運動狀態比較……
三
4. 龜兔賽跑，其 X-t 圖如圖：
故事：
很久很久以前，一隻烏龜和一隻兔子比賽賽跑… ..
起跑後，兔子跑的比烏龜 （快或慢），在跑了 公尺時就 驕傲的停下來睡覺。兔子不知不覺睡了 分鐘，而烏龜仍保持
運動，繼續爬行沒有停止。烏龜約在出發後 分鐘，爬 過
正在睡覺的兔子。
範例解說
愈近位置軸 X 者，
快。
300 20
等速 12.5
快
m X 300
20 min 水平線者，靜止。
12.5 min
第 12.5 分鐘，第一次相 遇。
斜直線者，等速。
計） （估
4…. 烏龜約在出發後 分鐘，爬過正在睡覺的兔子… .. 。
第一次相遇時間 範例解說
12.5
12.5 min
24 min 50
1200 m t V
V X
龜
m X 300
min 5
. 24 12
300
1
t
V
t X
4. 龜兔賽跑，其 X-t 圖如圖：
故事：
兔子在出發後 分鐘，由睡夢中醒來，看見烏龜大約超前他 公
尺，嚇的趕緊起身狂追，跑得比剛出發時的速率還 （快或慢）。
在出發後第 分鐘時，兔子追上了烏龜。兔子以為高枕無憂，勝 利
在望，在出發後第 分鐘時、離終點 公尺處又開始呼呼大 睡。
範例解說
25 300
快 31.5
35 200
25 min
m X 600
m X 300
愈近位置軸 X 者，
快。
平移
31.5 min 35 min
m X 1200
終點
m X 1000
水平線者，靜止。
4…. 在出發後第 （估計）分鐘時，兔子追上了烏龜。 … .. 。
第二次相遇時間 範例解說
31.5
24m min V
龜
m X 300
設 t 分鐘後相遇
t
兔 龜
X X
min 5
. 31
) 25 (
70 300
24
t
t t
70 min
10 700
m V
兔
4. 龜兔賽跑，其 X-t 圖如圖：
故事：
兔子在睡了 分鐘後被歡呼聲驚醒，看見烏龜恰好抵達終點。
兔子隨即狂奔，為時已晚，結果比烏龜晚了 分鐘到達終點。
勝利者烏龜，花了 分鐘贏得了這總距離 公尺的賽跑，
得
以成為這寓言故事中的最佳男主角，我們為他鼓鼓掌喔。
範例解說
15
5
50 1200
15 min
水平線者，靜止。
龜 50 min 兔 55
min
m X 1200
終點
