三因子BGM模型下匯率連動固定期利率交換商品之評價 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學金融系博士論文指導教授: 廖四郎博士. 三因子 BGM 模型下匯率連動固定期利率交換商. 立. 品之評價政治. 大. ‧ 國. 學. A Valuation of Quanto Constant Maturity Swap Products. ‧. under the Three-factor BGM Model. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 研究生:楊繡碧撰中華民國一百年七月.

(2) 論文摘要匯率連動固定期利率交換(Quanto Constant Maturity Swaps)商品可做為國外利率交換的輔助工具以提高交換利差的利潤或鎖住現行利差以管理利率風險。以往對匯率連動固定期利率交換商品的評價通常是利用蒙地卡羅模擬法(Monte Carlo Simulation)來模擬進行,但這樣的評價方式通常較耗時。本文應用國外遠期交換利率近似於國外遠期 LIBOR 利率之線性組合的特徵來設定 BGM 模型下國外遠期交換利率的近似動態過程。基於國外遠期交換利率的近似動態，我們推導. 政治大. 出三因子 BGM 模型下評價匯率連動固定期利率交換利差選擇權 (Quanto. 立. Constant Maturity Swaps Spread Option)及匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權. ‧ 國. 學. (Quanto Constant Maturity Swaps Ratchet Option)的無套利解析公式。數值分析的結果顯示不同履約價下蒙地卡羅模擬法估計值的標準差都很小，表示其變異不. ‧. 大，所以用蒙地卡羅模擬法作為指標方法(Benchmark)來比較近似公式解法計算. y. Nat. sit. 之數值與它的差異應是可以接受的。最後，數值分析的結果亦顯示上述兩種商品. n. al. er. io. 在不同履約價下無套利解析公式解法對應蒙地卡羅模擬法的相對誤差都很小且. i n U. v. 無套利解析公式解法之計算效率亦優於蒙地卡羅模擬法，所以我們建議可在實務. Ch. engchi. 上應用近似公式解法來評價匯率連動固定期利率交換利差選擇權及匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權兩種商品。. 關鍵字: 匯率連動固定期利率交換，匯率連動固定期利率交換利差選擇權，匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權，三因子 BGM 模型，蒙地卡羅模擬法。. i.

(3) Abstract. Quanto constant maturity swaps (Quanto CMS) products can be used to manage the spread risk of foreign interest rate swap. Monte Carlo simulation is usually used to evaluate Quanto CMS products, but it’s often time consuming to use Monte Carlo simulation method. In this paper we derive an approximated dynamic process of the foreign forward swap rate under the three-factor BGM model with the characteristic. 政治大 foreign forward LIBOR rate. We use no-arbitrage analytical formula to evaluate 立. which the foreign forward swap rate is approximated to the linear combination of the. Quanto CMS products under the three-factor BGM model. Then we apply this. ‧ 國. 學. approximated formula to evaluate Quanto CMS Spread option and Quanto CMS. ‧. Ratchet option. The numerical analysis shows that the relative errors between the. sit. y. Nat. Monte Carlo simulations and the approximated analytic formulas are very small for. io. er. the both examined option products. Moreover, the calculation time of the analytic formulas method is much smaller than the Monte Carlo simulation method for both. n. al. products.. Ch. engchi. i n U. v. Keyword: Quanto CMS, Quanto CMS Spread option, Quanto CMS Ratchet option, Three-factor BGM model, Monte Carlo simulation.. ii.

(4) 目錄第一章導論 ................................................ 2 第二章模型及契約 .......................................... 6 2.1 模型 ................................................ 6 2.2 匯率連動固定期利率交換商品之到期支付................ 12. 治政大 ... 12 2.2.1 匯率連動固定期利率交換利差選擇權之到期支付立 ‧ 國. 學. 2.2.2 匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權之到期支付 ... 13. ‧. 第三章匯率連動固定期利率交換商品評價 ..................... 15. sit. y. Nat. 3.1 匯率連動固定期利率交換利差選擇權之評價 ............. 18. er. io. 3.2 匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權之評價 ............. 19. al. n. v i n C h................................. 校準程序及數值分析 22 engchi U. 第四章. 4.1 參數設定及校準程序 ................................. 22 4.2 數值分析 ........................................... 23 第五章結論 ............................................... 25 參考文獻 .................................................. 26. iii.

(5) 圖表 ...................................................... 28 表 1: 國外遠期 LIBOR 利率之利率期間結構 ................ 28 表 2: 國外遠期 LIBOR 利率之波動結構 .................... 28 表 3: 國內遠期 LIBOR 利率之利率期間結構 ................ 29 表 4: 國內遠期 LIBOR 利率之波動結構 .................... 29. 政治大表 5: 以近似公式解及蒙地卡羅模擬法計算 2 年 Quanto CMS 立. ‧ 國. 學. 及 5 年 Quanto CMS 利差買權的價值 .................. 30. ‧. 表 6: 以近似公式解及蒙地卡羅模擬法計算 Quanto CMS 輪棘買權. sit. y. Nat. 的價值 ........................................... 30. er. io. 附錄 ...................................................... 31. al. n. v i n C h.................................. 公式(3)之證明 31 engchi U. 附錄 1:. 附錄 2: 輔助定理 3.1 之證明 ............................ 34. iv.

(6) 第一章導論跨國企業常常透過不同的國內外管道募集資金也因此涉入不同幣別的匯率及利率風險。由於匯率及利率環境經常波動變化，財務經理人通常將規避匯率及利率風險列為很重要的工作，同時也面臨越來越複雜的避險挑戰，因應這樣的需求本論文將探討匯率連動利率交換商品之評價。目前市面上已有一些匯率連動利率產品，如匯率連動利率上限型選擇權 (Quanto Caps Options)、匯率連動利率下限型選擇權 (Quanto Floors Options)及匯. 政治大. 率連動利率交換型選擇權 (Quanto Swaptions)。. 立. 本篇論文中，我們考慮隱含在風險中立測度內的匯率風險因素後，將討論匯. ‧ 國. 學. 率連動固定期利率交換利差選擇權 (Quanto Constant Maturity Swaps Spread Option)及匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權 (Quanto Constant Maturity Swaps. ‧. Ratchet Option)兩種衍生性商品之定價。. y. Nat. er. io. sit. 匯率連動固定期利率交換 (Quanto Constant Maturity Swaps, 以下簡稱 Quanto CMS)是一種金融商品，契約雙方約定在每一期甲方支付乙方以固定利率. al. n. v i n 計算的利息，在同一期乙方支付甲方以特定國外指標利率(例如:2 年期外幣交換 Ch engchi U. 利率)計算的利息，並以甲乙雙方共同的貨幣單位支付。. 匯率連動固定期利率交換利差選擇權是一種匯率連動固定期利率交換商品的衍生性商品，其到期支付是根據同一期內不同契約期間國外交換利率的利差決定。而匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權是另一種匯率連動固定期利率交換商品的衍生性商品，其到期支付是根據前後兩期相同契約期間國外交換利率的利差決定。實務上在評價利率衍生性金融商品時，通常假設標的之遠期利率是無飄浮項的對數常態隨機過程。但在利率衍生性金融商品有效期內所有的遠期利率是有相 2.

(7) 關的，所以這些遠期利率不可能同時在同樣的機率帄賭測度下服從對數常態分配。因此實務界應用 Black (1976) 期貨選擇權的評價公式來評價利率衍生性金融商品的方法遭受學術界質疑並引發許多學者的研究探討。 Brace, Gatarek 及 Musiela (1997) 提出的 LIBOR 市場模型 (又稱 BGM 模型) 證明每一個遠期利率在它的遠期機率測度下服從對數常態分配。使用 BGM 模型的優點是它可產生一組在市場上觀察得到且其波動度也可連結至可交易契約的遠期 LIBOR 利率。在此設定下，Musiela 及 Rutkowski (1997) 提供了近似 Black 利率上限型之定價公式。. 政治大. Jamshidian (1997) 推導出利率交換市場模型下類似 Black 利率交換選擇權之. 立. 定價公式且證明以年金現值(Present Value of Basic Point, 以下簡稱 PVBP)為計. ‧ 國. 學. 價單位的遠期交換利率過程是機率帄賭過程(Martingales)。但在利率交換市場模型下，雖然每一期遠期交換利率的波動都可被應用，但遠期交換利率的相關係數. ‧. 矩陣無法求取且不能找出配適的方法。. y. Nat. er. io. sit. Rebonato (2004) 提供 BGM 模型下利率交換選擇權波動度的近似公式且建立 BGM 模型與利率交換市場模型之連結。其共變異矩陣是由利率交換選擇權的. al. n. v i n 市場報價來配適。所以 BGM 模型是唯一可融合利率交換市場模型整體特性的利 Ch engchi U 率模型。. 一個良好的財務模型應具備兩種特點，一是其狀態變數可由市場資料觀察。另外，模型內的參數可透過財務工具輕易地計算。基於上述各模型的特質，BGM 模型是最完整的市場模型，如果使用三因子架構已足夠解釋 90%以上之經濟體衝擊，所以本論文將據此評價三因子 BGM 模型下匯率連動固定期利率交換商品。匯率連動固定期利率交換商品要處理的利率是不同年期之交換利率利差，所以必須考慮以國外遠期利率之機率測度來評價。其評價模型與 Margrabe (1978) 互換選擇權的評價模型相似。國外遠期利率因要以本國貨幣計價，所以其動態會 3.

(8) 產生凸性調整項(Convexity Adjustment)，該凸性調整項是由匯率及國外遠期利率的共變異數所決定。本文是參考 Hunt & Pelssev (1998) 及 Liao, Lin & Tsai (2010) 提出的構想來推導匯率連動固定期利率交換商品之評價公式。傳統定價匯率連動固定期利率交換商品的方法是先模擬交換利率再將其轉換成遠期 LIBOR 利率，但使用此一模擬方式很費時且較無效率。 Liao, Lin & Tsai (2010) 在他們的論文中應用遠期交換利率近似於遠期 LIBOR 利率線性組合的特徵來描繪 BGM 模型下遠期交換利率的近似動態過程。他們假設二遠期交換利率及其布朗運動之瞬間相關係數等於 1 以簡化其模型設定並推導固定期利率交換. 政治大 Liao, Lin & Tsai (2010) 之概念延伸應用於三因子 BGM 模型下之匯率連動固定期立. 商品之定價公式。本論文考慮隱含在風險中立測度內的匯率風險因素後，將上述. ‧ 國. 學. 利率交換之商品並放寬遠期交換利率及其布朗運動之瞬間相關係數設定以保留瞬間相關係數變化之彈性。. ‧. 基於國外遠期交換利率的近似動態，我們推導出評價匯率連動固定期利率交. y. Nat. sit. 換利差選擇權(Quanto CMS Spread Option)及匯率連動固定期利率交換輪棘選擇. a. er. io. 權(Quanto CMS Ratchet Option)的無套利解析公式。數值分析的結果顯示不同履. n. i v 估計值的標準差都很約價下蒙地卡羅模擬法(Monte l Carlo Simulation Method). n U engchi 小，表示其變異不大，所以用蒙地卡羅模擬法作為指標方法(Benchmark)來比較. Ch. 近似公式解法計算之數值與它的差異應是可以接受的。最後，數值分析的結果亦顯示上述兩種商品在不同履約價下無套利解析公式解法對應蒙地卡羅模擬法的相對誤差都很小且無套利解析公式解法之計算效率亦優於蒙地卡羅模擬. 法，所以建議可在實務上應用。以下是本篇論文其餘章節的編排方式。在第二章中我們將介紹在 BGM 模型下國外遠期交換利率的近似動態過程，同時也會介紹匯率連動固定期利率交換利差選擇權及匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權的契約及到期支付公式。在第三章中我們將推導匯率連動固定期利率交換利差選擇權及匯率連動固定期利率交 4.

(9) 換輪棘選擇權的無套利近似公式解。在第四章中我們將介紹校準程序並計算近似公式解法與蒙地卡羅模擬法的相對誤差及比較兩種方法之執行效率。最後，第五章是結論。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 5. i n U. v.

(10) 第二章模型及契約 2.1 模型假設存在一機率測度空間 (, F , ) ，此處  表示狀態空間， F 代表在  上的過濾，而  是在 (, F ) 上的目標機率測度。令評價時點為 t ，在無套利環境下，國外遠期 LIBOR 利率可以下列公式表示:. Lk f (t ) . P f (t , Tk 1 )  P f (t , Tk ). 立. 政治, 大. (1). T P (t , Tk ) f. k. P f (t , Tk )  exp( . Tk t. 0. Tk. r f (t , u )du )  exp(   f f (t , u )du ),. ‧. ‧ 國. 學. 此處 Lkf (t ) 是在 [Tk 1 , Tk ] 期間內無風險借貸下國外遠期 LIBOR 利率在時間 t 之值。. t. y. Nat. al. er. io. sit. P f (t , Tk ) 是到期日為時間 Tk 的國外零息債券在時間 t 的價格。. n. r f (t , u )  f f (t , t  u ),. Ch. engchi. i n U. v. r (t , u ) 是在時間 t 觀察的國外連續遠期利率,在 t  u 時點生效,結束於 t  u  du , f. 有效期間為 du 。. T  Tk  Tk 1 , k. T 是 [Tk 1 , Tk ] 涵蓋的期間。 k. 令 T0 是在 (, F ) 下的 T0 -遠期測度。在 BGM 模型下，Brigo(2003) 利用測度轉換的技術表達在 T0 遠期測度下國內遠期 LIBOR 利率的動態過程如下: 6.

(11)  k Tj Ldj (t ) dj (t )   T0 (t )  , k  0, t  T0 dL (t )  L (t ) (t )  dt  dW d  j 1 1  Tj Lj (t )  d k. d k. d k. (2). 此處 Ldk (t ) 是在 [Tk 1 , Tk ] 期間內無風險借貸下國內遠期 LIBOR 利率在時間 t 之值。 W T0 (t ) 是定義在 (, F , T0 ) 測度空間下的 3 維布朗運動,3 維布朗運動是指布朗運. . . 動 W T0 (t ) 是一 3 維向量過程且 W T0 (t )  W1T0 (t ),W2T0 (t ),W3T0 (t ) , 實證上顯示三因子架構已足夠解釋 90%以上之經濟體衝擊。  kd (t ) 是國內遠期 LIBOR 利率 Ldk 動態過. 政治大. 程的擴散項,為符合布朗運動的設定,  kd (t ) 亦設定是 3 維向量。點”  ” 代表在. 立. 3 上的歐式內積。. ‧ 國. 學. 國外遠期利率因要以本國貨幣計價，所以其動態會產生凸性調整項. ‧. (Convexity Adjustment)，該凸性調整項是由匯率及國外遠期利率的共變異數所決. sit. y. Nat. 定。我們參考 Hunt 及 Pelsser (1998) 的做法推導出在國內的遠期測度下國外遠. io. n. al. er. 期 LIBOR 利率的動態過程如下:. i n U. v. f f k  L (t ) (t )   Tj j j  T0 (t )  dL (t )  L (t ) (t )  XF X dt   dt  dW f j 1 1  Tj Lj (t )   f k. f k. f k. Ch. engchi. (3). 此處 Lkf (t ) 是在 [Tk 1 , Tk ] 期間內無風險借貸下國內遠期 LIBOR 利率在時間 t 之值。 kf (t ) 是國外遠期 LIBOR 利率 Lkf 動態過程的擴散項。為符合布朗運動的設定，.  kf (t ) 亦設定是 3 維向量。  XF 表示國外遠期利率 Lkf 與遠期匯率 FX 的相關係數。.  X 是遠期匯率 FX 的標準差。 (3)式的推導證明請參考附錄 1。 7.

(12) 令評價時點為 t ，在無套利環境下，國外遠期交換利率可以下列公式表達: f T0 ,Tn. S. (t ) . P f (t , T0 )  P f (t , Tn ) n.  T P f (t , Tk ). P f (t , T0 )  P f (t , Tn )  , PVBT f (t ). (4). k. k 1. 此處 STf0 ,Tn (t ) 是在時間 t 的國外遠期交換利率值，其對應的國外遠期起始利率交換   T0 , T1 , , Tn. 支付時點是固定時間間隔，其中時間間隔結構是. 且. n. t  T0  T1    Tn , PVBT f (t )   Tk P f (t , Tk ), t  T0  T1    Tn ， PVBT f 是國外年 k 1. 金現值。. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 比較(1)式及(4)式，我們推導出國外遠期交換利率 STf0 ,Tn (t ) 及國外遠期 LIBOR 利率 Lkf (t ) 的關係式如下:. i 1. io. PVBP f (t ). n. Lkf (t )   w0,k ,nf (t )Lkf (t ), k 1. i. al. n. k  1,..., n.. k 1. k. y. n.  T P f (t , Ti ). L (t )  . T P f (t , Tk ). sit. k 1. n. f k. er. (t )  . k. ‧. S. T P f (t , Tk ). n. Nat. f T0 ,Tn. Ch. engchi U. v ni. (5). 此處 w0,k ,nf (t ) 是加權帄均數且 w0,k ,nf (t ) 可以下式表示: w0,k ,nf (t ) . T P f (t , Tk ) k. n. T P f (t, Ti ) i 1. . T P f (t , Tk ) k. PVBP f (t ). ,. k  1,..., n. i. 由公式(5)可知國外遠期交換利率可由國外遠期 LIBOR 利率經加權帄均後組成。我們可應用 Ito’s 定理推導出國外遠期交換利率的動態過程如下:. 8.

(13) n. f 0, n. dS (t )  S0,f n (t ). w. k, f 0, n. (t )dLkf (t ). k 1. S0,f n (t ). (6). .. 將(3)式代入(6)式可得 f f k  L (t ) (t )  w0,k ,nf (0) Lkf (t ) kf (t )  T j j  T (t ) .      dt  dt  dW    XF X f S0,f n (t ) k 1 S0,f n (t ) j 1 1  T L j (t )  . dS0,f n (t ). n. j. 0. (7). j. 實證研究顯示，加權帄均數的變動相對比遠期 LIBOR 利率的變動要小很多 (Brigo 及 Mercurio, 2006)。所以我們可以將未來的加權帄均凍結於起始值，亦即使 w0,k ,nf (t )  w0,k ,nf. 政治大 (0)，此設定將有助於由遠期 LIBOR 利率的絕對波動度估計遠期立. ‧ 國. 學. 交換利率的絕對波動度 (Rebonato,2004) 。為獲取 Black-Scholes 類型的過程 (Hunter,2001)，我們進一步凍結遠期 LIBOR 利率於起始值，亦即使 Lkf (t )  Lkf (0) 。. ‧. Liao, Lin & Tsai (2010)亦應用此概念推導遠期交換利率的動態過程。經上述設定. Nat. io. sit. y. 後， (7)式的國外遠期交換利率可改寫如下:. n. n. al. v ni. j. Ch. engchi U. er. f f k  L (0) (t )  w0,k ,nf (0) Lkf (0) kf (t )  T j j  T (t ) . (8)      dt  dt  dW    XF X f S0,f n (t ) k 1 S0,f n (t ) j 1 1  T L j (0)  . dS0,f n (t ). 0. j. 如此設定後(8)式的飄浮項及擴散項將是非隨機的且它們皆由  決定。綜上所述，我們再參考 Liao, Lin & Tsai (2010) 提出的模型設定，在 BGM 模型下國外遠期交換利率的近似動態可以下列二命題表示之。. 9.

(14) 命題 1 在遠期測度 T 下, 當 t  T0 時, 在 BGM 模型下國外遠期交換利率的 0. 近似動態過程如下:. dS0,f n (t ).  0,f n (t )dt   0,f n (t )dW T0 (t ),. f 0, n. S (t ). (9). 此處. n.  (t )   f 0, n. k 1. w0,k ,nf (0) Lkf (0). k.  (t )[  XF X  . S0,f n (t ). S0,f n (t ). ,. ‧. ‧ 國. *. f j. Tj. 學. w0,k ,nf (0) Lkf (0). w (t )  k, f 0, n. j. j 1. 立. 令. T Lfj (0) jf (t ). ],  L (0) 政治 1 大. f k. y. Nat. al. n. w0,k ,nf (0) Lkf (0) f 0, n. S (0). . w0,k ,nf (0) Lkf (0) k, f 0, n. f k. k. 0,f n (t )   w0,k ,nf (0)* kf (t )[  XF X   k 1. P(0, Tk 1 )  P(0, Tk ) , P(0, T0 )  P(0, Tn ). Chw (0) L (0) engchi k 1. n. . n. j 1. i n U. T Lfj (0) jf (t ) j. 1  Tj Lfj (0). 0,f n (t ) 是國外遠期交換利率近似動態過程之飄浮項。 n w0,k ,nf (0) Lkf (0) f  (t )    ( t )  w0,k ,nf (0)* kf (t ),  k f S0,n (t ) k 1 k 1 n. f 0, n. 10. er. io. w0,k ,nf (0)* . sit. w0,k ,nf (t )* 是新定義的加權帄均數，我們將其凍結於起始值後得. v. ],.

(15) 0,f n (t ) 是國外遠期交換利率近似動態過程之擴散項。. 命題 2 在遠期測度 T 下,當 t  T0 時,遠期 LIBOR 利率之動態過程如下 1. dL1f (t )  L1f (t ) 1f (t )dW T1 (t ), f f k  L (t ) (t )   Tj j j  T1 (t )  , k  1, t  T . dL (t )  L (t ) (t )   XF X dt   dt  dW 0 f j  2 1  T Lj (t )   j f k. f k. f k. (10). 政治大. 同樣當 t  T0 且在遠期測度 T1 下,我們可以應用上述公式推導在 BGM 模型下國. 立. 學. ‧ 國. 外遠期交換利率的近似動態過程如下:. dS0,f n (t )  0,f n (t ) dt   0,f n (t )dW T (t ), f S0,n (t ). ‧. S (t ). w0,k ,nf (0) Lkf (0) S0,f n (t ). w0,k ,nf (0)* .  (t )[  XF X  . Ch. j 2. w0,k ,nf (0) Lkf (0) f 0, n. S (0). n. . w0,k ,nf (0) Lkf (0). k 1. *. f k. . n. w. k, f 0, n. (0) Lkf (0). k. k, f 0, n. j. iv. 1  Tj Lfj (0). n U engchi.  (t )   w (0)  (t )[   XF X   . T Lfj (0) jf (t ). ],. 是新定義的加權帄均數，我們將其凍結於起始值後得. k 1. f 0, n. sit. k. f k. er. f 0, n. k 2. 令 w0,k ,nf (t )* . al. n.  (t )  . w0,k ,nf (0) Lkf (0). io. n. . f 0, n. y. Nat. 此處. (11). 1. j 2. P(0, Tk 1 )  P(0, Tk ) 。 P(0, T0 )  P(0, Tn ). T Lfj (0) jf (t ) j. 1  Tj Lfj (0). 0,f n (t ) 是國外遠期交換利率近似動態過程之飄浮項。 11. ],.

(16) n.  0,f n (t )   k 1. n w0,k ,nf (0) Lkf (0) f  ( t )  w0,k ,nf (0)* kf (t ),  k S0,f n (t ) k 2.  0,f n (t ) 是國外遠期交換利率近似動態過程之擴散項。. 2.2 匯率連動固定期利率交換商品之到期支付匯率連動固定期利率交換 (Quanto Constant Maturity Swaps 以下簡稱 Quanto CMS)是一種金融商品，契約雙方約定在每一期甲方支付乙方以固定利率. 政治大. 計算的利息，在同一期乙方支付甲方以特定國外指標利率(例如:2 年期外幣交換. 立. 利率)計算的利息，並以甲乙雙方共同的貨幣單位支付。. ‧ 國. 學. 2.2.1 匯率連動固定期利率交換利差選擇權之到期支付. ‧. 匯率連動固定期利率交換利差選擇權的到期支付是根據同一期內不同契約. Nat. sit. y. 期間國外交換利率的利差決定。本篇論文所提到的匯率連動固定期利率交換利差. n. al. er. io. 選擇權是考慮同一起息日兩種不同交換期間之國外即期交換利率的利差選擇. i n U. v. 權。更精確地說，若給定一固定起息日 T0 、一履約價 K 及分別交換 n1 及 n2 期之. Ch. engchi. 交換利率，則介於兩種參考利率的匯率連動固定期利率交換利差買權到期支付值可定義如下: c, f VSpread (T0 )  T0 max(S 0,f n (T0 )  S0,f n2 (T0 )  K ,0),. (12). 1. 而介於兩種參考利率的匯率連動固定期利率交換利差賣權到期支付值可定義如下: p, f VSpread (T0 )  T0 max( K  S 0,f n (T0 )  S0,f n2 (T0 ),0), 1. 12. (13).

(17) 整合(12)及(13)式後，匯率連動固定期利率交換利差選擇權到期支付值可定義如下: f VSpread (T0 )  T0 max(aS 0,f n (T0 )  aS0,f n2 (T0 )  aK ,0),. (14). 1. 當 a  1 時代表買權。當 a  1 時代表賣權。. 2.2.2 匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權之到期支付匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權的到期支付是根據前後兩期相同契約. 治政期間國外交換利率的利差決定。本篇論文所提到的匯率連動固定期利率交換輪棘大立選擇權是考慮相同交換期間兩種不同起息日之國外即期交換利率的利差選擇 ‧ 國. 學. 權。更精確地說，若給定一固定起息日 T1 及其前一期起息日 T0 ,及一履約價 K ,. ‧. 則兩種不同起息日、交換 n 期之交換利率的匯率連動固定期利率交換輪棘買權到期支付值可定義如下:. io. n. al. Ch. (15). er. sit. y. Nat. c, f VRatchet (T1 )  T1 max(S1,fn1 (T1 )  S 0,f n (T0 )  K ,0) ,. i n U. v. 而介於兩種參考利率的匯率連動固定期利率交換輪棘賣權到期支付值可定義如下:. engchi. p, f VRatchet (T1 )  T1 max( K  S1,fn1 (T1 )  S 0,f n (T0 ),0) ,. (16). 整合(15)及(16)式後，匯率連動固定期利率交換利差選擇權到期支付值可定義如下: f VRatchet (T1 )  T1 max(aS1,fn1 (T1 )  aS 0,f n (T0 )  aK ,0),. 當 a  1 時代表買權。當 a  1 時代表賣權。 13. (17).

(18) 應用命題 1 及命題 2 定義之 BGM 模型下國外遠期交換利率的近似動態過程及匯率連動固定期利率交換商品到期支付公式的設定，我們將在下一章中推導輔助定理來評價匯率連動固定期利率交換利差選擇權及匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權兩種商品。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 14. i n U. v.

(19) 第三章匯率連動固定期利率交換商品評價若到期支付日期是 T0，則匯率連動固定期利率交換商品在時間 0 期存在之唯一無套利價格如下:.  V f (T0 )  T0 f d f Voption (0)  P d (0, T0 )T0  option   P (0, T0 ) Voption (T0 )  , d  P (T0 , T0 ) . (18). option  spread , ratchet . f 此處 Voption. 政治大 (0) 是在時間 0 期匯率連動固定期利率交換商品到期支付之折現值。若立. ‧ 國. 學. option  spread 表匯率連動固定期利率交換利差選擇權，而 option  ratchet 表匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權。. ‧. T0. Pd (0, T0 )  exp(  r d (0, u )du ), 0. sit. y. Nat. n. al. er. io. 此處 Pd (0, T0 ) 是到期日為時間 T0 的國內零息債券在時間 0 期的價格。r d (0, u ) 是在. i n U. v. 時間 0 期觀察的國內連續遠期利率,在 u 時點生效,結束於 u  du ,有效期間為. du 。. Ch. engchi. (18)式的成立是根據機率帄賭測度的存在唯一性。在此我們設定遠期 LIBOR 利率的共變異矩陣為 3 因子架構。接著我們推導下列輔助定理以協助評價匯率連動固定期利率交換利差選擇權及匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權兩種商品。. 15.

(20) 輔助定理 3.1 假設兩參考利率之動態過程如下: dX (t )   X (t )dt   X (t )dWX (t ), X (t ) dY (t )  Y (t )dt   Y (t )dWY (t ), Y (t ). 此處 WX , WY 是某機率測度下的一維布朗運動，而 dWX (t )dWY (t )   (t )dt 。  (.) 是二布朗運動 WX , WY 的瞬間相關係數且  X (.), Y (.),  X (.),  Y (.) 和  (.) 都是非. 政治大. 隨機函數(deterministic function)。. 立. T1  0, T2  0, K  0 , a  1 ,則. 2 z ) N (d1 ( 2 z ))  K ( 2 z ) N (d 2 ( 2 z )) . sit. io. 此處. al. n N (d )  . d. . d1 ( w) . d 2 ( w) . Ch. engchi.  z2  exp    dz, 2  2 1.  z2  exp    dz, 2 2  2 1. er. .  A(. ‧. . Nat. . . y.   aX (T1 )  aY (T2 )  aK . 學. ‧ 國. 令. ln( A( w) / K ( w))  0.5( 12  m2 ) ( 12  m2 ). ln( A( w) / K ( w))  0.5( 12  m 2 ) ( 12  m2 ). i n U. ,. ,. 為簡化表達方式，我們結合 d1 ( w) 及 d 2 ( w) 如下式: 16. v.

(21) ln( A( w) / K ( w))  0.5( 12  m2 ). d1,2 ( w) . ( 12  m2 ). K ( w)  aY (0) exp. . T2. 0. . Y (t )dt  0.5 2 2  w  aK ,. T1. A( w)  aX (0) exp(   X (t )dt  0. m. . 0.  X (t ) Y (t )  (t )dt 2. . 1 . T1.  X (t )2 dt ,. 立. 2. w  0.5m 2 ),. ,. 政治大. ‧ 國. 0. m. 學. 2 . min(T1 ,T2 ). ,. . T2. 0.  Y (t )2 dt .. io.  X 2T1 (1   2 ). n. al. y ,. er. ln( A( w) / K ( w))  0.5 X 2T1 (1   2 ). i n U. C h T  w  0.5  e T gchi  n. A( w)  aX (0) exp(  X T1 . X. Y. 1. 2. 2. K (w)  aY (0) exp  Y T2  0.5 Y 2T2  w  aK ,.   . min(T1 , T2 ) . max(T1 , T2 ). 輔助定理 3.1 的推導證明請參考附錄 2。. 17. sit. Nat. d1,2 ( w) . ‧. 若  X (.), Y (.),  X (.),  Y (.) 及  (.) 皆是常數，則. 2. X. v. T1 ),.

(22) 3.1、匯率連動固定期利率交換利差選擇權之評價根據第二章(14)式的到期支付值，我們可由輔助定理 3.1 來推導一般匯率連動固定期利率交換利差選擇權的定價公式並定義如下定理。. 定理 3.1 我們採用在命題 1 內之國外遠期交換利率之動態過程並將 n1 及 n2 代入 n ，則第三章(18)式內之匯率連動固定期利率交換利差選擇權的定價公式是 f f (T0 )  Vspread (0)  Pd (0, T0 )T0 Vspread. 立 . 政治大.  T0 Pd (0, T0 )T0  aS 0,f n (T0 )  aS 0,f n (T0 )  aK. ‧ 國. T0  aS 0,f n (T0 )  aS 0,f n (T0 )  aK. . 此處. d1,2 ( w) . Ch. engchi. ln( A( w) / K ( w))  0.5( 12  m2 ) ( 12  m2 ). K (w)  aS 0,f n (0) exp 2. . T0. 0. i n U. v. ,. . 0,f n (t )dt  0.5 22  w  aK , 2. T0. A( w)  aS 0,f n (0) exp(  0,f n1 (t )dt  1. sit. y. al.  z2  exp    dz, 2 2  2 1. er.  A( 2 z) N (d1 ( 2 z))  K ( 2 z) N (d2 ( 2 z)) . n. . 2. io. . 1. . Nat. . (19). ‧. . 2. . 學. 則. 1. ,. 0. 18. m. 2. w  0.5m 2 ),.

(23)  m. T0. 0.  0,f n (t ) 0,f n (t ) Sf 1. T0. . 2 . .  0,f n (t )2 dt ,. T0.  0,f n (t )2 dt , 2. 0. 0,n2. k 1 j 1. 1. 2. ,.  f (t ) f (t ) 0,n1. 0,n2. 治政大 (.) 是二國外遠期交換利率 S 和 S 之瞬間相關係數。立 f 0, n1. ‧ 國. ,S f. (.) 皆是常數，則. 0,n2. ln( A( w) / K ( w))  0.5 0,f n1 2T0 (1   S f. 0,n1. Nat.  0,f n 2T0 (1   S 1. io. A( w)  aS 0,f n (0) exp( 0,f n1T0 . K (w)  aS0,f n2. al. n. 1. 2 f ,S f 0,n1 0,n2.  0,f n   0,f n S. 2 ,S f. ). 0,n2. ,. ). 1. f ,S f 0,n1 0,n2. w  0.5 S f. v ni. Ch engchi U (0) exp   T  0.5 T  w  aK . 2. f 0, n2 0. ‧. d1,2 ( w) . 0,n1. 學. 若 0,f n1 (.), 0,f n2 (.), 0,f n1 (.), 0,f n2 (.) 及  S f. f 0, n2. y. ,S f. (t ) . sit. f 0,n1. ,S f 0,n2. n2.   w0,k ,nf (0)* w0,j ,nf (0)*  kf (t ) jf (t ). er. S. ,. 1. 0. n1. f 0,n1. (t )dt. 2. 1 . S. 0,n1 , S0,n2. 2. 0,n1.  0,f n 2T0 ),. 2. ,S f. 0,n2. 1. f 2 0, n2 0. 3.2、匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權之評價根據第二章(17)式的到期支付值，我們可由輔助定理 3.1 來推導一般匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權的定價公式並定義如下定理。. 19.

(24) 定理 3.2 利用在命題 1 及命題 2 已定義之國外遠期交換利率的近似動態及在時間 T1 和 T0 重設的 n 期國外遠期交換利率，則第三章(18)式內之匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權的定價公式是 f f Vratchet (0)  Pd (0, T1 )T0 Vratchet (T1 ) . .   T1 P d (0, T1 )T0  aS 1,fn1 (T1 )  aS 0,f n (T0 )  aK. 立.  aS1,fn1 (T1 )  aS 0,f n (T0 )  aK. .  A(. 2 z ) N (d1 ( 2 z ))  K ( 2 z ) N (d 2 ( 2 z )) .  z2  exp    dz, 2 2  2 1. ‧. . . ‧ 國. . (20). ,. 學. . . 政治大. 則. . . sit. ln( A( w) / K ( w))  0.5( 12  m2 ). n. al. K ( w)  aS0,f n (0) exp. ( 12  m2 ). Ch. . T0. 0. engchi. T1. 0. m. 1 . .  1,f n 1 (t ) 0,f n (t )  S. f ,S f 1,n1 0,n. 0. 2. . T1. 0. i n U. v. . 0,f n (t ) dt  0.5 2 2  w  aK ,. A( w)  aS1,fn1 (0) exp(  1,f n 1 (t )dt  min(T1 ,T0 ). ,. er. io. d1,2 ( w) . y. Nat. 此處. 1,fn1 (t )2 dt , 20. m. 2. dt ,. w  0.5m 2 ),.

(25) . 2 . T0. 0.  0,f n (t )2 dt ,. n 1 n. S. f ,S f 1,n1 0,n. f ,S f 1,n 1 0,n. k  2 j 1. ,.  1,f n 1 (t ) 0,f n (t ). (.) 是二國外遠期交換利率 S1,fn1 和 S0,f n 之瞬間相關係數。. 若 1,fn1 (.), 0,f n (.) ,1,fn1 (.), 0,f n (.) 及  S f. (.) 皆是常數，則治政大 1,n1. 立. 0,n. ln( A( w) / K ( w))  0.5 1,f n 12T1 (1   2 ).  1,f n 1 T1 . f 0, n. T0. ‧. A( w)  aS1,fn1 (0) exp( 1,f n 1T1 . ,. 學.  1,f n 12T1 (1   2 ). ‧ 國. d1,2 ( w) . ,S f.  w  0.5  2 1,f n 12T1 ),. y. Nat. n. al. er. io. K (w)  aS0,f n (0) exp  0,f n T0  0.5 0,f n 2T0  w  aK ,.   S. f ,S f 1,n1 0,n. sit. S. (t ) .   w1,k n, f1 (0)* w0,j ,nf (0)*  kf (t ) jf (t ). Ch. min(T1 , T0 ) . max(T1 , T0 ). engchi. 21. i n U. v.

(26) 第四章校準程序及數值分析在本章中我們針對遠期 LIBOR 利率的共變異矩陣進行校準並檢視在 BGM 模型下分別以近似公式解法及蒙地卡羅模擬法定價匯率連動固定期利率交換利差選擇權及匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權兩種商品模型參數之數值效果。. 4.1 參數設定及校準程序實證上顯示,三因子架構足夠解釋 90%以上經濟體衝擊。因此我們考慮下列三因子模型:. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. sin( 2 (t1 )) sin(1 (t1 ))   cos(1 (t1 )) cos( 2 (t1 )) sin(1 (t1 ))   B     cos(1 (tM )) cos( 2 (tM )) sin(1 (tM )) sin( 2 (tM )) sin(1 (tM )) . sit. y. Nat. 其中， 1 (t )  (a1t  d 1 )e  b1t  c 1，  2 (t )  (a2t  d 2 )e  b2t  c2 ， t1  t2    tM 為遠期. er. io. LIBOR 利率之付息日。. al. n. v i n C h   BB 。U 則遠期 LIBOR 利率之相關係數矩陣為 e n g c h i 如此設定的優點是它可帶出非 T. L. 負定之相關係數矩陣。在本論文中，我們的校準程序係參考 Hull and White(1999)的論文分二階段以市場資料來調整評價。第一階段是透過拔靴法由交換利率選擇權及利率上限選擇權資料來取得遠期 LIBOR 利率之利率期間結構 (Yield Curve) 及波動結構 (Volatility)。第二階段是由利率交換選擇權市場資料來調整評價。如此的做法是為了配適利率交換選擇之內生相關係數結構。在配適利率交換選擇權的過程中，我們採用 Rebonato 利率交換選擇權公式 22.

(27) (Rebonato, 2004) 來配適在 BGM 模型下市場利率交換選擇權之波動度。我們應用上述公式將從台灣及美國市場取得的資料轉換成國內外遠期 LIBOR 利率之利率期間結構及波動結構並將轉換結果分別置於表 1 至表 4 四個表格：表 1 是國外 (美國)遠期 LIBOR 利率之利率期間結構，表 2 是國外(美國)遠期 LIBOR 利率之波動結構，表 3 是國內(台灣)遠期 LIBOR 利率之利率期間結構，表 4 是國內(台灣)遠期 LIBOR 利率之波動結構。. 4.2 數值分析. 治政大本節比較以近似公式解法與蒙地卡羅模擬法定價匯率連動固定期利率交換立利差買權及匯率連動固定期利率交換輪棘買權兩種商品之相對誤差並計算不同 ‧ 國. 學. 履約價下蒙地卡羅模擬法估計值的標準差。在本數值研究中，假設名目本金是$1. ‧. 元且模擬 100,000 條路徑。我們將數值分析的結果分別置於表 5 及表 6 兩個表格：表 5 是以近似公式解法及蒙地卡羅模擬法計算 2 年及 5 年匯率連動固定期利率交. y. Nat. io. sit. 換利差買權的價值及相對誤差，表 6 是以近似公式解法及蒙地卡羅模擬法計算. er. 匯率連動固定期利率交換輪棘買權的價值及相對誤差。. al. n. v i n Ch 表 5 的數值分析結果顯示許多不同履約價之蒙地卡羅模擬法估計值的標準 engchi U. 差都很小，顯示其變異不大，所以評價匯率連動固定期利率交換利差買權用蒙地卡羅模擬法作為指標方法來比較近似公式解法計算之數值與它的差異應是可以接受的。另外，在表 5 中許多不同履約價之匯率連動固定期利率交換利差選擇權其相對誤差都非常小且近似公式解法之計算效率也優於蒙地卡羅模擬法。此處相對誤差是絕對誤差與蒙地卡羅模擬法估計值之比值。而絕對誤差是指以近似公式解法計算之匯率連動固定期利率交換利差選擇權數值減去以蒙地卡羅模擬法計算之估計值。 23.

(28) 表 6 的數值分結果顯示許多不同履約價之蒙地卡羅模擬法估計值的標準差都析很小，顯示其變異不大，所以評價匯率連動固定期利率交換輪棘買權用蒙地卡羅模擬法作為指標方法來比較近似公式解法計算之數值與它的差異應是可以接受的。同樣地，在表 6 中顯示許多不同履約價之匯率連動固定期利率交換輪棘買權其相對誤差都非常小且近似公式解法之計算效率同樣也優於蒙地卡羅模擬法。也就是說，在評價匯率連動固定期利率交換利差選擇權及匯率連動固定期利. 政治大羅模擬法，所以可解決以往用蒙地卡羅模擬法評價較費時的缺點，所以我們建議立. 率交換輪棘選擇權時若採用近似公式解法其精確度很高且計算效率優於蒙地卡. ‧ 國. 學. 可在實務上應用近似公式解法來評價匯率連動固定期利率交換利差選擇權及匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權兩種商品。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 24. i n U. v.

(29) 伍、結論本文應用國外遠期交換利率近似於國外遠期 LIBOR 利率之線性組合的特徵來設定 BGM 模型下國外遠期交換利率的近似動態過程。基於國外遠期交換利率的近似動態，我們推導出三因子 BGM 模型下評價匯率連動固定期利率交換利差選擇權及匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權的無套利解析公式。本文係延伸 Liao, Lin & Tsai (2010)推導固定期利率交換商品之概念並考慮隱含在風險中立測度內的匯率風險因素後，將其應用於三因子 BGM 模型下匯率連動固定期利率交換. 政治大. 商品之評價且放寬國外遠期交換利率及其布朗運動之瞬間相關係數設定以保留. 立. 瞬間相關係數變化之彈性。數值分析的結果顯示不同履約價下蒙地卡羅模擬法估. ‧ 國. 學. 計值的標準差都很小，表示其變異不大，所以用蒙地卡羅模擬法作為指標方法 (Benchmark)來比較近似公式解法計算之數值與它的差異應是可以接受的。最. ‧. 後，數值分析的結果亦顯示上述兩種商品在不同履約價下無套利解析公式解法對. Nat. sit. y. 應蒙地卡羅模擬法的相對誤差都很小而且無套利解析公式解法之計算效率亦優. n. al. er. io. 於蒙地卡羅模擬法，所以可解決以往用蒙地卡羅模擬法評價較耗時的缺點，所以. i n U. v. 我們建議可在實務上應用近似公式解法來評價匯率連動固定期利率交換利差選. Ch. engchi. 擇權及匯率連動固定期利率交換輪棘選擇權兩種商品。在未來研究方面，近似公式解評價公式亦可應用於其他匯率連動固定期利率交換衍生性產品。匯率連動固定期利率交換產品可做為國外利率交換的輔助工具以提高交換利差的利潤或鎖住現行利差以管理利率風險。在避險方面，未來若能找出可透過現貨資產來進行選擇權避險之 Delta 避險公式則期望可降低等待的避險成本並提高執行效率。. 25.

(30) 參考文獻 Black, F. (1976). The Pricing of Commodity Contracts, Journal of Financial Economics, 3, 167-179. Brace, A., Gatarek, D. & Musiela, M. (1997). The Market Model of Interest Rate Dynamics. Mathematical Finance, 7, 127-155. Brigo, D. & Mercurio, F. (2006). Interest Rate Models: Theory and Practice. Second. 政治大. Edition, Springer Verlag.. 立. Hunt, P., & Pelsser, A. (1998). Arbitrage-Free Pricing of Quanto-Swaptions, The. ‧ 國. 學. Journal of Financial Engineering, 7, 25-33.. ‧. Hunter, C. J., Jackel, P. & Joshi, M. S. (2001). Drift Approximations in a. sit. y. Nat. Forward-rate-based LIBOR Market Model, Risk Magazine, 14, 1-10.. n. al. er. io. Hull, J. & White, A. (1999). Forward Rate Volatilities, Swap Rate Volatilities, and the. i n U. v. Implementation of the LIBOR Market Model, Journal of Fixed Income, 10, 46-62.. Ch. engchi. Jamshidian, F. (1997). LIBOR and Swap Market Model and Measure, Finance and Stochastics, 1, 293-330. Margrabe, W. (1978). The Value of an Option to Exchange One Asset for Another. Journal of Finance, 33, 177-86. Musiela, M. & Rutkowski, M. (1997). Continuous-time Term Structure Models: a Forward Measure Approach. Finance and Stochastics, 1, 261-291. Rebonato, R. (2004). Volatility and Correlation: the Perfect Hedger and the Fox. 26.

(31) Second. Edition. John Wiley & Sons, New York.. Liao, S. L., Lin, S. K. & Tsai, H. P. (2010). An Efficient Valuation and Hedging of Constant Maturity Swap Products under BGM Model, Journal of the Chinese Statistical Association, 48, 161-189.. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 27. i n U. v.

(32) 圖表表 1 國外遠期 LIBOR 利率之利率期間結構季數年數. 第一季. 第二季. 第三季. 第四季. 1. 2.8100%. 3.3931%. 3.1839%. 3.3095%. 2 3 4 5 6. 3.2902% 4.0456% 4.3337% 4.5277% 4.8761%. 3.3195% 4.2143% 4.4406% 4.6052% 4.9566%. 3.3478% 4.3792% 4.5457% 4.6806% 5.0347%. 3.3770% 4.5456% 4.6519% 4.7578% 5.1149%. 7 8 9 10. 4.7157%. 4.8368%. 5.0593%. 5.0843% 5.1243% 5.1531%. 5.0909%. 學. 5.1209%. ‧. ‧ 國. 治 4.7957% 政 4.7565% 大 4.9494% 4.9947% 5.0388% 立 5.0128% 5.0504% 5.0863%. 第一季. 第二季. sit 第三季. 第四季. er. 季數. a26.79% 26.79% 30.93% iv l C n 37.23%h e 37.65% i U37.39% ngch. n. 1 2 3 4. io. 年數. y. Nat. 表 2 國外遠期 LIBOR 利率之波動結構. 31.27% 27.17%. 30.20% 26.02%. 29.04% 24.93%. 33.35% 36.68% 27.90% 23.93%. 5 6 7 8 9. 25.34% 20.26% 23.79% 16.76% 18.14%. 24.39% 19.69% 23.33% 16.55% 18.01%. 23.53% 19.18% 22.93% 16.38% 17.90%. 22.77% 18.74% 22.59% 16.23% 17.80%. 10. 22.36%. 22.27%. 22.19%. 22.12%. 28.

(33) 表 3 國內遠期 LIBOR 利率之利率期間結構季數年數. 第一季. 第二季. 第三季. 第四季. 1 2. 2.2150% 2.3859%. 2.4459%. 2.3375%. 2.3425%. 2.4063%. 2.4261%. 2.4464%. 3 4 5 6 7. 2.5139% 2.6041% 2.7103% 2.7059% 2.7683%. 2.5449% 2.6300% 2.7364% 2.7217% 2.7840%. 2.5750% 2.6554% 2.7617% 2.7368% 2.7992%. 2.6057% 2.6812% 2.7876% 2.7526% 2.8150%. 8 9 10. 2.8254% 2.8864% 2.9473%. 2.9165% 2.9773%. 2.8711% 2.9319% 2.9928%. 2.9018% 2.9626%. 學. ‧. ‧ 國. 立. 治政 2.8407% 2.8557% 大. sit. 第二季. 第三季. 第四季. 13.76% 14.89% a13.76% v i l 13.56% 14.30% 14.99% n Ch 20.68% e n21.35% g c h i U21.95%. er. 第一季. 22.04% 23.27%. 22.41% 23.37%. 22.72% 23.41%. 15.92% 15.61% 22.47% 22.96% 23.38%. 20.06% 19.15% 20.06% 16.84% 12.56%. 19.92% 18.77% 19.35% 15.86% 11.31%. 19.72% 18.34% 18.58% 14.82% 9.99%. 19.46% 17.86% 17.75% 13.74% 8.65%. n. 6 7 8 9 10. io. 1 2 3 4 5. Nat. 年數. 季數. y. 表 4 國內遠期 LIBOR 利率之波動結構. 29.

(34) 表 5 以近似公式解法及蒙地卡羅模擬法計算 2 年及 5 年匯率連動固定期利率交換利差買權的價值及相對誤差. 履約價. 近似公式解蒙地卡羅模擬蒙地卡羅模擬法相對誤差法法估計值標準差. 10 bp. 0.00902624. 0.00904252. 0.0000320832. -0.18%. 20 bp. 0.00621370. 0.00622382. 0.0000354407. -0.16%. 30 bp. 0.00390701. 0.00390585. 0.0000263290. 0.030%. 40 bp. 0.00254030. 0.00252605. 0.0000184535. 0.56%. 50 bp. 0.00152807. 治 0.0000114682 0.00150740 政大. 1.37%. 立. 說明:. ‧. ‧ 國. 學. 以蒙地卡羅模擬法計算 2 年 Quanto CMS 及 5 年 Quanto CMS 利差選擇權數值之次數是 100,000 次。相對誤差是絕對誤差與蒙地卡羅模擬法估計值之比值。此處絕對誤差是指以近似公式解法計算之 Quanto CMS 利差選擇權數值減去以蒙地卡羅模擬法計算之估計值。蒙地卡羅模擬法計算時間約 310 秒。公式解計算時間約 1 秒。. sit. al. 法. n. 法. C h0.00476964 engchi. er. 近似公式解蒙地卡羅模擬蒙地卡羅模擬法. io. 履約價. y. Nat. 表 6 以近似公式解法及蒙地卡羅模擬法計算匯率連動固定期利率交換輪棘買權的價值及相對誤差. 估計值標準差. iv n 0.0000546285 U. 相對誤差. 10 bp. 0.00474841. -0.45%. 20 bp. 0.00360219. 0.00361781. 0.0000571957. -0.43%. 30 bp. 0.00269882. 0.00273045. 0.0000526696. -1.16%. 40 bp. 0.00200513. 0.00203336. 0.0000489696. -1.39%. 50 bp. 0.00148305. 0.00149864. 0.0000571040. -1.04%. 說明: 以蒙地卡羅模擬法計算 Quanto CMS 輪棘選擇權帄均值之次數是 100,000 次。相對誤差是絕對誤差與蒙地卡羅模擬法估計值之比值。此處絕對誤差是指以近似公式解法計算之 Quanto CMS 輪棘選擇權數值減去以蒙地卡羅模擬法計算之估計值。蒙地卡羅模擬法計算時間約 235 秒。公式解計算時間約 1 秒。. 30.

(35) 附錄附錄 1: 公式(3)之證明已知國外遠期 LIBOR 利率. Lk f (t ) . P f (t , Tk 1 )  P f (t , Tk ) , Tk P f (t , Tk ). (A1). 政治大所以將(A1)式的分子及分母各乘以匯率 X (t ) 。將分子及分母再除以計價單位立. 令 X (t ) = 本國貨幣/外國貨幣=匯率,因 Lk f (t ) 在此篇論文中是以本國貨幣計價，. ‧ 國. n. al. er. io. sit. y. Nat. 此處. X (t )( P f (t , Tk 1 )  P f (t , Tk )) / Pd (t , Tk ) Z1 (t )  , Z 2 (t ) Tk Y (t ) P f (t , Tk ) / Pd (t , Tk ). ‧. Lk f (t ) . 學. P d ( t , Tk ) 後得 Lk f (t ) 如下:. i n U. Z1 (t ) = X (t )( P f (t , Tk 1 )  P f (t , Tk )) / Pd (t , Tk ),. Ch. engchi. v. Z1 (t ) 是以 P d (t , Tk ) 計價的本國資產且 Z1 (t ) 是 Qk  Martingale 。. Z2 (t )  Tk X (t )P f (t, Tk ) / Pd (t, Tk )  Tk FX (t, Tk ), FX (t , Tk ) 是遠期匯率，則根據利率均衡論 FX (t , Tk ) / X (t )  P f (t , Tk ) / Pd (t , Tk ),. Z2 (t ) 也是 Qk  Martingale 。 31. (A2).

(36) 因此， Z1 (t ) 及 Z2 (t ) 服從對數常態隨機過程且無飄浮項。其動態隨機過程可表示如下: dZ1 (t )  Z1 (t ) 1  dW1k (t ),. (A3). dZ2 (t )  Z2 (t ) 2  dW2k (t ),. (A4). 此處.  i  Var (dZi (t ) / Zi (t )), i  1, 2,. 立. 政治大. Wi k , i  1, 2, 是 Q k 測度下的標準布朗運動。. ‧ 國. 學. 應用 Ito’s 定理及(A2)至(A4)式可求出 Lk f (t ) 的隨機過程如下:. ‧. dLk f (t )  d (. sit. n. al. er. io. 此處. y. Nat. Z1 (t ) 1 1 1 )  Z1 (t )d ( ) dZ1 (t )  d  Z1 (t ), , Z2 (t ) Z2 (t ) Z2 (t ) Z2 (t ). d(. Ch. 1 1 )( )( 22 dt   2 dw2 (t )), Z2 (t ) Z2 (t ). d  Z1 (t ),. engchi. i n U. v. Z (t ) 1 1   dZ1 (t ), d ( )   ( 1 ) 12 1 2 dt. Z2 (t ) Z2 (t ) Z2 (t ). 所以 dLk f (t )  (. Z1 (t ) 2 Z (t ) Z (t ) )( 2 dt   2 dw2 (t ))  ( 1 )( 1 dw1 (t ))  ( 1 ) 12 1 2 dt Z2 (t ) Z2 (t ) Z2 (t ).  Lk f (t ) ( 22  121 2 )dt  1 dw1 (t )   2 dw2 (t )  .. 32.

(37) 則. dLk f (t )  Lk f (t ) ( kf dt   kf dwk (t )  ,. (A5). 此處. kf  ( 22  12 1 2 ),.  kf  12   22  2121 2 ,. 政治大. 12  Corr (dZ1 / Z1 , dZ2 / Z2 ),. 立. ‧ 國. 學. 令  XF 表遠期匯率 FX (t , Tk ) 與 Lk f (t ) 之相關係數，  X2 表遠期匯率變異數。. ‧. 則 kf 可改寫如下:. er. io. sit. y. Nat. kf    XF X  kf ,. 所以參數 kf 可經由  XF 、  X 及  kf 的相關市場資料求算估計之。. n. al. Ch. engchi. i n U. v. 將 (A5)式經測度轉換後可得在遠期測度 QT0 下遠期 LIBOR 利率之動態過程如下式所示: f f k   (t ) L (t )   Tj j j  T0 (t )  , k  0 , t  T0 , dL (t )  L (t ) (t )  XF X dt   dt  dW f j 1 1  Tj Lj (t )   f k. f k. f k. 此即(3)式得證之。. 33.

(38) 附錄 2 : 輔助定理 3.1 之證明   aX (T1 )  aY (T2 )  aK . .    aX (0) exp(  (  X (t )  0.5 X (t ) 2 )dt    X dWX (t )) T1. T1. 0. 0. aY (0) exp(  ( Y (t )  0.5 Y (t ) 2 ) dt    Y (t ) dWY (t ))  aK  . T2. T2. 0. 0. 令. . (B1). 政治大. 立. T1. A  X (0) exp(  (  X (t )  0.5 X (t ) 2 )dt ),. 學. ‧ 國. 0. T1. Z1    X (t ) dWX (t ), 0. ‧. T2. B  Y (0) exp(  ( Y (t )  0.5 Y (t ) 2 )dt ), 0. sit. y. Nat. T2. 0. n. al. er. io. Z 2    Y (t )dWY (t ).. Ch. i n U. v. 則 Z1 及 Z 2 是二元常態分配之隨機變數，其帄均數分別為 1 及  2 ,變異數分別為  1 及  2 ,相關係數為  . 2. 2. engchi. 1   2  0, T1. T2. 0. 0.  12    X (t ) 2 dt ,  2 2    Y (t ) 2 dt ,. . . min(T1 ,T2 ). 0.  X (t ) Y (t )  (t )dt 1 2. .. 34.

(39) f Z1 ,Z2 ( z1 , z2 )  f Z1 Z2 ( z1 z2 ) f Z2 ( z2 ),. 因此 Z1 及 Z 2 的聯合機率密度函數為此處.    ( z1  1  z2 )2   2 1 , f Z1 Z2 ( z1 z2 )  exp   2 2 2 2 2(1   )    2 (1   ) 1 1      z2  exp   2 2  ,  2 2 . 1. f Z 2 ( z2 ) . 2 2 2. 立. (B1)     aA exp(Z1 )  aB exp(Z2 )  aK  . . .   aA exp( z )  aB exp( z )  aK  1.  . 2. . ‧. . 學. ‧ 國. 則. 政治大. f Z1 Z2 ( z1 z2 ) f Z2 ( z2 )dz1dz 2. y. Nat. sit. n. al. er. io.         aA exp( z1 )  aB exp( z2 )  aK  f Z1 Z2 ( z1 z2 )dz1  f Z2 ( z2 )dz2 .     . Ch. 為計算上述中括號內積分的值，我們令  . iv n U , 並重寫.  1 (1   2 ). engchi T. 1. 下: 1  2   ( z1    z2 )  2 , f Z1 Z2 ( z1 z2 )  exp   2T1 2   2 T1 2     1. 上述(B1)式內中括號之值可計算如下: .   aA exp( z )  aB exp( z )  aK  . 1. . 2. 35. f Z1 Z2 ( z1 z2 )dz1. f Z1 Z2 ( z1 z2 ) 如.

(40) . . .  aA exp( z1 )  aB exp( z2 )  aK .    ( z1  1  z2 )2   2 1  dz1 exp   2 2T1 2   2 T1    . .       aA exp( u  1  z2 )  K ( z2 )   2   . .       aA exp( 1  z2   U (T1 ))  K ( z2 )  2  .  u2  1 exp    du 2 T 2 T1  1  . ,. (B2). 政治大. 此處 U (t ) 是一維布朗運動。. 立. y 1  z2  0.5T1 2 ) 2. io. A( z2 )  aA exp(. . Y (t )dt  0.5 2 (t )2  z2  aK .. n. al. Ch. 應用類似 Black 公式, 我們得到. engchi. sit. 0. i n U. (B2)    A( z2 ) exp( U (T1 )  0.5T1 2 )  K ( z2 )   A( z2 ) N (d1 ( z2 ))  K ( z2 ) N (d 2 ( z2 )),. 此處. d1 ( z2 ) . ln( A( z2 ) / K ( z2 ))  0.5T1 2 ,  T1. 36. er. T2. Nat. 令. . ‧. ‧ 國.  aY (0) exp. 學. K ( z2 )  aB exp( z2 )  aK. . v.

(41) ln( A( z2 ) / K ( z2 ))  0.5T1 2 ,  T1. d 2 ( z2 ) . 整合 d1 ( z2 ) 及 d 2 ( z2 ) 得. ln( A( z2 ) / K ( z2 ))  0.5T1 2 d1,2 ( z2 )  ,  T1. m  1 . . min(T1 ,T2 ). 0.  X (t ) Y (t )  (t )dt 1 2.  立 . A( z2 )  aA exp(. 1. 1 . . min(T1 ,T2 ). 0.  X (t ) Y (t )  (t )dt 2. 政治大  z  0.5T  ). ,. 2. 2. 1. 學.  aX (0) exp(  (  X (t )  0.5 X (t ) )dt ) exp(. m. 2. 2 m. 2. T1. Nat.  aX (0) exp(  (  X (t )  0.5 X (t ) 2 ) dt ) exp( 0. n. al. 0. Ch T1. 2. z2  0.5 12 (1   2 )). m. i n U. v. e n g cz hi0.5m ),.  aX (0) exp(   X (t )dt  0. z2  0.5 12  2 ). T1. )2 ). er. io. m. T1.  aX (0) exp(   X (t )dt . z2  0.5T1 (. y. 0.  1 (1   2 ). sit. T1. ‧. ‧ 國. 2. 2. 2. 2. ln( A( z2 ) / K ( z2 ))  0.5T1 2 d1,2 ( z2 )   T1. ln( A( z2 ) / K ( z2 ))  0.5T1 .  1 (1   2 ) T1.  12 (1   2 ). T1. 37. T1. . ln( A( z2 ) / K ( z2 ))  0.5 12 (1   2 ).  1 (1   2 ).

(42) . ln( A( z2 ) / K ( z2 ))  0.5( 12   12  2 ) ( 12   12  2 ). . ln( A( z2 ) / K ( z2 ))  0.5( 12  m2 ) ( 12  m2 ). 則. (B1)  . . . . . .  A( z2 ) N (d1 ( z2 ))  K ( z2 ) N (d2 ( z2 )) . 1 2 2 2. 政治大.  A( 2 z) N (d1 ( 2 z))  K ( 2 z) N (d2 ( 2 z)) . 立. ‧ 國. min(T1 , T2 ) X  Y  min(T1 , T2 ) X  Y  min(T1 , T2 )  X T1   X T1   max(T1 , T2 )  Y T2  Y T2  X T1. ‧. m. y. Nat. al. n.  X T1  ,  Y T2. er. io. 2. . sit.  X T1 ,  . m.  z2  exp    dz. 2 2  2 1. 學. 若  X (.), Y (.),  X (.),  Y (.) 及  (.) 皆是常數,則.  z2  exp   2 2  dz2  2 2 . Ch. engchi. m 2   2 X 2T1 ,.  12  m 2   X 2T1   2 X 2T1   X 2T1 (1   2 ),.   . min(T1 , T2 ) , max(T1 , T2 ). 38. i n U. v. ..

(43) A( w)  aX (0) exp(  X T1 .  X T1  w  0.5  2 X 2T1 ),  Y T2. K (w)  aY (0) exp  Y T2  0.5 Y 2T2  w  aK , d1,2 ( w) . ln( A( w) / K ( w))  0.5 X 2T1 (1   2 ).  X 2T1 (1   2 ). 立. .. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 39. i n U. v.

(44)