线性方程组

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第三章·线性方程组

.... . 线性代数课程 . 2019 年 5 月 1 日 . 暨南大学数学系吕荐瑞

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第一节

线性方程组的消元解法

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第二节

向量组及其线性表示

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第三节

向量组的线性相关性

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第四节

向量组的秩

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第五节

线性方程组解的结构

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第一节

线性方程组的消元解法

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1.1 一般线性方程组

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1.2 齐次线性方程组

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一般线性方程组

一般地，由 m 个方程构成的 n 元线性方程组可用如 下形式表示：        111 + 122 + · · · + 1nn = b1 211 + 222 + · · · + 2nn = b2 · · · m11+ m22+ · · · + mnn= bm 12 3 4 5  

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一般线性方程组

对这个含 m 个方程的 n 元线性方程组，如果记 A=        11 12 · · · 1n 21 22 · · · 2n .. . ... . .. ... m1 m2 · · · mn        , =        1 2 .. . n        , b=        b1 b2 .. . bm        , 则它可以表示为矩阵形式 A = b．我们称 A 为系数矩阵，b 为常数项矩阵，_{(A b) 为}增广矩阵． 12 3 4 5  

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消元法与初等行变换

用消元法求解线性方程组 ⇐⇒ 对它的增广矩阵作初等行变换． 1 对方程组作 ..1×k ⇐⇒ 对增广矩阵作 r1× k 2 对方程组作 ..2×k− ..3× ⇐⇒ 对增广矩阵作 r2× k 再作 r2−  r3 对增广矩阵作初等行变换，对应方程组的解不变．用初等行变换化简增广矩阵就可得方程组的解． 12 3 4 5  

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消元法与初等行变换

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消元法与初等行变换

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消元法与初等行变换

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消元法与初等行变换

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消元法与初等行变换

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一般线性方程组的解 1

例 1 用消元法求解方程组    1 + 2 + 23 = 1 1 + 22 + 33 = 3 21 + 32 + 53 = 5 定理方程组无解 _{⇐⇒ r(A) < r(A b)．} 12 3 4 5  

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一般线性方程组的解 1

例 1 用消元法求解方程组    1 + 2 + 23 = 1 1 + 22 + 33 = 3 21 + 32 + 53 = 5 定理方程组无解 _{⇐⇒ r(A) < r(A b)．} 12 3 4 5  

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一般线性方程组的解 2

例 2 用消元法求解方程组    21+ 32+ 43 = 19 21+ 62+ 63 = 28 41+ 32+ 83 = 35 定理方程组有唯一解 _{⇐⇒ r(A) = r(A b) = n．} 12 3 4 5  

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一般线性方程组的解 2

例 2 用消元法求解方程组    21+ 32+ 43 = 19 21+ 62+ 63 = 28 41+ 32+ 83 = 35 定理方程组有唯一解 _{⇐⇒ r(A) = r(A b) = n．} 12 3 4 5  

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一般线性方程组的解 3

例 3 用消元法求解方程组    1 + 2 + 23 = 1 1 + 22 + 33 = 3 21 + 32 + 53 = 4 定理方程组有无穷个解 _{⇔ r(A) = r(A b) < n} 12 3 4 5  

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一般线性方程组的解 3

例 3 用消元法求解方程组    1 + 2 + 23 = 1 1 + 22 + 33 = 3 21 + 32 + 53 = 4 定理方程组有无穷个解 _{⇔ r(A) = r(A b) < n} 12 3 4 5  

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一般线性方程组的解

前面例子说明方程组 A_ _{= b 的解有三种情形：}       1 ∗ ∗ 6 0 2 ∗ 7 0 0 0 8 0 0 0 0               1 ∗ ∗ 6 0 2 ∗ 7 0 0 3 8 0 0 0 0               1 ∗ ∗ 6 0 2 ∗ 7 0 0 0 0 0 0 0 0        r(A) < r(A b) r(A) = r(A b) = n r(A) = r(A b) < n

无解唯一解无穷个解

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一般线性方程组的解

定理 1 线性方程组 A _{= b 的解有三种可能：} 1 无解，这等价于 r(A) < r(A b)； 2 唯一解，这等价于 r(A) = r(A b) = n； 3 无穷个解，这等价于 r(A) = r(A b) < n． 因此方程组有解等价于 r_{(A) = r(A b)．} 12 3 4 5  

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线性方程组求解方法

用初等行变换求方程组的解的方法如下： 1 用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵． 2 用定理 1 判断方程组是否有解，若无解则不继续． 3 用初等行变换将阶梯形矩阵化为最简形矩阵． 4 将每行首个非零元素对应的 _ 留在左边，其他 _ 移到方程右边，得到一般解． 12 3 4 5  

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线性方程组求解方法

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线性方程组求解方法

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线性方程组求解方法

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线性方程组求解方法

阶梯形矩阵是指： 1 每个非零行的首个非零元素下边都是零； 2 若有全零行，则它们都在非零行的下边．最简形矩阵是指： 1 该矩阵为阶梯形矩阵； 2 每个非零行的首个非零元素为 1，且它所在列的其他元素都为零． 12 3 4 5  

(25)

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线性方程组求解方法

阶梯形矩阵是指： 1 每个非零行的首个非零元素下边都是零； 2 若有全零行，则它们都在非零行的下边．最简形矩阵是指： 1 该矩阵为阶梯形矩阵； 2 每个非零行的首个非零元素为 1，且它所在列的其他元素都为零． 12 3 4 5  

(26)

. 例 4 求解下面的线性方程组．        1 + 22 + 63 + 44 + 5 = 6 1 + 22 + 93 + 35 = 13 31 + 62 + 243 + 84 + 125 = 40 21 + 42 + 123 + 84 + 25 = 12 解答        1 2 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 3 ∗ ∗ ∗ 0 0 0 4 5 8 0 0 0 0 0 0        −→        1 2 0 0 ∗ ∗ 0 0 3 0 ∗ ∗ 0 0 0 4 5 8 0 0 0 0 0 0        12 3 4 5  

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. 例 4 求解下面的线性方程组．        1 + 22 + 63 + 44 + 5 = 6 1 + 22 + 93 + 35 = 13 31 + 62 + 243 + 84 + 125 = 40 21 + 42 + 123 + 84 + 25 = 12 解答        1 2 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 3 ∗ ∗ ∗ 0 0 0 4 5 8 0 0 0 0 0 0        −→        1 2 0 0 ∗ ∗ 0 0 3 0 ∗ ∗ 0 0 0 4 5 8 0 0 0 0 0 0        12 3 4 5  

(28)

. 例 4 求解下面的线性方程组．        1 + 22 + 63 + 44 + 5 = 6 1 + 22 + 93 + 35 = 13 31 + 62 + 243 + 84 + 125 = 40 21 + 42 + 123 + 84 + 25 = 12 解答        1 2 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 3 ∗ ∗ ∗ 0 0 0 4 5 8 0 0 0 0 0 0        −→        1 2 0 0 ∗ ∗ 0 0 3 0 ∗ ∗ 0 0 0 4 5 8 0 0 0 0 0 0        12 3 4 5  

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. 练习 1 求解方程组． 1    1+ 22+ 33 = 1 21+ 32+ 53 = −1 31+ 42+ 83 = 2 2    1+ 22+ 33 = 1 21+ 32+ 53 = −1 31+ 42+ 73 = 2 3    1+ 22+ 33 = 1 21+ 32+ 53 = −1 31+ 42+ 73 = −3 12 3 4 5  

(30)

. 例 5 求解方程组    1+ 22+ 33 = 1 21+ 32+ 53 = −1 31+ 42+ 3 =  练习 2 求解方程组    1+ 2+ 3 = 2 21+ 32+ 43 = 5 31+ 42+ 3=  12 3 4 5  

(31)

. 例 5 求解方程组    1+ 22+ 33 = 1 21+ 32+ 53 = −1 31+ 42+ 3 =  练习 2 求解方程组    1+ 2+ 3 = 2 21+ 32+ 43= 5 31+ 42+ 3 =  12 3 4 5  

(32)

. 解答对增广矩阵作初等行变换，得到     1 2 3 1 2 3 5 −1 3 4      →     1 2 3 1 0 −1 −1 −3 0 −2  − 9  − 3     →     1 2 3 1 0 1 1 3 0 0 − 7  + 3     因此，当  _{= 7， = −3 时，方程组有无穷多个解．} 当  _{̸= 7 时，方程组有唯一解．当  = 7， ̸= −3} 时，方程组无解． 12 3 4 5  

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第一节

线性方程组的消元解法

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1.1 一般线性方程组

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1.2 齐次线性方程组

.

12 3 4 5  

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齐次线性方程组

若线性方程组的常数项均为零，我们称它为齐次线性方程组．即有        111 + 122 + · · · + 1nn = 0 211 + 222 + · · · + 2nn = 0 · · · m11+ m22+ · · · + mnn= 0 齐次线性方程组可以写成矩阵形式 A= 0. 12 3 4 5  

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齐次线性方程组

若线性方程组的常数项均为零，我们称它为齐次线性方程组．即有        111 + 122 + · · · + 1nn = 0 211 + 222 + · · · + 2nn = 0 · · · m11+ m22+ · · · + mnn= 0 齐次线性方程组可以写成矩阵形式 A= 0. 12 3 4 5  

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齐次线性方程组

定理 2 齐次线性方程组 A _{= 0 的解有两种可能：} 1 唯一解（只有零解），这等价于 r(A) = n； 2 无穷个解（有非零解），这等价于 r(A) < n． 因此如果 m < n，则方程组一定有无穷个解． 12 3 4 5  

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齐次线性方程组

定理 2 齐次线性方程组 A _{= 0 的解有两种可能：} 1 唯一解（只有零解），这等价于 r(A) = n； 2 无穷个解（有非零解），这等价于 r(A) < n． 因此如果 m < n，则方程组一定有无穷个解． 12 3 4 5  

(38)

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齐次线性方程组

例 6 求解下面的齐次线性方程组：    1+ 22+ 23+ 4 = 0 21+ 2− 23− 24 = 0 1− 2− 43− 34 = 0 12 3 4 5  

(39)

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齐次线性方程组

练习 3 求解下面的齐次线性方程组： 1    1+ 22+ 33 = 0 1+ 2+ 3 = 0 1+ 42+ 93 = 0 ； 2    1+ 22+ 33 = 0 41+ 52+ 63 = 0 71+ 82+ 93 = 0 . 12 3 4 5  

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第一节

线性方程组的消元解法

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第二节

向量组及其线性表示

.

..

第三节

向量组的线性相关性

.

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第四节

向量组的秩

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第五节

线性方程组解的结构

.

123 4 5  

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本章内容基本脉络

(§1) A= b +31α1+ · · · + nαn= β +3(§2) 线性表示 (§4) 向量组的秩 +3(§5) 解的结构 (§1) A= 0 +31α1+ · · · + nαn= 0 +3(§3) 线性相关 KS 123 4 5  

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第二节

向量组及其线性表示

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2.1 向量及其线性运算

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2.2 线性表示和线性等价

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123 4 5  

(43)

. 定义 1 行向量指的是只有一行的矩阵，而列向量指的是只有一列的矩阵．向量中元素的个数称为向量的 维数．即 n 维行向量是如下形式的矩阵 α= (1,2,· · · ,n), 而 n 维列向量是如下形式的矩阵 β=        b1 b2 ... bn        = (b1,b2,· · · ,bn)T 123 4 5  

(44)

. 矩阵        11 12 · · · 1n 21 22 · · · 2n ... ... ... ... m1 m2 · · · mn        =        α1 α2 ... αm        ，其中每个 α 都是行向量．这 m 个向量称为矩阵的行向量组．同样，矩阵        11 12 · · · 1n 21 22 · · · 2n ... ... ... ... m1 m2 · · · mn        = (β1,β2,· · · ,βn)， 其中每个 βj 都是列向量．这 n 个向量称为矩阵的列向量组． 123 4 5  

(45)

. 矩阵        11 12 · · · 1n 21 22 · · · 2n ... ... ... ... m1 m2 · · · mn        =        α1 α2 ... αm        ，其中每个 α 都是行向量．这 m 个向量称为矩阵的行向量组．同样，矩阵        11 12 · · · 1n 21 22 · · · 2n ... ... ... ... m1 m2 · · · mn        = (β1,β2,· · · ,βn)， 其中每个 βj 都是列向量．这 n 个向量称为矩阵的列向量组． 123 4 5  

(46)

. 因此向量的运算和矩阵的运算性质一样，n 维行向量 和 n 维列向量可以相乘，但行向量和行向量不能相乘， 列向量和列向量不能相乘． (1,2,· · · ,n)      b1 b2 ... bn      = 1b1+ · · · + nbn      b1 b2 ... bn     (1,2,· · · ,n) =      b11 b12 · · · b1n b21 b22 · · · b2n ... ... . .. ... bn1 bn2 · · · bnn      123 4 5  

(47)

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第二节

向量组及其线性表示

.

..

2.1 向量及其线性运算

.

..

2.2 线性表示和线性等价

.

123 4 5  

(48)

. 一般的线性方程组：        111+ 122+ · · · + 1nn = b1 211+ 222+ · · · + 2nn = b2 ... m11+ m22+ · · · + mnn = bm 等同于 1α1+ 2α2+ · · · + nαn = β，其中 αj =        1j 2j ... mj        (j = 1,2,· · · ,n),β =        b1 b2 ... bm        123 4 5  

(49)

. 一般的线性方程组：        111+ 122+ · · · + 1nn = b1 211+ 222+ · · · + 2nn = b2 ... m11+ m22+ · · · + mnn = bm 等同于 1α1+ 2α2+ · · · + nαn = β．因此，线性方程组是否有解 _⇐⇒ 是否存在 k1, · · · , kn, 使得 k1α1+ · · · + knαn = β. 若是，我们称 β 可由 α1, · · · ，αn 线性表示． 123 4 5  

(50)

(51)

(52)

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线性表示和线性组合

定义 2 给定向量 α1, · · · , αn 和 β，如果存在 k1, · · · , kn 使得 k1α1 + · · · + knαn = β, 就称 β 是 α1, · · · , αn 的线性组合，或者称 β 可由 α1, · · · , αn 线性表示． 123 4 5  

(53)

.

线性表示

例 1 (1) α =     1 2 3    , β=     3 6 9    ，则 β = 3α. (2) α1 =     1 0 0    ,α2 =     2 2 0    ,β =     3 4 0    ，则 β = −α1+ 2α2. 123 4 5  

(54)

.

线性表示

例 1 (1) α =     1 2 3    , β=     3 6 9    ，则 β = 3α. (2) α1 =     1 0 0    ,α2 =     2 2 0    ,β =     3 4 0    ，则 β = −α1+ 2α2. 123 4 5  

(55)

.

初等行变换与列矩阵

命题初等行 · 变换不改变列· 向量之间的线性表示关系．解释 如果 α1, · · · , αn, β 都是列向量，将它们写在一起组成一个矩阵 _(α₁,· · · ,αn,β)，对矩阵作初等行 变换后得到 _(α′ 1,· · · ,α ′ n,β ′_)．则有 k1α1+ · · · + knαn = β ⇔ k1α′₁+ · · · + knα′_n = β′ 对增广矩阵作初等行变换不改变方程组的解 ←→ 对矩阵作初等行变换不改变列向量间的线性关系 123 4 5  

(56)

.

初等行变换与列矩阵

命题初等行 · 变换不改变列· 向量之间的线性表示关系．解释 如果 α1, · · · , αn, β 都是列向量，将它们写在一起组成一个矩阵 _(α₁,· · · ,αn,β)，对矩阵作初等行 变换后得到 _(α′ 1,· · · ,α ′ n,β ′_)． 则有 k1α1+ · · · + knαn = β ⇔ k1α′₁+ · · · + knα′_n = β′ 对增广矩阵作初等行变换不改变方程组的解 ←→ 对矩阵作初等行变换不改变列向量间的线性关系 123 4 5  

(57)

.

初等行变换与列矩阵

(58)

.

初等行变换与列矩阵

(59)

.

线性表示的判定

定理 1 列向量 β 可由列向量组 α1,· · · ,αn 线性表示当且仅当如下条件成立： r(α1,· · · ,αn) = r(α1,· · · ,αn,β) 其中等式两边都表示由列向量组成的矩阵的秩． 123 4 5  

(60)

.

线性表示的判定

例 2 判定向量 β₌     2 3 4     是否可由向量组 α1 =     1 1 0    ,α2=     0 1 1    ,α3 =     1 0 1     线性表示；若可以，写出表达式．解答 β= 1₂α1+ ₂5α2+ 3₂α3. 123 4 5  

(61)

.

线性表示的判定

例 2 判定向量 β₌     2 3 4     是否可由向量组 α1 =     1 1 0    ,α2=     0 1 1    ,α3 =     1 0 1     线性表示；若可以，写出表达式．解答 β= 1₂α1+ ₂5α2+ 3₂α3. 123 4 5  

(62)

. 练习 1 判定向量 β 是否可由向量组 α1,α2,α3 线性表示．如果可以，写出线性表示等式． 1 α1=       1 0 1 2      , α2 =       2 −1 1 −2      , α3=       3 2 0 1      , β=       2 3 0 5      . 2 α1=       1 2 −1 5      , α2=       2 −1 1 1      , α3=       −1 3 −2 4      , β=       4 3 0 11      . 123 4 5  

(63)

. 练习 1 判定向量 β 是否可由向量组 α1,α2,α3 线性表示．如果可以，写出线性表示等式． 1 α1=       1 0 1 2      , α2 =       2 −1 1 −2      , α3=       3 2 0 1      , β=       2 3 0 5      . 2 α1=       1 2 −1 5      , α2=       2 −1 1 1      , α3=       −1 3 −2 4      , β=       4 3 0 11      . 123 4 5  

(64)

.

两个向量组的关系

定义 设有两个向量组 (A)：α1,α2,· · · ,αs 和 (B)： β1,β2,· · · ,βt． 1 若向量组 (B) 的每个向量都可由向量组 (A) 线性表示，则称向量组 (B) 可由向量组 (A) 线性表示． 2 若向量组 (B) 和向量组 (A) 可以相互线性表示，则称向量组 (B) 和 (A) 等价． 123 4 5  

(65)

. 例 3 说明下面两个向量组是等价的： (A) α1 =     1 0 0    ,α2 =     0 1 0    ,α3 =     0 0 1     (B) β1 =     0 1 1    ,β2 =     1 0 1    ,β3 =     1 1 0     解答 α1 = 1₂(β2+ β3− β1)，α2 = 1₂(β1+ β3− β2)， α3 = 1₂(β1+ β2− β3). 123 4 5  

(66)

. 例 3 说明下面两个向量组是等价的： (A) α1 =     1 0 0    ,α2 =     0 1 0    ,α3 =     0 0 1     (B) β1 =     0 1 1    ,β2 =     1 0 1    ,β3 =     1 1 0     解答 α1 = 1₂(β2+ β3− β1)，α2 = 1₂(β1+ β3− β2)， α3 = 1₂(β1+ β2− β3). 123 4 5  

(67)

.

两个向量组的关系

设有列向量组（A）：α1, · · · , αs 和（B）：β1, · · · , βt．定理 2 向量组（B）可由向量组（A）线性表示当且仅当下式成立 r(α1,· · · ,αs) = r(α1,· · · ,αs,β1,· · · ,βt) 其中等式两边都表示由列向量组成的矩阵的秩．推论 1 如果向量组（B）可由向量组（A）线性表示， 则有 r_(β1,· · · ,βt)¶ r(α1,· · · ,αs)．推论 2 如果向量组（B）和向量组（A）等价，则有 r(β1,· · · ,βt) = r(α1,· · · ,αs). 123 4 5  

(68)

.

两个向量组的关系

(69)

.

两个向量组的关系

(70)

.

两个向量组的关系

(71)

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..

第一节

线性方程组的消元解法

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第二节

向量组及其线性表示

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..

第三节

向量组的线性相关性

.

..

第四节

向量组的秩

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..

第五节

线性方程组解的结构

.

1 234 5  

(72)

.

..

第三节

向量组的线性相关性

.

..

3.1 线性相关与线性无关

.

..

3.2 线性表示与线性相关

.

1 234 5  

(73)

.

齐次线性方程组

对于齐次线性方程组：        111 + 122 + · · · + 1nn = 0 211 + 222 + · · · + 2nn = 0 · · · · · · · · · · · · m11 + m22 + · · · + mnn = 0 它是否有解等价于是否有 k1,· · · ,kn, 使得 k1α1+ · · · + knαn = 0. 齐次方程组的非零解 _⇐⇒ k1, · · · , kn 不全为零． 1 234 5  

(74)

.

齐次线性方程组

(75)

.

齐次线性方程组

(76)

.

线性相关和线性无关

定义 1 如果存在不全为零的 k1,k2,· · · ,kn，使得 k1α1+ · · · + knαn = 0, 就称 α1,· · · ,αn 线性相关，否则称它们线性无关．注记齐次方程组有非零解 _⇔ α1,· · · ,αn 线性相关． 1 234 5  

(77)

.

线性相关和线性无关

定义 1 如果存在不全为零的 k1,k2,· · · ,kn，使得 k1α1+ · · · + knαn = 0, 就称 α1,· · · ,αn 线性相关，否则称它们线性无关．注记齐次方程组有非零解 _⇔ α1,· · · ,αn 线性相关． 1 234 5  

(78)

.

线性相关和线性无关

例 1 对于单独一个向量 α，它是线性相关的当且仅 当它是零向量．例 2 对于两个向量 α1 和 α2，它们是线性相关的当且仅当这两个向量成比例．例 3 含有零向量的向量组一定线性相关． 1 234 5  

(79)

.

线性相关和线性无关

(80)

.

线性相关和线性无关

(81)

.

线性相关的判定

命题初等行 · 变换不改变列· 向量之间的线性相关关系．解释 如果 α1, · · · , αn 都是列向量，将它们写在一起组成一个矩阵 _(α₁,· · · ,αn)，对该矩阵作初等行变换 后得到 _(α′ 1,· · · ,α ′ n)，则有 k1α1+ · · · + knαn = 0 ⇔ k1α′₁+ · · · + knα_n′ = 0 定理 1 列向量组 α1,α2,· · · ,αn 线性相关当且仅当 r(α1,α2,· · · ,αn) < n. 其中不等式左边表示矩阵 _(α1,α2,· · · ,αn) 的秩． 1 234 5  

(82)

.

线性相关的判定

(83)

.

线性相关的判定

(84)

.

线性相关的判定

(85)

.

线性相关的判定

设 n 个向量 α1,α2,· · · ,αn 都是 m 维的，则有 1 如果 m < n，则它们一定线性相关． 2 如果 m = n，则它们线性相关当且仅当它们组成 的矩阵的行列式为零． 对于 m > n 的情形，或要求给出 k1,k2,· · · ,kn 的情形，我们可以用初等行变换来判定． 1 234 5  

(86)

.

线性相关的判定

(87)

.

线性相关的判定

(88)

.

线性相关的判定

(89)

. 例 4 判定下面向量组是否线性相关： 1 α₁ = (1,2,0,1)，α₂ = (1,3,0,−1)， α3 = (−1,−1,1,0) 2 α₁ = (1,2,−1,5)，α₂ = (2,−1,1,1)， α3 = (4,3,−1,11) 解答第一组线性无关，第二组线性相关．练习 1 判定下面的向量组是否线性相关． α1 = (1,0,1,2), α2 = (2,0,1,6), α3 = (3,2,0,1), α4 = (1,4,−4,−10). 1 234 5  

(90)

(91)

(92)

. 例 5 设列向量组 α，β，γ 线性无关，则列向量组 α+ β，β + γ，γ + α 也线性无关． 解答 令 ξ1 = α + β，ξ2 = β + γ，ξ3= γ + α, B= (ξ1,ξ2,ξ3) = (α,β,γ)     1 0 1 1 1 0 0 1 1    = AP 因为矩阵 P 可逆，由上一章结果有 r_{(B) = r(A)．} 因此 α，β，γ 线性无关 _⇐⇒ r(A) = 3 ⇐⇒ r(B) = 3 ⇐⇒ ξ1，ξ2，ξ3 线性无关． 1 234 5  

(93)

(94)

(95)

(96)

(97)

.

..

第三节

向量组的线性相关性

.

..

3.1 线性相关与线性无关

.

..

3.2 线性表示与线性相关

.

1 234 5  

(98)

.

线性表示与线性相关

定理 2 α1,· · · ,αn 线性相关当且仅当其中一个向量可由其他向量线性表示．定理 3 设 α1,· · · ,αn 线性无关而 α1,· · · ,αn,β 线 性相关，则 β 一定可由 α1,· · · ,αn 线性表示，而且表示法唯一．定理 4 β1,· · · ,βt 可由 α1,· · · ,αs 线性表示，且 β1,· · · ,βt 线性无关，则 t¶ s．推论 1 设两个向量组 α1,· · · ,αs 和 β1,· · · ,βt 等价 且都是线性无关的，则 s _{= t．} 1 234 5  

(99)

.

线性表示与线性相关

(100)

.

线性表示与线性相关

(101)

.

线性表示与线性相关

(102)

.

..

第一节

线性方程组的消元解法

.

..

第二节

向量组及其线性表示

.

..

第三节

向量组的线性相关性

.

..

第四节

向量组的秩

.

..

第五节

线性方程组解的结构

.

1 2 345  

(103)

.

..

第四节

向量组的秩

.

..

4.1 极大无关组

.

..

4.2 向量组的秩

.

..

4.3 秩的一些性质

.

1 2 345  

(104)

. 定义 1 从向量组 α1,· · · ,αn 中选取部分组 αj1, · · · , αj_r，若满足下面条件： 1 αj₁,· · · ,αj_r 是线性无关的； 2 αj₁,· · · ,αj_r,αt 都是线性相关的，只要 αt 不在该部分组中． 则称 αj₁,· · · ,αj_r 为 α1,· · · ,αn 的极大无关组．注记 1 向量组的极大无关组不是唯一的．注记 2 线性无关向量组本身就是极大无关组．例 1 求向量组 α1 = (0,1)，α2 = (0,2)，α3 = (1,1)，α4 = (1,0) 的极大无关组． 1 2 345  

(105)

(106)

(107)