CH4-1
一、單一選擇題
1.
( )設 m 為實數,則如圖中哪一點的坐標代入方程式 y=mx 中,會使 m 的值最小? (A) A (B) B (C) C (D) D (E) E。 答案:(C) 解析:因為 y=mx 必通過原點 O 又斜率為負號者只有直線 OC 與直線 OB 而直線 OC 的傾斜程度最大,故直線 OC 的斜率最小 故選(C)2.
( )如圖,三直線L1:y=ax+b,L2: dycx+=1,L3:ex+fy=1,請選出正確的選項。 (A) ab>0 (B) cd>0 (C) c>e (D) bf>1 (E) ad>-1。 答案:(D) 解析:(A)╳:L1的斜率=a<0,y 截距=b>0
ab<0 (B)╳:L
2 的 x 截距=1<0 c ,y 截距 0 1 > = d
c<0,d>0
cd<0 (C)╳:L2的 x 截距 c 1 = ,L3的 x 截距 e 1 = ,由題圖知 e c 1 1 0> >
0>e>c (D)○:L1的 y 截距=b>1,L3的 y 截距 0 1 1> > f
b>1,f>1
bf>1 (E)╳:L1的斜率 a<-1,L2的 y 截距 0 1 1> > d
a<-1,d>1
ad<-1 故選(D)二、多重選擇題
3.
( )如圖所示,坐標平面上一鳶形 ABCD,其中 A、C 在 y 軸上,B、D 在 x 軸上,且 2 = =AD AB ,BC=CD=4,AC=5,令mAB、mBC、mCD、mDA分別表直線 AB、BC、CD、DA 之斜率,試問以下哪些敘述成立?(A)此四數值中以mAB為最大 (B)此四數值中以mBC為最小 (C)mBC=-mCD (D) 1 =- BC AB m m (E)mCD+mDA>0。【94.學測】 答案:(B)(C)(E) 解析: (A)╳:mCD最大 (B)○ (C)○:BC,CD對 y 軸成對稱 (D)╳:∵5222+42 AB與BC不垂直 (E)○ 故選(B)(C)(E)
4.
( )下列直線的斜率何者為 3 4 - ? (A) 4y+3x=4 (B) 1 4 3+ = y x (C) 1 3 4 - =- y x (D)過(0,0)且與 3x-4y+2=0 垂直的直線 (E)過(1,2)與(5,-1)的直線。 答案:(B)(D) 解析:(A)╳: 4 3 =- m (B)○: 1 4 3+ = y x
4x+3y=12
3 4 =- m (C)╳: 1 3 4 - =- y x
3x+4y=-3
4 3 =- m (D)○:3x-4y+2=0 之斜率為 4 3 , 與 3x-4y+2=0 垂直直線斜率為 3 4 -(E)╳: 4 3 1 5 2 1 =- - - - = m 故選(B)(D)
三、填充題
5.
若三直線L1:x+3y-1=0,L2:x-y+3=0,L3:2x+ky+1=0,不能圍成一個三 角形,則 k 之值為【 】。 答案:6 或-2 或 3 解析:L1,L2,L3 三直線不能圍成三角形,則可能有以下兩類情形: (1)有斜率相等(平行或重合)情形存在, ①若 L1//L2
1 3 1 1 - = (不合) ②若 L1//L3
k 3 2 1 =
k=6 ③若 L2//L3
k 1 2 1=-
k=-2 (2) L1,L2,L3 三線共點,先解 L1 與 L2 交點3
1 0
3 0
x
y
x y
+++
+++
①
②
①-②得 4y-4=0
y=1 代入①得 x=-2 ∴交點為(-2,1) 再將(-2,1)代入 L3 得 2×(-2)+k×1+1=0
k=3 由(1)、(2)得 k 之值為 6 或-2 或 36.
已知三角形的三頂點為 A(-2,1)、B(4,1)、 2 11 1, C ,試求: (1)BC邊上高的直線方程式為【 】。 (2)AC
邊上高的直線方程式為【 】。 (3)△ABC 之垂心坐標為【 】。 答案:(1) 2x-3y=-7;(2) 2x+3y=11;(3)(1,3) 解析: (1)令過 A 與BC垂直的直線L1 ∵ 2 3 4 1 1 2 11 =- - - = BC m ∴ 3 2 1= L m 設L1:2x-3y=k1代 A(-2,1)得k1=-7
L
1: y
2
x
-
3
=-
7
(2)令過 B 與AC垂直的直線為L2 ∵ 2 3 2 1 1 2 11 = ) -(- - = AC m ∴ 3 2 2=- L m 設L2:2x+3y=k2代 B(4,1)得k2=11
L2:2x+3y=11(3)解
11
3
2
7
3
2
=
+
=-
-
y
x
y
x
得 x=1,y=3 故△ABC 之垂心坐標為(1,3)7.
若 f(x)=-5x+3,則 131 12 143)- ( ) ( f f =【 】。 答案:-5 解析: 131 12 143)- ( ) ( f f = 12 143 12 143 - ) ( )- ( f f =f(x)的斜率=-58.
設直線 L 通過點(-4,1)而與兩坐標軸所圍成的三角形面積為 1,則 L 的方程式為【 】。 答案:x+2y+2=0 或 x+8y-4=0 解析: 設 L 為 + =1 b y a x ,且過(-4,1),則-4+1=1 b a
-4b+a=ab………(*) 又 L 與兩軸所圍三角形面積為 1 ∴ 1 2 1 = ab
ab=±2 (1)當 ab=2,代入(*)得 a=4b+2,代入 ab=2
(4b+2)b=2
2b2+b-1=0
(b+1)(2b-1)=0 得 2 1 1或 =- b ,此時對應的 a 值為-2 及 4 故 L 之方程式為 1 1 2+- = - y x 或 1 2 1 4+ = y x 即 x+2y+2=0 或 x+8y-4=0 (2)當 ab=-2,代入(*)得 a=4b-2,代入 ab=-2
(4b-2)b=-2 ∴2b2-b+1=0
無實根(∵判別式 D=-7<0) 由(1)、(2)得 L 的方程式為 x+2y+2=0 或 x+8y-4=09.
(1)不論 m 為任何實數,直線 L:y=mx+m-2 恆過定點 P,則定點 P 的坐標為【 】。 (2)承(1),已知 A(3,2)、B(-2,4),若直線 L 與AB相交,則 m 之範圍為【 】。 答案:(1)(-1,-2);(2) m
1 或 m
-6 解析:(1) y=mx+m-2
y+2=m(x+1) 表過點(-1,-2)斜率為 m 之直線 ∴定點 P(-1,-2) (2) 1 3 1 2 2 = - - - - = AP m , 6 2 1 4 2 =- ) -(- - - - = BP m如圖,若直線 L 與AB相交 則 m
1 或 m
-610.
(1) A(1,5)、B(0,-2),則點 A 關於直線 L:2x-y+8=0 的對稱點坐標為【 】。 (2)承(1),若 P 在 L 上,使△ABP 之周長為最小,則 P 點坐標為【 】。 答案:(1)(-3,7);(2)(-2,4) 解析: (1)過 A 且垂直 L 的直線方程式為 x+2y=11
8
2
11
2
=-
-
=
+
y
x
y
x
6
1
=
=-
y
x
(-1,6)為 A 對 L 的投影點
對稱點坐標 A' 為(-3,7) (2)過 B(0,-2),A'(-3,7)的直線方程式為3x+y=-2
8
2
2
3
=-
-
=-
+
y
x
y
x
4
2
=
=-
y
x
∴P(-2,4)CH4-2
一、單一選擇題
1.
( )如圖所示之三角形區域,其三邊之直線方程式各為 x+5y-7=0,2x+y+4=0,x-y-1=0,則 三角形區域(含邊界)可用下列哪一組不等式表示?(A) x+5y-7
0,2x+y+4
0,x-y-1
0 (B) x+5y-7
0,2x+y+4
0,x-y-1
0 (C) x+ 5y-7
0,2x+y+4
0,x-y-1
0 (D) x+5y-7
0,2x+y+4
0,x-y-1
0 (E) x+5y-7
0,2x+y+4
0,x-y-1
0。 答案:(E) 解析:將(0,0)代入 x+5y-7,得 0+5×0-7=-7<0 所以三角形區域在 x+5y-7
0 的半平面 同理,將(0,0)代入 2x+y+4,x-y-1 可得三角形區域在 2x+y+4
0,x-y-1
0 故選(E)2.
( )設 a<0,b>0,c>0,不等式 ax+by+c
0 的圖形可能是下列哪一個? (A) (B) (C) (D) (E) 答案:(D) 解析:令 L:ax+by+c=0 ∵a<0,b>0,c>0 ∴L 的 x 截距為- >0 a c L 的 y 截距為- <0 b c 又 a<0 ∴ax+by+c=0 的圖形為 L 的左半平面 故選(D)二、多重選擇題
3.
( )平面上一直線 L:2x+2y-3=0 將平面分成兩側,已知一點 P(0,3),試問下列哪些點與 P 點在直線 L 的異側? (A)(1,5) (B)(-1,2) (C) 3 1 2 1 , (D)(1, 2 ) (E) 5 3 5 12 - , 。 答案:(B)(C) 解析:P(0,3)代入 L 得 2×0+2×3-3=3>0 (A)╳:2×1+2×5-3=9>0 (B)○:2×(-1)+2×2-3=-1<0 (C)○: 0 3 4 3 3 1 2 2 1 2 + -=- < (D)╳:21+ 2 2-3=2 2-1>0 (E)╳: 0 5 3 3 5 3 2 5 12 2 + - -= > 故選(B)(C)
4.
( )給兩直線 L1:(a+1)x+y-1=0 及 L2:2x+ay-1=0,下列哪些選項是正確的? (A)若 a= 2,則 L1 與 L2 交於一點 (B)若 a=1,則 L1 與 L2 平行 (C)若 a=-2,則 L1 與 L2 重合 (D)若 L1 與 L2 交於一點,則 a=2 (E)若 L1 與 L2 重合,則 a=1。 答案:(A)(E) 解析:①若兩直線交於一點,則 a a 1 2 1 +
解得 a≠-2 且 a≠1 ②若兩直線重合,則 1 1 1 2 1 - - = = + a a
解得 a=1 ③若兩直線平行,則 1 1 1 2 1 - - = + a a
解得 a=-2 故選(A)(E)三、填充題
5.
設 A(3,-2)、B(-5,1),若線段 AB 與直線 L:x-4y+4=0 相交於一點 P,則AP:BP=【 】。 答案:3:1 解析: 由圖知 B B A A BP AP: = : =d(A,L):d(B,L) = 2 2 12 4 2 4 1 4 5 4 1 4 2 4 3 ) +( + - - : ) +( )+ ( - - - - =15:5=3:16.
設 x、y 為整數,則滿足聯立不等式
0
2
0
2
0
18
2
3
+
-
-
+
y
y
x
y
x
的格子點(x,y)有【 】個。 答案:33 解析:滿足不等式之區域圖形如圖 令
0
2
0
2
0
18
2
3
3 2 1=
+
:
=
-
:
=
-
+
:
y
L
y
x
L
y
x
L
1 L 、L2的交點為
0
2
0
18
2
3
=
-
=
-
+
y
x
y
x
4
9
2
9
=
=
y
x
2 L 、L3的交點為
0
2
0
2
=
+
=
-
y
y
x
2
4
=-
=-
y
x
1 L 、L3的交點為
0
2
0
18
2
3
=
+
=
-
+
y
y
x
2
3
22
=-
=
y
x
故所有格子點的情況如下表 x -4~7 -2~6 0~6 2~5 4 y -2 -1 0 1 2 共 12+9+7+4+1=33(個)7.
坐標平面上,設直線 L 的斜率為 m,且過點 P(-3,-1),若兩點 A(5,0)、B(0,4)在 L 的異 側,則 m 之最大可能範圍為【 】。 答案: 3 5 8 1 < <m 解析:設直線 L:y+1=m(x+3)
L:mx-y+3m-1=0 ∵A、B 在 L 的異側 ∴(5m+3m-1)(-4+3m-1)<0
(8m-1)(3m-5)<0
3 5 8 1 < <m8.
設 P(3,-2),Q(-1,1),若 R 點在直線 L:6x+8y+k=0 上,且△PQR 的面積為 6,則 k 值為 【 】。 答案:22 或-26 解析:因為PQ= (3-(-1))2+((-2)-1)2 =5 且 L PQ m m =- = ) -(- )- (- = 4 3 1 3 1 2
直線 PQ 平行 L
△PQR 面積為 6 8 6 2 8 3 6 5 2 1 2 2+ = )+ (- + k ,即∣k+2∣=24 故 k=22 或-269.
設 S 為坐標平面上直線 2x+y=10 被平行線 x-2y+15=0 與 x-2y=0 所截的線段(含端點)。若直線 3x-y=c 與 S 有交點,則 c 的最小值為【 】。【109.學測】 答案:-5 解析:令 2x+y=10 分別與 x-2y+15=0,x-2y=0 的交點為 A、B 則
0
15
2
10
2
=
+
-
=
+
y
x
y
x
A(1,8),
0
2
10
2
=
-
=
+
y
x
y
x
B(4,2),如下圖3x-y=c 過 A(1,8)時
c=3-8=-5 3x-y=c 過 B(4,2)時
c=12-2=10
-5
c
10 故 c 的最小值為-510.
(1)已知兩條平行的直線 L1:3x+2y-5=0,L2:6x+4y+16=0,則直線 L1 到直線 L2 的距離為【 】。 (2)已知直線 L:3x-4y+5=0,若直線 M 平行 L 且距離為 2,則直線 M 的方程式為【 】。 答案:(1) 13;(2) 3x-4y+15=0 或 3x-4y-5=0 解析:(1)將直線 L2 改寫為 3x+2y+8=0,則直線 L1 到直線 L2 的距離為 13 13 13 2 3 | 5 8 | 2 2+ = = ) -(- (2)設直線 M 的方程式為:3x-4y+k=0 則直線 L 到直線 M 的距離為 2 4 3 | 5 | 2 2+(-)= - k
│k-5│=10
k-5=± 10
k=15 或-5 得 M:3x-4y+15=0 或 3x-4y-5=0CH4-3
一、單一選擇題
1.
( )在坐標平面上,以(1,1),(-1,1),(-1,-1)及(1,-1)等四個點為頂點的正方 形,與圓x2+y2+2x+2y+1=0有幾個交點? (A) 1 個 (B) 2 個 (C) 3 個 (D) 4 個 (E) 0 個。【103.學測】 答案:(B) 解析:圓方程式x2+y2+2x+2y+1=0
(x+1)2+(y+1)2=1 ∴圓心(-1,-1),半徑 r=1作圖如圖,得圓與正方形交於(0,-1)與(-1,0)共 2 點 故選(B)
2.
( )坐標平面上兩圖形Γ 、1 Γ 的方程式分別為2 Γ 1:(x+1)2+y2=1、 1 2 2:(x+y)= Γ 。請問Γ ,1 Γ 共有幾個交點? (A) 1 個 (B) 2 個 (C) 3 個 (D) 42 個 (E) 0 個。【105.學測】 答案:(B) 解析: 1 2 2 1 1:(x+)+y = Γ 表圓心為(-1,0),半徑為 1 的圓方程式 1 2 2:(x+y)= Γ
x+y=1 或 x+y=-1,表兩條平行直線 所以圓形與兩直線共交兩點,如圖 故選(B)二、多重選擇題
3.
( )在坐標平面上,S:x2+y2+2x-4y+k=0,下列何者正確? (A)若 k=0,則 S 為一個 圓 (B)若 k=5,則 S 為一點 (C)若 k=-5,則 S 無圖形 (D)若 S 為一圓,則圓心為(- 1,2) (E)若圓 S 與 x 軸相切,則 k=1。 答案:(A)(B)(D)(E) 解析:將 S 配方成(x+1)2+(y-2)2=5-k (A)○:若 5-k>0,即 k<5,S 為一個圓 (B)○:若 5-k=0,則 k=5,S 為一個點 (C)╳:k=-5 時,S 為一圓 (D)○:圓心為(-1,2) (E)○:與 x 軸相切,則半徑為 2,即 5-k =2,所以 k=1 故選(A)(B)(D)(E)4.
( )設 Γ:x2+y2-10x+9=0為坐標平面上的圓。試問下列哪些選項是正確的? (A)Γ 的圓心 坐標為(5,0) (B)Γ 上的點與直線 L:3x+4y-15=0 的最遠距離等於 4 (C)直線 L1:3x+4y+15=0 與 Γ 相切 (D)Γ 上恰有兩個點與直線 L2:3x+4y=0 的距離等於 2 (E)Γ 上恰有四個點 與直線 L3:3x+4y-5=0 的距離等於 2。 答案:(A)(B)(D) 解析:(A)○:對 x、y 配方,得 Γ:(x-5)2+y2=16 所以 Γ 的圓心為 A(5,0),半徑為 r=4 (B)○:因為圓心 A 到直線 L 的距離為 3242 15 0 4 5 3 + - + =0 所以圓上點到直線 L 的最遠距離為 0+r=4 (C)╳:因為圓心 A 到直線 L1 的距離為 32 42 15 0 4 5 3 + + + =6>r 所以圓 Γ 與直線 L1 不相交 (D)○:因為圓心 A 到直線 L2 的距離為 3242 0 4 5 3 + + =3 所以圓 Γ 到直線 L2 距離等於 2 的點有兩個 (E)╳:因為圓心 A 到直線 L3 的距離為 32 42 5 0 4 5 3 + - + =2 所以圓 Γ 到直線 L3 距離等於 2 的點有三個 故選(A)(B)(D)
三、填充題
5.
試求符合下列條件之圓方程式: (1)圓心在點(-3,2),若半徑為 6,則圓之方程式為【 】。 (2)圓心在點 O(1,-3),若圓通過點 P(4,1),則圓之方程式為【 】。 (3)已知平面上三點 A(1,-1)、B(0,2)、C(2,-2),則△ABC 的外接圓方程式為【 】。 答案:(1)(x+3)2+(y-2)2=36;(2)(x-1)2+(y+3)2=25;(3) 0 4 4 10 2 2+y - x- y+ = x 解析:(1)如圖(一),(x+3)2+(y-2)2=36 圖(一) (2)如圖(二),半徑r=OP=(4-1)2+(1+3)2 =5 ∴圓方程式為(x-1)2+(y+3)2=25 圖(二) (3)設圓方程式為x2+y2+dx+ey+f=0過 A(1,-1)
2+d-e+f=0 B(0,2)
4+2e+f=0 C(2,-2)
8+2d-2e+f=0
d=-10,e=-4,f=4 故△ABC 的外接圓方程式為x2+y2-10x-4y+4=06.
設直線 L:x-2y+k=0,圓C:x2+y2=1: (1)若 L 與圓 C 交於相異兩點,則 k 的範圍為【 】。 (2)若 L 與圓 C 相切,則 k=【 】。 (3)若 L 與圓 C 不相交,則 k 的範圍為【 】。 答案:(1)- 5<k< 5;(2) 5;(3)k> 5或k<- 5 解析:代數觀點: ∵x-2y+k=0
x=2y-k 代入圓 C 中得 1 2 - )2+ 2= ( y k y
5y2-4ky+(k2-1)=0 ) - ( - ) =(4k 2 4 5 k2 1 D =16k2- k20 2+20 =-4k2+20=-4(k+ 5)(k- 5) (1)若 L 與圓 C 交於相異兩點
D=-4(k+ 5)(k- 5)>0
(k+ 5)(k- 5)<0
- 5<k< 5 (2)若 L 與圓 C 相切
D=-4(k+ 5)(k- 5)=0
k= 5 (3)若 L 與圓 C 不相交
D=-4(k+ 5)(k- 5)<0
(k+ 5)(k- 5)>0
k> 5或k<- 5 〔另解〕 幾何觀點: 圓C:x2+y2=1的圓心 O(0,0),半徑 r=1 圓心 O 到直線 L:x-2y+k=0 的距離 5 2 1 0 0 2 2 k k d = ) +(- + - = (1)若 L 與圓 C 交於相異兩點
d<r
1 5 5 < k < k
- 5<k< 5 (2)若 L 與圓 C 相切
d=r
1 5 = k
5 = k
k= 5 (3)若 L 與圓 C 不相交
d>r
1 5> k
5 > k
k> 5或k<- 57.
試求過點 P(1,2)且與圓x2+y2-8x-6y+20=0相切之直線方程式為【 】。 答案:2x-y=0 及 x+2y-5=0 解析:∵12+22-81-62+20>0 ∴點 P(1,2)在圓外 設切線方程式為 y-2=m(x-1)
y=mx-m+2 ∴mx-y-m+2=0又圓: x2+y2-8x-6y+20=0
(x-4)2+(y-3)2=5 ∴圓心為(4,3),半徑為 5 ∵圓心至切線距離等於半徑 ∴ 5 1 2 3 4 2 2+(-) = + - - m m m
1 5 1 3m- = m2+ 平方得9m2-6m+1=5m2+5
4m2- m6 -4=0
2m2- m3 -2=0
(m-2)(2m+1)=0
m=2 或 2 =- m 所求切線方程式為 y-2=2(x-1)與 - =- ( -1) 2 1 2 x y 故切線方程式為 2x-y=0 及 x+2y-5=08.
已知點 A(1,5),且 P 為圓C:(x+3)2+(y-2)2=36上的一動點,則: (1)PA的最小值為【 】。 (2)PA的最大值為【 】。 答案:(1) 1;(2) 11 解析:圓C:(x+3)2+(y-2)2=36
圓心 O(-3,2),半徑 r=6 ∵A(1,5)代入圓C:(x+3)2+(y-2)2=36 得(1+3)2+(5-2)2-36<0 ∴A(1,5)在圓內 (1)∵OA=(1+3)2+(5-2)2 =5 ∴由圖(一)知PA的最小值為r-OA=6-5=1 (2)由圖(二)知PA的最大值為r+OA=6+5=119.
坐標平面上,一圓與直線 x-y=1 以及直線 x-y=5 所截的弦長皆為 14。則此圓的面積為【 】π。【102.學測】 答案:51解析:因為 x-y=1 與 x-y=5 的距離為 2 2 1 1 1 5 2 2+(-)= - 所以弦心距為 2