具體表徵融入數學教學之探究
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(2) 具體表徵融入數學教學之探究. 貳、表徵的意義與重要性 一、表徵的意義 在 數 學 教 學中，「 表 徵 」（representation）是 個相 當 重 要 的概 念。根 據 Lesh 等 人 （1987） 對 表徵 的 詮 釋 ，「表 徵 」 是指 心 智 過 程模 式 化 所 使用 的 符 號 系統 ， 如 圖 形、符 號、語 言 文 字、具 體 操 作 物，也 就 是 學 生內 心 的 概 念轉 為 看 得 見的、顯 著 的具 體 化 之 外在 表 現。我 們 可 以 了 解「 表 徵 」除 了 是 人 類 進行 學 習 的 媒介 之 外， 更 是個 體 進 行 運思 時 的 重 要工 具；尤 其是 當 個 體 確實 掌 握「 表 徵 」所 代 表的 意 義 之 後，「 表 徵 」便 進 一 步 成為 運 思 的 材料 ， 幫 助 人類 思 考 ， 並且 能 夠 對 於各 種 表 徵 的形 式，自 由轉 換 以 運 用自 如，進 而解 決 問 題。這 就 如 同 對低 年 級 的 學生 而 言， 如 果三 塊 甜 甜 圈， 不 管 我 們用 畫 圖 的. 來 表示 ， 或 者用. 來表. 示，在 他們 了 解了 符 號 表 徵所 代 表 的 意義 之 後，他 們 就會 運 用這 些 表 徵 來進 行 運 思 和運 算 以 解 決問 題。在 表徵 的 種 類 方面，各 個 學者（ Lesh et al., 1987；Heddens, 1984）分 別 從 不同 的 觀 點 予以 分 類，大 致 上 可 以 分成 三 類： （一 ）具 體 的 表徵（ 二 ） 半 具體 的 表 徵 （三 ） 抽 象 符號 。 Heddens 更 主 張 學習 者 必 須 在具 體 階 段 ，將 新 的 知 識加 以 內 化，並 且有 系 統的 沿 著 這 些學 習 階 段，將 所學 的 新知 識 賦 予 抽象 化 的 表 徵。如 此 一 來，學 生 才 能 夠 在 真 實 的 世 界 與 抽 象 的 世 界 之 間 建 立 良 好 的 連 結 ， 以 改善 學 生 在 數學 理 解 方 面的 困 難。站 在 教學 者 的角 度 觀 之，若 是能 考 量學 生 認 知 學習 的 發 展 階段，適 時 提供 適 當 的 表徵 形 式 給 予學 生 學 習 的支 援 與 協 助，不 但 能 幫助 他 們 了 解生 活 週 遭 的事 物 與 現 象，也能 因 此 獲 得 心 智 能 力 的 發 展 與 成 長 。. 二、表徵的重要性 教師 的 數 學教 學 與 學 生的 數 學 學 習，表徵 的 角色 功 不 可 沒，尤其 對 於中 低 年 級 的學 生 而 言 ，具 體 表 徵 有著 舉 足 輕 重的 地 位 。Cobb 等 人 （1992） 指 出， 具 體 物 能夠 提 供 學 生做 為 解 題 時思 考 的 依 據，透過 具 體物 的 操 作，呈 現學 生 的數 學 概 念，教 師再 透 過教 學 介 入，將 學生 引 導並 提 升 至 抽象 概 念。因 此，我 們 可以 了 解， 個 體之 所 以 能 夠不 受 時 空 的限 制，順 利的 進 行 關 於外 在 世 界 的理 解、思 考、推 理， 以 及與 他 人 溝 通等 活 動，應 該 歸功 於 個體 透 過 表 徵所 產 生 的 作用（ 游 自 達，1995； 蔣 志邦 ， 1994；陳 啟 明 ，2000）。 適 當的 運 用 多 樣化 的 數 學 表徵，不 僅 能夠 增 進 數 學概 念 的 理 解，並 且 可 以做. 31.
(3) 具體表徵融入數學教學之探究. 為 與他 人 溝 通 數學 想 法 的 媒介，所 以 數學 表 徵 是 幫助 我 們 思 考、解 題、溝 通、以 及 詮釋 各 種 事 物和 現 象 之 重要 工 具。教 師 教學 時 應該 好 好 善 用各 種 表 徵，幫 助 學 生 將它 應 用 在 真實 的 數 學 情境 ， 以 進 一步 解 決 生 活當 中 所 面 臨的 問 題 。 以 下列 舉 研 究 者將 表 徵 融 入小 三 數 學 課室 教 學 的 三個 實 例，以探 討 具 體 表 徵 在 數學 教 學 與 學生 學 習 時 之功 效 。 。. 参、具體表徵融入小三數學課室教學之實例 一、除法教學 研 究 者 在 剛開 始 進 行 除法 教 學 時，先 是讓 學 生透 過 具 體 實作 去 分 花 片，讓 他 們 在分 花 片 的 過程 中 了 解「 分 」的 概 念，並 且 舉 凡許 多 例 子 都是 先 透 過「 分 」出 去 後，數 量 會 慢慢 減 少，再 間接 與 減 法算 式 建 立 關係，而 且 每一 次 分 完 之後 有 可 能 會有 剩 餘，此 時學 生 必 須判 別 剩 餘 的數 量，能 否再 多 分 一 次。當 然 我 們的 目 標 是讓學生了解除法的運算，所以在教學的過程中必須由減法引入除法的算式意 義 ，而 有 剩 餘 、無 法 再 分 的部 份 自 然 就導 入 了 餘 數的 觀 念 。 例 題 1：15 個 花片 要 平 分 給 5 個 小 朋 友，每 一 個 小朋 友 可 以 得到 幾 個 花 片？（ 等 分 除） 學 生的 解 法 ： 1.. 2.. 3.. 小朋 友 一 邊 動 手 操 作花 片 一 邊 用算 式 紀 錄 自己 的 解 題 過程，大 部 分的 小 朋 友 在了 解 題 意 之後 會 先 紀 錄 下 1、2、3、4、5 個 組別（ 代 表 有 5 個 小 朋 友 ）. 32.
(4) 具體表徵融入數學教學之探究. 然 後進 行 運 算 15-5＝10（ 意 思是 分 了 一 次， 每 人 都 先得 到 一 個 花片 ） 10-5＝5（ 意 思是 分 了 第 二次 ， 每 人 都得 到 第 二 個花 片 ） 5-5＝ 0（ 意 思是 分 了 第 三次 ， 每 人 都得 到 第 三 個花 片 ） 即 15-5-5-5＝0（ 意 思 是 15 個 花 片 分 給 5 個 小 朋友，可 以 分 3 次，每 人得 到 3 個花 片 ） 再 引入 除 法 算式 就 是 以 15÷5＝ 3 來 表示 例 題 2： 15 個 花片 每 5 個 要分 一 堆 ， 一共 可 以 分 成幾 堆 ？ （ 包含 除 ） 學 生的 解 法 ： 1.. 2.. 5.. 6.. 3.. 7.. 15-5＝ 10（ 意 思 是分 了 一 次 5 出 來 ， 得 到一 堆 ） 10-5＝5（ 意 思是 分 了 第 二 次 5 出 來 ，得 到 第 二 堆）. 33. 4.. 8..
(5) 具體表徵融入數學教學之探究. 5-5＝ 0（ 意 思是 分 了 第 三 次 5 出 來 ，得 到 第 三 堆） 即 15-5-5-5＝0（ 意 思 是 15 個 花 片 ，以 每 堆 有 5 個 來 分 ， 可以 分 成 3 堆 。） 引 入除 法 算 式 也是 以 15÷5＝ 3 來 表 示 這 兩題 雖 然 都 是除 法 的 題 目，但 是 分 別代 表 著 等 分除 和 包 含 除的 概 念，是 老 師 在教 學 上 可 以特 別 說 明 的，以幫 助 學生 透 過 花 片的 表 徵，進 行 解題 時 也能 充 分 了 解題 意。在 此之 外，研 究者 會 鼓 勵 學生 多 思 考 別種 解 題 的 方式，當 中 發現 有 部 分學生是利用加法運算的方式，他們是將花片以五為單位，一次一次慢慢往上 加 ，直 到 加 到 15 為 止 ； 或者 利 用 乘 法 5×3＝ 15，算 出 3 堆 。 根 據花 片 的 操 作，研究 者 發現 學 生 利 用具 體 表 徵（ 花 片 ）了 解減 法 的 概 念 之 後，老師 應 該 引導 學 生 將 這些 概 念 內 化，能 進 一 步列 出 除 法 算式 來 表 示；若學 生 能 從具 體 的 花 片操 作 減 法 算式，再 以 除法 算 式 來 表示，表 示 他們 已 經 能 夠以 有 意 義 的形 式 來 表 徵問 題 情 境 ，讓 自 我 的 解題 及 運 思 能力 由 具 體 提升 到 抽 象 階段 。. 二、水平面教學 水 平 面 教 學是 學 生 很 容易 產 生 誤 解的 單 元，例 如 瓶中 裝 著約 三 分 滿 的水，如 果 此時 瓶 身 傾 斜，水平 面 還是 會 呈 現 水平 的 狀 態，但 學生 通 常會 認 為 水 平面 會 跟 著 傾斜。在 課 堂上，研 究 者利 用 許 多 不同 形 狀 的 瓶子（ 如：方 型 瓶 子、圓 柱 型 瓶 子 … 等 ）， 裡 面 裝 著 用 廣 告 原 料 染 色 過 的 水 ， 便 於 學 生 觀 察 ， 學 生 透 過 操 作 這 些 具 體實 物 後 ， 研究 者 請 他 們把 看 到 的 結果 紀 錄 在 學習 單 上 。 1.. 2.. 3.. 4.. 從 學 生 的 學習 單 發 現，很 多 學 生 一 開 始 所 畫 的 水 平 面，是 跟 著 瓶 身 傾 斜 的 ，. 34.
(6) 具體表徵融入數學教學之探究. 他 們受 到 瓶 子 傾斜 的 影 響，聯想 水 平 面也 應 該 會 傾斜；然 而，透過 實 驗 觀察 到 這 些具體實物表徵之後，他們能理解水平面還是會呈現水平，因此修正自己的答 案 ，標 記 出 正 確的 水 平 線 來。. 三、分數教學 在進 行 分 數的 教 學 單 元時，研 究 者出 了 以 下 一題 例 題：下 列 有兩 個 一樣 大 小 的 正方 形，將 它們 各 自 平 分成 四 等 份，請 問兩 個 斜線 部 分 的 面積 一 樣 大 嗎？ 請 打 ˇ ，並 說 說 理 由。. （. ） 一樣 大. （. ） 不一 樣 大. 有 一 個 學 生，他認 為 上面 兩 個 斜 線面 積 是 不 一樣 大 的，透 過 視覺 上 的直 接 比 較，他 先把 長 方形 的 斜 線 面積 搬 移 到 三角 形 的 斜 線面 積 上，再 把 長方 形 面積 凸 出 三 角形 面 積 的 部份 取 下 來，補 在三 角 形斜 線 面 積 上，他覺 得 三角 形 還 有 空間 是 長 方 形取 下 來 的 面積，不 能 完全 填 滿 的，所 以他 認 為三 角 形 斜 線面 積 比 長 方形 斜 線 面 積還 要 大 。 以下 是 這 位 學生 的 理 由 。. 35.
(7) 具體表徵融入數學教學之探究. 於是，研 究者 在 數 學 課堂 中，利 用色 紙 剪 貼，請學 生 拿 出兩 張 色 紙 摺成 和 上 面 兩張 色 紙 一 模一 樣 的 等 分，並且 將 他們 其 中 一 等份 剪 下 來，重 新貼 在 另外 一 張 一 樣大 小 的 色 纸內；或 者 直接 將 三 角 形和 長 方 形 比比 看，多 的部 份 再 剪 下來 重 新 組 合， 再 比 一 次， 看 看 他 們這 次 發 現 到什 麼 。 學 生 透 過 剪裁 色 紙 ， 發現 經 過 剪 貼將 三 角 形 和長 方 形 重 新組 合 ， 再 比較 之 後，兩個 斜 線 面積 是 一 樣 大的。也 就 是原 本 兩 張 一樣 大 的 色 纸，不 管 怎 麼平 分 成 四 等分 的 方 式 如何，取 其 一等 份 相 互 比較，結 果 是一 樣 大 的。以下 是 學 生比 較 後 的 理由 說 明 。. 36.
(8) 具體表徵融入數學教學之探究. 由 以 上 學 生的 數 學 寫 作，研究 者 進一 步 和 這 位學 生 訪 談，以 確定 藉 由具 體 表 徵，他真 的 理 解了 分 數 的 概念。我 們 可以 發 現，即 使原 來 的 正方 形 一 樣 大，但 是 學 生因 為 受 圖 形不 同 分 法 所產 生 的 不 同形 狀 所 影 響，認 為 三 角形 和 長 方 形是 不 一 樣 大的；經 由 實作 剪 貼 色 紙的 過 程 中，重新 將 色 紙拼 湊 而 成 的圖 形，藉 由這 樣 的 具 體表 徵，學 生澄 清 了 自 我的 迷 思 概 念，並 且 發 現原 來 一 樣 大的 色 紙，不 管怎 麼 平 分， 只 要 平 分的 數 量 是 相同 的 ， 那 麼其 中 一 份 的面 積 還 是 會一 樣 大 。 在 實 際 教 學的 過 程 中，研究 者 發 現具 體 表 徵 是很 好 的 媒 介，透 過 它，不僅 可 以 呈現 教 師 所 要表 達 的 數 學涵 義，學 生也 可 以 透 過操 作 各 類 表徵（ 具 體 實物、符 號 、圖 形 … 等 ），連 結 數 學概 念 或 者 理解 運 算 之 間的 關 係 ； 我們 更 可 以 經由 表 徵 去 澄清 學 生 原 有的 一 些 數 學迷 思 ， 所 以表 徵 在 數 學教 學 與 學 習時 是 很 重 要的 工 具，有助 於 學 生數 學 學 習 的運 思、理 解、和 他 人 溝通 自 己 的 想法 以 及 轉 譯數 學 表 徵 來解 題 。. 肆、結語 依據皮亞傑對認知發展階段的區分，小學階段的學童大多停留在具體運思 期，因此 需 要 透過 具 體 物 來學 習。由 以上 的 教 學 實例，學 生 藉由 操 作 具 體物，將 抽 象的 數 學 概 念具 體 化、意 義化，以 建構 自 己 的 數學 知 識，也 支持 皮 亞 傑認 知 發 展 理論 的 觀 點。這 也提 醒 教學 者 在 從 事教 學 時 避 免以 同 一 種 方式 教 學，應 該 善 用 各 種表 徵 的 方 式讓 學 生 瞭 解，並 讓 學 生運 用 各 種 表徵 的 形 式 達成 與 他 人 溝通 的 目 的。此外，教 師透 過 具 體 表徵 的 教 學，也能 澄 清 學生 的 迷 思 概念，藉 以 提昇 其 認 知 發展 到 更 高 階段 。. 37.
(9) 具體表徵融入數學教學之探究. 西 諺 有 云 ：「I listen and I forget, I see and I remember, I do and I understand.」， 老 師在 進 行 數 學教 學 的 時 候，如 果 僅 用講 述 法 教 學不 懂 得 善 用良 好 的 教 具與 學 生 互 動，那 麼 學 生很 有 可 能 只會 左 耳 進 右耳 出，聽 完馬 上 就 忘 記了；若 能 進一 步 運 用 各 種 具 體 的 表 徵 來 輔 助 教 學 ， 讓 學 生 從 「 做 中 學 」， 相 信 對 於 學 生 的 學 習 能 有 事 半功 倍 的 效 果；甚至 讓 學生 透 過 實 際動 手 操 作，從 親身 參 與的 活 動 中 將具 體 化 的 表徵 轉 化 為 抽象 化 的 概 念，並 且 能 充分 理 解 其 意義。而 在 解題 的 過 程 中，學 生 也 能善 於 利 用 各種 表 徵，以 幫 助 自 己 運 思，進 一 步 達 成 與 他 人 數 學 溝 通 的 目 的 ， 並 培養 自 己 解 決實 際 生 活 中問 題 的 能 力，相信 這 樣 的 結 果 才 是 我 們 真 正 樂 見 的 。. 參考書目 陳 啟明 （ 2000）。不 同 題 目 表 徵 型 式 及 相 關 因 素 對 國 小 五 年 級 學 生 解 題 表 現 之 影 響 。 國立 嘉 義 大學 國 民 教 育研 究 所 碩 士論 文 ， 未 出版 。 游 自達 （ 1995）。 數 學 學 習與 理 解 之 內涵 … 從 心 理學 觀 點 分 析。初 等 教 育 研 究 集 刊 ，3， 31-45。 蔣 志邦 （ 1994）。 由 表 徵 的觀 點 探 討 新教 材 數 與 計算 活 動 的 設計 。國 民 小 學 數 學 科 新 課 程 概 說 （ 低年 級 ）（60-76）。 臺北 縣 ： 台 灣省 國 民 學 校教 師 研 習 會。 Bruner, J. S. (1966). Toward a theory of instruction . Cambridge,MA: Harward University. Cobb, P., Yackel, E.,＆ Wood, T. (1992). A constructivist to representational view of mind in mathematics education. Journal for Research in Mathematical Education , 123(1), 2-33. Greeno, J. G. ＆ Roger, B. H. (1997). Practicing Representation: Learning with and about Representational Forms. Phi Delta Kappan 79, 361-367. Heddens, J. W. (1984). Today＇ s Mathematics . 5thed. Chicago: Science Research Associates. Lesh, R., Post,T.,＆ Behr, M. (1987). Representations and transl ations among representation in mathematics learning and problem solving. In C.Janvier(ED.). Problem of representation in. teaching and learning of mathematics (pp. 33-40). Hillsdale, NJ: Erlbaum. National Council of Teachers of Mathematics. (2000). The principles and Standards for School. Mathematics . Reston,VA: NCTM.. 38.
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