预备知识：矢量场论

——预备知识—矢量场论复习

Preliminary Knowledge —

Revise in the Vector Field Theory

第 0 章

本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要

概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三

者之间的关系。其中包括两个重要定理：即

Gauss theorem 和 Stokes theorem，以及二阶

主要内容

 标量场的梯度 算符  矢量场的散度 高斯定理  矢量场的旋度 斯托克斯定理  在正交曲线坐标系中 运算的表达式  二阶微分算符 格林定理  张量及其运算

§

_{0-1 标量场的梯度， 算符}

Gradient of Scalar Field,

Operator



1、场的概念(The Concept of Field) 场是用空间位置函数来表征的。在物理学中， 经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。 如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物 理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势 场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一 点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。 如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时 间变 化，就称 为 稳定场， 否则， 称为不 稳定 场。

2、方向导数(Directional Gradient) 方向导数是标量函数 在一点处沿任意方向 对距离的变化率，它的数值与所取 的方向有关， 一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但 它并不是矢量。如图所示， 为场中的任意方向，

P

₁是这个方向线上给定的一点，

P

₂为同一线上邻近的 一点。 l ) (x  l l P l   l P₁ P₂

_l



为

p

₂和

p

₁之间的距离，从

p

₁沿 到

p

₂的增量为 若下列极限 存在，则该极限值记作 ，称之为标量场 在

p

₁处沿 的方向导数。 3、梯度(Gradient) 由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过 l

)

(

)

(

p

₂



p

₁











l

p

p

l

l l











   

)

(

)

(

lim

lim

2 1 0 0







l ) (x  l P l   ) (x  l 

该点沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导 数，则可引进梯度概念。记作 称之为 在该点的梯度（_{grad 是gradient 缩写），} 它是一个矢量，其大小 ，其方 向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 表示。 方向导数与梯度的关系： ) (x 

n

n

ˆ

grad



















) (x  max ) ( | grad | l n          nˆ

是等值面 上

p

₁点法线方向单位矢量。它指 向 增长的方向。 表示过

p

₂ 点的任一方向。 显见， nˆ l 1

c





 . cos , 0 , 0 0 1 2 1 0 1 2 1



p p p p p p p p    时 当 p₁ p₀ p₂ nˆ l 等值面 等值面 1 c   2 c   θ

所以 即 1 0 1 0 1 1 cos ) ( ) ( lim cos ) ( ) ( lim 0 1 1 0 2 1 1 2 0 p p p p p P n p p p p p p p p l          

















n l     



_



cos

该式表明： 即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投 影。 梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场 在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。 4、 算符（哈密顿算符）(Hamilton Functor) 算符既具有微分性质又具有方向性质。在任 意方向 上移动线元距离_{dl， 的增量 称为方向微} l l n n n l              



_





_

grad ˆ cos ) (x   l  d 

分，即 显然，任意两点 值差为

l

d

dl

l

d

































B A A B

d

l









§

_{0-2 矢量场的散度 高斯定理}

Divergence of Vector Field,

Gauss’s Theorem

1、通量(Fluid) 一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量 场 方向通过 的流量是_{dN，而dN是以ds为底，以} v cosθ为高的斜柱体的体积，即 称为矢量 通过面元 的通量。 对于有向曲面_{s，总可以} 将_{s分成许多足够小的面元 ，} 于是通过

v



d

s



s

d

v

ds

v

dN



cos





 



θ ds

v



nˆ

s

d



s

d



v



曲面_{s的通量N即为每一面元通量之积} 对于闭合曲面s，通量N为 2、散度(Divergence) 设封闭曲面

s

所包围的体积为 ，则







s

s

d

v

N











s

s

d

v

N











s

V

s

d

A





/

V 

就是矢量场 在 中单位体积的平均通量，或者平 均发散量。当闭合曲面s 及其所包围的体积 向其内 某点 收缩时，若平均发散量的极限值存在，便 记作 称为矢量场 在该点的散度(div是divergence的缩 写_)。 散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发 散的强弱程度，当_{div ，表示该点有散发通量} ) (x A  ) (x M  V  V 

V

s

d

A

A

A

s V















 









0

lim

div

) (x A  0  A

的正源；当_{div ，表示该点有吸收通量的负源；} 当div ，表示该点为无源场。 3、高斯定理(Gauss’s Theorem) 它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围 体积的体积分，反之亦然。 0  A 0  A













V s

dV

A

s

d

A







§

_{0-3 矢量场的旋度}

斯托克斯定理

Rotation of Vector Field,

Stoke’s Theorem

1、矢量场 的环流(The Circumfluence of Vector’s Field) 在数学上，将矢量场 沿一条有向闭合曲线

L

（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分 称为 沿该曲线

L

的循环量或流量。 2、旋度(Rotation) 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么 ) (x A 







L

A

d

l

c





A

以闭合曲线_{L为界的面积} 逐渐缩小， 也将逐 渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记 作 即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状 无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方 向 ，且通常L的正方向与 规定要构成右手螺旋法 则，为此定义 nˆ S 



_ LA dl  

s

l

d

A

L s







 





0

lim

nˆ

n

s

l

d

A

A

A

L s

ˆ

lim

rot

0

























 

称为矢量场 的旋度（_{rot是rotation缩写）。} 旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附 近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处_rot 称为无旋场。 3、斯托克斯定理（Stoke’s Theorem） 它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合 曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。 ) (x A  0  A

(

)

L s

A dl







A ds

















§0-4 正交曲线坐标系中

运算

的表达式

Expression of Operation on

Orthogonal Curvilinear

Coordinates Frame





1、度量系数(Measurement Coefficents) 设_{x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1, x2, x3}是这点的 正交曲线坐标，长度元的平方表示为 其中 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 dx h dx h dx h dz dy dx dl      

)

3

,

2

,

1

(

)

(

)

(

)

(

2 2 2





















i

x

z

x

y

x

x

h

i i i i

称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三

个拉梅系数h₁, h₂, h₃来描述。

2、哈密顿算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算

符 在正交曲线坐标系下的一般表达式(The General

Expression of Hamilton Operator, Gradient, Divergence, Rotation and Laplace Operator in Orthogonal Curvilinear Coordinates)

 2                                       ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 A h h x A h h x A h h x h h h A x h e x h e x h e x h e x h e x h e           



























































































)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1 1 2 2 2 1 2 1 3 3 3 1 1 1 3 3 1 2 2 2 3 3 3 2 3 2 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1

A

h

x

A

h

x

h

h

e

A

h

x

A

h

x

h

h

e

A

h

x

A

h

x

h

h

e

A

h

A

h

A

h

x

x

x

e

h

e

h

e

h

h

h

h

A















其中 为正交曲线坐标系的基矢； 是一个标量函数； 是一个矢 量函数，只有在笛卡儿坐标系中， ，在其它正交坐标系中                       ) ( ) ( ) ( 1 3 3 2 1 3 2 2 1 3 2 1 1 3 2 1 3 2 1 2 x h h h x x h h h x x h h h x h h h









3 2 1

,

e

,

e

e







) , , (x₁ x₂ x₃





 3 3 2 2 1 1 3 2 1

,

,

)

(

x

x

x

A

e

A

e

A

e

A

A



























2

_A



₍

2

_A

₁

₎

_e



₁ i i A A 2  2 ₎ (   3 3 2 2 2 2 _{) ( )} ( A e   A e

3、不同坐标系中的微分表达式(Difference Expression in Different Coordinates) a) 笛卡儿坐标 x₁=x， x₂=y， x₃=z h₁=1，h₂=1，h₃=1 x y z y为常数平面 x为常数平面 (x,y,z) p ey  z e x e

z

e

y

e

x

e

_{x y z}



























z z y y x x z y x z y x z y x z y x e A e A e A A z y x A A A z y x e e e A z A y A x A A z e y e x e             ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                               

















b) 圆柱坐标系 坐标变量: x₁= r x₂=φ x₃= z 与笛卡儿坐标的关系 ： x=rcosφ y=rsinφ z= z 拉梅系数_{: h1=1 h2=r} h₃=1 φ z x y z为常数平面 r为常数平面 φ为常数平面  e z e r e r

z

e

r

e

r

e

_{r z}































     









e r A z A e z A A r A rA A z r e r e e r A z A A r rA r r A z u e u r e r u e u z r r z z r z r z r z r           ) ( ) 1 ( 1 1 1 ) ( 1 1                                          

将 应用于圆柱坐标可得 ： z z r r z r e A e A e A A z u u r r u r r r u e A r rA r r         ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                  





) ( ) ( 2 _A _{    A} _{    A} 





   





























r r r r

A

r

r

A

A

A

A

r

r

A

A

A

2 2 2 2 2 2 2 2

2

)

(

2

)

(





c) 球坐标系 z z

A

A

2 2

₎

(









z θ r φ y (r,θ,φ)  e r e  e x θ为常数平面 r为常数平面 φ为常数平面

坐标变量： 与笛卡儿坐标的关系： 拉梅系数：











_{2 3} 1

r

,

x

,

x

x

   

 cos , sin sin , cos

sin y r z r r x   



sin

,

,

1

_{2 3} 1

h

r

h

r

h







                                                A r A r A r r r A u r e u r e r u e u r e r e r e r r r sin 1 ) (sin sin 1 ) ( 1 sin 1 1 sin 1 1 2 2       

                      e A rA r r e rA r A r e A A r A r rA A r r e r e r e A r r r r r        ) ( 1 ) ( sin 1 1 ) (sin sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 2                                           

其中    













e A e A e A A u r u r r u r r r u r r        ) ( ) ( ) ( sin 1 ) (sin sin 1 ) ( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                     











  A A A r A A _{r r r} sin 1 ) (sin sin 1 2 ) ( 2  2  ₂

) sin 2 ctg ( sin 2 ) ( ) sin cos sin 2 ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2





















        A A A r A A A A A r A A r r                        

§0-5 二阶微分算符

格林定理

Second-order

Difference Operator,

Green’s Theorem

1、一阶微分运算(First-order Difference Calculation) 将算符 直接作用于标量场和矢量场，即分别得 到梯度、散度和旋度，即 这些都 叫一阶微分运算。 举例： a)设 为源点 与场 之间的距离，

r

的方向规定为源点指向场点 ，试分别对场点和源点求

r

的梯度。 A A      , ,  2 2 2 _{( ) ( )} ) (x x y y z z r         

x



x



第一步：源点固定，_{r 是场点的函数，对场点} 求梯度用 r表示，则有 而  场点（观察点） 场源点 坐标原点 o

x



x r z r e y r e x r e r _{x y z}             





r x x x x z z y y x x x r ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 _{2 2 2} 1 2                  

同理可得： 故得到：

)

(

,

)

(

r

z

z

z

r

r

y

y

y

r

























r

r

r

z

z

e

y

y

e

x

x

e

r

r

z

z

e

r

y

y

e

r

x

x

e

z

r

e

y

r

e

x

r

e

r

z y x z y x z y x

ˆ

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(



















































































第二步：场点固定，_{r是源点的函数，对源点求梯度} 用 表示。 而 同理可得：

r



z

r

e

y

r

e

x

r

e

r

_{x y z}





































r x x x x z z y y x x x r ) ( ) 1 ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 _{2 2 2} 1 2                      

r

z

z

z

r

r

y

y

y

r

(

)

,

)

(





























所以得到： 作业_: r r r r r z z e r y y e r x x e z r e y r e x r e r z y x z y x                                 ˆ ) ( ) ( ) (        

?

1

3

r

r

r





 和

求

b) 求 解： 而 同理可得 x x z z e y y e x x e r  _x(  )  _y (  )  _z (  )     r r     和 z r y r x r r e r e r e z e y e x e r z y x z z y y x x z y x                         (   ) (   )

1

)

(

















x

x

x

x

r

_x

故有

.

1













z

r

y

r

_{y z}

那么 这里 同理可得 故有 由此可见：

.

3

1

1

1































z

r

y

r

x

r

r



x y z

z

r

y

r

x

r

r

x y z































1 ) (            x x x x r_x

.

1



















z

r

y

r

_{y z}

.

3

1

1

1









































z

r

y

r

x

r

r



x y z

r

r















c) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明 证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数 微分法则，有

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

x y z x y z x y z

f u

f u

f u

f u

e

e

e

x

y

z

df u

u

df u

u

df u

u

e

e

e

du

x

du

y

du

z

df u

u

u

u

e

e

e

du

x

y

z

df u

u

du















































































证毕

u du df u f    ( )

d) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明 证： du A d u u A        ( ) . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 证毕 du u A d u u du u A d z u du u dA y u du u dA x u du u dA z u A y u A x u A u A z y x z y x                             

e) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明 证： du u A d u u A( ) ( )                                                                                  y u du u dA x u du u dA e x u du u dA z u du u dA e z u du u dA y u du u dA e y u A x u A e x u A z u A e z u A y u A e u A x y z z x y y z x x y z z x y y z x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (       

2、二阶微分运算(Calculation of Two-order Difference) 将算符 作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶 微分运算，设 为标量场， 为矢量场。 . ) ( ) ( ) ( ) ( 证毕 du u A d u du u dA du u dA du u dA z u y u x u e e e z y x z y x                                ) (x  g(x) , _f_(x₎

并假设 的分量具有所需要的阶的连续微商 ，则不难得到： （_{1）标量场的梯度必为无旋场} （_{2）矢量场的旋度必为无散场} （_{3）无旋场可表示一个标量场的梯度} （4）无散场可表示一个矢量场的旋度 f g ,  和



0 ) (   



0 ) (    g













g



则

g



若

₀

_,

f g g         则 若 _{0 ,}

（_{5）标量场的梯度的散度为}

（_{6）矢量场的旋度的旋度为}

3、 运算于乘积(Calculation of Multiplication with )

（1） ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2

















                             z y x z z y y x x

g

g

g



)

(



)

2



(





















0

)

(











 

0

)

(

2 2 2 2 2 2



























































































































































x

y

y

x

e

z

x

x

z

e

y

z

z

y

e

z

y

x

z

y

x

e

e

e

z y x z y x

































（_2）

_

_

₍

_

_

_g



₎

_

₀

0 ) ( 2 2 2 2 2 2                                                                                                                y z g x z g x z g z y g z x g y x g y g x g z x g z g y z g y g x g g g z y x e e e z e y e x e g x y z x y z x y z x y z z y x z y x z y x       

（_3）



₍



₎

















                                                                              ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z e y e x e z e y e x e z z e y y e x x e z e y e x e z y x z y x z y x z y x            

（_4） （5） g g g           ( )   g g g g g g g g g g g                                                ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

g

g

g























(



)





g g g g g g g g g g g                                    

















   ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

(6) 根据常矢运算法则 则有： 故有： ) ( ) ( ) (g  f  f   g  g   f   ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f g f g f g f g f g f g                              ) ( ) ( ) (b c b c a c a b a                ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f g f g g f f g g f g f f g f f f g g                                               

)

(

)

(

)

(

g





f





f









g





g









f







(7) 根据常矢运算法则： 则有 f g f g g f g f f g ) (  )  ( )  (  )  ( )  (              ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f g f g f g f g f g f g                              c b a b c a c b a (  )  (  )  (  ) f g g f g f f g f g g f g f f g f g g f f g f f g g f g                             ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (                                     

（_8） 因为 故有 从而得到： f g f g g f g f f g )  ( ) (  )   ( ) (  )  (             f g f g f g f g g f g f g f g f f f f g g g                       ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (                          

)

(

)

)(

(

)

(

)

(

g

f

g

f

f

g

g

f

g f f g

















   



























f g f g g f g f f g f g g f g f g f f g                     ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (                              

0

)

(











0

)

(











g























(

)

g g g           ( )  

g

g

g























(



)





) ( ) ( ) (g  f  f   g  g   f   f g f g g f g f f g ) (  )  ( )  (  )  ( )  (              f g f g g f g f f g )  ( ) (  )   ( ) (  )  (            

哈密顿算符的乘积运算

4、格林定理(Green’s theorem) 由Gauss’s theorem得到: 将上式 交换位置，得到 以上两式相减，得到



  



   



    s v v dv dv s d (





) (



2







)











与



  



    s v dv s d (



2







) (定理I)









    



   s v dv s d ( ) ( II) ) (













2





2



定理

5、常用几个公式 设 试求： a)

)

(

)

(

)

(

x

x

e

y

y

e

z

z

e

x

x

r

















_x









_y









_z





1 r  3

r

r







b) 3 r r   c)

r







d) e) f) g) h) (a )r a为常矢. (a r) a .    为常矢 0 sin( ) 0, E k r E k     _     _  为常矢 ) ( 0 r k i

e

E









§0-6 张量（并矢） 张量运算

1、并矢和张量

两个矢量A和B并列写为AB，之间不作任何运算， 称作并矢或张量 张量的基：

e

_i

e

_j



 































3 1 3 1 3 3 3 3 2 3 2 3 1 3 1 3 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1

)

)(

(

j i j i j i

B

e

e

A

e

e

B

A

e

e

B

A

e

e

B

A

e

e

B

A

e

e

B

A

e

e

B

A

e

e

B

A

e

e

B

A

e

e

B

A

e

B

e

B

e

B

e

A

e

A

e

A

AB

或者写为： 用矩阵形式表示为：



      3 1 3 1 j i j i ije e AB 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1























B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

AB

33 32 31 23 22 21 13 12 11











































2、张量的代数运算

并矢有9个分量，若 ，称为对称张量 ，它有六个独立分量；若 ，称为反 对称张量，它只有三个独立分量。 二阶张量：

AB

，三阶张量：

ABC

ji ij    ji ij   

• 张量的加法 • 张量与标量相乘 • 张量与矢量点积 • 张量与矢量矢积



     ij j i ij ij )e e ( _D D



     ij j i ije e u u u                C C B A C AB C B A C AB C C ) ( ) (                C C B A C AB C B A C AB C C ) ( ) (

• 张量与张量的一次点积 • 张量与张量的二次点积（张量收缩或缩并） AD C B CD AB) ( ) ( ) (       D



       ij ij ij D A C B CD AB _D D ( ): ( ) ( )( ) :

3、单位张量

              1 0 0 0 1 0 0 0 1 j i j i j ie e e e e e I

• 标量_{u与单位张量乘积} • 矢量_{A与单位张量点积} • 张量 与单位张量点积 • 张量 与单位张量缩并   u uI  A A AI  I         I I 2 33 22 11 : ) ( tr : :                   I I I

4、张量分析

• 哈密顿算符既有矢量特性又有微分运算作用， 张量乘法运算仅对并矢的近邻矢量有作用。 • 常用微分公式 A A B A B A AB e z e y e x u u                                    r I r I ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1

• 常用积分公式





























S V S V

dS

d

dS

d

)

(

)

(

fg



fg



A A A A A A A A A r Ar r r rr rr r r r                     ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 2