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國中數學6 1 3應用問題

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Academic year: 2021

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(1)

1−3 應用問題

本節課程學習重點: ◎能利用二次函數解決簡單的應用問題。 一、應用問題: 日常生活中有些問題,會和二次函數的最大值或最小值有關,此時可以依下列步驟進行解題: (1)設未知數:依題意假設適當的未知數 x、y。 (2)列式:依題意列出 x 的二次函數。 (3)求值:利用配方法,求出二次函數的最大值或最小值。 (4)作答:依題意回答問題。 練習1:若兩數的差為 8,則此兩數的乘積是否有最大值或最小值?若有,試求其值。 練習2:若兩數的和為 10,則此兩數之乘積的最大值是多少? 練習3:軒軒國中想用 80 公尺長的籬笆圍出一塊矩形的溼地,作為自然生態學習區,則如何才可圍出 最大面積的溼地?此時最大面積為多少? 練習4:小妍想將一條 40 公分長的彩帶剪成兩段,各圍成一個正方形,她要怎麼剪才能讓這兩個 正方形的面積和為最小?此時面積和為多少平方公分? 練習5:康康旅行社舉辦「高鐵一日遊─發現美濃」的活動,預訂人數為 40 人,每人收費 6000 元, 若人數到達 40 人後,每增加 1 人,則每人收費可減少 100 元。試問當增加多少人時,旅行社 能收到最多的錢?最多可收多少錢?

(2)

練習6:某文具店每個鉛筆盒賣 54 元,每星期可賣出 40 個,若鉛筆盒的價格每便宜 1 元,一星期 可多賣出 10 個,則當每個鉛筆盒賣多少元時,那個星期賣鉛筆盒的收入最多? 練習7:投擲鉛球時,當鉛球的水平距離為 x 公尺時,鉛球離地面的高度為 y 公尺,如下圖。 若 x 與 y 滿足關係式 y=- 40 (x1 2-16x-56),則鉛球行進路徑的最高點離地面多少公尺? 練習8:地面上有一個噴水孔會噴出水柱。若經過 x 秒後,噴出的水柱高度為 y 公尺,且兩者滿足 關係式 y=4.9x-4.9x2,則此噴水孔噴出的水柱最高點離地面多少公尺? 練習9:有一個形如拋物線的拱橋,這座拱橋下的水面離拱頂 2 公尺,水面寬 4 公尺,如下圖。 若水位下降 1 公尺,則水面寬度為多少公尺?(Hint:定坐標,慎選頂點。) 2 4 練習10:某河流上有一座形如拋物線的拱橋,這座拱橋下的水面離拱頂 3 公尺,水面寬為 6 公尺, 若水位上升 2 公尺,則水面寬度為多少公尺? O x x y y

(3)

自我評量 1. 若兩數的和為 11,則此兩數之乘積是否有最大值或最小值?若有,試求其值。 2. P(-3)、Q(2)為數線上兩點,在數線上找一點 N(x),使得¯ NP 2+ ¯ NQ 2的值為最小,則 N 點坐標為何? 此時¯ NP 2+ ¯ NQ 2的值為何? 3. 佳玫站在離地面 18 公尺高的塔頂上,向上投擲一球,經 x 秒後,球距地面的距離為 y 公尺, 已知 y 與 x 的關係為 y=-2x2+16x+18,則 (1)此球擲出經幾秒後,可達最大高度? (2)承(1),此時最大高度為多少公尺? (3)此球擲出經幾秒後,才會落到地面? 習作 1. 已知兩正整數的和為 12,求當此兩數各為多少時,其平方和的值最小?此最小值是多少? 2. 有一算式:(80-□)×(□+20),其中□內只能填入相同的正整數。 例如:當□填入「1」時,「(80-1)×(1+20)=1659」,即此算式的值為 1659。 則□填入多少時,此算式有最大值?最大值為何?

(4)

3. 將一顆棒球垂直向上拋,上升為 x 秒時,高度為 y 公尺,若 x、y 的關係式為 y=19.6x-4.9x2, 則此球在拋出幾秒後可到達最大高度?最大高度為多少公尺? 4. 屏東一觀光果園盛產黑珍珠蓮霧,園內共種有 50 棵蓮霧樹,盛產期間每棵樹可產出 800 顆蓮霧。 若每加種一棵蓮霧樹,每棵樹的產量會減少10 顆蓮霧,則果農加種多少棵蓮霧樹時,可使蓮霧的 產量最大?此時產量為多少? 5. 如下圖,用 100 公尺長的鐵網沿河邊圍成四個大小一樣的長方形花園(靠河的一邊不圍),則所能 圍出的最大總面積為多少平方公尺?

6. 如下圖,在直角坐標平面上,國志傳球的軌跡形成一拋物線,且該球先經過坐標(10 , 2),然後到達 最高點(6 , 3),若捕手恰好在圖中的 y 軸上接到球,則該球離地面 x 軸的距離 h 是多少?

h x O y (單位:公尺) 最高點(6,3) (10,2) 類題補充 1. 若 x+2y=20,求 x2+y2的最小值。

(5)

2. 若 2x-y=12,求 xy 的最小值。 3. 向上發射一枚砲彈,經過 x 秒後的高度為 y 公尺,且高度與時間的關係式為 y=ax2-2bx。 若此砲彈在第8 秒與 15 秒的高度相等,則下列四個時間的高度,哪一個是最高的? (A) 10 (B) 11 (C) 13 (D) 15 4. 在矩形 ABCD 中,已知 AB +2 AD =20,則此矩形的面積最大為 平方單位。 5. 已知長方體的高為 8 公分,底面的周長為 24 公分。設寬為 x 公分,長方體的體積為 y 立方公分,則 體積 y 的最大值為多少立方公分? 6. 右圖為一河道的截面,其形狀恰為一拋物線,而最深處 E 點距岸面 12 公尺, 當水深為8 公尺時,河面寬( ¯ CD )為 12 公尺,今若欲架設一橫跨 A、B 兩岸的 木橋,試求橋長(¯ AB )至少為多少公尺? 7. 如右圖,直線 L 與 x 軸交於 C 點,與拋物線 y=ax2交於 A、B 兩點,則 (1) k= 。 (2) △AOC 的面積為 。 12 8 B D A C E

y

x

O C A(-3 , k) B(2 , 3) L

(6)

加強練習

1. 設直角三角形兩股和為 16,則此直角三角形面積最大值是多少平方單位? (A) 16 (B) 24 (C) 32 (D) 64

2. 若二次函數 y=-2x2-8x+10 的頂點為 A,且此二次函數與 x 軸的交點為 B、C,則 A、B、C

三點所形成的三角形面積為多少? 3. 如下圖,方程式 3x+4y=12 的圖形與兩軸分別交於 A、B 兩點,若 P 為¯ AB 上的任一點, 則矩形 CODP 面積最大值為多少? (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12

y

x

A C O P B D 4. 設 a:b=4:5,b:c=2:3,則 ab-bc+ac+b 的最小值為 。 5. 二次函數 y=x2上有四點 A(-2 , 4)、B(-1 , 1)、C(2 , 4)、D,若¯ AD //¯ BC ,則 (1) D 點坐標為 。 (2)過原點 O 作直線將梯形 ABCD 面積平分為兩個相等面積,則此直線方程式為 。 6. 如右圖,¯ AB 是一條長 24 公分的鐵絲,P 是¯ AB 上一點, 將¯ PB 分為四等分,圍成一正方形 PSTU;將¯ PA 分為 三等分,圍成一正三角形 PQR,Q、P、S 三點成一直線, R、U、P 三點形成一個三角形,則△RUP 的面積最大是多少? 7. ABCD 為平行四邊形,∠B=30°,且其周長為 20cm。則

ABCD 面積的最大值為何? (A) 252 cm2 (B) 2258 cm2 (C) 25cm2 (D) 50cm2 8. 如右圖,雪山隧道的造型為拋物線的一部分,寬度 ¯ AB =1000cm, 高度 ¯ OP =400cm。若有六部大型巴士車寬均為 300cm,車高分別 320cm、340cm、360cm、380cm、400cm、420cm,則能順利通過 隧道的共有幾部車? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 9. 如右圖,在坐標平面上,沿著兩條坐標軸擺上三個相同的長方形, 其長寬分別為2、1,求通過 A、B、C 三點的拋物線方程式為何?

(A) y=- 56 x2- 12 x- 103 (B) y=- 56 x2- 12 x+ 103 (C) y=- 56 x2+ 12 x+ 103 (D) y=- 56 x2+ 12 x- 103 10. 根據調查,一頂帽子賣 120 元時,有 80 人會買,若價格每減少 10 元時,就會增加 20 人購買, 若一頂帽子成本60 元,請問每頂帽子的售價訂為 元時,會有最大的利潤,其最大的利潤 是 元。 y x A B O D C A P B U T R P Q S

y

x

A B C O

y

x

P A O B

(7)

Ans:1.(C);2. 54;3.(A);4.- 12 ;5.(1)(3, 9);(2) y=9x;6. 3;7.(A);8.(B);9.(B);10. 80,3200。 心得筆記

參考文獻

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