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考研高数公式大全 - 工科生小书架

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(1)

全国硕士研究生统一入学考试

数学公式大全

高等数学公式

导数公式: 基本积分表:

a

x

x

a

a

a

ctgx

x

x

tgx

x

x

x

ctgx

x

tgx

a x x

ln

1

)

(log

ln

)

(

csc

)

(csc

sec

)

(sec

csc

)

(

sec

)

(

2 2

2 2 2 2

1

1

)

(

1

1

)

(

1

1

)

(arccos

1

1

)

(arcsin

x

arcctgx

x

arctgx

x

x

x

x

C

a

x

x

a

x

dx

C

shx

chxdx

C

chx

shxdx

C

a

a

dx

a

C

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ctgxdx

x

C

x

dx

tgx

x

C

ctgx

xdx

x

dx

C

tgx

xdx

x

dx

x x

)

ln(

ln

csc

csc

sec

sec

csc

sin

sec

cos

2 2 2 2 2 2 2 2

C

a

x

x

a

dx

C

x

a

x

a

a

x

a

dx

C

a

x

a

x

a

a

x

dx

C

a

x

arctg

a

x

a

dx

C

ctgx

x

xdx

C

tgx

x

xdx

C

x

ctgxdx

C

x

tgxdx

arcsin

ln

2

1

ln

2

1

1

csc

ln

csc

sec

ln

sec

sin

ln

cos

ln

2 2 2 2 2 2 2 2

C

a

x

a

x

a

x

dx

x

a

C

a

x

x

a

a

x

x

dx

a

x

C

a

x

x

a

a

x

x

dx

a

x

I

n

n

xdx

xdx

I

n n n n

arcsin

2

2

ln

2

2

)

ln(

2

2

1

cos

sin

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0  

(2)

三角函数的有理式积分: 2 2 2 2

1

2

2

1

1

cos

1

2

sin

u

du

dx

x

tg

u

u

u

x

u

u

x

, 

, 

, 

一些初等函数: 两个重要极限: 三角函数公式: ·诱导公式: 函数 角 A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα ·和差角公式: ·和差化积公式:

2

sin

2

sin

2

cos

cos

2

cos

2

cos

2

cos

cos

2

sin

2

cos

2

sin

sin

2

cos

2

sin

2

sin

sin

ctg

ctg

ctg

ctg

ctg

tg

tg

tg

tg

tg

1

)

(

1

)

(

sin

sin

cos

cos

)

cos(

sin

cos

cos

sin

)

sin(

x

x

arthx

x

x

archx

x

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arshx

e

e

e

e

chx

shx

thx

e

e

chx

e

e

shx

x x x x x x x x

   

1

1

ln

2

1

)

1

ln(

1

ln(

:

2

:

2

:

2 2

双曲正切

双曲余弦

双曲正弦

...

59045

7182818284

.

2

)

1

1

(

lim

1

sin

lim

0

  

e

x

x

x

x x x

(3)

·倍角公式: ·半角公式:

cos

1

sin

sin

cos

1

cos

1

cos

1

2

cos

1

sin

sin

cos

1

cos

1

cos

1

2

2

cos

1

2

cos

2

cos

1

2

sin

ctg

tg

  

  

      

·正弦定理:

R

C

c

B

b

A

a

2

sin

sin

sin

·余弦定理:

c

a

b

2

ab

cos

C

2 2 2

·反三角函数性质:

x

x

arctgx

arcctgx

2

arccos

2

arcsin

   

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式: ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( 0 ) ( ) ( ) (

!

)

1

(

)

1

(

!

2

)

1

(

)

(

n k k n n n n n k k k n k n n

uv

v

u

k

k

n

n

n

v

u

n

n

v

nu

v

u

v

u

C

uv



    

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理。

时,柯西中值定理就是

柯西中值定理:

拉格朗日中值定理:

x

x

F

f

a

F

b

F

a

f

b

f

a

b

f

a

f

b

f

)

(

F

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)(

(

)

(

)

(

曲率:

.

1

;

0

.

)

1

(

lim

M

s

M

M

:

.

,

1

3 2 0 2

a

K

a

K

y

y

ds

d

s

K

M

M

s

K

tg

y

dx

y

ds

s



 

的圆:

半径为

直线:

点的曲率:

弧长。

化量;

点,切线斜率的倾角变

点到

平均曲率:

其中

弧微分公式:

定积分的近似计算:

2 3 3 3

3

1

3

3

cos

3

cos

4

3

cos

sin

4

sin

3

3

sin

tg

tg

tg

tg

2 2 2 2 2 2

1

2

2

2

1

2

sin

cos

sin

2

1

1

cos

2

2

cos

cos

sin

2

2

sin

tg

tg

tg

ctg

ctg

ctg

(4)

   

b a n n n b a n n b a n

y

y

y

y

y

y

y

y

n

a

b

x

f

y

y

y

y

n

a

b

x

f

y

y

y

n

a

b

x

f

)]

(

4

)

(

2

)

[(

3

)

(

]

)

(

2

1

[

)

(

)

(

)

(

1 3 1 2 4 2 0 1 1 0 1 1 0

抛物线法:

梯形法:

矩形法:

定积分应用相关公式:

b a b a

dt

t

f

a

b

dx

x

f

a

b

y

k

r

m

m

k

F

A

p

F

s

F

W

)

(

1

)

(

1

,

2 2 2 1

均方根:

函数的平均值:

为引力系数

引力:

水压力:

功:

空间解析几何和向量代数:

代表平行六面体的体积

为锐角时,

向量的混合积:

例:线速度:

两向量之间的夹角:

是一个数量

轴的夹角。

向量在轴上的投影:

点的距离:

空间

,

cos

)

(

]

[

.

.

sin

,

cos

,

,

cos

Pr

Pr

)

(

Pr

,

cos

Pr

)

(

)

(

)

(

2

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

c

b

a

c

c

c

b

b

b

a

a

a

c

b

a

c

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a

r

w

v

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a

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b

b

a

a

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k

j

i

b

a

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b

b

a

a

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

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a

a

j

a

j

a

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u

AB

AB

AB

j

z

z

y

y

x

x

M

M

d

z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u

(5)

(马鞍面)

双叶双曲面:

单叶双曲面:

、双曲面:

同号)

、抛物面:

、椭球面:

二次曲面:

参数方程:

其中

空间直线的方程:

面的距离:

平面外任意一点到该平

、截距世方程:

、一般方程:

,其中

、点法式:

平面的方程:

1

1

3

,

,

2

2

2

1

1

};

,

,

{

,

1

3

0

2

)

,

,

(

},

,

,

{

0

)

(

)

(

)

(

1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

c

z

b

y

a

x

c

z

b

y

a

x

q

p

z

q

y

p

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c

z

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y

a

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pt

z

z

nt

y

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mt

x

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p

n

m

s

t

p

z

z

n

y

y

m

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C

B

A

D

Cz

By

Ax

d

c

z

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y

a

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D

Cz

By

Ax

z

y

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M

C

B

A

n

z

z

C

y

y

B

x

x

A

多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x y x

F

F

y

z

F

F

x

z

z

y

x

F

dx

dy

F

F

y

F

F

x

dx

y

d

F

F

dx

dy

y

x

F

dy

y

v

dx

x

v

dv

dy

y

u

dx

x

u

du

y

x

v

v

y

x

u

u

x

v

v

z

x

u

u

z

x

z

y

x

v

y

x

u

f

z

t

v

v

z

t

u

u

z

dt

dz

t

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t

u

f

z

y

y

x

f

x

y

x

f

dz

z

dz

z

u

dy

y

u

dx

x

u

du

dy

y

z

dx

x

z

dz

,  

, 

隐函数

,  

,  

隐函数

隐函数的求导公式:

 

   

时,

 

   

 

   

多元复合函数的求导法

全微分的近似计算:

   

全微分:

0

)

,

,

(

)

(

)

(

0

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)]

,

(

),

,

(

[

)]

(

),

(

[

)

,

(

)

,

(

2 2

(6)

)

,

(

)

,

(

1

)

,

(

)

,

(

1

)

,

(

)

,

(

1

)

,

(

)

,

(

1

)

,

(

)

,

(

0

)

,

,

,

(

0

)

,

,

,

(

y

u

G

F

J

y

v

v

y

G

F

J

y

u

x

u

G

F

J

x

v

v

x

G

F

J

x

u

G

G

F

F

v

G

u

G

v

F

u

F

v

u

G

F

J

v

u

y

x

G

v

u

y

x

F

v u v u

    

    

   

隐函数方程组:

微分法在几何上的应用:

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

3

0

)

)(

,

,

(

)

)(

,

,

(

)

)(

,

,

(

2

)}

,

,

(

),

,

,

(

),

,

,

(

{

1

)

,

,

(

0

)

,

,

(

}

,

,

{

,

0

)

,

,

(

0

)

,

,

(

0

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

)

(

)

(

)

(

)

,

,

(

)

(

)

(

)

(

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

z

y

x

F

z

z

z

y

x

F

y

y

z

y

x

F

x

x

z

z

z

y

x

F

y

y

z

y

x

F

x

x

z

y

x

F

z

y

x

F

z

y

x

F

z

y

x

F

n

z

y

x

M

z

y

x

F

G

G

F

F

G

G

F

F

G

G

F

F

T

z

y

x

G

z

y

x

F

z

z

t

y

y

t

x

x

t

M

t

z

z

t

y

y

t

x

x

z

y

x

M

t

z

t

y

t

x

z y x z y x z y x y x y x x z x z z y z y



、过此点的法线方程:

、过此点的切平面方程

、过此点的法向量:

,则:

上一点

曲面

则切向量

若空间曲线方程为:

处的法平面方程:

在点

处的切线方程:

在点

空间曲线

方向导数与梯度:

上的投影。

单位向量。

方向上的

,为

,其中

它与方向导数的关系是

的梯度:

在一点

函数

的转角。

轴到方向

其中

的方向导数为:

沿任一方向

在一点

函数

l

y

x

f

l

f

l

j

i

e

e

y

x

f

l

f

j

y

f

i

x

f

y

x

f

y

x

p

y

x

f

z

l

x

y

f

x

f

l

f

l

y

x

p

y

x

f

z

)

,

(

grad

sin

cos

)

,

(

grad

)

,

(

grad

)

,

(

)

,

(

sin

cos

)

,

(

)

,

(

多元函数的极值及其求法:

(7)



       不确定

时,      无极

为极小值

为极大值

时,

则:

 

 

,令:

,

0

0

)

,

(

,

0

)

,

(

,

0

0

)

,

(

,

)

,

(

,

)

,

(

0

)

,

(

)

,

(

2 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

B

AC

B

AC

y

x

A

y

x

A

B

AC

C

y

x

f

B

y

x

f

A

y

x

f

y

x

f

y

x

f

x y xx xy yy 重积分及其应用:





























D z D y D x z y x D y D x D D y D x D D D

a

y

x

xd

y

x

fa

F

a

y

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yd

y

x

f

F

a

y

x

xd

y

x

f

F

F

F

F

F

a

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M

z

xoy

d

y

x

x

I

y

d

y

x

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I

x

d

y

x

d

y

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M

M

y

d

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x

d

y

x

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M

M

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dxdy

y

z

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z

A

y

x

f

z

rdrd

r

r

f

dxdy

y

x

f

2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 D 2 2

)

(

)

,

(

)

(

)

,

(

)

(

)

,

(

}

,

,

{

)

0

(

),

,

0

,

0

(

)

,

(

,

)

,

(

)

,

(

)

,

(

,

)

,

(

)

,

(

1

)

,

(

)

sin

,

cos

(

)

,

(

,  

,  

,其中:

的引力:

轴上质点

平面)对

平面薄片(位于

  对于

对于

平面薄片的转动惯量:

  

平面薄片的重心:

的面积

曲面

柱面坐标和球面坐标:















 









          

dv

y

x

I

dv

z

x

I

dv

z

y

I

dv

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M

dv

z

M

z

dv

y

M

y

dv

x

M

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dr

r

r

F

d

d

d

drd

r

r

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dxdydz

z

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f

d

drd

r

dr

d

r

rd

dv

r

z

r

y

r

x

z

r

r

f

z

r

F

dz

rdrd

z

r

F

dxdydz

z

y

x

f

z

z

r

y

r

x

z y x r

  

)

(

)

(

)

(

1

,

1

,

1

sin

)

,

,

(

sin

)

,

,

(

)

,

,

(

sin

sin

cos

sin

sin

cos

sin

)

,

sin

,

cos

(

)

,

,

(

,

)

,

,

(

)

,

,

(

,

sin

cos

2 2 2 2 2 2 2 0 0 ) , ( 0 2 2 2

,  

,  

转动惯量:

,  其中

  

  

重心:

,  

球面坐标:

其中:

   

柱面坐标:

曲线积分:

(8)

                

( , )

[ (), ( )] ( ) () ( ) ( ) ), ( , ) ( ) ( ) , ( 2 2 t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L

    特殊情况:    则:    的参数方程为: 上连续, 在 设 长的曲线积分): 第一类曲线积分(对弧 。 ,通常设 的全微分,其中: 才是二元函数 时, = 在 : 二元函数的全微分求积 注意方向相反! 减去对此奇点的积分, ,应 。注意奇点,如 = ,且 内具有一阶连续偏导数 在 , 、 是一个单连通区域; 、 无关的条件: 平面上曲线积分与路径 的面积: 时,得到 ,即: 当 格林公式: 格林公式: 的方向角。 上积分起止点处切向量 分别为 和 ,其中 系: 两类曲线积分之间的关 ,则: 的参数方程为 设 标的曲线积分): 第二类曲线积分(对坐 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( · ) 0 , 0 ( ) , ( ) , ( 2 1 · 2 1 2 , ) ( ) ( ) cos cos ( )} ( )] ( ), ( [ ) ( )] ( ), ( [ { ) , ( ) , ( ) ( ) ( 0 0 ) , ( ) , (0 0                                                    







y x dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y P x Q y P x Q G y x Q y x P G ydx xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D L D L D L L L L

  曲面积分:























                       ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx yz xy xy D D D D y x ) cos cos cos ( ] ), , ( , [ ) , , ( ] , ), , ( [ ) , , ( )] , ( , , [ ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , ( ) , ( 1 )] , ( , , [ ) , , ( 2 2

系: 两类曲面积分之间的关 号。 ,取曲面的右侧时取正 号; ,取曲面的前侧时取正 号; ,取曲面的上侧时取正 ,其中: 对坐标的曲面积分: 对面积的曲面积分: 高斯公式:

(9)

















       

ds

A

dv

A

ds

R

Q

P

ds

A

ds

n

A

z

R

y

Q

x

P

ds

R

Q

P

Rdxdy

Qdzdx

Pdydz

dv

z

R

y

Q

x

P

n n

div

)

cos

cos

cos

(

...

,

0

div

,

div

)

cos

cos

cos

(

)

(

成:

因此,高斯公式又可写

通量:

则为消失

的流体质量,若

即:单位体积内所产生

散度:

—通量与散度:

高斯公式的物理意义

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:







     

ds

t

A

Rdz

Qdy

Pdx

A

R

Q

P

z

y

x

A

y

P

x

Q

x

R

z

P

z

Q

y

R

R

Q

P

z

y

x

R

Q

P

z

y

x

dxdy

dzdx

dydz

Rdz

Qdy

Pdx

dxdy

y

P

x

Q

dzdx

x

R

z

P

dydz

z

Q

y

R

的环流量:

沿有向闭曲线

向量场

旋度:

, 

, 

关的条件:

空间曲线积分与路径无

上式左端又可写成:

k

j

i

rot

cos

cos

cos

)

(

)

(

)

(

常数项级数:

是发散的

调和级数:

等差数列:

等比数列:

n

n

n

n

q

q

q

q

q

n n

1

3

1

2

1

1

2

)

1

(

3

2

1

1

1

1

2 1

级数审敛法:

(10)

散。

存在,则收敛;否则发

、定义法:

时,不确定

时,级数发散

时,级数收敛

,则

设:

、比值审敛法:

时,不确定

时,级数发散

时,级数收敛

,则

设:

别法):

—根植审敛法(柯西判

、正项级数的审敛法

n n n n n n n n n n

s

u

u

u

s

U

U

u

      

lim

;

3

1

1

1

lim

2

1

1

1

lim

1

2 1 1

的绝对值

其余项

,那么级数收敛且其和

如果交错级数满足

—莱布尼兹定理:

的审敛法

交错级数

1 1 1 3 2 1 4 3 2 1

,

0

lim

)

0

,

(

   



n n n n n n n n

u

r

r

u

s

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

绝对收敛与条件收敛:

            时收敛 1时发散 p    级数:    收敛;   级数: 收敛; 发散,而 调和级数: 为条件收敛级数。 收敛,则称 发散,而 如果 收敛级数; 肯定收敛,且称为绝对 收敛,则 如果 为任意实数; ,其中 1 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( 2 3 2 1 2 1 p n p n n n u u u u u u u u p n n n n     幂级数:

0

0

1

0

)

3

(

lim

)

3

(

1

1

1

1

1

1 1 2 2 1 0 3 2





   

R

R

R

a

a

a

a

R

R

x

R

x

R

x

R

x

a

x

a

x

a

a

x

x

x

x

x

x

x

n n n n n n n n

时,

时,

时,

的系数,则

,其中

求收敛半径的方法:设

称为收敛半径。

,其中

时不定

时发散

时收敛

,使

数轴上都收敛,则必存

收敛,也不是在全

,如果它不是仅在原点

 

对于级数

时,发散

时,收敛于

  

(11)

函数展开成幂级数:





    n n n n n n n n n

x

n

f

x

f

x

f

f

x

f

x

R

x

f

x

x

n

f

R

x

x

n

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

x

f

!

)

0

(

!

2

)

0

(

)

0

(

)

0

(

)

(

0

0

lim

)

(

,

)

(

)!

1

(

)

(

)

(

!

)

(

)

(

!

2

)

(

)

)(

(

)

(

) ( 2 0 1 0 ) 1 ( 0 0 ) ( 2 0 0 0 0

时即为麦克劳林公式:

充要条件是:

可以展开成泰勒级数的

余项:

函数展开成泰勒级数:

一些函数展开成幂级数:

)

(

)!

1

2

(

)

1

(

!

5

!

3

sin

)

1

1

(

!

)

1

(

)

1

(

!

2

)

1

(

1

)

1

(

1 2 1 5 3 2





 

x

n

x

x

x

x

x

x

x

n

n

m

m

m

x

m

m

mx

x

n n n m

   

   

欧拉公式:              2 sin 2 cos sin cos ix ix ix ix ix e e x e e x x i x e    或 三角级数:

上的积分=

任意两个不同项的乘积

正交性:

其中,

0

]

,

[

cos

,

sin

2

cos

,

2

sin

,

cos

,

sin

,

1

cos

sin

)

sin

cos

(

2

)

sin(

)

(

0 0 1 0 1 0

   

nx

nx

x

x

x

x

x

t

A

b

A

a

aA

a

nx

b

nx

a

a

t

n

A

A

t

f

n n n n n n n n n n n n 傅立叶级数: 是偶函数      , 余弦级数: 是奇函数      , 正弦级数: (相减) (相加)           其中 ,周期

                                              nx a a x f n nxdx x f a b nx b x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a a x f n n n n n n n n n n n cos 2 ) ( 2 , 1 , 0 cos ) ( 2 0 sin ) ( 3 , 2 , 1 n sin ) ( 2 0 12 4 1 3 1 2 1 1 6 4 1 3 1 2 1 1 24 6 1 4 1 2 1 8 5 1 3 1 1 ) 3 , 2 , 1 ( sin ) ( 1 ) 2 , 1 , 0 ( cos ) ( 1 2 ) sin cos ( 2 ) ( 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0              

周期为

2

l

的周期函数的傅立叶级数:

(12)

    l l n l l n n n n

n

dx

l

x

n

x

f

l

b

n

dx

l

x

n

x

f

l

a

l

l

x

n

b

l

x

n

a

a

x

f

)

3

,

2

,

1

(

sin

)

(

1

)

2

,

1

,

0

(

cos

)

(

1

2

)

sin

cos

(

2

)

(

1 0

   

   

其中

,周期

微分方程的相关概念:

即得齐次方程通解。

代替

分离变量,积分后将

,则

的函数,解法:

,即写成

程可以写成

齐次方程:一阶微分方

称为隐式通解。

  得:

的形式,解法:

:一阶微分方程可以化

可分离变量的微分方程

 或 

一阶微分方程:

u

x

y

u

u

du

x

dx

u

dx

du

u

dx

du

x

u

dx

dy

x

y

u

x

y

y

x

y

x

f

dx

dy

C

x

F

y

G

dx

x

f

dy

y

g

dx

x

f

dy

y

g

dy

y

x

Q

dx

y

x

P

y

x

f

y

)

(

)

(

)

,

(

)

,

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

)

,

(

)

,

(

)

,

(

一阶线性微分方程:

)

1

,

0

(

)

(

)

(

2

)

)

(

(

0

)

(

,

0

)

(

)

(

)

(

1

) ( ) ( ) (

 

n

y

x

Q

y

x

P

dx

dy

e

C

dx

e

x

Q

y

x

Q

Ce

y

x

Q

x

Q

y

x

P

dx

dy

n dx x P dx x P dx x P

、贝努力方程:

时,为非齐次方程,

为齐次方程,

、一阶线性微分方程:

全微分方程:

通解。

应该是该全微分方程的

,其中:

分方程,即:

中左端是某函数的全微

如果

C

y

x

u

y

x

Q

y

u

y

x

P

x

u

dy

y

x

Q

dx

y

x

P

y

x

du

dy

y

x

Q

dx

y

x

P

)

,

(

)

,

(

)

,

(

0

)

,

(

)

,

(

)

,

(

0

)

,

(

)

,

(

二阶微分方程:

时为非齐次

时为齐次

0

)

(

0

)

(

)

(

)

(

)

(

2 2

x

f

x

f

x

f

y

x

Q

dx

dy

x

P

dx

y

d

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法: 2 1 2 2

,

)

(

2

,

,

(*)

0

)

(

1

,

0

(*)

r

r

y

y

y

r

r

q

pr

r

q

p

qy

y

p

y

式的两个根

、求出

的系数;

式中

的系数及常数项恰好是

,其中

、写出特征方程:

求解步骤:

为常数;

,其中





(13)

式的通解:

的不同情况,按下表写

、根据

,

(*)

3

r

1

r

2

的形式

2 1

r

r

(*)式的通解 两个不相等实根

(

p

2

4

q

0

)

y

c

e

r1x

c

e

r2x 2 1

两个相等实根

(

p

2

4

q

0

)

y

(

c

c

x

)

e

r1x 2 1

一对共轭复根

(

p

2

4

q

0

)

2

4

2

2 2 1

p

q

p

i

r

i

r

)

sin

cos

(

c

1

x

c

2

x

e

y

x

二阶常系数非齐次线性微分方程

为常数;

型,

为常数

]

sin

)

(

cos

)

(

[

)

(

)

(

)

(

,

)

(

x

x

P

x

x

P

e

x

f

x

P

e

x

f

q

p

x

f

qy

y

p

y

n l x m x

 



參考文獻

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