只要餘數小於除數，就可以了嗎？

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只要餘數小於除數，就可以了嗎？

劉曼麗* 侯淑芬**

*國立屏東師範學院 數理教育研究所

**高雄市十全國民小學

在進行除法計算求商時，我們通常會以 「餘數小於除數」來決定商數。另外，在給出 除數、商數和餘數以求被除數時，也是以「餘 數 小 於 除 數 」 來 決 定 題 目 ， 如 □ ÷ 4 ＝ 1.1 …0.6，求□＝？尤其是最近看到坊間的一 些測驗卷也是如此出題。然而，只要餘數小於 除數就可以了嗎？請大家再思考看看。如果你 的答案是肯定的，請看下面兩個例子。如果是 否定的，也請你想想看，應該如何說明？ 例題一：□÷4＝1.1 …0.6，求□＝？ 乍看之下，例題中的算式符合餘數 0.6 小 於除數 4 的要求，而大部分的人也會以□＝ 1.1×4＋0.6，求出被除數□＝5。然而，若將求 得的被除數 5 代入□內驗算便會發現商數竟 然是 1.2，餘數是 0.2： 1.2 4） 5 4 1.0 8 0.2 直式 1-1 此與原題目中，商數為 1.1，餘數為 0.6 並不符合。令人非常驚訝！到底是哪裡出了問 題呢？ 我們再試著將 5÷4 以直式計算，並取商數 為 1.1，所進行的步驟分解如下： 1 4） 5 4 1 步驟一 1.1 4） 5 4 1.0 4 0.6 步驟二 直式 1-2 將直式 1-2 與 1-1 對照後，我們可以很快 發現，直式 1-2 在計算到第二步驟時，若要使 商數為 1.1 則只能減掉 0.4，這樣的情形其實 是沒有做完的，因為從 0.6 中還可以再分出一 個 0.4。由此不難發現，如果題目要求商數到 小數第一位時，必須考慮 5 減 4 後剩下的數還 可以再分成幾個 0.4，也就是說餘數必須要小 於 0.4（4 的 0.1 倍），否則商數還可繼續增加。 總而言之，此時合理餘數的判斷標準已不只是 比除數小，而是比除數的 0.1 倍還要小。 例題二：□÷4＝1.12…0.21，求□＝？ 在算式中，餘數既小於除數也小於除數的 0.1 倍，但這樣就合理了嗎？我們同樣以□＝ 1.12×4＋0.21，求出被除數□＝4.69 後，再以 直式驗算看看。結果發現求得的商數為 1.17， 而餘數為 0.01：

只要餘數小於除數，就可以了嗎？ - 15 - 1.17 4） 4.69 4 .6 4 .29 28 0.01 直式 2-1 由此可見，原題目的設計也出了問題。同 樣地，我們再試著將 4.69÷4 以直式計算，並 取商數為 1.12，所進行的步驟分解如下： 1 4） 4.69 4 步驟一 1.1 4） 4.69 4 .6 4 .2 步驟二 1.12 4） 4.69 4 .6 4 .29 8 0.21 步驟三 直式 2-2 將直式 2-2 與 2-1 對照後，原來問題的關 鍵出在步驟三中。因取商數為 1.12，所以只能 減掉 0.08（4×0.02）。如此一來，求商的過程 並未做完，因為從餘數 0.21 中，其實還可以 再分出五個 0.04。由於題目是求商到小數第二 位，所以餘數應比 0.04（4 的 0.01 倍）小才對， 否則商數還可再繼續增加。從這兩例題的討 論，我們可以推知，在小數除法中，若要取商 數到小數第 n 位，則餘數不只是比除數小，還 要比除數的

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−n倍小。 再從代數的角度來證明商數是一位小數 時，餘數不只是比除數小，還要比除數的 0.1 倍小： * * * * * * * * * * * ,* , * 0.1 a b q r q ≤ < ×r b 如果 除以 的商數為 餘數為 且 為一位小數 , 則 0 證明：

(

)

(

)

(

)

* * * * * * * * * * * * * 0.1 0.1 , 0 0.1 0.1 0.1 0.1 , * * * * * r b r n b s n s b a bq r bq n b s b q n s a b q n q a a ≥ × = × × + ≤ < × = + = + × × + = + × + + × 若 可設 其中 為正整數 且 則 此時 除以 則 則 的商數為 並不等於 與題意矛盾。 所以， 0≤ < ×r b 0.1 從上述證明，我們知道：如果

a

除以

b

的 商數為

q

，餘數為

r

，且

q

為一位小數，則

0

≤ < ×

r

b

0.1

。同理可證，如果

q

為二位小 數，則

0

≤ < ×

r

b

0.01

，…。最後，我們可以 得到以下結果： * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *** , , 0 , 0 0.1 , 0 0.01 ,* 0 10 n a b q r q r b q r b q r b q n r b − ≤ < ≤ < × ≤ < × ≤ < × M 設 除以 的商數為 餘數為 如果 為整數 則 如果 為一位小數 則 如果 為二位小數 則 如果 為 位小數 則 結語 在進行除法運算時，「餘數小於除數」在 整數範疇是無庸置疑的，而我們也將之視為理 所當然，並類推到小數除法的情境。事實上， 倘若商數是 n 位小數時，餘數不只是要小於除 數，還要小於除數的

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−n倍才行。因此，餘 數的合理範圍不應只是比除數小就可以了，還 得視商數需要被求到小數第幾位而定。我國的 數學教科書中並未針對此點加以澄清，而數學 教師在教學或出題時也常忽略了這一點。從筆 （下轉第 23 頁）

科學教育月刊 第 269 期 中華民國九十三年六月 - 16 - 者們過去的研究與教學經驗中發現，國小學生 在學習小數除法時，最感困難的是餘數小數點 的處理。教師在進行小數除法教學時，與其一 再重複強調餘數小數點的取法，不如引導學生 思考餘數的合理性，並鼓勵其在計算後進行反 思，這樣的方式或許更能幫助學生了解餘數小 數點的處理原則，以減少錯誤的發生。