从广义来说，描述物质运动状态的物理量（例如物体的位移、电 流、电场强度等），在某一数值附近所作的变化，都叫振动。机械振 动是指物体在一定位置附近所作的来回往复的运动。例如钟摆的摆 动、脉搏的搏动等。有关振动的知识在声学、机械、建筑、地震等领 域的研究中是必不可少的。 机械振动有多种多样的形式，大多数情况是非常复杂的。而简谐 运动是最简单、最基本的振动形式，复杂的振动可以看作是简谐运动 的叠加。
7.1 简谐运动
7.1.1 简谐运动的特征 物体振动时， 如果物体离开平衡位置的位移按照余弦或正弦函数 的规律随时间变化，这种振动就称为简谐运动。例如，弹簧振子的小 幅度振动以及单摆的小角度振动在不计阻力的情况下都可以看作是 简谐运动。 下面以弹簧振子为例研究简谐运动的基本特征及规律。 如图 71 所示，将一个轻质弹簧的一端固定，另一端连接一个可以 在水平光滑面上自由运动的物体 m，这样就组成了一个弹簧振子。如果 所有的摩擦都可以忽略，则组成了一个无阻尼的弹簧振子。假设当弹簧 既没有压缩也没有拉伸而处于自然长度时， 弹簧连接的物体 m 处于位置 O。由于此时物体 m 所受的合力为零，O 点被称为物体的平衡位置。现在以 O 为原点， 取如图所示坐标轴 OX。 将 m 向右移到 A 位置， 然后放开，此时，因弹簧伸长而出现了指向平衡位置的弹性力。在此 力的作用下，物体将加速向左运动，当物体到达位置 O 时，物体具 有一定的速度，但作用在 m 上的弹性力等于零。由于惯性作用，m
大学物理（下册） ·2· 将继续向左运动，这时弹簧将被压缩。由于弹簧被压缩，出现了向右 的指向平衡位置的弹性力，该弹性力阻止物体向左运动，使 m 速率 减小，直至物体速度变为零（此时对应的位置为 B 点）。之后，物体 在弹性力作用下开始加速向右运动，到达平衡位置时，物体受力再次 为零，但具有一定速度，于是物体继续向右运动，但由于受到了向左 的作用力，物体速度逐渐减小，直至为零。以后，物体会反复重复上 述运动。像这样，在弹性力作用下物体在某一平衡位置附近来回往复 地运动，即作机械振动。 图 71 可以证明，如果所有的摩擦都可以忽略，物体对于平衡位置的位 移 x 将按余弦或者正弦函数的规律随时间 t 变化，即做简谐运动。 7.1.2 简谐运动的运动方程 由上述分析可知，如果物体相对于平衡位置的位移为 x，则物体 所受弹性力为 F= - kx （71） 式中比例常数 k 代表弹簧的劲度系数，由弹簧的性质例如材料、 形状、尺寸等决定，负号表示物体所受弹性力与物体位移方向相反。 如果所有的摩擦都可以忽略，则根据牛顿第二定律，物体的加速 度为 F k a x m m = = - （72） 对于一个确定的弹簧振子，k 与 m 都是常量且都大于零，则可以令
2 k m w = （73） 于是， 我们有 2 a= - w x， 显然， 物体的加速度与位移大小成正比， 与位移方向相反。 由于 2 2 d d x a t = ，于是结合 a= - w2 x，我们有 2 2 2 d d x a x t w = = - 。即 2 2 2 d d x x t = - w 上式是简谐运动物体的微分方程。 它是一个常系数的齐次二阶线 性微分方程，解此微分方程，得 cos( ) x=A wt+ j （74） 此即为简谐运动的运动方程， 简称简谐运动方程 （运动学方程） 。 式中 A 和j 是积分常量，其物理意义将在后面讨论。 由上式可以知道， 当物体在回复力 F=-kx 作用下作振动时， 其位 移是时间的余弦（或正弦）函数，这就是为什么把此种振动称为简谐 运动的原因。 将简谐运动方程对时间求一阶、二阶导数，可以分别得到作简谐 运动物体的速度和加速度： d sin( ) d x v A t t w w j = = - + 2 2 2 d cos( ) d x a A t t w w j = = - + 由简谐运动的运动方程、速度和加速度表达式，可以作出如图 72 所示的 xt、vt 和 at 图（ j = 的情况）0 。由图中可以看出，物体 做简谐运动时，它们的位移、速度和加速度均作周期性的变化。 7.1.3 简谐运动中的振幅、周期、频率和相位 根据简谐运动方程： x=Acos(wt+ j) 可以看到决定物体简谐运 动的特征物理量是 A、ω 和 φ，它们称为
描写简谐运动的物理量
。 1．振幅 在简谐运动的运动方程中，由于 cos(wt+ j) 的值在+1 和1 之间 变化，因此物体的位移就在 A - 和 A + 之间变化，所以运动方程中的 A 表示质点可能离开原点的最大距离，它给出了质点运动的范围在 A - 和 A + 之间，这个量，即简谐运动物体离开平衡位置的最大位移的绝大学物理（下册） ·4· 对值，我们叫做振动的振幅。由于振幅 A 是一个常量，因而简谐运动 的全部变化都反映在余弦函数的变化之中。 图 72 2．角频率、周期、频率 简谐运动的运动方程中的w 叫角频率。 由于 2 k m w = k 与 m 都是常量且都大于零，所以角频率是振动系统固有的特征 量，由系统特征量 k 与 m 确定。 余弦函数是周期函数，振动物体的运动状态完全重复一次，称为 物体进行了一次全振动。 物体进行一次全振动所需要的时间叫振动的 周期， 以 T 表示。 从简谐运动方程我们看到周期一定满足如下公式 （余 弦函数周期性） 2π = wT 则有 2π T w = 而频率是周期的倒数， 即单位时间内物体全振动的次数叫做简谐 运动的频率，用n 表示： 2π 1 T w n = =
w
、T 或n 都描述了简谐运动的周期性。为了方便，我们把以上w ，T 和n 的关系一并记作 2π 2π T w= n = （75） 显然，w ，T 和n 这三个量中，只要有一个知道了，其余两个也 就很容易得到。在国际单位制中，T 的单位是秒（s） ，n 的单位是赫 兹（Hz 或 s –1 ） ， w 的单位是弧度/秒（rad/s 或 s –1 ） 。 3．相位和初相 在简谐运动中， 无论是关于位移的方程还是速度或加速度的方程 中，都含有变量 (wt+ j) ，我们称之为振动的相位（或位相） 。 相位是描述简谐运动状态的物理量。相位是一个非常重要的概 念，由简谐运动物体的运动方程可知，当振幅和角频率一定时，振动 物体在任一时刻相对于平衡位置的位移、 速度和加速度等运动特性都 取决于相位。t=0 时的相位j 叫初相，初相描述简谐运动的初始状态。 相位还常常用于讨论两个不同振动的同步问题。例如，有下列两 个简谐运动： 1 1cos( 1 ) x =A wt+ j 2 2cos( 2 ) x = A wt+ j 它们的相位差（简称相差）为 2 1 2 1 ( ) ( ) Φ wt j ωt j j j j D = + - + = - = D 相差可以描述同一时刻两个不同振动的状态差异。 从上面的式子 可以看出，两个同频率的简谐运动在任意时刻的相差等于其初相差， 而与时间无关。由这个相差的值就可以分析它们的步调是否一致。 如果 DΦ = （或者 2π 的整数倍） 0 ， 两振动质点将同时到达各自的 极大值， 并且同时越过原点并同时到达极小值， 它们的步调始终相同。 这种情况我们说二者同相。 如果 DΦ = （或者 π 的奇数倍） π ，两振动质点中的一个到达极大 值时，另一个将同时到达极小值，并且将同时越过原点并同时到达各 自的另一个极值，它们的步调正好相反。这种情况我们说二者反相。 当 Φ D 为其他值时，我们一般说二者不同相。 7.1.4 常数 A 和j 的确定 由 t＝0 时振动物体的速度和加速度（称为初始条件），根据简谐 运动方程和其速度方程，我们有 0 cos( ) x = A j
大学物理（下册） ·6· 0 = -Awsin( ) j v 联立以上两个方程，则 2 2 0 0 2 A x w = + v （76） 0 0 tan x j w - = v （77） 由以上的讨论可知，对给定振动系统，周期由系统本身性质决定 （不同系统决定的因素不一样，对于弹簧振子，由 k 和 m 决定），而 振幅和初相由物体的初始速度和初始位移决定。
7.2 旋转矢量
在上一节，我们用谐振方程和谐振曲线来描述了简谐运动，除此 以外，还有一种很直观、很方便的描述方法，称为旋转矢量法。 如图 73，在某一平面上作一个以 O 为原点的坐标轴 OX，以原 点 O 为起点作一个长度等于简谐运动振幅 A 的矢量 A，令 A 绕原点 O 以等于简谐运动圆频率的匀角速度w 沿着逆时针方向匀速旋转， 我 们称 A 为旋转矢量，此旋转矢量的端点将在平面上画出一个圆，称为 参考圆。现设 t=0 时矢量 A 与 x 轴的夹角为 φ，则任意 t 时 A 与 x 轴 的夹角为 (wt+ j) ，那么矢量的端点在 x 轴上投影点的坐标为 cos( ) x=A wt+ j 图 73 我们看到，上式与简谐运动方程式完全相同，所以旋转矢量的端 点在 x 轴上的投影的运动实质上就是简谐运动。很明显，一个旋转矢 量是与一个简谐运动相对应的，其对应关系是：旋转矢量的长度对应 简谐运动的振幅，因而我们把旋转矢量又称为振幅矢量；矢量的角位置对应简谐运动的相位，矢量的初角位置对应振动的初相位，矢量的 角位移则对应振动相位的变化； 矢量旋转的角速度与振动的角频率相 对应，亦即相位变化的速率；矢量旋转的周期和频率对应振动的周期 和频率。 由以上分析可以看到，在我们在研究简谐运动的运动特性时，用 以上方法作一个旋转矢量进行分析， 可以使简谐运动在运动过程中的 各个物理量更为直观地表现出来，运动过程更为清晰。 例 7.1 如图 74 所示，一个轻质弹簧的左端固定，右端连着一 物体组合成弹簧振子，弹簧的劲度系数 1 0.72N m k = × - ，物体的质量 20g m = 。 （1）把物体从平衡位置向右拉到 x = 0.05m 处停下后再释放，求 简谐运动方程； （2）求物体从初始位置运动到第一次经过 2 A 处时的速度。 图 74 解 （1）弹簧振子的圆频率和振幅分别为 1 1 0.72N m 6.0s 0.02kg k m w - - × = = = ， 2 2 0 0 2 0 0.05m A x x w = + v = = 设初相位为j ，则 0 0 tan 0 x j w - = v = ， j = 0 或 π 由图 75 的初始位置对应的旋转矢量图可知， j = 0 。 则弹簧振子的简谐运动方程为 1 cos( ) (0.05m) cos[(6.0s ) ] x= A wt+j = - t （2）由弹簧振子的简谐运动方程，得 1 cos( ) 2 x t A w = = ， π 5 π 3 3 t w = 或 由图 76 中第一次经过 2 A 处对应的旋转矢量图，可得 π 3 t w = ，于 是，得 1 sin 0.26m s Aw wt - = - = - × v （负号表示速度沿 x 轴负方向） 图 75 图 76
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7.3 微振动的简谐近似
弹簧振子是由于受到了 F=-kx 的弹性力才会作简谐运动， 在物体 的机械运动过程中，无论物体所受作用力是否为弹性力，只要所受作 用力满足类似于 F=-kx 那样的规律，它的运动必为简谐运动， 人们把 这种与弹簧的弹性力相类似的作用力称为准弹性力。 以下为两种准弹 性力作用下简谐运动的例子。 7.3.1 单摆 如图 77 所示，一根没有伸缩的不考虑质量的细绳，上端固定， 下端悬挂一个尺寸很小的质量为 m 的重物，把此重物稍加移动后， 在重力作用下，重物就可以在竖直平面内来回摆动，这种装置称为 单摆。 受力分析可知，重物受到重力和绳子拉力作用。设绳长为 l，则 重物重力对 C 点的力矩为 sin M = - mgl q 当绳子的摆角不是很大时（一般 q < 5o ）， sinq » ，则有 q M = - mglq 那么，根据转动定律 2 2 2 2 2 d d d d M J ml t t q q = = ，有 2 2 2 d d ml mgl t q q = - 令 2 / g l w = ，则上式变为 2 2 2 d 0 dt q w q + = 不难得到此微分方程的解 cos( ) m t q=q w + j 显然，在形式上，此式与弹簧振子满足的微分方程是一样的，只 不过由弹簧振子的位移换成了单摆的角位移。由此我们得出结论：单 摆的小角度摆动振动也是简谐运动。 图 77单摆振动的角频率和周期分别为 0 g l w = （78） 0 2π 2π l T g w = = （79） 7.3.2 复摆 一个可绕不过质心的水平固定轴转动的刚体称为复摆， 也称物理 摆。平衡状态下，摆的重心在轴的正下方，摆动时，重心与轴的连线 偏离平衡时的竖直位置，如图 78 所示。 设重心 C 到转轴 O 的距离为 h，刚体的转动惯量为 J，则重力 G 的力矩为 sin M = - mgh q 由转动定律，有 2 2 d sin d mgh J t q q - = 当绳子的摆角不是很大时（一般 q < 5o ）， sinq» ，则为 q 2 2 d d mgh J t q q - = 设 2 mgh J w = 则有 2 2 2 d 0 dt q w q + = 由此得到结论：复摆的小角度摆动振动是简谐运动。 容易证明：复摆的振动周期和频率分别为 2π J T mgh = ， 1 2π mgh J n =
7.4 简谐运动的能量
下面我们以弹簧振子为例来讨论简谐运动的能量特征。实际上， 图 78大学物理（下册） ·10· 任何一个简谐运动的物体，由于它们受到的合外力均要满足 F=-kx， 都相当于一个弹簧振子。不同的是，它们的 k 值可能不是弹簧的倔强 系数，而是其他的由系统的性质决定的常数而已，所以其他诸如单摆 或复摆等情况可以依次类推。 简谐运动系统的能量=系统的动能 Ek+系统的势能 Ep。 利用弹簧振子的简谐运动方程及其速度方程， 可以得到任意时刻 一个弹簧振子的弹性势能和动能。 某一时刻，谐振子速度为 v，位移为 x。 由简谐运动方程 x= Acos(wt+ j0 ) 得到势能为 2 2 2 0 1 2 1 cos ( ) 2 p E kx kA wt j = = + 由速度 0 sin( ) v= -Aw wt+ j 得到动能为 2 2 2 2 0 2 2 2 0 1 1 sin ( ) 2 2 1 sin ( ) ( ) 2 k E mv m A t k kA t m w w j w j w = = + = + Q = 显然，简谐运动的动能和势能是时间的周期性函数。 则弹簧振子总机械能为 2 1 2 k p E=E +E = kA （710） 可见弹簧振子的总机械能是不随时间改变的，即其机械能守恒。 这是由于无阻力自由振动的弹簧振子是一个孤立系统， 在振动过程中 没有任何外力对它做功的缘故。 上面的结果还表明弹簧振子的总能量 和振幅的平方成正比，这一点对其他的简谐运动系统也是正确的。这 意味着振幅不仅描述简谐运动的运动范围， 而且反映振动系统能量的 大小。
7.5 简谐运动的合成
7.5.1 两个同方向同频率简谐运动的合成 运动可以合成，而振动是运动的一种形式，因此两种或者两种以 上的振动也是可以合成的，振动合成的依据是运动的叠加原理。在实 际问题中，我们经常遇到振动的合成问题。例如，当两列声波同时传 到空间某一点时，该处质点将同时参与两种运动，则该质点总的运动 就是两个振动的合成。 由于一般情况下质点参与的不同振动特性差异 很大，所以振动合成问题非常复杂，下面我们只讨论情况较为简单的 几个例子，例如，讨论振动方向和振动频率都相同的两个简谐运动的 合成问题等，这在后面讨论波的干涉时十分重要。 设两个振动都发生在 x 方向，振动的频率均为 ω，振动方程分 别为 1( ) 1cos( 10 ) x t = A wt+ j 2( ) 2cos( 20 ) x t = A wt+ j 式中 A 、1 A 和2 j 10、 j 20分别为两个振动的振幅和初相。按运动 的叠加原理，在任意时刻合振动的位移为 1 2 x=x + x 根据三角函数公式可以求得结果 0 cos( ) x= A wt+ j 其中， 2 2 1 2 2 1 2 cos A= A +A + A A D ，其中 j Dj=j20- j10 1 10 2 20 0 1 10 2 20 sin sin tg cos cos A A A A j j j j j + = + 显然，合振动是简谐运动，其频率仍为 w。 但是利用三角函数公式计算过程较为繁杂， 如果根据振动的矢量 图来分析，可以更直观、更简捷地得出结论。 如图 79 所示，A1，A2 分别表示简谐运动 x 和1 x 的旋转矢量， 2 如前所述，它们在 x 轴上投影的坐标即表示简谐运动 x 和1 x ，我们要 2大学物理（下册） ·12· 投影的坐标是 x=x1+ x 2 ，这正好是我们要求的合振动的位移。 图 79 为了求矢量 A 的端点在 x 轴上投影的坐标，我们首先分析 A 的 变化规律。由于两个振动的角频率相同，即 A1，A2 以相同的角速度 ω 匀速旋转，所以在旋转过程中图中平行四边形的形状保持不变，因 而合矢量 A 的长度 A 保持不变，并以同一角速度 ω 匀速旋转。因此 我们断定，合矢量 A 也是一个旋转矢量。矢量 A 的端点在 x 轴上的 投影坐标可表示为 0 cos( ) x= A wt+ j 即合振动也是简谐运动。合振动的振幅 A 等于合矢量 A 的长度， 合振动的初相 j 0就是合矢量的初角位置。 在图 79 中用余弦定理可求 得合振幅为 2 2 1 2 2 1 2cos( 20 10 ) A= A +A + A A j - j 由直角 D OMx 可以求得合振动的初相j 满足 1 10 2 20 0 1 10 2 20 sin sin tg cos cos A A A A j j j j j + = + 分析：就 2 2 1 2 2 1 2cos( 20 10 ) A= A +A + A A j - j 而言，如果两个分振 动同相，即 若 j20-j10 = ±2 π k k= 0,1, 2, L 则 A= A1+ A 2 ，这时合振幅达到最大。此时称两个振动相互加强。 如果两个分振动反相，即 若 j20-j10 = ±(2k+1)π k= 0,1, 2, L 则 A= A1- A 2 ，两个分振动相互减弱。 进一步，如果 A1=A2，则 A=0，两个分振动完全抵消。
7.5.2 同方向不同频率简谐运动的合成 设有两个分振动 1 cos( 1 ) x = A wt+ j 2 cos( 2 ) x = A w t+ j 注意这两个分振动的振幅相同、初相位相同但频率不同。 则 它 们 的 合 振 动 可 由 三 角 函 数 运 算 ， 利 用 cos cos 2 cos cos
2 2 a b a b a+ b = - + ，可以求得 1 2 2 1 2 1 2 cos cos 2 2 = + - + æ ö æ ö = ç ÷× ç + ÷ è ø è ø x x x A w w t w w t j 该合振动的图像如图 710 所示。 图 710 显然，该合振动不是简谐运动。 当 w2 与 w1 在数值上较为接近时， w2 -w1<<w2 + w1，则合振动 可以近似为 ( ) cos x= A t wt 其中 2 1 ( ) 2 cos 2 - æ ö = ç ÷ è ø A t A w w t ，随 t 缓慢变化， 2 1 cos cos 2 + æ ö = ç ÷ è ø t w w t w ，随 t 快速变化。 这样，合振动可看作振幅缓变的简谐运动。 当两个振动频率接近时， 合成中由于周期的微小差别而造成合振 幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而减弱的现象称为拍。 合振动在单位时间内加强（或减弱）的次数称为拍频，由此定义 可以推得其数值为 n =|n2- n1 |。 利用拍现象还可以测定振动频率、校正乐器和制造差拍振荡 器等。
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7.6 阻尼振动 受迫振动 共振
7.6.1 阻尼振动 简谐运动是忽略阻力的振动，是理想的运动形式。实际振动都存 在阻尼力，振动系统的能量都随时间而减小，我们把存在阻尼力作用 的振动称为阻尼振动或减幅振动。 阻尼一般分为如下两类： 摩擦阻尼：系统克服阻力做功使振幅受到摩擦力的作用，系统的 动能转化为热能。 辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射 出去。 通常阻尼力的形式为： Fr = - Cv 其中，C 称为阻力系数，v 是振动物体的运动速度。 根据牛顿第二定律有： kx Cv ma - - = 或 2 2 d d 0 d d x x m C kx t t + + = 对一给定的振动系统， 、 、 m k C 均为常量。 若令： 2 0 / k m w= ， /C m= 2 d，我们把d 称作阻尼系数，则上式 写成： 2 2 0 2 d d 2 0 d d x x x t t + d +w = 根据d 不同，上式可解出三种可能的运动状态。 （1）弱阻尼状态：当d ＜ w 0时 e t cos( ) x= A - d wt+ j 式中 2 2 0 w= w - d 所以 2 2 0 2π 2π T w d w = = - 显然，阻尼振动的周期大于同样系统的简谐运动的周期。 如图 711 所示是弱阻尼状态下振动位移与时间的关系，显然，质点作运动范围不断缩小的往复运动。 （2）过阻尼状态：当 d≥ w 0时 2 2 2 2 0 0 ( ) ( ) 1e 2 e t t x=c -b- b -w + c -b+ b - w 此时，将物体移开平衡位置而后释放，系统不作往复运动，而是 非常缓慢地回到平衡位置，这种状态称为过阻尼状态，振动位移与时 间的关系如图 712 所示。 （3）临界阻尼状态：若 d= w0，将物体移开平衡位置后, 系统 不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来，这种状态叫临界 阻尼状态，如图 713 所示。此时， 1 2 ( ) t x= c + c t e- b 图 712 图 713 7.6.2 受迫振动 在没有能量供给时，阻尼振动由于能量逐渐减少，所以振动最终 将会停止。但如果在欠阻尼振动系统上外加一个周期性外力，则所发 生的振动将会有所不同，这时振动并不会因存在阻尼而停止，而是持 续振动下去。 振动系统在连续的周期性外力作用下进行的振动称为受 迫振动。 例如机器运转时引起底座的振动， 收音机喇叭纸盆的振动等。 这种周期性外力称为策动力。 1．受迫振动方程及其解 受迫振动的系统受力分析如下：回复力 -kx ；阻尼力 Cv - ；策动 力 cos F w p t（为简便起见，我们假设策动力是随时间按余弦规律变化 的） ，则根据牛顿第二定律，可得出弹簧振子的动力学方程 2 2 d d cos d d p x x m C kx F t t t + + = w 令： 2 0 k m= w ， 2 C m = d， F f m = 图 711
大学物理（下册） ·16· 可得 2 2 0 2 d d 2 cos d d p x x x F t t t + d +w = w 解此微分方程，得到受迫振动的运动方程为 x= A0 e- d t cos(wt+j)+Acos(wp t+ y) 其中， 2 2 2 2 0 ( p) 4 p f A w w d w = - + ， 2 2 0 2 tan = - - p p dw y w w 上式表明，在受迫振动的初期，振动是非常复杂的。受迫振动可 以看成是由两个振动合成的。第一项为阻尼振动，随时间推移而趋于 消失，它反映受迫振动的暂态行为，与策动力无关；第二项表示与策 动力频率相同且振幅为Ａ的周期振动。经过一段时间后（理论上 t ® ¥ ）阻尼振动可忽略不计，质点进行由上式第二项所决定的与策 动力同频率的振动，即达到稳定的振动状态： x= Acos(wp t+ y) 。 2．受迫振动的特点 由以上分析，我们可以看到受迫振动具有以下特点： （1）稳定后，由于阻尼振动可忽略不计，所以受迫振动的圆频 率等于强迫力的圆频率。 （2）因为稳定时振幅恒定，所以从能量的观点来看，稳定时 一周期内强迫力所作的功等于阻尼力的功， 因此系统振动能量保持 不变。 （3）由于在实际生活中，阻尼无处不在，但我们可以使用外来 的策动力来抵消阻尼，所以受迫振动是实际实现简谐运动的方法。 7.6.3 共振 当策动力的角频率取某一定值时，受迫振动的振幅获得极大值， 这一现象叫做共振。 由受迫振动的振幅表达式 2 2 2 2 0 ( p) 4 p f A w w d w = - + 可见，振幅是策动力的函数，因此存在极值的问题,与此对应的 极值现象，称为位移共振。共振时的角频率叫共振角频率，以 w r 表 示。根据高等数学知识，为解振幅 A 的极值问题，可对其求解导数且 令其为零
d 0 d p A w = 由此可得，当 2 2 2 0 (w -2d -wp )= 时，振幅0 A 有最大值。这时驱 动力的角频率等于共振角频率，即 2 2 0 2 r w = w - d 因此，系统的共振频率是由固有频率和阻尼系数决定的，将上式 代入式 2 2 2 2 0 ( p) 4 p f A w w d w = - + ，可得共振时的振幅 2 2 0 2 r f A d w d = - 可知，阻尼系数越小，共振角频率越接近于系统的固有角频率， 同时振幅 A 也就越大。 r
习题 7
71 作简谐振动的小球， 速度的最大值为 v = m 3.0cm / s ，振幅为 2.0cm A = ；若令速度具有最大值的某时刻为 t = ，求：0 （1）振动周 期；（2）加速度的最大值；（3）振动的表达式。 72 一 质 量 为 0.20kg 的 质 点 作 简 谐 振 动 ， 其 振 动 方 程 为 0.60 cos(5 π / 2) x= t - ，其中 x 以 m 为单位，t 以 s 为单位．求： （1） 质点的初速度； （2）质点在正向位移一半处所受的力． 73 两弹簧劲度系数分别为 k 1 =1N/m， k 2 =3N/m。在光滑的水 平面上将此二弹簧分别连接到质量为 m=0.1kg 的物体的两端， 弹簧的 其余两端分别固定在支柱 P1 及 P2 上，如题 73 图所示。今使物体有 一向右初位移 2 0 3 10 m x = ´ - ，向右初速度 v 0 = 40 10 m/s ´ - 2 ，（1） 试证物体作简谐振动；（2）求振动方程（设物体在振动中，两弹簧始 终处于被拉伸状态）. （分析：当物体运动时，两弹簧的形变量大小相同，并等于物体 的位移量。 ） 74 原长为 0.5m 的弹簧，上端固定，下端挂一质量为 110.1kg 的物体，当物体静止时，弹簧长为 0.6m。现将物体上推，使弹簧缩 回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出大学物理（下册） ·18· 振动式。（g 取 9.8） 题 73 图 75 一轻弹簧下端悬挂 m0=100g 的砝码时，弹簧伸长 8cm，现 在这根弹簧下端悬挂 m=250g 的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡 位置向下拉动 4cm，并给以向上的 21cm/s 的初速度（这时 t=0） ，选 x 轴向下，求振动方程的数值式。 76 有一单摆，摆长 l = 1.0m ，小球质量 m = 10g ， t = 时，小 0 球正好经过 q = - 0.06rad处，并以角速度 w = 0.2rad/s向平衡位置运 动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期； （2）用余弦函数形式写出小球的振动式。 （g 取 9.8） 77 两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 20cm， 与第一个振动的相位差为 π 6 。 若第一个振动的振幅为10 3cm 。 则 （1） 第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的相位差为多少？ 78 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别 为： 1 π 0.05 cos(4 ) 3 x = t + （SI） ， 2 π 0.03sin(4 ) 6 x = t - （SI） ，画出两振 动的旋转矢量图，并求合成振动的振动方程。 79 已知两同振向同频率的简谐振动： 1 2 3 1 0.05 cos(10 π) , 0.06 cos(10 π) 5 5 x = t+ x = t + （SI） （1）求合成振动的振幅和初相位； （2）另有一个同振动方向的谐振动 x3=0.07 cos(10t f+ 3 ) （SI） ， 问 f 3为何值时 x1+ x 3 的振幅为最大， f 3为何值时 x2+ x 3 的振幅为最小； （3）用旋转矢量图示（1） 、 （2）的结果。 710 一弹簧振子沿轴作谐振动，已知振动物体 最大位移为 0.4m m x = ，最大恢复力为 F = m 0.8N ，最大速度为 v = m 0.8π(m / s) ， 又知 t = 的初位移为 0.2m，且初速度与所选 X 轴方向相反。求（1） 0 振动的能量；（2）此振动的数值表达式。 711 如题 711 图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数 k =
24N/m，重物的质量 m = 6 kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平 恒力 F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运 动了 0.05m 时撤去力 F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求 物体的运动方程。 题 711 图 712 一质量为 0.1kg 的物体作振幅为 0.01m 的简谐振动，最大 加速度为 0.04m/s 2 . 试求（1）振动的周期；（2）总的振动能量；（3） 物体在何处时，其动能和势能相等？ 713 质量为 0.25kg 的物体，在弹性力作用下作简谐振动，倔强 系数 k = 25N∙m -1 ， 如果开始振动时具有势能 0.6J 和动能 0.2J， 求：（1） 振幅；（2）位移多大时，动能恰等于势能？（3）经过平衡位置时的 速度。
