三維變形指標分解式理論驗證

三維變形指標分解式理論驗證

三維變形指標分解式理論驗證

林雅婷 R92521110 指導教授：許榮欣 教授 林雅婷 R92521110 指導教授：許榮欣 教授

流程

 前言  理論回顧  模擬實驗  結論  參考文獻

前言

 前一階段三維變形指標分解式的理論推導 已有完整的結果，但是光擁有完整的理論 是不夠的，必需要有實測資料分析的驗證 才行，而為了確保所設計的程式無誤，因 此將先以模擬數據做分析。

理論回顧

 _{根據 Vaníček 的 Robustness analysis 研究}

，研究點 發生位移時， 其變形指標可表示為： (1) 平均應變 (mean strain) σ (2) 總剪應變 (Total shear) γ ) , , ( _{i i i} i x y z p  x y z  z w y v x u _{  }  _                  3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 yz yz yz xy xy xy               

理論回顧

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續

(a) 純剪應變 τ ： (b) 簡剪應變 ν ：                                           z w x u y w z v y v x u zx xz zy yz yx xy 2 1 2 1 2 1                                                 x w z u z w y v x v y u zx xz zy yz yx xy 2 1 2 1 2 1      

理論回顧

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續

(3) 局部扭轉 (Local twisting) δω (a) XY 平面 ( _{對 Z 軸 ) ：} (b) YZ 平面 ( 對 X 軸 ) ： (c) XZ 平面 ( 對 Y 軸 ) ： ) ( 2 1 x v y u z        ) ( 2 1 y w z v x _       ) ( 2 1 x w z u y _      

理論回顧

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續

 ω_x 、 ωy 、 ωz 分別都可再區分為區塊旋轉

(block rotation) ω₀ 與局部微旋轉 (local differential rotation) δω

 _{區塊旋轉 (block rotation)}

 _{局部微旋轉 (local differential rotation)}   i x x x m   1 0   yi y y m   ₀ 1 _  i z z z m   1 0 0 x x x  _i     _y  _yi _y0 0 z z z  _i     ， ， ， ，

理論回顧

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續

 點位的變形矩陣計算上，同時考慮欲研究點 p_i 其周圍與之有連結或距離 pi 某半徑範圍 內的 t 個點。 a_i 、 b_i 、 c_i 為絕對項， u_i 、 v_i 、 w_i 為個點的位移 向量， 1 是元素為 1 的行向量， ΔXi、 ΔYi、 ΔZi 則 分別代表點在 x 、 y 、 z 方向上的座標微變量向量。 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i z w y w x w c z v y v x v b z u y u x u a Z Y X 1 w Z Y X 1 v Z Y X 1 u                                       

理論回顧

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續

 利用最小平方約制求解上式中的偏微分項與絕對項 可得： 其中， ，維度  _變形矩陣  Ti i Ti i i i i i z u y u x u a u K K K 1                     Ti i Ti i i i i i z v y v x v b v K K K 1                     Ti i Ti i i i i i z w y w x w c w K K K 1                     i i i i 1 ΔX ΔY ΔZ K  _{(t 1)4}                                                                     i i i i i i i i i i i i i i i i z w y w x w z v y v x v z u y u x u w v u Q 0 0 0 Q 0 0 0 Q e

理論回顧

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續

 假設測網共有 m 個網點， n 個觀測量，且 n>3m  全部網點的位移量 L P A N X    1 T ) , , 2 , 1 ( 0 1 1 9 n k z w y w x w z v y v x v z u y u x u k k k i k T i i i i i i i i i i i                                                          w W P A N T e 0 _{ 0k} 0 _ 0 k    k k k r 0 0    

理論回顧

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續

 _{令 Q}v 為殘差向量 V 的協因數矩陣，多餘數矩陣 ，  上式左右同乘 _AT ，並令 H-I-R  因第 k 個觀測量中未被偵測出之粗差所造成 Pi點的 變形矩陣為 是第 i 點的運算元 P A AN I P Q R T V   1  H A H A A A P A N1 T  ( T )1 T   k k i k k i k i  ( ) 0  ( ) 0 _{H G H} A T e   T A G_{i i}

理論回顧

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續

，其中， ， Pi 點的變形矩陣為              n n n i h g h g h g h g h g h g h g h g h g H G 9 2 9 1 9 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1        k j n k p h g h g n j jk pj k pk k p        , , 2 , 1 9 , , 2 , 1 1   h g k j n k p h g h g h g h g k n j jk pj k k pk k n j jk pj k pk k k p p k i                       , , 2 , 1 9 , , 2 , 1 ) ( 0 1 0 0 1 0   h g e k kk kk k h r r h  1 1 h_jk  r_jk

理論回顧

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續

 變形指標的分解式： (1) 平均應變 (mean strain) σ 自身項 ，補充項 (2) 總剪應變 (total shear) γ  k L Ck    k k k jk n j j j j k k k k k C L k j h g g g h g g g              ) ( 3 1 ) ( 3 1 0 1 9 5 1 0 9 5 1 2 2 2 2 2 2 xz xz xz yz yz yz xy xy xy               

理論回顧

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續

(a) 純剪應變 (pure shear) τ ：

xy xy k k k jk n j j j k k k k yx xy C L k j h g g h g g                  ) ( 2 1 ) ( 2 1 0 1 5 1 0 5 1 yz yz k k k jk n j j j k k k k zy yz C L k j h g g h g g                  ) ( 2 1 ) ( 2 1 0 1 8 6 0 8 6 xz xz k k k jk n j j j k k k k zx xz C L k j h g g h g g                  ) ( 2 1 ) ( 2 1 0 1 9 1 0 9 1

理論回顧

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續

(b) 簡剪應變 (simple shear) υ ： xy xy k k k jk n j j j k k k k yx xy C L k j h g g h g g                  ) ( 2 1 ) ( 2 1 0 1 4 2 0 4 2 yz yz k k k jk n j j j k k k k zy yz C L k j h g g h g g                  ) ( 2 1 ) ( 2 1 0 1 9 5 0 9 5 xz xz k k k jk n j j j k k k k zx xz C L k j h g g h g g                  ) ( 2 1 ) ( 2 1 0 1 7 3 0 7 3

理論回顧

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續

(3) 局部扭轉 (differential rotation) δω ： (a) 對 z 軸 (XY 平面 ) ： (b) 對 x 軸 ( YZ 平面 ) ： (c) 對 y 軸 ( XZ 平面 ) ： x x k k k jk n j j j k k k k x C L k j h g g h g g               ) ( 2 1 ) ( 2 1 0 1 8 6 0 8 6 k jk n j j j k k k k y g g h g g h j k             ) ( 2 1 ) ( 2 1 0 1 7 3 0 7 3 z z k k k jk n j j j k k k k z C L k j h g g h g g               ) ( 2 1 ) ( 2 1 0 1 4 2 0 4 2

模擬實驗

 實驗配置： _{表 1 模擬實驗之點位座標} 點位 X(m) Y(m) Z(m) A 547854.61 705133.04 3976.23 B 567093.75 676208.44 2854.17 1 559937.68 693896.12 3547.86 2 545675.27 674395.02 2631.48 3 595512.23 693475.26 3418.27 4 565106.19 707132.73 4032.91 5 534876.15 686425.36 3349.75

模擬實驗

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續

 _{圖 1 模擬網形} 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6 x 105 6.7 6.8 6.9 7 7.1 x 105 2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800 4000 4200 X 3 B 2 1 4 5 A Z Y

模擬實驗

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續

 變形指標計算 1. 計算 K_i 、 T_i 、 Q_i ： 以點位 1 為例                                          0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 4 1 4 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 5 1 5 1 5 1 1 1 1 Z Z Y Y X X Z Z Y Y X X Z Z Y Y X X Z Z Y Y X X Z Z Y Y X X Z Z Y Y X X B B B A A A K                 47 46 45 44 43 42 41 37 36 35 34 33 32 31 27 26 25 24 23 22 21 17 16 15 14 13 12 11 1 1 1 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k T T_{K K} K

模擬實驗

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續

           47 46 45 44 43 42 41 37 36 35 34 33 32 31 27 26 25 24 23 22 21 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k Q                              42 46 45 43 47 32 36 35 33 37 22 26 25 23 27 42 46 45 43 47 32 36 35 33 37 22 26 25 23 27 42 46 45 43 47 32 36 35 33 37 22 26 25 23 27 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k T

模擬實驗

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續

2. 計算求取觀測量中未被偵測出的誤差▽ 0k 時所用到的參數值，包含 u_k 與 _rk ，非中 心化 參數 δ₀ 則設定為 0.28 k r

編號 1 1 1.4877E-13 7.2594E+06 2 1 -2.4913E-13 5.6097E+06 3 1 -2.6290E-12 1.7269E+06 4 1 6.6169E-14 1.0885E+07 5 1 -6.1728E-14 1.1270E+07 6 1 -6.8603E-12 1.0690E+06 7 1 -4.3272E-12 1.3460E+06 8 1 5.8731E-14 1.1554E+07 9 1 -6.3505E-14 1.1111E+07 10 1 -5.5467E-13 3.7596E+06 11 1 -2.7400E-13 5.3491E+06 12 1 1.5142E-11 7.1957E+05 13 1 -6.8678E-13 3.3787E+06 14 1 4.3410E-14 1.3439E+07 k 0  k u r_k 表 4 實驗分析出的 u_k 、 rk 、 ▽ 0k 結果

模擬實驗

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續

 穩健度分析 1. 各點位的平均應變  點位 平均應變 Mean strain 1 3.4631E+10 2 2.2847E+10 3 5.3893E+10 4 7.0765E+11 5 1.4674E+10

模擬實驗

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續

2. XY 平面上各點位的穩健度量測

點位 總剪應變 微旋轉 局部微旋轉 Total shear Diff.

rotation Local D.R. 1 7.2820E+07 1.8470E+07 8.4915E+06 2 4.2017E+07 1.7200E+07 9.6544E+06 3 9.2464E+07 8.9804E+06 2.6188E+07 4 1.0251E+09 5.7568E+07 3.1208E+07 5 1.0251E+09 4.0002E+07 1.4748E+07

模擬實驗

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續

3. YZ 平面上各點位的穩健度量測

點位 總剪應

變 微旋轉 局部微旋轉 Total

shear rotationDiff. Local D.R. 1 3.4631E+10 6.9875E+08 2.5479E+08 2 2.2848E+10 6.1843E+08 5.8065E+08 3 5.3898E+10 1.2834E+09 4.5183E+08 4 7.0765E+11 1.9043E+09 1.1544E+09 5 2.7739E+10 6.9624E+08 7.9041E+08

模擬實驗

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續

4. XZ 平面上各點位的穩健度量測 點位 總剪應 變 微旋 轉 局部微旋轉 Total

shear rotationDiff. Local D.R. 1 3.4558E+10 9.2976E+08 1.9633E+08 2 2.2806E+10 9.2976E+08 2.0981E+08 3 5.3804E+10 9.2976E+08 6.9675E+08 4 7.0663E+11 1.4132E+09 8.7959E+08 5 2.7689E+10 1.0467E+09 3.4833E+08

結論

1. 模擬實驗假設的是網形沒有任何的變形， 因此理論上分析結果各變形指標的值應該 為 0 或趨近於 0 。 2. 實驗結果卻顯示無論是哪一個平面都有很 大的變形，此結果並不合理。 3. 探討座標系統的影響，將座標值縮小使整 個網形的質心與地心不致相差太遠，但結 果並沒有太大的影響，因此可知並非座標 系統的關係才造成如此大的變形。

結論

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續

4. 觀察所顯示的數據發現各點的 u_k 都為 1 ，這不合理，由公式 深入追查，可能是 A 矩陣的問題。 5. 檢查程式後並未發現 A 矩陣有誤，因此無 法辦定問題是否是來自於 u_k ，所以對於 模擬實驗的結果尚須檢討，以找出問題的 來源。 k T k k k A N A p u _ 1

參考文獻

1.Vaníček P, Krakiwsky EJ, Craymer MR, Gao Y, Ong P (1991) Robustness analysis, Contract Report,

Geodetic Survey Division, Canada Centre for

Surveying, Energy, Mines and Resources, Canada.

2. 李旭志， 2004 ， Robustness Anlysis of 3D

Network ，中興大學。

3.R. Hsu , S. Li ,2004,Decomposition of deformation primitives of horizontal geodetic networks ：

application to Taiwan’s GPS network, Taiwan, J. of Geodesy.(accepted)

4. 李偉菘 ,2003, 台灣一等 GPS 網之穩健度分析 , 碩 士論文 , 台灣大學