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第1章(數列與級數)

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(1)

1

(2)

領取的金額依次為 10 萬、11 萬、12 萬、13 萬、14 萬、…;乙案第一年同 樣可領取 10 萬元,以後每年都較前一年再增加 6 %,即每年領取的金額依 次為 10 萬、10.6 萬、11.24 萬、11.91 萬、12.62 萬、…。某人參加此種儲 蓄保險,在繳費期滿後預估自己還能存活 28 年,應選擇哪一種方案領取年 金較為有利?其實,甲案每年領取的金額 10 萬、11 萬、12 萬、13 萬、14 萬、…構成一等差數列,而乙案每年領取的金額 10 萬、10.6 萬、11.24 萬、 11.91 萬、12.62 萬、…則構成一等比數列。本章將就等差、等比的數列與 級數加以討論。

(3)

1-1

等 差 數 列 與 等 差 級 數

要討論等差數列與等差級數之前,我們必須先了解數列、級數的意義。 1-1.1

數列、級數的意義

為了知道某一個地方下雨的情形,我們將該地方一年內各月份下雨的天 數,依序記錄如下: 9, 8, 10, 7, 4, 2, 3, 14, 16, 12, 10, 8 像這樣依照順序列出的一串數,就構成一個數列。而數列中的每一個數稱 為這數列的項,第一個數稱為第一項(或稱首項),第二個數稱為第二項,第 三個數稱為第三項,…,依此類推。 當一個數列的項數為有限個時,稱為有限數列,否則稱為無窮數列,有限 數列的最後一項稱為末項。 習慣上,我們以 an 表示一個數列的第 n 項(又稱為數列的一般項),而 以〈an〉、 an 或 an 來表示第 n 項為 an 的數列。例如: 12, 22, 32, 42, …, 102 為一有限數列, 首項為12,末項為102。 一年有十二個月,平年每月的天數依序成一有限數列, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31, 首項為31,第四項為 30,末項為 31,共有 12 個項。 1, 12 , 13 , 14 , …, 1n , …為一無窮數列,

(4)

小考箱

( ) 解 在上述 中,可以看出數列的第一項為 12,第二項為 22,…,依此,第八 項為 82,第n 項為 n2,所以 an=n2。但在 中的數列,各項之間呈現不規律, 故無法以一般項來表示。  任何一個數列一定有首項,也一定有末項。 設 an=n2n + 3,試寫出數列〈a n〉的前5 項。 因為 an=n2-n+3 故得 a1=12-1+3 = 3 a2=22-2+3 = 5 a3=32-3+3 = 9 a4=42-4+3 = 15 a5=52-5+3 = 23 所以數列〈an〉的前 5 項為 3, 5, 9, 15, 23。 設 an= 1 n n + 2 ,試寫出數列〈an〉的前 5 項。

(5)

解 試以數列的一般項來表示下列各數列: 4, 7, 10, 13, 16, 19, … 1 1 × 2 , 2 × 3 ,1 3 × 4 ,1 4 × 5 ,1 5 × 6 ,1 … 數列的每一項都是3 的倍數加 1 a1= 4 = 3 ×1+1 a2= 7 = 3 ×2+1 a3=10 = 3 ×3+1 … … a6=19 = 3 ×6+1 依此規律我們可得數列的一般項 an=3 ×n+1 數列每一項的分母,第1 項為 1 × 2,第 2 項為 2 × 3,…, 第5 項為 5 × 6,依此規律得知數列第 n 項的分母為 n × n + 1 ,所以此數列的一般項 an1 n × n + 1 。 試以數列的一般項來表示下列各數列: 1, 3, 5, 7, 9, 11, … 1 × 22, 2 × 32, 3 × 42, 4 × 52, …

(6)

小考箱

( ) 解 若〈an〉為含有m 個項的有限數列,則 a1+a2+a3+…+am 稱為有限級數,可用符號 n = 1 m an 來表示,即 n = 1 m an=a1+a2+a3+…+am, 其中「 」讀作sigma,表示「和」的意思。 若〈an〉為無窮數列,則 a1+a2+a3+…+am+… 稱為無窮級數,可用符號 n = 1 ∞ an 來表示,即 n = 1 ∞ an=a1+a2+a3+…+am+…, 其中「∞」讀作無限大,表示級數 n = 1 ∞ an 從第1 項開始,依次連加到無限多個 項。  級數 1 + 2 + 3 +…+ 9 + 10 可以用 n = 1 10 n 來表示。 試逐項展開下列各級數: n = 1 6 n n + 3 n = 1 ∞ n3 n = 1 6 n n + 3 =1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 + 4 × 7 + 5 × 8 + 6 × 9 n = 1 ∞ n31323334353+…+m3+…

(7)

試逐項展開下列各級數: n = 1 5 n2+1 n = 1 10 3 n = 11 2n 由實數的運算性質,我們很容易推得下列有關 的性質: 設 m 為正整數,c 為常數,則

n = 1 m c = c + c + c +…+ c = mc(即 m 個 c 的和) n = 1 m can=c n = 1 m an n = 1 m anbnn = 1 m ann = 1 m bn 【說明】 n = 1 m c =c + c + c +…+ c m 個 c 相加 =mc n = 1 m can=ca1+ca2+…+cam=c a1+a2+…+am =c n = 1 m an n = 1 m anbn = a1b1 + a2b2 +…+ a b

(8)

解 設 n = 1 10 an=15, n = 1 10 bn=8,試求 n = 1 10 3an+4bn-5 的值。 n = 1 10 3an+4bn-5 = n = 1 10 3ann = 1 10 4bnn = 1 10 5 =3 n = 1 10 an+4 n = 1 10 bnn = 1 10 5 =3 × 15 + 4 × 8 - 10 × 5 =27 設 n = 1 8 an=10, n = 1 8 bn=12,試求 n = 1 8 3an-2bn+5 的值。 1-1.2

等差數列

一數列〈an〉,任意相鄰兩項,後項與前項的差恆為一定數 d,即 a2-a1=a3-a2=…=an-an - 1=d, 則稱此數列為等差數列(或算術數列),其中 d 稱為此數列的公差。例如: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 為等差數列, +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 首項是 1,公差為 2。 100, 97, 94, 91, 88, 85, 82 為等差數列, + -3 + - 3 + - 3 + - 3 + - 3 + - 3 首項是 100,公差為 - 3。 5, 5, 5, 5, 5, 5 為等差數列, +0 +0 +0 +0 +0 首項是 5,公差為 0。

(9)

小考箱

( ) 解  設 a1, a2, a3, …, an 為等差數列,則 a1+3, a2+3, a3+3, …, an+3 仍為等差數列。 設〈an〉為等差數列,公差為 d,由等差數列的定義,我們得知: a2=a1+1d, a3=a2+d = a1+2d, a4=a3+d = a1+3d, … … … an=an - 1+d = a1n - 1 d。 所以,等差數列的一般項可以表示如下:

等差數列的一般項

an=a1n - 1 d 設一等差數列首項為 8,第 8 項為 57,試求其公差。 a1=8,a8=57 由 a8=a1+7d 57 = 8 + 7d d = 7 故得公差為 7 已知一等差數列公差為 2,第 5 項為 19,試求此數列的首項。 設 am、an 分別為等差數列〈an〉的第 m 項及第 n 項(其中 m n),則 a = a + m - 1 d ……

(10)

解 解 因此,我們可以推得下列公式:

an=am+ n - m d d =an- am n - m (其中 n m) 已知一等差數列第7 項為 142,第 20 項為 103,試求此數列的第 40 項。 已知 a7=142,a20=103 則 d =a20 - 720- a7=103-142 13 =-3 又 a40=a20+20 d = 103 + 20 × - 3 = 43 所以此數列的第 40 項為 43。 已知一等差數列第 5 項為 13,第 17 項為 - 23,試求此數列的第 25 項。 等差數列 100, 93, 86, 79, …,從第幾項開始為負數? a1=100,d = 93 - 100 =- 7 設此等差數列從第 n 項開始為負數 即 an= 100 + n - 1 × - 7 < 0 故得 107 - 7 n < 0 n > 15 27 但項數 n 必為正整數,因此 n 最小值為 16 所以此數列從第 16 項開始為負數。

(11)

解 等差數列 -125, - 117, - 109, - 101, …,從第幾項開始為正數? 當 a, A, b 三數成等差數列時,我們稱 A 為 a 與 b 的等差中項(或算術平 均數)。 因為 a, A, b 成等差數列, 則 A - a = b - A 2A = a + b,即 A =a+ b2 。 因此,我們可得結論如下:

等差中項

設 A 為 a、b 的等差中項,則 A = a+ b2 。 若 2x + 1 為 x + 7 與 13 - 3x 的等差中項,試求 x 值。 因為 2x + 1 為 x + 7 與 13 - 3x 的等差中項 所以 2x + 1 = x7 + 13 - 3x2 2x + 1 = 10 - x 3x = 9 故得 x = 3。 若 3 x - 1 為 2 x + 3 與 5 x - 2 的等差中項,試求 x 值。

(12)

1-1.3

等差級數

將一等差數列 a1, a2, a3, …前 n 項相加,得 a1+a2+a3+…+an, 上式稱為等差級數(或算術級數),相加的和就是這個等差級數的和,也是等 差數列〈ak〉的前 n 項和,通常以 Sn 表示: Sn=a1+a2+a3+…+an - 1+an, 即 Sn=a1a1+ d +…+ a1+ n - 2 da1+ n - 1 d …… 將上式右邊各項前後順序對調, 得 Sna1+ n - 1 da1+ n - 2 d +…+ a1+ d +a1…… 由 + 得 2Sn2a1+ n - 1 d2a1+ n - 1 d +…+ 2a1+ n - 1 d2a1+ n - 1 d n 個 2a1+ n - 1 d 相加 = n 2a1+ n - 1 d , 即 Sn= n 2 2a1+ n - 1 d = n 2 a1+ a1+ n - 1 d = n 2 a1+ an 。 因此,我們可得等差級數和的公式如下:

等差級數和

Sn= n 2 2a1+ n - 1 d = n2 a1+ an 上面這個公式,在國中數學已學過,是等差級數求和的重要公式。

(13)

解 解 設一等差級數首項為 -30,公差為 5,試求此等差級數的第 20 項及前 30 項的和。 已知 a1=-30,d = 5 則 a20=a1+19d = (- 30) + 19 × 5 = 65 又 S30= 30 2 (2a1+29d) = 15 [2 × (- 30) + 29 × 5] = 1275 所以第 20 項為 65,前 30 項的和為 1275。 試求等差級數 3 + 10 + 17 + 24 +…之前 10 項的和。 設一等差級數的首項為 7,前 15 項和為 735,試求此級數的公差。 已知 a1=7,S15=735 因為 S15= 15 2 (2a1+14d ) 735 = 152 (2×7 + 14d ) 735 = 105 + 105d 105d = 630 d = 6 故此級數的公差為 6。 設一等差級數的公差為 -3,前 20 項和為 230,試求此級數的首項。

(14)

解 一等差級數和為 480,首項為 - 3,公差為 5,試求此級數的項數。 已知 Sn=480,a1=-3,d = 5 因為 Sn= n 2 2a1+( n - 1 d ] 故得480 = n2 2× - 3 + n - 1 ×5] 即960 = n 5n - 11 整理得5n2-11n - 960 = 0 分解得( n - 15 5n + 64 = 0 但項數 n 為正整數,故得 n = 15 所以此級數的項數為 15。 一等差級數和為 560,首項為 110,公差為 - 12,試求此級數的項數。

(15)

習題

1-1

 設 an 表示數列〈an〉的第 n 項,試寫出下列數列的前 5 項: an=n2+n - 5 ann + 2 n × 2 n - 1  已知 12 n = 1 an=8, 10 n = 1 bn=4,又 b11=5,b12=-3,試求級數 12 n = 1 (5 an+2 bn-3) 的值。  已知一級數前 n 項和 Sn=3 n2+2,試求此級數的第 10 項。 《提示》a1=S1,且當n  2 時,an=Sn-Sn - 1。  已知一等差數列第n 項 an=3 - 7 n,試求此等差數列的公差及第 15 項。  已知一等差數列第 15 項為 25,第 29 項為 46,試求其第 21 項。  在 x 與 24 之間插入六個數,使成等差數列,且其總和為 108 (含 x 與 24),試求 x 的值。  試求等差級數 3 + 15 + 27 + 39 +…之前 15 項的和。

(16)

1-2

等 比 數 列 與 等 比 級 數

1-2.1

等比數列

一數列〈an〉,任意相鄰兩項,後項與前項的比值恆為一定數 r,即 a2 a1a3 a2 = … = an an - 1=r, 則稱此數列為等比數列(或幾何數列),其中 r 稱為此數列的公比。例如: 1, 3, 9, 27, 81, 243 為等比數列, ×3 ×3 ×3 ×3 ×3 首項是 1,公比為 3。 2, 2, 2 2, 4, 4 2, 8, 8 2, 16 為等比數列, × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 首項是 2,公比也是 2。 3 5 , 532 , 3 53 , … , 3 5n 為等比數列, ×15 ×15 ×15 ×15 首項是 35,公比為 15。 等比數列之任何一項均不得為 0。 設〈an〉為等比數列,公比為r,由等比數列的定義,我們得知: a2=a1×r1, a3=a2×r = a1×r2, a4=a3×r = a1×r3, … … …

(17)

解 解 所以,等比數列的一般項可以表示如下:

等比數列的一般項

an=a1×rn - 1 已知一等比數列的首項為 405,公比為 - 13 ,試求其第 6 項。 a1405,r =- 13 則 a6=a1×r5=405 ×

(

-13

)

5 =405 ×

(

2431

)

=- 53 所以第 6 項為 - 53 。 若一等比數列首項為 - 1 96,公比為2,試求其第 9 項。 已知一等比數列,首項為 5,第 7 項為 320,試求其公比。 a1=5,a7=320 由 a7=a1×r6 320 = 5 × r6 r6=64 r = 2 故得公比為 2。 試求等比數列 3, -3 2, 6, -6 2, …的第 10 項。 設 am、an 分別為等比數列〈an〉的第 m 項及第 n 項,則

(18)

小考箱

( ) 解 解 因此,我們得到下列關係式:

an=am×rn - m  已知一等比數列的第 7 項為 81,第 10 項為 - 24,則此等比 數列的公比為 - 3 2。 已知一等比數列的第 4 項為 - 15 ,第 7 項為 25,試求其第 9 項。 已知 a4=- 1 5,a7=25 因為 a7=a4×r3 所以 25 =

(

-15

)

×r3 r3=-125 r =- 5 而 a9=a7×r2=25 × (- 5)2=625 所以第 9 項為 625。 已知一等比數列的第 5 項為 - 2,第 8 項為 54,試求其第 10 項。 在 -3 與 96 之間插入四個數,使成等比數列,試求插入的第三個數。 由題意知:所成等比數列首項 a1=-3,第 6 項 a6=96 因為 a6=a1×r5 所以 96 = (- 3) × r5 r5=-32 r =- 2

(19)

解 又插入的第三個數為第 4 項 即 a4=a1×r3= (- 3) × (- 2)3=24 所以插入的第三個數為24。 在 -384 與 3 之間插入六個數,使成等比數列,試求插入的第四個數。 四正數 a, b, c, d 成等比數列,若 a + b = 6,c + d = 150,試求公比。 設公比為 r,則 b = ar,c = ar2,d = ar3 由 a + b = 6,c + d = 150 得 a + ar = 6………… ar2+ ar3=150 …… 由 得 ar 2+ ar3 a + ar = 1506 r 225 但 a, b, c, d 為四正數 r > 0 即 r = 25= 5 故所求公比為 5。 四正數 a, b, c, d 成等比數列,若 a - b= 9, c - d= 4,試求此四數。

(20)

解 解 當 a, G, b 三數成等比數列時,我們稱 G 為 a 與 b 的等比中項。 因為 a, G, b 成等比數列,則 G a = bG G 2ab,即 G = ab。 因此,我們得結論如下:

等比中項

設 G 為 a、b 的等比中項,則 G = ab。 a、b 兩數的等比中項為 ab 與 - ab,其中 ab 也稱為 a 與 b 的 幾何平均數。 試求 12 與 3 的等比中項。 設 G 為 12 與 3 的等比中項,則 G = 12 × 3= 36= 6。 試求 3 8 與 5027 的等比中項。 若 2x + 2 為 x + 3 與 4x - 2 的等比中項,試求 x 值。 因為 2x + 2 為 x + 3 與 4x - 2 的等比中項 故得 2x + 2 2= x + 3 4x - 2 即 4x2+8x + 4 = 4x2+10x - 6 整理得 -2x =- 10 所以 x = 5。

(21)

若 8 - 2x 為 x - 2 與 2x - 2 的等比中項,試求 x 值。 1-2.2

等比級數

將一等比數列 a1, a2, a3, …前 n 項相加,得 a1+a2+a3+…+an, 稱其為等比級數(或幾何級數),相加的和就是這個等比級數的和,也是等比 數列〈ak〉前 n 項的和,通常以 Sn 表示: Sn=a1+a2+a3+…+an, 即 Sn=a1+a1r + a1r2+…+a1rn - 1…… 當 r = 1 時: Sn=a1+a1+a1+…+a1=n × a1。 當 r 1 時: r × Sn=a1r + a1r2+a1r3+…+a1rn - 1a 1rn…… 由 - 得 (1 - r) Sn=a1-a1rn S na1 1 - rn 1 - r ……

(22)

小考箱

( ) 解 因此,我們得到下列關於等比級數求和的公式:

等比級數和

當公比 r = 1 時:Sn=n × a1。 當公比 r 1 時:Sna1 1 - r n 1 - ra1- ran 1 - r 。  已知一等比級數的首項為 5,公比為 - 1,則此等比級數前 15 項的和為 5。 當公比 r 1 時,等比級數和的公式亦可寫成 Sna1 r n1 r - 1ran- a1 r - 1 。 試求等比級數 (- 3) + 6 + (- 12) + 24 +…之前 8 項的和。 因為 a1=-3,a2=6 故得公比 r = a2 a1 = 6-3=-2 再由等比級數求和公式得知: S8a1 1 - r 8 1 - r = -3 1 - - 2 8 1 - - 2 = -3 1 - 256 3 =255 所以此級數前8 項的和為 255。 有一等比級數,其首項為 3,公比為 2,試求其前 7 項的和。

(23)

解 解 已知一等比級數末項為 1458,公比為 - 3,和為 1094,試求此級數的 首項。 已知 an=1458,r =- 3,Sn= 1094 因為 Sna1- ran 1 - r 1094 =a1- -1 - - 33 × 1458 4376 = a1+4374 a1=2 故此級數的首項為2。 已知一等比級數末項為 1024,公比為 2,和為 2047,試求此級數的第 5 項。 已知等比級數的第 3 項為 14 ,第 6 項為 - 2,試求此等比級數前 10 項的和。 因為 a3=a1r2 = 14 …… ,a6=a1r5=-2…… 由 得 r3=-8,亦即 r =- 2, 將 r =- 2 代入 得 a1= 1 16 又 S10a1 1 - r 10 1 - r = 1 16 1- -2 10 1 - - 2

(24)

解 已知等比級數的第 2 項為 - 27,第 5 項為 1,試求此等比級數前 6 項 的和。 利用等比數列的概念,我們可以推得複利計息公式如下:

複利計息公式

設 P 為本金,r 為年利率,每年複利一次,則 n 年後得本利和 A = P (1 + r)n上面的公式,若改為每半年複利計算一次,則半年的利率為 r2 ,n 年 的計息期數為 2 n 期,故得本利和 A = P

(

1 +2r

)

2n 。 某甲參加銀行儲蓄存款,年利率為 10 %,每年複利一次,試求: 第 1 年年初存入 10000 元,則第 3 年的年底可得本利和多少元? 第1 年年初存入 10000 元,則第 6 年的年底可得本利和多少元? (計算至元為止,元以下四捨五入,已知 (1.1)3=1.331, (1.1)4=1.4641,(1.1)5=1.61051,(1.1)6=1.771561) 因為年利率為 10 %,每年複利一次,故得第 1 年年初存入 10000 元,第 3 年的年底可得本利和為 10000 (1 + 10 %)3 =10000 × (1.1)3 =10000 × 1.331 = 13310(元)。

(25)

第1 年年初存入 10000 元,第 6 年的年底可得本利和為 10000 (1 + 10 %)6 =10000 × (1.1)6 =10000 × 1.771561 17716(元)。 某乙參加銀行儲蓄存款,年利率為 5 %,每年複利一次,試求: 第1 年年初存入 20000 元,則第 2 年的年底可得本利和多少元? 第1 年年初存入 20000 元,則第 5 年的年底可得本利和多少元? (計算至元為止,元以下四捨五入,已知 (1.05)2=1.1025, (1.05)3=1.157625,(1.05)4=1.2155062,(1.05)5=1.2762815)

(26)

習題

1-2

 一等比數列的首項為 3,第 6 項為 3072,試求其公比。  一等比數列第 5 項為 12,第 9 項為 60,試求此數列的首項。  試求等比數列 1 2 , 1, 2 , …的第 9 項。  在 2 與 486 間插入四個數,使成等比數列,試求插入的四個數。  6 與 x 的等比中項為  4 6,試求 x 值。  試求等比級數 2 +(- 1) + 12 +

(

-14

)

+…之前7 項的和。  一等比級數的首項為 3,末項為 384,和是 765,試求其公比。  一等比級數的公比為 -2,前 6 項的和為 - 42,試求此等比級數的 第10 項。

(27)

1-3

無 窮 等 比 級 數

無窮級數與有限級數最大的不同,在於有限級數可以表示一個數,即此級 數各項相加所得的和;而無窮級數則不能,因為我們無法直接作無限多個數相 加的運算。 一個等比級數,若其項數無限多時,我們稱它為無窮等比級數。首項是 a,公比為 r 的無窮等比級數,可簡記為 k = 1ark - 1,即

無窮等比級數

k = 1ark - 1=a + ar + ar2+…+arn - 1+… 為了探討無窮等比級數的和,我們先觀察下面的一些實例。首先我們考慮 無窮等比級數 1 + 12 + 14+ 18 +…+2n - 11 +… 的和。 設 Sn 表示此級數前 n 項的和,則 S1=1 S21 + 12 = 3 2 =1.5 S31 + 12 + 14 = 74 = 1.75 S41 + 12 + 1 4 + 18 = 158 =1.875 … … …

(28)

S10 1.998046875000… S35 1.999999999942… S20 S30 1.999998092651… 1.999999998137… S40 1.999999999998… 由上面的數據,我們觀察到當 n 愈大時,Sn 的值愈接近2。所以,我們說 1 + 12 + 14+ 18 +…+2n - 11 +…的和是2。 再看另外一個實例,無窮等比級數 2 - 23 + 29- 227+…+ 32n - 1+… 的和。 設 Sn 表示此級數前 n 項的和,則 S1=2 S22 - 23 = 4 3 =1.33333333… S32 - 23 + 2 9 = 149 =1.55555555… S42 - 23 + 29 - 227= 4027=1.48148148… … … … 下表為利用計算器所求得 S10, S15, S20, S25, S30 的值: S10 1.499974597368… S25 1.500000000002… S15 S20 1.500000104538… 1.499999999570… S30 1.499999999999… 由上面的數據,我們觀察到當 n 愈大時,Sn 的值愈接近1.5。所以,我們說 2 - 23 + 29- 227+…+ 32n - 1+…的和是1.5。 有了上面兩個實例直觀上的認識,我們進一步說明無窮等比級數的和。給 予一無窮等比級數 ∞

(29)

設公比 r 1,則前 n 項和 Snk = 1 n ark - 1=a + ar + ar2+…+arn - 1a 1 - r n 1 - r = a1 - r 1- rn 。 在上式中,當 n = 1、2、3、…逐次增大時, a1 - r 仍然保持不變,變動的只是 rn。因此,我們針對當 n 逐次變大時,rn 的變化情形說明如下: 當 r < 1(其中r≠0)時:隨著 n 值愈來愈大,rn 的絕對值愈來愈小。n 值很大時,rn 的值差不多是0。 所以,我們說 a + ar + ar2+…+arn - 1+… 的和為 S = a 1 - r。 前面探討過的無窮等比級數 1 + 12 + 1 4 + 18 +…+2n - 11 +… 其首項 a = 1,公比 r = 12 , 因為 r < 1,故得其和為 S = a1 - r= 1 1 - 12 =2, 與我們直接觀察所得結果相同。 關於無窮等比級數 2 - 23 + 2 9 - 227+…+ 32n - 1+… 其首項 a = 2,公比 r =- 13 , 因為 r < 1,故得其和為 S = a1 - r= 2 1 -

(

- 1 3

)

=1.5, 也與我們直接觀察所得結果相同。 當 r > 1時:隨著 n 值愈來愈大,rn 的絕對值也愈來愈大。 n 值很大 時, rn 也會很大,即 rn 是很大的正數或負數,S n 不會接近任何實數。 所以,當 r > 1 時,無窮等比級數 a + ar + ar2+…+arn - 1+… 的和

(30)

小考箱

( ) 解 當 r =- 1時: k = 1ark - 1=a - a + a - a + a - a +…,若加了偶數個 項,其結果為0;若加了奇數個項,其結果為 a。也就是說 Sn 在0 和 a 兩 者之間交替,並不會愈來愈接近任何一個實數,所以其和也不存在。 一個無窮等比級數的和若存在,我們稱它為收斂級數;若不存在,我們稱 它為發散級數。 由上面的討論,可得結論如下:

無窮等比級數之斂散

設 a 0,則 當 r < 1 時: k = 1ark - 1= a1 - r 為收斂級數。 當 r  1 時: k = 1ark - 1 為發散級數。  已知一無窮等比級數的首項為 14,公比為 - 43 ,則此無窮等 比級數的和為 6。 試求無窮等比級數 1 - 34 + 9 16- 2764+… 的和。 此級數首項 a = 1,公比 r =- 34 因為 r = - 34 = 3 4<1 所以無窮等比級數和 S = a1 - r= 1 1 -

(

- 3 4

)

= 47 。 試求無窮等比級數 1 - 310+ 9 100- 271000+… 的和。

(31)

小考箱

( ) 解 試求無窮等比級數 2 - 103 + 50 9 - 25027 +… 的和。 此級數首項 a = 2,公比 r =- 53 因為 r = - 53 = 5 3>1 所以此無窮等比級數無法求和,是一個發散級數。 試求無窮等比級數 2 + 2 2+ 4 + 4 2+… 的和。 在1-1 節中,我們曾提及 n = 1 m anbnn = 1 m ann = 1 m bn。 事實上, n = 1 ∞ an bnn = 1 ∞ ann = 1 ∞ bn,符號順取,於這三個級數 中有兩個是收斂時,第三個也是收斂且等號成立。  已知無窮級數 n = 1 ∞ an=10, n = 1 ∞ bn=6,則 n = 1 ∞ an+bn =16 且 n = 1 ∞ an-bn =4。 試求無窮級數

(

3 2 - 43

)

(

232 - 432

)

(

3 23 - 433

)

+… +

(

3 2n - 43n

)

+… 的和。 因為無窮等比級數 3 2 + 322 + 323 +…+ 32n +…的公比

(32)

解 r = 13 ,同樣可得 r < 1,亦為收斂級數 所以原級數可化成兩個收斂的無窮等比級數的差: 原級數=

(

3 2 + 322 + 3 23 +…+ 3 2n +…

)

(

4 3 + 432 + 4 33 +…+ 4 3n +…

)

= 3 2 1 - 12 - 4 3 1 - 13 =3 - 2 = 1 試求無窮級數

(

2 3 + 35

)

(

13 - 15

)

(

16 + 115

)

+… +

(

1 3 × 2n - 2+ 3 5 × - 3 n - 1

)

+… 的和。 已知無窮等比級數 x - 2 2+ x2 x - 2 2+ x2 4 x-2 2 +… +

(

x 2

)

n - 1 x - 2 2+… 的和為3,試求 x 值。 此級數首項a = x - 2 2,公比r = x2 已知級數和為 3,故級數收斂r < 1,即 x2 < 1,所以 x < 2 由 S =1 - ra 知: x - 2 2 1 - x2 =3 亦即 x - 2 2=3

(

1 - x2

)

,整理得 2 x25 x + 2 = 0 十字交乘得 x - 2 2 x - 1 = 0 故得 x = 2 或 x = 12 ,但 x < 2,所以 x = 12

(33)

解 若無窮等比級數 x + 2 x24 x38 x4 +…= 23 ,試求 x 值。 試求無窮級數 n = 15n+ -3 n 7n 的和。 因為無窮等比級數 n = 1

(

5 7

)

n 的公比 r = 57 則 r < 1,故為收斂級數 又無窮等比級數 n = 1

(

- 37

)

n 的公比 r =- 37 則 r < 1,故亦為收斂級數 所以 n = 1 ∞ 5n+ -3 n 7n 可化成兩個收斂的無窮等比級數的和: n = 1 ∞ 5n+ -3 n 7nn = 1

[(

5 7

)

n

(

- 3 7

)

n

]

n = 1

(

5 7

)

nn = 1

(

- 37

)

n = 5 7 1 - 57 + - 37 1 -

(

- 37

)

= 5 2 +

(

- 310

)

= 115 試求無窮級數 ∞ 4 n1 的和。

(34)

解 一皮球自高80 公尺處落下,每次反跳高度為落下高度的 35 ,則此球自 落下到靜止共經過多少距離? 皮球自高處落下,上下跳動如右圖所示 自高處落下著地經過 80 公尺 第 1 次著地反跳再著地經過 2 × 80 × 35 公尺 第 2 次著地反跳再著地經過 2 × 80 ×

(

35

)

2 公尺 第 3 次著地反跳再著地經過 2 × 80 ×

(

35

)

3 公尺 依此類推,此球自落下到靜止共經過的距離為 80 + 2 × 80 × 35 + 2×80×

(

35

)

2 +2 × 80 ×

(

35

)

3 +… =80 + 2

[

80 × 35 + 80×

(

35

)

2 +80 ×

(

35

)

3 +…

]

=2

[

80 + 80 × 35 + 80×

(

35

)

2 +80 ×

(

35

)

3 +…

]

-80 =2 × 80 1 - 35 -80 =320(公尺)。 一皮球自高60 公尺處落下,每次反跳高度為落下高度的 23 ,則此球自 落下到靜止共經過多少距離?

(35)

解 過去我們學過的小數,例如:0.83、2.732 都稱為有限小數;另外有一種小 數,例如:0.4532532532…,它是一個無限小數,但從小數點後的某一位開始, 重複不斷的出現一些相同的數字,我們稱它為循環小數,記作0.4532,其中532 稱為循環節。又從小數點後第一位開始出現循環的小數稱為純循環小數,例 如:0.43= 0.434343…;不是從小數點後第一位開始出現循環的小數稱為混循 環小數,例如:0.8572= 0.85727272…。 現在,我們利用無窮等比級數求和公式,將循環小數化成分數,茲舉例說 明如下: 將循環小數0.85化成分數。 0.85= 0.858585…= 0.85 + 0.0085 + 0.000085 +… = 85 102 + 85104 + 85106 +… (即首項為 85 102,公比為 1 102 的無窮等比級數) = 85 102 1 - 1 102 = 85 99 將循環小數0.567化成分數。

(36)

小考箱

( ) 將循環小數0.234化成分數。 0.234= 0.2343434…= 0.2 + 0.034 + 0.00034 + 0.0000034 +… = 2 10+

(

10343+ 34 105 + 34107 +…

)

(除了第一項外,其餘各項成無窮等比級數,且公比為 1 102) = 210+ 34 103 1 - 1 102 = 210+ 34990 = 2×99 + 34 990 = 232990= 116495 將循環小數0.235化成分數。  因為循環小數都可以化成分數,所以循環小數是有理數。

(37)

習題

1-3

 試求下列各無窮等比級數的和: 7 10+ 21100+ 631000+…+ 7 × 3n - 1 10n +… 1 - 35 +259 - 27125 +…+

(

- 35

)

n - 1 +… 10 9 - 53+ 52 - 154 +…+ 109

(

- 32

)

n - 1 +…  已知無窮等比級數 3 +3 r+3 r2+3 r3 +…之和為 94 ,試求 r 的值。  試求無窮級數 n = 1 ∞ 3n2n 4n 的和。  試求無窮級數

(

13- 25

)

(

1 32 - 252

)

(

1 33 - 253

)

+…+

(

1 3n - 25n

)

+…的和。  試求無窮級數

(

1 2 - 14+ 18

)

(

161 - 132+ 164

)

(

1281 - 1256+ 1512

)

+…+

(

1 23 n - 2- 1 23 n - 1+ 123 n

)

+…的和。  將下列各循環小數化為分數:

(38)

1-1重點  數列:依照某種順序排列成的一串數,通常以〈an〉來表示第 n 項為 an 的數列。  級數:將數列的各項以「+」連接起來所成的式子稱為級數。 有限級數: a1+a2+…+amn = 1 m an。 無窮級數: a1+a2+…+am+…= n = 1 ∞ an。  有關運算性質: n = 1 m c = mc。 n = 1 m can=c n = 1 m ann = 1 m anbnn = 1 m ann = 1 m bn。  等差數列 數列〈an〉滿足 a2-a1=a3-a2=…=an-an - 1=…=d(公差) an=a1+ n - 1 d an=am+ n - m d d =an- am n - m (n m) 等差級數 Sn= n 2 [ 2a1+ n - 1 d ] = n 2 a1+ anA 為 a、b 的等差中項,則 A = a+ b2 (A 為 a、b 的算術平均數) 等差中項

(39)

1-2重點  等比數列 數列〈an〉滿足 a2 a1a3 a2 =…= an an - 1=…=r(公比) an=a1×rn - 1 an=am×rn - m 等比級數 當公比 r = 1 時:Sn=n × a1 當公比 r 1 時: Sna1 1 - r n 1 - ra1 rn-1 r - 1 Sna1- ran 1 - rran- a1 r - 1G 為 a、b 的等比中項,則 G = ab ( ab 為 a、b 的幾何平均數) 等比中項  設本金為 P 元,年利率為 r,每年複利一次,則 n 年後得本利和 A = P 1 + r n(元)。 1-3重點  無窮等比級數:(a 為首項,r 為公比) k = 1ark - 1=a + ar + ar2+…+arn - 1+…。  無窮等比級數 ∞ k = 1ar k - 1 求和:(a 0) r < 1 k = 1ark - 11 - ra 為收斂級數

(40)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  一級數前 n 項和 Sn=3 n2+4 n,則第 10 項為  340  279  61 57。 【1-1】 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +…+ 99 的和為  2200  2250  2500 2525。 【1-1】  等差數列第 n 項 an=4 n+ 1,則前 12 項和為  345  324  280 275。 【1-1】  等差數列第4 項為 5,第 20 項為 29,則第 14 項為  18  20  21  22。 【1-1】  已知5 為 2 x+ 3 與 x - 5 的等差中項,則 x =  7  6  5 4。 【1-1】  由1 到 100 之間,可被 7 整除的整數和為  735  765  845 925。 【1-1】  等差級數2 + 9 + 16 +…+ 170 的和為  2150  2040  1980 1965。 【1-1】  在6 與 34 之間插入 12 個數,使成等差數列,則此 12 個數的和為 260  254  240  236。 【1-1】  若 k = 1 8 ak=5, k = 1 11 bk=12,又 a9=7,a10=-3,b11=4,則 k = 1 10 2 ak-3 bk+4 =  62  46  34  30。 【1-1】 56 , a , b , - 7 成等比數列,則 a , b =  - 42 , 14  -28 , 14  -42 , 21  -35 , 21 。 【1-2】

(41)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  已知一等比數列首項為40,公比為- 12 ,則其第 9 項為  5 32 - 5 32  516 - 516。 【1-2】  已知一等比數列第8 項為 20,第 15 項為- 532,則其公比為  1 2 - 1 2  32 - 32。 【1-2】  已知一等比數列第3 項為 10,第 6 項為- 54 ,則其第 10 項為  5 64 - 5 64 - 5128  5128。 【1-2】  四正數 a , b , c , d 成等比數列,若 a + b = 8,c + d = 162,則公比 r =  3  92  94  32。 【1-2】  一等比級數首項為25,公比為- 2,和為- 8525,則此級數共有 9  10  11  12 項。 【1-2】  已知一等比級數公比為3,末項為 486,又級數和為 728,則其項數 n =  4 5  6  7。 【1-2】  等比數列 2- 1 , 1 , 2+ 1 , 3 + 2 2 , …的第 n 項為  2

(2 - 2)

n

(

2+ 1)n - 1

(

2+ 1)n - 2

(

2- 1)(2 + 2)n - 1。 【1-2】  等比級數1 + 3 + 32+…+3n 的和為3280,則 n =  6  7  8 9。 【1-2】  無窮等比級數 12 - 13+ 29 - 274 +…的和為  25  13  310  1。 【1-3】

(42)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )  已知一無窮等比級數第2 項為- 2,第 5 項為 1627,則此級數和為  73  83  85  95。 【1-3】  已知無窮等比級數 1 + x 2+x 1 + x 2+x2 1 + x 2+x3 1 + x 2+… +xn - 1 1 + x 2 +…的和為 92 ,則 x = -12  12 -7  23 。 【1-3】  級數 n = 1

(

3 4

)

n

(

2 3

)

n

(

4 5

)

n 的和為 1  34  4 5  512。 【1-3】  無窮級數

(

1 2- 73

)

(

212 - 732

)

(

1 23 - 733

)

+…+

(

1 2n - 73n

)

+… 的和為 - 72 - 5 2 -2 - 32 。 【1-3】  化0.436為分數得  436999  218 495  49110  2455。 【1-3】

參考文獻

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