全国硕士研究生统一入学考试
数学公式大全
高等数学公式
导数公式： 基本积分表：a
x
x
a
a
a
ctgx
x
x
tgx
x
x
x
ctgx
x
tgx
a x xln
1
)
(log
ln
)
(
csc
)
(csc
sec
)
(sec
csc
)
(
sec
)
(
2 2
2 2 2 21
1
)
(
1
1
)
(
1
1
)
(arccos
1
1
)
(arcsin
x
arcctgx
x
arctgx
x
x
x
x
C
a
x
x
a
x
dx
C
shx
chxdx
C
chx
shxdx
C
a
a
dx
a
C
x
ctgxdx
x
C
x
dx
tgx
x
C
ctgx
xdx
x
dx
C
tgx
xdx
x
dx
x x)
ln(
ln
csc
csc
sec
sec
csc
sin
sec
cos
2 2 2 2 2 2 2 2C
a
x
x
a
dx
C
x
a
x
a
a
x
a
dx
C
a
x
a
x
a
a
x
dx
C
a
x
arctg
a
x
a
dx
C
ctgx
x
xdx
C
tgx
x
xdx
C
x
ctgxdx
C
x
tgxdx
arcsin
ln
2
1
ln
2
1
1
csc
ln
csc
sec
ln
sec
sin
ln
cos
ln
2 2 2 2 2 2 2 2
C
a
x
a
x
a
x
dx
x
a
C
a
x
x
a
a
x
x
dx
a
x
C
a
x
x
a
a
x
x
dx
a
x
I
n
n
xdx
xdx
I
n n n narcsin
2
2
ln
2
2
)
ln(
2
2
1
cos
sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 三角函数的有理式积分： 2 2 2 2
1
2
2
1
1
cos
1
2
sin
u
du
dx
x
tg
u
u
u
x
u
u
x
，
，
，
一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα ·和差角公式： ·和差化积公式：2
sin
2
sin
2
cos
cos
2
cos
2
cos
2
cos
cos
2
sin
2
cos
2
sin
sin
2
cos
2
sin
2
sin
sin
ctg
ctg
ctg
ctg
ctg
tg
tg
tg
tg
tg
1
)
(
1
)
(
sin
sin
cos
cos
)
cos(
sin
cos
cos
sin
)
sin(
x
x
arthx
x
x
archx
x
x
arshx
e
e
e
e
chx
shx
thx
e
e
chx
e
e
shx
x x x x x x x x
1
1
ln
2
1
)
1
ln(
1
ln(
:
2
:
2
:
2 2）
双曲正切
双曲余弦
双曲正弦
...
59045
7182818284
.
2
)
1
1
(
lim
1
sin
lim
0
e
x
x
x
x x x·倍角公式： ·半角公式：
cos
1
sin
sin
cos
1
cos
1
cos
1
2
cos
1
sin
sin
cos
1
cos
1
cos
1
2
2
cos
1
2
cos
2
cos
1
2
sin
ctg
tg
·正弦定理：
R
C
c
B
b
A
a
2
sin
sin
sin
·余弦定理：c
a
b
2
ab
cos
C
2 2 2
·反三角函数性质：x
x
arctgx
arcctgx
2
arccos
2
arcsin
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( 0 ) ( ) ( ) (!
)
1
(
)
1
(
!
2
)
1
(
)
(
n k k n n n n n k k k n k n nuv
v
u
k
k
n
n
n
v
u
n
n
v
nu
v
u
v
u
C
uv
中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
时，柯西中值定理就是
当
柯西中值定理：
拉格朗日中值定理：
x
x
F
f
a
F
b
F
a
f
b
f
a
b
f
a
f
b
f
)
(
F
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
曲率：.
1
;
0
.
)
1
(
lim
M
s
M
M
:
.
,
1
3 2 0 2a
K
a
K
y
y
ds
d
s
K
M
M
s
K
tg
y
dx
y
ds
s
的圆：
半径为
直线：
点的曲率：
弧长。
：
化量；
点，切线斜率的倾角变
点到
从
平均曲率：
其中
弧微分公式：
定积分的近似计算：
2 3 3 33
1
3
3
cos
3
cos
4
3
cos
sin
4
sin
3
3
sin
tg
tg
tg
tg
2 2 2 2 2 21
2
2
2
1
2
sin
cos
sin
2
1
1
cos
2
2
cos
cos
sin
2
2
sin
tg
tg
tg
ctg
ctg
ctg
b a n n n b a n n b a ny
y
y
y
y
y
y
y
n
a
b
x
f
y
y
y
y
n
a
b
x
f
y
y
y
n
a
b
x
f
)]
(
4
)
(
2
)
[(
3
)
(
]
)
(
2
1
[
)
(
)
(
)
(
1 3 1 2 4 2 0 1 1 0 1 1 0
抛物线法：
梯形法：
矩形法：
定积分应用相关公式：
b a b adt
t
f
a
b
dx
x
f
a
b
y
k
r
m
m
k
F
A
p
F
s
F
W
)
(
1
)
(
1
,
2 2 2 1均方根：
函数的平均值：
为引力系数
引力：
水压力：
功：
空间解析几何和向量代数：。
代表平行六面体的体积
为锐角时，
向量的混合积：
例：线速度：
两向量之间的夹角：
是一个数量
轴的夹角。
与
是
向量在轴上的投影：
点的距离：
空间
,
cos
)
(
]
[
.
.
sin
,
cos
,
,
cos
Pr
Pr
)
(
Pr
,
cos
Pr
)
(
)
(
)
(
2
2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1c
b
a
c
c
c
b
b
b
a
a
a
c
b
a
c
b
a
r
w
v
b
a
c
b
b
b
a
a
a
k
j
i
b
a
c
b
b
b
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
j
a
j
a
a
j
u
AB
AB
AB
j
z
z
y
y
x
x
M
M
d
z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u
（马鞍面）
双叶双曲面：
单叶双曲面：
、双曲面：
同号）
（
、抛物面：
、椭球面：
二次曲面：
参数方程：
其中
空间直线的方程：
面的距离：
平面外任意一点到该平
、截距世方程：
、一般方程：
，其中
、点法式：
平面的方程：
1
1
3
,
,
2
2
2
1
1
};
,
,
{
,
1
3
0
2
)
,
,
(
},
,
,
{
0
)
(
)
(
)
(
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
q
p
z
q
y
p
x
c
z
b
y
a
x
pt
z
z
nt
y
y
mt
x
x
p
n
m
s
t
p
z
z
n
y
y
m
x
x
C
B
A
D
Cz
By
Ax
d
c
z
b
y
a
x
D
Cz
By
Ax
z
y
x
M
C
B
A
n
z
z
C
y
y
B
x
x
A
多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x y xF
F
y
z
F
F
x
z
z
y
x
F
dx
dy
F
F
y
F
F
x
dx
y
d
F
F
dx
dy
y
x
F
dy
y
v
dx
x
v
dv
dy
y
u
dx
x
u
du
y
x
v
v
y
x
u
u
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
y
x
v
y
x
u
f
z
t
v
v
z
t
u
u
z
dt
dz
t
v
t
u
f
z
y
y
x
f
x
y
x
f
dz
z
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
du
dy
y
z
dx
x
z
dz
，
，
隐函数
＋
，
，
隐函数
隐函数的求导公式：
时，
，
当
：
多元复合函数的求导法
全微分的近似计算：
全微分：
0
)
,
,
(
)
(
)
(
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)]
,
(
),
,
(
[
)]
(
),
(
[
)
,
(
)
,
(
2 2)
,
(
)
,
(
1
)
,
(
)
,
(
1
)
,
(
)
,
(
1
)
,
(
)
,
(
1
)
,
(
)
,
(
0
)
,
,
,
(
0
)
,
,
,
(
y
u
G
F
J
y
v
v
y
G
F
J
y
u
x
u
G
F
J
x
v
v
x
G
F
J
x
u
G
G
F
F
v
G
u
G
v
F
u
F
v
u
G
F
J
v
u
y
x
G
v
u
y
x
F
v u v u
隐函数方程组：
微分法在几何上的应用：)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
3
0
)
)(
,
,
(
)
)(
,
,
(
)
)(
,
,
(
2
)}
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
{
1
)
,
,
(
0
)
,
,
(
}
,
,
{
,
0
)
,
,
(
0
)
,
,
(
0
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
,
,
(
)
(
)
(
)
(
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0z
y
x
F
z
z
z
y
x
F
y
y
z
y
x
F
x
x
z
z
z
y
x
F
y
y
z
y
x
F
x
x
z
y
x
F
z
y
x
F
z
y
x
F
z
y
x
F
n
z
y
x
M
z
y
x
F
G
G
F
F
G
G
F
F
G
G
F
F
T
z
y
x
G
z
y
x
F
z
z
t
y
y
t
x
x
t
M
t
z
z
t
y
y
t
x
x
z
y
x
M
t
z
t
y
t
x
z y x z y x z y x y x y x x z x z z y z y
、过此点的法线方程：
：
、过此点的切平面方程
、过此点的法向量：
，则：
上一点
曲面
则切向量
若空间曲线方程为：
处的法平面方程：
在点
处的切线方程：
在点
空间曲线
方向导数与梯度：上的投影。
在
是
单位向量。
方向上的
，为
，其中
：
它与方向导数的关系是
的梯度：
在一点
函数
的转角。
轴到方向
为
其中
的方向导数为：
沿任一方向
在一点
函数
l
y
x
f
l
f
l
j
i
e
e
y
x
f
l
f
j
y
f
i
x
f
y
x
f
y
x
p
y
x
f
z
l
x
y
f
x
f
l
f
l
y
x
p
y
x
f
z
)
,
(
grad
sin
cos
)
,
(
grad
)
,
(
grad
)
,
(
)
,
(
sin
cos
)
,
(
)
,
(
多元函数的极值及其求法：
不确定
时
值
时， 无极
为极小值
为极大值
时，
则：
，令：
设
,
0
0
)
,
(
,
0
)
,
(
,
0
0
)
,
(
,
)
,
(
,
)
,
(
0
)
,
(
)
,
(
2 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0B
AC
B
AC
y
x
A
y
x
A
B
AC
C
y
x
f
B
y
x
f
A
y
x
f
y
x
f
y
x
f
x y xx xy yy 重积分及其应用：
D z D y D x z y x D y D x D D y D x D D Da
y
x
xd
y
x
fa
F
a
y
x
yd
y
x
f
F
a
y
x
xd
y
x
f
F
F
F
F
F
a
a
M
z
xoy
d
y
x
x
I
y
d
y
x
y
I
x
d
y
x
d
y
x
y
M
M
y
d
y
x
d
y
x
x
M
M
x
dxdy
y
z
x
z
A
y
x
f
z
rdrd
r
r
f
dxdy
y
x
f
2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 D 2 2)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
}
,
,
{
)
0
(
),
,
0
,
0
(
)
,
(
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
)
,
(
1
)
,
(
)
sin
,
cos
(
)
,
(
，
，
，其中：
的引力：
轴上质点
平面）对
平面薄片（位于
轴
对于
轴
对于
平面薄片的转动惯量：
平面薄片的重心：
的面积
曲面
柱面坐标和球面坐标：
dv
y
x
I
dv
z
x
I
dv
z
y
I
dv
x
M
dv
z
M
z
dv
y
M
y
dv
x
M
x
dr
r
r
F
d
d
d
drd
r
r
F
dxdydz
z
y
x
f
d
drd
r
dr
d
r
rd
dv
r
z
r
y
r
x
z
r
r
f
z
r
F
dz
rdrd
z
r
F
dxdydz
z
y
x
f
z
z
r
y
r
x
z y x r
)
(
)
(
)
(
1
,
1
,
1
sin
)
,
,
(
sin
)
,
,
(
)
,
,
(
sin
sin
cos
sin
sin
cos
sin
)
,
sin
,
cos
(
)
,
,
(
,
)
,
,
(
)
,
,
(
,
sin
cos
2 2 2 2 2 2 2 0 0 ) , ( 0 2 2 2，
，
转动惯量：
， 其中
重心：
，
球面坐标：
其中：
柱面坐标：
曲线积分：
( , )
[ (), ( )] ( ) () ( ) ( ) ), ( , ) ( ) ( ) , ( 2 2 t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L
特殊情况： 则： 的参数方程为： 上连续， 在 设 长的曲线积分）： 第一类曲线积分（对弧 。 ，通常设 的全微分，其中： 才是二元函数 时， ＝ 在 ： 二元函数的全微分求积 注意方向相反！ 减去对此奇点的积分， ，应 。注意奇点，如 ＝ ，且 内具有一阶连续偏导数 在 ， 、 是一个单连通区域； 、 无关的条件： 平面上曲线积分与路径 的面积： 时，得到 ，即： 当 格林公式： 格林公式： 的方向角。 上积分起止点处切向量 分别为 和 ，其中 系： 两类曲线积分之间的关 ，则： 的参数方程为 设 标的曲线积分）： 第二类曲线积分（对坐 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( · ) 0 , 0 ( ) , ( ) , ( 2 1 · 2 1 2 , ) ( ) ( ) cos cos ( )} ( )] ( ), ( [ ) ( )] ( ), ( [ { ) , ( ) , ( ) ( ) ( 0 0 ) , ( ) , (0 0
y x dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y P x Q y P x Q G y x Q y x P G ydx xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D L D L D L L L L
曲面积分：
ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx yz xy xy D D D D y x ) cos cos cos ( ] ), , ( , [ ) , , ( ] , ), , ( [ ) , , ( )] , ( , , [ ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , ( ) , ( 1 )] , ( , , [ ) , , ( 2 2
系： 两类曲面积分之间的关 号。 ，取曲面的右侧时取正 号； ，取曲面的前侧时取正 号； ，取曲面的上侧时取正 ，其中： 对坐标的曲面积分： 对面积的曲面积分： 高斯公式：
ds
A
dv
A
ds
R
Q
P
ds
A
ds
n
A
z
R
y
Q
x
P
ds
R
Q
P
Rdxdy
Qdzdx
Pdydz
dv
z
R
y
Q
x
P
n n
div
)
cos
cos
cos
(
...
,
0
div
,
div
)
cos
cos
cos
(
)
(
成：
因此，高斯公式又可写
，
通量：
则为消失
的流体质量，若
即：单位体积内所产生
散度：
—通量与散度：
—
高斯公式的物理意义
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
ds
t
A
Rdz
Qdy
Pdx
A
R
Q
P
z
y
x
A
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
R
Q
P
z
y
x
R
Q
P
z
y
x
dxdy
dzdx
dydz
Rdz
Qdy
Pdx
dxdy
y
P
x
Q
dzdx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
的环流量：
沿有向闭曲线
向量场
旋度：
，
，
关的条件：
空间曲线积分与路径无
上式左端又可写成：
k
j
i
rot
cos
cos
cos
)
(
)
(
)
(
常数项级数：是发散的
调和级数：
等差数列：
等比数列：
n
n
n
n
q
q
q
q
q
n n1
3
1
2
1
1
2
)
1
(
3
2
1
1
1
1
2 1
级数审敛法：散。
存在，则收敛；否则发
、定义法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则
设：
、比值审敛法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则
设：
别法）：
—根植审敛法（柯西判
—
、正项级数的审敛法
n n n n n n n n n ns
u
u
u
s
U
U
u
lim
;
3
1
1
1
lim
2
1
1
1
lim
1
2 1 1
。
的绝对值
其余项
，那么级数收敛且其和
如果交错级数满足
—莱布尼兹定理：
—
的审敛法
或
交错级数
1 1 1 3 2 1 4 3 2 1,
0
lim
)
0
,
(
n n n n n n n nu
r
r
u
s
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
绝对收敛与条件收敛：
时收敛 １时发散 ｐ 级数： 收敛； 级数： 收敛； 发散，而 调和级数： 为条件收敛级数。 收敛，则称 发散，而 如果 收敛级数； 肯定收敛，且称为绝对 收敛，则 如果 为任意实数； ，其中 1 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( 2 3 2 1 2 1 p n p n n n u u u u u u u u p n n n n 幂级数：0
0
1
0
)
3
(
lim
)
3
(
1
1
1
1
1
1 1 2 2 1 0 3 2
R
R
R
a
a
a
a
R
R
x
R
x
R
x
R
x
a
x
a
x
a
a
x
x
x
x
x
x
x
n n n n n n n n时，
时，
时，
的系数，则
是
，
，其中
求收敛半径的方法：设
称为收敛半径。
，其中
时不定
时发散
时收敛
，使
在
数轴上都收敛，则必存
收敛，也不是在全
，如果它不是仅在原点
对于级数
时，发散
时，收敛于
函数展开成幂级数：
