以 van Hiele 理論探討圖形樣式思考層次之研究

49

教育研究集刊 第五十四輯第期 2008 年3 月頁 49-85

以 van Hiele 理論探討圖形樣式

思考層次之研究

馬秀蘭

摘要

本文肯在將 van Hiele 思考層次應用到數學的圓形樣式解題上。研究者修正了 Fuys 、 Gedd血與 Tischler (1 988) 針對 van Hiele 幾何曆次所提卅的部分行為描述， 建立國小高年級學童解決圓形樣式題之思考層次行為，並依 21 何有關學生實際解 決圓形樣式題表現之原案，嘗試擴展 van Hiele 理論之應用範疇至 van Hiele 圓形 樣式思考層次。研究發現，高年級生對圓形樣式規律的思考層次行吋手合 van

Hiele

之理論，學生圓形樣式之思考仍可分派至某一例曆次;其'I'因思考深度不同，曆 次二及三再細分為二A 、二 B 及三 A 、三 B 。學室之樣式思考層次亦具有次序性、 內出性與外出性，以及語言性之特性。學生若能用幾何圖形結構之間的關係來辨 認樣式，則有助於圓形樣式思考層次的提升及代數知識的建造。此探索性研究之 結果將提供給未來有嚴謹設計之後續研究者進行大樣本之檢測。

關鍵詞:

van

Hiele 、忠、考層次、圓形樣式

馬秀繭，嶺東科技大學企業管理車副教授 電子郵件為 hlma泓nail.ltu.edu.tw 投稿日期: 2007年4 月 25 日;修正日期: 2007年 10 月 13 日，採用日期 2008年 1 月 3 日

Bulletin of Educational Research

March

,

2008

,

Vo

l.

54

No. I

pp.

49-85

A Study of the Thinking Levels of Pictorial

Patterns from the Viewpoint ofvan Hiele's Theory

Hsiu-Lan Ma

Abstract

立Ie

purpose of this paper is to discuss the application of van Hiele' s thinking

lev-els to problem-solving of pictorial patterns.

Th

e researcher modified some of the van

Hiele level

d臼 criptors

described by

Fu:戶，

Geddes,

&

Tischler

(1

988) and established

the van Hiele level descriptors regarding 21 upper graders solving pictorial-pattern

problems

Th

e conclusions drawn from this study

are 品 follows.

(I)

The students' thinking

on pictorial

pa吐ems

fitted in with van Hiele's theorem and could be classified into

C剖ain

levels. (2) According

to 也edi宜的nt

thinking degrees of the students,

level 2 and 3

were divided into 2A,

2B and 3A,

3B,

respectively. (3) Four properties were shown in

the thinking levels: sequential,

intrinsic an

d/

or extrinsic,

and linguistic. (4) If students

could use the relations between the

structt眩目 of

figures to identify

pa社ems，

they were

able to advance their thinking levels of pictorial

pa社ems

and to construct algebraic

knowledge.

It

is hoped that the results of this explorary research will contribute to a

more rigid study design with a larger sample in the future

Keywords: van Hiele

,

thinking levels

,

pictorial patterns

Hsiu-L品1

Ma,Associate Professor,

Dep缸tment

ofBusiness

Adminis仕 ation，

Ling Tung University

E-mail: hlma@mai

l.l

tu.edu.tw

馬秀蘭 以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究

51

壹、緒論

數學是被描述為樣式 (pattern )及次序的科學 (National

Research Council

,

1989)

，或被認為是樣式及關係(relationships) 的搜尋 (Biggs

&

Shaw

,

1985) 。

L. A.

Steen 甚至指!阱，數學已從一門研院數、量、形的學問轉變成為一門「樣式

的科學J '數學家從數字'I' 、空間'I' 、科學'I' 、電腦巾，甚至從想像'I'尋找樣式

(引門 Zimmermann

&

Cunningham

,

1991) 。由於樣式活動為數學進陷的過程，

也是介紹函數概念和變數的好方法，同時也可做為提供重要數學概念之有意義的 經驗，因此樣式活動對國小學生奠定「代數」基礎，扮演一何重要角色 (Herbert

&

Brown

,

1997; Naylor

,

2002) 。一般人認為圓形任務比純符號任務有較多基本的 元素存在， J 及圓形可主展現較多實際的維度，除此之外，一些比較趨近以幾何 思考的人認為，以圓形內容呈現之樣式會讓任務生動或簡化 (Orten，

Orten

, &

Roper

,

1999) 。因此圓形樣式活動是連結早期代數?在怯至'U具體脈絡的一filii有效方

法，對學生之後的學習能提供一{司有用、具體的基礎 (English

&

Warren

,

1999) 。

因此，探討國小學童對圓形樣式解題過程所引發的代數六思維，以了解學生樣式 規律的思考層次門有其價值。

Van

扭曲的理論享譽國際，早在 1960 年代蘇俄的教育學家就有興趣於van

Hiele 模式，並且基於此模式執行了一何廣大的研究，其終極H 的在於改進他們學

校的幾何課程 (Fuys， Ged<1白，

&

Tischler

,

1988)

0

Van Hiele

(1986) 的五個幾何

思考發展層次為視覺的(visual) 、描述的(<1臼criptive) 、理論的( theoretical) 、 形式邏醋的(formallogic) 和邏唱法則本質的(

the nature of logicallaws

)。此五

何曆次被描述之方式有兩種，層次一至'U曆次五(吳德邦，

1999 ; Usiskin

,

1982;

v扭 扭曲， 1986) 或層次OJU層次四(盧銘法，

1999 ; Fuys et a

I.,

1988; Golinskaia

,

199

7)

，本文將採用~JU五方式。國內外van Hiele 理論大多被引導到有關幾何學 之研究上，例如﹒平同幾何圖形概念之van Hiele 思考層次調查及/或診斷教學之 研院(即軒I) 、馬秀閥、藍|可利，2006; 謝貞秀、張英傑，

2003 ;

Clemen妞，

Swaminthan

,

空間能力(左臺益、梁勇能， 2001) 或立體幾何(洪萬生，

2003

;吳德邦，

2004)

與 van Hiele 思考層次之研究，或透過van Hiele 模式去幫助學生對圓周、而積

(Malloy

,

1999) 或全等圓形(Jamime

&

Gutierrez

,

1995) 等了解之研究，因此，

van

Hiele 理論在幾何課程'1'1 片有一席之地。

其實 van

Hiele (Fuys et a

I.,

1988) 本人曾指!啊，可將其定埋進一步觀察和應 用在數學及其它學科上。但卻僅有少數研院做此嘗試，其 'I'仍與幾何有關的如國 外的 De

Bl

ock-Docq ( 1994

)探討 12 歲學童解多邊形瓷磚問題之思考，結果發現， 瞬闊的思考產生簡易結構觀念，推理而非直覺的思考則!中!現在繪圖活動和證明之 論點 'I' 。至於 Land (1991) 則將 van Hiele 理論應用在大專生函數的學習上，藉 描述學生對代數認知的過程，調查van Hiele 模式在代數教學之適當↑生。然而，國 內卻沒有人將 van Hiele 的理論做其他應用，因此本研院試圖將van Hiele 思考層

次應用到數學的「圓形樣式解題」上，做;藉此來探討學生對樣式規律的思考層次。 國內相關 van Hiele 之研究皆顯示國小學室之幾何思考大多介於層次一至三 之陌(吳德邦，

1999

;林軍怡，

1992

;劉仔，

1993 ; Wu

&

Ma

,

2006) 。大部分 'I' 、

高年級生對基本幾何圓形概念能達層次二，但只有高年級生能達曆次三，少數思 考有跳躍現象 (Wu

&

Ma

,

2006) 。四、六年級生對四邊形概念最多在層次二，層

次一次之，層次三最少(盧銘法， 1999) 。而 Crowley (1987) 也.'+1

van

Hiele 幾何 思考層次有次序性(sequential)、提升↑生 (advancement)、內出↑生與外國性(in仕mSlC

and

extrinsic) 、語言性 (linguistics) 及不配合生 (mismatch) 之特性。因此，研

究者為了解國小高年級學童對圓形樣式規律的思考層次之行為，乃試圖依據Fuys 等人(1988 )對 van Hiele 幾何思考層次的行為描述，並參考吳德主])、李懿芳與馬 秀蘭 (2006 )及 Wu 、 Ma 、 Hsieh 與 Li (2007)之立體幾何思考層次之研究，以 及學童解決圓形樣式問題之表現，將幾何思考層次一、二、三之部分行為描述， 修正成 van Hiele 圓形樣式思考層次之行為描述。此探聚式哥?究之結果將提供給未 來有嚴謹設計之後續研究者進行大樣本之檢測。 然而，高年級學童對具有幾何圖形內涵的樣式思考是否如其幾何思考一樣仍 可分派至某一個層次?圓形樣式思考層次是否仍然保有上述Crowley (1 987)提 卅之層次特性?學童對圓形樣式所表現之不同解題方式是否會影響其樣式思考層

馬秀蘭 以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究

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次的思考水平及代數知識的建造?因此本研究 H 的如下， 一、探討國小高年級學童解決圓形樣式題之 van Hiele 思考層次; 二、發展 van Hiele 圓形樣式思考層次; 三、探討 van Hiele 圓形樣式思考層次的特性; 四、探討解題方式對 van Hiele 圓形樣式思考層次及代數知哥哥濯造的影響。

貳、文獻探討

一、 van Hiele 幾何思考層;欠與層;欠特性

國內相關 van Hiele 之研究皆顯示國小學室之幾何思考大多介於曆次一至三 之間，茲將此三何層次分述如下， (一)層次一。這何階段的兒童藉幸專制覺觀察各種具體事物，從各種實體物 的外形輪廓來辨認形惱。例如，自生活經驗 'I'知道像門的形狀為長方形。兒童雖 知各種圓形，但卻無法了解這些圓形的真實意義，他們可以使用非數學的術話。 (二)層次二。這何階段的兒童已經具有辨別圓形特徽的能力，能利用視覺 來觀主長組成圓形的基本要素與這些圓形之惰的關 f系，分析幾何概念。因此，能夠 察覺到長方形有兩例長 j曼和兩個短邊，而且對邊相等。兒童藉由組成元素的名稱 與組成元素之惰的關係來分析圓形; I可時，依其經驗建立|刮一類圓形所具之特性， 並且運用圓形之特性來解題。 (三)層次三.這個層次的兒童已經能夠了解構成各種圓形的要素，並且能 夠進一步探求各種幾何圖形的內在屬性，主及各何圓形之崗的包含關係。例如﹒ 平行四邊形的兩雙對;對日等，當平行四邊形其 'I' 一角 f芳"。時，這例四邊形就是 長方形。兒童開始建構不同類型圓形之間的關係，如正方形、菱形、長方形、平 行四邊形。學生使用公式表示和使用定義，整理先前發現的性質，給一非正式的 討論，並跟幸寄給一演繹上的討論。

Crowley (

1987) 針對 van Hiele 幾何思考層次提卅次序性、內出↑生與外國性、

語言性、提升↑生及不配合性之特性。提升↑生及不配合性與教學有闕，其非本文探

(一)次序性﹒學室之幾何思考層次是循序漸進的，後一 {Ii叫層次的概念是來 門於前一個層次的概念。例如，層次二的兒童知道長方形有兩何長邊和兩個短邊， 此概念頭門他們在層次一階段的長方形是瘦瘦長長的概念。 (二)內出性與外出性﹒在某一幾何思考層次的性質是屬於內在的性質， 到了下一個層次，此一性質就有可能成為外顯的性質。例如，長方形的「長和寬」 在層次一可能不明顯，它是屬於層次二長方形的內在性質，但「長和寬」到了層 次二就成為長方形的外顯性質，層次一的兒童辨識「瘦瘦長長」是層次一的長方 形的內在性質。 (三)語言性.每一層次都有屬於門己層次獨特的語言，這些語言必須經過 修正，才能符合下一層次的語言特性。例如，層次一的兒童使用「長方形是瘦瘦 長長的」語言，其必須經過多正，才能符合層次二的「長方形是由長和寬組成」 的語言。

二、圓形樣式解題與 van Hiele 幾何思考層;欠

Fuys 等人( 1988) 針對 vanHiele 幾何思考指爪，在「視覺的層次一」學生能 根據圓形的外貌來辨認並操弄圓形和其它幾何圖形的基本物件(如;學、角):在「描 述的層次二」學生能以圓形結構和結構及性質之間的關係去分析圓形，並用性質 去解決問題;在「理論的層次三」學生能有系統地說明並使用定義、對於先前發 現的性質給予非形式化的論點，以及給予推論的觀點。 Fuys 等人進一步針對層次 一、二、三的各提卅 7 、 10 、 7 {討行為描述 (d臼criptors) 與學生反映的例子，其 'I'有的再細分為 a 舟、 c 等。此將以 L2-3a 表示層次二 (L2) 的第 3a 何 (3a) 描 述，其他以此類推。由於本文試圖以 Fuys 等人描述的行為及例子為基礎，將 van Hiele 思考層次應用到「圓形樣式解題」上，因而將陳述學生在解決圓形樣式題過

程'I'與 Fuys 等人所描述行為(如 L2-3a) 之相關性。

一般解題者將圓形樣式題轉換成數列模式的方法有三種 (Ortenetal.，

1999):

法 1 :計算作業'I'呈現的每一個形狀的點，立即轉換形狀~數列;

法 2: 祥視每一個新形狀需要多少更多的點，依此做為數列'I'連續項的差EE; 法 3 :觀主長圓形外形，在心'I'或用晝的方式來延續該序列。

55

以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究

馬秀蘭

由此可知在解圓形樣式題之初會牽涉到「觀看 J (seeing) 圓形， c 觀看」總是 學習者的第一步，它涉及到心理捕捉的樣式或關係 (M晶。ill，

Gr

aham

,

Pimm

,

&

Gowar

,

1985)

,

c 觀看」是數學了解之基本刊 enr田 e， 1991) 。

研究者認為上述 Orten 等人(1 999 )描述之「法 I

_J

立即轉換圓形為數列，是 不考慮圓形外貌，它與Ll -7b (辨識圓形的某一部分，而不思考圓形的特徵屬性) 相關。「法 2

_J

看到圓形整體的存在，但是不考慮圓形的結構，它與 Ll -5 (把圓形 的外貌視為整體來描述)相關。「法 3

_J

觀主持圓形外形，是考慮到圓形的結構，它

與

Ll -I (把圓形外貌視為整體來辨識，但卻從﹒ ﹒來看)或Ll -6 (具體地操弄圓 形)相關;而在描述圓形 'I' 可能會涉及到Ll -3 (使用(非)標準的形式給圓形做 合適的命名)。因此研究者將此 5 何有關Ll之行為描述，分別修正如下，其 'I' 【】 內之文字表示某行為之簡述，以方便第肆章節原案分析之用。

Ll

-I

:將圓形外貌視為整體來辨識，但在PJ 組合方式來看【以組合整體辨識 圓形】。例如，將T 園看成上排及下排，如圖I 'I'之(Ll-I) 所示。

Ll

-3

:使用(非)標準的形式給圓形(基本物件)做不日閥的命名或標示【給 圓形物件做相關命名】。例如，將長方形兩邊命名為「高和長」吹口圖 I 'I'之(Ll -3)

所示。

Ll

-5

:將圓形的外哥兒視為整體來描述【以整體辨識圓形】。例如 :L 形，如圖

I

'I'之(Ll -5 )所示。

Ll

-6

:具體地操弄或繪製圓形【繪製圓形】如圖 I 'I'之(Ll -6) 所示。

Ll -7

:立即以計數法辨識樣式，而不思考圓形特徵屬性【以計數法辨識樣 式】。例如，立即將 3 個圓形計數，轉換為 4 個、 10 個、 18 徊。

…... ...

EY 智;主 li 長

做悟高

?揖

L形 ι1-5) 且 1-6) L1 行為描述例子圖示 且 L -3) 圖 T 也 1-1)

學生在進一步解決樣式題之過程會涉及三階段 (Herbert

&

Brown

,

199

7) :

(一)尋求樣式，是由一情境 'I'提取相關資訊; (二)確認樣式，將所提取的資訊以數學文字、圖表或方程式等表示，並運 用數學分析，形成數學發現; (三)一般化，將數學發現說明與應用到相同或新的、相關的情境 'I' 。 研究者認為(一) c 尋求樣式」與 L2-1 (辨認和測試每個圓形結構之間的關 f系，如辨認一個圓形有四個直角和四何等邊)或 L2-3a (根據圓形之問結構的關 係來比較兩例圓形)相關; (二) c 確認樣式」與 L2-4a (解釋和描述圓形性質並 以此來描繪圖形)、 L2- 1O (有系統地說明和使用圓形一般化的性質及使用不日闊的 語言)、 L3-lc (用公式表示和使用定義把圓形分類)或 L3-2 (給予非正式的論點， 如使用圖片或者其他材料)相關; (三) c 一般化」與 L3-3b (給予一個推論論點 總結或改變)或 L3-7 (認識到推論的角色和以推論的模式來處理問題)相關。因 此研究者將此 4 個有關 L2 及 4 個有關 L3 之行為描述，分別修正如下， 口 -I :辨認和測試樣式 'I'每項結構陷的關係【定義每項結構惰的關係】。例如， IX( I+ I) 、 2X(2+1) ，如圖 2 'I'之 (L2-1) 所示。

L2-3

:以樣式結構的關係來比較樣式 'I'連續項的差異【比較連續項差異】。例 如，橫的每次加 2 ，直得每次 3日 I '如圖 2 'I'之 (L2-3 )所示。

L2-4

:描述樣式圓形性質及描繪圖形【以樣式性質來描繪圖形】。如圖 2 'I'之

(L2-4

)所示。

L2-

1O

:以未歸納之數學式或文字描述表示樣式結構，例如， 5+3+3+3+3

'

未歸納成 5+3X4 。

L3-1

:以公式或定義分類樣式。如，圖 n 是: nX(n+l) 。

L3-3

:將推論一般化或改變。例如 'n+n+

(n+2)

-3n+2 。

L3-2

:對先前發現之性質給予非正式的論點【使用逐一列舉法】。例如，圖 100 是 2+4+6+ ﹒+ (200) 。

L3-7

:以推論模式處理遠處問題(但尚未建立定理相互之關係)【處理遠處問 題】。如第 100 俐:

101 X

102-2 。

馬秀蘭 以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究

57

學色器gi

凹申

:,

0

。。

. 4 .

.

,

_•

1述(1.1)

21<(2

.1)

)個 ~+l) 績的每次單 E ﹒貪得每沒加 1 且早日 (L2部

(1.2-4)

圖 2 L2 行為描述例子圖示

因此本文以 Fuys 等人(1 988 )所提卅針對 van Hiele 層次的描述和例子為基

礎，將 van Hiele 幾何思考層次一、二、三之部分行為描述，修正成 I

van Hiele

圓形樣式思考層次」之行為描述，其'I'層次一、二、三各有5 filii 、 4 個、 4 何描述。

三、 van Hiele 理論與 van Hiele 圓形樣式思考層灰行為

以下將描述van

Hiele

(1 986) 前三何幾何層次的內容，並指卅其與研究者修 訂之 van Hiele 圓形樣式思考層次行為的相闕， (一)視覺的層次，學生主要是藉著視覺觀蓋其物糙的輪廓來辨認圓形(Ll-l

:

L 組合整體辨識圓形，或Ll -5 :以整體辨識圓形):學生能以一般物件的描述辨 喜事后狀，例如矩形看起來像門(Ll -3 :給圓形物件微不日關命名) ，但未注意到圓形 的構成(Ll -7 :以計數法辨識樣式):學生也能操弄圓形的基本物件(Ll -6 :具體 地操弄或繪製圓形) ，但是無法了解這些圓形的真正定義。 (二)描述的層次，學生能用標準的語言描述圓形的特徵 (L2-4 :描述樣式 圓形性質及描繪圖形) ，也能注意到組成圓形的元素 (L2-1 :辨認每項結構闊的關 係)及圓形之陷的關係 (L2-3 :比較連續項差異)。學生能組織幾何圖形，但尚未 能做演繹推理，例如知道正方形有四何直角，但因無法歸納類測，故不認為正方 形也是長方形 (L2-10: 以未歸納之數學式或文字表示樣式結構)。 (三)理論的層次，學生除了清楚各種圓形的結構，並知各種圓形的內在屬 性，如正方形四角不日等且四邊不日等，以及各種圓形之間的包含關係，如正方形是 長方形的一種，此與以公式或定義分類樣式 (L3-1) 相關。學生也能夠依圓形的 性質進行非正式的推演，但尚未能進行有系統的證明 (L3-2 :使用逐一列舉法，

L3 汀，處理遠處問題)。學生會由某幾何屬性推演卅其他屬性 (L3-3 :將推論一般 化或改變)。

參、研究方法

一、研究對重

本研究樣本是 40 位國小高年級學生，其 'I' 28 位來門南投縣某國小六年級一 班全體學生(五年級亦同班)， 12 位來 n 向 'I'市某國小五年級兩班的部分學生(1 2 位四年級|刮一班)。他們接受八十二年版數學新課程(教育部， 1993) ，該階段尚 未觸及代數式之課程。出門三年級起就有電腦課，因此他們都具有一般電腦文書 處理及上網的基本技能。為了讓樣本在網路上匿名發表，且可讓研究群辨識其身 份，故每位樣本都有一代號，其 'I'小六生之代號為三碼，小五生為四碼。小六生 編碼方式如下，先將學生分為男 (b) 、女 (g) 二類;其次將各類分為高 (h) 、 'I' (m) 、低(1)人數相同(或差不多)的三粗，其是以學生前一個學年在全班數學 之總成績做排序，再依分數高低，各取三分之一而來;共得六組;再以學生在六 組'I'之成績排名決志編號(1， 2， 3， ...)。例如 gh1 表六年級女生 (g) 高程度 (h) 第一位(I)。至於小五生亦採用上述分類法，只是研究群最後再從六組'I'隨機抽 取 2 名學生;三碼代號前再加上 'M

_J

，以與小六生做區別，例如 Mb12 表五年級 (M) 男生 (b) 低程度(1)第二位 (2) 。六年級男生以及女生之高、 'I' 、低三 組各有 5 、 6 、 5 人及 4 、 4 、 4 人。五年級男生以及女生之高、 'I' 、低三粗，則都 各有 2 、 2 、 2 人。|刮一學生在不同概念之 van Hiele 幾何思考層次可能不同

(Mayberry

,

1983 )

，更何況是不同程度學生之 van Hiele 幾何思考層次;故不同程 度學生之圓形樣式思考層次亦可能不同。但本文限於研究 H 的與篇怖之故，有關 不同程度學生的表現，將另關文討論之。

馬秀蘭

二、研究管道與素材

以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究 " (一)研究管道 本研究以易學易用的網路討論板~管道，進行黃敏晃(1 996 )所謂之教師布 題、學生解題、發表與討論之活動。該系統屬會員制，使用者必須以門己的帳號 和平軒碼登入，他們可以在該討論板上以文字或圖表方式張貼資料，系統會記錄伽| 人發表文章的內容、日期、時間及總篇數等。至於將數學活動移植到網路上進行， 除了上網的樂趣及網路討論板的效益外，也使用來談天說地的系統，具有教育上 的意義(馬秀闕，

2004 ; Ma

,

2005; Ma

&

Wu

,

2006

)。 (二)研究素材 本研究學生解題的素材是 8 f同樣式問題，其 'I'奇數題為圓形題，偶數題為數 字題;它們是研究群參考下列相關文獻所編製，如成就評比單位 (Assessment

of

Perfonnance Unit

,

APU)

(n.d.) 、 Orten 與 Orten (1 999) 及 Hargreaves 、 Threlfall 、 Frobisher 與 Shorrocks-

Taylor

(1 999) 的數字樣式，以及Orten 、 Otren 與 Roper 等 人( 1999) 的圓形樣式等。樣式涉及到逐步的發展，技術上稱為序列(sequence) 。 可划生序列J

(linear

sequence) 是指連續項的差是常數之序列，例如 5 ， 8 ，日，

14

,.·

.﹒是線性序列，因其連續項的差 (lllJ 8-5-11-8-14-11-3) 是常數 3 。 「二階序列 J

(quadratic

sequences) 是指連續項的差所構成之序列的差是常數之 序列，例如:

2

,

6

,

12

,

20，.··﹒是二階序列，因其連續項的差 (lllJ 6-2-4 、 12-6 6 、 20-12-8) 所構成之序列為 4，

6

,

8

,.···

，其次 4，

6

,

8，.···連續項的差(

lllJ

6-4-8-6-2) 是常數 2 。 八(同問題 'I' 除了第二題為等比數列 (4，

12

,

36

,

108

,.

﹒)、第四題為費伯那 齊 (Fibonacci) 數列 (1 ， 1 ， 2， 4， 89..) ，以及第五題為制生序列之外，其他五 何問題皆為二階序列。研究者將以第一、第五和第七題三(同圓形題去探究本文 H 的。此三題是以「點」方式呈現，其 'I' 第五題(如圖 3 所示)為線性序列，第一 及第七題為二階序列(各如圖 4 、圖 5 所示) ，學生被要求去預測序列的下一項 及第 5 、第 IO( 或第 20 )和第 100 項，甚至第 n 項之點個數。

三、研究過程與資料處理

(一)研究過程 為了了解學生解決樣式之過程，本研究利用約一學潮時惰，大約兩週至三週 一次，依照題 H 順序逐次叫司際上布題。學生被告知以門己的想法來解題，他們 解題的表現與其學業成績完全無闕，門己恕的策略是最好的。學生利用在校的午 休或放學後課餘時間到他們的電腦教室解題。學生在網路討論板張貼其解題想法 之餘，老師會對學生在網路討論板張貼之解題想法做檢查;一些解法表達不清或 不日關令其程度表現卻特優的學生都會被老師要求去進行一對 ~B再談，以確定其解 題方式與過程。例如， Mgm1 在第五題發表想法如「第一個圖加 6 個圓圈，再減 1 何圓圈，第二個圖加 8 f同圓圈，再減 1 個圓圈- ﹒ J' 她的老師在一對 ~B再談下， 會問她為什麼每次都「再減If同圓圈 J' Mgm1 就須解釋她的想法，如「其 'I'有 1 何是重複的，所以要減掉」。所以，共有兩種形式的資料以了解學生對問題的想法， 一為學生彈性網路之解法，另一為與學生一對一之H再談。 (二)資料處理 質的研究之資料卅特徽，在於研究過程'I'不斷蒐集資料、進行分析，形成

初步的結論，再繼續蒐集資料、進行分析，形成進一步結論的過程(

Guba

&

Linea恤，

1989; Miles

&

Hubennan

,

1994) 。研究者也採取這種策略，透過持續比較(

constant

comparison) 與三角交叉( triangulation) 等方式來分析資料。本研究'I'使用之持

續比較是將學生解樣式題的方式或想法與剛形成的暫時性假設做持續的對照，以 確定假設的合理性。 例如，在第一題'I'達圓形樣式思考層次二的學生，有的會比較連續項差異

(L2-3)

，如「依序是以4，

6

,

8

,

10

,

的加法 J (原案1.2)' 但有的學生除了有 L2-3 行為外，尚能辨認每項結構闊的關係 (L2-1) ，如 '2 ， 3+3 ， 4+4+4 ， ...J' 但卻未將其做歸納 (L2-10) 。研究者認為後者之數學式是易於被引導去意識到圓 形位置和個數闊的關f系，如「圖一。 2 ，圖二:

3 X2

'圖三:

4X3...

J' 甚至發 展卅「圖 100: 101X100 ，或圖 n:(n+1) XnJ 之「函數概念J 因此研究者將 圓形樣式思考層次二再細分為二A 及二 B' 其 'I'層次二 A 者有 L2-3 行為，層次

馬秀蘭 以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究

61

二 B 者有 L2-3 行為外，尚有 L2-1 '甚至 L2-10 行為。之後在學生繼續進行的解 題活動 'I' ，研究者會注意是否仍有上述情況發生，藉此與形成的暫伸手性假設(層 次二 A 及二 B) 做前後的觀主持比對，以確定該假設的合理性。結果發現該假設是 合理的，如在第五題 'I'叉有學童卅現層次二 B 的行為，如 '5 ，

5+3

,

5+3+3

,

5+3+3+3

,

...J 數學式，或「第 5 個橫 3 加 2 加 2 加 2 加 2 ，直 2 加 1 加 1 加 1 加 I

_J

文字描述;於是研究者追加「文字描述」於 L2-10 行為 'I' ，且I]' 以 未歸納之數學式或文字描述表示樣式結構」。因此，研究者會將之後所得的資料不 斷地與前次分析所得的資料相互比較，以建立合適的主張，企盼能對於學生在解 決圓形樣式題思考層次的相關而貌，賦予更清楚、之詮釋。 在三角交叉法的運用上，本研究是J扶老師與學生在網路討論板上發表的內容 及訪談紀錄做為資料蒐集的主要來源。為使本文具有信度，學童解題時所涉及之 思考行為分類，是採用「交互觀望美者一致 J

(interobserver agreement)

(王文科， 2001); 其是透過兩位數學教育家(本文研究者PI 與另一位大學副教授P2) 對原 案之觀祭以決定結果，期從不同分析者觀點的交叉比對，J扎克服研究者主觀之見 解。本研究是以每件原案為單位去求得分類結果的一致性，而每件原案是以研究 者欲分析之發表內容為主;依研究者修正的圓形樣式思考層次之行為描述，每件 有 3 何層次，層次一、二、三叉各有5 、 4 、 4{同描述，因此共有的何事件。例如 原案 1 .4之 Mgl2 之交互觀望美者信度~

92%

(1

2113)

， 如表 1 所示，當 PI 與 P2 之 看法不同時，二者重新祥主持，進一步溝通、協鬧，以達成看法的一致。 表可 交互觀察者一致表 層;欠 原案1.4

(MgI2)

L1

-1 (0)

L1

-3 ( X )

L1

-5

(x)

L1

-6 ( X )

L1

-7(X)

1.

2-1 (0)

1.

2-3 (0)

1.

2

-4

(x)

1.

2-10(?0)

1.3

-1 ( X )

1.3

-2 ( X )

1.3

-3

(x)

1.3

-7(X)

註。(0)、(

X

)各表示行為之有、無。其中1.2-10 (70) 之 r 7 表示交互觀察者看法不 一致，一認為有，另一認為無， 'OJ 表示協商後一致認為有。

每個原案 'I'之資料主要是學生蹦出在網路之解法，日再談資料只做分析時之輔 助之用，僅需要時才擇要置於原案 'I' 。網路解法之編碼採用以學生網路上代號為 主軸之系統編碼，編碼前半段為學生代號(小六生三碼，如 bml ;小五生四碼， 如 Mgh2) ，後半段第一碼情研究素材之問題題號，最後兩碼為發表之流水號， 其是以學生在網路討論板上發表之時間為依據;例如 Mgh2-501 表示小五生 Mgh2 在第五題 (5) 的第一個發表 (01) 。但若有些發表需要再細分成「事件」處理， 則在編碼之後再加上 a，

b

,

C

,"

...j.:')茲區別;例如 Mgh2-501a

'

Mgh2-501b 各表示 上述發表之第一何 (a) 、第二何 (b) 事件。而 Mgh2-50Ia: (11-07-2001) 則進 一步表示 Mgh2 在 2001 年 11 月 7 日在網路上發表 50la 內容。至於訪談紀錄之編 碼與原案編傌相同，僅將學生代號後之 '-J改成「~」;例如 Mgml-506 S 、 Mgml-507 T 各表示小五生 Mgml 在第五題 (5) 訪談紀錄 'I' 師生對訢的第六( 06) 、第七 (07) 桐，而 s 、 T 則各指學生、老師的發表。

肆、結果與討論

以下將以第一、第五與第七題為例，依 ff呈現 7 、自與 6 件學生解題的代表性 原案，再以研究者修正的 van Hiele 圓形樣式思考層次之行為描述為依據，探究本 文三fl/ilFl的。

一、學童解決圓形樣式題時之 van Hiele 思考層;欠

(一)第一題之原察與兮析

ooo

ooo

ooo

ooo

OO OO OO O O 圖 3 第一題

馬秀蘭 以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究 的 【原案1.1】

bml-

lO

la:

(09-10-2001) 因為題H 上是 2 何圈圈、 61 討圈圈、 12 個圈圈，

bml-

lO

lb

:我的想法是先乘3 再乘 2 ，由此類推 2 乘 3 等於 6 、 6 乘 2 等於 12 、 12 乘 3 等於 36 、 36 乘 2 等於 72 、 72 乘 3 等於 216 '所以第 5 個圈圈是 216 個﹒

…

小結，自 bml- lO la 之 '2 、 6 、 12 J 知 bml 以計數法辨識樣式(Ll-7) ;自 bml-IOlb 之「先乘 3 再乘 2

_J

知bml 能比較連續項差異 (L2-3) ，但因 bml 一開 始就忽略圓形的特徽，因而產生不同的樣式; bml 沒有進一步做推論。 【原案1. 2 】

ghl-IOI: (09-05-2001)

2 個圈圈加 41 討圈圈就等於 6 ， 6 個圈圈加 6 等於 12

'

依序就是 4 、 6 、 8 、 10 ， 20 加 10 何圈圈就等於 30 。

ghl-102a:

(09-12-2001)第一團到第二圖是加 4 ，第二園到第三圖是加 6 ，

.

以這種算法到 100 圍之間，是以 4 、 6 、 8 、 10 、 12 、 14 、 16 、 18 、 鈞、 22... 的加法。

ghl-102b

:到 99 園時已經是 900 個了，再照算法要加 2001闕，就等於 1100 (同。 小結，白。 1-101 之 '2 、 6 、 12

_J

知ghl 以計數法辨識樣式(Ll-7) ;自 ghl-101 及 ghl-102a 之「加 4 、命令 10... J 知 ghl 能比較連續項差異 (L2-3); 自 ghl-I02b 知 ghl 無法做推論。 【原案1.3】

bll-IOI : (09-10-2001)

....因為圖 5 是 4 加圖 1 的 2 等於 6 ，長的比短的多

I

'所以短的 5 ， 6 乘 5 等於 30 '答。 30 徊。 小結，自 bll-101 之「長的、短的」知 bll J 組合整體去辨識圓形(Ll -I)

;

再由「圖 5 是 4 加圖 I... J 知 bll 能比較連續項差異 (L2-3 )是依序3日 I '故園 1 到圖 5 是連續加 4 次卜再由 '6 '長比短的多 1

'

...短的 5

_J

知 bll 能辨認每 項結構闊的關係 (L2-1)

;

bll 未做進一步推論。 【原案 1 .4】

Mg12-101: (10-25-2001) 2

,

3+3

,

4+4+4

,

5+5+5+5

,

6+6+6+6+6

圖 5 是 30 個。

Mg12-102 :

(1

0-25-2001

)出從圖 99 頁j圖 100 它要加一filii點，它是 10 !f前點。 藍藍起盤

Mg12-101 T :

101 例點是指什麼?

Mg12-102 S

:圖 l 有一層，一層有 2 個點，圖 2 有二層，一層有 3 filii點，圖 3 有三層，一層有 4 個點，所以圖 100 有 101 何點。 小結.自 Mg12-101 之 '2 ，

3+3

,

4+4+4···

J 及 Mg12-102 (訪談)之「一 層、二層、三層...

...

J 知 Mg12 以組合整體去辨識圓形(Ll-I) 。自 Mg12-101 之

'2

,

3+3

,

4+4+4...

J 、 Mg12-102 之「加一例點」及Mg12-102 之「圖 1 一層

(2

filii點) ，圖 2 二層 (3 個點)

, ...

J 知 Mg12 能比較連續項差異 (L2-3 )為多 一層且每府多一點，同時由'2 ，

3+3

,

4+4+4...

J 知 Mg12 能辨認每項結構 悶的關係 (L2-1) ，但 Mg12 末將其歸納如 '2 ，

3X2'

4X3...

_J

，有未歸納數學 式表示樣式結構 (L2- 1O )行為。 Mg12 未做進一步推論。 【原案1.5 】

gh2-101 : (09-10-2001

)上傳了這個圖片﹒

-

•••••

23zss

li:El

...z..

fiz;zs

:n..

••

::雪

z

.

r-

•••

•••

一

gh2-102 : (09-13-2001)

...因為圖一是2 乘於 1 等於 2 ，圖二是 3 乘於 2 等 於 6 ，圖三是 4 乘於 3 等於 12 ， ...以此類推。所以，到圖~OO 是 101 乘於 100 等於 10100 例圓圈圈。 小結.自 gh2-101 之圓形女1日 gh2 能給製圓形(Ll-6) ，且由其正確性知gh2 能 以樣式性質來描繪圖形(L2-4) ，能比較連續項差異(L2-3 )為多一層且每府多一 點，以及辨認每項結構闊的關係(L2-1) 。自 gh2-102 之「圖一是 2 乘於 I

'

圖 ~OO是 101 乘於 100 J 知。2 能以公式或定義分類樣式 (L3-1) 及處理遠處 問題 (L3- 7)。 【原案1.6 】

Mghl-IOla:

(1 0-23-2001) 圖一是 2 ，圖二是 6 ，圖三是 12 。它們是加4 ，加

馬秀蘭 以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究

65

6 ，圖四是加 8 '圖五是加 10 。

Mghl-

lO

lb

:圖一是 2 ，圖二是2+ (4)' 圖三是 2 +4 +(6) ，圖四是 2+4+ 6+(8) ，圖五是2+4 +6 +8+(10) 。

Mghl-102 :

(1 0-25-2001) 圖 ~OO是2+ 4 +6+···+

(200)

，一直加。 小結﹒自 Mghl-lO la 之 '2

' 6 ' 12

J 知 Mghl 以計數法辨識樣式(Ll-7) ，再 由「加 4 ，加 6 ，加 8... J 女1日 Mghl 能比較連續項差異 (L2-3 )。由 Mghl-IOlb 之 '2 ， 2+

(4)

,2+

4+

(6) ， ...J 知 Mghl 能辨認每項結構惰的關係(L2-1) 為連續偶數千日加，並主未歸納之數學式表示樣式結構(L2-1O)。由 Mghl-I02a之 「圖~OO是 2+4+...+ (200)J 知她使用逐一列舉法 (L3-2 )及以公式或定 義分類樣式 (L3-1) 。但因她未做歸納，故至此而已。 【原案1.7】

bh2-101 :

(09-07-2001) 把圖三看成長方形，在左邊那 3 何圈就是高，在下而 那 4 個圈就是長，所以 3 加 2 等於 5 ， 4 加 2 等於 6 ， 5 乘 6 等於 30 。

bh2-102 : (09-10-2001)

。

。

寸

COD DDD D白白

。三十口口

、→ 二 5 '7、包三弓 D

bh2-103:

(1 0-17-2001) 圖一是 IX( I+ I) ，圖二是 2X( 2+ I) ， ...圖五是

5X(5+1)

,

5+1-6' 5X6-30' A:

30!闕，至1圖 ~OO時是 100

X 101-10100' A :

10100 俐，圖 n 就是: nX(n+l) 的答案。 小結.自 bh2-101 之「看成長方形」女1日 bh2 以整體辨識圓形(Ll -5)' 而自「高、 長」知他給圓形物件做相關命名(Ll -3) ，再由 '3 加 2 ， 4 加 2

_J

知他能比較連續 項差異 (L2-3) ，即每圓依序3日 1 。自 bh2-102 之正確圓形知 bh2 能以樣式性質來 描繪圖形 (L2-4) ，自 bh2-103 之 'IX (I +I) ，

2X(2+1)

...J 知他能辨認每 項結構闊的關係(L2-1)' 自 'nX(n+I)J知 bh2 能以公式或定義分類樣式(L3-1)

,

由「圖~OO"""IOOXIOIJ 知 bh2 能處理遠處問題 (L3-7)。

(二)第五題之原累與兮析

•

•

•

•••••

•

•

•

•

•

••••

•

•

•

•••

•

圖 4 第五題 【原案 5.1 】

Mgml-50la :

(11-29-2001) 第一個圖加 6 何圓圈，再減 1 何圓圈，第二何圖 加 8 個圓圈，再減 1 個圓圈，第三..到第一百個園，答案就 卅來了。 Mgml-50Ib: 第 n 你|就 Xn 。

益蓋起主主

Mgml-506

S :

···T 是由兩條等長直線組成，每一條直線上有 3 何黑點，兩 條就有 6 個黑點，但其 'I' 有一例是重複的，所以要減掉。

Mgml-507

T

:那第二個圖呢?

Mgml-508

S

:因為直的這一條有 4 何黑點， 4 乘以 2 等於 8 '再減 1 何圓圈。 小結，自 Mgml-506 之「兩條直線」知 Mgml 以組合整體去辨識圓形(Ll -I) 。 由 Mgml-50la 之 '6 、 8 、 10 個」、 Mgml-506 之 '3 個黑點，兩條就有 6 何黑點」 以及 Mgml-508 之 '4 個黑點， 4 乘以 2

_J

知Mgml 誤將所有 T 形視為自兩條等長 線組成，因而解題失敗。再由 Mgml-50lb 之 I XnJ 不正確的推論，知 Mgml 缺

乏代數'I'變數之概念。

【原案 5.2 】

Mb12-50Ia: (12-10-2001) 5

f闕，

8

f闕， II 徊。

Mb12-50Ib: 5+3-8' 8+3

日， 11+3-14 ，

14+3-17'

17+3-20' 所以 第五個有 20 何黑點組成 T 。

Mb12-50Ic: 20X3-60' 20+60

鉤，所以第二十何圍有80 個黑點組成 T 。

馬秀蘭 以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究 的 益蓋起室主

Mb12-502 T

:有沒有其他方法去求第二十何圓的黑點數?

Mb12-502 S

:就是 20X3-60'

20+60

泌的方法啊! 小結.自 Mb12-501a之 '5'8'llJ 知 Mb12 以計數法辨識樣式(Ll-7);自 Mb12-501b之， +3

_J

知Mb12 能比較連續項差異(L2-3); 自 Mb12-501c及 Mb12-502

(訪談)知他以 '20-5X3+5

_J

錯誤推論

_'A

₂₀

_{-A， X3+A'J' 其 'I' A}

₂₀

、

A，代

表序列﹒ Al 、 A

2

、

A

3

、

A，、 A，、 ···A

20

··..··'I'的第 20 項及第 5 項，此迷失概念:

讓他未能更上一層樓。 【原案 5.3】

g

m3

-501a :

(1l

-22-2001)

...第一個團到第二filii圖是在 T 的三何頂點，再加 上一(前黑點，...-直加就可以知道答案了。

g

m3

-501b: 5+3-8' 8+3

日， ...61 +3-64' 第 20fllil

'T

J 的答案是 64 。 小結﹒自 gm3 -501a 之 'T

_J

知 gm3以整體辨識圓形(Ll-5) ;自 gm3-501b 之，

+3

J 知 gm3能比較連續項差異(L2-3) ;再由 gm3-50l b 之 '5+3-8'

8+3

II ,

...61 +3-64

J 知 gm3以遮也法強求第20 f 前 Tf叫數，故未能更上一層樓。 【原案 5 .4】

bh3-501a

.(1l

-22-2001

)這一題的規律...是 8-5-3' 所以就是每例 T 圖 +3 個黑點

bh3-501b

:第一團是 5

filii

第二圖是 5+3 第三圖是 5+3+3 第四團是 5+3+3+3 第五團是 5+3+3+3+3 第六圖是 5+3+3+3+3+3 吉思七團是 5+3+3+3+3+3+3 第八團是 5+3+3+3+3+3+3+3 第九圍是 5+3+3+3+3+3+3+3+3 第十圖是 5+3+3+3+3+3+3+3+3+3

小結，由 bh3-501a 之 'T 圖」知 gm3以整體辨識圓形(Ll -5) ，自，

+3

J 知 bh3 能比較連續項差異 (L2-3) ;自 bh3-501b 之 '5 ，

5+3

,

···5+3+3+3+3

+3+3+3+3+3

_J

數學式知 bh3 能辨認每項結構闊的關係(L2-1) ;但 bh3 卻未 將其歸納如'5 ， ...5+3X9

_J

，表現卅以未歸納之數學式表示樣式結構(L2-10) 。 bh3 未做進一步推論。 【原案 5 .5】

Mbhl-50la :

(11-07-2001) 橫的每次加 2 ，直的每次加卜 Mbhl-50Ib: 第三何是橫 7 直 4 ，第四例是橫 9 直 5 ，第五個是橫 11 直 6 ， 第二十個是橫 41 直 21 。

Mbhl-502 : (

12-03-2001) 再把直 21 乘以 5 就是 105 '再 41 乘以 5 就是 205

'

答案就是直 105 橫 205 。 藍藍位主主

Mbhl-502 S

:出f方才賞的每次加 2 ，直的每次3日 I '所以第五個是橫 II 是第一 fl/il 3 加 2 加 2 加 2 !J日 2 ，直 6 是第一個 2 加 1 加 I !J日 1 加 I ，

.

小結.由 Mbhl-50la 及 Mbhl-50lb 之「橫的...直的」生1日 Mbhl 以組合整體 去辨識圓形(Ll -I) 。自 Mbhl-50lb 之「橫 7 直 4 ，橫 9 直 5 ， J 及 Mbhl-502 之「橫的每次加 2 ，直的每次加 I J 知他能比較連續項差異 (L2-3 )。自 Mbhl-502 之「橫 11 是第 1 何 3 加 2 加 2 加 2 加 2 ，直 6 是... J 知 Mbhl 能辨認每項結構 惰的關係 (L2-1) ;但 Mbhl 卻未將其歸納如 '3+2X4 ， ...J ，表現們以未歸納 之數學式或文字表示樣式結構 (L2-10) 。由 Mbhl-502 知 Mbhl 有，

A

lO

O-A20X5J

迷失概念，故未能更上一層樓。 【原案 5.6】

Mbml-50Ia:

(1

2-04-2001

01:15PM) 因為圖一是叫叫，所以每一何圖都是加 3 。 Mbml-50Ib: 圖五就是 17 '第二十何園就是5+

19

f 前 3 。

Mbml-502:

(1

2-04-2001

01:27PM) 第一 00個圖是 5

+99 flli[3

'第叫計數 是5+ (n-I) 個 3 。 藍藍位主主

馬秀蘭 以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究

69

Mbml-501

T :

T 圖像叫、〈、 T 的 T 。

Mbml-502 S

:後凹的 T 比它前而的 T 上而多兩個黑點，下有1多一何黑點。

Mbml-504

S

:第三何是 5+21 前 3 '第四個是5+ 311/i13 '就這樣一直下去。 小結﹒自 Mbm1-501 之 'IJ 及 Mbml-502 (訪談)知 Mbml 以整體辨識圓 形(Ll -5) ;由 Mbml-50la 之「加 3

_J

知 Mbml 能比較連續項差異 (L2-3) ;自 Mbml-504 及 Mbml-50lb 之「第二十何園就是 5+ 19 個 3

_J

知Mbml 能辨認每項 結構闊的關係 (L2-1) ;自 Mbml-502 之「第 n 個數是5+

(n-I)

111ij 3

J

知他能 以公式或定義分類樣式(L3-1) ;再由 Mbml-502 '吉思~OO何圖... J 知他能處 理遠處問題 (L3-7)。 【原案 5.7】

ghl-50la :

(11-02-2001) 第一個 T 上排是 3 徊，往下也是叫闕，第二則是上 是 5 往下是 41闕，第三是上排 7 下 5 ， 3 、 3 ， 5 、中 7 、 5 。

ghl-50lb

:上排的順序應該是由3 開始依序加 2 ，以 3 、 5 、 7 、 9 、 11 、 13 、 15··· 。 而下排是由 3 開始依iY!Jo

I '

3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 、 11··· 。

ghl-50le

:第五的算法，上排:

3+

(2X4) 等於 11 ， 下排 :3+ (IX4) 等於 7;

11

+7 等於 18 第十的算法，上排:

3+

(2X9) 等於 21

'

下排:3+ (IX9) 等於 12

; 21 +

12 等於 33 。

ghl-502 : (11-15-2001)

~OO圓的算法， 3+ (2X99) 等於 201

'

3 +

(I

X99) 等於 102 '再不日加。 小結.由 ghl-50la知。1 之「上排、下排」知ghl 先以組合整體去辨識圓形

(Ll

-I)

，才有 '3 、 3 ， 5 、 4'7 、 5

_J

計數，自ghl-50lb 之「上排...由3 開始 依序加 2 ，下排...由3 開始依序加 I J 知她能比較連續項差異(L2-3) ;由 ghl­ 50le 及 ghl-502 知她能辨認每項結構陷的關係(L2-1 HJIJ每項由兩個不同等差序 列車且成，自 ghl-502 之， ~OO圓的算法」知她能以公式或定義分類樣式(L3-1)' 亦能處理遠處問題 (L3-7) ，雖然她忽略了要將上、下排重疊之一點扣除。

【原案 5.8 】

Mgh2-50Ia:

(11-07-2001) 第一個 T 是 5 個也就是 1 、 1 、 3 '第二個 T 是 8 何也就是 2 、 2 、 4 ，第三何 T 是 11 也就是 3 、 3 、小一直下去4 、 4 、 6 ， 5 、 5 、 7 。

Mgh2-501 b :

....第一伽|數是 T 左邊的點，第二個數是 T 右邊的點，第三何 數是 T 下而的點。

Mgh2-502a:

(11-15-2001) 第五個 T 是 5 、 5 、 7' 有 17 個點，第六何T 是 6 、 6 、 8 。所以第十何 T 是 10 、 10 、 12 '有 32 個點，第二十個T 是鈞、鈞、泣，有62 例點，以此類推到第100 f同就是 100 、 100 、

102

'有 302 個點。 Mgh2-502b: 它們是 3 倍叉 2 。 藍藍位主主

Mgh2-501 T

:為什麼你知道第二十何 T 是鈞、鈞、 22 呢?

Mgh2-502 S

:因為 T 左邊的點、右邊的點恰好和第幾(同 T 的第幾相闕，下凹 的點則是第幾{卅日 2 。

Mgh2-503 T

:為什麼是 3 倍叉 2?

Mgh2-504 S

:因為第十個 T 有 32 例點，第二十何 T 有 62 個點，第一 00何 T 有 302 何點，它們是第幾個 T 的第幾乘 3D日 2 。 小結，由 Mgh2-502 (訪談)之「左邊、右邊、下而」知 Mgh2 以組合整體去 辨識圓形(Ll -I) ;自 Mgh2-502 之知她能辨認每項結構闊的關係 (L2-1

)

,

JJIJ每 項由三個不同等差序列組成;由 Mgh2-501a 'I 、 1 、 3 '小小 4 ， 3 、 3 、 5 ，

.

﹒」 看卅 Mgh2 能比較連續項差異 (L2-3) ，且 IJ{衣序加 I 自 Mgh2-502 (訪談)之 'T 左..右邊的點恰好和第幾何 T 的第幾相同，下凹的點則是第幾何加 2

_J

知她能 以公式或定義分類樣式 (L3-1) ;由 Mgh2-502a 之「吉思 ~OOf崗就是 100 、 100 、 102

_J

知她能處理遠處問題 (L3- 7) ;由 Mgh2-502b 之 '3 倍叉 2

_J

_及

Mgh丟到 4 之「言行幾個 T 的第幾乘 3 加 2

_J

知她將推論一般化或改變 (L3-3 )。

馬秀蘭 以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究

71

(三)第士題之原察與兮析

..-

00= 國~

圖 5

第七題

【原案 7.1 】

Mgh2-70Ia:

(1 2-18-2001) 第一何門圖是用 41討圓圈所組成，第二個門圖是 用 10 個圓圈所組成。

Mgh2-701b

:第一個圍和第二個圖差在第一個圓的外圈橫弱的日上 3 個圓圈， 外圈直排加上 4 俐，就等於第二何圖哩!以此類推， ...就知 道答案了。 小結，由 Mgh2-701a 之「鬥圖」知 Mgh2 以整體辨識圓形(L1-5): 自 Mgh2­ 70lb 知她對圓形結構沒有正確概念，故 Mgh2 解題失敗。 【原案 7.2】

bh5-701a :

(1 2-06-2001) 第一何圖是 4 俐，第二何圖是 10 1闕，第三何圖是 181同。 bh5-701b 。第一{卅日 6 就等於第二{闕，第二{卅日 8 就等於第三{闕，

6+2-8 '

8+2-10'

10+2-12' 第三你加 10 就等於第四俐，第四何加12 就等於第五何答案。 小結，自 bh5-701a 之 '4 個、 10 個、 18 何」知 bh5 以計數法辨識樣式(L1-7)

:

自 bh5-701b 之「加 6··· ，加 8···

,

11日 10J 知 bh5 能比較連續項差異 (L2-3)

,

RIJ加數是依序加 2 0 _{bh5 未做進一步推論。} 【原案 7.3 】

g

h4

-70Ia :

(1 2-06-2001) 圖一有 4 桐，因為一行有 3 個圓形，而圖一總共有 一行叉 1 個圓圈。圖二有 10 俐，因為一行有 4 個圓形，而圖二總 共有二行叉 2 個圓圈。圖三有 181闕，因為一行有 5 例圓形，而圖

三總共有三行叉 3 個圓圈。 。4-70Ib: 每個圓形都會多加 I '原本一行只有 3 個圓圈，卻慢慢地一個一何 附加﹒ 八以此方法下去算圖五、圖十。 。4-702a:

(12-17-2001

}...圖五有 40l闕，一行有 7 個圓圈，...圖六有， 圖九有， ....圖十有 130 俐，一行有 12 何圓圈，共有十行文 10 何圓圈。 。4-702b: ....我認為到圖~OO是一百行叉 100 個圓圈，到圖 n 是 n 行叉 n 個圓圈。 小結，白。4-701a 之 I... ...一行文 1 個圓圈、 ..二行叉 2 個圓圈、

....

J

知。4 能以組合整體去辨識圓形(Ll -I) 及辨認每項結構闊的關係 (L2-1) ，再去 計數 '4 個、 10 個、

. ...

J 自 gh4-702a 知。4 末將文字歸納如 '3XI+I

,

4

X 2 + 2 ' ...

,

102 X 100 + 100 J

'表現卅以未歸納之數學式表示樣式結構

(L2-10)

;由 gh4-701b 之「加 I

_J

知 gh4能比較連續項差異 (L2-3 )。 【原案 7 .4】

Mghl-70la : (

12-13-2001) 第一何是 4 ，第二何是 10 ，第三何是 18

'

Mghl-70Ib: 所以上一伽|加上 4+2x 個數就是下一個數，因此第四例是尬， 第五個就是 40 了，而言行二十個就是 460 了。

Mghl-702 :

(1 2-25-2001) 第一口。(闕:

4+ [(4+

2) +

[(4+

2) +2J +

[[(4+

2) +2J +2J + J +

[[[(4+

2) +2J +2J +2J

+ . . ]

吉思~OO俐的答，[ J 共(100-1 )次。 第 nl闕:

4+ [(4+

2) +

[(4+

2) +2J +

[[(4+

2) +2J +2J

+ J +

[[[(4+

2) +2J +2J +2J +... J

第 n 俐的答，[

J

共 (n-I) 次。 小結，自 Mghl-70la 之 '4 個、 10 例、 18 個」知 Mghl 以計數法辨識樣式

(Ll-7)

;由 Mghl-70lb之「加上 4+2xJ 知 Mghl 能比較連續項差異 (L2-3)

;

自 Mghl-702 之「第一口。桐... J 知 Mghl 能辨認每項結構惰的關係 (L2-1) 及本未歸納之數學式或文字表示樣式結構 (L2-10) ，同時知她以公式或定義分類 樣式 (L3-1) ，但因使用逐一列舉法 (L3-2)' 故無法處理遠處問題。

馬秀蘭 以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究

73

【原案 7.5 】

Mbml-701 :

(1 2-18-2001) 因為橫的比第幾個圓的幾多 1 所以是 6 ，直的多 2 所以是 7' 因為每個都差 2 何合起來就是長方形。所以第五個 圖..第十何圖是 II

X 12-132 ' 132-2-130·

…

Mbml-702 : (

12-25-2001) 第一 00何團因為橫的多 I '所以是 101 '直的多 2 ，所以是 1020₁₀₁

_X

_{102-10302' 每個園角落都少 2 ，所以 10302} 2-10300 。 第叫阿園 (n+l)

X(n+2) -2

小結，自 Mbml-701 之「差 2 f同...的長方形」知Mbml 以整體辨識圓形 (Ll-5)' 而「橫的、直的」知他給圓形物件做相關命名(Ll-3): 自 Mbml-702 之「第一00個圖- ﹒橫的多 1···101 '直的多 2···102

j

知他能辨認每項結構 悶的關係 _{(L2-1) :自'1OIX I02···-2}

_j

知Mbml 能處理遠處問題 (L3-7) :自

'(n+l) X(n+2)

-2

j

知Mbml 能以公式或定義分類樣式(L3-1) 。 【原案 7.6】

Mg

m2

-701 :

(1 2-11-2001) 圖一。 IX2+2XI-4' 圖二:

2X2+3X2-10

,

圖三: 3X2+4X3-18' 圖四: 4X2+5X4-28' 圖五。 5X2 +6X5-40，.··﹒到圖二十。 20X2+21 X20-460 。

Mg

m2

-702:

(12-18-2001) 圖 ~OO

:

100X2+101XIOO 。 誼蓋起主主

Mg

m2

-701 S

:看成上、下兩例長方形。

Mg

m2

-702 S

:上長方形的高永遠是 2 ，上長方形的底干什下長方形的高一樣， 它是都是第幾圓的幾，而下長方形的底多加 1 。 小結，自 Mgm2-701 (訪談)之「上下兩個長方形」知 Mgm2 以組合整體去 辨識圓形(Ll -I): 自 Mgm2-702 之「高與底」知她給圓形物件做相關命名 (Ll -3): 自 Mgrr也 -701 之 'IX2+2XI ， 2X2+3X2· ﹒」知 Mgm2 能比較連 續項差異 (L2-3 )及辨認每項結構闊的關係 (L2-1) :由 Mgm2-702 之 '100

X 2

+101X100

_j

知Mgm2能處理遠處問題 (L3- 7) :自 Mgm2-702 (訪談)知 Mgm2 能以公式或定義分類樣式 (L3-1) 。

(四)三題兮析之結果

自以上三題 21 件原案分析可知，國小高年級學童的圓形樣式思考支持 Fuys

等人(1 988 )提們的 van Hiele 思考層次部分行為。 21 件原案 'I' ，有 2 何學生行

為分派至層次一，如 5.1 之 mgml 只有Ll -I 行為;有 9 f同學生行為分派至層次二， 如原案1.1之 bml 有Ll -7 及 L2-3 行為;有!O f同學生行為分派至層次三，如原案 5.6 之 mbml 有Ll -5 、 L2-1 、 L2-3 、 L3-1 、 L3-7 行為。因此，學生對圓形樣式規 律的思考層次行為符合 van Hiele 之理論，學生圓形樣式之思考仍可分派至某一個 層次。

二、 van Hiele 圓形樣式思考層;欠發展

本節將進一步分析層次二及層次三，並藉此擴展 van Hiele 理論之應用範疇至

van

Hiele 圓形樣式思考層次。 (一)思考層次二 原案 'I'達層次二之學生有不同之行為表現。例如在第一題，原案1.2 之 ghl 能比較連續項差異 (L2-3 )是「加 4 、 6 、 8 、!o﹒ ﹒」。原案 1 .4之 Mg12 知「每 一個新園附加一層且每一層I卅日一點 J' 也有 L2-3 行為， Mg12j6J能辨認每項結構 惰的關係 (L2-1) 如 c2 ， 3+3 ， 4+4+4 ， ···J' 但卻未歸納 (L2-IO) 如 c

2 '

3X2 ， 4X3···

_J

。 在第五題，原案 5.2 之 Mb12 及原案 5.3 之 gm3能知連續項差異 (L2-3 )是+ 3 。原案 5 .4之 bh3 能以數學式比較連續 T 圖差異 (L2-3 )及辨認每項結構闊的關 係 (L2-1)如 c

5

,

5 +3

,

···5 +3 +3+3+3 +3 +3+3+3

+丸，但卻未歸納(L2-IO) 如弓， 5+3 ， ···5+3X9

_J

。原案5.5 之 Mbhl 亦知樣式'I'連續項差異 (L2-3

)

為「橫的每次加 2 ，直得每次加 IJ 'Mbhl 辨認 T 團結構惰的關係 (L2-1) 如「第 五個橫 ····3 加 2 加 2 加 2 加 2 ，直 ····2 加 1 加 I !J日 l 加 l

_J

; 但 Mbhl 也未歸納 (L2- !O)去日 C3+2X4 ， 2+IX4

_J

。 在第七題，原案7.2 之 bh5 能知連續項差異 (L2-3 )是依序3日 2 。原案 7.3 之 gh4能辨認每項結構惰的關係(L2-1)為「一行叉 1 個圓圈、二行文 2 何圓圈、.

.

J' 並知連續項差異 (L2-3 )是「一行圓圈一何一個附加J 但 gh4亦未歸納 (L2-IO)

馬秀蘭 以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究

75

去日

'3XI+I '4X2+2' .

﹒」 依據研究者修正的圓形樣式思考層次之行為描述，上述學童皆已達層次二， 然而自上可知，有的學童只能比較連續項差異(1.2-3 )而口，有的則尚能辨認每 項結構闊的關係(1.2-1) ，甚至」未歸納之數學式或文字表示樣式(1.2-10) ;所以 是否有1.2-1 及/或1.2-10 行為決定層次二之思考水平。因此，研究者將圓形樣式 思考層次二再細分為二 A 及二 B' 其 'I'在層次二 A 者能比較連續項差異(1.2-3)

,

層次二 B 者除了1.2-3 行為外， 161且能定義每項結構惰的關係(1.2-1)' 甚至能以 未歸納之數學式或文字描述表示樣式結構(1.2-10) 。因此，如原案 7.2 之 bh5 只 達層次二 A ，原案 7.3 之 gh4 則達層次二 B 。 (二)思考層次三 原案 'I'達層次三之學生有不同之行為表現。例如在第一題，原案1. 6 之 Mghl 使用逐一列舉法(1.3-2) ，如「圖 ~OO 是 2+4+6+...+ (200)J' 但 Mghl 末將其歸納如 '(2+200) X100 丸，故無法處理遠處問題。原案1. 5 之 gh2 除了 有1.3-1 行為外， 161能處理遠處問題(1.3-7) ，如「第一 00 圖是 101 乘於 100 J 。 原案1.7之 bh2 知「圖 ~OO時是 100XIOI-10100

_J

，亦有1.3-7 行為，並能以公 式分類樣式(1.3-1) ，如 nX (n+l) 。 在第七題，原案 7 .4之 Mghl 使用逐一列舉法(1.3-2 )列們「第一 OOf闕 :4

+

[(4+

2) +

[(4+

2) +2J +

[[(4+

2) +2J +2J + J +...

JJ' 但她出末 將其歸納如 '4X 100+2X4950

_J

，故無法處理遠處問題。而原案7.5 之 Mbml' 和原案 7.6 之 Mgm2 能以公式分類樣式(1.3-1)' 如「第 n 何園:

(n+l) X(n+2)

丸，或「上長方形的高永遠是2 ，上長方形的底干什下長方形的高一樣，它是都 是第幾圓的幾，而下長方形的底多加IJ '進而處理遠處問題(1.3-7) ，例如第一 00個園:

101 X

102-2-10300 或圖二十。 20X2+21 X20-460 。 依據研究者修正的圓形樣式思考層次之行為描述，上述學童皆已達層次三， 然而自上可知，有的學童只使用逐一列舉法(1.3-2)' 而無法處理遠處問題;有的 除了有1.3-2 行為外， 161能處理遠處問題(1.3- 7) ，並能以公式或定義分類樣式

(1.

3-1)

，甚至將推論一般化或改變(1.3-3) ;所以是否有1.3-7 及/或1.3-1 行為 決定層次三之思考水平。因此，研究者將圓形樣式思考層次三再細分為分為三A

及三 B' 其 'I'在層次三 A 者可能使用逐一列舉法 (L3-2)' 層次三 B 者可能有 L3-2

行為外， 161能處理遠處問題 (L3- 7) ，甚至能以公式或定義分類樣式 (L3-1)' 或 許進一步也能將推論一般化或改變 (L3-3 )。因此，如原案1. 6 之 Mgh1 只達層次 三 A ，原案1. 5 之 gh2 及原案1.7之 bh2 則達層次三 B 。

(三) Vαn Hiele 圓形樣式思考層次

研究者以 Fuys 等人(1 988 )對 van Hiele 層次的描述和例子為基礎，修正成 圓形樣式思考層次之行為描述，並將層次二及層次三再細分為層次二 A 、二 B 及

層次三 A 、三 B' 據此擴展 van Hiele 理論之應用範疇至 van Hiele 圓形樣式思考 層次，其將f的卅國小高年級學童對圓形樣式規律的思考層次。此層次是循序漸進 的，解題者有上一層次之行為，才有機會產生下一層次之行為，其可由上一層次 至下一層次之 A 或 B' 且某一層次之 A 亦可至|刮一層次之 B 。由於本模式強調的 是解題者思考之行為，對於解題過程 'I'行為是否會重複卅現或來何發生並不考 量，因而解題者思考之際徑可如圖 6 所示，但每一條路徑可能出解題未成功而 'I' 途停止。例如，

..---\\、

|層次二 A (山) I 一→|層次二 B (L劃

↓三><三7 ↓

|層次三 A

(L3A)

I

'|層次三 B (L劃

圖 6

van

Hiele 圖形樣式思考層;欠 原案1.1之 bm1 自Ll

:

M

Ll

-3

(Ll-7)

，到 L2A

: ML2-1 (L2-3);

原案1.4 之 Mg12 由Ll

:

M

Ll

-1

(Ll -1)' 到 L2A:

ML2-1 (L2-3)

，到 L2B:

ML2-2

(L2-1) 及 ML2-3

(L2-10) ;

馬秀蘭 以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究

77

原案1.7之 bh2 由Ll :MLl -2( Ll -5) 、 MLl -5( Ll -3 )，到 L2A:

ML2-1 (L2-3)

,

到 L2B

: ML2-2

(L2-1) 、 ML2-4

(L2-4 )

，到 L3B:

ML3-1

(L3-1) 及 ML3-3

(L3-

7) ;

原案 7 .4之 Mghl 由Ll

:

M

Ll

-3

(Ll-7)

，到 L2A

: ML2-1

(L2-3)' 到 L2B:

ML2-2

(L2-1) 、 ML2-3

(L2-

1O)

，到 L3A

: ML3-1

(L3-1) 及 ML3-2 (L3-2) 。

三、 van Hiele 圓形樣式思考層;欠的特性

本文發現 van Hiele 圓形樣式思考層次也有 Crowley

( 1987

)描述 van Hiele 幾 何思考層次之次序性、內出↑生與外出性，以及語言性;至於 Crowley 指卅與教學 有關之提升↑生及不配合生，國非本文探討之範禱，故不予討論。 (一)次序性 學童解決圓形樣式問題之思考層次是循序漸進的，後一個層次的概念是來門 於前一例層次的概念。例如原案 1 .4之 Mgl2 達層次二 B 'Mg12 許先把圓形的外 哥兒視為「一層、二層、三層」等所組成之整體(Ll -I); 此層次一之概念引導 Mgl2 發展卅「圖 1 一層 (2 個點) ，圖 2 二層 (3 個點) ，圖 3 三層 (4 個點)

,

J 層次二 B 之概念，而列卅 '2 ， 3+3 ， 4+4+4" ﹒」解題過程，其反應卅 Mgl2 能比較連續項差異 (L2-3 )、定義每項結構陷的關係 (L2-1)' 以及能以未歸納之 數學式或文字表示樣式結構 (L2- 1O)。原案 5.2 之 Mbl2 達層次二 A ，一開始 Mb也 不思考圓形特徽，直接計數(Ll-7) '5 徊， 8 俐， 11 個 J 此層次一之概念引導 Mbl2 發展卅， +3

_J

層次二之概念，而列卅 '5+3-8'8+3-11

,

11+3-14

,

...J 解題過程，其反應們Mbl2 能比較連續項差異 (L2-3 )。原案 7.5 之 Mbml 達層次 三 A ， Mbml 許先視圓形為「差2 個...的長方形J

(Ll

-5)

，並將長方形之長、 寬命名為「橫、直J (Ll-3); 此層次一之概念引導 Mbml 發展卅「而積 2

_J

層 次二之概念，而列卅 '7X6-42'

42-2-40'

...22X21-2

_J

解題過程;其反 應卅 Mbml 能定義每項結構惰的關係(L2-1)。進一步此層次二之概念引導Mbml 發展卅「以 (n+l)

X (n+2)

-2 求第 n 個圓形黑點數」層次三的概念，其反應 卅 Mbml 能以公式或定義分類樣式(L3-1) 及處理遠處問題(L3-7)。此三件原案 皆說明，後一個層次的概念必先有前一個層次某個概念的引導才能發生，此與

Crowley

(I 987)所謂之次序性吻合。

(二)肉因性與外因性 在某一圓形樣式思考層次的性質是屬於內在的性質，到了下一何層次，此 一性質就有可能成為外顯的性質。在層次二 B 之學生能比較樣式 'I'連續項的差異

(L2-3)

，也能定義每項結構闊的關係(L2-1) ，甚至自~J;未歸納之數學式或文字 表示樣式結構 (L2-10) ，擁有此層次者極有潛力將其圓形樣式之思考提升到層次 三。例如原案 1 .4之 Mgl2 將圓形以數學式表示如c2 ， 3+3 ， 4+4+4 ， ···J' 原案 5 .4之 bh3 將樣式'I'T 圖以數學式表示如 c5 ， 5+3 ， ···5+3+3+3+3+3 +3+3+3+丸，原案 5.5 之 Mbhl 亦將 T 圖以文字描述如「第五個橫 ....3 加 2 加 2 加 2 加 2 ，直﹒ ·2 加 1 加 I !J日 1 加 I J 。 上述三位學生皆有屬於層次二B 之 L2-3 、 L2-1 及 L2- 1O行為，他們所呈現卅 「怎樣想、到的」解題過程，是易於繼續發展為明確的規則，而形成數學發現。例 如 Mgl2 之數學式容易被引導至「圖一。2 ，圖二:

3 X2

'圖三 :4X3 ， ...J 而讓人意識到圓形何數干附立置聞之關f系，甚至發展卅「圖~OO: 1O IX lOO ，或 圖 n:(n+l) XnJ 之「函數概念」巾的亦易被引至「圖一巧，圖二:

5+3

'圖 三 :5+3X2 ，· .

J

'而意識到每一個新圖是連續I卅日了幾次差]/[1或發現圓形何 數和位置問之關f系，甚至發展卅「圖 ~OO: 5+3X99 ，或圖 n:

S+3X (n-I)J

之「函數概念」。不日|刮的Mbhl 也可能發展卅「第一00個橫線是 3 加 100 次的 2 ， 直線是 2 加 100 次的 I J 之「函數概念J 這些皆是屬於層次三以公式或定義分類 樣式 (L3-1) 、處理遠處問題 (L3-7)之行為。因此，c 函數概念」的性質在層次 二 B 可能不明顯，但在層次三卻是明確可知的，

JJIJ

C 函數概念」是圓形樣式思考 層次二 B 內在的性質，可能變為下一例層次( JJIJ層次三)的外在性質，此與 Crowley (1 987)所謂的內出性與外出性吻合。 (三)語言性 每一個圓形樣式思考都有屬於該層次門己的語言、符號，以及這些符號之間 的關聯系統。例如屬於層次二 B 階段的語言、符號，以及它們之間的關聯系統， 必須經過修正，才能符合層次三 A 或三 B 相同的屬於層次三 A 者，亦須修正， 才能符合層次三 B 。 在層次二 B 之學生有的能以未歸納之數學式或文字表示樣式結構 (L2-10)

,

馬秀蘭 以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究

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例如原案 5 .4之 bh3 將 T 圖以數學式表示如 c5·5+3···5+3+3+3+3+3 +3+3+3+ 丸，原案 5 .5之 Mbhl 亦將 T 圖以文字描述如「第五伽橫 ....3 加 2 加 2 加 2 加 2· 直 ....2 加 1 加 1 加 1 加 I

_J

。這些數學式或文字描述就是屬於層

次二

B 的獨特語言，其必須經過修正如「圖 ~OO: 5+3+3...+3· 共(

100

I) 次 3

_J

或「第一00個橫 ....3 加 2 加 2· 八直 ...2 加 I !J日 I· 八而加 2 、加 1 共 (100-1) 次 J

•

JJIJ對先前發現之性質給予逐一列舉(1.3-2). 才是屬於 層次三 A 正確的語言。進一步修正如「圖 ~OO: 5+3X99

_J

或「第一00個橫 是 3+2X99· 直是 2

+ I X 99 J •

JJIJ能處理遠處問題(1.3- 7) .甚至修正如「圖 n

5+3X

(n-I)J 或「吉思 n 伽|橫是 3+2X (n-I). 直是 2

+ I X (n - I ) J •

JJIJ能以 公式或定義分類樣式(1.3-1). 才是屬於層次三 B 正確的語言。 在層次三 A 之學生會對先前發現之性質給予逐一列舉(1.3-2). 例如原案 7 .4 之 Mghl 將樣式 'I'第一00個圖j;J數學式加上文字描述表示如 C4+

[(4+2) +

[(4+

2) +2J +...+

[[[(4+

2) +2J +2J +2J

+.

.]

第一00個的 答. [ J 共 (100-1 )次」。這就是屬於層次三 A 獨特語言，其亦旦、須經過多正如 「第一 00 俐: 4XIOO+2X4950

_J

• 而能處理遠處問題(1.3- 7).才是屬於層次三 B 正確的語言。因此每一層次都有屬於門己層次獨特的語言，這些語言必須經過 修正，才能符合下一層次的語言特性，此與 Crowley (1987) 所謂的語言性吻合。

四、解題方式與 van Hiele 圓形樣式思考層;欠及代數知識

由上可知，學童對圓形樣式所表現之不同「行為」會影響 vanHiele 樣式思考 層次二及三的思考水平，而學童所表現之「行為」海門其「解題方式」。以下將解 題方式與層次二及三關係分述如下， (一)層次二 A: 若學生僅使用一序列 'I'連續圓形之間的關係解題，則只產 生一何序列局部的規則 (a

local rule)

.例如原案1.2 的巨~I

:

c2 何圈圈加 4 何圈 圈就等於 6·6 何圈圈加 6 等於 12 .依序就是 4 、 6 、 8 、 10... J' 學生只有「能 比較連續項差異(1.2-3)J 的行為，其僅能以一何接一何之還組法，將每一個圓形 個數強求卅來。

題之外， 161能用圓形的結構之間關係(1.2-1) ，進而用數學式或文字描述(但卻未 歸納)去表示樣式結構(1.2-10) ，例如原案1. 4 的 Mgl2

:

'每一個新園附加一層 且每一層附加一點」、 '2 ， 3+3 ， 4+4+4" ﹒」。其表示學生已具有代數知吾吾建 造的輩革形，因其易被引導到「圖一。 2 ，圖二:

3 X2

'圖三 4X3

'

J

'而意 識到每一個新圖是連續附加了幾次差]/[1或發現圓形個數干什位置閏之關f系，此總值 的規則 (a

global rule)

，甚至可處理遠處問題，如「圖~OO

:

101 X

100 ，而發展 卅「圖 n:(n+1) XnJ 之代數的「函數概念」。 (三)層次三 A: 若學生能使用逐一列舉法(1.3-2 )解題，表示己能蓋其覺圓 形的結構之間關係(1.2-1) ，例如原案1. 6 之 Mgh1 使用逐一列舉法(1.3-2):' 圖 一是 2 ，圖二是 2+(4) ，圖三是 2 +4 +(6)' ...圖 ~OO是 2+4+6+...+

(200)

J 。其表示學生已經意識到每一何新圖是連續附加了多少差E丘，以及發現圓 形結構和位置聞之關f系，此總值的規則，表示此國小高年級學生已具有代數知識 建造的能力，出這些列舉圓形結構之方法是未來學習代數(如等差級數求和)的 基礎。 (四)層次三 B: 若學生用逐一列舉法(1.3-2 )解題外， 161能處理遠處問題

(1.

3-

7)

，甚至能以公式或定義分類樣式(1.3-1) ，或許進一步也能將推論一般化 或改變(1.3-3 )。例如原案1.5 之 gh2

:

'圖三是 4 乘於 3

'

...第一 00 圖是 101 乘於 100 J' 除了有1.3-1 行為外， 161能處理遠處問題(1.3-7) ;原案1.7之 bh2: '圖 五是 5X( 5+ 1)' ...圖 ~OO時是 100X 101-10100' 圖 n 就是:

nX(n+1)J'

亦有1.3-2

'

1.3-7 行為，並能以公式分類樣式(1.3-1 )。其表示學生能用乘法趨近 去解題，不僅已經能製造該樣式總值的規則，並已有代數的「函數概念」。 因此學生若能用幾何圖形結構之間的關係來辨認樣式，則有助於圓形樣式思 考層次的提升及代數知識的建造。此支持 Ma (2007) 的論點，若學生以幾何圖形 結構之間的關係去解圓形樣式題，則其將有發展代數一般化的潛能。

馬秀蘭

一、結論

以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究

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恆、結論興建議

(一)國小高年級學童對樣式規律的思考支持 vanHiele 之層級，其仍可分派 至某一個層次。

(二)本文以 Fuys 等人( 1988) 對 van Hiele 層次的描述和例子為基礎，研 究者修正成圓形樣式思考層次之行為描述，並依學生實際解決圓形樣式題之表 現，將層次二及層次三再細分為二 A 、二 B 及三 A 、三 B' 而發展 van Hiele 圓形

樣式思考層次。其指卅國小高年級學童對圓形樣式規律的思考層次，其 'I'層次

一、二、三各有五、四、四個行為描述。

(三)

van

Hiele 圓形樣式思考層次有Crowley

(

1987) 描述 van Hiele 幾何思 考層次之次序性、內國性與外出性，以及語言性。 (四)學生若能用幾何圖形結構之間的關係來辨認樣式，則有助於圓形樣式 思考層次的提升及代數知識的建造。

二、建議

(一)研究者成功地將 van Hiele 理論應用到數學的「圓形樣式解題」上，但 本文乃探秉性研究，因此，建議未來有嚴謹設計之後續研究者可利用本文結果去 進行大樣本之檢測，例如，思考層次行為是否仍有跳躍現象等，使此研究的結果 更具推論性。同時本文乃拋磚引玉之用，建議以後之研究可進一步將 van Hiele 理 論觀察和應用在數學及其他學科上，以呼應 van Hiele 本人的建議。 (二)由於圓形樣式活動是學童進入代數文化之啟蒙，因此乃建議今後有關 當局志編寫教科用書之際，可考慮將 van Hiele 思考發展模式應用在(圓形)樣式 上，以做為設計代數課程!Yj依據。 致謝.本研究承蒙國科會專題研究計畫經費補助 (NSC 90-2521-S-275-00 1)，計 童主持人馬秀繭，特此致謝。