104 學科能力測驗試題

1. 每週同一時間點紀錄某植物的成長高度，連續五週的數據為 a1＝1，a2＝2，a3＝6，a4＝15，a5＝31

請問此成長高度數列滿足下列選項中哪一個式子？ (1) at+1＝3at－1，t＝1，2，3，4 (2) at＝t!，t＝1，2，3，4，5 (3) at+1＝at＋t2，t＝1，2，3，4 (4) at＝2t－1，t＝1，2，3，4 (5) at+1＝t．at＋1，t＝1，2，3，4 Ans：(3) 【詳解】 直接代入驗證即知。 n 1 2 3 4 5 a(n) 1 2 6 15 31 (1) 1 2 5 14 41 (2) 1 2 6 24 120 (3) 1 2 6 15 31 (4) 1 3 7 15 31 (5) 1 3 10 31 124

2. 第 1 天獲得 1 元，第 2 天獲得 2 元，第 3 天獲得 4 元，第 4 天獲得 8 元，依此每天 獲得的錢為前一天的兩倍，如此進行到第 30 天，試問這 30 天所獲得的錢，總數最 接近下列哪一個選項？ (1) 10,000 元 (2) 1,000,000 元 (3) 100,000,000 元 (4) 1,000,000,000 元 (5) 1,000,000,000,000 元 Ans：(4) 【詳解】 S30＝1＋2＋22＋……＋229＝ 30 30 1 (2 1) 2 1 2 1   _{ }  ， log230＝30．log2＝30．0.3010＝9.03， 首數為 9，故 230_{為 10 位數。} 選(4). 3. 有兩組供機器運作的配件 A、B，其單獨發生故障的機率分別為 0.1，0.15。只有當 A，B 都發生故障時，此機器才無法運作。A，B 兩配件若用串接方式，前面故障 會導致後面故障，但若後面故障則不會影響前面的故障情形；若用並列方式，則故 障情形互不影響。若考慮以下三種情形： (一) 將 B 串接於 A 之後 (二) 將 A 串接於 B 之後 (三) 將 A，B 獨立並列 在情況(一)、(二)、(三)之下，機器無法運作的機率分別為 P1，P2，P3。 請選出正確選項。 (1) P1＞P2＞P3 (2) P2＞P1＞P3 (3) P3＞P2＞P1 (4) P3＞P1＞P2 (5) P1＝P2＞P3 Ans：(2) 【詳解】 P1＝P(A 故障)＝0.1， P2＝P(B 故障)＝0.15， P3＝P(A 故障且 B 故障)＝0.10.15＝0.015， P2＞P1＞P3. 選(2)

4. 一線性規劃問題的可行解區域為座標平面上的正八邊形 ABCDEFGH 及其內部，如 下圖。已知目標函數 ax＋by＋3 (其中 a，b 為實數)的最大值只發生在 B 點。請問 當目標函數改為 3－bx－ay 時，最大值會發生在下列哪一點？ (1) A，(2) B，(3) C，(4) D，(5) E。 Ans：(1) 【詳解】 設邊長為 1， AB 的斜率為 1， f(x，y)＝ax＋by＋3＝0 的斜率為 a b  ＞1， B(1＋2 2， 2)代入得(1＋2 2)a＋ 2b＋3 為最大值。 g(x，y)＝3－bx－ay＝0 的斜率為 b a  ，0＜ b a  ＜1， 故最大或最小值可能發生在 A(1+ 2，0)或 E( 2，1＋2 2)， g(1＋ 2，0)＝3－(1＋ 2)b

5. 小明參加某次路跑 10 公里組的比賽，下表為小明手錶所紀錄之各公里的完成時 間、平均心率及步數： 在這 10 公里的比賽過程，請依據上述數據，選出正確的選項。 (1) 由每公里的平均心率得知小明最高心率為 188 (2) 小明此次路跑，每步距離的平均小於 1 公尺 (3) 每公里完成時間和每公里平均心率的相關係數為正相關 (4) 每公里步數和每公里平均心率的相關係數為正相關 (5) 每公里完成時間和每公里步數的相關係數為負相關 Ans：(2)(4)(5) 【詳解】

完成時間x 離差x 方差x 平均心率y 離差y 方差y 步數z 離差z 方差z xy xz yz 第一公里 300 16 256 161 -9.4 88.36 990 -36 1296 -150.4 -576 338.4 第二公里 290 6 36 162 -8.4 70.56 1000 -26 676 -50.4 -156 218.4 第三公里 290 6 36 165 -5.4 29.16 1005 -21 441 -32.4 -126 113.4 第四公里 295 11 121 162 -8.4 70.56 995 -31 961 -92.4 -341 260.4 第五公里 280 -4 16 171 0.6 0.36 1015 -11 121 -2.4 44 -6.6 第六公里 281 -3 9 170 -0.4 0.16 1005 -21 441 1.2 63 8.4 第七公里 275 -9 81 173 2.6 6.76 1050 24 576 -23.4 -216 62.4 第八公里 275 -9 81 181 10.6 112.36 1050 24 576 -95.4 -216 254.4 第九公里 280 -4 16 171 0.6 0.36 1050 24 576 -2.4 -96 14.4 第十公里 274 -10 100 188 17.6 309.76 1100 74 5476 -176 -740 1302.4 加總 2840 752 1704 688.4 10260 11140 -624 -2360 2566 平均 284 75.2 170.4 68.84 1026 1114 9.747 -0.867 -0.8154 0.9266

(1) 最高心率大於 188 (2) 每步距離平均為10000 9.747 10260 公尺 (3) 每公里完成時間和每公里平均心率的相關係數為 -0.867 (4) 每公里步數和每公里平均心率的相關係數為 0.9266 (5) 每公里完成時間和每公里步數的相關係數為 -0.8 選(2)(4)(5). 6. 設 f(x)是首項係數為 1 的實係數二次多項式。請選出正確的選項。 (1) 若 f(2)＝0，則 x－2 可整除 f(x) (2) 若 f(2)＝0，則 f(x)為整係數多項式 (3) 若 f( 2)＝0，則 f( 2)＝0 (4) 若 f(2i)＝0，則 f(2i)＝0 (5) 若 f(2i)＝0，則 f(x)為整係數多項式 Ans：(1)(4)(5) 【詳解】 (1) 因式定理 (2) 不一定。例如 f(x)＝(x－2)(x－ 2) (3) 不一定(須為有理係數) (4) 虛根成對定理 (5) x＝2i  x2＝4  f(x)＝x2＋4 選(1)(4)(5). 7. 坐標平面上，在函數圖形 y＝2x_{上，標示 A、B、C、D 四個點，其 x 坐標分別為} 1、0、1、2。請選出正確的選項。 (1) 點 B 落在直線 AC 下方 (2) 在直線 AB、直線 BC、直線 CD 中，以直線 CD 的斜率最大 (3) A、B、C、D 四個點，以 B 最靠近 x 軸 (4) 直線 y＝2x 與 y＝2x_{的圖形有兩個交點} (5) 點 A 與點 C 對稱於 y 軸 Ans：(1)(2)(4) 【詳解】

由上圖知選(1)(2)(4). 8. 坐標平面上有一雙曲線，其漸近線為 x－y＝0 和 x＋y＝0。關於此雙曲線的性質， 請選出正確選項。 (1) 此雙曲線的方程式為 2 2 2 2 1 x y r r  或 2 2 2 2 1 x y r  r   ，其中 r 為非零實數 (2) 此雙曲線的貫軸長等於共軛軸長

(3) 若點(a，b)為雙曲線在第一象限上一點，則當 a＞1000 時，a－b＜1 (4) 若點(a，b)，(a，b)為雙曲線在第一象限上兩點且 a＜a，則 b＜b (5) 此雙曲線同時對稱於 x 軸與 y 軸 Ans：(1)(2)(4)(5) 【詳解】 (1) 漸近線為 x－y＝0 和 x＋y＝0 的雙曲線為 (x－y)(x＋y)＝r. 故可為 2 2 2 2 1 x y r r  或 2 2 2 2 1 x y r  r   (2) 等軸雙曲線，故貫軸長等於共軛軸長 (3) 例如 x2－y2＝(x－y)(x＋y)＝2001， 取 a＝1001，b＝1000 (4) 在第一象限必為增函數 (5) x 軸與 y 軸均為其對稱軸 選(1)(2)(4)(5).

9. 如圖，以 M 為圓心，MA＝8 為半徑畫圓，AE 為該圓的直徑，B、C、D 三點皆在圓上，且ABBCCDDE。若MD8(cos( 90 ), sin( 90 ))。 請選出正確的選項。 (1) MA8(cos ,sin )  (2) MC8(cos( 45 ),sin( 45 )) (3) (內積)MA MA 8 (4) (內積)MB MD 0

(5) BD8(coscos( 90 ),sinsin( 90 ))

Ans：(2)(4) 【詳解】 4 2 -2 -4 -5 5 q x  = - x2_-k h x  = x2_-k k = 3.56 g x  = -x f x  = x K

如上圖， MB 與軸正向的夾角為，BMD＝90， (1) 向量MA8(cos( 45 ), sin( 45 ))

(2) 向量MC8(cos( 45 ),sin( 45 )) (3) (內積)MA MA 88cos0＝64 (4) (內積)MB MD   8 8 cos90 0

(5) BD8(cos(  90 ) cos , sin(   90 ) sin ) 故選(2)(4) 10. 某一班共有 45 人，問卷調查有手機與平板電腦的人數。從統計資料顯示此班有 35 人有手機，而有 24 人有平板電腦。設 A 為同時有手機與平板電腦的人數 B 為有手機，但沒有平板電腦的人數 C 為沒有手機，但有平板電腦的人數 D 為沒有手機，也沒有平板電腦的人數 請選出恆成立的不等式選項 (1) A＞B，(2) A＞C，(3) B＞C，(4) B＞D，(5) C＞D。 Ans：(2)(3)(4) 【詳解】 8 6 4 2 -2 -4 -5 5  E D C B M A

14≦n(A)≦24 A 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 B 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 C 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由上表知應選(2)(3)(4). A. 如圖，老王在平地點 A 測得遠方山頂點 P 的仰角為 13。老王朝著山的方向前進 37 公丈後來到點 B，在測得山頂點 P 的仰角為 15。則山高約為__________公丈。 (四捨五入至個位數，tan130.231，tan150.268) Ans：62 【詳解】 設山高為 x，B 到山底的距離為 y，則 x＝ytan15＝(y＋37)tan13

 ytan15－ytan13＝37tan13  y＝ 37 tan13 tan15 tan13       x＝ 37 tan13 tan15 tan13     tan15 24 35 D C B A

＝ 37 0.231 0.268 0.268 0.231    ＝61.908 約為 62 公丈。 B. 不透明袋中有 3 白 3 紅共 6 個球，球大小形狀相同，僅顏色相異。甲、乙、丙、 丁、戊 5 人依甲第一、乙第二、……、戊第五的次序，從袋中各取一球，取後不放 回。試問在甲、乙取出不同色球的條件下，戊取得紅球的機率為__________。 (化為最簡分數) Ans：1 2 【詳解】 甲乙取完後，袋中有 2 白 2 紅。 P(戊紅) ＝P(丙白丁白)＋P(丙白丁紅)＋P(丙紅丁白)＋P(丙紅丁紅) ＝2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 0 4 3          4 3 2 4 3 2 4 3 ＝1 2. C. 小燦預定在陽台上種植玫瑰、百合、菊花和向日葵等四種盆栽。如果陽台上的空間 最多能種 8 盆，可以不必填滿，並且每種花至少一盆，則小燦買盆栽的方法共有 __________種。 Ans：70 【詳解】 設購買玫瑰 x、百合 y、菊花 z、向日葵 u， 即求 x＋y＋z＋u8 的正整數解 x＋y＋z＋u＝4 的正整數解有 1 種， x＋y＋z＋u＝5 的正整數解有 4 3 C ＝4 種， x＋y＋z＋u＝6 的正整數解有 5 3 C ＝10 種， x＋y＋z＋u＝7 的正整數解有 6 3 C ＝20 種， x＋y＋z＋u＝8 的正整數解有 7 3 C ＝35 種，

故共有 1＋4＋10＋20＋35＝70 種。

D. 平面 x－y＋z＝0 與三平面 x＝2，x－y＝2，x＋y＝2 分別相交所得的三直線可圍 成一個三角形。此三角形之周長化成最簡根式，可表為 a b c d ，其中 a、b、 c、d 為正整數且 b＜d，則 a＝_______，b＝_______，c＝_______，d＝_______。 Ans：a＝6，b＝2，c＝2，d＝6 【詳解】 解 0 2 2 x y z x x y             得 A(2，4，2)， 解 0 2 2 x y z x x y            得 B(2，0，2)， 解 0 2 2 x y z x y x y              得 C(0，2，2)， 周長 AB＋BC＋CA ＝ 0 16 16   4 4 16   4 4 0  ＝ 4 2 2 6 2 2  6 22 6 故 a＝6，b＝2，c＝2，d＝6 E. 坐標平面上，直線 L1與 L2的方程式分別為 x＋2y＝0 與 3x－5y＝0。為了確定平面 上某一個點 P 的座標，從 L1上的一點 Q1偵測得向量Q P₁  ( 7,9)，再從 L2上的點 Q2偵測得向量Q P₂   ( 6, 8)，則 P 點的坐標為__________。 Ans：(9，1) 【詳解】 設 Q1(2t，t)，Q2(5s，3s)，P(x，y)，則

1 ( 2 , y t)=( 7,9) Q P x t   ，  x＋2t＝7，y－t＝9  x＋2y＝11………(1) 2 ( 5 , 3 ) ( 6, 8) Q P x s y s    ，  x－5s＝6，y－3s＝8  3x－5y＝22……(2) (1)5＋(2)2  11x＝99  x＝9 代入(1)  9＋2y＝11  y＝1 即 P(9，1)。 F. 小華準備向銀行貸款 3 百萬元當作創業基金，其年利率為 3％，約定三年期滿一次 還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利(每年複利一次)計息還款，但給小華創業 優惠改以單利計息還款。試問在此優惠下，小華三年期滿還款時可以比一般複利計 息少繳__________元。 Ans：8181 【詳解】 複利的本利和為 3001.033＝327.8181， 單利的本利和為 300(1＋0.033)＝327， 故少繳 3278181－3270000＝8181 元。 G. 某一公司，有 A、B、C 三個營業據點，開始時各有 36 位營業員，為了讓營業員了 解各據點的業務狀況，所以進行兩次調動。每次調動都是 將當時 A 據點營業員的1 6調到 B 據點， 1 6調到 C 據點； 將當時 B 據點營業員的1 6調到 A 據點， 1 3調到 C 據點； 將當時 C 據點營業員的1 6調到 A 據點， 1 6調到 B 據點； 則兩次調動後，C 據點有__________位營業員。 Ans：44 【詳解】

轉移矩陣為 2 1 1 3 6 6 1 1 1 6 2 6 1 1 2 6 3 3                   ，X0＝ 36 36 36           ， X1＝ 2 1 1 3 6 6 1 1 1 6 2 6 1 1 2 6 3 3                   36 36 36           ＝ 36 30 42           ， X2＝ 2 1 1 3 6 6 1 1 1 6 2 6 1 1 2 6 3 3                   36 30 42           ＝ 36 28 44           C 據點有 44 位營業員。 H. 將一底面為正方形的四角錐，其展開圖如下圖所示，其中兩側面的三角形邊長為 3，4，5，則此角錐的體積為__________。(化為最簡根式) Ans：16 5 3 【詳解】

如上圖，摺回後，此四角錐的高為 5 ， 故此角錐的體積為 44 53＝16 5 3 . I. 在空間中，一個斜面的「坡度」定義為斜面與水平面夾角的正切值 tan。 若一金字塔(底部為一正方形，四個斜面為等腰三角形)的每一個斜面的坡度 皆為2 5，如圖。則相鄰斜面的夾角的餘弦函數的絕對值為__________。 (化為最簡分數) Ans：25 29 【詳解】 建立空間坐標系﹐如下圖﹒ 5 2 3

依題意﹐得兩斜面方程式為 1 2 : 5 E z yE₁ : 2y5z0﹐ 2 2 : 5 E z xE₂ : 2x5z0﹒ 利用兩法向量 n₁ 









在ΔPBE 中，PBE＝，sin＝ 29 54 PE PB  。 作EQPB於 Q，則FQPB，且兩面角為EQF。 在ΔQEF 中， sin 5 29 54 QEQF BE   ， 5 2 EF  ，利用餘弦定理得    O E G F H C D A _B P Q  _  O E G F H C D A _B P Q

2 29 29 29 25 25 (5 2) 2 2 58 108 25 54 54 54 cos = 29 _{58 29} 29 29 ₂ 2 5 5 54 54 54 EQF       _{ }          故cosEQF＝25 29. J. 下圖為汽車迴轉示意圖。汽車迴轉時，將方向盤轉動到極限。以低速讓汽車進行轉 向圓周運動，汽車轉向時所形成的圓周的半徑就是迴轉半徑，如圖中的BC即是。 已知在低速前進時，圖中 A 處的輪胎行進方向與AC垂直，B 處的輪胎行進方向與 BC垂直。在圖中，已知輪距 AB 為 2.85 公尺，方向盤轉到極限時，輪子方向偏了 28 度。試問此車的迴轉半徑BC為__________公尺。 (小數點後第一位以下四捨五入，sin280.4695，cos280.8829) Ans：6.1 【詳解】

如上圖，sin28＝ AB BC  2.85 6.07028 sin 28 0.4695 AB BC    取 BC＝6.1. 4 2 5 28 28 C B A