數學表徵融入數學教學之經驗分享

數學表徵融入數學教學之經驗分享

蔡宜芳1 _楊德清2 嘉義縣國小 國立嘉義大學數學教育研究所

摘 要

本文的主要目的乃是筆者希望從實際的教學行動中，從表徵觀點探討小五學 生在分數除法和異分母比較其原始解法與迷思。 在這次的教學中，透過學生的解題表現和課室間的發表，可看出學生的創意 和數學概念的表現是非常多元的，且能透過思考的歷程慢慢建構出自己的數學知 識。學生的解題若能透過圖形表徵，則有助於解題成功。好的解題者能彈性運用 表徵。適當運用多樣化的數學表徵，能幫助學生數學概念的理解，所以，教師不 要急於教導分數符號及算則的學習。

壹、

前言

筆者任教於國小高年級已邁入第十年，每次接任新班級時，家長最擔心的 就是孩子的數學為何學不好？家長認為很簡單的題目，為何他的孩子總是學不 會？而學生卻抱怨：「數學對你們大人而言當然很簡單，可是我們覺得很難」。 的確，筆者發現高年級的課程中，因數和倍數、分數的除法，小數的除法、異分 母的比較，這些單元對高年級學生而言是比較抽象、困難的。因此，造成學生的 學習成就總是比較低，甚至造成許多學生慢慢失去對數學的興趣，經常要為學生 進行補救教學。以自己的教學經驗而言，在數學教學中，教師與學生的溝通語言 是相當重要的，這關係著教師教學與學生學習的成效，教師要如何將抽象的概念 以學生可以理解的方式引導學生思考，是身為教學現場教師所要重視的。 數學的理解包含兩方面，其一為獲得一套符號或系統以表徵數學概念，另 26 通訊作者：楊德清[email protected]

一個是能以多重表徵來代表某一概念，並能在不同型式的表徵系統中做轉換 （Davis, 1984；引自劉秋木，1990）。此外，許多學者（Brenner, Herman, Ho, & Zimmer, 1999；Cramer, Post, & delMar, 2002；Dreyfus & Eisenberg, 1996；Lesh, Post,

& Behr, 1987）也提到學生如果能以多重表徵代表一個相同的數學概念，並能在 不同的表徵型式中自由轉換，就表示學生已經能夠了解數學概念，如將 1 2 轉換 成 0.5 、將 1 2 以圖畫或語言來呈現。黃芳玉（2003）的研究亦指出國小六年級 學生的表徵能力不會伴隨著計算能力的成長而發展，並且說明學生若能運用數學 表徵和能彈性靈活的進行表徵轉換，例如：具體操作、口語表徵、圖形表徵、符 號表徵等方式，可以有效幫助學生思考並能培養解題能力。當學生能進一步運用 文字、數字等抽象符號來呈現他的學習經驗與知識時，則表示學生的思考能力已 更上一層樓，能獨立進行抽象思考。 由上可知，數學表徵與數學學習之間有密不可分的關係，學生能夠以一種 有意義的形式，來表徵數學問題情境，即表示學生對於問題情境有更進一步的理 解，能幫助學生發展組織思考以及分析問題的呈現。但是，在我們的數學課室內 不難發現學生還是深受到傳統紙筆算則的侷限，而不能夠有意義化的學習數學。 基於此，一次機會下，筆者對所任教的班級（五年級學生32人）進行一次「數學 解題大激盪」，藉機鼓勵學生運用自己的數學知識和過去學習過的表徵或其它解 題經驗來解決尚未學習過的數學問題，不僅可以了解學生對表徵的使用概況，也 讓筆者藉此做一次教學上的省思。

貳、

腦力大激盪開始囉！！

目前筆者所任教之五年級學生尚未學過分數除法和異分母的比較，因此在這 一次的大激盪中，筆者佈了下列兩個題目，要求學生進行解決相關題目，看他們 如何運用已學過的知識或表徵來協助其解決尚未學習過的問題。測驗之前，筆者

台下學生卻表示：啊！老師，要怎麼畫？還沒教過我不會···等等許多氣餒、無助 的聲音出現。 【問題一：有果汁 2 1 2 公升，平分給2人，每人可分到多少公升？】 【問題二： 2 3 和 1 2 哪一個大？怎麼比出來的？】 以下乃依據學生解題情況相近給予分類，讓我們一起分享這一次大考驗之學 生的解題情況： 一、舊經驗的連結展開成功表徵解題的第一步 此次的大考驗中，從學生的解題可以發現，即便題目是他們尚未學習的內 容，但是藉著過去所學習過的數學內容及不同的表徵方式，難題還是可以迎刃而 解。舉例如下： 從圖一、圖二可知：學生不會 1 2 ÷2＝ 1 4 ，但知道 1 2 ＝1÷2＝0.5，改由小數計 算，以小數符號表徵，在符號表徵系統內進行轉換，也就是利用所學過的概念來 解題成功，是個很棒的解題策略。此外，雖然未學過分數除法（已學過簡單的單 位分數），但學生能夠運用所學過的單位分數 1 4 ，並透過圖形表徵清楚知道 1 2 ＝ 2 4 ，將 ₂ 1 2 分成10個 1 4 而求出正確答案（如圖2）。而從圖3及圖4學生之解法，利 用過去所學將 2 3 及 1 2 這些符號表徵以圖畫來呈現，直接利用圖形表徵的方式，正 圖 2：學生第一題的解法 圖 1：學生第一題的解法

確表徵出 2 3 及 1 2 。學生面臨情境問題時，能以自己的表徵方式來解題，雖未學過 異分母的比較，但亦能夠運用圖形表徵成功解題問題，利用過去學習的經驗及自 行畫圖來解題。由此可知，學生能夠利用舊經驗的連結，透過圖形或不同符號間 的轉換表徵幫助學生思考並且能提升學生自我建構數學概念的能力，能進而達到 成功的解題。 圖 3：學生第二題解法 圖 4：學生第二題解法 二、利用文字符號勾勒腦中的想法 文字描述是紀錄想法的利具，也可以讓教師更直接了解學生腦中的想法。有 些學生直接透過文字的陳述來記錄其數學上的解法及想法，除了能幫助學生發展 組織思考以及分析問題的呈現外，有時可以藉此讓教師更可以容易窺見學生對數 學語言的使用之混淆。舉例如下： 從圖5及圖6，學生透過文字敘述（口語符號表徵）很清楚表示知道要平均分 圖 5：學生的解法 圖 6：學生的解法

給2人，所以利用把 1 2 分成一半是 1 4 ，因此求出答案，但也讓筆者意外發現學生 分不清楚數學語言『除』、『除以』使用，值得做為將來教學時加強建立正確數 學語言的運用。再者，進行此次激盪測驗時，班上學生剛好學完容量單元，學生 能夠將所學的容量單位換算（1公升＝1000豪公升）靈活運用在此題的解題，是 個非常好的解題策略，而透過文字的陳述及符號的表徵，教師可看出學生在容量 單位換算的概念也已建立。 三、自行創立獨門記錄方式 因為學生未學過分數除法（ 1 2 ÷2＝ 1 4 ），所以，學生用一種自認是對的符號 1 2 ÷ 2 ＝ 0.5 2 ，以自己的符號表徵方式來得到答案，令人眼睛為之ㄧ亮。 進行解題時，學生經常會很急著問：老師，我這樣算對不對？，往往關心的 是答案的對與錯，而忽略了解題過程中真正的意義。看到學生自創數學符號，並 且言之有理的答案對研究者而言是一件非常令人振奮的事，因為透過學生如此的 表徵方式可知他能夠由自己的思考方式建構數學知識。而孩子們便是需經由建構 的歷程來了解數學算則其背後的意義，經過深思的解釋比快速的算出答案更有意 義和價值。因此，『不需擔心答案對與否』，在評斷答案對錯之前，先給學生一些 時間去聆聽和討論各種解題策略，並進一步反思自己的解法和評論同儕的解法。 筆者之所以不建議先敎算則，乃因為在教學現場經常發現：國小學生非常服 圖 7：學生的自創解法

從老師的指令，老師若先敎分數算則，學生將會很容易接受沒有意義的數學算則 和答案，而算則會使孩子們失去他們自己的思考歷程，甚至阻礙了孩子數常識的 發展，最後導致孩子只是一味依賴算則。因此，學生是需要被鼓勵去創造更多的 數學表徵方式，但仍以正確的抽象符號表徵為最終的目標。 四、透過文字（口語）、符號或圖形的紀錄表徵可窺探學生之數學概念的錯誤或 迷思 短短的一堂課，學生不僅可以發揮其自發性解法，也讓老師藉機一窺學生腦 中的數學想法。教師引導學生寫出或說出解題策略，能夠幫助學童進行反思，並 且能提供教師回饋，讓教師明白學童的迷思。有些學生雖然答案正確，但透過寫 作單上的解題可看出其解法和觀念是錯誤的。舉例如下： 雖然學生最後答案：『 2 3 大』是正確的，但他認為分母：3＞2、分子：2＞1， 所以 2 3 ＞ 1 2 （圖7），從這可以得知學生分數概念上具有迷思，老師必須要加以關 注。學生記錄求解方法，可以讓老師有機會看清學生思考數學的方式，知道學生 這樣的觀念、想法是錯誤的，進而協助修正學生的迷思概念。 圖 7：學生的寫作單 _{圖 8：學生的解法} 圖 9：學生的解法 圖 10：學生的解法

圖 8、圖 9、圖 10 是不同的學生在相同的題目上顯現出不同的錯誤。如圖 8 學生以面積（畫圖表徵）的大小來比較，認為 1 3 塊比較小、 1 2 塊比較大，而不知 2 3 是 2 個 1 3 ，造成解題失敗；圖 9 顯示出學生未能有等分概念，雖知道 2 3 是 三塊中的兩塊，但卻不是相等的三塊，經由圖形表徵，教師可以清楚知道學生解 題失敗的原因；圖 10 可知，雖然學生能寫出 2 3 ＞ 1 2 ，但不代表他的想法是正確 的。這位學生以 2 3 － 1 2 ＝ 1 1 ＝ 1 的方式判斷 2 3 ＞ 1 2 ，答案雖然正確但概 念錯誤，因為學生誤以為分數相減，即分母減分母、分子減分子，這是學生常見 的迷失概念。 當學生發表具有迷思的解題策略後，筆者會要求其他學生提出意見，認為此 種解題策略恰不恰當？透過同儕間的討論可讓有迷失概念的學生產生認知衝突 ，清楚知道自己的迷思。如圖 7，透過同儕的回饋，S1：『比大小不能這樣比。』 T：『為什麼不能這樣比？有誰能舉出其它例子。』S2：『嗯… 2 ₃ 和 1 ₁ 誰大？』 S3：『對阿！你那個是巧合啦！』。圖 8，許多學生很快就能發現其錯誤之處， S4：『它是說 2 3 又不是說 1 3 』。圖 9，S5：『你畫錯了啦！ 1 3 要畫一樣大塊才可以』。 圖 10，S6：『好有創意喔！可是分數不能這樣減，要不然 2 3 － 1 1 怎麼減啊？』。 經過學生的辨證再加上教師適時介入引導學生思考，大部分學生都能了解其迷思 概念並修正自己的迷思概念，至於少數仍然無法理解的學生，教師便能清楚學生 尚有哪些迷思概念以便進行補救教學。 檢驗學生數學學習成果及能力指標是否達成，最直接的方式就是觀察學生的 解題歷程和結果。因此，經由筆者所佈下的題目，透過學生各種不同數學表徵的 方式，可以一窺學生是如何「瞭解」與「運用」數學概念。 分數除法單元一直是令高年級教師感到不好教的單元，筆者以前也跟大多數 教師ㄧ樣直接教授算則，後來發現學生只是依樣畫葫蘆，未能真正獲得數學概

念。我們常以教師的角度看學生，而低估學生自我建構的能力，但是，在這次的 教學中，透過學生的解題表現和課室間的發表，可看出學生的創意和數學概念的 表現是非常多元的，且能透過思考的歷程慢慢建構出自己的數學知識，從學生在 這堂課後的學習日誌可窺一二。 圖十三：學生學習日誌 圖十二：學生學習日誌 圖十一：學生學習日誌

學生的學習日誌中表示，數學可以有很多不同的解法，平常老師敎的題目大 多是用算式表達，看到其他同學有不同的解法，學生以前認為數學很死板，算法 只有一種，而經過這一堂課，學生嘗試用畫圖、算式、文字說明、單位量轉換的 方式解題，以不同表徵來解題，並且能欣賞別人的解題策略，並且學會欣賞別人 的解題，進而選擇自己能理解的方式或更簡便的方式來成為自己的解題策略。

參、

我學到了什麼？

透過了這次的教學，學生解題經由舊經驗連結或自發性解法的表現，讓筆者 相當驚訝學生的表現是這麼的多元，雖然學生存有些許的迷思。學生透過半具體 的圖形表徵、口語表徵再加上教師適時的介入引導思考，對學生的分數概念理解 有很大幫助，似乎也能引起學生更多的數學學習興趣，不再視數學為畏途。 平日的教學只是一味的趕快教授算則，多讓學生習練習，誤以為這樣學生就 學會了，而忽略了學生的思考過程，舉凡隨堂測驗或定期評量，總會發現學生的 成績表現不如預期理想，因而認為學生不夠認真學習，於是再讓學生做更多無 謂、無意義的練習。因此，身為教師要能夠知道學生的迷思，了解學生數學概念 的學習情況，對於從事數學教學實務工作者將有很大的幫助。從學生的解題過程 發現，透過圖形表徵大部分學生都可以順利解題成功，進而幫助學生建立分數概 念；也有部分學生靈活運用已學過的知識，改變解題策略，同樣能夠成功的解題， 然而教師在過程中的角色仍是不可忽略的，適時的引導、介入，最後才引入正式 抽象符號的表徵，以幫助學生發展正確的分數概念。因此，抽象符號表徵引入的 時間點顯得非常重要，越抽象的概念學生越不易理解，教師要能夠透過更多元的 表徵教學活動，讓學生於課室中表達、澄清自己的想法，進而建構正確分數概念。 適當的運用多樣化的數學表徵，不但能夠增進數學概念的理解，還能夠以此數學 表徵，作為與他人溝通數學想法的媒介，甚至將其應用在真實的問題情境，以進 一步解決生活當中所面臨的問題。

多一點空間，多一點機會，數學課不再成為科目排行榜之末；多一點肯定， 多一點鼓舞，數學學習不再只是公式和數字間的穿梭。特別在分數學習過程中， 我們常發現學生只會依樣畫葫蘆，機械式的運用算則計算，只知其然，不知其所 以然。因此，教師不要急於教導分數符號及算則的學習，學生分數概念的發展應 優先符號及算則的學習。教師若能重視學生自主性的表徵，提供多元表徵的學習 機會，讓學生主動參與學習，學生必能發展良好分數概念。因此，身為數學教師 的我們在學生學習數學的過程中，應多提供學生運用數學表徵的機會，讓數學表 徵成為拓展數學思考能力的工具，對於學生數學概念的發展有莫大的助益。

參考文獻

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