1
11
1-
--
-
數
數
數與式
數
與式
與式
與式
【 【【 【8383----1111】8383 】】】設設設設 a ==== 7+ 47 ，，，，則則 a 在哪兩個連續整數之間則則 在哪兩個連續整數之間在哪兩個連續整數之間在哪兩個連續整數之間？？？(A) 0 與？ 與與 1 (B) 1 與與 與與與 2 (C) 2 與與與 3 與 (D) 3 與與與與 4 (E) 4 與與與與 5 【 【 【 【解答解答解答解答】】】】(D) 【詳解】 6< 47 <7⇒7+6<7+ 47 <7+7⇒ 13< 7+ 47 < 14⇒3< 7+ 47 <4 ∴ 在 3 與 4 之間，選(D) 【 【【 【838383----3333】83 】】】每次用每次用每次用每次用 20 根相同的火柴棒圍成一個三角形根相同的火柴棒圍成一個三角形根相同的火柴棒圍成一個三角形根相同的火柴棒圍成一個三角形，，共可圍成，，共可圍成共可圍成共可圍成 種不全等的三角形種不全等的三角形種不全等的三角形種不全等的三角形。。。。 【 【 【 【解答解答解答解答】】】】8 【詳解】 令三邊長 x，y，z 且 x ≤ y ≤ z，x + y + z = 20 ∴ x + y > z ⇒ z + z < 20 ⇒ z < 10， 但 z ≥ 7 ⇒ 7 ≤ z < 10 (1) z = 7 ∴ x + y = 13 ∴ x 6 y 7 (2) z = 8 ∴ x + y = 12 ∴ x 4 5 6 y 8 7 6 (3) z = 9 ∴ x + y = 11 ∴ x 2 3 4 5 y 9 8 7 6 ⇒ 1 + 3 + 4 = 8 【 【【 【848484】84】】若將】若將若將若將 4369 1 ++++ 5911 1 化為最簡分數 化為最簡分數 化為最簡分數 化為最簡分數，，，，則其分母為何則其分母為何則其分母為何則其分母為何？？？(A)100487 (B)100489 ？ (C)10280 (D)25825159 (E)25825161 【 【 【 【解答解答解答解答】】】】(A) 【詳解】 利用輾轉相除法，求得 4369，5911 的最大公因數 = 257 ∴ 4369 = 257 × 17，5911 = 257 × 23 ⇒ [4369，5911] = 257 × 17 × 23 = 100487⇒ 4369 1 + 5911 1 = 23 17 257 17 23 × × + = 100487 40 【 【【 【878787----2222】87 】】】已知已知已知已知「「「「偶數的平方是偶數的平方是偶數的平方是偶數的平方是 4 的倍數的倍數；的倍數的倍數；；；奇數的平方除以奇數的平方除以奇數的平方除以奇數的平方除以 4 餘數為餘數為 1」。餘數為餘數為 」。」。」。考慮五個數考慮五個數考慮五個數考慮五個數：：：： 513，，，，226，，，，216，，154，，， ，，，145。。。。試問下列何者可以和上述五數中的某一數相加成為試問下列何者可以和上述五數中的某一數相加成為試問下列何者可以和上述五數中的某一數相加成為試問下列何者可以和上述五數中的某一數相加成為 完全平方數 完全平方數 完全平方數 完全平方數？？？(A) 513 (B) 226 (C) 216 (D) 154 (E) 145 ？ 【 【 【 【解答解答解答解答】】】】(A)(C)(E) 【詳解】
故若用 513 與上述五數相加，欲得完全平方數可能數只有 216， 而 513 + 216 = 729 = (27)2 ∴ 513 合 同理，226 只可能加 226 或 154，但皆不合 216 只可能加 513 或 145，而 216 + 145 = 361 = (19)2 ∴ 216 及 145 皆合，154 經檢查亦不合 由上知可選(A)(C)(E) 【 【【 【888888】88】】試選出正確的選項：(A) 0.3】 43不是有理數 (B) 0.34> 3 1 (C) 0.34> 0.343 (D) 0.34< 0.35 (E) 0.34= 0.343 【解答】(B)(C)(D)(E) 【詳解】 0.343= 0.343434… = 0.34 + 0.0034 + 0.000034 + … = 01 . 0 1 34 . 0 − =99 34= 0.34 ∴ 0.343是有理數， 99 34 > 99 33= 3 1 0.343= 0.34> 0.343 0.34< 0.35 【 【【 【898989】89】】今年】今年今年（今年（公元（（公元公元公元 2000 年是閏年年是閏年年是閏年年是閏年））））的的 1 月的的 月月月 1 日是星期六日是星期六日是星期六日是星期六。。。。試問下一個試問下一個 1 月試問下一個試問下一個 月月月 1 日也是星期六日也是星期六日也是星期六日也是星期六，，，， 發生在公元哪一年 發生在公元哪一年 發生在公元哪一年 發生在公元哪一年？？？答？答答：答：： ： 。 。。 。 【 【 【 【解答解答解答解答】】】】2005 【詳解】 2000 年有 366 天除以 7 餘 2，2001 年有 365 天除以 7 餘 1 2002 年有 365 天除以 7 餘 1，2003 年有 365 天除以 7 餘 1 2004 年有 366 天除以 7 餘 2 2 + 1 + 1 + 1 + 2 = 7 為 7 的倍數 ∴ 2000 年元旦與 2005 年元旦同為星期六 【 【【 【909090----1111】90 】】】古代的足球運動古代的足球運動古代的足球運動古代的足球運動，，，，有一種計分法有一種計分法有一種計分法有一種計分法，，規定踢進一球得，，規定踢進一球得規定踢進一球得規定踢進一球得 16 分分分，分，犯規後的罰踢，，犯規後的罰踢犯規後的罰踢，犯規後的罰踢，，進一球得，進一球得進一球得 進一球得 6 分分分。分。。請問下列哪些得分數有可能在計分板上出現。請問下列哪些得分數有可能在計分板上出現請問下列哪些得分數有可能在計分板上出現？請問下列哪些得分數有可能在計分板上出現？？？(A) 26 (B) 28 (C) 82 (D) 103 (E) 284 【 【 【 【解答解答解答解答】】】】(B)(C)(E) 【詳解】 假設踢進 x 次，犯規後罰踢，踢進 y 次其得分為 n = 16x + 6y = 2(8x + 3y)（x，y∈N ∪ {0}） (B)取x = 1，y = 2 得n = 28 (C)取x = 4，y = 3 得n = 82 (E)取x = 17，y = 2 得n = 284 ∴ (B)(C)(E)成立
【 【【 【909090----2222】90 】】】將一張將一張將一張將一張 B4 的長方形紙張對折剪開之後的長方形紙張對折剪開之後的長方形紙張對折剪開之後的長方形紙張對折剪開之後，，成為，，成為成為 B5 的紙張成為 的紙張的紙張，的紙張，其形狀跟原來，，其形狀跟原來其形狀跟原來其形狀跟原來 B4 的形狀相的形狀相的形狀相的形狀相 似 似 似 似。。。。已知已知已知已知 B4 紙張的長邊為紙張的長邊為紙張的長邊為紙張的長邊為 36.4 公分公分公分公分，，則，，則則則 B4 紙張的短邊長為紙張的短邊長為紙張的短邊長為紙張的短邊長為 。。。。 （ （ （ （小數點後第二位四捨五入小數點後第二位四捨五入小數點後第二位四捨五入小數點後第二位四捨五入））） ） 【 【【 【解答解答解答】解答】】25.7 】 【詳解】 x 4 . 36 = 2 . 18 x ⇒ x2= 36.4．18.2 = (18.2)2．2 ⇒ x = 18.2． 2= 18.2．1.414 = 25.7348 ∴ x 25.7 公分 【 【【 【9191】9191】】在一個圓的圓周上】在一個圓的圓周上，在一個圓的圓周上在一個圓的圓周上，，，平均分布了平均分布了平均分布了平均分布了 60 個洞個洞，個洞個洞，，，兩洞間稱為一間隔兩洞間稱為一間隔兩洞間稱為一間隔兩洞間稱為一間隔。。。。在在在在 A 洞打上一支樁並洞打上一支樁並洞打上一支樁並洞打上一支樁並 綁上線 綁上線 綁上線 綁上線，，，，然後依逆時針方向前進每隔然後依逆時針方向前進每隔然後依逆時針方向前進每隔然後依逆時針方向前進每隔 9 個間隔就再打一支木樁個間隔就再打一支木樁個間隔就再打一支木樁，個間隔就再打一支木樁，並綁上線，，並綁上線並綁上線並綁上線，，，依此繼續，依此繼續依此繼續依此繼續 操作 操作 操作 操作，，，，如下圖所示如下圖所示如下圖所示如下圖所示。。。試問輪回到。試問輪回到 A 洞需再打樁前試問輪回到試問輪回到 洞需再打樁前洞需再打樁前，洞需再打樁前，，總共己經打了幾支木樁，總共己經打了幾支木樁總共己經打了幾支木樁？總共己經打了幾支木樁？？？ 答 答 答 答：：： ： 支支支。支。 【。。 【【【解答解答解答解答】】】】20 【詳解】 定義 A 洞為 1 ⇒ 第 k 個木樁為 9k + 1，k = 0，1，2，… 按題意：9k + 1 = 60n + 1，n = 0，1，2，… ⇒ 3k = 20n 取 n = 3 ⇒ k = 20，此即第 20 個木樁在第 3 輪的A 點 【 【【 【929292】92】】試問有多少個正整數】試問有多少個正整數試問有多少個正整數 n 使得試問有多少個正整數 使得使得使得 n 1 ++++ n 2 ++++ ……… … ++++ n 10 為整數 為整數 為整數 為整數？？？？(1) 1 個個個個 (2) 2 個個個個 (3) 3 個個個個 (4) 4 個個個個 (5) 5 個個個個 【 【 【 【解答解答解答解答】】】】(4) 【詳解】 n 1+ n 2+ … + n 10= n 55 為整數⇒ n | 55 且 n∈Z + ⇒ n = 1，5，11，55，共 4 個 【 【【 【959595】95】】將正整數】將正整數將正整數 18 分解成兩個正整數的乘積有將正整數 分解成兩個正整數的乘積有分解成兩個正整數的乘積有分解成兩個正整數的乘積有 1 18, 2 9,3 6× × × 三種三種三種三種﹐﹐﹐﹐又又又又3 6× 是這三種分解是這三種分解是這三種分解是這三種分解 中 中 中 中﹐﹐兩數的差最小的﹐﹐兩數的差最小的兩數的差最小的兩數的差最小的﹐﹐﹐﹐我們稱我們稱我們稱我們稱3 6× 為為為為 18 的最佳分解的最佳分解的最佳分解的最佳分解....當當當當p q p× ( ≤q)是正整數是正整數是正整數是正整數 n 的最佳的最佳的最佳的最佳 分解時 分解時 分解時 分解時﹐﹐﹐﹐我們規定函數我們規定函數我們規定函數 ( )我們規定函數F n p q = ﹐﹐例如﹐﹐例如例如例如 (18) 3 1 6 2 F = = ....下列有關函數下列有關函數下列有關函數 F(n)的敘述下列有關函數 的敘述的敘述的敘述﹐﹐﹐﹐何何何何 者正確 者正確 者正確 者正確﹖﹖﹖﹖(1) (4) 1F = (2) (24) 3 8 F = (3) (27) 1 3 F = (4)若若若 n 是一個質數若 是一個質數是一個質數是一個質數﹐﹐則﹐﹐則則則F n( ) 1 n = (5)若若若若 n 是一個完全平方數是一個完全平方數是一個完全平方數是一個完全平方數﹐﹐﹐﹐則則則則 ( ) 1F n = ....
【詳解】(1)○﹕ (4) 2 2 2 1 2 F = × = = . (2)╳﹕ (24) 4 6 4 2 6 3 F = × = = . (3)○﹕ (27) 3 9 3 1 9 3 F = × = = . (4)○﹕n 是質數∴F n( ) 1 n 1 n = × = . (5)○﹕n 是完全平方數﹐F n( ) k k k 1 k k = × = = （ 為正整數） 【 【 【
【9797----1111】9797 】】】在在在在職職職職棒比賽中棒比賽中棒比賽中棒比賽中 ERAERA 值是了解一個投手表現的重要統計數值ERAERA值是了解一個投手表現的重要統計數值值是了解一個投手表現的重要統計數值值是了解一個投手表現的重要統計數值。。。。其計算方式其計算方式其計算方式其計算方式如下如下如下：如下：： ： 若
若 若
若此投手此投手共主此投手此投手共主共主投共主投投投
nnnn
局局，局局，，，其總責任其總責任其總責任其總責任失分失分失分為失分為為為E
E
E
E
，，，，則其則其 ERA則其則其ERAERAERA 值值值值為為為為E 9n× 。。。。有一位投手有一位投手有一位投手有一位投手在之在之在之在之前前前前 的比賽中
的比賽中的比賽中
的比賽中共共共主共主主主投了投了投了投了 9090 局9090局局局，，，且，且且且這這 90這這909090 局局局中他局中他中他的中他的 ERA 的的ERA ERA ERA 值為值為值為值為 3333....2222。。。。在最新的一場比賽中此投在最新的一場比賽中此投在最新的一場比賽中此投在最新的一場比賽中此投 手主投
手主投手主投
手主投 6666 局局無責任局局無責任無責任無責任失分失分失分失分，，則，，則則則打完這一場比賽後打完這一場比賽後打完這一場比賽後打完這一場比賽後，，此投手的，，此投手的此投手的 ERA此投手的ERAERA 值ERA值值值成為成為 (1) 2.9成為成為 (1) 2.9(1) 2.9(1) 2.9 (2) 3.0(2) 3.0(2) 3.0 (2) 3.0 (3) 3.1 (3) 3.1(3) 3.1 (3) 3.1 (4) 3.2(4) 3.2(4) 3.2 (5) 3.3(4) 3.2 (5) 3.3(5) 3.3(5) 3.3 【 【 【 【解答解答解答解答】】】】(2) 【詳解】 ERA= ×E 9 n ⇒ 3.2=90×9 E ，∴E=32。 又投 6 局無責任失分，ERA 32 9 3 90 6 = × = + 。 【 【【 【979797----2222】97 】】】有一個圓形跑道分內有一個圓形跑道分內、有一個圓形跑道分內有一個圓形跑道分內、、、外兩圈外兩圈外兩圈外兩圈，，，，半徑分別為半徑分別為 30半徑分別為半徑分別為3030、30、、、50505050 公尺公尺。公尺公尺。。。今甲在內圈以等速行走今甲在內圈以等速行走今甲在內圈以等速行走今甲在內圈以等速行走、、、 、 乙在外圈以等速跑步 乙在外圈以等速跑步乙在外圈以等速跑步 乙在外圈以等速跑步，，，，且知甲每走一圈且知甲每走一圈且知甲每走一圈且知甲每走一圈，，，，乙恰跑了兩圈乙恰跑了兩圈乙恰跑了兩圈乙恰跑了兩圈。。若甲走了。。若甲走了若甲走了若甲走了 45454545 公尺公尺，公尺公尺，，，則同時則同時則同時則同時 段乙跑了 段乙跑了段乙跑了 段乙跑了 (1) 90(1) 90(1) 90(1) 90 公尺公尺公尺公尺 (2) 120(2) 120(2) 120(2) 120 公尺公尺公尺公尺 (3)135(3)135 公尺(3)135(3)135公尺公尺公尺 (4)150(4)150(4)150(4)150 公尺公尺 (5) 180公尺公尺 (5) 180(5) 180(5) 180 公尺公尺公尺公尺 【 【 【 【解答解答解答解答】】】】(4) 【詳解】 ∵內圈半徑：外圈半徑=3：5， ∴甲走 1 圈內圈的距離：乙跑 2 圈外圈的距離=3：(5 2)× =3：10， 因此，3：10=45：x ⇒ x=150。 【 【【 【9797----3333】9797 】】】在坐標平面上在坐標平面上在坐標平面上在坐標平面上，，，，設設設設A為直線為直線為直線為直線3x− =y 0上一點，上一點上一點上一點，，，B為為為為
xxxx
軸上一點。軸上一點軸上一點軸上一點。。。若線段若線段若線段若線段AB的中點坐標的中點坐標的中點坐標的中點坐標 為 為為 為( , 6)7 2 ，則點，，，則點則點則點A的坐標為的坐標為____________的坐標為的坐標為____________________________________，，點，，點點點B的坐標為的坐標為的坐標為的坐標為________________________________________________。。。。 【 【 【 【解答解答解答解答】】】】A(4 , 12) B(3 , 0) 【詳解】 A 為3x− =y 0上的點，令A t( , 3 )t ；B為x軸上的點，令B k( , 0)，則AB中點為( ,3 0) ( , 6)7 2 2 2 + + = t k t ⇒ 7 2 2 3 6 2 + = = t k t ⇒
{
3 4 k t== ⇒ (4 ,12)A ，B(3 , 0)。 【 【【 【989898】98】】試問下列哪些選項中的數是有理數】試問下列哪些選項中的數是有理數試問下列哪些選項中的數是有理數？試問下列哪些選項中的數是有理數？？？(1)(1)(1)(1)3.1416 (2)(2)(2)(2) 3 (3)(3)(3)(3)log10 5+log10 2 (4) (4) (4) (4)sin15 cos15 cos15 sin15 ° + ° ° ° (5)(5)(5)方程式(5)方程式方程式方程式 3 2 2 1 0 x − x + − =x 的唯一實根的唯一實根。的唯一實根的唯一實根。。 。 【 【 【 【解答解答解答解答】】】】(1)(3)(4) 【詳解】 (1)有限小數為有理數。 (2) 3 為無理數。(3)log10 5 log10 2 log10 10 1 2 + = = 為有理數。 (4)原式 2 2 sin 15 cos 15 1 4 1
cos15 sin15 sin 30 2 ° + ° = = = ° ° ° 為有理數。 (5) f x( )= −x3 2x2+ − =x 1 0的可能有理根為 1− ，1， 因 ( 1)f − = − ≠5 0， (1)f = − ≠1 0，知方程式沒有有理根，得唯一實根是無理數。 【 【【 【 10 1 】】】】 12 12 1 5 +4 + 等於下列哪一個選項等於下列哪一個選項？等於下列哪一個選項等於下列哪一個選項？ (1 ) ？？ 1.01 ( 2 ) 1.05 ( 3 ) 1.1 ( 4 ) 1.15 ( 5 ) 1.21 【 【 【 【解答解答解答解答】】】】(2) 【詳解】 2 2 1 1 441 21 1= 1.05 5 +4 + 400 =20 = 【 【【 【102】】】】設設設設 k 為一整數為一整數。為一整數為一整數。。已知。已知已知已知 31 1 3 3 k k+ < < ，，則，，則則則k= 。。。 。 【 【【 【解答解答解答】解答】】16 】 【詳解】 1 31 3 31 1 3 3 k k k k + < < ⇒ < < + ⇒k< 279< +k 1﹐ 又 2 16 =256﹐172 =289﹐∴ 279 16.= L ﹐故k =16﹒
