解應用題的方法及教材認識上的不完善
戴恩清 湖北省宜昌市第九中學本文摘要
分析應用題列方程。從理論層面看，被威權的高等師范院校教材認定為重要 課題；從教材研究層面看，一直是眾多教材不斷探索，且還沒有取得完全一致結 論的問題；從教學層面看，它既是長期困擾師生的難教難學問題，也是教學及教 材研究專業人士時常解錯題的問題。為解決上述問題，筆者對分析應用題列方程 的過程進行了深入系統研究。透過對大量解題過程的分析總結，發現了列方程解 應用題的規律，並提出了新的解題策略。愿與讀者共享，並避免重新陷入一教材 的認識誤區。 關鍵詞︰應用題、代數式、方程、解題策略、教材缺陷。壹、 研究背景
對學生而言，學會解應用題非常重要，僅國中代數教材中，列方程與列不等 式解應用題就至少出現了七次。實際中，解應用題既是長期困擾師生的難教難學 問題，也是教材編寫者時常出錯的內容。從理論及教材研究層面看，早在 1990 年，華東師范大學出版的威權高等師范院校教材《中學數學教材教法》就曾指出， 列方程解應用題是運用方程知識解決實際問題的重要課題（第二分冊，初等代數 研究，P242）。1982 年以來，許多國中數學教材對列方程解應用題的方法曾作過 不少探索。例如，1982 年 11 月第 1 版的民眾教育出版社（以下簡稱人教社）《代 數》第一冊，在第 140 頁的表述；1988 年 12 月第 1 版的人教社實驗教材第一冊 （上），在第 221 頁的表述；1990 年以來人教社（1990 年的實驗本、1992 年的 試用本以及 2000 年的試用修訂本，表述都相同）《代數》第一冊（上）、第一冊 （下）的多處表述；1995 年 6 月第 2 版（上海教育出版社出版）的上海地方教 材，《數學》七年級第一學期，在第 13 頁的表述；2002 年 7 月第 2 版（北京師范大學出版社出版）的北京師范大學國中課程改革教材，《數學》七年級上冊， 在第 169 頁處所採取的，讓教師引導學生總結解題步驟的處理辦法。在高等師范 院校教材中，有 1990 年華東師范大學出版的教材──《中學數學教材教法》第二 分冊第 242 頁處的表述。上述教材的結論，有的詳，有的略，有的結論很具體， 有的則比較概括，有的直接用黑體字寫出了結論，有的則採用了要求師生總結的 辦法。不僅表述與處理模式有區別，更重要的是結論不盡一致。所以，從以上背 景不難看出，對列方程解應用題的方法進行再研究是必要的。為了有利于師生克 服難教難學困難，並使教材更傾完善，筆者從 1986 年起，對此課題進行了長期 探索。透過對大量解題過程的深入系統研究，發現並總結出了列方程解應用題的 規律，並在《列方程解應用題》（戴恩清，2000）、《對分析應用題列方程規律的 探索》（戴恩清，2005）等個人專著與論文中，提出了以建立全部相等關係基礎 （有的教材稱為等量關係）為前提的解題策略。這些策略，為幫助師生克服難教 難學困難提供了新的借鏡，並促使人教社教材的解題錯誤得到糾正，2003 年 11 月，第 2 版的北京師范大學國中課程改革教材，《數學》八年級下冊，在教師用 書的第 89 頁、第 90 頁處，都曾出現過與我解題策略相同的做法。為了增進教學 交流，現將筆者的解題策略作一介紹，並對 1990 年以來人教社教材所存在的認 識誤區做一分析。
貳、 筆者解題策略
例 1 一隊學生去校外進行軍事野營訓練．他們以 5 千米／時的速度行進， 走了 18 分的時候，學校要將一個緊急通知傳給隊長．通訊員從學校出發，騎單 車以 14 千米／時的速度按原路追上去．通訊員用多少時間可以追上學生隊伍?[摘 自人教社國中代數第一冊（上）P219 例 4，2000 年 5 月第 1 版，2000 年 7 月湖 北第 1 次印刷] 經過分析可得相等關係 通訊員行進路程 ＝學生行進的全部路程 ① 通訊員行進路程 ＝ 14 × 通訊員行進時間 ② 學生行進的全部路程 ＝ 5 × 學生行進的全部時間 ③ 通訊員行進時間＋18/60 ＝學生行進的全部時間 ④（限于篇幅，分析過程略） 上述四個相等關係中共含有四個未知數，由“相互獨立的一次方程個數等于 未知數個數時，方程組就有確定的解”這一數學常識可知，以上四個相等關係構 成了完整的解題基礎。 解︰設通訊員用ｘ小時可以追上學生隊伍，則由相等關係②可列出代數式， 通訊員行進路程是 14ｘ千米。類似的，由④得，學生行進的全部時間是（ｘ＋ 18/60）小時，再由③得，學生行進的全部路程是 5（ｘ＋18/60）千米。最後由 相等關係①可列出方程，是 14ｘ ＝5（ｘ＋18/60） 把以上過程用綜合模式表示，就是 解︰設通訊員用ｘ小時可以追上學生隊伍，則∵ 14ｘ 5（ｘ＋18/60） ① 通訊員行進路程 ＝ 學生行進的全部路程 ② ③ 14 5 × × 通訊員行進時間＋18/60 ＝學生行進的全部時間 ④ ｘ ｘ＋18/60 ∴由①得 14ｘ ＝5（ｘ＋18/60） 上述列法中，相等關係②、③、④作了列代數式的根據，相等關係 作了列 方程的根據。在上述列法裡，每一個相等關係被使用了一次，也只被使用了一次。 由此可總結出列一元一次方程的方法 （1）弄清題意，找出解題所需要的全部相等關係，找全的標準是︰相等關 = =
（2）恰當確定一個相等關係作列方程的依據，其餘相等關係作列代數式的 依據。 （3）用字母表示題目中的一個未知數。 （4）依據相等關係列出代數式。 （5）依據相等關係列出方程。
參、 教材方法說明
一、 解題過程 分析︰題中有這樣一個相等關係 通訊員行進路程 ＝學生行進路程 ⑤ 解︰設通訊員用ｘ小時可以追上學生隊伍，根據題意，得 14ｘ ＝5 × 18/60 ＋ 5ｘ （以上過程見教材 P219） 二、 總結的方法 列一元一次方程的方法 (1)弄清題意和題目中的數量關係，用字母表示題目中的一個未知數。 (2)找出能夠表示應用題全部含義的一個相等關係。 (3)根據這個相等關係列出需要的代數式，從而列出方程。 （以上方法見教材 P215 的黑體字）肆、 筆者對教材的簡析
一、 解題過程欠明確 教材解例 1 時，留下了不少懸念。如代數式 14ｘ是根據什麼列出來的，在 過程中不明確，“根據題意，得”有些空泛。 教材解題時，雖然用到了相等關係②等條件，但這是在沒有明確意識到的情 況下，用不明確、不具體的模式進行的應用。這樣的應用，不利於題目正確有效 的解答，教師難教，學生難學的原因也與此有關。 二、 總結的方法易導致解題出錯 英國數學教育家貝利（Perry）指出︰數學教學的目的要強調應用(引自中學數學教材教法，第一分冊，總論，P20)。他的這一理念，對現代中學數學教學產 生了深遠影響。美國著名數學家 P‧R‧Halmos 也說“數學的真正部分是問題和 解”(引自中學數學教材教法，第一分冊，總論，P198)。解題能力的培養是中學 數學教學的一項重要任務。但教材總結的解題方法，在正確有效的解題中卻不起 作用，有時甚至導致解題出錯。 教材把不夠完善的列一元一次方程方法，擴散到列不等式解應用題中，得出 了另一個不夠完善的方法。 教材總結的列不等式方法 （1）弄清題意和題目中的數量關係，用字母表示未知數。 （2）找出能夠表示應用題全部含義的一個不等關係。 （3）根據這個不等關係列出需要的代數式，從而列出不等式。 [見教師教學用書第一冊（下）P82] 按以上方法解題，教材曾連續兩次出錯。 例 3 把一堆蘋果分給幾個孩子，如果每人分 3 個，剩餘 8 個；如果前面每人分 5 個，則最後一人得到的蘋果數不足 3 個，求小孩的人數和蘋果的個數。[第 一冊（下）P80 B 組第 3 題] 第一次出錯 答案︰孩子的人數和蘋果的個數分別為 5，23；6，26；7，29；8，32；9， 35。 設有 X 個孩子，列出的不等式是 3X+8≦5(X-1)+3 根據漢語中的“幾個”常指“10個以內”，即得以上結果。 [見 2001 年元月印刷的教師教學用書第一冊（下）P187] 第二次更正時再一次出錯 答案︰6 個孩子，26 個蘋果。 設有 X 個孩子，列出的不等式是 5(X-1) ＝3X+8〈5(X-1)+3 [見 2001 年 11 月印刷的教師教學用書 P188]
事實上，由 5（x-1）＝3x+8 得 x＝6.5，所以，按教材更正時所列式子，只 能得出 6 個半小孩，27 個半蘋果的結論。 顯然，這是不可思議的。但更令人不安的是，類似上面的錯誤在學生使用的 許多書本中都存在，有鑑別和糾正能力的教師卻不多。產生這些現象的根本原因 是沒有掌握正確的解題方法。所以，推展正確有效的解題方法不僅必要、而且迫 切。 筆者的解答 仔細讀題並分析，可得以下相等關係與不等關係 蘋果總數＝3×孩子總數+8 ① 前面那些孩子得到的蘋果總數＝5×（孩子總數-1） ② 最後 1 人得到的蘋果數＝蘋果總數 - 前面那些孩子得到的蘋果總數 ③ 最後 1 人得到的蘋果數＜3 ④ 最後一人得到的蘋果數 ≧ 0 ⑤ 解︰設總共有 X 個孩子，則由①得 蘋果總數是 3X+8，由②得 前面那些孩子得到的蘋果總數是 5(X-1)，再由 得 最後 1 人得到的蘋果數是（3X+8）-5(X-1) ∴由④和⑤可列出不等式，並組成不等式組 （3X+8）-5(X-1)＜3 （3X+8）-5(X-1) ≧ 0 ∴ x＞5 X≤6.5 ∴ X＝6 3X+8＝26 筆者總結的解題方法 （1）弄清題意，找出解題所需要的全部相等關係與不等關係； （2）用字母表示未知數； （3）依據相等關係列出代數式； （4）依據不等關係列出不等式（或不等式組）。
