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1091高一上期末考數學題庫(40)

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Academic year: 2021

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(1)

CH4-1

一、單一選擇題

1.

( )設 m 為實數,則如圖中哪一點的坐標代入方程式 y=mx 中,會使 m 的值最小? (A) A (B) B (C) C (D) D (E) E。 答案:(C) 解析:因為 y=mx 必通過原點 O 又斜率為負號者只有直線 OC 與直線 OB 而直線 OC 的傾斜程度最大,故直線 OC 的斜率最小 故選(C)

2.

( )如圖,三直線L1:yaxbL2: dycx+=1,L3:exfy=1,請選出正確的選項。 (A) ab>0 (B) cd>0 (C) c>e (D) bf>1 (E) ad>-1。 答案:(D) 解析:(A)╳:L1的斜率=a<0,y 截距=b>0

ab<0 (B)╳:

L

2 的 x 截距=1<0 c ,y 截距 0 1 > = d

c<0,d>0

cd<0 (C)╳:L2的 x 截距 c 1 = ,L3的 x 截距 e 1 = ,由題圖知 e c 1 1 0> >

0>e>c (D)○:L1的 y 截距=b>1,L3的 y 截距 0 1 1> > f

b>1,f>1

bf>1 (E)╳:L1的斜率 a<-1,L2的 y 截距 0 1 1> > d

a<-1,d>1

ad<-1 故選(D)

二、多重選擇題

3.

( )如圖所示,坐標平面上一鳶形 ABCD,其中 A、C 在 y 軸上,B、D 在 x 軸上,且 2 = =AD ABBC=CD=4,AC=5,令mABmBCmCDmDA分別表直線  AB、BC、CD、DA 之斜率,試問以下哪些敘述成立?

(2)

(A)此四數值中以mAB為最大 (B)此四數值中以mBC為最小 (C)mBC=-mCD (D) 1 =- BC AB m m (E)mCDmDA>0。【94.學測】 答案:(B)(C)(E) 解析: (A)╳:mCD最大 (B)○ (C)○:BCCD對 y 軸成對稱 (D)╳:∵522242 ABBC不垂直 (E)○ 故選(B)(C)(E)

4.

( )下列直線的斜率何者為 3 4 - ? (A) 4y+3x=4 (B) 1 4 3+ = y x  (C) 1 3 4 - =- y x   (D)過(0,0)且與 3x-4y+2=0 垂直的直線 (E)過(1,2)與(5,-1)的直線。 答案:(B)(D) 解析:(A)╳: 4 3 =- m (B)○: 1 4 3+ = y x

4x+3y=12

3 4 =- m (C)╳: 1 3 4 - =- y x

3x+4y=-3

4 3 =- m (D)○:3x-4y+2=0 之斜率為 4 3 , 與 3x-4y+2=0 垂直直線斜率為 3 4 -

(3)

(E)╳: 4 3 1 5 2 1 =- - - - = m 故選(B)(D)

三、填充題

5.

若三直線L1x+3y-1=0,L2xy+3=0,L3:2xky+1=0,不能圍成一個三 角形,則 k 之值為【    】。 答案:6 或-2 或 3 解析:L1,L2,L3 三直線不能圍成三角形,則可能有以下兩類情形: (1)有斜率相等(平行或重合)情形存在, ①若 L1//L2

1 3 1 1 - = (不合)若 L1//L3

k 3 2 1 =

k=6 ③若 L2//L3

k 1 2 1

k=-2 (2) L1,L2,L3 三線共點,先解 L1 與 L2 交點

3

1 0

3 0

x

y

x y





+++

+++

①-②得 4y-4=0

y=1 代入①得 x=-2 ∴交點為(-2,1) 再將(-2,1)代入 L3 得 2×(-2)+k×1+1=0 

k=3 由(1)、(2)得 k 之值為 6 或-2 或 3

6.

已知三角形的三頂點為 A(-2,1)、B(4,1)、       2 11 1, C ,試求: (1)BC邊上高的直線方程式為【    】。 (2)

AC

邊上高的直線方程式為【    】。 (3)△ABC 之垂心坐標為【    】。 答案:(1) 2x-3y=-7;(2) 2x+3y=11;(3)(1,3) 解析: (1)令過 A 與BC垂直的直線L1 ∵ 2 3 4 1 1 2 11 =- - - = BC m  ∴ 3 2 1= L mL1:2x-3yk1代 A(-2,1)得k1=-7 

L

1

: y

2

x

3

=-

7

(2)令過 B 與AC垂直的直線為L2 ∵ 2 3 2 1 1 2 11 = ) -(- - = AC m  ∴ 3 2 2=- L mL2:2x+3yk2代 B(4,1)得k2=11 

L2:2x+3y=11

(4)

(3)解

11

3

2

7

3

2

=-

y

x

y

x

得 x=1,y=3 故△ABC 之垂心坐標為(1,3)

7.

若 f(x)=-5x+3,則 131 12 143)- ( ) ( f f =【    】。 答案:-5 解析: 131 12 143)- ( ) ( f f = 12 143 12 143 - ) ( )- ( f f =f(x)的斜率=-5

8.

設直線 L 通過點(-4,1)而與兩坐標軸所圍成的三角形面積為 1,則 L 的方程式為【    】。 答案:x+2y+2=0 或 x+8y-4=0 解析: 設 L 為 + =1 b y a x ,且過(-4,1),則-4+1=1 b a

-4b+a=ab………(*) 又 L 與兩軸所圍三角形面積為 1 ∴ 1 2 1 = ab

ab=±2 (1)當 ab=2,代入(*)得 a=4b+2,代入 ab=2

(4b+2)b=2

2b2+b-1=0

(b+1)(2b-1)=0 得 2 1 1或 =- b ,此時對應的 a 值為-2 及 4 故 L 之方程式為 1 1 2+- = - y x 或 1 2 1 4+ = y x 即 x+2y+2=0 或 x+8y-4=0 (2)當 ab=-2,代入(*)得 a=4b-2,代入 ab=-2 

(4b-2)b=-2 ∴2b2-b+1=0

無實根(∵判別式 D=-7<0) 由(1)、(2)得 L 的方程式為 x+2y+2=0 或 x+8y-4=0

9.

(1)不論 m 為任何實數,直線 L:y=mx+m-2 恆過定點 P,則定點 P 的坐標為【    】。 (2)承(1),已知 A(3,2)、B(-2,4),若直線 L 與AB相交,則 m 之範圍為【    】。 答案:(1)(-1,-2);(2) m

1 或 m

-6 解析:(1) y=mx+m-2

y+2=m(x+1) 表過點(-1,-2)斜率為 m 之直線 ∴定點 P(-1,-2) (2) 1 3 1 2 2 = - - - - = AP m 6 2 1 4 2 =- ) -(- - - - = BP m

(5)

如圖,若直線 L 與AB相交 則 m

1 或 m

-6

10.

(1) A(1,5)、B(0,-2),則點 A 關於直線 L:2x-y+8=0 的對稱點坐標為【    】。 (2)承(1),若 P 在 L 上,使△ABP 之周長為最小,則 P 點坐標為【    】。 答案:(1)(-3,7);(2)(-2,4) 解析: (1)過 A 且垂直 L 的直線方程式為 x+2y=11

8

2

11

2

=-

y

x

y

x

6

1

=-

y

x

(-1,6)為 A 對 L 的投影點

對稱點坐標 A' 為(-3,7) (2)過 B(0,-2),A'(-3,7)的直線方程式為3x+y=-2

8

2

2

3

=-

=-

y

x

y

x

4

2

=-

y

x

∴P(-2,4)

(6)

CH4-2

一、單一選擇題

1.

( )如圖所示之三角形區域,其三邊之直線方程式各為 x+5y-7=0,2x+y+4=0,x-y-1=0,則 三角形區域(含邊界)可用下列哪一組不等式表示?

(A) x+5y-7

0,2x+y+4

0,x-y-1

0 (B) x+5y-7

0,2x+y+4

0,x-y-1

0 (C) x+ 5y-7

0,2x+y+4

0,x-y-1

0 (D) x+5y-7

0,2x+y+4

0,x-y-1

0 (E) x+5y-7

0,2x+y+4

0,x-y-1

0。 答案:(E) 解析:將(0,0)代入 x+5y-7,得 0+5×0-7=-7<0 所以三角形區域在 x+5y-7

0 的半平面 同理,將(0,0)代入 2x+y+4,x-y-1 可得三角形區域在 2x+y+4

0,x-y-1

0 故選(E)

2.

( )設 a<0,b>0,c>0,不等式 ax+by+c

0 的圖形可能是下列哪一個? (A)    (B)   (C)   (D)   (E)  答案:(D) 解析:令 L:ax+by+c=0 ∵a<0,b>0,c>0 ∴L 的 x 截距為- >0 a c L 的 y 截距為- <0 b c 又 a<0 ∴ax+by+c=0 的圖形為 L 的左半平面 故選(D)

二、多重選擇題

3.

( )平面上一直線 L:2x+2y-3=0 將平面分成兩側,已知一點 P(0,3),試問下列哪些點與 P 點

(7)

在直線 L 的異側? (A)(1,5) (B)(-1,2) (C)       3 1 2 1 ,  (D)(1, 2 ) (E)       5 3 5 12 - , 。 答案:(B)(C) 解析:P(0,3)代入 L 得 2×0+2×3-3=3>0 (A)╳:2×1+2×5-3=9>0 (B)○:2×(-1)+2×2-3=-1<0 (C)○: 0 3 4 3 3 1 2 2 1 2 +  -=- < (D)╳:21+ 2 2-3=2 2-1>0 (E)╳: 0 5 3 3 5 3 2 5 12 2 + - -= >        故選(B)(C)

4.

( )給兩直線 L1:(a+1)x+y-1=0 及 L2:2x+ay-1=0,下列哪些選項是正確的? (A)若 a= 2,則 L1 與 L2 交於一點 (B)若 a=1,則 L1 與 L2 平行 (C)若 a=-2,則 L1 與 L2 重合 (D)若  L1 與 L2 交於一點,則 a=2 (E)若 L1 與 L2 重合,則 a=1。 答案:(A)(E) 解析:①若兩直線交於一點,則 a a 1 2 1

解得 a≠-2 且 a≠1 ②若兩直線重合,則 1 1 1 2 1 - - = = + a a

解得 a=1 ③若兩直線平行,則 1 1 1 2 1 - - = + a a

解得 a=-2 故選(A)(E)

三、填充題

5.

設 A(3,-2)、B(-5,1),若線段 AB 與直線 L:x-4y+4=0 相交於一點 P,則APBP=【 】。 答案:3:1 解析: 由圖知 B B A A BP AP: = :  =d(A,L):d(B,L) = 2 2 12 4 2 4 1 4 5 4 1 4 2 4 3 ) +( + - - : ) +( )+ ( - - - -   =15:5=3:1

(8)

6.

設 x、y 為整數,則滿足聯立不等式

0

2

0

2

0

18

2

3

y

y

x

y

x

的格子點(x,y)有【    】個。 答案:33 解析:滿足不等式之區域圖形如圖 令

0

2

0

2

0

18

2

3

3 2 1

y

L

y

x

L

y

x

L

1 LL2的交點為

0

2

0

18

2

3

y

x

y

x



4

9

2

9

y

x

2 LL3的交點為

0

2

0

2

y

y

x

2

4

=-

=-

y

x

1 LL3的交點為

0

2

0

18

2

3

y

y

x



2

3

22

=-

y

x

故所有格子點的情況如下表 x -4~7 -2~6 0~6 2~5 4 y -2 -1 0 1 2 共 12+9+7+4+1=33(個)

7.

坐標平面上,設直線 L 的斜率為 m,且過點 P(-3,-1),若兩點 A(5,0)、B(0,4)在 L 的異 側,則 m 之最大可能範圍為【    】。 答案: 3 5 8 1 < <m 解析:

(9)

設直線 L:y+1=m(x+3)

L:mx-y+3m-1=0 ∵A、B 在 L 的異側 ∴(5m+3m-1)(-4+3m-1)<0

(8m-1)(3m-5)<0

3 5 8 1 < <m

8.

設 P(3,-2),Q(-1,1),若 R 點在直線 L:6x+8y+k=0 上,且△PQR 的面積為 6,則 k 值為 【    】。 答案:22 或-26 解析:因為PQ3-(-12+((-2)-12 =5 且 L PQ m m =- = ) -(- )- (- = 4 3 1 3 1 2

直線 PQ 平行 L

△PQR 面積為 6 8 6 2 8 3 6 5 2 1 2 2 = )+ (- +  k    ,即∣k+2∣=24 故 k=22 或-26

9.

設 S 為坐標平面上直線 2x+y=10 被平行線 x-2y+15=0 與 x-2y=0 所截的線段(含端點)。若直線  3x-y=c 與 S 有交點,則 c 的最小值為【    】。【109.學測】 答案:-5 解析:令 2x+y=10 分別與 x-2y+15=0,x-2y=0 的交點為 A、B

0

15

2

10

2

y

x

y

x

A(1,8),

0

2

10

2

y

x

y

x

B(4,2),如下圖

(10)

3x-y=c 過 A(1,8)時

c=3-8=-5 3x-y=c 過 B(4,2)時

c=12-2=10

-5

c

10 故 c 的最小值為-5

10.

(1)已知兩條平行的直線 L1:3x+2y-5=0,L2:6x+4y+16=0,則直線 L1 到直線 L2 的距離為【   】。 (2)已知直線 L:3x-4y+5=0,若直線 M 平行 L 且距離為 2,則直線 M 的方程式為【    】。 答案:(1) 13;(2) 3x-4y+15=0 或 3x-4y-5=0 解析:(1)將直線 L2 改寫為 3x+2y+8=0,則直線 L1 到直線 L2 的距離為 13 13 13 2 3 | 5 8 | 2 2 = = ) -(- (2)設直線 M 的方程式為:3x-4y+k=0 則直線 L 到直線 M 的距離為 2 4 3 | 5 | 2 2+(-= - k

│k-5│=10

k-5=± 10

k=15 或-5 得 M:3x-4y+15=0 或 3x-4y-5=0

CH4-3

一、單一選擇題

1.

( )在坐標平面上,以(1,1),(-1,1),(-1,-1)及(1,-1)等四個點為頂點的正方 形,與圓x2y22x2y10有幾個交點? (A) 1 個 (B) 2 個 (C) 3 個 (D) 4 個  (E) 0 個。【103.學測】 答案:(B) 解析:圓方程式x2y22x2y10

x12+(y121 ∴圓心(-1,-1),半徑 r=1

(11)

作圖如圖,得圓與正方形交於(0,-1)與(-1,0)共 2 點 故選(B)

2.

( )坐標平面上兩圖形Γ 、1 Γ 的方程式分別為2 Γ 1:(x+1)2+y2=1、 1 2 2:(xy)= Γ 。請問Γ ,1 Γ 共有幾個交點? (A) 1 個 (B) 2 個 (C) 3 個 (D) 42 個 (E) 0 個。【105.學測】 答案:(B) 解析: 1 2 2 1 1:(x+)+yΓ 表圓心為(-1,0),半徑為 1 的圓方程式 1 2 2:(xy)= Γ

x+y=1 或 x+y=-1,表兩條平行直線 所以圓形與兩直線共交兩點,如圖 故選(B)

二、多重選擇題

3.

( )在坐標平面上,Sx2y22x4yk0,下列何者正確? (A)若 k=0,則 S 為一個 圓 (B)若 k=5,則 S 為一點 (C)若 k=-5,則 S 無圖形 (D)若 S 為一圓,則圓心為(- 1,2) (E)若圓 S 與 x 軸相切,則 k=1。 答案:(A)(B)(D)(E) 解析:將 S 配方成x+1)2+(y-2)2=5-k (A)○:若 5-k>0,即 k<5,S 為一個圓 (B)○:若 5-k=0,則 k=5,S 為一個點 (C)╳:k=-5 時,S 為一圓 (D)○:圓心為(-1,2) (E)○:與 x 軸相切,則半徑為 2,即 5-k =2,所以 k=1 故選(A)(B)(D)(E)

4.

( )設 Γ:x2y210x90為坐標平面上的圓。試問下列哪些選項是正確的? (A)Γ 的圓心 坐標為(5,0) (B)Γ 上的點與直線 L:3x+4y-15=0 的最遠距離等於 4 (C)直線 L1:3x+4y

(12)

+15=0 與 Γ 相切 (D)Γ 上恰有兩個點與直線 L2:3x+4y=0 的距離等於 2 (E)Γ 上恰有四個點 與直線 L3:3x+4y-5=0 的距離等於 2。 答案:(A)(B)(D) 解析:(A)○:對 x、y 配方,得 Γ:x52y216 所以 Γ 的圓心為 A(5,0),半徑為 r=4 (B)○:因為圓心 A 到直線 L 的距離為 3242 15 0 4 5 3 + - +   =0 所以圓上點到直線 L 的最遠距離為 0+r=4 (C)╳:因為圓心 A 到直線 L1 的距離為 32 42 15 0 4 5 3 + + +   =6>r 所以圓 Γ 與直線 L1 不相交 (D)○:因為圓心 A 到直線 L2 的距離為 3242 0 4 5 3 + +   =3 所以圓 Γ 到直線 L2 距離等於 2 的點有兩個 (E)╳:因為圓心 A 到直線 L3 的距離為 32 42 5 0 4 5 3 + - +   =2 所以圓 Γ 到直線 L3 距離等於 2 的點有三個 故選(A)(B)(D)

三、填充題

5.

試求符合下列條件之圓方程式: (1)圓心在點(-3,2),若半徑為 6,則圓之方程式為【    】。 (2)圓心在點 O(1,-3),若圓通過點 P(4,1),則圓之方程式為【    】。 (3)已知平面上三點 A(1,-1)、B(0,2)、C(2,-2),則△ABC 的外接圓方程式為【    】。 答案:(1)x32+(y2236;(2)x12+(y3225;(3) 0 4 4 10 2 2y x y x 解析:(1)如圖(一),x32+(y2236 圖(一) (2)如圖(二),半徑r=OP412+(132 5 ∴圓方程式為x12+(y3225 圖(二) (3)設圓方程式為x2y2dxeyf0

(13)

過 A(1,-1)

2+d-e+f=0 B(0,2)

4+2e+f=0 C(2,-2)

8+2d-2e+f=0

d=-10,e=-4,f=4 故△ABC 的外接圓方程式為x2y210x4y40

6.

設直線 L:x-2y+k=0,圓Cx2y21 (1)若 L 與圓 C 交於相異兩點,則 k 的範圍為【    】。 (2)若 L 與圓 C 相切,則 k=【    】。 (3)若 L 與圓 C 不相交,則 k 的範圍為【    】。 答案:(1)- 5<k< 5;(2) 5;(3)k> 5或k<- 5 解析:代數觀點: ∵x-2yk=0

x=2y-k 代入圓 C 中得 1 2 2 2y k y

5y24ky+(k21)=0 ) - ( - ) =(4k 2 4 5 k2 1 D   =16k2- k20 220 =-4k2+20=-4(k+ 5)(k- 5) (1)若 L 與圓 C 交於相異兩點

D=-4(k+ 5)(k- 5)>0

k+ 5)(k- 5)<0

- 5<k< 5 (2)若 L 與圓 C 相切

D=-4(k+ 5)(k- 5)=0

k= 5 (3)若 L 與圓 C 不相交

D=-4(k+ 5)(k- 5)<0

k+ 5)(k- 5)>0

k> 5或k<- 5 〔另解〕 幾何觀點: 圓Cx2y21的圓心 O(0,0),半徑 r=1 圓心 O 到直線 L:x-2y+k=0 的距離 5 2 1 0 0 2 2 k k d = ) +(- + - = (1)若 L 與圓 C 交於相異兩點

d<r

1 5 5 < kk

- 5<k< 5 (2)若 L 與圓 C 相切

d=r

1 5 = k

5 = k

k= 5 (3)若 L 與圓 C 不相交

d>r

1 5> k

5 > k

k> 5或k<- 5

7.

試求過點 P(1,2)且與圓x2y28x6y200相切之直線方程式為【    】。 答案:2x-y=0 及 x+2y-5=0 解析:∵12228162200 ∴點 P(1,2)在圓外 設切線方程式為 y-2=m(x-1)

y=mx-m+2 ∴mx-y-m+2=0

(14)

又圓: x2y28x6y200

x42+(y325 ∴圓心為(4,3),半徑為 5 ∵圓心至切線距離等於半徑 ∴ 5 1 2 3 4 2 2+(- = + - - m m m

1 5 1 3m m2 平方得9m26m15m25

4m2- m6 40

2m2- m3 20

(m-2)(2m+1)=0

m=2 或 2  =- m 所求切線方程式為 y-2=2(x-1)與 - =- ( -1) 2 1 2 x y 故切線方程式為 2x-y=0 及 x+2y-5=0

8.

已知點 A(1,5),且 P 為圓Cx32+(y2236上的一動點,則: (1)PA的最小值為【    】。 (2)PA的最大值為【    】。 答案:(1) 1;(2) 11 解析:圓Cx32+(y2236

圓心 O(-3,2),半徑 r=6 ∵A(1,5)代入圓Cx32+(y2236  得132+(522360 ∴A(1,5)在圓內 (1)∵OA132+(522 5 ∴由圖(一)知PA的最小值為r-OA=6-5=1 (2)由圖(二)知PA的最大值為r+OA=6+5=11   

9.

坐標平面上,一圓與直線 x-y=1 以及直線 x-y=5 所截的弦長皆為 14。則此圓的面積為【     】π。【102.學測】 答案:51

(15)

解析:因為 x-y=1 與 x-y=5 的距離為 2 2 1 1 1 5 2 2+(-= - 所以弦心距為 2

圓的半徑為 72+( 22 51 故圓的面積為 51π

10.

若一圓的圓心在 3x-y=1 上,且過點 A(1,0)、B(3,2),則此圓的方程式為【    】。 答案:x12+(y224 解析:∵A(1,0)、B(3,2)

中點 M(2,1) 又 1 2 2 = = AB m ∴過 M 點且與 AB 垂直的直線斜率為-1

AB的中垂線方程式為 y-1=-1×(x-2)

x+y=3 ∵圓心必落在弦之中垂線上,又圓心在 3x-y=1 上 解之得 x=1,y=2 ∴圓心 O 為(1,2) 又半徑r=OA112+(202 2 ∴圓方程式為x12+(y224 〔另解〕 ∵圓心在 3x-y=1 上,令 x=t

y=3t-1 ∴圓心 O 為(t,3t-1) 則半徑rOAOB

t12+(3t102 t32+(3t122 平方得 2 2 2 2 3 3 3 1 3 1)+( -)=( -)+( -) - (t t t t

t22t19t26t1t26t99t218t9

16t=16

t=1 ∴圓心 O(1,2),半徑r=OA=2 故圓方程式為x12+(y224

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範圍:下學期第一次段考

三、計算題:共