利用「故事式教學模組」進行國小六年級整數四則運算補救教學之學習成效探究

國立臺中教育大學數位內容科技學系碩士在職專班

碩士論文

指導教授：王曉璿 博士

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故事式教學模組

教學模組

教學模組

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進行國小六年級

進行國小六年級

進行國小六年級

整數

整數

整數

整數四則運算

四則運算

四則運算補救教學

四則運算

補救教學

補救教學

補救教學之學習成效探究

之學習成效探究

之學習成效探究

之學習成效探究

研究生：宋南屏 撰

中華民國 一百 年 六 月

謝辭

謝辭

謝辭

謝辭

三年間的研究所求學生涯，不論是在教育專業及生涯階段上，都有了意想不到的轉 變。過去對於許多前輩所描述的研究生經驗，都一一由虛無飄渺轉變為深刻的體會。 首先，要感謝我的指導教授－王曉璿老師，在研究的領域上，一路耐心的引領我。 每當我感到疲憊沮喪之時，老師對於研究的衝勁、積極與嚴謹的態度，一句精闢的提點、 一句短短的「很好！加油！」總為我再次點燃研究的熱情。謝謝王老師帶給我勇氣與堅 持，能跟隨王老師學習，我感到十分榮幸與感動。我也要感謝游自達老師，對於論文內 容的細心指正，鉅細靡遺，指出許多我研究上的盲點，指點迷津，使我獲益良多。也感 謝朱延平老師針對論文重要關鍵方向及研究價值上，給予相當多精闢的建議，讓研究內 容更趨完備。 再者，我要感謝我親愛的老公-建寧，三年的時間一直陪在我身邊加油打氣，為我 分憂解勞，體諒我的忙碌。就學期間與外子結為連理，除了進行研究之外，我們還需兼 顧籌備婚宴及新居的大小事。謝謝你於這段期間對我的包容與支持。我要對我親愛的老 公說一聲「謝謝你！」，我會永遠愛你一輩子。 我也要感謝我的爸爸、媽媽，給予我衷心的支持與鼓勵，體諒我忙於學業，為我分 擔不少壓力。也感謝研究所同學-久芳、郁婷、美惠給予我許多研究上的幫忙及鼓勵， 還要謝謝我的好友弘卿、局妍為我的研究提出專業的建議，佳雯幫我潤飾英文摘要。最 後，也謝謝學校同仁在我三年就學期間，在學校各項工作上的協助與支持，尤其是同學 年的同事們，謝謝你們！ 在此，以十二萬分之謝意，感謝三年來幫助我的所有人。 宋南屏 謹誌於 2011 年 6 月

摘要

摘要

摘要

摘要

整數四則運算在數學課程中扮演極重要的角色，近年來已出現錯誤類型及補救教學 的相關研究。本研究採教學實驗研究方法進行，研究對象為台中市北陽國小（化名）共 27 名六年級整數四則運算學習低成就學生，學生隨機分為實驗組及控制組。實驗組將以 「故事式教學模組」進行整數四則運算補救教學；控制組則以一般教學方式進行補救教 學。本研究主要是探究以「故事式教學模組」進行補救教學時，能否提升學生的「學習 成效」與「學習態度」。由量化資料發現，實驗組的「故事式教學模組」教學有助於維 持學童學習數學的信心，同時可提升其課程學習成績，且具有良好的學後保留效果。由 質性資料發現，實驗組學童對於「故事式教學模組」有極大的興趣。綜合以上結果可知， 「故事式教學模組」對於整數四則運算補救教學具有潛在效益。 關鍵字 關鍵字關鍵字 關鍵字：：：整數四則運算：整數四則運算整數四則運算整數四則運算、、、、補救教學補救教學、補救教學補救教學、、、故事式故事式故事式故事式教學模組教學模組教學模組教學模組

Abstract

Arithmetic plays an important role in mathematics curriculum. In recent years, research on arithmetic error types and remedial instruction has emerged. This study concerns the procedure in doing whole number arithmetic and adopts experimental research method for teaching, study of a total of 27 6th-grade arithmetic underachievers.The research subjects were in the Taichung City North Sun Elementary School (pseudonym). Students were randomly divided into experimental and control groups. In experimental group, story type of

instructional module was used for arithmetic remedial instruction; while in control group, general teaching strategy is utilised. The purpose of this study is to explore the learning effect of using story type of instructional module in remedial teaching. The quantitative data showed that the students in experimental group maintain the confidence in learning mathematics than the students in the control group. Based on the qualitative data, the students in experimental group demonstrated great learning interest in story type of instructional module teaching. Finally, the results of the study suggest that the story type of instructional module has the potential benefits for remedial instruction in the area of arithmetic.

目次

目次

目次

目次

謝辭...I 摘要... III Abstract ... V 目次...VII 圖次... IX 表次... XI 第一章 緒論... 1 第一節 研究背景與動機... 1 第二節 研究目的... 4 第三節 研究範圍及限制... 4 第四節 名詞釋義... 5 第二章 文獻探討... 7 第一節 四則運算教學內容分析... 7 第二節 四則運算補救教學... 14 第三節 故事式教學模組... 22 第三章 研究方法... 29 第一節 研究架構與設計... 29 第二節 研究流程... 33 第三節 研究對象... 35 第四節 研究假設... 35 第五節 研究工具... 36 第六節 教學內容... 43 第七節 資料處理與分析... 49 第四章 結果與討論... 51 第一節 學習成效分析... 51 第二節 學後保留效果分析... 59 第三節 數學學習態度分析... 67 第四節 問卷資料分析... 73 第五章 結論與建議... 77 第一節 結論... 77 第二節 建議... 80 參考文獻... 85 附錄一 家長同意書... 91 附錄二 教學活動設計（實驗組）... 93 附錄三 教學活動設計（控制組）... 101 附錄四 四則運算學習成就測驗（前測）... 107 附錄五 數學學習態度量表（前測）... 109 附錄六 開放式問卷... 111 附錄七 教學用簡報... 113

圖次

圖次

圖次

圖次

圖 2-2-1 學習輔導、課業輔導和補救教學的關係圖 ... 14 圖 3-1-1 研究架構圖 ... 29 圖 3-2-1 研究流程圖 ... 33

表次

表次

表次

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表 2-1-1 整數四則運算的能力指標與分年細目彙整表 （教育部，2003） ... 9 表 2-1-2 數學五年級「四則運算」教材內容摘要表 ... 12 表 2-2-1 數學整數四則運算補救教學相關研究一覽表 ... 20 表 3-1-1 實驗設計模式表 ... 31 表 3-3-1 實驗與控制組樣本人數摘要一覽表 ... 35 表 3-5-1 四則運算學習成就測驗雙向細目表 ... 38 表 3-5-2 四則運算學習成就前測預試試題難易度及鑑別度 ... 40 表 3-5-3 四則運算學習成就前測試卷內部一致性 α 係數 ... 41 表 3-6-1 實驗組與控制組之教學流程概要表 ... 45 表 3-6-2 教學內容各單元教學目標一覽表 ... 48 表 4-1-1 二學生學習成就前、後測之描述統計量表 ... 51 表 4-1-2 二組學生「學習成就後測」變異數同質性 Levene 檢定摘要表 ... 52 表 4-1-3 二組學生「學習成就後測」單因子共變數分析摘要表 ... 52 表 4-1-4 二組學生學習成就「兩步驟問題」評分向度前、後測之描述統計量表 ... 53 表 4-1-5 二組學生學習成就「兩步驟問題」評分向度 Levene 變異數同質性檢定 摘要表 ... 53 表 4-1-6 二組學生學習成就「兩步驟問題」單因子共變數分析摘要表 ... 53 表 4-1-7 二組學生學習成就「三步驟問題」評分向度前、後測之描述統計量表 ... 54 表 4-1-8 二組學生學習成就「三步驟問題」評分向度 Levene 變異數同質性檢定 摘要表 ... 54 表 4-1-9 二組學生學習成就「三步驟問題」單因子共變數分析摘要表 ... 54 表 4-1-10 二組學生學習成就「簡化四則運算」評分向度前、後測之描述統計量表 .... 55 表 4-1-11 二組學生學習成就「簡化四則運算」評分向度 Levene 變異數同質性檢定 摘要表... 55 表 4-1-12 二組學生學習成就「簡化四則運算」單因子共變數分析摘要表 ... 55 表 4-1-13 二組學生學習成就「拆括號問題」評分向度前、後測之描述統計量表 ... 56 表 4-1-14 二組學生學習成就「拆括號問題」評分向度 Levene 變異數同質性檢定 摘要表 ... 56 表 4-1-15 二組學生學習成就「拆括號問題」單因子共變數分析摘要表 ... 56 表 4-1-16 二組學生學習成就「分配律」評分向度前、後測之描述統計量表 ... 57 表 4-1-17 二組學生學習成就「分配律」評分向度 Levene 變異數同質性檢定摘要表 .. 57 表 4-1-18 二組學生學習成就「分配律」單因子共變數分析摘要表 ... 57 表 4-2-1 二學生學習成就前測、後測、延後測之描述統計量表 ... 59 表 4-2-2 二組學生學習成就前測變異數同質性 Levene 檢定摘要表 ... 60 表 4-2-3 二組學生「學習成就」單因子共變數分析摘要表 ... 60 表 4-2-4 二組學生學後保留「兩步驟問題」評分向度前、後測之描述統計量表 ... 61 表 4-2-5 二組學生學後保留「兩步驟問題」評分向度 Levene 變異數同質性檢定 摘要表 ... 61 表 4-2-6 二組學生學後保留「兩步驟問題」單因子共變數分析摘要表 ... 61

表 4-2-7 二組學生學後保留「三步驟問題」評分向度前、後測之描述統計量表 ... 62 表 4-2-8 二組學生學後保留「三步驟問題」評分向度 Levene 變異數同質性檢定 摘要表 ... 62 表 4-2-9 二組學生學後保留「三步驟問題」單因子共變數分析摘要表 ... 62 表 4-2-10 二組學生學後保留「簡化四則運算」評分向度前、後測之描述統計量表 .... 63 表 4-2-11 二組學生學後保留「簡化四則運算」評分向度 Levene 變異數同質性檢定 摘要表... 63 表 4-2-12 二組學生學後保留「簡化四則運算」單因子共變數分析摘要表 ... 63 表 4-2-13 二組學生學後保留「拆括號問題」評分向度前、後測之描述統計量表 ... 64 表 4-2-14 二組學生學後保留「拆括號問題」評分向度 Levene 變異數同質性檢定 摘要表... 64 表 4-2-15 二組學生學後保留「拆括號問題」單因子共變數分析摘要表 ... 64 表 4-2-16 二組學生學後保留「分配律」評分向度前、後測之描述統計量表 ... 65 表 4-2-17 二組學生學後保留「分配律」評分向度 Levene 變異數同質性檢定摘要表 .. 65 表 4-2-18 二組學生學後保留「分配律」單因子共變數分析摘要表 ... 65 表 4-3-1 二組學生「數學學習態度前、後測」之描述統計量表 ... 67 表 4-3-2 二組學生「學習態度後測」誤差變異量同質性 Levene 檢定摘要表 ... 68 表 4-3-3 二組學生「學習態度後測」單因子共變數分析摘要表 ... 68 表 4-3-4 二組學生「學習數學的信心」評分向度前、後測之描述統計量表 ... 68 表 4-3-5 二組學生「學習數學的信心」評分向度 Levene 變異數同質性檢定摘要表 .... 69 表 4-3-6 二組學生「學習數學的信心」單因子共變數分析摘要表 ... 69 表 4-3-7 二組學生「數學有用性」評分向度前、後測之描述統計量表 ... 69 表 4-3-8 二組學生「數學有用性」評分向度 Levene 變異數同質性檢定摘要表 ... 70 表 4-3-9 二組學生「數學有用性」單因子共變數分析摘要表 ... 70 表 4-3-10 二組學生「數學探究動機」評分向度前、後測之描述統計量表 ... 70 表 4-3-11 二組學生「數學探究動機」評分向度 Levene 變異數同質性檢定摘要表... 71 表 4-3-12 二組學生「數學焦慮」評分向度前、後測之描述統計量表 ... 71 表 4-3-13 二組學生「數學焦慮」評分向度 Levene 變異數同質性檢定摘要表 ... 71 表 4-3-14 二組學生「數學焦慮」單因子共變數分析摘要表 ... 71 表 5-1-1 研究假設之結果摘要表 ... 77

第一章

第一章

第一章

第一章 緒論

緒論

緒論

緒論

本研究旨在探討以「故事式教學模組」運用在四則運算補救教學之學習成效。本章共分 四節，第一節闡述研究背景與動機，第二節條列出研究的目的，第三節則說明研究的範圍與 限制，第四節再針對研究中出現的重要名詞加以釋義。

第一節

第一節

第一節

第一節 研究背景

研究背景

研究背景

研究背景與動機

與動機

與動機

與動機

我國的數學教育課程中，每個階段都有四則運算的內容，例如：小學階段有正整數的四 則運算，國中階段有整數及分數和多項式、函數的四則運算，在高中階段則有指數、對數、 三角函數、向量、極限的四則運算……。在九年一貫課程綱要中，數學學習領域的「數與量」 部分所佔的教材比例最大，其學習目標設定在「期望學生能瞭解加、減、乘、除四則運算的 意義，並進而解決日常生活所遇到的問題」。四則運算的概念與計算能力，關係著學生在解決 問題時，是否能有正確的解題策略、正確的列式，及以適當的計算技巧來達成解題的目的。 國內諸多學者（呂玉琴，1988；林碧珍，1990）曾指出學生的四則運算能力是所有計算能力 的基礎，學生若未能具備熟練的運算能力，也將會在未來數學學習上產生無比的挫折；Tara （2010）建議教師要使學生在數學事實（math facts）的使用上，能達到高層次的自動化，也 要進行清晰的規則系統的教學；九年一貫課程綱要（教育部，2003）附錄中也明確指出「整 數計算是一切數學學習的基礎」，；澳洲總理、副總理所發表的聯合聲名中也指出，識字與計

算能力是往後學習的重要基礎（Literacy & Numeracy Taskforce, 2010），因此從小奠定好四則 運算基礎就顯得格外重要。 Sousa（2008）彙整許多數學研究，說明學習數學之所以困難，是因為它很抽象，而且需 要較多邏輯和順序性（ordered）的思考。Jordan（2010）也指出數學困難（mathematics difficulties） 是普遍存在的，高達 10% 的學生在學時被診斷出有數學學習障礙，但有更多的學生沒有經 過正式的診斷而在數學中掙扎。數學困難有持續性，而這些有困難的學生可能永遠無法跟上 其他的同儕。

數學困難（mathematics difficulties）這個名詞較數學學習障礙（Mathematical Learning

Disability;MLD）涵義廣，它包含了學習成就低於平均的學習者（Russell,Nancyz & Jonathan, 2005）。障礙 disability 指的是生理上的失調（disorder），而「數學困難」指的是研究的評分中， 成就相對較低的學習者，一般來說，學習成就低於 35%的視為「數學困難」，而低於 6%的學 習者則為數學學習障礙（MLD）（Mazzocco, 2007），本研究所關注的是沒有數學障礙，但有 數學困難的數學低成就學生。 影響學生數學學習成就的原因可包含學校課程、教學品質、心理因素、人格特質及生理 因素（臺北市教育局，2009）。Sousa（2008）指出，在「學習」的相關研究中，我們不止要 瞭解有哪些必要條件可促進學生學習，而學生的失敗是由於缺乏了哪些條件？更要瞭解學生 在學習「什麼（what）」及「如何（how）」產生困難。研究者在教學時發現有些學生在整數 四則運算相關的單元中出現困難，查閱了相關文獻後發現，國小整數四則運算的相關研究多 半集中在文字題方面，然而對於「計算程序」方面卻較少著墨。NRC（National Research Council） （2001）有關數學精熟（mathematical proficiency）的定義中提到：程序性的流暢（Procedural fluency）—執行程序的過程中的技巧要能具備彈性、正確性、有效率而且適當（cited by Martin, 2007）。然而，有些學生的整數四則運算上，卻無法達到精熟的程度。 以國小五年級數學四則運算的教學內容來看，學生四年級時才剛學好「括號的先算」、「先 乘除後加減」等規則，但升上五年級後，緊接著要學「加減法的簡化」、「乘法對加減法的分 配律」、「加減去括號規則」。對部分學生來說，有些規則是矛盾的，例如四年級學的是「括號 先算」，五年級學的卻是可以「去括號」，加上括號前若是「減號」，「去括號」時還要變號， 這更複雜抽象了。這些單元的教學脈絡是先透過情境瞭解觀念或算則，接著安排計算的例題， 目的是為了排除應用問題文字理解的干擾，接著進行反覆練習，以強化計算能力。然而，在 這樣的設計下，有些學生無法建構清楚完整的算則體系。對某些學生來說，每個算則是彼此 獨立的，當一個題目中各步驟中，需要運用不同算則時，學生很容易出錯。有的學生會混淆， 創造出錯誤的算則，連以往會的中年級題型都可能算錯，也有的學生會停留在中年級所學的

算則，無法運用新學的算則。甚至，對某些學童來說，這些運算的特徵只是算式，而不是規 則（Feikes, 2009）。 近年來，「生活化佈題」是數學教育學者所強調的重點之一，國內外學者皆主張「學生要 能將數學運用在日常生活」、「懂得利用推論去解決數學問題，包括理解和解決日常生活問 題」、「學生在解題、理解數學概念或規律時，經常要置身在某經驗脈絡中，讓自己過去或其 他經驗，可以用來協助學習」（胡家戀，2003）；學生不僅可以透過他們的生活經驗，逐漸的 發展一些關於數字、樣式、圖形……等較複雜的數學概念，並且能在這些數學概念之間建立 連結（NCTM, 2000），目的是期望孩子能了解數學在生活的意義，透過生活經驗中的非形式 知識（informal knowledge）來學習形式化的數學知識（Murray, 1991），並進而將數學應用在 生活上。 然而，在四則運算方面，九年一貫課程綱要（教育部，2003）中提到：「計算程序本質上 較抽象，也因此才能應用於各種不同的情境。在理解運算的意義後，就應該慢慢脫離情境， 做計算練習。」在研究者的教學經驗中，發現有些學生無法連結生活情境與計算程序，甚至 產生錯誤的運算規則，有時雖然理解文字題的題意，列出正確的算式，卻因為錯誤的計算規 則而算出錯誤的答案。 林曉菁（2007）指出，許多學生覺得教科書中傾向單一生活情境所呈現的佈題，問題情 境較侷限。研究者欲為學生進行四則運算補救教學，若仍以「生活化佈題」的方式進行，是 否真能有效引起學生學習數學的興趣，提升其學習成效，是個值得商確的問題。 在眾多提昇孩童學習興趣的媒介中，除了操作性活動及動態多媒體等，「故事」對於孩童， 也具有不可抵擋的吸引力。唐淑華（2004）認為「以故事代替傳統的教科書，可以增加學習 者的興趣」，雖然他是針對閱讀的觀點做論述，但將這樣的理念應用於數學教學之上，應具有 異曲同工之妙。因此，研究者配合四則運算的計算程序：加減乘除計算規則（簡化計算）、加 減去括號規則、乘法對加減法的分配律，自創「數學王國」故事，將「故事」融入課室的數 學教學，藉此提昇孩童的學習意願。

在以「教學模組」進行數學補救教學的相關研究中，都指出「教學模組」對於提升學生 的學習表現很有成效（林曉菁，2007；姚如芬，2001；胡家戀，2003；徐偉民與林潔慧，2010））。 然而，「教學模組」運用在四則運算相關單元的研究較少，故研究者希望透過「故事性教學模 組」趣味的特性提升學生興趣，透過教學模組多重表徵的特性幫助學生學習四則運算的計算 程序。意即，本研究企圖將教學模組應用在四則運算的補救教學上，針對學習低成就的學生 進行補救救學，並檢視其教學成效，以作為後續教學和研究的參考。

第二節

第二節

第二節

第二節 研究目的

研究目的

研究目的

研究目的

本研究之目的如下： 一、 根據相關文獻來瞭解學生在進行四則運算時，錯誤的類型及形成原因。 二、 根據學生的錯誤類型及形成原因發展出「故事式」教學模組。 三、 探討「故事式教學模組」與「一般教學方式」對國小六年級學生在四則運算補救教學的 學習成效之差異。 四、 探討「故事式教學模組」與「一般教學方式」對國小六年級學生在四則運算補救教學的 學後保留成效之差異。 五、 探討「故事式教學模組」與「一般教學方式」對國小六年級學生在四則運算補救教學的 學習態度之差異。 六、 藉由研究結果與發現，提出對於教學與後續研究之具體建議，以供國小數學教師與對此 研究有興趣者參考。

第三節

第三節

第三節

第三節 研究範圍及限制

研究範圍及限制

研究範圍及限制

研究範圍及限制

本節共分為二部份，一為研究範圍，二為研究限制，說明如下：

壹

壹

壹

壹、

、

、

、研究範圍

研究範圍

研究範圍

研究範圍

本研究僅對台中市北陽（化名）國小六年級四則運算學習低成就之學生以「故事式教學 模組」進行四則運算補救教學學習效益之探究。根據學生的學習困難處，進行補救教學。本

研究之推論，乃針對九年一貫課程數學領域四則運算單元相關的教學內容探究，無法藉由本 研究之結果推估其他單元之學習成效。

貳

貳

貳

貳、

、

、

、研究限制

研究限制

研究限制

研究限制

本研究研究教材、研究時間、研究對象、研究方法與研究結果等方面有其限制，下面就 各項限制分述如下： 一、研究教材：本研究之教材主要根據九十八年部編版第九冊第一單元「整數與計算規則」 及第八單元「多步驟問題」，此編排次序會因各家出版商的不同，或因該版 本教材編修，而出現比例不同及內容有所差異等現象。 二、研究對象：本研究為配合教育現場環境考量，而且受限於人力、物力及時間，故僅針對 願參與此教學研究之學生為研究對象，因此外在效度有其一定的限制，解釋 上不宜過度推論。 三、研究方法：由於教育情境的限制，受試者無法採用「隨機取樣」與「隨機分派」，以及 無法嚴密地控制影響實驗效果的干擾變項，研究者僅能採用準實驗法設計。 四、研究結果：本研究因受限於人力、物力及時間，盡量以真實的教學過程及結果為主，故 研究結果的外在效度有其一定的限制，解釋上不宜過度推論。

第四

第四

第四

第四節

節

節

節 名詞釋義

名詞釋義

名詞釋義

名詞釋義

壹

壹

壹

壹、

、

、

、教學

教學

教學模組

教學

模組

模組

模組

本研究採用姚如芬（2001）對「教學模組」的定義，即指圍繞同一主題所設計之一系列 教學活動，每個教學活動皆緊扣住該主題，教師可實施完整的一系列主題教學；而因為這些 教學活動亦可各自獨立存在，因此教師亦可視實際教學的需求挑選出所需的教學活動，將之 適當修改後實施。「教學模組」雖然是同一主題的教學活動之集合，然而並不需要從頭到尾每 一個活動都實施，其應用是相當彈性的。

貳

貳

貳

貳、

、

、

、四則運算

四則運算

四則運算

四則運算

四則運算的規則是人們為了要區別先算什麼，後算什麼而形成的共識（謝堅, 2000）。本 研究中所包含的整數四則運算的內容有（一）括號先算、（二）先乘除後加減、（三）（乘除混 合或加減混合）由左向右算、（四）去括號、（五）分配律、及（六）簡化計算。

參

參

參

參、

、

、

、補救教學

補救教學

補救教學

補救教學

本研究所指的補救教學是依據「評量─教學─再評量」歷程的三階段，將先施以前測進行 學習診斷，分析學童其「四則運算」相關概念學習的困難為何，再透過自行設計的「故事式 教學模組」施以補救教學，以強化、提升學童在「四則運算」的相關概念和能力。最後在補 救教學結束後，再實施後測及延後測，評量學童的學習成效。

第二章

第二章

第二章

第二章 文獻探討

文獻探討

文獻探討

文獻探討

本章主要分為三節，第一節為四則運算教學內容分析，依序探討九年一貫課程綱要、現 行教學內容及學生學習狀況的分析。第二節為進行四則運算補救教學，探討補救教學的定義、 對象、歷程、教學設計原則、教學方法及課程類型，再針對整數四則運算教學的策略、研究 方法及教學成效進行探討。第三節為故事式教學模組，探討教學模組的特質及意涵，期能結 合相關理論進行教學設計。

第一節

第一節

第一節

第一節 四則運算

四則運算

四則運算

四則運算教

教

教

教學內容

學內容

學內容

學內容分析

分析

分析

分析

本節將說明四則運算的概念，並依序探討九年一貫課程綱要現行教學內容及學生學習狀 況的分析。

壹

壹

壹

壹、

、

、

、 四則運算的概念

四則運算的概念

四則運算的概念

四則運算的概念

四則運算混合計算問題，是用來記錄多步驟文字題的題意或解題計畫的，是另一種形式 的文字題；學童將多步驟文字題改用比較方便的算式填充題重新表徵後，再去求算式填充題 （也就是原文字題） 的答案。四則混合計算問題不是當我們解題成功後，再將解題過程改用 一個算式記錄，並要求重新再算一次答案。人們先形成由左往右依次運算的共識；但是當步 驟愈來愈多或運算次序發生混淆時，為了要區別先算什麼，後算什麼，才使用括號來標示先 算的部份，形成先算括號部份的共識；當問題更複雜，使用相同或不同的括號愈來愈多時， 為了要減少使用括號的次數與種類，人們發現先乘除後加減的約定可以省略的括號最多，所 以又形成先乘除後加減的共識，來減少括號的使用（謝堅，2000）。 由此可知，四則運算規則是由多步驟運算概念衍生出來的。Haylock（2007）說明，規則 系統是一個包含許多步驟的標準程序。而九年一貫課程綱要（教育部，2003）中提到：「計算 程序本質上較抽象，也因此才能應用於各種不同的情境。在理解運算的意義後，就應該慢慢 脫離情境，做計算練習。」也就是說，當學生透過文字描述的情境，理解了運算的意義後， 即使沒有情境的輔助，也要能理解計算的程序。Orton（2004）也提到，學習算術（arithmetic）

時，「記憶」很重要，學習者除了學習獨立的事實（isolated facts）之外，還要記住一步一步 的順序。算術知識有三種核心類型，（一）事實性知識（Factual knowledge）：指兒童有關數 字事實的基本知識（例如：4x3=?）,應儲存在長期記（long-term memory）而且當問題呈現出

來時，該知識可以自動提取（Bisanz & LeFevre, 1990）；（二）程序性（策略性）知識（Procedural

/strategic knowledge） 是指學生不能使用事實性知識時所使用的程序或策略（Bisanz & LeFevre, 1990），放聲數數、數手指等,使用延伸性事實（derived facts）或分解（decomposition）

（例如：欲解決 4x3 的問題，學童可能先用事實性知識—4x2= 8，再多加一個 4 而得到 8+4=12

的結果）；（三）概念性理解（conceptual understanding）：包含學童對於數學的結構與關係的

理 解 （ Bisanz & LeFevre, 1990 ），（ 例 如 ： 加 減 互 逆 和 加 減 互 逆 的 關 係 （ cited from

Robinson,2009）。而本研究所關注的屬於程序性知識的學習。

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教學內容

教學內容

教學內容分析

分析

分析

分析

一 一 一 一、、、、九年一貫能力指標九年一貫能力指標九年一貫能力指標九年一貫能力指標 研究對象所接受的數學課程，是依據九十二年教育部所公佈的數學領域能力指標（教育 部，2003），在課程綱要中，將數學的內容分為數與量、圖形與空間、統計與機率、代數、連 結五大主題，分別以字母 N、S、A、D 表示各主題。四則運算歸屬於數與量的主題之下的關 係子題，數與量的主題又分為「數與計算」、「量與實測」和「關係」三個子題，對於學童應 習得的數學概念和能力，有明確的分段能力指標說明。茲將國民小學階段對整數四則運算的 能力指標與分年細目彙整於下表：

表 表 表 表2-1-1 整數整數整數整數四則運算的能力指標與分年細目彙整表四則運算的能力指標與分年細目彙整表四則運算的能力指標與分年細目彙整表四則運算的能力指標與分年細目彙整表 （（教育部（（教育部教育部，教育部，，2003）， ）） ） 階段 能力指標與分年細目 能力指標 能力指標能力指標 能力指標： N-1-02 能理解加法、減法的意義，解決生活中的問題。 N-1-03 能理解乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問題。 N-1-04 能理解除法的意義，解決生活中有關除法的問題，並理解整除、商與餘數的 概念。 N-1-05 能熟練加減直式計算。 N-1-06 能理解九九乘法。 N-1-07 能理解乘除直式計算，熟練較小位數的乘除直式計算，並適當運用乘除來驗 算 N-1-08 能在具體情境中，解決簡單兩步驟問題。 第一階段 1~3 年級 分年細目 分年細目分年細目 分年細目： 1-n-06 能做一位數之連加、連減及加減混合計算。 2-n-09 能在具體情境中，解決兩步驟問題（加、減與乘，不含倂式）。 3-n-06 能在具體情境中，解決兩步驟問題（加、減與除，不含倂式）。 能力指標 能力指標能力指標 能力指標： N-2-02 能熟練整數加、減、乘、除的直式計算 。 N-2-03 能熟練整數四則混合運算，並解決生活中的問題。 分年細目 分年細目分年細目 分年細目： 4-n-03 能在具體情境中，解決兩步驟問題，並學習併式的記法 （包括連乘、連除、乘除混合）。 補充說明：併式在解題過程雖非必要，但是可作為日後代數學習的前置經 驗，並且也可以讓學童理解四則混合計算的應用。在本細目中，應引入括號 的使用，並讓學童知道括號中的運算應先計算。 4-n-04 能作整數四則混合計算 （兩步驟） 。 補充說明： 1.初步學習整數四則混合計算時，併式的約定如下： （1）有括號時，括號內的運算先進行。 （2）當式子中只有乘除或只有加減的運算時，由左向右逐步進行。 （3）先乘除後加減。 2.在整數四則混合運算時，除法應能整除。 5-n-01 能在具體情境中，解決三步驟問題。 5-n-02 能熟練整數四則混合計算。 能力指標 能力指標能力指標 能力指標： A-2-01 能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律，並運用於簡化計算。 第二階段 4、5 年級 分年細目 分年細目分年細目 分年細目： 4-a-01 能在具體情境中，理解乘法結合律、先乘再除與先除再乘的結果相同，也能 理解連除兩數相當於除以此兩數之積。 5-a-01 能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律，並運用於簡化心算。 由表 2-1-1 可知，四則運算在第一階段的重點在於加、減、乘、除等基本運算的熟練， 解題的部分，要能夠解決兩步驟的問題（加、減與乘、除，不含併式）。 第二階段延續第一階段，繼續熟練運算，而在解題的部分，四年級時學習解兩步驟問題， 以及併式的記法（包括連乘、連除、乘除混合） ，並初步學習併式的三個約定：（一）有括

號時，括號內的運算先進行，（二）當式子中只有乘除或只有加減的運算時，由左向右逐步進 行，（三）先乘除後加減。此外，還要能在具體情境中，理解乘法結合律、先乘再除與先除再 乘的結果相同，也能理解連除兩數相當於除以此兩數之積。 陳國雄（2006）發現國小四年級學童在整數四則不同類型問題解題歷程的表現，在加、 減兩步驟和乘、除兩步驟類型問題（當式子中只有乘除或只有加減的運算時）的答題表現較 佳，在加（減）、乘兩步驟和加（減）、除兩步驟類型問題（當式子中有乘、除或有加、減四 則混合計算時）的答題表現較差。 吳惠貞（2007）研究發現五年級學童在兩步驟的四則運算類型中，以「含有括號」（如： 15×（32－28）=?）的錯誤率最低，而以「沒有括號之單一乘或除」（如：90－50÷10=?）的 兩步驟類型為錯誤率最高。單純的加減（如：65－23＋18=?）和乘除（如：36÷3×6=?）的運 算規則都是由左往右算，但是通過率仍有不同，加減運算整體通過率高於乘除運算整體通過 率。 張育綾（2008） 研究學童四則運算非文字題表現分析後發現，學童在「由左到右依序運 算」概念及「使用括號」概念的試題表現佳，「先乘除，後加減」的這個概念答對率較低。學 童會依然延續了「由左到右依序運算」的運算規則解題，而忘了乘、除應先運算，接下來再 運算加、減的部分。 由此可知，這三個約定對學童來說難度不同。較困難是（三）先乘除後加減、（二）當式 子中只有乘除或只有加減的運算時，由左向右逐步進行；較簡單的是（一）有括號時，括號 內的運算先進行。 五年級的運算方面，由表 2-1-2 可知，要能熟練整數四則混合計算，解題方面，要解三 步驟問題。還要能理解乘法對加法的分配律，並運用於簡化心算。 在三步驟的運算中，吳惠貞（2007）研究發現五年級學童以三步驟含有乘或除（沒有括 號）的整體表現較佳，其中這種題型 45×4－90÷6＝？其原因可能為將除號或乘號擺在前、後， 造成兩個互相成對出現，因而有提醒的效果。但是 70－32÷4×2 這種題型乘除的位置就不是

分佈在算式的前後，通過率則較低。三步驟含有括號（如：85－（14＋21）＋18 ＝？）的整 體通過率偏高，顯示在三步驟運算含有括號的算式，學童的表現依舊較好，也較容易學習； 但是括號內若有加減乘除混合在其中（如：485－10×（15＋6） ＝？），通過率不像兩步驟 運算那麼高。在三步驟的運算中，單純的加減（如： 65＋25－26＋14＝？）和乘除（如： 72÷8×3×2＝？）的運算規則仍是由左往右算，但是通過率是三步驟中表現較差的。 臺北市在 2009 年的六年級學生數學基本能力檢測中發現，學童會出現規則誤用的情形。 以「14－5×2＋3＝？」為例，有 45.24%的學生答錯，其中有 22.25%的學生選擇「14－5×2 ＋3＝14－10＋3 ＝14－13＝1」的做法，分析其錯誤的可能原因是受到「先乘除後加減」運 算規則的影響，採取先乘、後加、再減的方式解題，學生忽略當最後的式子只有加減混合的 時候要採取由左而右計算的方式。另有 15.01%的學生選擇「14－5×2＋3＝9×2＋3 ＝18＋3 ＝21」，分析其錯誤的可能原因是受到「由左而右計算」運算規則的影響，直接由左而右依序 計算，得解，忽略當式子中有乘號時，要採取「先乘除後加減」的策略（臺北市教育局，2009）。 由以上內容可發現，學童在四年級學習整數四則混合計算併式的三個約定時，就可能產 生迷思概念，在不適當的情況下誤用規則。升上五年級後，題目的步驟增加，即使步驟數目 相同，但運算符號順序不同，對學童的難易度也不同。學童也有可能在其中一個步驟中誤用 了規則，而導致答案錯誤。在這個情況下，若沒有進行適當的補救教學，學童可能一錯再錯， 對其造成不小的影響。 二 二 二 二、、、、五年級教學內容五年級教學內容五年級教學內容五年級教學內容分析分析分析分析 研究者研究場域中所使用之的教材，是根據依據九十二年教育部公布國民中小學九年一 貫課程暫行綱要（教育部，2003）由國家教育研究院籌備處（2009）主編，以下根據五年級 上學期之教材內容及研究者在教學現場中所觀察到的學生學習狀況進行分析及探討。

表 表 表 表 2-1-2 數學五年級數學五年級數學五年級數學五年級「「「「四則運算四則運算四則運算四則運算」」教材內容」」教材內容教材內容教材內容摘要摘要摘要摘要表表表表 對應能力指標： N-2-03 能熟練整數四則混合運算，並解決生活中的問題。 對應分年細目： 5-n-01 能在具體情境中，解決三步驟問題。 5-n-02 能熟練整數四則混合計算。 5-a-01 能在具體情境中，理解乘法對加法的分配律，並運用於簡化心算。 單元名稱 單元名稱 單元名稱 單元名稱 教學目標教學目標教學目標教學目標 1-3 加減計算規則 1.運用結合律，簡化加減計算。 1-4 乘除計算規則 1.能運用乘法結合律簡化計算。 2.能運用「連除兩數相當於除此兩數之積」的規則簡化 計算。 3.能運用「先乘在除與先除再乘的結果相同」的規則簡 化計算。 第 一 單 元 第 一 單 元第 一 單 元 第 一 單 元 整 數 與 計 整 數 與 計 整 數 與 計 整 數 與 計 算規則 算規則 算規則 算規則 1-5 加減去括號規則 1.能熟練加減法去括號的規則。 8-1 四則混合運算 1.三步驟的混合計算與基本解題。教師宜先複習「先乘 除後加減」與「括號先算」的規則。 第 八 單 元 第 八 單 元 第 八 單 元 第 八 單 元 多 步 驟 問 多 步 驟 問 多 步 驟 問 多 步 驟 問 題 題 題 題 8-2 乘法與加減法的 分配律 1.學生應理解分配律成立的理由。 2.能用分配律來簡化計算。 在【1-3 加減計算規則】單元中，呈現連加（如：789＋346＋11=?）、連減（如：7875 －6999－875＝？）或加減混合（如：1001－87+86＝？）的題目，在【1-4 乘除計算規則】 中，呈現連乘（如：25×87×4＝？）、連除（如：180÷4÷9＝？）、乘除混合（如：77×7÷11=？） 的題目，學生必須觀察出數字間的關係，並調整計算的程序，以簡化計算。學童可能會出現 的錯誤有：（一）因觀察不出數字間的關係，仍用「由左向右算」的約定而不調整順序、（二） 無法辨認何時可以調整順序，而在其他題型中，產生任意換順序或數字及符號組合的狀況。 另外【1-4 乘除計算規則】中，還有 3600÷（8×9）=?的題目，讓學生練習以「連除兩數 相當於除此兩數之積」的規則簡化計算。學童可能會出現的錯誤有：（一）心算能力較佳， 會先算出括號中答案為 72，然後除出答案，雖然能解題，但看不出其是否理解「連除兩數相 當於除此兩數之積」的規則（二）些學生會忽略括號，將算式變為 3600÷8×9 進行運算。

在【1-5 加減去括號規則】中，呈現 20+（7+5）=20+7+5 及 20-7-5=20-（7+5）等例子， 讓學生觀察出其中的規律：當括號前是「加號」時，可拆括號；當括號前是「減號」時，拆 括號後，括號內的符號要變號。在這個單元中，學童可能會出現的錯誤有：（一）仍用「括 號內先算」的規則，而不拆括號，（二）當括號前是「減號」時，拆括號後，括號內的符號 沒有變號，（三）當括號前是加號時，拆括號後也變號的狀況。 在【8-1 四則混合運算】中，呈現多種三步驟四則混合運算的題目。吳惠貞（2007）發 現五年級學童以三步驟含有乘或除（沒有括號）的整體表現較佳，其中這種題型 45×4－90÷6 ＝？其原因可能為將除號或乘號擺在前後面，造成兩個互相成對出現，因而有提醒的效果。 但是 70－32÷4×2 這種題型乘除的位置就不是分佈在算式的前後，答對率則較低。三步驟含 有括號（如：85－（14＋21）＋18 ＝？）的整體通過率偏高，顯示在三步驟運算含有括號的 算式，學童的表現依舊較好，也較容易學習。 在【8-2 乘法與加減法的分配律】中，呈現 8×7+12×7=（8+12 ×7 等例子讓學生觀察出分 配律的形式，再進行練習。學童可能會出現的錯誤有：（一）只做前半段或只做後半段，如： 7×（8+12）= 7×8+12，（8+12）×7=8+12×7 ；（二）分配律的反推應用無法湊出正確的數字 組合，如 84×399=84×（399+1）；（三）不用分配律，而用「先乘除後加減」的規則，如 8×7+12×7=56+84。 根據研究者的觀察以及以上的探究發現，五年級整數四則運算的內容包含許多抽象的規 則。脫離了文字情境後，在各種題型的各個步驟中，學童必須要有足夠的觀察力才能判斷需 使用何種規則，任何一個部分概念不清楚的話便很容易混淆，也有些學童會因為覺得新的規 則太困難，而不願意學習，不論解什麼樣的題目，使用的策略都停留在四年級的程度。 然而，文獻上有關整數四則混合運算的錯誤類型研究有限，若教師在教學時，未能即時 察覺學生的困難，並進行適當的補救教學、協助學生釐清錯誤，有可能對其造成極大的影響。

學習輔導 課業輔導 補救教學

第

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二

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二節

節

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節 四則運算

四則運算

四則運算

四則運算補救教學

補救教學

補救教學

補救教學

本節將探討補救教學的定義、對象、歷程、教學設計原則、教學方法及課程類型，在再 對整數四則運算補救教學相關研究的教學策略、研究方法及教學成效進行探討。

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補救教學

補救教學

補救教學

本節將針對補救教學定義、對象、歷程、教學設計原則、教學方法及課程類型進行探討。 一 一 一 一、、、、定義定義定義定義 補救教學是一個「評估—問題解決—評估」循環系統（Gagne’, 1985）。補救教學是針對 學習低成就學生，對其學習困難處，提供診斷式的教學。在教學過程中，必須診斷學生的問 題、提供有效的教學以及經常性的評量。就理想上而言，期望補救教學實施一段時期後，學 生能跟得上原班級的教學進度（Ausubel, 1978）。 補救教學相關研究中有時會出現「課業輔導」或「學習輔導」，其與「補救教學」的關係 如下圖： 圖 圖 圖 圖 2-2-1 學習輔導學習輔導學習輔導學習輔導、、、、課業輔導和補救教學的關係圖課業輔導和補救教學的關係圖課業輔導和補救教學的關係圖課業輔導和補救教學的關係圖 資料來源 資料來源 資料來源 資料來源：：（：：（（（陳淑麗陳淑麗陳淑麗陳淑麗，，2009），， ）））。。。弱勢學童讀寫希望工程。弱勢學童讀寫希望工程-課輔現場的瞭解與改造弱勢學童讀寫希望工程弱勢學童讀寫希望工程 課輔現場的瞭解與改造課輔現場的瞭解與改造。課輔現場的瞭解與改造。。台北。台北台北﹕台北﹕心理﹕﹕心理心理心理。。。。 頁頁頁頁 11。。。。 陳淑麗（2009）指出「學習輔導從對一般學生學習動機的激發或學習方法與策略的教導 秦麗花（1995）到對低成就學生個別的補救教學都是學習輔導的範疇，因此，學習輔導，不 限定在特定的族群，也不限定在學科課程的學習，指涉的範疇是最大的；課業輔導則通常鎖 定在學科課程的指導，但從支持性的作業指導，到積極性的補救教學介入，都是課業輔導的 範疇；三個名詞中，補救教學的範疇是最小的，執行補救教學需業的專業性也最強。」

其內涵可針對教學對象、歷程、課程設計原則、教學策略、教學模式及課程類型來進行 更深入的探討。 一 一 一 一、、、、補救教學對象補救教學對象補救教學對象補救教學對象 本研究中的研究對象是數學整數四則運算學習低成就學童。低成就的定義在英文上常見 的有 Under achievement（低成就）和 Low achievement（低成就）兩種。Under achievement 是早期較被廣為接受的說法，指智力和成就測驗分數的差距。而現今較多人認同：低成就是 指能力和預期表現之間的差異（左太政, 2007）；另一種說法，Low achievement 泛指學業上的 表現顯著低弱，而不考慮其潛在的能力水準（陳博文，1996），此類學童常介於普通教育和特 殊教育系統之間。Low achievement 最早開始於家庭，一個困難的家庭生活或缺乏支持的家長 可能會給孩子一個匱乏的開始（Robert, 2007）。 林碧珍（2001）認為低成就學童沒有共同的特質，亦即每位低成就者的特質不一，也說 明低成就群體中充滿異質性。 歸納綜合學者們的研究（方建良，2003；曾柏瑜，2008）發現：低成就學童仍有可歸類 的共同特質，可分為學習特質、行為特質和心理特質等三類： (一) 學習特質方面： 1. 學業成績低落。 2. 學習動機不足，對於學業提不起興趣。 3. 成就動機不足，缺乏恆心，容易放棄。 4. 學習習慣不佳。 5. 應試時較欠缺作答技巧。 6. 注意力失常，如：注意力短暫，易受外界干擾，或注意力過度，過分專注於某些 小細節，而忽略重要的部分。 7. 同樣的作業需要比其他同學更多的時間來完成。 8. 不喜歡學校及家庭作業。

9. 編織藉口逃避學習或怠惰，對於學習沒有責任感。 10.經常找藉口不交作業或遲交，或是抄同學的作業。 11.習慣性的遲到以及較低的出席率； (二) 行為特質方面： 1. 外向性的行為問題，如：攻擊行為。 2. 內向性的行為問題，如：退縮。 3. 依賴性重，需要家長或教師的特別注意。 4. 常會違抗指令、自我防衛機轉及裝腔作勢的反社會行為。 5. 在自我或社會性的控制適應部分有困難。 6. 退縮反應，造成人際關係不佳。 7. 缺乏溝通及表達能力。 8. 缺乏解決問題的能力。 9. 家庭支持度較低。 (三) 心理特質方面： 1. 自信心不足。 2. 自我概念普遍低落，常畫地自限。 3. 情緒困擾。 三 三 三 三、、、、補救教學歷程補救教學歷程補救教學歷程補救教學歷程 補救教學是一種「評量─教學─再評量」的循環歷程。就理想上而言，期望補救教學實施 一段時期後，學生能跟得上原班級的教學進度。 其歷程大致分為三個階段（方建良，2003）。 (一) 轉介過程：篩選個案、蒐集資料、初步診斷、家長參與。 (二) 正式評量，其方式包括：課程性評量、程序性評量、判斷性評量、系統性評量。 (三) 教學：補救教學其重點在瞭解學生的學習困難後，精心設計課程內容與慎選教

學模式，方能契合學生的個別需求。 由上所述的補救教學歷程可以發現，補救教學所採用的是「評量─教學─再評量」 的循環歷程；重視個案資料的蒐集、診斷評量，以及在教學後的測驗，以瞭解學生的實 際學習狀況，並給予所需要的協助。 四 四 四 四、、、、補救教學設計原則補救教學設計原則補救教學設計原則補救教學設計原則 研究者統整多位學者所提到的補救教學設計原則（曾柏瑜，2008；Ausubel, 1978；杜正 治，1993；李翠玲，1993）歸納如下： 1. 徵求學生參加的意願； 2. 建立良好的師生關係； 3. 激勵學習動機； 4. 提高學習成功率 (1) 教材： A. 難度適中，要能激發學童挑戰的動機，故教學目標的設定要在學童的能力和 學習目標間； B. 教材內容需涵蓋有意義的內容，包含學童的學習風格與文化性，教師也要提 供機會讓學童發揮，若苦無成功經驗，學童可能會成為學習絕緣體。 (2) 教學： A. 根據學生的學習程度教學； B. 從學習者的先備經驗出發，和新知識產生有意義的連結； C. 循序漸進、小步驟進行； D. 強調重要且結構化的訊息； E. 鷹架教學； (3) 提供回饋和安排增強； (4) 使學習教材有意義；

(5) 協助記憶； (6) 提供充分而多樣化的練習機會； 5. 將學生安排為合作式小團體的學習； 6. 可使用電腦多媒體、多元化的教具，以提高學生的學習興趣。 從學者對於補救教學課程之設計原則來看，不難發現，在正式進行補救教學前，對學習 者基本能力的瞭解是最為重要之事。透過基本能力的瞭解後，再擬定相關之教學目標與教材 內容，並由易至難、小步驟的進行，將可幫助學習者深入瞭解內容，並在過程中建立學習者 的興趣與信心。 伍 伍 伍 伍、、、、補救教學的教學方法補救教學的教學方法補救教學的教學方法補救教學的教學方法與課程類型與課程類型與課程類型與課程類型 （ （ （ （一一一一））））、、、、教學方法教學方法教學方法教學方法 國內學者（唐晤容，2009；吳進寶，2004）指出，使用直接教學法、精熟教學、合作式 學習、及個別化教學等方式，能夠有效幫助低成就學生。

1. 直接教學（the direct instruction model）

較適用於教導學生記憶事實，學習動作技能，以及簡單的讀、寫、算技能。教師主要負 責組織教材和呈現教材，學生的主要任務在於接受學習。

2. 精熟教學（the mastery teaching model）

基本理念是：每個人的學習速度快慢不同，教學時只要列出要求學生精熟的標準，並給 予學生足夠的學習時間，則幾乎所有智力正常的學生，都能精熟大部份學習的內容。精熟教 學模式適用於中、小學團體教學的情境，適用的教材性質兼及認知和動作技能兩種，但涉及 的層次不高。

3. 個別化教學（the individualized instruction model）

本教學法的理念和部份作法和精熟教學模式相似，主要差異在於：個別化教學主張由學 生根據教材個別學習，且學習進度由學生自行決定；精熟教學主張由教師進行團體教學，且 學習進度由教師決定。

4. 合作式學習（the cooperative learning model） 有別於傳統一般教學重視學生個人間的競爭，合作式學習則強調透過小組內合作學習的 方式精熟學習內容。 本研究所採用的是直接教學（及精熟學習），其教學步驟如下（徐偉民，林潔慧, 2010）： 1.復習舊有相關知識。 2.呈現新的教材： （1）陳述教學目標； （2）組織教材，一次教一個重點； （3）示範個別步驟； （4）教完一個步驟，立即檢查是否學會； 3.學生在教師指導下做練習。 4.提供回饋和校正。 （ （ （ （二二二二））））、、、、課課課課程類型程類型程類型程類型 就課程內容而言，補救教學因教育的理念、教師的素養、學習的設備以及學生本身的需 要，而呈現多樣化類型。其常用的教學課程內容計有（一）補償式課程（compensatory

program）；（二）導生式課程（tutorial program）；（三）適性課程（adaptive program）；（四）

補充式課程（supplemental program）；（五）加強基礎課程（basic skills program）；（六）學習 策略訓練課程（learning strategies training program）等類型（杜正治，1993）。

導生式課程旨在於提供額外的協助，以學習正規課程內容。除了實施一對一或小組教學 等教學方式外，其餘與正式課程沒有差異。其教學特色是為學生提供額外的解說，舉更多的 例子，並對一般課程所呈現的教材再作複習。 綜合上述文獻探討，需進行補救教學的學生的特質與一般學生不同，因此在教學設計、 方法、課程設計上需根據學生的特性進行設計，若以原有的教材及一般的教學方式進行補救 教學，對學生的幫助可能較有限。研究者者進一步針對國小學童四則運算補救教學的相關實

徵研究進行探討。

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、四則運算補救教學

四則運算補救教學

四則運算補救教學

四則運算補救教學

有關國小學童四則運算補救教學的相關實徵研究中，研究對象、教學策略及研究方法都 不太相同，研究者將其彙整如下表： 表 表 表 表2-2-1 數學數學數學數學整數整數整數整數四則運算補救教學相關研究一覽表四則運算補救教學相關研究一覽表四則運算補救教學相關研究一覽表四則運算補救教學相關研究一覽表 研究者 研究對象 教學策略 研究方法 方建良（2003） 八位四年級學童 合作學習 行動研究法 楊淑靜（2007） 三位三年級學童 圖示結合擬題 教學策略 質量並重 陳素菁（2008） 三位六年級學童 直接教學結合 自我教導策略 單一受試之跨受試多探試 設計 徐偉民、林潔慧（2010） 六位四年級學童 教學模組 行動研究法 方建良（2003）採用合作學習，他認為合作學習強調團體目標與團體獎勵，個人不但要 為自己的學習負責，也要教會小組的其他同學，在教學上能夠獲得較佳的成效，能提高學生 的學習動機，更是發揮建構理念與精神的最佳途徑。 而楊淑靜（2007）的研究中採用「圖示」結合「擬題」教學策略，並以小團體方式進行。 「圖示」教學活動旨在利用提問協助學生釐清文字題數量間的關係，而能畫出符合題意的圖 示，進而能列出正確的算式。「擬題」教學活動旨在利用擬題協助學生能逆向思考加減乘除的 情境，進而釐清加減乘除文字題間的差異。此研究結果顯示結合圖示與擬題教學策略的補救 教學活動能有效提升學童之「列式能力」。 陳素菁（2008）以「直接教學」結合「自我教導」策略教學實驗介入。「直接教學」是一 種教師應用組織精密、系統層次分明的教材教法，直接預防與補救學生學業及其他技能缺失。 「自我教導策略」是訓練個體運用內隱的言語表現，以控制個體本身的行為。 陳素菁（2008）提到：Stein 等人（2006）認為注意力的維持是依靠教學工作組織來保持 學生積極參與學習活動；直接教學以簡潔有力的示範教學以及同聲反應的教學互動，配合清

晰的反應訊號與快速的節拍，協助學生維持上課的注意力並積極參與學習活動。在此研究中， 受試者在直接教學下，以一對一教學，於過程中安排大量的師生互動、對話，能促使受試者 有更專注的上課表現。 自我教導策略強調個體透過自我引導（self-guidance）機制中的自我語言（private speech） 來控制自己的行為。在陳素菁（2008）的研究中利用自我教導口訣進行解題，讓受試者面對 問題情境時有所依據，不再不知所措，或迷失解題次序，並且因為解題過程中適時的鼓勵自 己，給予自己的表現正向回應。經過「直接教學」結合「自我教導」策略教學後，三位受試 者在能以更清晰的思考模式、更具條理的解題程序，準確的完成作答，甚至在熟練解題步驟 後，對於整數四則運算更具信心。尤其在加減乘除混合三步驟題型的答題正確率，皆為四種 題型中提升幅度最大，顯示直接教學結合自我教導策略教學能協助數學低成就學生以系統 化、步驟化的解題技巧，逐一拆解複雜題型，達到成功解題的目標。因此，研究結果發現，「直 接教學」結合「自我教導」策略能有效提升受試學生之學習成效。 徐偉民與林潔慧（2010）的研究中利用教學模組進行國小四年級四則運算兩步驟文字題 補救教學。此研究中發現在測驗表現上整體進步幅度 71%~100%；在策略使用方面，學生逐 漸能直接從文字敘述了解題目意思，且清楚說出先算什麼，後算什麼；在情意方面，學生從 一開始對數學的學習無助到喜歡上數學課。這些顯示教學模組應用在補救教學的成效。 研究者根據文獻分析，進行四則運算補救教學的方法雖然不同，但都各有其成效。由於 研究者欲研究的四則運算內容繁多，若採用「教學模組」來方式，針對學生常見的問題，將 原有的教材進行分解與重組進行補救教學，是個可行的方式。

第

第

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第三

三

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三節

節

節

節 故事式

故事式

故事式

故事式教學

教學

教學

教學模組

模組

模組

模組

本節將針對本研究故事式教學模組的理論基礎進行探討。首先探討教學模組之特質與意 涵，再探討將故事的理念融入課堂教學後，對孩子之學習態度及學習成效可能產生的影響及 效用，以為本模組教學活動之設計提供相關的理論基礎，並以此為據，將故事做更妥善有效 的融入及應用。

壹

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、教學模組之特質與意涵

教學模組之特質與意涵

教學模組之特質與意涵

教學模組之特質與意涵

在九年一貫新課程的教育改革中，不僅對各個領域的內容有所修正，其中對於學校及教 師在教學自主權上的歸建更是一大更新，目的就是希望藉由站在第一線、最了解學生學習狀 況及需求的教師，從課程的接受者及傳授者的角色蛻變為課程的參與決策者、教學活動的設 計者及發展者。而教學模組具備的統整性、實用性及彈性化等特性，使其成為教師教學時的 利器，所以教學模組近年來在教材設計上的應用及重要性日漸受到重視。因此，同時身為第 一線教學者的研究者，即以上述理念發展本研究之「故事式教學模組」運用在四則運算補救 教學上。 本節以下將針對教學模組的意義與特色、模組課程的類型、模組發展模式及模組評量的 設計原則進行介紹及探討，以說明研究者應用模組來設計教學活動的立意。 （一） 教學模組（Instructional module）的意義

對於「模組」的定義，Russell, Lube 與 Bruce（1974）亦認為模組是一個具有單一主題 單元概念的教學計劃，包含於計劃中的教學活動可以個別使用，也可以有不同的組合和實施 的順序。李隆盛（1996）與 Warwick（1987）認為模組是一個獨立且目標明確的單元，以協 助孩子順利達到某種特定的學習目標為主要目的。此外，他們認為模組為短程、完整的主題 單元，其下必須提供許多各別獨立且目標明確的小單元，教學者可視實際需要彈性選擇、組 合這些單元，以完成更大的工作或更長程教學目的。此外，Finch & Crunkilton 認為「模組」

學習，以達成各種目標與需要」（轉引自林建仲、鄭宗文，2001）。由以上學者們的觀點可知， 國內外學者們皆認為「教學模組」可說是以某個特定單元主題或概念為核心教學目標設計發 展而成的一個套裝教學計劃，其內包含了多個目標明確而各自獨立的小單元或教學活動，教 學者與學習者皆可視實際需求自由選擇、彈性組合及運用這些小單元，以學習、探討或解決 此單元主題之概念或問題。簡言之，教學模組可說是一種主題式教學的概念，它是教師課前 的教學準備計劃，也是教師對進行教學的一種假設（黃茂在、陳文典，2000）。 就教學內容而言，教學模組為一將單元主題教材重新編排架構、改良後的產物，本身即 為一種可兹教學者方便利用之教材。就形式而言，若用集合的角度觀之，教學模組就如同一 個由許多教學活動（元素）所組合而成的教學計劃（集合），在這個具有明確主題及教學目標 的計劃之下，教學者可依不同的教學需求自由擷取部份「元素」形成一個新的「子集」進行 教學（姚如芬，2001）。最後，從教學方式來看，教學者可以透過實作活動、參觀活動、主題 調查報告、學習單撰寫、分組討論或舉辦比賽等方式來進行教學活動，換言之，其實教學模 組並沒有固定的教學形式，只要教學者能依照所撰取模組單元之特性，適性的搭配、運用各 項教學方式即可（陳文典, 2001）。 本研究採用姚如芬（2001）對「教學模組」的定義，即指圍繞同一主題所設計之一系列 教學活動，每個教學活動皆緊扣住該主題，教師可實施完整的一系列主題教學；而因為這些 教學活動亦可各自獨立存在，因此教師亦可視實際教學的需求挑選出所需的教學活動，將之 適當修改後實施。「教學模組」雖然是同一主題的教學活動之集合，然而並不需要從頭到尾每 一個活動都實施，其應用卻是相當彈性的。 （二） 教學模組的特色 黃國勳、劉祥通（2003）將一些學者（陳文典，2001；賴慶三，2001；黃鴻博，2000； Russell,1974）對於教學模組之相關研究進行綜合探討，整理歸納出教學模組具備三項特色， 分述如下： 1. 統整性：

教學模組為一種主題式教學的概念，所有的教學目標及所設計的活動皆圍繞著「主題」 發展，學生的學習亦是以此主題為核心，即教學模組主要係以主題探討的形式進行設計及教 學，因此，模組的內容可謂一種具備了課程統整精神的教材。 2. 實用性： 教學模組是一種以問題解決為導向的教學方案，以輔助教師教學的順利進行，並提升學 生的學習成效為主要目的。以教學層面來看，教學者能依學習者的先備知識或實際學習狀況 自由撰擇適合學習者現階段認知發展的活動，以進行適性化的教學，或依照自己的教學目標， 彈性選取或重新組裝模組內的活動；對學習者而言，亦能依照自身的學習能力、進度及時間 等需求彈性擷取模組內的活動，以輔助自我學習。總言之，不論對教學者或學習者來說，教 學模組都具有相當的實用性。 3. 彈性化： 從上一段落可知，教學模組在教學層面及學習層面上，其運用也都具有相當彈性，教學 者和學習者都能依照自己的需求任意選取模組內之單元，施行單一之教學活動，亦可彈性選 取數個單元或教學活動，自行組裝排序後再進行教學或學習。再者，以設計層面觀之，因為 教學模組並沒有固定的模式，所以可以依據學生的特質、認知能力、軟硬體設備等因素進行 模組活動之設計，因此，在設計上教學模組具備了很大的彈性變化空間。 （三） 教學模組的類型 Warwick（1987）將模組區分為二種類型：1.食譜型 2.樂高型（Lego）。食譜型的模組所 呈現的內容由各個單一的單元所組成，就像不同的食譜，彼此之間並沒有任何關聯，必須靠 教學者的巧妙組合才能形成一桌好菜（單元的組合）。樂高型的模組設計則是具有一定的順序 性及進階性，如同樂高積木一樣，儘管每個積木（單元）都可單獨存在，但是要構築高階的 積本就必須以底層的積木為基底；換言之，樂高型的模組中每一個單元目標都是具有順序性 的，一個單元目標的達成是為了下一個單元的學習，而師生就必須有順序的使用，才能一步 一步達成模組所設定的最終目標。

另外，朱元祥、蒲介民（1995）則是將模組分為「垂直模組」、「平行模組」、「跨群模組」 等三種，分別說明如下： 1. 垂直模組（vertical module）： 垂直模組的最大特色即為其「順序性」，亦即此類型的模組是依照教學目標由易而難、由 初階而進階，逐步的進行模組之設計及規劃，和上述 Warwick（1987）的樂高型有異曲同工 之妙，二者皆是必須以前面的模組單元為基礎認知或技能，才能進行後面進階模組單元的學 習。總言之，垂直模組不論是在設計的程序或教學的實施上，都是具有先後次序的。 2. 平行模組（horizontal module）： 平行模組在設計及應用上，與前述之垂直模組皆有相當的歧異處。平行模組的設計主要 訴求即為單元概念的平行發展，因此單元與單元之間並有必須的先後次序關係，教學者與學 習者皆可依自身的實際需求彈性予以撰取適合已用的單元。平行模組的特質與 Warwick （1987）的食譜型較為相近，皆是以彈性運用為主要訴求。 3. 跨群模組（interdisciplinary module）： 跨群模組的範圍已超過一固定的領域（院校、科系等），所以能提供更多自由撰擇的機會。 （四）模組評量的設計原則（Geraldine, 2011） 1.可能的話，讓學生在規律、低風險的狀況下進行評量，對於他們的進步，要給予回饋。 2.在課堂中發展學生自評或與同儕互評的機會。 3.讓學生進行有結構性的合作學習，並提供同儕、小組評量、檔案評量等多樣的機會。 4.思考模組學習活動順序的重新設計，包括混和式的學習機會，使其更有效率。 5.採取評量方式更有效的更主動、任務導向的學習。 6.考量學生的學習份量來設計模組。 本研究之教學模組包含（一）括號先算、（二）先乘除後加減、（三）（乘除混合或加減混 合）由左向右算、（四）去括號、（五）分配律、及（六）簡化計算等內涵。由於次模組是運 用在補救教學上，各單元難易度上並沒有很明顯的差異，也沒有一定的教學先後順序，設計

理念以食譜型模組為主，所呈現的內容由各個單一的單元所組成，彼此之間關聯性不大，教 學者可依實際需求彈性選取應用。

貳

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、故事

故事

故事式

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式教學

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教學

教學

教學

不論是孩童或成人，故事都有其強大的的吸引力。熊召弟（1996）亦認為童話故事可做 為有效的催化劑，融入課室教學之中激起學生的學習興趣，讓學生樂於學習。 Kieran（1989）則認為故事是有效組織訊息意義的最佳工具，所以強烈建議教學者將故 事融入課程之中，以多樣化、具創思的題材引起孩子的學習興趣，並藉此培養、提昇孩子對 於訊息或知識的理解及記憶能力。換言之，童話因為具有故事情節的特性，所以學生易於順 著情節的脈絡發展來理解教科書要呈現的知識概念，故事結構可以幫助他們的理解及尋出概 念之間的關係，並導引各個思考的面向（熊召弟，1996）。而即使教學者在故事情節的某段落 中拋出了或簡單或複雜的問題讓學生去解決，學生也能依循故事的情節脈絡、結構特性，對 隱藏在故事陳述中的線索、資料做分析，找出的因果關係或關連性，並對問題產生新的見解， 進而合理化的面對問題、解決問題（徐新逸，1998）。融入故事的教學為一種循著脈絡進而建 立概念架構的能力培養，亦是一種邏輯思考及判斷力訓練的歷程，而在這樣與故事、與參與 人員的互動中，孩子便能有成長（林曉菁，2007 ）。 故事的元素可包含角色、地點、時間、劇情、感官元素（氣味、口味、顏色、質料……）， 物體（衣服、裝扮……），角色的動作和態度、故事的情緒（來自角色、說故事者或聽故事者）， 故事的觀點、說故事者的聲調、態度、風格，以及故事的主題（Miller, 2011） 。 張純子（2010）指出： 角色是作品與讀者間的連結線。對兒童而言，「角色」是趨近文學作品最立即、最容 易的途徑。角色是故事的心臟，無論故事的情節多麼令人興奮、場景多麼特別、主 題多麼富含意義；關心角色所發生的一切，經常是將讀者推向故事深層核心的持續 動能。（張純子，2010，頁 1） 研究者結合四則混合運算的規則，自編「數學王國」的故事，透過故事各階級的角色：

國王、貴族、平民、魔法師……，加入想像與創意的元素進行童話故事的編撰。唐淑華（2004） 認為「以故事代替傳統的教科書，可以增加學習者的興趣」，雖然他是針對「閱讀」的觀點進 行探討，但將此的理念應用於數學教學之上，應具有異曲同工之妙。Stone（2007）注意到許 多民族都很重視故事的力量，他建議「說故事」也應該用在數學與科學的教學中（cited from Sharon, 2007）。 目前國內外將故事應用於教學的相關研究多半集中於語文方面，將故事融入數學教學中 的研究在近年已開始萌芽，然而卻缺乏較具主題式的教學活動。此外，在九年一貫課程實施 後，教師享有更多課程的選擇權及自主權，在這樣的多元化教育環境下，充分利用故事的優 點，將故事融入數學教學之中，當能有不錯的成效。 總而言之，研究者順從學童愛好聆聽故事的天性，針對四則運算的學習困難處，將自創 的故事融入數學四則運算單元的補救教學之中，營造輕鬆的氛圍，期望能藉此提升四則運算 低成就學童的學習興趣；並且，針對故事人物的特性及情境做鋪陳，期望能增進學童對四則 運算的理解，以提升學習成效。