國小六年級學童在數學實作評量中的小組解題歷程分析

♁

國立中山大學教育研究所碩士論文

國小六年級學童在數學實作評量中的小組解題歷程分析

研究生：石千奇撰 指導教授：梁淑坤 博士

中華民國 九十三年六月

摘要

本研究旨在了解小組成員在數次實作評量中的解題歷程、互動情形，以及 操作實物在解題過程中的作用。所探討的重點包括，小組解題歷程模式的形成 情形為何，小組解題時成員參與的情形為何，在幾次實作評量中，小組成員參 與解題階段的變化，操作實物在小組解題歷程中有何作用，小組成員對評量方 式的感想。

在研究方法上，首先參考六年級上學期數學課本，編成五次實作評量試 題，再根據班級特色和教師背景以立意取樣抽取某國小六年級某班級中的四名 同學為研究對象。在評量的過程中，以錄音、錄影的方式收集小組成員間解題 的對話並觀察其操作實物的行為，並在每次評量完後以半結構訪談的方式收集 小組成員對評量方式的感想。所得的資料分別整理成 Schoenfeld 的解題歷程 分析圖、實作行為分布圖和階段參與率。

研究結果有：解題歷程模式受同儕討論的影響，小組解題是四個人四條思 考路線互相牽引的結果；解題歷程模式受操作實物的影響，操作實物會影響解 題階段進行的走向；小組成員並非全程參與解題歷程，會因為題目的難易、互 動過程、階段性質等因素的影響而未能全程參與；小組解題的階段變化各行其 道，在各個解題階段的參與變化沒有一致性的發展；操作實物對各個解題階段 皆有影響，各產生不同的作用；小組成員喜歡在實作評量中以小組解題的模式 解題，覺得這樣的評量方式可以幫助解題。

因此，建議數學教師多採用以四人為一個小組，在形成性評量中以小組解 題的方式進行實作評量。

Abstract

The purpose of this research is to investigate group problem-solving processes, interactions , and also, the factors that influence the operation on performance

assessment. The main points for this study are:

1. What kind of situation does the model of group problem-solving form?

2. What situation does the group participate in each process of problem-solving?

3. What changes do the group participate in each stage of problem-solving after performance assessment?

4. What influences do manipulatives make on the operation of problem-solving processes?

5. What do the members think about the method of assessment?

The method of this research is as follow. The investigators referred to the mathematics textbook (Volume 11) to develop five units of performance assessment.

The participants were a group of four 6th grade elementary school children in Kaohsiung. The investigator collected the think-aloud protocols of the group and observed the behaviors from video and recordings. Finally, in order to understand children’s feelings of assessment, the investigator arranged semi-structured

interviews. The data was used to prepare chart according to Schoenfeld’s model, also its distribution table, and the ratio of participation.

The main conclusions of this research are:

1. The process of group problem-solving is affected by discussions among peers.

2. The model of process of problem-solving is affected by actually performing and acting out.

3. The group may or may not be engaged in all stages of problem-solving.

4. The changes of problem-solving stage for each member were different.

5. The use of manipulatives affects each problem-solving stage.

6. Children expressed that they enjoyed group performance assessments.

Based on results of this study, the investigator highly recommended

performance assessment to take place in elementary mathematics classroom..

關鍵字：小組解題歷程、實作評量

Keyword: group problem-solving, performance assessment

目 錄

第一章 緒論...1

第一節 研究動機...1

第二節 研究目的...6

第三節 研究問題...6

第四節 名詞解釋...6

第二章 文獻探討...8

第一節 數學解題歷程的模式...8

第二節 小組解題...14

第三節 實作評量...21

第四節 六年級數學教材分析...25

第三章 研究方法與歷程...34

第一節 研究設計...34

第二節 研究場域...36

第三節 研究流程...38

第四節 研究者的經歷與信念...41

第五節 研究工具的編製...44

第六節 資料的收集...45

第七節 資料的分析...46

第八節 試探性研究的試行分析...47

第九節 修訂...51

第四章 研究結果與發現...53

第一節 小組解題歷程的分析...53

第二節 小組成員在解題歷程裡的參與情形與變化...62

第三節 解題歷程中實作行為的分析...72

第四節 小組成員對實作評量和小組解題的想法...78

第五章 結論與建議...85

第一節 結論...85

第二節 建議...91

參考文獻...94

一、中文部分...94

二、西文部份...96

附錄...…101

附錄一: 解題歷程分析圖………..101

附錄二: 小組成員的階段參與率………..111

附錄三: 解題歷程逐字稿………..112

附錄四: 實作行為在解題歷程中的分佈………..126

附錄五: 訪談逐字稿………..132

附錄六：實作評量題目……….143

表 目 錄

表 2-1 Polya 的解題技巧引導……….8

表 2-2 Kilpatrick 延伸的解題歷程與策略表………10

表 2-3 解題變項在分析小組解題歷程的合適性……….…………11

表 2-4 Schoenfeld 解題原案的巨觀分析架構圖………..12

表 2-5 合作學習的比較……….…16

表 2-6 國編版第十一冊數學科單元教學目標……….………26

表 2-7 目標內容分析圖……….30

表 3-1 原案資料的編碼意義………46

圖 目 錄

圖 3-2 試探性研究的解題歷程時間分佈圖（題目：1-1）………48

圖 3-3 試探性研究的實物操作分配圖……….51

第一章 緒論

的情形，學生對於小組解題的感想以及實物操作在小組討論解題時扮演的角 色。由於錄影、錄音等蒐集資料的工具比以前的隨堂記錄更能完整的保存學生 解題活動的情形，因此本研究想藉著這些工具來進行觀察、訪問以收集文本。

本章將說明研究動機、目的，並對本研究裡的名詞加以解釋。

第一節 研究動機

我國數學科課程標準自民國十八年的「小學課程暫行標準」到八十二年的

「國民小學課程標準」以及八十七年教育部公佈的「國民教育階段九年一貫課 程總綱綱要」以來，數學教育的趨勢迭有變化：從早期低年級沒有固定的數學 教學時間（陶惠昭，民 87）、重視數量計算技能（教育部，民 51；教育部，民 57）、六十四年版開始引用認知心理學的研究發現來編製教材組織和教法（陶 惠昭，民 87），數學課程的總目標慢慢的將觸角從视數量計算為技能要求熟練 和速度，伸至注意數、量、形之間的相互關係，及數學語言的使用（教育部，

民 64）。民國 64 年版的數學課程標準總目標首次提及「使用適當的數學語言」， 開啟了往後數學溝通的先河。吳明穎（民 90）就認為接下來的八十二年版國 小數學課程與六十四年版國小數學課程的教學目標是一致的，只是在分述要點 時產生差異，八十二年版的數學課程標準進一步要求數學教育應培養溝通、討 論、講道理和批判事物的精神（教育部，民 82）。九年一貫課程目標（教育部，

民 92）也接續上述的理念提出，能了解別人以書寫、圖形，或口語中所傳遞 的數學資訊，以及以上述的形式，運用精確的數學語言表達自己的意思。因此 可得知，八十二年版數學課程與九年一貫的相繼改革主要目標都期望學生能夠 具有解決數學問題、明確表達、理性溝通的能力（許馨月，民 90）。

除了國內數學教育重視數學溝通，國外的數學教育趨勢亦是如此。歷年來 美國數學教師協會 NCTM（1989，1991，2000）也提出數學就是溝通，老師 主要的任務應該要引導學生溝通、討論以提升學生數學溝通的能力等概念。匹 茲堡大學測驗研究中心編製的新標準（New Standard）也在 1997 年提出數學 概念理解層面中應特別重視數學溝通層面（引自 Resnick, Nolan, & Resnick, 1995）。不僅是美國，新加坡 1990 年課程計劃科（Curriculum Planning Division）

頒布的的中小學數學教育目標也提及「以數學傳意」；澳洲教育局 1994 年列舉 課程綱要之前的第二章-「學校教學之目標」也重視學生應學會如何以數學溝 通並建立以數學獨自及和解題的能力（引自黃毅英、黃家鳴，1997）。

在資訊發達的時代裡，現今扮演知識接收者的學生，已無法面臨訊息萬 變、日新月異的大環境。鑒於此，九年一貫課程強調的是能力的開拓，培養的 是「可以帶著走的能力」，而不是「背不動的書包」，和只是知識的傳授有所不 同的。這一波的改革必須從課程、教學、評量三方面環環相扣、一氣呵成，才 能成功。以教室現場最常看到的教學和評量來說，想要看到學生解決生活情境 問題的能力，卻只以紙筆測驗來驗收，只會讓外界對教學或評量方式感到懷 疑，數學教育亦復如此。

以研究者的教學現場經驗而言，研究者時常在數學課裡採用討論解題的方 式，有的時候以整個班來進行，有的時候以小組為單位，實施的結果往往能得 到正確而豐富的答案，結果令人滿意。Andrews（1997）也強調要讓學生能夠 享受做數學樂趣的最好途徑，就是在教室中鼓勵學生的溝通討論。但研究者開 始好奇，討論過程的脈絡如何進行，在討論解題的解題歷程中，成員們如何接 續各個解題階段的轉承，他們在解題的過程中參與的情形為何，在小組討論的 氛圍下，成員們在解題階段的接力情形會不會出現變化。

因以上所敘述，「溝通」既是國內外課程和教學現場重要的取向，隨之而

來的問題便是教師如何幫助學生在教室現場培養該能力並展現出來。前者關乎 教學，後者則是學生的解題表現。

在教學方面，數學改革從「絕對主義的數學觀」轉向「社會建構主義的數 學觀」（Romberg， 1992），影響了當年台灣八十二年版『國民小學數學課程 標準』的目標，強調以兒童的經驗建構數學概念（楊麗華，民 90）。國內一些 學者有人持著學生可藉由社群的互動進而建立數學知識的觀點（周筱亭，民 83；許馨月，民 90；甯自強，民 82a；劉錫麒，民 83；鍾靜，民 89）。因應這 種知識取得的轉變，許多國小老師普遍覺得數學教學帶給他們的衝擊最大，令 他們擔心一些「技術性」的問題（胡志偉，民 86），要達到社群的互動，小組 的合作是很好的模式。因此合作學習成為許多學者和實踐者關切的課題之一

（周立勳，民 87；林達森，民 90；柯登淵，民 85；陳世彭，民 83；劉錫麒，

民 79）。

在解題方面，無論是一九七七年美國數學督導協會（National Council of Supervisors of Mathematics）或是一九八 o 年美國教師學會（NCTM），教育部

（民 91）九年一貫課程暫行綱要都強調解題是數學教育的主要目的。但以往 的解題研究往往是個人獨立完成，或者重視解題成果，或者以放聲思考

（thinking aloud）進行其解題歷程分析（涂金堂，民 88；徐建煌，民 91；楊 瑞智，民 83）。本研究擬以小組為研究對象來進行其解題歷程的分析。在小組 解題的過程中，合作似乎扮演著重要的角色。

周立勳（民 87）的研究顯示實施合作學習可促進學童課業尋助的表現，

課業尋助就是一種主動學習的表現。劉錫麒（民 83）認為要藉著解題過程中 的衝突、驚訝、困惑等，來激發兒童省思的動力，合作解題可符合這種認知失 衡的情境。葉明達、柳賢（民 88）認為合作解題時，兩個或三個解題路徑可 能會被提出，經由溝通、意見交換，會將個人的解題資源合併成為小組的解題

資源。Noddings 發現學生在合作解題中，擔任彼此的監控者，以類似個人解 題者自我覺察的方式來討論想法和計劃（引自葉明達、柳賢，民 88），學生相 互之間的辨證更可以表達學生內心的想法，黃幸美（民 92）也認為解決問題 的問答討論，有如有聲的思考對話，蒐集與分析解題者的解題討論內容資料，

是了解解題者如何使用策略解題的途徑。所以本研究將以解題者們合作解題時 的口述內容轉譯成文字當作原案（protocols），再以此做原案分析（prtocols analysis）。

在課程中，目標、教學、評量、學習四者關係密切且互相影響，如果彼此 各行其道，反而寸步難行。九年一貫課程暫行綱要裡數學學習領域（民 91）

提到的評量宜多樣化，配合教學目標採用多元的方法評量學生的知識、技能、

能力與態度。以往常用的紙筆測驗，即使其只能測驗岀學生某一部分零碎的知 識，但其評分客觀、節省時間、施測方便的特點卻能歷久不衰，儼然是評量方 式的主流，所以後來的人將實作、檔案、動態、口語等評量稱為另類評量，但 其實各種評量各有所長。九年一貫課程所說的多元方法，就是不要再將紙筆測 驗定於一尊，應多元採用其他評量方式，根據評量的目標，採取最有效率和最 有效果的評量方式。

在研究者教學現場的評量經驗中發現在眾多評量方式中，實作評量重視溝 通也重視合作學習，小組成員往往能在操作實物中提出許多點子，並引起成員 的熱烈討論。所以實作評量的特點之一是可以團隊方式來完成，讓學生學習如 何在團體中進行互動、溝通、分工和合作等技能，也可要求學生對整個團隊的 互動和合作過程進行省思（盧雪梅，民 89；蘇義翔，民 87）。實作評量的價值 在於直接和接近真實，具有多元解題途徑的性質，因為解題途徑多元，所以可 提供同儕之間廣泛的討論空間。

在實作評量中，由於須符合真實情境，教師將準備一些實物、圖表、情境

來操作或幫助解題，學生使用這些實物，就是使用多元表徵。以表徵的角度來 看，表徵在數學活動中具有兩種功能：一是溝通的工具另一是作為運思的材料（黃 偉洲、劉祥通，民 91）。Herbel-Eisenmann, Beth A.（2002）認為多元表徵在學生使用 多元方法討論數學概念時，扮演很重要的角色。現在在教室裡進行的數學課程，學 生們的數學對話大多都停留在上下文脈絡的語言（Contextual Language， CL），也就 是一種依賴學生正在做的工作脈絡裡的語言方式，它可以提供學生討論重要數學概 念而不需要擁有精確的數學語言。但是如果我們想要我們的學生成為數學社群裡的 一部分，他們就要會用正式的數學語言（Official Mathematics Language， OML）。

在 CL 和 OML 之間會有橋樑語言（Bridging Language， BL），當學生藉由多元表徵而 開始描述數學現象所用的語言就成為 BL。表徵的方式越多，學生就越能用各種方式 來談論數學概念，這樣累積下來，教室內的數學語言就產生了。也就是說藉由操作 實物再轉換至口語表徵、符號表徵等多元表徵，學生想法之間的溝通將更加順暢。

Vygotsky 認為兒童在社會情境中與同儕互動時，與有能力的同伴使用語言 表徵溝通與討論，可分享有能力者認知處理與技能運作的歷程（引自黃幸美，

民 90）。以低數學能力者而言，語言及符號表徵的發展還低於實物表徵，如果 採用實作評量，實物表徵是否可成為高、低數學成就者之間的橋樑，讓低數學 成就者的解題有所不同。本研究試圖讓老師完全不參與，代之以實物操作來觀 察實物操作是否能在合作解題中成為一種有影響的媒介。

實踐教室裡數學溝通的研究正如雨後春筍般的產出，本研究亦是從數學溝 通的概念出發，思索能容納同儕討論空間的評量方式。以往的紙筆測驗，解題 途徑單一，學生往往用內在表徵來思考，以至於解題過程無法和大家分享，常 常淪為高數學能力者的「寡頭解題」，其他人無法參與。所以本研究採取能分 工合作完成的實作評量，以解題歷程分析，來探討實作評量是否對小組解題有 影響。黃幸美（民 90）在她的研究中以兒童熟悉的情境和實物做測驗，結果

發現即使如此還未能完全成功解題。因此，本研究除了設計情境還增加了可以 操作的實物，以觀察紙筆測驗缺乏的實物操作在同儕討論中扮演的角色。

小組解題的解題歷程分析並不多見，大部分的研究採取個人放聲思考的解 題歷程分析，本研究想要探討小組討論解題在能符應的實作評量方式下，成員 們解題歷程的內容及其變化。

第二節 研究目的

根據以上的研究動機，本研究的目的在於了解小組成員在數次實作評量中 解題歷程的變化，以及小組解題時成員之間的互動情形。並藉由小組成員在解 題過程中，操作實物的分佈來探討其在小組解題中扮演的角色。

第三節 研究問題

根據以上的研究目的，本研究主要探討的問題如下：

一、小組解題歷程模式的形成情形為何？

二、小組解題時成員參與的情形為何？

三、隨著幾次實作評量的進行，各個小組成員在參與解題階段上有什麼變 化？

四、操作實物在小組解題歷程中有何作用？

五、小組成員對評量方式的感想為何？

第四節 名詞解釋

有一些名詞外界詮釋不一或解釋多重，茲將其名詞在本研究中的意義列舉 如下。

一、實作評量

本研究裡的實作評量是指，學生透過具體物的實際操作或觀察，來幫助解 決數學問題，和一般以操作實物進行解題過程的實作評量有所不同。

二、小組解題

是指小組同儕間以問與答的語言互動方式藉由解釋、推論、判斷、假設、

思索解題等歷程，完成解題目標。

三、高數學能力者

根據受試兒童在該施測學期的前一學期，其數學總成績的平均數，在全班 的前百分之二十五以內者，為本研究所謂的高數學能力者。

四、低數學能力者

根據受試兒童在該施測學期的前一學期，其數學總成績的平均數，在全班 的後百分之二十五以內者，為本研究所謂的低數學能力者。

第二章 文獻探討

本研究旨在了解學生以小組討論解題的模式進行實作評量的解題過程，因 此本章先探討其中牽涉的概念理論，以獲得觀察分析時的基礎，但也從眾多研 究中去發現它們的結論在不同的條件之下其他的可能性，以及和本研究之間的 關係。本章的架構共分為四小節，詳列如下。

第一節 數學解題歷程的模式

壹、Polya 的解題歷程

Polya（1945）首先就解題歷程提出有關數學解題階段和每一個階段的策略 推理，其問題在每一個階段的分佈如表 2-1，往後研究有關解題歷程的學者大 抵延伸變化自這個模式。

表 2-1 Polya 的解題技巧引導 第一步驟

你必須了解 問題

了解問題

未知的部分是什麼？

資料有什麼？

條件有什麼？

有可能滿足滿足條件嗎？

條件夠充分決定未知的部分嗎？或是不夠充分？或是多餘 的？或是矛盾的？

畫個圖。採用適當的標誌。

把條件不同的部分區別出來，你能把它們寫下來嗎？

第二步驟 發現資料和 條件之間的 相關。

如果立即性 的關聯無法 被發現，你可 能必須思考

計劃

你以前看過這個問題嗎？或者你曾經看過稍微不一樣形式 的相同問題嗎？

你知道相關的問題嗎？你知道可供使用的原理原則嗎？

看看那未知的部分！並且試著去想具有相同或類似未知的 熟悉問題。

這裡有一個有關你以前解過的問題，你能夠運用它嗎？你 能夠運用它的結果嗎？你能夠運用它的方法嗎？你應該採用

輔助的問題。

你最後應該 具備解題的 計劃。

一些相關的成分以使它的運用成為可能嗎？

你能夠重述問題嗎？你能夠用不同的方式重述嗎？

回到定義上。如果你不能解決提出的問題那麼首先就試著 解一些相關性的問題。你能夠想像比較接近的相關性問題 嗎？比較一般性的問題？比較特殊的問題？比較類似的問 題？

你能夠解決問題中的一部分嗎？只保持條件中的一部分，

捨棄其他的部分；然後看未知會有什麼不一樣？

你能夠從資料中得到一些有用的東西嗎？你能夠想到其他 適合決定未知的資料嗎？你能夠改變未知或資料嗎？如果需 要，兩者都改變，以使新的未知和資料比較接近嗎？

你使用了所有的資料嗎？你使用整個條件嗎？你已經考慮 了所有包含在問題裡的必要概念了嗎

第三步驟 執行你的計 劃

執行計畫

執行你的解題計劃，檢查每一個步驟。你能清楚的看出來 步驟是正確的嗎？你能使它成為正確的嗎？

第四步驟 檢查解題的 結果

回頭檢查

你能檢查結果嗎？你能檢查論點嗎？

你能以不同的方式延伸出結果嗎？你能瞥見結果嗎？

你能在其他的問題裡使用這個問題的結果或方法嗎？

資料來源：Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical Problem Solving (p.23-24).

New York:Academic.

Polya （1945）希望學生熟悉這些策略推理問題後，能在需要的時間點上提 出適當的問題，以自然的方式執行對應的心理運作。

貳、Kilpatrick 的解題歷程

Kilpatrick(1967)以八年級學生為對象，探討其解非例行性文字題使用的策 略，發現實際上學生用的策略並不多，因此以 Polya 解題四階段的問句為根據，

將解題歷程改編成如表 2-2 所示。

表 2-2Kilpatrick 延伸的解題歷程與策略表

一、了解問題

1. 辨認未知的資料或條件 2. 畫圖

3. 引入符號 二、擬定計劃

1. 複述問題 2. 考慮相關問題 三、執行計畫

1. 使用連續漸進的方法 2. 發現結果前檢查步驟 四、檢討

1. 檢查結果是否合理 2. 檢查結果是否合乎條件 3. 回溯論證的步驟

4. 使用其他的方法獲得結果

資料來源:Kilpatrick, J. (1967). Analyzing the solution of word problem in

mathematics:An exploratory study(p.46). Doctoral dissertation, Stanford

Kilpatrick（1985）對於解題如何被學習，提出了許多看法，包括：一、同 化（Osmosis）。二、熟記（Memorization）。三、模仿（Imitation）。四、合作 (Cooperation)。五、反省（Reflection）。其中在合作部份，認為可藉著小組解 題（group problem-solving）的討論，幫助學生練習在單獨解題時感到困難的 解題程序。在策略推理歷程方面，Kilpatrick（1967）亦是第一個在數學教育界 裡以精密的基模編碼系統來記錄學生的解題行為，並用統計的方法進行分析，

屬於微觀的原案分析（microscopic analysis of protocals）。

叁、Schoenfeld 的解題歷程

除了 Polya 及 Kilpatrick 之外，更有 Schoenfeld 討論解題歷程。Schoenfeld

（1985）認為影響數學解題不外乎四個範疇：資源（Resources）、捷思

（Heuristics）、控制（Control）及信仰系統（Belief Systems）。

資源指的是解題者在一開始解題時所擁有的工具（tools），包括事實、程 序、技能也就是所謂的數學知識。解題者的數學知識越豐富，就越能夠成功解 題（涂金堂，民 88）。

捷思就是建立有利於解題的技巧，捷思策略可以幫助解題者個人了解題目 並且往解答的方向前進。Polya（1945）的解題技巧引導即是想要增進這方面 的能力而設計的。

控制是指在解題過程中要做什麼的主要決定，例如擬定計劃、選擇目標和 次目標、監控、確定解法，發展、修改、或終止計劃，這些都牽涉到後設認知。

Schoenfeld（1985）發現學生即使具備數學知識但不知道如何使用，也會造成 解題失敗。因此控制在解題過程中常常居於主導的地位。

如果擁有上述三種範圍的能力，就能將解題的工作做好嗎？Schoenfeld（

1985）認為信仰系統會形塑認知行為，因而影響到解題結果。例如：數學題目 通常都能在十分鐘內解完，如果不能那就放棄。這裡的信仰信統類似於我們說 的情意因素。

研究者考量上述四種解題的變項在小組解題歷程可能的影響，如表 2-3，

因此決定探討控制（Control）在小組解題歷程中的進行情形。

表 2-3 解題變項在分析小組解題歷程的合適性 影響

範疇

評估 決定 探討 資源

分析小組成員的數學知識，以 Mayer 解題歷程中所需的知識 來分析較適合

捷思

解題策略的使用較個人化，在小組解題中使用策略，比較無 法引起共鳴，容易形成寡頭解題

控制

屬於後設認知，在數學解題和討論溝通時都扮演重要角色，

以小組為研究對象而言，值得探討 ○

信念 系統

每個人信念系統的形成背景及時間皆不同，無法單從幾個題 目的解題過程探討出來

Schoenfeld（1985）就控制因素的觀點，將解題歷程區分成六個階段，如 表 2-4：

表 2-4Schoenfeld 解題原案的巨觀分析架構圖

始於大聲讀出問題的內容狀態，包括了解題目條件、深思題目狀 態所花的時間，可能以讀題或口語的方式來進行。

一、讀題︵

re ad in

g ︶

R1：已經注意到問題中的所有條件嗎？能明顯的被注意到，還是不明 顯？

R2：已經正確注意到目標狀態了嗎？能明顯的被注意到，還是不明 顯？

R3：是否評估解題者現有的知識狀態和題目的連結

如果在閱讀完題目後沒有明顯的解題途徑，就要進行分析。分析 要對問題十分了解，才能選擇適當的觀點並以此再形成一次問題。

通常分析後直接發展至計劃，但也有可能完全繞過分析階段就直接 解題。

二、分析︵

A n al y si

s ︶

A2：根據問題條件採取行動嗎？

A3：根據問題目標採取行動嗎？

A4：問題的條件和目標之間有何關係？

A5：解題者的行動（A1-A4）合理嗎？

三、探索

比較沒有結構性，要從最原始的問題中進一步重新進行，如果解 題者在探索期間遇到新的資料，他就會回到分析階段希望透過新的 資料更了解題目。

E1：本階段是問題引起的？還是目標引起的？

E2：所採取的行動有方向或重點嗎？

E3：發展中有監控嗎？監控的有無對解題的結果有何影響？

E4：整個階段都協調嗎？解題者的行動（E1-E3）合理嗎？有進一步 針對合適否做觀察或評論嗎？

這個階段的重點在於，計劃是否具結構性，是否有秩序的執行計 畫？

四、計劃

- 執行︵

P la n n in g - Im p le m en ta tio

b ︶

PI1：是否有計劃行為？

PI2：計劃和問題解決有關嗎？合適嗎？有結構性嗎？

PI3：解題者是否評估計劃的相關性？適當性及結構性？如果這樣，

這些評估如何和問題 PI2 比較？

PI4：執行是否系統化的依計畫進行？

PI5：是否在局部或整體層次中評估執行？

PI6：評估的有無對解題結果的影響為何？

確保解答的正確性，所做的檢查工作。

五、驗證︵

V er if ic at io

n ︶

V1：解題者重新檢查解法了嗎？

V2：以其他方法檢查解法了嗎？如何檢查？

V3：有無歷程及結果的評估？對於結果評估的信心有多少？

資料來源: Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical Problem Solving (p.23-24).

New York: Academic Press.

相對於 Kilpatrick 的微觀分析，Schoenfeld（1985）將解題歷程分成六個階 段（episodes），探討解題者在解題歷程中每一個階段使用了多少時間，並以時 間分佈圖、文字敘述分析每一個階段的解題行為，及其中的轉換情形，屬於質 性的分析。其解題歷程原案分析是根據兩人一組的放聲思考而來的，他認為兩 人一組所獲得有關做決定過程的訊息會比一個人時來的多。本研究亦認為小組 解題時，成員之間為朝向解決問題這個目標所產生的互動，也許可以激發更多 解題時做決定或控制的訊息。

由於 Schoenfeld（1985）六個階段的解題歷程係從控制因素而來，控制屬

於後設認知，小組解題時的討論、監控、質疑、辯護亦牽涉到後設認知，所以 本研究採取 Schoenfeld 的解題歷程階段表來分析解題歷程。

第二節 小組解題

本研究探討的小組解題是指，小組成員面對同一個欲達成的目標-解出老 師佈下的題目，共同合作並記錄解題過程的行為，這裡的「合作」意指同儕間 互相幫助的行為（Nelson-Le Gall,1992），和一般合作學習具有結構性的分工有 所不同（Aronson，1978；Johnson & Johnson，1991；Slavin，1986）。在目標 方面，前者為成功解題，後者以小組成員學習到某項知能為前提。但由於大部 分的合作學習均以問題為中心的形式進行（張靜嚳，民 85），所以亦援用這些 研究做為參考。本節擬從認知學習上的意義、小組解題的運作、小組討論的情 意表現，三方面來探討小組解題的內涵。

壹、認知學習上的意義

Piaget 認為兒童與夥伴討論、合作互動時，可能因對方與個體在訊息上不 同的詮釋而產生認知衝突，個體便會試圖從事實與邏輯層面去了解對方的觀 點，因此學習到新的知識以達認知平衡。然而調適（accommodation）產生的 前提必須是，個體察覺到有不同於自己的觀點，接著審视自己和他人的觀點，

看看哪些可以和自己原有的觀點相容，並評估自己觀點的有效性，然後為自 己的觀點辯護。如果對方的觀點較接近事實，便改變自己的想法將別人的優 點納入自己的基模中，轉而導致認知的再結構與發展，認知層次因而提升。

從衝突論的觀點引起認知結構重組的觀點來看，比較偏向於動機論，而且思 考是先於語言的。雖然該派典後來漸漸重視社會互動和語言對認知發展的影 響，但其所認可的社會互動，比較傾向認知發展層次差異不大的同儕間為尋 求妥協與共識所產生的活動，這和 Vygosky（1978）的認知學徒制有所不同。

以實徵研究的結果而言，同質分組的學習效果要好，其成員的素質應以中等 為主，太高太低都不可以（Webb，1985）。Piaget 認為認知衝突是提升認知發 展的關鍵，Vygosky 則主張從社會互動-提出意見、分享他人想法，共同追求 目標來發展認知。

Vygosky 認為符號有兩種功能，從「人際-溝通」演進到「認知-表徵」，一 開始用來作為社會成員之間的溝通，接著媒介個體內在的思考歷程，逐漸發 展出覺察省思能力的基本符號系統。這樣的社會互動要內化成個體的心理活 動便涉及到 Vygosky（1978）的可能發展區（zone of proximal development），

因此其認知發展理論主張個體心理發展的架構始於外在社會活動，終於個體 的內在活動（引自劉錫麒，民 86）。在發展區中，就教學的意義而言，需要 能力強的同儕支持，扮演鷹架的角色，以進行認知師徒制，目的是讓兒童在 合作情境下誘發認知歷程，然後逐漸內化成為獨自發展的成就。Collins（1988）

也認為兒童透過解決問題歷程的問答討論，將解題策略與思考歷程用語言表 達出來，就是一種示範學習。要能使認知師徒制發揮功效，團體中需有能力 強的同儕，實徵研究的結果也顯示高、低能力異質分組的合作學習效果很好

（Mugny & Doise，1978）。以此看來 Piaget 和 Vygosky 的理論都能支持小組 解題中的社會互動的歷程，對於學生在認知、社交、溝通方面都能有所助益。

貳、小組解題的運作

一、合作活動的進行方式

合作學習進行的方式有很多種，最具代表性的有：1.學生小組學習（Student Team Learning，簡稱 STL）。2.皆可熟教學法（Jigsaw）。3.共同學習法（learning together）。4.團體探究法（group investigation，簡稱 GI）（林生傳，民 81；黃 政傑、林佩璇，民 85）。除此之外，林俊紳（民 85）揉合多種方法的精神，

也融合成另一種合作學習的方式。林達森（民 90）就上述的合作學習，將其 運作所依循的原理分成：1.特長互補 2.個別績效計量 3.成功機會均等 4.群體 目標 5.資源共同 6.團隊競爭 7.任務結構。以下就記分方式、教師介入、活動 目標、編組原則、成員關係、合作的模式、運作原理等項目來比較本研究的

「小組解題」和上述合作學習法之異同，列於表 2-5：

（運作原理代碼： 特長互補； 個別績效計量； 成功機會均等； 群體目 標； 資源共同； 團隊競爭； 任務結構）

表 2-5 合作學習的比較 編組

原則

教師 介入

互動 關係

合作 模式

計分 方式

活動 目標

運作 原理

S T L

組

教師講 述

合作

互相協 助學習 教學內 容

分別記 分後，合 計為小 組分數

學習單 元 知識

Ji g sa w

異質分 組

不介入 合作 各個子 題的專 家

不計分

學習各 個子題 知識

Learning together

異質分 組

不介入 合作 各自負 責不同 角色

建立獎 勵制度

學習指 定作業

G I

組

師生共 同確立 主題

合作 彼此討 論溝通

不計分

共同完 成學習 任務

學習小組

異質分 組

教師講 述

合作 會的教 不會的

分別記 分後，合 計為小 組分數

學習單 元知識

小組解題

異質分 組

適時給 予引導

合作 彼此討 論溝通

單一小 組分數

共同完 成評量 任務

上述合作學習法的合作行為大部分都發生在學習階段，評量只是驗收成果 及建立共同目標的手段，重視的還是個人是否達到學習成果，所以多數計分 的評量是單獨完成的。而本研究的「小組解題」以上述的運作原理而言，無 個別績效計量，因沒有個別針對小組成員的表現來計分，也無事先分配成員 工作的任務結構。其整個活動就是評量過程，解題成功為共同目標，關注的 是評量時小組成員的合作情形。

二、合作活動的內容

合作活動的內容大部分都屬於社會技能，Ridgway（1988）認為這些社會 技能包括：討論的進行、協商、個別化的技巧（輪流講話、尊重並建立別人 的觀點）和練習口語的數學技能，檢查別人的工作以查覺在計算上細微的錯 誤。在進行小組解題時，由於成員能夠充分的表現其解題行為，所以老師就 能個別的觀察到每一個成員的解題模式。

雖然小組解題時我們賦予他們許多具有合作運作的原理，但 Johonson 和 Johnson（1994）也指出不可對合作的進行抱持太大的期望。小組成員本身的 主觀因素和活動進行的設計，都有可能影響到小組解題時成員的表現及解題 成效。Driskell, Hogan 和 Salas（1987）將其分成三個因素：

1.個體因素：成員的知識、技能、人格特質。

2.團體因素：團體的大小、結構 、規範、向心力等。

3.情境因素：工作的特性、情境壓力的大小與獎賞。

Johnson 和 Johnson（1994）則列舉一些可能導致合作情形不理想的因素：

1. 缺少協同工作技能：進行合作時有許多技巧可增進工作效率，若沒有 掌握好可能比一人單獨完成還沒有效率。

2. 小組規模不適當：人數的多寡應视工作內容做適當的規劃。

3. 小組的合作經驗不足：小組成員的默契還未培養起來。

4. 無參與意願：無工作意願、團體氣氛不足，低能力的成員覺得不受重 視。

5. 搭便車：團體計分無從區分個人的工作表現。

雖然有很多都是成員主觀的情緒因素，但工作內容的設計也佔了很大 的因素。Ridgway（1988）就提到遊戲是很好的團體行動。Kamii（1985）也 提到以小團體遊戲來學習概念和知識，可以讓孩子愉快的學習而不需要再給予 激發因素。遊戲這麼受學生的歡迎在於它具有挑戰性、有趣、操作性、遊戲組 成的項目多可供學生集體參與。因此本研究擬將評量方式朝向具備上述的優點 來設計，以實作評量來探討小組成員集體解題的過程。

三、小組的溝通

所謂小組溝通係指團體成員之間訊息的交流（周立勳，民 81），尤其為了 達到一個共同目標，溝通的頻率和方式會更多樣化。當成員處在非集中式的 溝通網路（decentralized communication network）裡比在集中式的溝通網路 (centralized communication network)裡，更能有發表意見的表現（Shaw,1971）。

在前者的討論情境中，沒有指定的領導者，成員的角色位置沒有階級之分，

一方面不會產生責任推卸，一方面不會造成成員的心理負擔，較適合答案較 難確定的複雜問題。後者由上而下的溝通方式，則適合有固定答案的簡單問 題（李美枝，民 80）。

在數學教室裡進行的溝通可以就兩種形式來看。一個是語言溝通，一個是 數學符號（表徵）的使用。

Chiu（2001）認為小組成員個人的一些行為特點，將影響小組解題的結果：

1.對先前解題行為的評價（Evaluations），包括：同意、不同意和忽視。

2.社交的表現（Politeness），包括：支持的臉部表情、威脅的臉部表情、中立 的臉部表情。

3.有效的行為（Validity），包括：正確、錯誤、和任務無關的表現。

4.邀請（Invitation），將影響到其他成員的參與，包括：敘述的語句、提問的 語句、命令的語句。

5.知識（Knowledge），包括：貢獻的、重複的、沒意義的。

以上這些要素的不同組合構成了各種小組解題過程的面貌。

Herbel-Eisenmann.（2002）認為如果要我們的學生成為數學社區的一部 分，他們最終還是要講正式的數學語言（Official Mathematical language，簡稱 OML ）。OML 是一種被數學社區所認同的說話和運作方式，需要老師藉著鼓 勵學生以多元的方式談論數學想法來訓練。除此之外，解題實用的語言還有脈 絡語言（Contextual Language，簡稱 CL）、橋樑語言（Bridging Languages，簡

稱 BL ）。CL 是深植於問題情境的脈絡中，讓學生在談論數學概念時不需要用 到很精準的數學語言。BL 則是在學會 OML 之前一種過渡性的語言，它可以 是老師和學生之間，或學生和學生之間，大家認可、了解的自創語言。

數學符號（表徵）的使用是另一種小組溝通的方式，將解題過程寫下來或 用其他方式記錄做法也有助於小組成員了解你的想法。Brenner 等人就主張對於 數學問題解決的問題表徵，著重在教學生將文字題用圖表、圖案、具體事物，解題 者自己的話、言詞的簡述來轉變表徵的形式（引自 Schultz,James,Waters &

Michael,2000）。

上述兩種表徵的方式-語言和數學符號，通常是一起出現在小組解題的過 程中，在本研究中則為小組成員間的溝通對話，連結解題的紙筆表現（數學符 號的使用）。

叁、小組合作的情意表現

在小組以語言和數學符號進行解題時，成員們的想法、感受和動機與單獨 一人解題時不一樣。傳統競爭式的個人評量重視成績的比較，藉著贏過別人的 成績來突顯自己的成就。低能力的學生因此喪失信心，對學業越來越敬而遠 之。高能力的學生每天戰戰兢兢的，深怕學業表現被別人趕過去，導致壓力越 來越大。基於學生對評量的負向情緒反應，具有正向積極互賴關係的小組解題 應是可以考慮的方向。基於此，許多研究合作情境中的情意表現因應而生。

Sinclair（1987）認為情意與個體需求狀態的滿足與否有關，其中也包含 了學習表現的動機。影響情意表現的因素琳瑯滿目，包括自我效能、成就動機、

歸因形式、自尊感、學習焦慮等（Densereau, 1986）。除了探討影響情意表現 的因素外，在合作情境裡成員們表現出哪些情緒也有許多研究。正面的情緒

有：對數學抱持成功的態度、探究數學的動機強、數學學習態度良好（陳世彭，

民 83；李雯婷，民 87）、表現積極（臧俊雄，民 89）、減低學生的焦慮

（Aronson,1978）、增進學生自尊（Johnson & Johnson, 1989）、同儕接納

（Slvin,1990）、自我評價正確（Wilczenski, bontrager,Ventrone, & Correia,

1999）。

也有些研究顯示合作情境對某些情意表現沒有相關或者甚至引起負面的 情緒反應。例如：

葉明達（民 87）的研究則顯示小組成員因在意自己的表現，擔心表現影 響到自我評價，當遇到解題困難時，引發了退縮的情意表現。陳世彭（民 83）

的研究顯示合作情境對於學生在「學習數學的信心」上沒有顯著的關係。林達 森（民 90）認為合作合作中所發生的同儕互動也未必都是建設性的，學生往 往會聊天、或做一些無關學習內容的瑣事，或是互相爭吵、指責。

在實作評量中的小組解題其成員的情意表現尚缺探討，本研究擬以訪談的 方式，在解題歷程的脈絡裡了解小組成員的感受。

第三節 實作評量

相對於傳統的紙筆測驗，評量名稱歧異，種類多、若干的評量性質也很相 像，統稱為多元化評量。其中實作評量已漸漸在校園裡盛行，也是本研究所使 用的評量方式，茲就實作評量的意涵、種類、優缺點三方面來加以說明。

壹、實作評量的意涵及實施方法

國內盛行實作評量是因應改善傳統紙筆測驗的諸多弊端而生的，企盼能以

實作評量之長補傳統紙筆測驗之短。何謂實作評量呢？由於其種類眾多，實施 的方式有所差異，所取的定義角度也有所不同，茲列舉如下：

一、具相當評量專業素養的老師，編擬與學習結果應用之情境頗類似的模擬測 驗情境，讓學生表現所知、所能的學習結果（李坤崇，民 91）。

二、教師以教學目標與評量規準為整合支撐的架構，讓學生經由應用知識與技 巧等高層次的思考歷程，實際表現其建構而非只是再認或記憶性的練習，而在 歷程中呈現，獲得生命中深度的認知、情意與技能能力之評量（詹元智，民 90）。

三、只要涉及到教師的專業判斷，觀察學生表現來作評斷的都屬於實作評量（

Stinggins, 1995；Arter, 1999）。

四、學生展現其特定技巧與能力的練習，而非選擇性的練習，包含評量的原因 或動機、被評鑑的特定表現、引岀表現的練習、以及系統的評分方式（Roeber, 1990）。

五、以學生在評量過程中的表現或製作出的物品，作為評量依據的評量方式，

目的在於使教師能夠直接觀察學生達到結果的過程，而不只是評量學生解答的 正確性（桂怡芬、吳毓營，民 86）。

不同的實作評量有不同的實施方式，它們的特質有：

一、必須能真正的表現出該領域所應有的表現（Wiggins, 1989b）。

二、要求學生表現、實作、產出，或建構（Herman,Aschbacher & Winter, 1992）。

三、兼顧評量的過程與結果（Shavelson & Baxter, 1992）。

四、強調高層次的思考、推理與問題解決能力的評量（莊明貞，民 87 ）。

貳、實作評量的種類

以上均是實作評量的意涵以及實施方式，至於它的種類也很多，因為實作

評量的應用很廣，不只是在評量學科裡的學習表現，也可用在日常生活必備的 能力或工作技能上，可视欲評量的能力及發生情境來決定。Gronlund（1993）

就依測驗情境的真實程度，從高至低，依序將實作評量分為五個類型：

一、紙筆的實作評量：雖然使用紙筆，但是和傳統紙筆測驗偏重於回憶性的知 識不同，它要求學生在模擬情境中應用知識和技能來解決問題，需自行建構岀 方法並產生實際活動。例如：非例行性的問題解決、真實數學、生活數學或需 操作實物的解題。

二、辨認測驗：要求學生辨認解決實作作業問題所需的知識或技能，如辨認未 知的化學物質、某機器故障的原因。

三、結構化表現實作作業：要求在標準、控制的結構化情境中完成實作作業。

例如：作實驗。

四、模擬實作評量：在模擬的情境中，要求學生完成與真實作業相同的動作。

例如：教學實習。

五、工作樣本實作評量：要求學生表現實際作業情境下所需要的真實技能。例 如：應徵之前，工廠老闆當場要求在工作現場作出欲評量的技能。

從以上的舉例可看出，當欲評量的行為或技能和真實情境的關係越密切，

就要據此採取不同的評量，就如同張麗麗（民 91）所說的實作評量就是要藉 著「真實」達到「直接」測量複雜能力的目的，縮短觀察分數與作業表現之間 的距離。

另外從評量的形式來區分，則有觀察、口試、開放的紙筆式測驗、實際操 作、檔案、日記、實物操作等。

本研究所設計的實作評量其意涵為，藉由實物操作的觀察來解題以得到結 論。就情境的真實程度而言，相當於紙筆的實作評量，具備要求學生表現、實 作、產出，或建構的特質。

叁、實作評量的優點和限制

實作評量是因應改善傳統紙筆測驗的缺點而生的，大家都企盼實作評量能 扮演截長補短的功效，讓評量更能測量真實的能力，其優點如下：

一、真實性：實作評量要求學生在接近真實的情境中運用訊息解決問題

（Mcintosh, 1999），以了解學生在實際生活裡，是否真能將技能或知識展現出 來，尤其在操作技能上，深植於真實情境中的評量需求更是重要，比紙筆測驗 更能深入的了解知識與理解的程度（Haertel & Linn, 1996）。

二、多樣性：實作評量之所以定義繁多，最主要是因為其實施的方法也多，可 依照評量的需求彈性調整，發揮評量的最終目的-測岀學生最真實的能力，縮 短觀察分數與真實表現之間的距離（張麗麗，民 91）。

三、普遍性：運用廣泛，從學科到技能，從認知到情意，都能使用實作評量（Telese

& Kulm, 1995）。

四、診斷性：重視學生完整的表現，兼顧形成性和總結性的評量，可以了解學 生學習困難的地方，以作補救之用（陳濱興，民 90 ）。

五、建構性：需要學生有效利用知識來處理複雜作業等高層次認知的能力

（Herman & Klein, 1997），以建構出解決問題的能力，可評量岀學生高層次的 思考與問題解決能力（Herman,Aschbacher & Winter, 1992），以及測到學生整 體的表現而非單一技能（Linn, 1991）。

即使實作評量有那麼多的優點，但其潛在的限制亦有許多學者提出：

一、時間的限制：Frechtling（1991）認為實作評量無法大量實施，所以相當 耗時。實作評量的實施由於要觀察每一個受試者完整的表現，勢必無法像紙筆 測驗那樣方便（Herman & Klein, 1997；Telese & Kulm, 1995）。

二、信效度的限制：Mehrens（1992）認為實作評量缺乏客觀性和科學的嚴謹 度，尤其當該評量在決定重大判斷時，評分者本身或評分者之間的給分是否能 一致，成了一個潛在的問題（Telese & Kulm, 1995）。

由於本研究選取的研究對象是六年級某一班的學生，現分析六年級的數學 教材。從九十二學年度開始，國小六年級仍使用八十二年九月修正公佈的「國 民小學課程標準」（教育部，民 82）為教學依據。在眾多出版社中，該校採取 國立編譯館（簡稱國編本）第十一冊數學科教科書，該教科書共分為十六個單 元，茲將各單元的名稱和教學目標分述於表 2-6：

表 2-6 國編版 第十一冊數學科單元教學目標 單 元 名 稱 單 元 目 標

一、4/6 瓶和「九分之幾」

瓶一樣多

1. 用有乘號的算式填充題記錄「真分數的真分數 倍」問題，並記錄解題過程。

2. 給定單位量及分量，解決使用分數數詞（字）

描述此分量為單位量的分數倍問題。

3. 解決以原單位為基準，將分數表示成指定分母 數值的等值分數問題。

4. 在兩步驟問題中，討論乘法交換律和結合律。

二、1/60 時、1/60 分、1/24 日與容積

1. 運用分數記錄時間，簡化化聚過程。

2. 認識體積、容積及容量的關係。

三、最簡分數

1. 解決兩異分母分數的合成、分解問題，並用有 分數的算式記錄解題過程。

2. 在量的情境中，使用等量或次序遞移關係，進 行兩分量的比較活動。

3. 給定一分數，找出其最簡分數；並認識最簡分 數的意義。

4.以位值概念，解決兩個整數、小數的比較問題。

四、2.6 包比 0.64 多多多少 包

1. 解決兩異單位小數的合成、分解問題，並用直 式記錄解題過程。

2. 經驗「整數的一位、二位單位小數倍」意義的 語言，以解決「整數的一、二位小數倍」的問 題，並用有乘號的算式記錄解題活動。

3. 解決一位純小數的一位純小數倍的問題，並用 有乘號的算式記錄解題活動。

4. 解決「除數是整數，商數為分數、小數」的等 分除的問題，並用有乘號的算式摘要記錄解題 過程。

5. 在連續量的情境下，先解決「分數的分數倍」

問題，然後用「先算出要平分成幾份，再算出 要拿出幾份」的方法，重新表現其解題過程。

單元名稱 單元目標 五、百分圖與發生的可能

性

1. 認識百分數的意義。

2. 認並畫圓形圖和長條百分圖。

3. 從遊戲中了解機率的初步概念

六、擴分與約分 1. 解決整數對整數的對等問題，並記錄其解題過 程與結果。

2. 給定單位量及分量，使用分數數詞（字）描述 此分量為單位量的分數倍，並察覺各種答案彼 此等值。

3. 解決將分數所指示的量，約成最簡分數的問 題：並介紹擴分、約分、和通分等名詞。

七、三角形的內角和和線 對稱圖形

1. 知道三角形的內角和是 180 度，並能推算四邊 形的內角和。

2. 認識線對稱圖形。

八、比值

1. 解決「整數的三位小數倍」的問題。

2. 將相等的比予以歸類，並以其中的最簡單整數 比及使用「每多少個對多少個」的語言，命名 此同類的比。

3. 將最簡單整數比化成「多少個對 1 個」的比，

再命名第一項為同類比的比值，並介紹「比值」

的意義。

4. 解決「分數對整數」、「整數對分數」的對等問 題，並記錄其解題過程與結果。

5. 在量的情境下，用有乘號的算式填充題記錄「分 數的整數倍」、「分數的分數倍」的乘數未知的 問題並求解。

九、公畝、公頃與扇形面 積

1. 認識「公畝」、「公頃」並進行兩單位間的化聚。

2. 解決 1/2 圓、 1/4 圓、1/8 圓、1/3 圓等特殊扇 形的面積問題。

單元名稱 單元目標 十、3/8 袋比 1/6 袋多 5/24

袋

1. 在量的情境下，用有乘號的算式填充題記錄

「整數的分數倍」、「分數的整數倍」或「分數 的分數倍」的倍成數為之的問題並求解。

2. 解決兩異分母分數的合成、分解問題，並將和 數或差數約分成最簡分數。

先解決「整數的真分數倍」和「真分數的整數 倍」問題，然後用「先算出要平分成幾份，再 算出要拿出幾份」的方法，重新表現其解題過 程。

3. 先解決「整數的帶分數倍」和「真分數的帶分 數倍」問題，並討論「先將帶分數化成假分數」

的解題策略，以重新表現解題過程。

4. 解決單位分數、真分數對整數或「整數對單位 分數、真分數」的對等問題，並記錄其解題過 程與結果。

十一、柱體、錐體與百分 數

1. 透過觀察實物與圖片，辨認柱體與錐體。

2. 認識柱體與錐體的構成要素，及要素間的垂直 與平行關係。

3. 認識百分數與小數的關係。

十二、小數的除法 1. 解決「除數為分數、商數為整數，餘數為 0 或 分數」的異分母包含除問題。

2. 解決「帶分數的整數倍」和「帶分數的分數倍」

問題。

3. 用有除號的算式填充題記錄「除數為小數、商 數為整數，餘數為 0 或小數」的包含除問題並 求解。

4. 解決百分數問題。

解決「帶分數的整數倍」和「帶分數的分數倍」

問題，並討論「先將帶分數化成假分數」的解題 策略，以重新表現解題過程。

單元名稱 單元目標

十三、公噸與放大圖 1. 認識 1 公噸為個別單位的意義。

2. 認識利用格子來幫助製作放大、縮小圖的方 法，並進行實作。

3. 了解原圖與放大、縮小圖的雙向關係。

十四、四捨五入法 1. 在包含除的情境中，解決將餘數轉為除數的分 數倍，使商數成為分數的當量除問題。

2. 解決分數的兩步驟問題

3. 解決分數對整數的對等問題，並記錄其解決過 程與結果。

4. 解決概數問題。

5. 解決帶小數的小數倍問題，並用有乘號的算式 記錄解題過程。

十五、速度的意義 1. 運用分數記錄時間、簡化計算過程。

2. 速度的認識及直接比較。

3. 界查閱賽跑的記錄表進行速度的間接比較。

十六、1 2/5：1 與 2：5

1. 解決含有分數的比的最簡單整數比和比值的 問題。

2. 解決分數和小數的當量除問題，並用有除號的 算式摘要記錄解題過程。

以上為各單元的目標內容，現將其分別歸類於數與計算、量與實測、圖形 與空間、統計與圖表、數量關係、術語與符號六個範疇加以分析：

表 2-7 目標內容分析圖 範疇

單元名稱

數與 計算

量與 實測

圖形與 空間

統計與 圖表

數量 關係

術語與 符號 一、4/6 瓶和「九分

之幾」瓶一樣多

＊ 二、1/60 時、1/60

分、1/24 日與容 積

＊ ＊ ＊

三、最簡分數 ＊ ＊ 四、2.6 包比 0.64

多多多少包

＊ 五、百分圖與發生

的可能性

＊ ＊

六、擴分與約分 ＊ ＊

七、三角形的內角 和和線對稱圖 形

＊ ＊

八、比值 ＊ ＊

九、公畝、公頃與 扇形面積

＊ ＊

十、3/8 袋比 1/6 袋 多 5/24 袋

＊ 十一、柱體、錐體

與百分數

＊ ＊ ＊ 十二、小數的除法 ＊

十三、公噸與放大 圖

＊ ＊ ＊ 十四、四捨五入法 ＊ ＊

十五、速度的意義 ＊ 十六、1 2/5：1 與

2：5

＊

Popham（1995）根據實作評量的特性和限制，提出七點在設計或選擇實作 評量時應考慮的要項：（1）類推性（Generalizability），學生在這個任務上的表 現類推到其他相似項目上的程度如何，相當於客觀評量的信度（2）真實性

（Authenticity），這個任務和學生的真實生活情境是否相似（3）多元焦點

（Multiple foci），這個任務能測量到多元而非單一的教學結果（4）可授性

（Teachability），學生在這個任務所表現的是否是教學所導致的（5）公平性

（Fairness），這個任務對所有的學生都公平嗎（6）可行性（Feasibility），在費 用、空間、時間和設備的考量，這個任務項目的可行性如何（7）可評性

（Scorability）學生在這個任務項目上的反應之評定的結果的準確度如何。

其實，幾乎每一個單元都可以設計成實作評量來評定教學成果，但如同吳 裕益（民 91）所說的，有些教學目標只要運用簡單的紙筆測驗就可以了，便 不必假借其他的測量方式（引自林堂馨，民 91）。因此，綜合上述學者們的意 見，本研究將依這些原則來選擇欲評量的單元。

以「數與計算」這個範疇的單元而言，包含了第一、二、三、四、六、

十、十二、十四、十六單元。第一單元「4/6 瓶和九分之幾瓶一樣多」偏重於 分數的乘法計算，第三單元「最簡分數」和第六單元「擴分與約分」的學習目 標最主要是要學生能夠解決兩異分母的合成、分解問題，及認識最簡分數、擴 分、約分的意義，屬於計算的技術問題，不符合多元焦點（Multiple foci）的 原則，只要實施紙筆測驗，或融入其他單元問題的解決即可。第四、十二單元 是關於小數的計算問題，著重在不同單位的小數的合成、分解及除法的算式填 充題，但其解題策略和一般數字無異，也許學生解不出問題是因為解決的策略 有問題，而不是不會小數除法的程序性知識，因此不符合可評性（Scorability）， 所以不列入本研究的實作評量範圍內。第十單元「3/8 袋比 1/6 袋多 5/24 袋」

和第十四單元「四捨五入」，只要從紙筆測驗就能檢视出學生是否達到學習目

標。第十六單元「1 2/5：1 與 2：5」 實物幫助解題的功能不大，學生未必想 要借助實物，在「可評性」上測不出要評估的項目。

在「量與實測」的範疇上，本冊計有第二、九、十三、十五單元。第二單 元容積的部分，第九單元「公畝、公頃與扇形面積」，需要用到測量工具。第 十三單元「公噸與放大圖」為作圖題，以上這些單元都容易設計出使用實物以 解決問題的情境，可以用實作表達解題結果，工作項目也多，能提供成員合作 的空間。

「圖形與空間」的內容有第七、十一、十三章，第十一章柱體、錐體與百 分數主要是希望學生能辨識柱體、錐體的特徵以及百分數和小數的關係，前者 除了要能認出柱體、錐體，還要能說出兩者的特徵，而後者則是換算的問題，

可融合在其他單元的評量中，不另外做實作評量。第七單元「三角形內角和與 線對稱圖形」、第十三單元「公噸與放大圖」可以評量學生的作圖及使用測量 工具的能力，適合設計成實作評量。

綜合以上的分析本研究將採取以下的單元來設計實作評量：

第二單元：1/60 時、1/60 分、1/24 日與容積

第五單元：百分圖與發生的可能性

第七單元：三角形的內角和和線對稱圖形

第九單元：公畝、公頃與扇形面積

第十三單元、公噸與放大圖

以上五個單元的單元目標各有特色，涵蓋了數與計算、量與實測、圖形與

空間、統計與圖表、術語與符號等五個範疇，操作具體物的方式和目的也不同，

第二單元「1/60 時、1/60 分、1/24 日與容積」需要操作具體物的評量內容有 容積的測量、時鐘指針的播動；第五單元「百分圖與發生的可能性」實作的部 分在於畫各種形式的百分比圖；第七單元「三角形的內角和和線對稱圖形」、 第十三單元「公噸與放大圖」則為作圖題；第九單元「公畝、公頃與扇形面積」

可利用圓形圖進行具體物操作以達到解題的目的。因此本研究將根據以上五個 單元做為實作評量的內容。

第三章 研究方法與歷程

本研究主要是以學生之間的解題對話為軸，給予不同的分類和分析，觀察 解題活動的行為，和學生對小組解題的感想，編織成對學生在實作評量中小組 解題的了解，主要的目的是理解出小組解題時當下學生活動的交互作用。

第一節 研究設計

本研究根據 Schoenfeld（1985）所提出的數學解題歷程模式，將同組學生 互動的對話作成原案（protocols），以此分析經由五個單元的實作評量後，學 生在合作解題上的解題表現，及解題階段變化的情形，來探討六年級學生在小 組解題中的互動過程。並以作者編製的實作行為分佈表和原案（protocols）內 容，分析操作實物在小組解題扮演的角色。以增加 Burgess（1989）所說的交 互效度（cross validity）（引自胡幼慧，民 91）。

因此，本研究的研究設計為，先以個人經驗和文獻蒐集形成一個概念性情 境，目的在於探索感興趣的研究主題存在著哪些可能的方向，有哪些理論可以 印證初步的想法，或者之間有牴觸而可以深入探討，然後和研究目的交集成研 究問題。接著蒐集資料，途徑包括錄影錄音、訪談和觀察紀錄。蒐集到的資料 以不同的角度來分析，分析資料的過程中，新浮現的主題和新發現的概念，將 來回的交互影響下一步驟的分析，一直到呈現飽和重複的狀態，就開始進行描 述與閳釋，在這期間擬以資料蒐集和分析策略來控制效度威脅，最後再做出討 論與建議。

研究問題

研 究 情 境

概念性情境 研究目的

蒐集資料 錄影、錄音

圖 3-1 研究設計圖 分析資料

效度 訪談

觀察紀錄

Schoenfeld 的解題歷程

實作行為分佈圖&對話原案

訪談分析

新發現的概念 新浮現的主題

描述與闡釋

討論與建議

第二節 研究場域

研究者服務的學校位於高雄市市區，雖然位於鬧區，但由於學校本身為一 座擁有四十幾年歷史的建築物，所屬的學區為老舊社區，鄰近的一所大型學校 因此吸引了一些原為本學區的學生，所以本校為一所小型的學校

壹、背景脈絡

，全校的小學 部有二十六班，其中包括四班的游泳體育班。資深教師在兩年前佔全校教師名 額的大部分，接下來由於大量資深教師急速退休，使得學校教師年齡層大幅降

被抽取班級的導師為年資一年的新任教師，師範院校數理教育系數學組畢

業。平常數學課的進行模式為擬 生上台解題，對於

講述法或實作觀察來 老師對於數學的教學信念有：學習 數學著重觀念正確、學習數學也重視精熟學習，在計算、觀念方面都有助益、

老師是知識的傳遞者、學生習得的知識是被傳授的、容許多途徑的解題方式、

重視先備知識、以操作來建構觀念。

低。目前學校的教學團隊分成兩種，一種以學年為單位，利用約每個月一次的 教師進修時間討論教學心得或議題，另一種則為領域的劃分，由老師自由決定 自己感興趣的領域加入。

題、講解、學生練習、學 新

的觀念，以 進行。該名

貳、研究對象的選取

本研究採取異質分組，因為 Webb（1985）研究發現，同儕之間有效的合 作學習行為，較容易發生在異質團體及中等成就的同質團體。另外，本研究採 取立意取樣的方式，Patton 曾論及質性研究的抽樣重點是樣本少但需要有深度

（in depth）的立意抽樣（引自胡幼慧，民 91），依 Kuzel（1992）根據不同的 研究目的所做的抽樣策略類型裡，本研究欲抽取的是典型個案（typical case），

也就是能點出一般狀況的樣本，Danzin and Lincoln（1998）就認為研究獨特（th particular）就是研究普遍現象（the general）。本研究的研究對象為六年級學童，

從研究者服務的學校來抽取，以取便利的好處，因本研究主要是想探究評量的 方式激發學生合作解題的溝

e

通內容，研究場域並不強調，所以方便取樣影響本 研究不大。本校六年級共有四個班級，其中一班為游泳體育班，一開始即排除 級的特色。根據三位導師的描 述，第一個班級的學生活潑，班上幾位活躍的同學常能左右班上的氣氛。第二 個班級的學生的數學定期成績常常獨占鰲頭，第三個班級的學生異質性高，反 而說不出有什麼特色。三位老師的師資養成背景分別是，國文研究所、數理系 自然科學組、數理系數學組。因為研究者考量到樣本特質不宜太鮮明，以免只 看到獨特現象；該班數學老師最好是本科系畢業以便容易與其溝通研究理念和 作法，因此決定從第三個班級選取四名學生。班級選定後，高數學能力和低數 學能力分別以全班在五年級下學期數學總成績的前百分之二十五和後百分之

叁、研究對象的描述

在外，最後選取班級的考量在老師的背景和班

二十五為選取範圍，另外程度中等的學生取自於數學總成績介於百分之二十五 至百分之五十之間。最後經由導師根據研究者與之溝通的想法在各選取範圍內 抽取四人，組成一小組。

研究對象是一個小組，所抽取來源的班級學生共 34 人，平常班級同學之 間相處融洽。上數學課時的座位安排為傳統的行列式，偶而採分組教學，該班 數學課操作實物的情境常用在了解基本定義或概念上，以老師指派回家作業的 方式或以分組來進行。上數學課時，若老師指定學生上台演示、發表，台下學 生反應熱烈，但大部分的反應僅止於判斷對錯的鼓勵和奚落，很少有詰問、爭 辯、解釋的情形。

該研究對象小組共四名學生，甲生數學總成績位於全班的前百分之二十